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Combinação de Elementos de Simetria
Apenas 22 combinações porque muitas combinações se repetem e algumas são impossíveis nos sistemas cristalinos.
Para descrever a simetria externa de qualquer cristal temos 32 grupos pontuais.
m 1 2 3 4 6 2 3 4 61 + 22 combinações
Combinação de um eixo de rotação com o centro de inversão
n + i
n
n/m
n impar
n par
Temos então 3 novos grupos pontuais.
2 + 1
4 + 1
6 + 1
Combinação de eixos de rotação
A combinação de apenas 2 eixos de simetria é impossível, pois se dois eixos se combinam pelo menos um terceiro eixo passará pelo ponto comum entre eles.
A Figura ao lado ilustra o triângulo esférico ( em vermelho) formado pelos eixos X, Y e Z na superfície de uma esfera.
Sabendo que x , y e z são os graus de giro dos eixos X, Y e Z respectivamente, pode ser demonstrado matematicamente que as combinações possíveis para X, Y e Z são: 222, 322, 422, 622, 432 e 233.
0o 540222
180 zyx
Z
X
Y
z/2 x/2
y/2
Como a soma dos ângulos do triângulo esférico (x/2, y/2 e z/2) deve ser maior que 180o mas não pode exceder 540o:
Através da aplicação da lei dos cosenos para triângulo esférico podemos obter os ângulos formados pelos eixos X, Y e Z
X Y Z X ^ Y X ^ Z Y ^ Z
2 2 2 90o 90o 90o
3 2 2 90o 90o 60o
4 2 2 90o 90o 45o
6 2 2 90o 90o 30o
4 3 2 54o44’ 45o 35o16’
2 3 3 54o44’ 54o44’ 72o32’
60o
90o
45o
30o
54o44’
54o44’ 54o44’
4 3 2
Perpendicular às faces
Diagonal de corpo
Guia do cubo
Meio de arestas opostas
Perpendicular às faces
Diagonal de corpo
2 3
Não tem simetria
Meio de arestas opostas
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