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Conceptos básicos de Geometría
Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO
CINVESTAV-Tamaulipas
15 de enero del 2013
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 1 / 25
1 Conceptos básicos de GeometríaGeometría AfínGeometría EuclidianaOrientación de puntosÁreas y ángulos
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Existen diferentes sistemas geométricos que pueden ser usadospara expresar algoritmos geométricos:
Geometría AfínGeometría EuclidianaGeometría ProyectivaGeometría Analítica
Durante el cuatrimestre trabajaremos principalmente conGeometría Afín y Euclidiana
Comenzaremos por definir algunos conceptos básicos de laGeometría Afín
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Una Geometría Afín consiste de:Un conjunto de escalares (números reales)Un conjunto de puntosun conjunto de vectores
Los puntos son usados para especificar posición
Los vectores son usados para especificar dirección y magnitud,pero no tiene posición fija en el espacio (en contraste con laálgebra lineal donde no hay distinción entre puntos y vectores)
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Las siguientes operaciones pueden ser efectuadas sobreescalares, puntos o vectores.
Las operaciones de Vectores son como las realizadas en álgebralineal
Es posible restar dos puntos
La resta de dos puntos p−q resulta en un vector dirigido de q a p.
También es posible sumar un punto a un vector p + v dando comoresultado que el punto sea trasladado por v de p
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Sea S un escalar, V un vector y P un punto, las siguientes son lasoperaciones legales en Geometría Afín:
S · V → V multiplicación escalar y vectorV + V → V suma de vectoresP − P → V resta de puntosP + V → P suma punto y vector
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
A partir de las operaciones anteriores es posible derivar muchasotras
Por ejemplo, se puede definir la resta de dos vectores ~u − ~v como~u + (−1) · ~v
O la división de un vector y un escalar ~v/α como (1/α) · ~v dadoque α 6= 0
Existe un vector especial ~0, llamado vector cero, el cual no tienemagnitud por lo tanto ~v + ~0 = ~v
No es posible multiplicar un punto por un escalar o sumar dospuntos juntos.
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Sin embargo, hay una operación que combina estos doselementos, llamada combinación afín
Dados dos puntos p0, p1 y dos escalares α0 y α1, tales queα0 + α1 = 1, la combinación afín se define como:
aff (p0,p1;α0, α1) = α0p0 + α1p1 = p0 + α1(p1 − p0)
El término de en medio de la ecuación no es una operación legalen Geometría Afín. Pero de esta forma es como se expresatípicamente la combinación afín (promedio ponderado de dospuntos)
El término derecho si es válido
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Es importante observar que si p0 6= p1 entonces el puntoaff (p0,p1;α0, α1) cae en la línea que une p0 y p1
Dado que α1 varia de −∞ a∞ éste traza todos los puntos enesta línea
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
En el caso especial donde 0 ≤ α0, α1 ≤ 1, aff (p0,p1;α0, α1) es unpunto que subdivide el segmento de línea p0p1 en dos segmentosde tamaños relativos α1 a α0
La operación resultante se llama combinación convexa
El conjunto de todas las combinaciones convexas traza elsegmento de línea p0p1
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín
Geometría Afín
Es fácil extender ambos tipos de combinaciones a más de dospuntos, al agregar la condición que la suma α0 + α1 + α2 = 1:
aff (p0,p1,p2;α0, α1, α2) = α0p0 + α1p1 + α2p2 =p0 + α1(p1 − p0) + α2(p2 − p0)
El conjunto de todas las combinaciones afines de 3 puntos (nocolineales) genera un plano
El conjunto de todas las combinaciones convexas de 3 puntosgenera todos los puntos del triángulo definido por los puntos
Éstos son llamados cerradura afín y cerradura convexa de lospuntos respectivamente
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
En Geometría Afín no existen algún medio para manejar losconceptos de ángulos y distancias
La Geometría Euclidiana es una extensión de la Geometría Afínque incluye una operación adicional, llamada producto interior
El producto interior mapea dos vectores de reales (no puntos) enun real no negativo
Un ejemplo de un producto interior es el producto punto
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
Supongamos que los vectores d-dimensionales ~u y ~v sonrepresentados por los vectores de coordenadas (no homogéneas)(u1,u2, . . . ,ud) y (v1, v2, . . . , vd)
Entonces el producto punto de ~u y ~v se define de la siguientemanera:
~u · ~v =d∑
i=1
uivi (1)
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
El producto punto sirve además para calcular otras identidades
La longitud de un vector ~v
‖~v‖ =√~v · ~v (2)
La normalización de un vector no negativo ~v , denotada v , sedefine como un vector de longitud unitaria que apunta en lamisma dirección que ~v
v =~v‖~v‖ (3)
La distancia entre puntos, denotada como dist(p,q) o ‖pq‖, es lalongitud del vector entre ellos ‖p − q‖
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Conceptos básicos de Geometría Geometría Euclidiana
Geometría Euclidiana
El ángulo entre dos vectores no negativos ~u y ~v (con un rangoentre 0 y π) es:
ang(~u, ~v) = cos−1(
~u · ~v‖~u‖‖~v‖
)= cos−1(u · v) (4)
A partir de esta ecuación es posible derivar fácilmente la ley decosenos
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Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
Existe una operación sobre los puntos que es análoga a lasoperaciones relacionales <, = y > con números
No parece haber una forma intrínsecamente natural paracomparar dos puntos en un espacio d-dimensional
Pero existe una relación, llamada orientación, entre (d + 1)-tuplasordenadas de puntos en un espacio d-dimensional
La orientación extiende la noción de relaciones binarias en unespacio 1-dimensional
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Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
Dada una tripleta ordenada de puntos < p,q, r > en el plano,decimos que tienen una orientación positiva si definen untriángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj
Tienen una orientación negativa si forman un triangulo en sentidode las manecillas del reloj
Y una orientación cero si son colineales (incluyendo el casodonde dos o más puntos son idénticos
Observemos que la orientación depende del orden en que lospuntos son dados
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Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
Orientaciónpositiva
Orientaciónnegativa
Orientacióncero
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Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
La orientación se define formalmente como el signo deldeterminante de los puntos dados en coordenadas homogéneas,es decir al agregar un 1 a cada coordenada
Por ejemplo, en el plano se define
Orient(p,q, r) = det
1 px py1 qx qy1 rx ry
(5)
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Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
Observemos que en el caso de un espacio 1-dimensionalOrient(p,q) es el resultado de q − p
Por lo tanto Orient(p,q) puede tomar 3 valores diferentes:Positiva si p < qCero si p = qNegativa si p > q
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 20 / 25
Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos
Orientación de puntos
Es importante resaltar que el signo de la orientación de unatripleta ordenada permanece sin cambio si los puntos sontrasladados, rotados, o escalados (por un factor positivo)
La transformación de una reflexión f (x , y) = (−x , y), cambia elsigno de la orientación
En general, al aplicar cualquier transformación afín a los puntosaltera el signo de la orientación de acuerdo al signo de la matrizusada en la transformación
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 21 / 25
Conceptos básicos de Geometría Áreas y ángulos
Áreas y ángulos
El determinante Orient(p,q, r) es igual al doble del área (consigno) del triángulo 4pqr (positiva si y negativa si �)
Por lo tanto el área del triángulo puede ser determinada al dividiresta cantidad por 2
En general, en un espacio d-dimensional el área de un símplex(un símplex o d-símplex es el análogo en d dimensiones de untriángulo) acotado por d + 1 puntos puede ser determinadatomando este determinante y dividiéndolo por d !
Dada la capacidad de calcular el área de cualquier triángulo (osímplex en dimensiones más grandes), es posible calcular elvolumen de cualquier polígono (o poliedro), dada una subdivisiónapropiada en estos elementos básicos
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 22 / 25
Conceptos básicos de Geometría Áreas y ángulos
Áreas y ángulos
En Geometría Euclidiana, el producto punto, la longitud y losángulos están relacionados.
Para un vector ~u el producto punto ~u · ~u es igual al cuadrado de lalongitud (o magnitud) de ~u
‖~u‖ =√~u · ~u (6)
De manera más general, si ~v es otro vector
~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ (7)
Por lo tanto, dados dos vectores, el ángulo θ entre ellos puedeencontrarse despejando la Fórmula 7
θ = cos−1(
~u · ~v‖~u‖‖~v‖
)(8)
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 23 / 25
Conceptos básicos de Geometría Áreas y ángulos
Áreas y ángulos
~v
θ
~u
‖~u‖ cos θ
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 24 / 25
Conceptos básicos de Geometría Áreas y ángulos
Áreas y ángulos
La desventaja del coseno es que no permite distinguir ángulospositivos de los negativos
Por otra parte el seno del ángulo θ = ∠pqr (el ángulo con signodel vector p − q al vector r − q) puede ser calculado así:
θ = sin−1(
Orient(q,p, r)‖p − q‖‖r − q‖
)(9)
Conociendo el seno y coseno de un ángulo podemos determinarsin ambigüedad dicho ángulo
Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 25 / 25
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