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Complementi ed esercizi di Fisica2O3: Circuiti in corrente alternata
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneL’autore inquadra il problema nella categoria dei circuiti puramente resistivi, e così sarà risolto. Simboli
0 15.0VΞ =8.20R = Ω10.4AR = Ω
Essendo il circuito puramente resistivo non c’è ragione di tirare in ballo funzioni complesse. L’impedenza totale è reale AZ R R= +La corrente del circuito
( ) ( )0 0sin sinA
I t tZ R R
ω ωΞ Ξ= =+
con ampiezza0
0A
IR R
Ξ=+
La potenza erogata all’altoparlante è( )2 2 2
0 sinA A AP R I R I tω= =
La potenza media (scritta in varie forme)
( )2 2 2 2 2 20 0 0
1 1sin2 2
A AA A A A eff eff
A A
R RP R I t R I R IR R R R
ω= = = = Ξ = Ξ+ +
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
Soluzione
Simboli0 1202eff VΞΞ = = (in Italia la tensione efficace di rete è 230V)
1 150P W=
2 150P W=
3 100P W= (a)Ciascuna lampadina è sottoposta alla tensione ( )0 sin tωΞ = Ξ e ad esse è erogata la potenza istantanea 1,2,3l lP I l= Ξ = . La potenza media erogata a ciascuna lampadina è (il circuito è resistivo, il fattore di potenza è 1) 1,2,3l eff l effP I l= Ξ = . Pertanto
_ 1,2,3ll eff
eff
PI l= =
Ξ(b)La resistenza
effl
eff
RI
Ξ=
(c) La resistenza equivalente di tre resistori in parallelo
1 2 3
11/ 1/ 1/eqR
R R R=
+ +
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
Soluzione 1 2 60.0 /rad sω π=
2 2 50.0 /rad sω π=
11
54.0 LL
XX L Lωω
= = Ω → =
0100 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ
L’ampiezza della corrente nell’induttore ( LZ Z= )0 0
02
IZ Lω
Ξ Ξ= =
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0 100VΞ =2 50.0 /rad sω π=
0 7.50I A=(a) Poiché l’ampiezza della corrente nell’induttore ( LZ Z= )
0 0 00
0
I LZ L Iω ω
Ξ Ξ Ξ= = → =
(b)
Sia 00 '
2II =
0 0 0 00
0 0
' ' 2 2' ' '
IZ L LI LI
ω ωω
Ξ Ξ Ξ Ξ= = → = = =
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
soluzioneSimboli
0 80.0VΞ =65.0 /rad sω π=
370.0 70.0 10L mH H−= =Intensità di corrente
( )( ) [ ]
2* 0 0 0
2 2 Im sin2
i ti te eI Z i L I t
Z L LLZ
πωω πω ω
ω ωω
− ÷ Ξ Ξ ΞΞ Ξ = = = − = = − ÷ Pertanto, per il calcolo della corrente all’istante assegnato si userà la formula
0 sin2
I tL
πωωΞ = − ÷
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
078.0 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ2 80.0 /rad sω π=
325.0 25.0 10L mH H−= =
a)LX Lω=
b)eff
effILω
Ξ=
c)
0 2 effI I=
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0120 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ2 60.0 /rad sω π=
Poiché la corrente è oscillante, anche il campo nell’induttore è oscillante e così anche il flusso
2 20 0
i t i t
B BLI LI e eπ πω ω − − ÷ ÷ Φ = = = Φ
La caduta di potenziale sull’induttore è uguale alla tensione di alimentazione, essendo l’induttore direttamente collegato alla sorgente (si veda figura problema precedente)
2 20 0 0
i t i ti tB
B B BddI dL e i e e
dt dt dt
π πω ωωω ω
− − ÷ ÷ ΦΞ = = = Φ = Φ = Φ
00 0 0
i t i tB Be eω ωω
ωΞΞ = Ξ = Φ → Φ =
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0120 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ31.00 1.00 10C mF F−= =
2 60.0 /rad sω π=L’informazione sull’energia all’istante t=0 dice che la dipendenza temporale per la f.e.m. è quella
del sin tω : l’energia del condensatore è ( )22
201 1 sin2 2
U tC C
ωΞΞ= = che è nulla quando t=0,
appunto.Seguendo, invece la procedura usuale, anche se in modo noiosamente ripetitivo
[ ]* 200 02 2
1 Im sin21
i t i teI Z i C e I C tZ CZ
C
πω ω πω ω ωω
ω
+ ÷ ΞΞ Ξ = = = = Ξ = Ξ + ÷ ÷ ÷
Dunque, la formula da usare per il calcolo della corrente è
0 sin2
I C t πω ω = Ξ + ÷
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0 48.0VΞ =33.70 3.70 10C mF F−= =
2 90.0 /rad sω π=
0 0 0sin2
I C t I Cπω ω ω = Ξ + → = Ξ ÷
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
soluzione
0 0 0sin 22 effI C t I C Cπω ω ω ω = Ξ + → = Ξ = Ξ ÷
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0 150VΞ =2 50.0 /rad sω π=40.0R = Ω
3185 185 10L mH H−= =665.0 65.0 10C F Fµ −= =
La relazione generale tra ampiezza della corrente e ampiezza della f.e.m. è0
0IZ
Ξ=
dove, per il circuito RLC (elementi in serie)2
2 1Z R LC
ωω
= + − ÷
La corrente è ( )0
i tI I e ω ϕ−=
( )0 0 0
i tR R RV Z I RI e V RIω ϕ−∆ = = ⇒ ∆ =
( ) 20 0 0 0
i ti tL L LV Z I i LI e LI e V LI
πω ϕω ϕω ω ω − + ÷− ∆ = = = ⇒ ∆ =
( ) 20 0 0 0
1 1 1i ti tC C CV Z I i I e I e V I
C C C
πω ϕω ϕ
ω ω ω
− − ÷− ∆ = = − = ⇒ ∆ =
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
SoluzioneSimboli
0180 ; 2eff effVΞ = Ξ = Ξ
09.00 ; 2eff effI A I I= =37.037.0180
radϕ π= ° =
(a)Si devono combinare le equazioni
22 22 20 0 0 0
00 0 0
1 1I Z R L R LZ I C I C I
ω ωω ω
Ξ Ξ Ξ Ξ = ⇒ = ⇒ + − = → + − = ÷ ÷ ÷
11
LCtg L R tg
R C
ωωϕ ω ϕ
ω
− ÷ = ⇒ − = ÷
Si ottiene
( ) ( )2
2 2 0 02
0 0
111
R tg RI Itg
ϕϕ
Ξ Ξ+ = → = ÷ +
b) Nota R si applichi
Reattanza ( ) 1L CX X L R tg
Cω ϕ
ω − = − = ÷
Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)
0120 ; 2eff effVΞ = Ξ = Ξ2 60.0 /rad sω π=20.0R = Ω
325.0 25.0 10L mH H−= =
a)0 0 0
01
2 2eff
effII I
Z Z ZΞΞ Ξ= ⇒ = = =
dove 2 2 2Z R Lω= +
b)Si rammenta che la formula della potenza erogata è coseff effP I ϕ= Ξ dove cosϕ è il fattore di potenza. In generale, si può scrivere
[ ][ ]
ImRe
Ztg
Zϕ = oppure
[ ]Recos
ZZ
ϕ = . Nella fattispecie 2 2 2cos R
R Lϕ
ω=
+
c)Con l’aggiunta di un condensatore
2
cos1
R
R LC
ϕω
ω
= + − ÷
Il fattore di potenza è uguale all’unità quando
2
1 10L CC L
ωω ω
− = ⇒ = ÷
d)Con l’inserimento del compensatore di fase, l’erogazione della potenza equivale a quella fatta ad un circuito resistivo
2effP
RΞ
=%
Sia 'effΞ il valore di tensione efficace cercato
2'' effP
RΞ
=
Si vuole che
2 2 2 22 2
2
' '' cos ' ' coseff eff
eff
effeff eff eff eff eff
R RP P IR R Z Z Z
ϕ ϕΞ Ξ Ξ
= ⇒ = Ξ ⇒ = ⇒ Ξ = Ξ ⇒ Ξ = Ξ
oppure
2 2 2'eff eff
RR Lω
Ξ = Ξ+
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