Complejidad Algoritmica

1Complejidad

Carlos Delgado KloosIngeniera TelemticaUniv. Carlos III de Madrid

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Comparacin

a long fib (int n) a long fibo (int {if (n

2Cmo medimos?

aMidiendo el tiempo de ejecucin (enaMidiendo el tiempo de ejecucin (en funcin del tamao de la entrada)No podemos probar con todas las entradasEs necesario implementar el algoritmoDepende del software y el hardware

aBusquemos otra medidaaBusquemos otra medidaMs abstractaMs fcil de obtener

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Cmo medimos?

aAsociamos a cada algoritmo: f(n)aAsociamos a cada algoritmo: f(n)aEmplearemos el caso peor para

caracterizar el tiempo de ejecucinaEs ms fcil de calcularaInteresa la velocidad de crecimiento del

tiempo de ejecucin en funcin del

Tamao de la entrada

tiempo de ejecucin en funcin del tamao de la entradaaComportamiento asinttico

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3Cmo medimos?

aAsociamos a cada operacin primitiva un tiempo aAsociamos a cada operacin primitiva un tiempo de ejecucin constante:AsignacinLlamada a mtodoOperacin aritmtica, etc.Indexacin en arraySeguir una referenciaVolver de un mtodoEtc.

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Ejemplo(en pseudocdigo)

aHallar el mximo de un arrayyaEntrada: un array A con n enterosaSalida: el elemento mayor de AaAlgoritmo: arrayMax(A,n)acurrent=A[0]for i=1 to n-1 do

if current

4Ejemplo(en pseudocdigo)

acurrent=A[0][ ]for i=1 to n-1 do

if current

5Notacin O

a7n-3 es O(n)a7n 3 es O(n)c=7, n0=17n-3 7n

a20n3+10n log n+5 es O(n3)a3 log n + log log n es O(log n)g g g ( g )a2100 es O(1)a5/n es O(1/n)

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Crecimientode funciones

log n n n n log n n2 n3 2nlog n n n n log n n n 21 1,4 2 2 4 8 4

2 2,0 4 8 16 64 16

3 2,8 8 24 64 512 256

4 4,0 16 64 256 4.096 65.536

5 5,7 32 160 1.024 32.768 4.294.967.296

6 8,0 64 384 4.096 262.144 1,8 * 1019

7 11,0 128 896 16.536 2.097.152 3,4 * 1038

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6Crecimientode funciones

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Tamao mximode un problema

Tiempo de 1 d 1 i t 1 hTiempo de ejecucin 1 segundo 1 minuto 1 hora

400n 2.500 150.000 9.000.000

20nlog n 4.096 166.666 7.826.0872n2 707 5 477 42 4262n 707 5.477 42.426

n4 31 88 244

2n 19 25 31

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7Actividad

aVer videoaVer videowww.youtube.com/watch?v=hM1x4RljmnE

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Ejemplo

aDado un array A de n nmerosaDado un array A de n nmerosaCalcular otro array B, tal que:

ij=0A[j]B[i]=

i+1

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8Solucin 1

afor i=0 to n-1 doa=0for j=0 to i do

a=a+A[j]B[i]=a/(i+1)

return B

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Solucin 1: Anlisis

aPartes:aPartes:Inicializar y devolver array B: O(n)Bucle i: se ejecuta n vecesBucle j: se ejecuta 1+2+3+...+n=n(n+1)/2

veces: O(n2)

aTotal:O(n)+O(n)+O(n2)= O(n2)Orden cuadrtico

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9Optimizacin

aB[i]=(A[0]+...+A[i])/(i+1)[ ] ( [ ] [ ])/( )aB[i+1]=(A[0]+...+A[i]+A[i+1])/(i+2)

aB[i+1]=(B[i]*(i+1))+A[i+1]/(i+2)

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Solucin 2

as=0for i=0 to (n-1) do

s=s+A[i]B[i]=s/(i+1)

return B

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10

Solucin 2: Anlisis

aPartes:aPartes:Inicializar y devolver array B: O(n)Inicializar s: O(1)Bucle i: se ejecuta n veces

aTotal:O(n)+O(1)+O(n)=O(n)Orden lineal

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