Clase7 Señales y sistemas discretos

Análisis de Sistemas Lineales

Procesamiento Digital de Señales (PDS en español, DSP en ingles)

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Procesamiento digital de señales

• Filtros Digitales: FIR-IIR-Adaptativos

• Transformada de Fourier – Análisis de Espectro

• Conversor A/D • Conversor D/A

Procesamiento de Señales

• Una señal es una función que representa una cantidad física o matemática, que contiene información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno

x(t) señal en tiempo continúox[n] señal en tiempo discreto (secuencia)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Señales

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(t)x[n]

quantización

Muestreo x(nTs)

Señal Analógica Señal Digital

Conversión A/D

ta = 1 / fa

Ts=1/fs

Muestreo de Señales

( ) cos(2 ) cos( )

Para una frecuencia de muestreo

[ ] cos(2 ) cos 2

[ ] cos 2

[ ] cos

x t ft t

fx n fnT n

x n Fn

Muestreo de una señal de tiempo continuo

Ejemplo 1

, Frecuencia digital en radianes

Como y como debe de existir frecuencias positivas y negativas, . Así:

• Representación: x[n] = {1, 3, 7, 5 11}

(señala la posición para n=0)

Secuencia

• Reflexión

• Escalamiento -10 -5 0 5 10

-10 -5 0 5 10-2

x[-n]x[n]

x(0.5t) x(2t)x(t)

Operaciones sobre las Señales

OPERACIONES SOBRE EL EJE DE TIEMPO

• Desplazamiento

-20 -10 0 10 20-1

... ... ...

x[n] x[n-n0]

x[n] y[n]=x[n-no]

Operaciones sobre las Señales

Propiedades de las Señales

• Señales Pares e Impares

Par: x(t) = x(t) , x[n] = x[n]

Impar: x(t) = x(t) , x[n] = x[n]

• Periodicidad

Tiempo Continúo: x(t) = x(t + T) Tiempo Discreto: x[n] = x[ n + N]

Secuencias Básicas

Dadas las constantes

reales y , definimos una

secuencia exponen-cial

como: . La exponencial será

decre-ciente en amplitud a

lo largo del tiempo siempre

que , mientras que será

creciente cuan-do . Para el

caso en que tenemos una

secuencia constante

Secuencias Exponen-ciales Reales

Para que x[n] sea periódica:

Periodicidad de una señal de tiempo discreto

Ejemplo 2

cos 2 cos 2 ( )

cos 2 2

Fn F n N

, Ω=2𝜋 𝐹=2𝜋𝑘𝑛

Así, para que exista periodicidad, F tiene que ser un numero racional y tiene que ser un numero racional multiplicado por 2π.

F: frecuencia digital (adimensional) con

-1/2 < F <1/2

: frecuencia angular digital en radianes con

Algunas observaciones respecto a las secuencias sinusoidales

• Aplicada a nuestro caso, se traduce en: siendo k una constante

entera. Sólo en el caso en que la frecuencia cumpla la anterior condición, nos encontraremos ante una secuencia sinusoidal periódica, de período N

• Nótese que una secuencia sinusoidal discreta puede proceder del muestreo de una señal continua. Dependiendo de cómo se efectúe este muestreo, los valores de las muestras seleccionadas en un período podrán coincidir (secuencia periódica) o no (secuencia noperiódica) con los valores elegidos en el resto de los períodos de la sinusoide continua.

• El conjunto de valores con constante entera, generan todos la misma secuencia sinusoidal:

Por tanto, a la hora de realizar un análisis frecuencial de la secuencia x[n] = , sólo necesitamos considerar el intervalo de frecuencias — < < .• Visto lo anterior, para un valor de cercano a 0, la sinusoide presentara pocas oscilaciones (frecuencia baja), mientras que para valores de cercanos a ± la sinusoide correspondiente oscilara rápidamente (frecuencias altas).

• Como conclusión, dada una sinusoide periódica de perıodo N , su frecuencia fundamental vendría dada por 2/N y solo existirá un

conjunto finito de N frecuencias armónicas, a saber: .

Ejemplo . Para la señal x[n] = cos(0.1), el numero de muestras por periodo es Graficando esta señal como en la figura A genera 20 vectores (N=20) por una vuelta (revolucion). Para la señal x[n] = cos(5), el numero de muestras por periodo es

Para , N no es un entero. Graficando esta señal como en la Figura B genera dos vectores (N=2) por cinco vueltas (). Comenzando en , los primeros dos vectores son y ; el proximo vector es el cual es el primer vector repetido. Para un ejemplo final, considere la señal . Entonces

y esta ecuacion es satisfecha para . Esta señal puede ser expresada como x[n] = cos(2)=1, por lo tanto la señal de tiempo disecreto es constante.

a) La secuencia ¿es periódica?b) ¿Existe un N, tal que x[n+N]=x[n]?

Debido a que “m” y “N” son números enteros, entonces o no puede asumir cualquier valor.

( )[ ] o o o oj n j n N j n j Nx n Ce e e e

2o N m 2

Ejemplo 3

• ¿Cuál es el período de la señal?

0.2 0.3

Las frecuencias digitales son :

12 0.2

32 0.3

Sus peridos son 10 20

El periodo común es por tanto ( , ) 20

j n j n

j F n j F n

x n e e

N MCM N N

Ejemplo 4

Ejercicios

1.Determine cual de las siguientes señales son periódicas:

a) x[n]=cos[π n] b) x[n]=cos[3 π n/2+ π] c) x[n]=1+cos[π n/2]

c) x[n]=-3 sin[0.01 π n] d) x[n]=sin[3.15n] e) x[n]=sin[3.15 π n]

2.Para cada señal, determine el periodo fundamental No, si la señal es periódica, en caso contrario, pruebe que no son periódicas.

a) x[n]=exp(j8 π n/7) b) x[n]=exp(j2 π n) c) x[n]=exp(j8n)

Ejercicios

1.Determine cual de las siguientes señales son periódicas:

a) x[n]=cos[π n] b) x[n]=cos[3 π n/2+ π] c) x[n]=1+cos[π n/2]

c) x[n]=-3 sin[0.01 π n] d) x[n]=sin[3.15n] e) x[n]=sin[3.15 π n]

2.Para cada señal, determine el periodo fundamental No, si la señal es periódica, en caso contrario, pruebe que no son periódicas.

a) x[n]=exp(j8 π n/7) b) x[n]=exp(j2 π n) c) x[n]=exp(j8n)

Escalón

Impulso

1, 0( )

( )( )

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t

( ) (0) ( )Ix t x t

Señales Básicas en Tiempo Continuo

1, 0[ ]

Secuencia Impulso

0 0 0[ ] ( ) ( ) ( )x n n n x n n n

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

......

k-3 k-2 k-1 k k+1 k+2 k+3 n

......

[n-k]1

Propiedad:

Señales Básicas en Tiempo Discreto

Secuencia Escalón

1, 0[ ]

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

......

k-3 k-2 k-1 k k+1 k+2 k+3 n

......

u[n-k]1

, 0[ ] [ ]

n nr n nu n

Secuencia Rampa

n k n kr n k

( )[ ] oj nx n C e

Secuencia Exponencial

[ ] nx n C

,oj n je C C e

Si m=1 y N=4

Si m=1 y N=8

x[0]=x[4]

x[0]=x[8]

x[1]x[2]

x[5]x[6]

Un sistema puede ser definido como un proceso que realiza la transformación de señales, relacionadas a través de una función de transformación T{.}

x(t) y(t)

x[n] y[n]

Definición de Sistemas

1) C a u s a l i d a d Un sistema es causal si su salida para cualquier instante de tiempo depende

solamente de los valores de las entradas en el tiempo presente y pasados

Causal: No Causal:

2) L i n e a l i d a d

Obedecen a dos propiedades:

Aditividad Homogeneidad

Corresponden a las propiedades que permiten el principio da superposición

2[ ] [ ] 2 [ 1]y n x n x n

[ ] [ ] [ 1]y n x n x n

Propiedades de los Sistemas

• Propiedad de Aditividad

nxnxTnyny

nxTny2121

T { }x1[n] y1[n]

T { }x2[n] y2[n]

T { } y[n]

• Propiedad de Homogeneidad:

– donde a es una constante arbitraria

naxTnaynxTny

x[n] T { }y[n]

ay[n]a

ay[n]x[n] T { }aax[n]

• Considerando las dos propiedades:

nbxnaxTnbynay

nxTny2121

T { } ay1[n]

T { } by2[n]

0 0y n T x n y n n T x n n

3) I nva r i a n za e n e l ti e m p o

Un sistema es invariante en el tiempo si para un desplazamiento en el tiempo de la señal de entrada, está causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.

Desplazamiento en la entrada

Desplazamiento en la salida

-2 -1 0 1 2 3 n

......

x[n] 1

-2 -1 0 1 2 3 n

......

y[n] 1

-2 -1 0 1 2 3 n

......

x[n-2] 1

-2 -1 0 1 2 3 n

......

y[n-2] 1

Desplazamiento en el tiempo n0=2

00 nnxTnnynxTny

4) M e m o r i a

a) Sistema con memoria Un sistema es con memoria, si su salida depende de los valores de las

entradas pasadas

b) Sistema sin memoria Solo depende del estado actual, n

5. I nv e r ti b i l i d a d

[ ] [ ] [ 1] [ 2]y n x n x n x n

[ ] [ ]y n ax n

6. B I B O E s ta b l e

Determinar si el sistema es invariante en el tiempo

[ ] sin( . [ ])

SOLUCION:

Para una entrada [ ] la salida del sistema es :

[ ] sin( . [ ]) (1)

Considerando una entrada [ ] [ ] , la salida es :

[ ] sin( . [ ]) sin(

y n a x n

x n x n n

y n a x n

. [ ] ) (2)

Para un desplazamiento de la salida [ ]

[ ] sin( . [ ]) (3)

Comparando (2) (3) :

[ ] [ ]

Por lo tanto el sistema es invariante en el tiempo

a x n n

y n n a x n n

y n y n n

Ejemplo 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

[ ] sin( . [ ])y n a x n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

Ejemplo 5

2 2 1 0

Determinar si el sistema es invariante en el tiempo

[ ] [ ]

SOLUCION:

Para una entrada [ ] la salida del sistema es :

[ ] [ ] (1)

Considerando una entrada [ ] [ ], la salida es :

[ ] [ ] [ ] (2)

Para un desp

y n nx n

x n x n n

y n nx n nx n n

lazamiento de la salida [ ]

[ ] ( ) [ ] (3)

Comparando (2) (3) :

[ ] [ ]

Por lo tanto el sistema es variante en el tiempo

y n n n n x n n

y n y n n

Ejemplo 6

Sistemas Lineales Invariantes

en el Tiempo (SLIT)

Formas de Representación

Una secuencia puede ser expresada en términos de una sumatoria de impulsos unitarios escalados y desplazados en el tiempo.

x[n]= …+7[n+2]+5[n+1]+3[n]+5[n1] +...

x[n]= …+x[2][n+2]+x[1][n+1]+x[0][n]+x[1][n1] +...

Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)

x [n ] = …+ x [ 2 ] [n+2 ] + x [ 1 ] [n+1 ] + x [ 0 ] [n ] + x [ 1 ] [n 1 ] + . . .

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

Escalados Desplazados

Formas de Representación

Respuesta al Impulso

T { }[n-k] hk[n]

Es la respuesta de un Sistema Lineal (SL) a un impulso localizado en el instante k.

knTnhk

T { }[n-k] hk[n]

Si el Sistema es Lineal e Invariante en el Tiempo (SLIT)

S.L.I.T

knhknTnhk

Respuesta al impulso del sistema:

T { }x[n] y[n]

Si x[n] es una secuencia representada por una suma de impulsos

kknkxnx

kknkxTny

kknTkxny

Linealidad

kk nhkxny

kknTkxny

Invariante en el Tiempo

kknhkxny

Relacion entre la respuesta al impulso y la respuesta al escalon unitario

En cualquier sistema LTI de tiempo-discreto, x[n], produce la respuesta ,y[n]. Luego la excitación x[n]-x[n-1] producirá la respuesta y[n]-y[n-1-].

Se sigue que la respuesta al impulso unitario es la primera diferencia hacia atrás de la respuesta a un escalón unitario y, inversamente, que la respuesta al escalón unitario es la acumulación de la respuesta al impulso unitario.

Donde s(n) es la respuesta al escalón unitario.

Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)Relacion entre la respuesta al impulso y la respuesta al escalon unitario

EjemploSuponga que la respuesta al escalón esta dado por

¿Cuál es la respuesta al impulso?

Respuesta:

y n x k h n k h k x n k

Conocida la respuesta al impulso h[n], es posible calcular la respuesta a cualquier señal de entrada, a través de la sumatoria de la convolución.Ejemplo

[ ]* [ ]y n x n h n h n x n

Sumatoria de la Convolucion

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

Convolución

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

Convolución

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

Calcular la convolucion de

Sumatoria de la ConvolucionEjemplo

Análisis de Sistemas Lineales

“Sistemas Descritos por Ecuaciones en

Diferencias”

Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias

Representación General

m entradasn salidas

y2 [n]...

SISTEMA

SISO: Simple Entrada-Simple SalidaMIMO: Múltiples Entradas-Múltiples SalidasSIMO: Simple Entrada-Múltiples Salidas

Ecuación en Diferencias General de un Sistema SISO, Lineal, Causal e Invariante en Tiempo

jkyaikxbky

ikxbjkya

][][][

escribir puede se 1a para

(Solución abierta de la ecuación en diferencias)

Ecuación en Diferencias Lineal (solución cerrada)

Solución Homogénea, yh[k]

También se conoce como:

Respuesta a Entrada Cero o Respuesta Natural

yZ i[k]

Solución Particular, yp[k]

También se conoce como:

Respuesta a Estado Cero o Respuesta Forzada

yz s[k]

y [k] = yh [k] + yp [k] = yZ i[k] + yZ S[k]

Solución Completa, yc[k]

a y k j b x k ijj

[ ] [ ]

Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)

i raiz la a asociada potencia una es k] donde

forma la atendr nosoluci La ltiples.um o simples

,conjugadas complejas o realesser pueden cuales la

rrr raices, N tiene noecuaci esta

auxiliar micaopolin noecuaci la define se

,...,,

jkyaky

rkrkkrrky

12 ,....,,,][

funciones m generan se

m, dadmultiplici con real r Raiz

simple real r Raiz

funciones de noiDeterminac

),...sin( ),cos( ),sin( ),cos(

),sin( ),cos( ),sin( ),cos(][

][ funciones m*2generan se

m, dadmultiplicicon conjugada compleja r Raiz)4

)sin( ),cos(][

][ funciones 2generan se

r simple, conjugada compleja r Raiz)3

][ funciones den oiDeterminac

kkkkkkkk

kkkkkkky

)9273.0sin(5)9273.0cos(52][

aser neaehomogn osoluci la entonces,

543 ,2son raices las

050378

aserauxiliar n oecuaci la

0]3[50]2[37]1[8][

de neaehomogn osoluci laHallar

1 EJEMPLO

9273.03,21

kAkAAky

kykykyky

kkkh AkAAky

kykykyky

aser neaehomogn osoluci la entonces,

3 ,2son raices las

012167

aserauxiliar n oecuaci la

0][12]1[16]2[7]3[

de neaehomogn osoluci laHallar

2 EJEMPLO

Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)

kykxqaqky

kxjkyaky

][][][

real tipo del noexcitaci una supone se si

bien o

auxiliar ecuacion la define se

sAeagskAkx

sAeskAkx

1agIm][

real ],[Im)sin(][

tipodel excitación una supone se si

real ],Re[cos][

tipodel excitación una supone se si

kykykyky

)5.0(26764

)5.0(850378

)5.0(8)50378]([

)5.0(8][50]1[37]2[8]3[

será particular solución la , en evaluando

será auxiliar ecuación la

de particular solución la Hallar

3 EJEMPLO

Ecuación en Diferencias Lineal (solución)

Solución Homogénea, yh[k] Solución Particular, yp [k]

y [k] = yh[k] + yp[k]

Solución Completa, yc[k]

a y k j b x k ijj

[ ] [ ]

kAkAAky

kykykyky

)5.0(26764

)9273.0sin(5)9273.0cos(52][

)5.0(26764

)9273.0sin(5)9273.0cos(52][

)5.0(8][50]1[37]2[8]3[

es completa solución la

es particular solución la

es homogénea solución la

de completa solución laHallar

4EJEMPLO

35666.0,05108.0,1886.2

5]2[,3]1[,2]0[

]2[],1[],0[

que doconsiguien

:caso este En

iniciales scondicione las cuenta en toman se

Aconstantes las determinar Para i

Ejercicio Torres de HanoiDibujar 3 torres y n discosa) ¿Cuántos movimientos son necesarios para trasladar n discos de una torre a otra, si

1. sólo se puede mover un disco cada vez, y

2. un disco no puede estar sobre otro menor?

y[0] = 0, y[1] = 1, y[2] = 3, y[n]=2y[n−1] + 1, n≥1.Podemos poner y[n]−2y[n−1] =u[n−1]. La ecuación característica es k−2=0, por tanto

yh[n]=C2nu[n−1].

La completa es y[n]=(C2n+D)u[n−1].

Como y[1] = 1 e y[2] = 3, solución completa y[n]=(2n−1)u[n−1]. 69

EJERCICIO 1Determine la solución completa de las ecuaciones en diferencias siguientes

ecuación

y[k] + 0.6 y[k-1] +0.08y[k-2]= 4 2

2 5y[k] + 0.6 y[k-1] +0.25y[k-2]= 4(0.4)k

y[k] + 0.6 y[k-1] +0.09y[k-2]= 4cos(k/3)

y[k] + 8y[k-1] + 80y[k-2]= x[k]+3x[k-1]x[k]= 3cos(pk/3)

y[k] + 6y[k-1] + 9y[k-2]= x[k]+3x[k-1]x[k]= 2k (0.4)k

Correlación de Señales

Correlación

Relación, Vínculo, Parentesco, Similitud

Correlación de SeñalesSimilitud temporal entre señales

𝑹𝒙𝒚 (𝒕)Correlación x, y Rxy(t)

Correlación Rxy(t) (Tiempo Contínuo)

(t) = x(t) y(t-t) dt

= x(t+t) y(t) dt

Señales: x(t), y(t)

Propiedad: (t) = (-t)

Autocorrelación de una señal x(t): Rxx(t)

(t) = x(t) x(t-t) dt

= x(t+t) x(t) dt

Correlación Rxy(m)

Rxy(m) = S x(n) y(n-m) n= -

n= S x(n+m) y(n)

x(n) =

n=0 0.81

y(n) =

n=-2 2.32

Rxy(m) =

Rxy(m) = Ryx(-m)

Autocorrelación Rxx(m)

Rxx(m) = S x(n) x(n-m) n= -

n= S x(n+m) x(n)

n= = Rxx(m) = Rxx(-m)

Rxx(t)

La autocorrelación es máxima para t =0 (n=0)

Correlación Rxx(m) de señales desfasadas en el tiempo

Rxy(t)

La autocorrelación es máxima para t = t (n=n*)

Autocorrelación Rxx(m) de señales periódicas

El periodo T aparece en la correlación

Rxx(t)

Periodo T (seg)

Aplicaciones de la Correlación

• Determinación de distancias

• Determinación de velocidades

• Determinación de frecuencias

• Determinación de periodicidad

• Determinación de usuarios

Determinación de Distancia

Aviónd

Rxx(t)

Señal emitida

Señal recibida

Correlación

Determinación de Velocidad

Rxy(t)

Señal rueda delantera

Correlación

Señal rueda trasera

Determinación de Frecuencia

Correlación

Señal recibida

Radar A Radar B

Señal periódica más ruido

Rxx(t)

Determinación de Usuarios (Telefonía Móvil)

x(t)Señal recibida por antena

Usuario B

Usuario A

Antena

Usuario Z

Código Usuario B

A(t) Código Usuario A

Código Usuario Z

Determinación de Usuarios (Telefonía Móvil)

Usuario B

Usuario A

Antena

Usuario Z

RxA(t)x - A

RxZ(t)

x - ZSeñal de usuario B

RxB(t)

Problema

Calcular la autocorrelación de la señal

x(n) = anu(n)

Problema

Hacer un programa en Matlab para calcular y graficar la correlación de dos señales x(n) , y(n).

Clase7 Señales y sistemas discretos

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