Cítl3Capítulo 3 Expressões RegularesExpressões Regulares...

C ít l 3Capítulo 3

Expressões RegularesExpressões Regulares, Linguagens Regulares e guage s egu a es eGramáticas Regularesg

3.1. Expressões Regulares (RE)3.2. Relação entre ER e Linguagens Regulares (LR)3.3. Gramáticas Regulares (GR)3.4. Síntese das equivalências

3 1 Expresssões regulares (RE)3.1. Expresssões regulares (RE)

uma forma de descrever linguagens regulares

desenvolvidas a partir de :

- os símbolos do alfabeto

d d- operadores de união : ou +

t ãconcatenação: •fecho-estrela : *

- parênteses

Exemplo 1

={a, b, c, ..., z}

L = {a} é definida pela expressão regular :

L = {d, m, u }, é definida pela expressão regular:

d m uou

d+m+u.

Exemplo 2

qual é a linguagem definida pela expressão regular (a+bc)* ?

(a+bc)* = (a+bc)0 (a+bc)1 (a+bc)2 ...

- (a+bc)0 : - (a+bc)1 : a, bc

2- (a+bc)2 = (a+bc) (a+bc) : aa, abc, bca, bcbc- (a+bc)3 : aaa, aabc, abcbc, abca, bcbcbc, ....- ......

E l 3Exemplo 3

= {a, b, c}

(a + b)* :

d i b bb b b bb bbb b bcadeias , a, b, aa, bb, ab, ba, aaa, abbaa, bbbaabab, …... qualquer cadeia com a’s e b’s

a* b* :

cadeias an bm , n,m 0 ou seja , a,b, aab, aabb, abb,bbb aabbbbbbb, aabbbb,...

(c+) : cadeia c© ADC/TCI/Cap.3/2009-10/LEI/DEIFCTUC 127

(c+) : cadeia c

3.1.1. Definição formal, recursiva, de expressão regularç , , p g

Definição 3.1. Considere-se um dado alfabeto .ç

1. expressões regulares a ( para a )

p gprimitivas

2 Se r e r são expressões regulares também o serão2. Se r1 e r2 são expressões regulares, também o serão

i) r1+r2 (união)

ii) r1 r2, (concatenação)

iii) r1* , r2* (fecho-estrela)

iv) (r1), (r2) (parênteses)

3. Uma cadeia é uma expressão regular se e só se puder ser derivada

- a partir das expressões regulares primitivas e

- pela aplicação de um número finito de vezes das dregras de 2.

ExemplosExemplos

= {0 1} {0,1}

01* = {0, 01, 011, 0111, …..}

(01*)(01) = {001, 0101, 01101, 011101, …..}

(0+1)* = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11, …..}, todas as cadeias de “0” e “1”

(0+1)*00(0+1)* = {00, 1001, …..}, todas as cadeias de 0 e 1 contendo “00”

= {a b c} = {a,b,c}

(a+bc)*(c+) é expressão regular ?

(a + c + ) é expressão regular ?

Exemplos :Exemplos :

={0,1} {0,1}

(1+10)* = todas as cadeias iniciadas por “1” e não contendo pares de zeros “00”

(0+1)*011 = todas as cadeias que terminam com “011”

0*1* = todas as cadeias que não têm um “0” depois de “1”

00*11* = todas as cadeias com pelo menos um “0” e um “1”, e nenhum “0” depois de “1”

3 1 2 Regras algébricas para expressões regulares

3.1.2. Regras algébricas para expressões regulares

Regras comutativas

Regras associativas

Regras distributivas

Identidades e anuladores

Regras de fecho

Hopcroft, Motwani & Ullman, 114-121

3 1 2 1 Regras comutativas e associativas3.1.2.1 Regras comutativas e associativas

Sejam L, M e N expressões regulares. Então:

L + M = M + L comutatividade da união

(L + M) + N = L + (M + N) associatividade da união( ) ( ) (LM)N = L(MN) associatividade da

concatenação

LM ML ?? t ti id d d LM = ML ?? comutatividade da concatenação

3 1 2 2 Regras distributivas

L(M + N) = LM + LN distributividade à esquerda da

3.1.2.2. Regras distributivas

L(M + N) = LM + LN distributividade à esquerda da concatenação em relação à união

(M + N)L = ML + NL distributividade à direita da concatenação em relação à uniãoconcatenação em relação à união

(MN) + L = (M + L)(N + L) ???

L + (MN) = (L + M)(L + N) ???

( ) ( )( )

L + (MN) (L + M)(L + N) ???

3 1 2 3 Identidades e anuladores (zeros)3.1.2.3. Identidades e anuladores (zeros)

é a identidade para a união + L = L + = L

é a identidade para a concatenação: é a identidade para a concatenação: L = L = L

é o anulador para a concatenação L = L =

3 1 2 4 Regras do fecho estrela3.1.2.4. Regras do fecho-estrela

(L*)* = L*

L+ = LL* = L*L

L* = L+ +

* = * =

( L+M )* = (L* M *)* ( L+M ) (L M )

3 1 2 5 Outras regras algébricas

P l éb i l l

3.1.2.5. Outras regras algébricas

Para provar uma regra algébrica qualquer, por exemploL + ML = (L + M)L

tem que se provar que qualquer cadeia gerada pela RE da esquerda é também gerada pela RE da direita.Para provar que é falsa, basta dar um contra exemplo.

Para auxiliar a prova podem-se substituir os símbolos das RE por caracteres de um alfabeto no caso por exemploRE por caracteres de um alfabeto, no caso por exemplo

(a+ba) = (a + b)af il ê f lque facilmente se vê ser falso.

ver Hopcroft, Motwani & Ullman, 118-119

3 1 3 Li i d ã l3.1.3. Linguagem associada a uma expressão regular

D fi i ã 3 2 S é ã l L( ) dDefinição 3.2. Se r é uma expressão regular, L(r) denota a linguagem associada com r, e é definida pelas regras:

1. r = é uma expressão regular, o conjunto vazio

2. r = é uma expressão regular, o conjunto {}

3. para todo o a , r = a é uma expressão regular, {a}

Se r1 e r2 são expressões regulares, então1 2 p g ,

4. L(r1+r2) = L(r1) L(r2)

5. L(r1r2) = L(r1) L(r2) , concatenação de L(r1) com L(r2)

6. L((r1)) = L(r1)

7. L(r1*) = (L(r1))*

As regras 4 a 7 usam-se para reduzir recursivamente uma linguagem L a expressões mais simples.

As regras 1 a 3 são as condições terminais para esta recursão.

P ifi l li d Para se verificar qual a linguagem que corresponde a uma dada expressão regular, aplicam-se aquelas regras tantas

t á ivezes quantas as necessárias.

A precedência dos operadores é a seguinte A precedência dos operadores é a seguinte1º- fecho- estrela (*),2º concatenação ()2 - concatenação (),3º- (+) união

Exemplos:

i) = {x}

L( *) { } L( +)L(xx*) ={x, xx, xxx,...}= L(x+)

L(x(xx)*) ={x, xxx, xxxxx,..} =L(xímpar)

ii) = { a, b, c }

L((a+c)b*) = L(a+c)L(b*) = (L(a) L(c)) (L(b))* =

= { a c } { b bb bbb }= { a, c } { , b, bb, bbb, … }

= { a, c, ab, cb, abb, cbb, abbb,..}

iii) { b}

L(c+) = { c }

iii) ={a, b}L((a+b).(a+b).(a+b)) = L(a+b) L(a+b) L(a+b) = {a,b} {a,b} {a,b}

= {aaa, aba, abb, baa, bba,..}

{ , , , , , }

Notas:

(a+b)*= (a+b)*+(a+b)*

(a+b)* = (a+b)*(a+b)*

(a+b)* = a(a+b)*+b(a+b)*+( ) ( ) ( )

= {0 1}

A) ã l li

= {0,1}

A) escrever a expressão regular para a linguagem

L { t i ú í d }L ={w : w termina com um número ímpar de zeros }

r = (0+1)*10(00)* + 0(00)*

B) Qual é a linguagem representada pela expressão regular:

i) (1+01+001)*(+0+00)

ii) ((0+1)(0+1))*+((0+1)(0+1)(0+1))*

Exemplo de linguagens complementares

= {0,1} {0,1}

Encontrar uma expressão regular para as linguagensp g p g g

i) L(r) = {w * : w tem pelo menos um par de zeros consecutivos }

Exemplo 3.5, p. 75 Linz

ii) L (r) = {w * : w não tem qualquer par de zeros consecutivos }

Exemplo 3.6 , p. 75 Linz

3 1 4 Equivalência de expressões regulares3.1.4. Equivalência de expressões regulares

Duas expressões regulares são equivalentes se elas denotam a mesma linguagem.

Q d i lifi l b ê Quando se simplifica uma expressão regular, obtêm-se sucessivamente expressões regulares equivalentes.

P d d li i t l t ú Para uma dada linguagem existe geralmente um número ilimitado de expressões regulares equivalentes.

3 2 Relação entre expressões regulares e linguagens regulares3.2. Relação entre expressões regulares e linguagens regulares

Para toda a linguagem regular existe uma expressão regular

Para toda a expressão regular existe uma linguagem regular.

3.2.1 Determinação de linguagens regulares a partir de3.2.1 Determinação de linguagens regulares a partir de expressões regulares

Uma linguagem é regular se for aceite por um DFA ou um NFA

Se se construir um NFA a partir de uma expressão regular r qualquer r denotará uma linguagem regular L(r)qualquer, r denotará uma linguagem regular L(r).

Para o provar recorre-se à definição recursiva de L(r)Para o provar, recorre se à definição recursiva de L(r),

aplicando as regras 1-3 para definir os elementos básicos e aplicando as regras 1 3 para definir os elementos básicos e

as regras 4-7 para as composições de elementos básicos.g p p ç

1º definem-se NFA para as expressões regulares primitivas

i) NFA aceitador de L1= : q qr= q0 q1

ii) NFA aceitador de L2= {}r= q0 q1

iii) NFA aceitador de L3= {a} r=a

q0 q1a

2º Ad i ã l2º Admitamos agora que temos uma expressão regular r e que o NFA que aceira L(r) é representado por M (r)

com o estado inicial q e o estado final q Note se que qualquercom o estado inicial q0 e o estado final qF. Note-se que qualquer NFA pode ser representado com um só estado final.

3º Temos NFA’s M(r ) e M(r ) que aceitam as linguagens3 Temos NFA s M(r1) e M(r2) que aceitam as linguagens L(r1) e L(r2) .

iv) L(r1+r2)

M (r1)

iv) L(r1+r2)

M (r1)

M (r2)

v) L (r1 r2 )) ( 1 2 )

M (r1) M (r2)

vi) L(r1*)

M (r1) M (r1)q0

Usando os autómatos anteriores como elementos construtivos é possível construir um NFA para qualquer expressão regular.possível construir um NFA para qualquer expressão regular.

Teorema 3.1. Se r é uma expressão regular, existe algum autómato finito não-determinísticoexiste algum autómato finito não-determinístico que aceita L(r).

Logo L(r) é uma linguagem regular.Logo L(r) é uma linguagem regular.

Exemplo

r = 1*

Exemplo

r = 1*

1 1 0 11

DFAq0 q0DFA

3.3.2. Determinação de expressões regulares a partir de3.3.2. Determinação de expressões regulares a partir de linguagens regulares

A toda a linguagem regular se pode associar um NFA e t t f d t i õportanto um grafo de transições.

P ti d d t d t d i h Partindo do estado q0, procuram-se todos os caminhos possíveis até ao estado final e as suas etiquetas.

É possível depois encontrar uma expressão regular que gere todas essas etiquetastodas essas etiquetas.

Para facilitar esta operação usam-se os grafos de transição Para facilitar esta operação, usam se os grafos de transição generalizados.

Grafos de transição generalizados:

as arestas podem ser etiquetadas por expressões regulares,

a etiqueta de um caminho desde o estado inicial até a um t d fi l é t ã d ti t d t destado final é a concatenação das etiquetas das arestas do

caminho, i.e, a concatenação de expressões regulares e portanto é uma expressão regularportanto é uma expressão regular,

as cadeias expressas por essa expressão regular são um as cadeias expressas por essa expressão regular são um subconjunto da linguagem aceite pelo grafo de transição generalizadogeneralizado,

a linguagem total será a união de todos os subconjuntos a linguagem total será a união de todos os subconjuntos gerados deste modo.

NFANFA

grafos de transição generalizados

expressões regulares

O f d NFA d id f li dO grafo de um NFA pode considerar-se um grafo generalizado :

Uma aresta etiquetada com um único carácter a interpreta-se como etiquetada pela expressão regular a,como etiquetada pela expressão regular a,

Uma aresta etiquetada por vários caracteres a,b, ..., interpreta-q p , , , pse como etiquetada pela expressão regular a + b + ....,

Pode-se assim afirmar que para toda a linguagem regular existe um grafo de transição generalizado que a aceita,

Por outro lado toda a linguagem aceite por um grafo generalizado é uma linguagem regular.

G f i l i lifi ã d fGrafos equivalentes – simplificação de grafos

Dois grafos são equivalentes se aceitam a mesma linguagemDois grafos são equivalentes se aceitam a mesma linguagem

qiq qj

a, b, c, d e e são expressões regulares quaisquer

Pode-se eliminar o estado q ??

, , , p g q q

Sim, desde que não se altere a linguagem ...

, q g g

q qjqiq qj

qi qi : ae*d

qi qj : ae*b

qj qi : ce*dqj qi : ce d

qj qj : ce*b

ce*bce*dae*d ce d ae d

qi qi : ae*dqi qj : ae*bqj qj : ce*bqj qj : ce bqj qi : ce*d

Este procedimento assegura que a linguagem aceite não é p g q g galterada

Num grafo com mais estados mais complicadoNum grafo com mais estados, mais complicado,

este é feito para todos os pares (q q ) em Q {q} antes- este é feito para todos os pares (qi , qj ) em Q – {q} antes de se remover q (i.e, todos os pares que estejam ligados a q).

T 3 2Teorema 3.2.Seja L uma linguagem regular. Então existe j g g guma expressão regular r tal que L = L (r).

Demonstração:

existe um NFA que aceita L, com um só estado final e tal que o estado inicial q0 não é estado final. Pode-se interpretar como um grafo de transição

li dgeneralizado

aplica-se-lhe o procedimento anterior de eliminar vértices q, até que se p p q, qfique apenas com o estado inicial e o estado final, obtendo-se o grafo da figura seguinte

q0 qfq0 qf

ã õ lr1 , r2 , r3 , r4 são expressões regulares

A linguagem aceite pelo grafo éA linguagem aceite pelo grafo é

* ( + * ) *r=r1* r2 ( r4 + r3 r1* r2) *

N d b f d i i i l bé éNo caso de se obter um grafo em que o estado inicial também é estado final,

q qq0 q

a expressão regular é

r = (r1* + (r2 r4* r3 ))*

d fr4r1

... de facto

qq0 qf

q q : (r * + (r r * r ))*

elimine-se q:

qf qf : (r1* + (r2 r4* r3 ))*

(r1* + (r2 r4* r3 ))*(r1 + (r2 r4 r3 ))

q qf r = (r4+ ))* =r4*q0qf ( 4 )) 4

= (r1* + (r2 r4* r3 ))*

q0 qf r = r1* r2 ( r4 + r3 r1* r2) *

Exemplo 0Introduz-se um estado inicial,

Exemplo 0

r4 = ( 0 + (11*0)(11*0)*0 )*Alicando agora o resultado geral r=(r4 + )* =r4*= r4

3.3. Gramáticas Regulares3.3. Gramáticas Regulares

Uma gramática G = (VT S P)

linear à direita se todas as

Uma gramática G = (V,T,S,P)

linear à esquerda se todas as linear à direita se todas as suas produções são da forma

linear à esquerda se todas as suas produções têm a forma

A xB,A x

A Bx,A x A x

A B V conjunto das variáveis x T* T conjunto dos símbolos terminais

A, B V, conjunto das variáveis, x T , T conjunto dos símbolos terminais

Uma gramática diz se regular se ela é ou linear à esquerda ouUma gramática diz-se regular se ela é ou linear à esquerda ou linear à direita

E l 1Exemplo 1

G ({S} { b} S P ) li à di itG1= ({S}, {a,b}, S, P1) , linear à direita

P : S abS | aP1 : S abS | a

Como derivar ababa ?Como derivar ababa ?

S abS ababS ababaS abS ababS ababa

Aplicando P1 sucessivamente obtém-se a linguagemAplicando P1 sucessivamente obtém se a linguagem (regular) denotada pela expressão regular

r=(ab)*a

Exemplo 2p

G2 =({S,A,B}, {a,b}, S, P2 } , linear à esquerda

P2 : S Aab,A Aab | BB a

Como derivar aababab ?

S Aab Aabab Aababab Bababab aababab

Aplicando P2 sucessivamente conclui-se que esta gramática gera a linguagem regular definida pela expressão regularg g g p p g

r=aab(ab)*

E l d á i ã lExemplos de gramáticas não-regulares

G ({S A B} { b} S P }G3 =({S,A,B}, {a,b}, S, P }

P: S A (i)P: S A , (i)A aB | , (ii)B Ab (iii)B Ab (iii)

tem umas produções lineares à direita (i ii) tem umas produções lineares à direita (i, ii) e outras lineares à esquerda (i, iii) e por isso é linear mas não regular e por isso é linear mas não regular

Nem todas as lineares são regulares.Nem todas as lineares são regulares.

3.3.2. Determinação das linguagens regulares a partir das gramáticas lineares à direitagramáticas lineares à direita.

Pode-se construir um NFA que imita as derivações daPode-se construir um NFA que imita as derivações da gramática linear à direita.

Uma forma sentencial tem uma e uma só variável que é o símbolo mais à direita.símbolo mais à direita.

A produção D dE resulta em p ç

ab...cD ab...cdE

b D b dEab...cD ab...cdE

Um NFA pode imitar esta produção se tiver um estado D e um estado E e entre os dois uma aresta etiquetada por d :um estado E e entre os dois uma aresta etiquetada por d :

dD EdD

Estados do autómato : variáveis das formas sentenciaisEstados do autómato : variáveis das formas sentenciais.

A parte da cadeia ab...c já processada foi obtida por construções semelhantes anteriores.

Teorema 3.3.

S j G (VT S P) á i li àSeja G = (V,T,S,P) uma gramática linear à direita. Então L(G) é uma linguagem regular.( ) g g g

Para o demonstrar constrói-se um NFA que imite as produções da gramática.

V = {V0,, V1 , ..., Vn } o conjunto das variáveis da gramática{ 0 1 n } j gS = V0

P : V0 v1Vi0 1 iVi v2Vj

…Vn vl

vi: sub-cadeias (um ou mais símbolos).

S é d i (G) d áSe w é uma cadeia em L(G), a sua produção será

V VV0 v1Vi v1v2Vj....

v1v2...vkVn v v v v = w

v1v2...vkvl = w

O NFA imita cada derivação “consumindo” um v de O NFA imita cada derivação consumindo um v de cada vez;

V0, Vi, Vj, ..., Vn são estados do autómato;

existem outros entre eles quando os v’s são cadeias com existem outros entre eles quando os v s são cadeias com mais de um carácter;

é preciso acrescentar o estado final.p

P d ãPara a produção:

V VVi a1a2a3...amVj

o NFA terá um caminho ligando V a V ou seja *(V V )o NFA terá um caminho ligando Vi a Vj, ou seja *(Vi, Vj) existe e será definida por

* (V a a a a ) = V* (Vi , a1a2a3...am) = Vj

Via1 am Vj

Para uma produção

Vi a1a2a3...am

a função de transição generalizada será o estado final Vf.

* (Vi, a1a2a3...am) = Vf

am Vfa2

Exemplo:

G = ( {S, A, B}, {a,b}, S, P ) S a A F b

P: S aA | aB ,A bB | b

A bB | b ,B aA | bB . B

Derivação da cadeia ababab : b

S aA abB abaA ababBababaA ababab

3.3.3. Determinação das gramáticas lineares à direita a partirç g pdas linguagens regulares

Prova-se que toda a linguagem regular pode ser gerada poruma gramática linear à direita:

constrói-se o DFA para a linguagem

os estados do DFA transformam-se nas variáveis da gramática

os símbolos produtores das transições são os terminais das produções.

Teorema 3 4 Se L é uma linguagem regular no alfabeto entãoTeorema 3.4. Se L é uma linguagem regular no alfabeto , então existe uma gramática linear à direita G = (V, , S ,P ) tal que

L=L (G)L L (G).

Demonstração com DFA:

Seja M = (Q, , , q0 ,F ) o DFA que aceita L, comQ= {q0 ,q1,...q }Q {q0 ,q1,...qn } ={a1, a2, ..., am}

i li di i ( ) l Construa-se a gramática linear à direita G = (V, , S, P), tal queV= {q0 ,q1,...qn }S = q0S q0

Para cada transição (qi, aj) = qk no DFA M , introduz-e em Pda produção qi ajqk

Se qk faz parte de F, acrescenta-se a P a produção qk

Se qk faz parte de F, acrescenta se a P a produção qk

Demonstração com DFA:Demonstração com DFA:

Linguagem

Gramática LDGramática LD

Demonstração com NFA:

Seja M = (Q, , , q0 ,F ) o NFA que aceita L, comQ= {q0 ,q1,...q }Q {q0 ,q1,...qn } ={a1, a2, ..., am}

C á i li à di i G ( S ) l Construa-se a gramática linear à direita G = (V, , S, P), tal queV= {q0 ,q1,...qn }S = q0S q0

Para cada transição (qi, aj) = qk no NFA M , introduz-e em Pda produção qi ajqk

Se existir também (qi, aj) = ql , introduz-e em P a produçãoqi ajql ou seja qi ajqk | ajqlqi ajql ,ou seja qi ajqk | ajql

Para cada transição (qi, ) = qk no NFA M , introduz-e em Pda produção qi qk

Se qk faz parte de F, acrescenta-se a P a produção qk

Se qk faz parte de F, acrescenta se a P a produção qk

Demonstração com NFA:Demonstração com NFA:

Linguagem

Gramática LDGramática LD

Diferente da que se obtém a partir q pdo DFA, mas equivalente.

Exemplop

Construir a gramática linear à direita para a linguagem L(aab*a)

bO NFA respectivo é

qfq0 q1 q2 qfq0 q1 q2

T i õ M P d õ GTransições em M Produções em G

(q0, a)={q1} q0 aq1

(q1, a)={q2} q1 aq2

(q2,b)={q2} q2 bq2(q2 ) {q2} q2 q2

(q2, a)={qf} q2 aqf

qf F qf

Exemplo:Construir a gramática linear à direita para a linguagemL(aab*a+aa+ab*a)

a a a q4q1 q2 q3

qq qq0

qfa q7q5 q6

T i õ M P d õ GTransições em M Produções em G

(q0, )={q1, q5} q0 q1| q5

(q5, a)={q6} q5 aq6

(q4, )={qf}

(q1, a)={q2} q1 aq2

(q2,a)={q3, q4} q2 aq3| aq4

(q6, b)={q6} q6 bq6

(q6,a)={q7} q6 aq7(q2 ) {q3 q4} q2 q3| q4

(q3, a)={q4} q3 aq4

q3 bq3 (q3, b)={q3}

(q6 ) {q7} q6 q7

(q7, )={qf} q7 qf

qf F qf

q3 q3 qf qf

3.3.4. Equivalência entre linguagens regulares e gramáticas regulares

P á i li à d bé d iPara as gramáticas lineares à esquerda também se pode enunciar o teorema de equivalência

Teorema 3.5. A linguagem L é regular se e só se existir uma gramática linear à esquerda G tal que L=L(G)gramática linear à esquerda G tal que L=L(G).

Podemos finalmente enunciar o teorema de equivalência entre linguagens regulares e gramáticas regulares:

Teorema 3 6 Uma linguagem L é regular se e só se existir umaTeorema 3.6. Uma linguagem L é regular se e só se existir uma gramática regular G tal que L=L(G).

3 4 Síntese das equivalências

Expressões regulares (ER)

3.4. Síntese das equivalências

Expressões regulares (ER)

Teorema TeoremaTeorema3.1

Teorema3.2

DFA ou NFA

TeoremaTeorema

Teorema3.3

Gramáticas regulares (GR)

Teorema 3.1. ER NFA

Teorema 3.2 LR ER (LR DFA GTG ER)

Teorema 3.3 Gramáticas lineares à direita LR

( Gramáticas lineares à direita NFA LR )

Teorema 3.4 LR Gramáticas Lineares à direita(LR DFA Gramáticas lineares à direita)

Bibliografia

An Introduction to Formal Languages and Automata Peter Linz 3rdAn Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rd Ed., Jones and Bartelett Computer Science, 2001

Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman, Addi W l 2001Addison Wesley, 2001.

Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos P di it i 2 d Ed P ti H ll 1998Papadimitriou, 2nd Ed., Prentice Hall, 1998.

Introduction to the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS P bli hi C 1997Publishing Co, 1997.

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