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CONEXIONES ENTRE MATEMÁTICAS Y FÍSICA EN LA INTERPRETACIÓN DE
GRÁFICAS DE LA CINEMÁTICA REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE
BACHILLERATO
INÉS DELGADO RODRÍGUEZ
Directoras de tesis
ANGELA MARÍA RESTREPO SANTAMARÍA – Universidad de los Andes
CÉCILE DE HOSSON – Université Paris Diderot (France)
Centro de investigación y formación en educación - CIFE
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
Concentración Ciencia Tecnología Ingeniería y Matemáticas - CTIM
BOGOTÁ D. C.
2015
2
CONEXIONES ENTRE MATEMÁTICAS Y FÍSICA EN LA INTERPRETACIÓN DE
GRÁFICAS DE LA CINEMÁTICA REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE
BACHILLERATO
Trabajo presentado como requisito para optar al título de Magíster en Educación
INÉS DELGADO RODRÍGUEZ
ANGELA MARÍA RESTREPO SANTAMARÍA
CÉCILE DE HOSSON
Directoras de tesis
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
CENTRO DE INVESTICACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN - CIFE
BOGOTÁ D.C., 2015
3
Contenido
Resumen ................................................................................................................................... 8
Introducción ............................................................................................................................. 9
Marco Teórico ........................................................................................................................ 13
1. |Aspectos generales sobre el Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) y el Movimiento
Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A).......................................................... 13
2. Análisis gráfico del movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) .................................. 14
3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A) .................................... 16
4. Estado del arte ............................................................................................................. 17
Metodología ........................................................................................................................... 23
1. Diseño metodológico .................................................................................................. 23
2. Participantes y contexto educativo ............................................................................. 23
3. Métodos de recolección de la información ................................................................. 24
3.1 El cuestionario. ........................................................................................................ 24
3.2 Proceso de construcción y evolución del cuestionario. ........................................... 26
3.3 Pensamiento en voz alta. .......................................................................................... 33
4. Plan de análisis........................................................................................................... 35
Resultados y discusión ........................................................................................................... 37
1. Conexión entre el concepto de velocidad y pendiente ................................................ 37
2. Interpretación de las gráficas de posición en función del tiempo para un Movimiento
Uniformemente Acelerado (Caída Libre) ....................................................................... 67
4
3. Conexiones entre la gráfica de posición en función del tiempo y la gráfica de velocidad en
función del tiempo, para un movimiento rectilíneo uniforme. ....................................... 72
Conclusiones .......................................................................................................................... 78
1. Reflexiones sobre la práctica docente ......................................................................... 80
2. Aportes del trabajo ...................................................................................................... 82
3. Limitaciones del trabajo y direcciones hacia nuevos trabajos .................................... 83
Referencias bibliográficas ...................................................................................................... 84
ANEXOS ............................................................................................................................... 86
5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Gráfica de posición en función del tiempo y velocidad en función del tiempo para un
Movimiento Rectilíneo Uniforme. ................................................................................................ 14
Figura 3. Situaciones planteadas en el cuestionario que permiten explorar la conexión entre el
concepto de velocidad y pendiente y las estrategias utilizadas. .................................................... 37
Figura 4. Resultados a la parte a de la situación No.1. ................................................................ 39
Figura 5. Momentos en los que se consideran que A y B tienen la misma velocidad. ................ 40
Figura 6. Respuestas al literal b de la situación No. 1. ............................................................... 45
Figura 7. Respuestas a la pregunta de la situación No.2. ............................................................. 50
Figura 8. Respuestas a la pregunta de la situación No.2. ............................................................. 56
Figura 9. Respuestas a la pregunta del literal b de la situación No.5 .......................................... 61
Figura 10. Respuestas a la pregunta de la situación No.4 ............................................................ 69
Figura 11. Respuestas a la pregunta del literal a de la situación No.5 ......................................... 73
6
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Adaptaciones realizadas a la gráfica tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee
(1986) ............................................................................................................................................ 27
Tabla 2.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002) ........... 28
Tabla 3.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002) ........... 30
Tabla 4. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002) .......... 32
Tabla 5. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002) .......... 33
7
LISTA DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Sección del cuestionario No. 7 ............................................................................... 55
Ilustración 2. cálculos realizados en el cuestionario No.1 para la situación No.5 ........................ 58
Ilustración 3. imagen tomada del cuestionario No. 19.................................................................. 71
8
Resumen
Este trabajo busca mostrar la interpretación que dan los estudiantes de grado décimo
(entre los 15 y 18 años) a algunas gráficas de la Cinemática, las conexiones que hacen entre los
conceptos de velocidad y pendiente, y las características de las gráficas en las que apoyan sus
interpretaciones. El estudio es de carácter cualitativo y su objetivo principal era el de indagar
acerca de los razonamientos que hacen los estudiantes al interpretar gráficas de posición en
función del tiempo y velocidad en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme
y Uniformemente Acelerado, a través de la aplicación de un cuestionario y el pensamiento en
voz alta. El estudio utilizó como estrategia de análisis la teoría fundamentada, encontrando que
los estudiantes hacen múltiples interpretaciones y que sus razonamientos están alejados del
análisis gráfico enseñado en las clases de Física, generando en consecuencia una reflexión acerca
de lo que los maestros conocen sobre las interpretaciones que hacen los estudiantes después de
sus clases de física y como esta información puede ser útil en la planeación de clases y el diseño
de estrategias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y la física.
9
Introducción
Desde hace varios cientos de años, el uso de las gráficas ha sido relevante para la Física.
El hecho, por ejemplo, de que “los discursos” de Galileo involucren dibujos que se pueden
considerar como gráficas de espacio-tiempo y que gracias a ellos Galileo descubriese leyes clave
del movimiento uniformemente acelerado, muestra que las gráficas han sido utilizadas para
establecer leyes a partir de valores experimentales.
Grosholz (1988) afirma que las matemáticas juegan un rol central en la descripción,
explicación y manipulación de fenómenos naturales y lo pone en evidencia a través de un estudio
de caso, en el que la física y las matemáticas están juntas. En el estudio de caso, Grosholz (1998)
muestra por ejemplo, como Galileo, Torricelli y Newton utilizan en sus razonamientos
geométricos-dinámicos diagramas que implican proporciones, e incluyen áreas, líneas curvas,
números, magnitudes infinitas e infinitesimales; y usan curvas, algunas veces trascendentales
para representar la relación continua y variable entre parámetros físicos incluyendo tiempo y
fuerza.
A nivel escolar, en el estudio de la Física se pueden desarrollar muchas habilidades, una
de ellas, es el trazado y la interpretación de gráficas. Pero para poder aplicar la poderosa
herramienta del análisis gráfico a la Ciencia, los estudiantes deben saber cómo interpretar las
gráficas en cuanto al tema de estudio representado. Los estudiantes deben ser capaces de elegir la
característica de la gráfica que contiene la información requerida y reconocer las relaciones que
puedan existir entre diferentes gráficas (McDermott, Rosenquist y van Zee, 1986).
Como una forma de promover que dicha capacidad se desarrolle en los colegios,
entidades como el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) y el
Ministerio de Educación Nacional (M.E.N) han planteado diferentes competencias y estándares
10
que apuntan hacia el desarrollo de esta habilidad. El Ministerio de Educación Nacional, a través
de los Estándares Básicos de Competencias, establece para el área de Ciencias Naturales, unas
acciones concretas referidas a la forma como el estudiante se aproxima al conocimiento como
científico natural. Por ejemplo, para grado séptimo plantea: “Verifico relaciones entre distancia
recorrida, velocidad y fuerza involucrada en diversos tipos de movimiento” (M.E.N, 2006,
p.137) y para grado décimo y once: “Utilizo las matemáticas para modelar, analizar y presentar
datos y modelos en forma de ecuaciones, funciones y conversiones”; “Comunico el proceso de
indagación y los resultados utilizando gráficas, tablas, ecuaciones aritméticas y algebraicas”
(M.E.N, 2006, p.140). De otra parte, el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación
(ICFES) señala dentro de las competencias en Ciencias Naturales: “Identifica las características
de algunos fenómenos de la naturaleza basándose en el análisis de información y conceptos
propios del conocimiento científico” (ICFES, 2014, p. 73).
Con base en estas orientaciones a nivel nacional, y asumiendo que se han tenido en
cuentas las anteriores competencias y estándares en la práctica docente, se podría esperar que un
estudiante de grado décimo y once haya desarrollado la habilidad de interpretar una gráfica de la
Cinemática utilizando los conceptos físicos y matemáticos fundamentales como lo son la
velocidad y la pendiente. Sin embargo, durante varios años de experiencia en enseñanza de la
Física en los grados décimo y once, he observado serias dificultades en los estudiantes para
interpretar gráficas relacionadas con el Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) y el
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A). Parecería que los estudiantes no
pueden extraer información de una gráfica y que cuando se trata de gráficas de posición en
función del tiempo las leen como si fueran representaciones gráficas de lo que observan y no
como una representación en donde se relacionan dos variables.
11
Por lo anterior y con el propósito de hacer un estudio sistemático sobre los errores en la
interpretación de gráficas y comprender el razonamiento que hacen los estudiantes durante éste
proceso, particularmente, en la interpretación de gráficas de posición en función del tiempo para
un M.R.U y un M.R.U.A, se desarrolló la presente investigación cuyo objetivo es identificar los
elementos matemáticos y características de una gráfica que utilizan los estudiantes en la
interpretación de gráficas de posición en función del tiempo para un M.R.U y un M.R.U.A, e
indagar si los estudiantes relacionan el concepto físico de velocidad con el concepto matemático
de pendiente cuando la gráfica corresponde a un M.R.U.
En este contexto se planteó la pregunta de investigación: ¿Cómo interpretan gráficas de
la Cinemática los estudiantes de grado décimo de un colegio público de Bogotá? Para
responder a la pregunta, se propusieron los siguientes objetivos:
Objetivo General:
Identificar cómo interpretan los estudiantes de grado décimo algunas gráficas de
cinemática.
Objetivos Específicos:
Identificar qué características de una gráfica de posición en función del tiempo son
asociadas al concepto de velocidad, específicamente, si el concepto matemático de
pendiente es asociado al concepto de velocidad para un M.R.U.
Identificar qué conexiones hacen estudiantes de grado décimo entre gráficas de posición
en función del tiempo y velocidad en función del tiempo, para un Movimiento Rectilíneo
Uniforme.
12
Identificar las relaciones que establecen los estudiantes entre la trayectoria descrita por un
objeto en movimiento y la gráfica que relaciona posición y tiempo para el mismo
movimiento.
13
Marco Teórico
A continuación se presentan aspectos generales sobre los dos tipos de movimiento que se
estudian en el bachillerato y en los cuales se enmarca el presenten trabajo: Movimiento
Rectilíneo Uniforme (M.R.U) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A)
y, los resultados de algunas investigaciones que se han dedicado las dificultades y errores de los
estudiantes en la interpretación de gráficas en el contexto de estos dos movimientos.
1. |Aspectos generales sobre el Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) y el Movimiento
Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A)
“Por la experiencia cotidiana se reconoce que el movimiento representa el cambio
continuo en la posición de un objeto” (Serway, 1993), pero los movimientos pueden ser muy
complejos, así que para su estudio se hacen algunas simplificaciones, despreciando algunas
variables, o idealizaciones. En nuestro caso, los objetos pueden considerarse como una partícula
o un punto material porque se está estudiando únicamente su movimiento de traslación a través
del espacio, entre otras consideraciones.
El movimiento de los objetos forma parte de un campo de la Física llamado Mecánica.
La Mecánica se divide en dos partes: Cinemática, la cual se dedica a la descripción de dicho
movimiento, y la Dinámica, que se dedica a las causas del movimiento y las relaciones entre
movimiento, las fuerzas y las propiedades de los objetos que se mueven. En este trabajo se tratan
situaciones relacionadas con la Cinemática, por lo que se hace necesario dar algunas
definiciones, como por ejemplo, las de desplazamiento y velocidad media.
El desplazamiento está definido como el cambio de la posición de la partícula, si el
cambio de posición se realiza sobre un eje coordenado, por ejemplo, el eje horizontal x, lo
14
podemos expresar como . La velocidad media, en un eje horizontal x, se define como la razón
de su desplazamiento y el intervalo de tiempo
2. Análisis gráfico del movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)
Un movimiento cuya trayectoria sea rectilínea y posea velocidad constante recibe el
nombre de Movimiento Rectilíneo Uniforme. Las gráficas que relacionan la posición en función
del tiempo y la velocidad en función del tiempo, para este tipo de movimiento se muestran a
continuación:
Figura 1 Gráfica de posición en función del tiempo y velocidad en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Si se emplea la variable x para representar la posición del objeto y se usa la definición de
la pendiente de una recta, para la primera gráfica obtenemos que:
Al comparar la definición de velocidad media y pendiente de la recta observamos que la
velocidad es igual a la pendiente de la recta en la gráfica de posición en función del tiempo para
un M.R.U. Aquí, se encuentra justamente uno de los puntos centrales de este trabajo.
15
Con base en más de 15 años de experiencia como docente de bachillerato en las
asignaturas de Física y Matemáticas y como se puede evidenciar a diferentes libros de texto, se
puede afirmar que durante el bachillerato, normalmente en grado noveno, en las clases de
matemáticas se aborda el tema de funciones y gráficas que como lo señalan Leinhardt, Zaslavsky
y Stein (1990) representan uno de los primeros puntos en matemáticas en el que un estudiante
utiliza un sistema simbólico para ampliar y comprender a otro. En este grado, los estudiantes
aprenden sobre diferentes tipos de gráficas y funciones siendo la función lineal y la línea recta
uno de los temas obligatorios; al abordar ésta temática, los alumnos aprenden el concepto y la
forma algebraica de calcular la pendiente de una recta en un contexto puramente matemático.
Sin embargo, en un intento por mostrar las conexiones y aplicaciones que dicho concepto
tiene en las Ciencias Naturales, los profesores toman el caso del movimiento rectilíneo uniforme
y enseñan que la pendiente de la recta, en la gráfica de posición en función del tiempo,
corresponde justamente a la velocidad del objeto en este tipo de movimiento. Leinhardt et al.
(1990) afirman que a veces el enfoque matemático incorpora aplicaciones del mundo real, a
menudo tomados del mundo de la ciencia y que estas aplicaciones a menudo están diseñadas
para profundizar la comprensión de los conceptos matemáticos más abstractos y tal vez para
aumentar la motivación de los estudiantes, dando significado relevante y familiar a los problemas
que resuelven.
Luego, en las clases de Física de grado décimo, se enseña el concepto de velocidad media
y se estudia uno de los tipos más sencillos de movimiento, el movimiento rectilíneo uniforme; se
hacen experiencias y prácticas de laboratorio en donde se hace un trabajo de construcción de la
gráfica de posición en función del tiempo y velocidad en función del tiempo y, se vuelve a
16
enseñar que la pendiente de la recta obtenida al relacionar la posición en función del tiempo
corresponde justamente a la velocidad media del objeto.
Teniendo en cuenta que los conceptos de pendiente y velocidad media se han estudiado
en dos cursos diferentes y que se ha mostrado la relación entre ellos, se espera que el estudiante
establezca dicha conexión y se haya familiarizado con las gráficas cinemáticas de posición en
función del tiempo y velocidad en función del tiempo.
Sin embargo, los resultados de diferentes investigaciones reportan resultados contrarios,
poniendo en evidencia dificultades en la interpretación de éstas gráficas (figura 1), y desconexión
entre los conceptos de velocidad y pendiente. Los hallazgos de algunas de las investigaciones,
que se relacionan directamente con el presente trabajo, se presentan en el estado del arte.
3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A)
La caída libre es un caso particular de este tipo de movimiento y se constituye es un tema
de estudio en grado décimo. En un M.R.U.A el objeto describe una trayectoria rectilínea pero
varía su velocidad uniformemente. Cuando se relaciona la posición en función del tiempo se
obtiene la siguiente gráfica de posición en función del tiempo.
.
Figura 2. Gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
17
Es importante resaltar que aunque la trayectoria es rectilínea, la gráfica que relaciona la
posición y el tiempo es una curva y en este caso, la velocidad corresponde a la pendiente de la
recta tangente a la curva en un punto. También es importante hacer notar que para construir esta
gráfica, y en general en toda gráfica, se ha elegido previamente un sistema de referencia
particular lo que implica haber adoptado una convención con respecto a ejes coordenados,
signos, variables, escala y para su interpretación es importante ser consciente de que esta
representación es un modelo matemático en donde se han relacionado dos variables y no
corresponde a la representación “fotográfica” del movimiento. En consecuencia, se espera que
un estudiante sea capaz de reconocer que esta gráfica (figura 2) no corresponde a la trayectoria
descrita por el objeto sino que representa una relación entre dos variables.
La interpretación de esta gráfica (figura 2) se constituye en otra parte esencial del objeto
de estudio de esta investigación ya que durante los diferentes años de experiencia como docente
de física he notado que se interpreta de manera inapropiada.
4. Estado del arte
El anterior apartado presentó algunas generalidades sobre dos tipos de movimiento, su
representación y análisis gráfico, los cuales se enseñan durante el bachillerato por lo que se
espera hayan sido aprendidos por los estudiantes. Sin embargo, en este trabajo y en diferentes
investigaciones sobre el desempeño de los estudiantes en torno a la interpretación de gráficas, los
conceptos matemáticos y físicos fundamentales involucrados en la descripción de estos
movimientos y las conexiones que se establecen entre conceptos físicos y matemáticos, ponen en
evidencia dificultades y errores en dichos aspectos.
El estudio de estas dificultades no es nuevo y ha sido explorado por una gran cantidad de
autores, entre ellos, McDermott, Rosenquist & van Zee (1987); Flores, Bello & Millán (2002); y
18
Bell & Janvier (1981); Leinhardt, Zaslavsky & Stein (1990) y Planinic, Milin-Sipus, Katic,
Susac & Ivanjek (2012).
McDermott et al. (1987) estudiaron dos categorías de dificultades: dificultades en
conectar gráficas a conceptos físicos y dificultades en conectar gráficas al mundo real. Con
respecto a la primera categoría (que es en la que se enmarca este trabajo), los autores reportaron,
entre otros hallazgos, que:
En una gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme,
los estudiantes asocian la velocidad del objeto en un punto dado con el valor de la ordenada
de dicho punto (altura de la gráfica), desconociendo que la información de la velocidad se
obtiene a partir de la pendiente de la recta que relaciona posición y tiempo.
Los estudiantes no pueden relacionar un tipo de gráfica con otro, es decir, no puede ir de una
gráfica de posición en función del tiempo a una gráfica de posición en función del tiempo. En
particular, no pueden trazar una gráfica de velocidad en función del tiempo a partir de una
gráfica de posición en función del tiempo.
En gráficas de posición en función del tiempo que no son líneas rectas sino curvas, los
estudiantes presentan mayor dificultad para identificar cambios en la velocidad media. En
lugar de buscar esos cambios, en los cambios que tiene la pendiente de la recta tangente a la
curva, se concentran en los cambios en la altura de la gráfica, es decir, se concentran en los
cambios en la ordenada.
Para una situación en la que los estudiantes deben referirse tanto a una gráfica como a su
descripción, los alumnos presentan fallas que pueden indicar la falta de atención a los
detalles dados en la descripción del problema y el uso memorístico de un algoritmo.
Específicamente, para una situación en la que se debe hallar la aceleración uniforme de un
19
objeto, dada una gráfica de velocidad en función del tiempo y la descripción del problema,
algunos estudiantes, en lugar de calcular la pendiente de los segmentos de recta para unos
intervalos de tiempo y asociarla con la aceleración, dividen las coordenadas de los puntos a
los que hace referencia la situación; es decir, no reconocen la diferencia entre la razón
y la
razón
. Además, un gran número, de los estudiantes que calculan la aceleración usando la
pendiente, son incapaces de relacionarla correctamente a la situación planteada.
Los estudiantes tienen dificultades para interpretar el área bajo la curva de una gráfica de
velocidad en función del tiempo y poder extraer información de ella.
Flores et al.(2002) examinaron las concepciones alternativas que tienen los estudiantes y
profesores sobre las gráficas cartesianas del movimiento físico, en particular las relativas a la
velocidad y a la trayectoria. Dentro de los hallazgos reportados se encuentran que:
Cuando se pide escoger el intervalo de tiempo en el que un objeto tiene mayor velocidad
media, ̅, (en una gráfica de distancia en función del tiempo para un Movimiento
Rectilíneo Uniforme compuesta de varios segmentos de recta), los estudiantes eligen,
mayoritariamente, el intervalo de tiempo en el que se encuentra un segmento de recta
horizontal paralelo al eje de las t, quizá interpretando la gráfica como el corte transversal
de una carretera que cuando es plana el automóvil debe desplazarse con mayor
velocidad; el segmento rectilíneo de mayor longitud de la gráfica o el intervalo al que le
corresponden las ordenadas de mayor altura; en lugar de seleccionar el intervalo de
tiempo en el que el segmento de recta tiene mayor pendiente. (Flores, Bello y Millán,
2002, p.237).
20
Cuando se pide estimar la velocidad media de un objeto para ciertos intervalos de tiempo
(dada una gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme,
compuesta de varios segmentos de recta) es notoria la dificultad de asociar la velocidad media
con la pendiente del segmento de recta correspondiente al intervalo de tiempo indicado. Por
ejemplo: en casos donde hay un segmento de recta paralelo al eje de las t, los estudiantes operan
los valores extremos o el medio del intervalo de tiempo con la ordenada constante para estimar la
velocidad; o le asignan a la velocidad media el valor de la ordenada de alguno de los extremos
del intervalo, en lugar de asociar la velocidad media con la pendiente del segmento de recta. En
donde hay segmentos de recta con pendiente positiva, algunos estudiantes, asocian la velocidad
media con la ordenada del extremo superior del intervalo de tiempo y otros, operan con la mayor
ordenada y su correspondiente abscisa para estimarla, desconociendo que para hallarla ( ̅) debe
calcular la razón entre el cambio de posición ( ) y el tiempo transcurrido ( ); es decir, aplicar
la relación ̅
. Finalmente, en donde hay segmentos de recta con pendiente negativa, los
estudiantes realizan diferentes cálculos o asociaciones para estimar la velocidad. Por ejemplo,
“dividen la magnitud de la ordenada mayor entre el extremo mayor del intervalo de tiempo”
(Flores, Bello y Millán, 2002, p.233); o asocian la velocidad con ordenadas intermedias del
intervalo dado; sin embargo, ningún estudiante insinúa siquiera que la velocidad sea negativa. En
general, se aprecia la tendencia a “interpretar la velocidad como el valor de la ordenada mayor
en el intervalo tiempo en cuestión” (Flores, Bello y Millán, 2002, p.233).
Respecto a la posibilidad de que dos gráficas, una de coordenadas tiempo-distancia y otra
coordenadas tiempo-velocidad, referidas al movimiento rectilíneo uniforme, puedan representar
al mismo movimiento la cantidad de respuestas fueron muy equilibradas para el sí y para el no en
21
los estudiantes y profesores de secundaria y en estudiantes de preparatoria, los estudiantes
universitarios y profesores de preparatoria mayoritariamente opinaron que no. La tendencia
apunta que a mayor nivel educativo corresponden concepciones menos consistentes acerca de la
posibilidad de que representaciones gráficas tiempo-distancia y tiempo-velocidad modelen un
mismo movimiento (Flores, Bello y Millán, 2002, p.237).
La gran mayoría, tanto de estudiantes como de profesores que contestaron el cuestionario,
asocian la gráfica cartesiana que se asemeja a la trayectoria para el caso de la caída libre de los
cuerpos, este dato es sintomático de la concepción que equipara a la trayectoria del movimiento
físico con la gráfica cartesiana del mismo. (Flores, Bello y Millán, 2002, p.237). Bell & Janvier
(1987) afirman que a pesar de que el tema ha sido estudiado, inclusive en la escuela primaria, los
estudiantes de secundaria son débiles en la habilidad para interpretar características físicas
generales así como para extraer información acerca de situaciones científicas.
Leinhardt et al. (1990) hacen un resumen de las investigaciones y teorías relacionadas
con la enseñanza y el aprendizaje de las funciones, gráficas y el proceso de construcción de una
gráfica, en edades entre los 9 y los 14 años desde el punto de vista matemático. En el recorrido
que hacen por los diferentes autores se muestra como este tema es tan complejo que abarca
disciplinas como la psicología cognitiva, la educación matemática y las mismas matemáticas;
este recorrido, le permitió a la presente investigación ampliar la comprensión del tema desde el
punto de vista matemático en aspectos como: la misma definición de funciones y gráficas, las
demandas cognitivas para el estudiante, las estrategias para superar las dificultades en su
construcción y representación, entre otras.
Leinhardt, Zaslavsky & Stein (como se citó en Planinic et al. 2012) clasificaron las
dificultades de los estudiantes en tres categorías: confusiones entre un punto y un intervalo,
22
donde los estudiantes se concentran en un solo punto en lugar de un intervalo; confusiones entre
pendiente y altura donde los estudiantes confundieron la altura de la gráfica por la pendiente, e
interpretación de la gráfica como un dibujo. Como se mostrará en los resultados, algunas de
estas dificultades también se evidenciaron en la presente investigación.
Planinic et al. (2012) refieren que hay diferencias en la comprensión de la pendiente de
una recta en el contexto de la cinemática y las matemáticas. Según estos investigadores, la
estimación e interpretación de la pendiente de una recta en un contexto físico presenta mayor
dificultad para los estudiantes que en contextos matemáticos. Además reportan que al parecer la
falta de conocimiento matemático no es la principal razón para que los estudiantes tengan
dificultades con las gráficas en Cinemática (este hallazgo también es reportado por McDermott,
Rosenquist & van Zee (1987)) y, que los estudiantes presentan confusión entre altura y pendiente
en ambos contextos pero con mayor frecuencia en el contexto de la física contradiciendo lo que
la mayoría de un grupo de profesores predijo con respecto a este último aspecto.
23
Metodología
1. Diseño metodológico
Este trabajo corresponde a una investigación de tipo exploratorio que pretende poner en
evidencia los conocimientos utilizados por los estudiantes de grado décimo al interpretar gráficas
cartesianas de posición en función del tiempo. Este estudio no busca establecer niveles de
desempeño, ya que surge de la necesidad de escudriñar, en la medida de lo posible, el
pensamiento de los estudiantes; en otras palabras, surge de la necesidad de conocer, con cierto
nivel de profundidad, el razonamiento que hacen los alumnos al interpretar gráficas de posición
en función del tiempo y gráficas de velocidad en función del tiempo para un Movimiento
Rectilíneo Uniforme.
2. Participantes y contexto educativo
El colegio Técnico Industrial Piloto es una Institución Educativa de carácter técnico y
oficial ubicado en el barrio Fátima, al sur de Bogotá; cuenta con cuatro sedes y tres jornadas para
un total de 5000 estudiantes aproximadamente. Los estudiantes pertenecen a los estratos
socioeconómicos 1 y 2 y participan en diferentes actividades relacionadas con el área técnica y el
programa 40x40.
La investigación contó con la participación de 90 estudiantes de grado décimo (entre 15 y
18 años) del Colegio Técnico industrial Piloto, quienes a través de consentimientos informados
(anexo 3) autorizaron la participación en la investigación, garantizándoles que sus nombres se
mantendrían en el anonimato. La participación de los estudiantes no estuvo sujeta a ningún tipo
de incentivo y contó con la participación de niñas y niños en aproximadamente los mismos
porcentajes.
24
Además contó con el apoyo del maestro titular de la clase de física, la coordinadora
académica, y los padres de familia, quienes también autorizaron la realización de la investigación
a través de consentimientos informados (ver anexo 4).
3. Métodos de recolección de la información
La recolección de los datos cualitativos se hizo a través de tres métodos: cuestionarios,
por considerarlo “una manera estructurada de obtener información acerca de las ideas previas”
(Mora y Herrera, 2009, p.76); entrevistas y pensamiento en voz alta. A continuación se
explicarán aspectos relacionados con cada método.
3.1 El cuestionario.
Este instrumento sirve para destacar dificultades en la interpretación de gráficas y dar
respuesta a las preguntas de investigación. Fue inspirado en algunos de los referentes teóricos, ya
que en ellos se encontraban situaciones muy interesantes que permitían explorar aspectos
directamente relacionados con los objetivos de esta investigación. La descripción completa del
instrumento y su construcción se explica en el siguiente apartado.
Su validación se hizo a través de pares, investigadores y una prueba piloto, la cual se
realizó con 112 estudiantes de grado once. Su aplicación y estudio permitió identificar aspectos a
mejorar (ortografía, refinamiento de las gráficas) y puso en evidencia dificultades de los
estudiantes en la interpretación de gráficas que no estaban contempladas como objeto de estudio
en este trabajo como, por ejemplo, confundir un intervalo y un punto, lo que condujo a que en
una de las situaciones del cuestionario final se ofrecieran cuatro opciones de respuesta, en lugar
de dejar la pregunta totalmente abierta.
Los resultados de la prueba piloto también dejaron ver que las justificaciones de los
estudiantes, en algunos casos, eran insuficientes o poco claras, y por lo tanto era necesario
25
aplicar técnicas adicionales como el think aloud o las entrevistas. Luego, durante la presentación
de los avances de este trabajo en las clases de Tesis 2, una de las expertas sugirió que sería
interesante incluir al cuestionario la relación matemática y la definición de velocidad media por
ser uno de los conceptos básicos que subyacen en todo el instrumento. El propósito de hacer esta
inclusión era garantizar que el estudiante tuviera este registro en caso de que lo necesitara y así
evitar que la falta de la ecuación llegara a ser un impedimento para la interpretación de las
gráficas. Cuando se remitió la sugerencia a las directoras de este trabajo, surgió la hipótesis de
que este registro matemático no iba a causar mayores diferencias en la interpretación de la
gráficas por lo que se tomaron dos decisiones 1) incluir la definición y ecuación de la velocidad
media al 50% de los cuestionarios 2) seleccionar de forma aleatoria (utilizando una función de
excel) a los estudiantes que iban a recibir el cuestionario con este registro adicional para evitar
cualquier sesgo en la distribución de los cuestionarios.
El instrumento con el cual se recolectaron los datos para este trabajo fue aplicado a 90
estudiantes de grado décimo (45 de los 90 cuestionarios incluían la definición y ecuación de la
velocidad media) que quisieron participar en la investigación; tres de ellos, resolvieron el
cuestionario de forma oral y a primera vista (think aloud) y los demás de forma escrita.
El cuestionario está conformado por cinco situaciones. Cada una de ellas tiene una
gráfica y un texto corto que sirven como referente para dar respuesta y explicación a una
pregunta concreta. Después de la aplicación escrita del cuestionario, se hizo una revisión de los
resultados y se seleccionó una muestra representativa de seis estudiantes para participar en un
think aloud (ya no a primera vista sino sobre sus respuestas iniciales) y en una entrevista
individual (inmediatamente posterior al think aloud).
26
3.2 Proceso de construcción y evolución del cuestionario.
El proceso de construcción del cuestionario inició con la selección de las situaciones a ser
incluidas. Para ello se tuvo en cuenta que: (a) apuntaran a los objetivos de esta investigación, (b)
se enmarcaran en conceptos estudiados por los alumnos de grado décimo, (c) el grado de
complejidad de la situación propuesta estuviera acorde al nivel de estudios en el que se
encontraban los alumnos y (d) no fuera indispensable el uso de ecuaciones para su solución.
Con base en los anteriores criterios, se seleccionaron y adaptaron cinco situaciones. La
primera fue tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986) y las demás de Flores, Bello y
Millán (2002). Sin embargo, a todas las situaciones se le hicieron ajustes para adaptarlas a los
objetivos de investigación y al contexto; asimismo, se tuvo en cuenta la retroalimentación hecha
por pares, expertos en contenido e investigadoras, y los resultados de la prueba piloto. Algunos
de estos ajustes fueron generales como, por ejemplo, colocar una cuadrícula de fondo y una
escala numérica a los ejes coordenados para facilitar la lectura de cualquier pareja ordenada y
evitar que algunos estudiantes tuvieran complicaciones por el uso exclusivo de variables, como
sucede en las situaciones propuestas por Flores, Bello y Millán (2002).
A continuación se muestra en detalle las adaptaciones particulares realizadas a cada
situación durante las dos etapas del proceso (prueba piloto y prueba final) de construcción del
instrumento y su evolución.
Situación No.1
El enunciado de esta situación es:
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se están
moviendo a lo largo de una recta horizontal.
27
a. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad? Si es así, ¿en qué
momento la tienen? Explica tu respuesta.
b. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del objeto A ¿es más grande, más
pequeña o igual a la velocidad del objeto B? Explica tu respuesta.
Esta situación fue tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986); la gráfica se
adaptó para este trabajo como se muestra en la tabla1 pero el enunciado siempre se mantuvo
igual porque permite conocer cuál es la característica de la gráfica que se escoge para determinar
la velocidad.
McDermott,Rosenquist
y van Zee(1986)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 1. Adaptaciones realizadas a la gráfica tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986)
De acuerdo con la tabla 1 se observa que se hicieron adaptaciones de forma con el
propósito de darle mayor claridad a la gráfica. Sin embargo hay que destacar algunos ajustes.
Para la prueba piloto no se tomó exactamente la gráfica original porque, a pesar de que ella
contiene una escala numérica, no es frecuente en nuestro contexto que la gráfica se presente
como sí estuviera dentro de un cuadro, por ello y pensando en la posibilidad de que esto fuera
una fuente de confusión se dejó la gráfica como habitualmente se hace en clase.
28
Durante el análisis de los resultados del piloto se encontró que era inconveniente: (a)
resaltar puntos en los extremos de las rectas porque eran interpretados como si el movimiento
finalizara (b) que las dos rectas tuvieran distintas abscisas en sus extremos porque se constituía
en una nueva variable durante la comparación de los dos movimientos. En consecuencia, se
hicieron los cambios necesarios; además, se incluyó una cuadrícula para facilitar la lectura de
cualquier pareja ordenada.
Situación No.2
El enunciado es:
La siguiente figura representa la posición con relación al tiempo, para un carro que se mueve
sobre una carretera recta. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad fue mayor?
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002); y la evolución de la gráfica se
muestra en la tabla 2.
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 2.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla, la gráfica en la prueba piloto inicia desde un valor negativo,
este cambio se hizo por sugerencia de una de las investigadoras con el propósito de indagar
29
acerca del dominio conceptual sobre posición y desplazamiento. Para la prueba final se volvió a
hacer un cambio en la longitud de la recta entre t=0s y t=1s ya que en la prueba piloto se observó
que la mayoría de los estudiantes estaban dando la respuesta correcta guiándose, muy
posiblemente, por la destacada longitud del segmento de recta en este intervalo de tiempo y no
por la pendiente del mismo; así que para corroborar ésta inferencia se decidió disminuir la
longitud del segmento de recta pero mantener su inicio en un valor negativo.
Como se puede ver en la prueba piloto (anexo 1) no se dieron opciones de respuesta y
esto trajo como consecuencia que el análisis de las respuestas se complicara demasiado ya que se
presentaron múltiples respuestas y se pusieron en evidencia dificultades relacionadas con
intervalos, puntos, elección de los ejes coordenados para determinar el intervalo de tiempo. En
consecuencia, para la prueba final se dieron opciones de respuesta tal y como se hace en el
artículo de referencia.
Situación No. 3
El enunciado es:
¿Podrían las figuras 3 y 4 corresponder al mismo tipo de movimiento? Explique.
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), la evolución de la gráfica se
muestra en la tabla 3. El enunciado no tuvo ningún cambio.
30
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Figura 3
Figura 4
Figura 3
Figura 4
Figura 3
Figura 4
Tabla 3.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla 3, se colocó una escala numérica en los ejes coordenados en
la prueba piloto y la prueba definitiva; esto se debe a que en la experiencia docente se ha visto
que los estudiantes se sienten más seguros con el uso de constantes, es decir, el uso de variables
en los ejes es una fuente de dificultad en la interpretación de gráficas para los estudiantes.
Aunque ésta es una situación muy interesante para explorar, se decidió utilizar una
escala numérica en todas las gráficas del cuestionario y así evitar que se desviara la
investigación.
31
Situación No.4.
El enunciado para esta situación es:
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al movimiento de un cuerpo que cae libremente
solo por la acción de la gravedad? Explique.
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), el enunciado no sufrió ningún
cambio y su evolución se muestra en la tabla 4.
Flores, Bello y Millán (2002) Prueba Piloto Prueba definitiva
32
Tabla 4. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla 4, en la prueba piloto se omitió una gráfica lo cual se
consideró durante el análisis como una falla ya que al limitar las opciones de respuesta era
posible que también se estuviera limitando la exploración de los razonamientos de los
estudiantes, por eso, en la prueba final se dejaron las cuatro gráficas que se proponen en el
artículo de referencia. Como se mencionó anteriormente, la escala numérica se incluyó con el
propósito de evitarle al estudiante fuentes de dificultad en la interpretación.
Situación No.5
El enunciado es:
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan
sobre una recta horizontal.
a. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
33
b. ¿En qué momento la velocidad de A y B son iguales?
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), el enunciado se mantuvo
igual y los cambios a la gráfica se muestra en la tabla 5.
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 5. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como lo muestra la tabla, en la gráfica de la prueba piloto y la prueba definitiva se
dejaron solo dos rectas para poder explorar el razonamiento de los estudiantes cuando se les
presenta dos gráficas en donde la altura de la gráfica es la misma. Por las mismas razones dadas
en los puntos anteriores se incluyó una cuadrícula y una escala numérica en los ejes coordenados.
3.3 Pensamiento en voz alta.
Como se mencionó anteriormente, durante el análisis de los resultados de la prueba
piloto, realizado con pares y expertos, se observó que algunas de las explicaciones de los
estudiantes eran insuficientes para poder entender con cierto grado de profundidad el
razonamiento utilizado al contestar el cuestionario. Por lo tanto, para la prueba final se decidió
que era necesaria una estrategia complementaria para la recolección de datos.
34
Teniendo en cuenta que uno de los propósitos de esta investigación es aproximarse a los
razonamientos de los estudiantes y que de acuerdo con Someren, Barnard y Sandberg (1994) el
think aloud tiene como propósito obtener datos acerca de un proceso cognitivo se decidió
implementarlo en la investigación.
El think aloud implica que los participantes que piensan en voz alta cuando están
realizando un tarea específica (en este caso cuando los estudiantes resolvieron el cuestionario).
Se les pide que expresen lo que están viendo, pensando, haciendo y sintiendo a medida que
avanzan sobre su tarea. Esto permite a los investigadores ver de primera mano el proceso de
realización de tareas; se les pide a los observadores en dicha prueba tomar notas de manera
objetiva de todo lo que los usuarios dicen, sin tratar de interpretar sus acciones y palabras o
realizar grabaciones de modo que los investigadores pueden volver atrás y hacer referencia a lo
que hicieron los participantes y cómo reaccionaron. El propósito de este método es hacer
explícito lo que está implícitamente presente en los participantes que son capaces de realizar una
tarea específica.
Con los estudiantes nueve estudiantes a los que se les aplicó el think aloud se hizo un
ejercicio previo de práctica para que se familiarizaran con la estrategia. El formato guía o guión
a seguir para el pensamiento en voz alta fue el mismo cuestionario, sin embargo, durante su
aplicación emergieron contra preguntas dirigidas a que el estudiante profundizara en sus
explicaciones. Al finalizar el think aloud se hizo una pequeña entrevista, la cual tuvo como
propósito explorar la percepción general de los estudiantes frente a las situaciones planteadas y
sus recomendaciones frente la forma como se podría enseñar y aprender a interpretar gráficas.
35
4. Plan de análisis
Para el análisis de los resultados, se utilizó como estrategia la teoría fundamentada lo cual
significa, como lo señala Sampieri, Fernández, y Baptista (2010), que la teoría va emergiendo
fundamentada en los datos.
El análisis de los resultados inició con la separación de los cuestionarios (se hicieron dos
grupos, uno corresponde a los cuestionarios que tenían la definición y ecuación y el otro el que
no los tenía). Luego, se contó el número de respuestas que emergieron en cada situación y de la
opción elegida en el caso de la situación No.2. Al revisar los resultados del conteo se evidenció
rápidamente que no había diferencias importantes entre los dos grupos. Después se leyeron y
transcribieron las justificaciones de los dos grupos de cuestionarios; al hacer un análisis
preliminar y comparar las explicaciones se volvió a evidenciar que no había diferencias, en otras
palabras, en las respuestas se encontraron los mismos tipos de razonamientos, parecía como sí
la ecuación no le ofreciera ningún tipo de información al estudiante, ni siquiera, la misma
definición. En consecuencia, se decidió continuar el análisis sin hacer distinción entre los dos
grupos.
Durante esta parte del proceso se confirmó la hipótesis de que suministrar la relación
matemática de la velocidad no iba a influir en los razonamientos de los estudiantes,
posiblemente, porque la ecuación como un tipo de representación matemática abstracta también
representa resulta difícil de entender para los estudiantes.
Después de observar la marcada tendencia por algunas respuestas en cada situación, se
decidió que las categorías de análisis fueran las respuestas dadas por los estudiantes y mostrar, en
los resultados y la discusión, cuáles son los argumentos en los que se apoyan haciendo énfasis en
si es en un concepto o en una característica de la gráfica.
36
El análisis se hizo pregunta a pregunta; cuando se terminaba de analizar una pregunta se
procedía a revisar el think aloud para confirmar si se presentaban los mismos razonamientos y
buscar mayor evidencia que permitiera corroborar la interpretación que se estaba haciendo.
Para terminar el análisis se utilizaron las entrevistas; estas dieron información sobre la
percepción general de los estudiantes sobre el cuestionario y dio indicios sobre las posibles
causas de las dificultades detectadas y estrategias de solución para superarlas.
37
Resultados y discusión
Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación, en este trabajo se decidió hacer el
análisis de los resultados a la luz de tres categorías en particular: (1) conexiones entre el
concepto de velocidad y pendiente, (2) interpretación de la forma de la gráfica como la
trayectoria del objeto y (3) conexiones entre dos tipos de gráfica. A continuación se presentan los
resultados y el análisis en cada categoría.
1. Conexión entre el concepto de velocidad y pendiente
Para indagar si los estudiantes hacen conexiones entre el concepto matemático de
pendiente y el concepto físico de velocidad, se plantearon tres situaciones distintas en el
cuestionario (figura 3). Todas las situaciones correspondían a gráficas de posición en función
del tiempo para un M.R.U y para solucionarlas el alumno debía comprender que la pendiente
(entendida como una característica de la gráfica en este trabajo) corresponde justamente a la
velocidad del objeto.
Figura 3. Situaciones planteadas en el cuestionario que permiten explorar la conexión entre el concepto de velocidad y pendiente y las estrategias utilizadas.
CONEXIÓN ENTRE EL CONCEPTO DE
VELOCIDAD
Y
PENDIENTE Problema en el cuestionario:
Situación No. 5
Estrategia empleada para la exploración:
A través de la comparación de dos movimientos en una
misma gráfica.
Problema en el cuestionario:
Situación 1
Estrategia empleada para la exploración:
A través de la comparación de dos movimientos en una
misma gráfica.
Problema en el cuestionario:
Situación 2
Estrategia empleada para la exploración:
A través del estudio de un movimiento en diferentes
intervalos de tiempo.
38
A continuación se describe detalladamente cada una de las situaciones y se presentan los
resultados obtenidos.
Situación No. 1.
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se
están moviendo a lo largo de una recta horizontal.
a. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la
misma velocidad?_______
Si es así, ¿en qué momento la tienen? __
Explica tu respuesta:
b. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del
objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la
velocidad del objeto B? _______
Justifica tu respuesta: ___________________
En esta situación hay que comparar los dos movimientos rectilíneos uniformes
representados en la gráfica. Para contestar los literales a y b se hace necesario reconocer que la
forma recta indica que la velocidad de ambos es constante y que las pendientes de las rectas
representan las velocidades de los objetos. Por ende, se puede afirmar que los objetos A y B
nunca tendrán la misma velocidad. Además, como A tiene mayor pendiente que B su velocidad
siempre será mayor.
Por lo anterior, y teniendo en cuenta que los estudiantes ya han estudiado los conceptos
de pendiente y velocidad, se esperaba que los alumnos escogieran la pendiente como la
39
característica de la gráfica que corresponde al concepto físico de velocidad; en otras palabras, se
esperaba que asociaran la pendiente con la velocidad. Sin embargo, esta no fue la asociación más
frecuente; además, surgieron explicaciones que aunque no eran el objeto de estudio de esta
investigación, se mencionan dada la importancia que tienen para la comprensión de la
problemática planteada.
El análisis de esta situación se inició con la separación de los cuestionarios en dos
grandes grupos: los que afirman que los dos objetos sí tienen la misma velocidad y los que
afirman que no. Los resultados se ilustran en la siguiente figura.
34
56
Respuestas a la pregunta ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad?
Si No
Figura 4. Resultados a la parte a de la situación No.1.
Luego, se subdividió el grupo que contestó que los objetos sí tienen la misma velocidad
en seis grupos teniendo en cuenta cuál fue su respuesta a la pregunta ¿en qué momento la
tienen?: a los 3 segundos, a los 30 cm, a los 30,3 segundos, en todo momento, al inicio o no
justificaron. El resultado de esta clasificación se muestra en la figura 5.
40
Figura 5. Momentos en los que se consideran que A y B tienen la misma velocidad.
Al analizar detalladamente las justificaciones dadas por los estudiantes, en los
cuestionarios, se observa que quienes contestan en 30,3; en 3s y en 30cm están haciendo
referencia al punto en el que se interceptan las dos líneas, como se señala en algunos
cuestionarios:
“En 3s, pues tienen la misma velocidad porque se cruzan y salen al mismo tiempo”
(Estudiante 76, 2014).
“En 3 porque es cuando se encuentran” (Estudiante 70, 2014).
“A y B tienen la misma velocidad en 30 porque en la gráfica se puede ver cuando se cruzan”
(Estudiante 41, 2014).
Clasificación de la respuesta si, según el momento en donde se considera que los objetos A y B tienen la misma velocidad
3 seg. 30,3 seg 30 cm en todo momento al inicio en blanco
41
“Porque en 30 cm las dos líneas se cruzan de la misma velocidad que llevan” (Estudiante 68,
2014).
En consecuencia, se puede inferir que los estudiantes están asociando el intercepto con la
idea de que los dos objetos tienen la misma velocidad pero que algunos estudiantes toman en
cuenta la lectura del eje Y y otros del eje X.
Aplicando la técnica de pensamiento en voz alta, se encontraron respuestas que respaldan
las mismas interpretaciones encontradas en los cuestionarios. Por ejemplo: “Si tienen la misma
velocidad en algún momento, porque es donde se cruzan las líneas” (Estudiante 89, 2014).
“…Umm… a los… 30 ¿acá está en centímetros? sí, 30 centímetros y 3 metros por lo que se
encuentran” (Estudiante 89, 2014).
Es importante mencionar, que detrás de algunas de las respuestas que dan los alumnos se
ponen en evidencia diferentes fallas conceptuales (tanto en física como en matemáticas) y
procedimentales, que seguramente están relacionadas con los errores evidenciados. Para
comprender mejor la problemática presentada se muestran a continuación. Por ejemplo:
En lugar de tomar el cambio de posición se toma únicamente la posición final: “…al observar
la gráfica los objetos A y B tardan 3s para recorrer 30cm” (Estudiante 18, 2014). En este
caso se infiere que el estudiante simplemente hizo la lectura de la pareja ordenada
correspondiente al intercepto pero que no reconoce que en 3s el objeto B solo recorrió 10cm;
es decir, el estudiante tiene una falla conceptual en el concepto físico de velocidad porque en
lugar de utilizar el cambio de posición o desplazamiento toma la posición final que para el
caso es el valor de la ordenada en el intercepto.
Leer inapropiadamente la información que aparece en los ejes coordenados o no saber
interpretar las variables y unidades en los ejes: “Los dos objetos llevan la misma velocidad
42
cuando van a 30cm/s” (Estudiante 72, 2014). En este caso parece que el estudiante asume
que en el eje vertical se ubicó o etiquetó con la velocidad o simplemente une las unidades de
los dos ejes coordenados.
Tener igual velocidad es equivalente a tener la misma posición: “para que estén en la misma
velocidad tienen que tener la misma posición” (Estudiante 60, 2014). Al parecer este es el
razonamiento de todos los que responden sí.
Se confunde el concepto de velocidad con el de aceleración: “v=x.t Aunque A, acelera más a
los 3s tienen la misma velocidad” (Estudiante 17, 2014).
Interpretación de la gráfica como un dibujo o representación de lo que está sucediendo, es
decir como la trayectoria de los objetos: “esto es debido a que lo que nos muestra la gráfica
es la unión de los dos objetos en cierto instante el cual es 30cm/s” (Estudiante 63, 2014). ;
aunque desde el punto de vista de x los dos objetos tienen la misma posición en t=3s.
No se puede deducir la información solicitada, porque no es explícita en la gráfica: “… en
ningún momento se habla de velocidad solo de posición-tiempo” (Estudiante 87, 2014).
Resumiendo los resultados, para el literal a, se encontró que el 62,22% de los estudiantes
considera que los objetos A y B sí tienen en algún momento la misma velocidad. De ese 62,22%,
la mayoría (el 91%) hace referencia al punto en que las rectas se interceptan, por lo que se infiere
que los estudiantes interpretan el intercepto como igual velocidad.
En general, se puede inferir desde el punto de vista físico que los estudiantes consideran
que si dos objetos ocupan la misma posición es porque tienen la misma velocidad; desde el punto
de vista matemático y de acuerdo con McDermott et al. (1981), se puede inferir que los
estudiantes están escogiendo la altura, en lugar de la pendiente. También se infiere que los
alumnos no interpretan la gráfica de posición en función del tiempo como la relación entre estas
43
dos magnitudes físicas sino como la trayectoria del objeto, lo cual será analizado con mayor
profundidad cuando se discuta la segunda categoría.
Beichner (como se citó en Planinic et al, 2012) en un estudio sobre las dificultades de los
estudiantes con gráficas señala que los errores más comunes en la interpretación de gráficas de la
cinemática son pensar que una gráfica es un dibujo de la situación y confundir el significado de
la pendiente con el de la altura de un punto sobre la línea. Además reporta que los estudiantes
son incapaces de elegir cual es la característica de la gráfica que representa la información
necesaria para responder las preguntas planteadas. Con base en las respuestas y justificaciones
de los participantes en esta investigación, se puede se puede afirmar que esta población se
presentan estas mismas dificultades.
De otra parte, en el grupo que afirma que los objetos A y B no tienen la misma velocidad,
presentan explicaciones en los cuestionarios como: “El objeto A partió desde el origen a una
velocidad de 10cm/s y se mantiene constante. En cambio B partió 20cm después del origen a una
velocidad constante de 3,33cm/s” (Estudiante 13, 2014).; “Porque el objeto A está desplazándose
10cm por segundo, mientras que el objeto B viaja 10 por 3 segundos” (Estudiante 10, 2014).
En estas justificaciones se pone en evidencia que los estudiantes acuden al concepto de
velocidad pero no hacen la conexión explícita con la pendiente. Sin embargo, en 5 de los 34
cuestionarios se observa una conexión un poco más evidente: “Parten de una posición diferente y
con diferente ángulo” (Estudiante 29, 2014).; “Porque tienen diferente ángulo” (Estudiante 45,
2014).; “No porque la inclinación va a hacer que la velocidad no varíe” (Estudiante 46, 2014).;
“Por la inclinación de las rectas vemos que A recorre una distancia mayor que B en el mismo
tiempo” (Estudiante 57, 2014).
44
A partir de estas explicaciones se podría decir que el estudiante tiene una idea de que la
pendiente de la recta corresponde a la velocidad del objeto, sin embargo pone en evidencia un
error reportado por Planinic et al.(2012) y es que los alumnos identifican pendiente con el ángulo
entre la línea recta y el eje x.
En el thinking aloud se reportan las siguientes explicaciones (en una de ellas es
totalmente explícita la conexión entre pendiente y velocidad):
“Por la inclinación de las rectas vemos que A recorre una distancia mayor
que B en el mismo tiempo. Pues lo que yo manejo en mi interpretación es que entre
más cerca esté la recta de la función posición tiempo al eje y mayor distancia
recorren en menor tiempo, pues aquí vimos que el punto A tiene una inclinación
más cerca del eje y que el objeto B” (Estudiante 32, 2014)
“Por la pendiente de la recta, eh…se puede determinar fácilmente si tienen o no
una velocidad igual, porque, pues… la … la velocidad es posición sobre tiempo que es lo
mismo que medir la pendiente de la recta. Eh… para que la velocidad sea igual tendría
que estar las rectas en modo paralelo, que indicaría que se mueven la misma cantidad de
distancia en el mismo determinado tiempo” (Estudiante 7, 2014).
De estas justificaciones se puede inferir que los estudiantes tienen claro el concepto de
velocidad (lo que implica a su vez, que relacionan correctamente posición y tiempo). Sin
embargo, también ponen en evidencia que la intersección de las rectas es interpretada como que
los objetos se encuentran.
En el literal b de esta situación se preguntó: En el instante de tiempo t=2s, la velocidad
del objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la velocidad del objeto B? Las respuestas a
esta pregunta se muestran en la figura 6.
45
Figura 6. Respuestas al literal b de la situación No. 1.
Aquí, se encontró que la mayoría de los estudiantes contestó correctamente y de acuerdo
con las explicaciones se puede afirmar que apoyan sus respuestas en las siguientes asociaciones
y conceptos:
a. El Concepto de velocidad: “Por segundo A recorre 10 cm (aprox) y B recorre 5 cm aprox”
(Estudiante 32, 2014).; “El objeto A lleva una mayor velocidad, ya que se recorre más distancia
en el mismo tiempo que B” (Estudiante 30, 2014).; “Pues ambos llevan una velocidad constante
A=10cm/s y B=3.33cm/s” (Estudiante 13, 2014).; “El objeto A lleva más velocidad ya que
cuando van 2s el objeto A recorrió 20 cm y el objeto B recorrió aproximados 6 cm” (Estudiante
86, 2014).
En estas justificaciones se pone en evidencia que los estudiantes acuden al concepto de
velocidad e incluso calculan su magnitud, lo que implica, que tienen en cuenta el desplazamiento
y el tiempo transcurrido y los relacionan de forma correcta. En el think aloud de algunos
estudiantes, también se observa que acuden a este concepto y además tienen claro que al ser
líneas rectas la velocidad es la misma en cualquier punto: “Más grande, respondí yo, porque es
un movimiento uniforme y el objeto A siempre lleva la mayor velocidad que el B por lo expuesto
49 25
12 2 2
Respuestas a la pregunta: La velocidad del objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la del objeto B?
más grande
más pequeña
igual
no responde
no se sabe
46
en el punto anterior, lo que dice es que la velocidad de los dos móviles es siempre la misma y por
lo tanto durante todo el movimiento la velocidad de A es mayor a la de B”.
b. La longitud de las rectas: “Porque se ve que la línea A coge hacia arriba y es más larga que la
B”, “¿En qué parte de la gráfica te fijas para hacer esta afirmación? en el tamaño, ¿El tamaño
de…? de A y B, el tamaño de A va de 0 a 50 y el de B de 20 a 35” (think aloud) (Estudiante 89,
2014).
A partir de estas explicaciones se puede inferir que la comparación entre la longitud de
las rectas es la característica de la gráfica que les permite determinar cuál de los objetos tiene
mayor velocidad; como a simple vista se ve que la longitud de A es mayor entonces es A quien
tiene mayor velocidad, aunque, los estudiantes podrían estar haciendo implícitamente una
relación con el tiempo, es decir, que podrían estar pensando en que A llegó más lejos que B en el
mismo tiempo.
c. La inclinación de las rectas: “Porque parte a un ángulo de 45° por tanto su velocidad es
mayor” (Estudiante 45, 2014).; “La velocidad del objeto A es mayor porque su transcurso es mas
vertical que la de B iniciando por su posición” (Estudiante 39, 2014).; “Porque el objeto A tiene
más grados de inclinación y su fuerza y velocidad aumentan” (Estudiante 47, 2014). En estas
explicaciones se hace mención a la inclinación de las rectas como característica que permite
decidir quién tiene mayor velocidad, sin embargo no hay una conexión explícita entre el
concepto de velocidad y el de pendiente.
d. El punto inicial y final de las rectas: “Es más grande ya que parte desde un punto más lejos
que el de el objeto B” (Estudiante 28, 2014); “Es mayor ya que el objeto A parte de 0cm, en
cambio el objeto B parte de 20cm y esto hace que el tenga mayor velocidad” (Estudiante 65,
2014); “Porque el objeto llega a una mayor altura” (Estudiante 75, 2014).
47
Con base en las anteriores justificaciones se puede afirmar que aunque estos estudiantes
contestaron correctamente no se observa una asociación explícita entre el concepto de velocidad
y pendiente y que acuden a características de la gráfica distintas a la de la pendiente de las rectas.
Quienes consideran que la velocidad del objeto A es menor que la velocidad del objeto B
presentan explicaciones en las que se evidencia que los estudiantes se concentran en:
a. La posición de las rectas: “Porque según el plano cartesiano el objeto A pasa por el 20
mientras que el objeto B pasa un poco más arriba” (Estudiante 75, 2014); “Ya que se ve que en el
segundo 2 está por debajo de la velocidad de B” (Estudiante 73, 2014); “Porque A tiene menos
distancia o posición que B y por eso tiene mayor velocidad B” (Estudiante 1, 2014); “Ya que el
objeto A se encuentra a 20 cm mientras que el objeto B va a más de 25cm” (Estudiante 42,
2014); “Porque tiene una mayor posición” (Estudiante 63, 2014).
Estas explicaciones coinciden con lo reportado en McDermott, Rosenquist y van Zee
(1986) en donde se señala que los estudiantes en lugar de utilizar la diferencia entre pendientes
para decidir que objeto tiene mayor velocidad, utilizan la diferencia de alturas, es decir, no
reconocen que la velocidad no puede ser extraída de la altura de las rectas.
b. Cálculos de velocidad: “Se puede observar esto gracias a que B está más adelante que A y
según la ecuación su velocidad es de 12,5cm/s en ese momento, y la de A es 10cm/s” (Estudiante
64, 2014). En este caso, el alumno acude a la relación matemática y, aunque la magnitud de la
velocidad de A es correcta se evidencia por la de B que en lugar de utilizar el valor del
desplazamiento está utilizando la posición final lo que hace que obtenga una información
equivocada.
c. Lectura de la ordenada como la magnitud de la velocidad: “En el t=2s el objeto A lleva una
velocidad de 20cm/s y en B 27cm/s” (Estudiante 72, 2014); “Porque a los 2s de tiempo el objeto
48
A va con una velocidad de 2s y 20 cm y el objeto B va con 2s y 25cm” (Estudiante 43, 2014).;
“Porque el tiempo 2s, el objeto A lleva una velocidad de 20cm y el objeto B lleva más de 20 cm”
(Estudiante 61, 2014). Una lectura inapropiada de la variable ubicada en el eje vertical se hace
evidente en estas justificaciones, lo que podría permitir inferir que hay una confusión entre el
concepto de posición y velocidad o que el estudiante asume que si un objeto tiene una mayor
posición implica que tiene mayor velocidad.
Es importante mencionar que se infiere que la gráfica puede ser leída “de derecha a
izquierda”, es decir, se puede leer desde el punto final de la recta hasta el punto inicial, según la
siguiente explicación: “La velocidad de A es más pequeña porque fue lanzada a mas altura y B
fue lanzado más recta por esa razón es más pequeña la velocidad de A” (Estudiante 15, 2014).
Esta justificación pone nuevamente en evidencia que la gráfica se interpreta como si mostrara la
trayectoria del objeto y no como la relación entre dos magnitudes.
Dentro de las explicaciones de quienes dicen que A y B tienen igual velocidad, se
encuentran las siguientes explicaciones: “Porque se puede ver en la gráfica que las dos
velocidades ocupan 3 cuadros” (Estudiante 82, 2014); “Son iguales ya que el plano nos muestra
que A y B tienen unas mismas, uno está más arriba pero no lo supera a B ya que cada uno tiene 5
cuadros” (Estudiante 33, 2014). Estas justificaciones llaman la atención porque permiten inferir
que se está acudiendo al área bajo la curva para obtener la información que se necesita, lo que
permite pensar que el área bajo la curva ha sido objeto de estudio pero que no ha quedado claro
en qué gráficas se utiliza ni cuál es la información que ofrece.
Quienes dicen que no se sabe, ponen en evidencia que si la información pedida no es
explícita en la gráfica entonces no está, como se refleja en la siguiente justificación: “No se sabe
ya que no dicen a qué velocidad va cada objeto” (Estudiante 41, 2014). Aquí, es claro que se
49
desconoce que la velocidad si puede ser obtenida a partir de la información que hay en la gráfica
aunque no sea explícita en ella.
En la aplicación del think aloud se encontraron respuestas similares que corroboran las
asociaciones mencionadas anteriormente, además, ponen en evidencia fallas en conceptos físicos
como:
a. No se hace distinción entre distancia recorrida y posición final: “El objeto A ha recorrido 20 y
B en los dos segundos ha recorrido 25… 27” (Estudiante 89, 2014).
b. Se hace referencia a la posición y a la velocidad como si fueran el mismo concepto: “Porque el
tiempo 2s, el objeto A lleva una velocidad de 20cm y el objeto B lleva más de 20 cm”
(Estudiante 88, 2014).
En general, a través de las diferentes respuestas y justificaciones dadas por los estudiantes
se hace evidente que la información de la velocidad no se obtiene de la pendiente de la recta sino
de otras características de la gráfica como la longitud de las rectas, la ordenada del punto final de
cada recta o el concepto mismo velocidad y solo el 6,12% hace una asociación relativamente
explícita entre pendiente y velocidad.
Situación No.2
Esta situación también explora las características de la gráfica que usan los estudiantes
para obtener la velocidad y a diferencia de la primera, corresponde al movimiento de un solo
objeto. A continuación se presenta el enunciado.
La siguiente figura representa la posición con relación al tiempo, para un carro que se
mueve sobre una carretera recta.
50
a. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad fue
mayor? _____
A. Entre t=0s y t=1s
B. Entre t=1s y t=3s
C. Entre t=3s y t=6s
D. Otro ____________
En esta situación hay que reconocer que la pendiente de la línea representa la velocidad y
para dar respuesta a la pregunta se hace necesario comparar las pendientes de las líneas en cada
intervalo. En consecuencia, el intervalo de tiempo en el que la velocidad fue mayor es (0s,1s).
A la respuesta planteada, los estudiantes contestaron como se muestra en la figura 7.
Figura 7. Respuestas a la pregunta de la situación No.2.
Como se indica en la figura 7, más del 50% considera que el intervalo de tiempo en el
que la velocidad fue mayor es entre t=3s y t=6s. Teniendo en cuenta, como lo señalan Flores,
Bello y Millán (2002), que este intervalo corresponde a la ordenada de mayor longitud, se puede
27
6 53
2 2
Respuestas a la pregunta ¿en qué intervalo de tiempo la velocidad fue mayor?
Entre t=0s y t=1s
Entre t=1s y t=3s
Entre t=3s y t=6s
Otro
No responde
51
pensar en dos interpretaciones o asociaciones subyacentes en los estudiantes que eligieron esta
opción: interpretar la condición “mayor velocidad” como la representación gráfica de la
“ordenada de mayor altura” o asociar la condición “mayor velocidad” con el segmento de
“mayor longitud”.
De acuerdo con las explicaciones de los estudiantes en los cuestionarios y en los think
aloud se ponen en evidencia tres interpretaciones o asociaciones, de las cuales dos coinciden con
las mencionadas anteriormente.
a. La ordenada de mayor altura: “Porque fue elevando su posición”(Estudiante 36, 2014).;
“Porque fue en este tiempo donde más se elevo” (Estudiante 69, 2014).; “Ya que c, es mayor a
las otras y la gráfica nos muestra claramente una alta elevación de la línea” (Estudiante 33,
2014).; “Escogí la c porque la velocidad aumentó a 20” (Estudiante 41, 2014).; “En el intervalo 3
al 6 empezó a acelerar hasta alcanzar la velocidad de 20/s y fue la que mejor logro”(Estudiante
58).; “entre el segundo 3 y 6…, eh porque pasa de los 10 metros a los 20 metros” (Estudiante 88,
2014) (think aloud).
Estas explicaciones además de presentar argumentos inapropiados, permiten inferir que
hay una falta de atención a la lectura de los ejes coordenados o que a la posición y la velocidad
se les da el mismo significado.
b. La longitud del segmento: “Es más largo el recorrido que se da en 3 segundos y 6 segundos
porque la velocidad en este tiempo aumenta más que los anteriores” (Estudiante 4, 2014).; “La
línea de t=1 a t=3 se mantuvo recta pero de t=3 a t=6 aumento” (Estudiante 37, 2014).
c. El tamaño del intervalo de tiempo: “Se observa que recorre más y al mismo tiempo su
velocidad es mayor” (Estudiante 67, 2014); “Estuvo más tiempo entre la posición 10 y la
posición 20” (Estudiante 2, 2014); “Porque es acendente de 3 segundos a 6 segundos”
52
(Estudiante 3, 2014).; “Porque dura entre t=3s y t=6s osea en total dura 3 segundo es mas rapida
la velocidad” (Estudiante 35, 2014).
A partir de estas explicaciones se puede afirmar que los estudiantes dan prioridad al
tamaño del intervalo; lo que implicaría, desde el punto de vista físico, que se está entendiendo
que entre más tiempo esté el objeto en movimiento mayor será su velocidad.
Además se evidencian errores en el concepto de inclinación, como se evidencia en la
siguiente explicación: “Se ve que el carro aumenta su velocidad porque en ese lapso de tiempo se
mueve mas rapido y con una mayor inclinacion que los otros lectura de los ejes ordenados”
(Estudiante 28, 2014).
Quienes contestan entre t=0s y t=1s, que es el intervalo de mayor pendiente presentan
argumentos basados en:
a. El concepto de velocidad: “Fue mayor la velocidad en este intervalo ya que en 1s recorrió 20
metros” (Estudiante 86, 2014).; “Porque en la opción A se mueve la misma distancia que en la
opción C pero en menos tiempo y en la opción B el carro permanece quieto” (Estudiante 25,
2014).; “Porque en un segundo recorre 20 metros” (Estudiante 53, 2014).; “Porque recorre una
mayor distancia en menos tiempo” (Estudiante 63, 2014).; “Pues en el primer momento avansa
20m en un segundo (20m/s) en el segundo momento se detuvo (1s y 3s) y finalmente en el tercer
momento (3s y 6s) recorrió 10m en 3seg por lo tanto iba a (3.33m/s)” (Estudiante 13, 2014).;
“Porque en un segundo aprox se movio 20m” (Estudiante 32, 2014).; en estas explicaciones se
evidencia claridad en los conceptos de desplazamiento y distancia recorrida, y una conexión
entre la velocidad y la inclinación de la recta.
b. La inclinación de las rectas: “Porque pasa de -10 a 10 en un segundo, es decir, recorre 20m en
total, esto además se evidencia en el ángulo” (Estudiante 27, 2014); “Porque la recta está más
53
cerca de la vertical respecto a su inclinación, esto quiere decir que en este intervalo se recorrió
más distancia en el menor tiempo” (Estudiante 57, 2014). En estas justificaciones, aunque no se
haga una referencia explícita a la pendiente se puede afirmar que los estudiantes están asociando
este concepto con el de velocidad.
Sin embargo, hay que mencionar que hubo estudiantes que escogieron este intervalo pero
apoyaron sus respuestas en argumentos incorrectos poniendo en evidencia errores en la
interpretación de gráficas como considerar que la gráfica representa la trayectoria del objeto; esto
se evidencia, por ejemplo, en la siguiente explicación: “En el que el t=0s y t=1s fue más
velocidad en el que le permite andar en recta en cambio la otra se dirige en una subida, recta,
subida y le hace perder la velocidad” (Estudiante 62, 2014).
Otras justificaciones muestran confusiones entre el concepto de velocidad y aceleración y
dificultades cuando la posición es negativa: “Porque podemos ver que desde la posición -10m y
10m a una aceleración bastante pronunciada. Tiempo que el carro recorre 20m en un segundo.
Aunque en teoría recorre 10m de acuerdo con la gráfica” (Estudiante 10, 2014).
Quienes contestan entre t=1s y t=3s pueden estar interpretando, según Flores, Bello y
Millán (2002), que el carro debe desplazarse con mayor velocidad porque está en una carretera
sin subidas ni bajadas. Las explicaciones reportadas muestran que es justamente esta la
interpretación subyacente en las respuestas: “Porque cuando están en línea recta puede estar en
mas velocidad” (Estudiante 38, 2014).; “Porque su movimiento va a ser más velos por que esta
en linea recta pero cuando va subiendo a una loma su velocidad es menor” (Estudiante 48,
2014).; “Porque iba en posición rectilínea mientras que en los otros al tomar una curva u otra
pierde velocidad para el buen uso de la carretera” (Estudiante 51, 2014).; Ya que el carro llego a
una recta t=1s t=3s el carro coge una mayor velocidad” (Estudiante 83, 2014).
54
En otras palabras, se puede inferir que un segmento con pendiente nula se interpreta
como que la carretera es plana; lo que implica, que se está interpretando la gráfica como una
representación de la trayectoria del objeto y que la pendiente no es asociada al concepto de
velocidad.
Los dos estudiantes que contestaron “otro” explican: “de 0.5s a 1s, pues hay acelera más,
al recorrer más distancia en menos tiempo” (Estudiante 17, 2014).; “De -10 a 10. Porque es
donde en ese punto incrementa la velocidad” (Estudiante 15, 2014). De estas justificaciones se
puede inferir que los estudiantes se están refiriendo al intervalo (0s-1s) lo que implica que se dan
cuenta que en este intervalo la velocidad del objeto es mayor, pero, a partir de la primera
justificación se puede inferir que hay un tipo de dificultad con el hecho de que la recta inicie en
un cuadrante negativo, lo podría estar asociado a que no se concibe que durante el movimiento
de un objeto puedan haber variables negativas lo que implica que hay dificultad con las
cantidades vectoriales. En la segunda explicación se puede inferir que por alguna se privilegia el
eje vertical pero es claro el concepto de velocidad.
En general, se puede afirmar que la asociación entre el concepto de pendiente y el de
velocidad se evidencia de forma implícita en menos del 30% de los estudiantes, que son quienes
eligieron el intervalo de tiempo (0s-1s) y de forma explícita, esta asociación se encuentra en sólo
el 1,1%, es decir, un solo estudiante, quien se destaca por haber determinado la magnitud de la
velocidad, lo que le permite hacer una comparación más precisa y validar su respuesta, como se
deja ver en el siguiente apartado del cuestionario (ilustración 1).
55
Ilustración 1. Sección del cuestionario No. 7
Situación No.5
Como se mencionó inicialmente, esta situación explora las características de la gráfica
que los estudiantes utilizan para determinar la velocidad de los objetos. Al igual que en la
primera situación, hay que comparar los dos movimientos rectilíneos uniformes representados en
la gráfica. Para contestar los literales a y b se hace necesario reconocer que: a) las pendientes de
las rectas representan las velocidades de los objetos, b) que las dos rectas, por ser paralelas,
tienen las mismas pendientes, c) al ser líneas rectas la velocidad siempre será la misma. Por
ende, se puede afirmar que los objetos A y B siempre tendrán la misma velocidad, es decir,
ningún objeto se mueve con mayor velocidad. Sin embargo, como se mostrará más adelante,
emergieron diferentes respuestas y variados argumentos.
A continuación se muestra el enunciado y los resultados obtenidos para esta situación:
56
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan
sobre una recta horizontal.
Con base en la gráfica contesta:
a. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
Justifica tu respuesta:
b. ¿En qué momento la velocidad de A y B son
iguales? ____________
Explica tu respuesta:
A la pregunta planteada en el literal a, los estudiantes contestan como se indica en la figura 8.
Figura 8. Respuestas a la pregunta de la situación No.2.
De acuerdo con los resultados mostrados en la figura 8, se puede afirmar que el 55,5% de
los estudiantes contestó que ninguno de los dos objetos se mueve con mayor velocidad que otro;
es decir, los alumnos contestaron que los dos objetos se mueven con la misma velocidad. Sin
embargo, las explicaciones reportadas se apoyan en conceptos físicos o en variadas
características de la gráfica como se explica a continuación:
20
17 50
2 1
Respuestas a la pregunta ¿cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
A
B
ninguno
AyB
no contesta
57
a. El concepto de velocidad: “Demoran en recorrer la misma distancia en el mismo tiempo”
(Estudiante 34, 2014).; “ya que cada objeto parte desde diferentes puntos pero tardan el mismo
tiempo para recorrer la misma distancia. Ambos objetos llevan una velocidad constante”
(Estudiante 18, 2014).; “ninguno, ya que los objetos recorren lo mismo y con el mismo intervalo
de tiempo” (Estudiante 67, 2014); “por que tienen el mismo tiempo y la misma distancia”
(Estudiante 60, 2014); “la grafica muestra que ambos recorren 10 m en 1 s” (Estudiante 57,
2014). Estas justificaciones ponen en evidencia que los estudiantes están atentos a las dos
magnitudes físicas (desplazamiento y tiempo transcurrido) y las relacionan de forma correcta, lo
que les permite reconocer que los dos objetos tienen la misma velocidad.
b. La característica de que las dos rectas son paralelas entre sí: “Las lineas son paralelas”;
(Estudiante 71, 2014).; “ambos se mueven a 10 km /h, pues llevan una velocidad constante y
podemos observar que las velocidades son iguales pues estas dos lineas son paralelas”
(Estudiante 13, 2014); “por que los dos son perpendiculares y avanzan con igual velocidad pero
en diferentes tiempos” (Estudiante 11, 2014). Aunque en la última explicación el estudiante
escribió perpendicular en lugar de paralelo, se puede inferir que los estudiantes acuden al hecho
de que las rectas son paralelas y que esa característica garantiza que las velocidades son iguales.
Sin embargo, es evidente que no hacen una conexión explícita entre la pendiente y la velocidad.
c. La relación entre pendiente y velocidad: “son rectas paralelas, por lo que mantienen pendiente
igual y por lo tanto la misma velocidad” (Estudiante 7, 2014). Aquí hay, por ejemplo, si hay una
conexión explícita entre velocidad y pendiente pero no es la explicación más recurrente dentro
del grupo de respuestas.
d. La altura de la ordenada: “los dos llegan a la misma velocidad en que 6 km /h” (Estudiante 72,
2014).; “porque ambas tienen la misma distancia” (Estudiante 34, 2014).; aunque ambos objetos
58
recorrieron la misma distancia, en la explicación no se hace mención al tiempo transcurrido, lo
que permite inferir que se está privilegiando el valor de la ordenada y no se establece una
relación entre las dos magnitudes que intervienen en la velocidad: desplazamiento y tiempo
transcurrido. En otras palabras, los estudiantes continúan apoyando sus respuestas en la altura de
la ordenada, tal y como lo reporta Flores, Bello y Millán (2002). Esto podría interpretarse, desde
el punto de vista físico, como que los estudiantes consideran que si dos objetos tienen la misma
posición entonces tienen la misma velocidad; como se puso en evidencia en la primera situación.
Otras explicaciones permiten inferir que la gráfica se interpreta como la representación de
la trayectoria: “porque están o han sido lanzados al mismo tiempo” (Estudiante 15, 2014). En
este caso, la gráfica se lee “del final hacia atrás”, es decir, desde el extremo superior de la recta
hasta el punto inicial, además se infiere que los estudiantes interpretan las rectas como el camino
recorrido por los objetos y no como una representación científica en donde se están relacionando
dos variables.
Quienes contestan que A tiene mayor velocidad ponen en evidencia a través de sus
justificaciones la aplicación de algunos conceptos físicos y la utilización de algunas
características de la gráfica:
a. Concepto de velocidad:
“el objeto A va a mayor velocidad por que recorre la misma distancia que B pero en menos
tiempo” (Estudiante 1, 2014). En este caso, se evidencia en los cálculos realizados por el
estudiante (ilustración 2)
Ilustración 2. cálculos realizados en el cuestionario No.1 para la situación No.5
59
que en lugar de tomar el tiempo transcurrido (o un delta de t) toma el tiempo final, es decir, se
lee rápidamente el último valor de la ordenada, lo que permite inferir que no se tiene claro el
concepto de velocidad y que el símbolo “delta” aunque está en el registro del estudiante, no es
debidamente interpretado.
Allí, también se deja ver como se aplica la definición de velocidad y se hace uso de la
relación matemática correspondiente a la velocidad pero al existir fallas conceptuales en física y
en matemáticas se llega a una respuesta equivocada.
b. La posición “adelantada” de la recta A con respecto a la recta B: “porque sale desde un punto
más próximo” (Estudiante 28, 2014).; “porque empezo 3 horas antes” (Estudiante 46, 2014).
c. La longitud de las rectas: Es interesante ver que algunos estudiantes interpretaron que el eje X,
entre (0s, 3s), hace parte de la segmento de recta B, como se evidencia en las siguientes
explicaciones: “porque mientra la B mientra que abansa 3 segundo y sube el otro no habansa si
no solo sube” (Estudiante 35, 2014). Es decir, los estudiantes interpretan que entre t=0s y 3s, el
objeto se está moviendo y recorrió cierta distancia y, luego “subió”; por lo tanto B recorrió una
distancia mayor que A y en consecuencia A tiene mayor velocidad.
Esta explicación pone en evidencia, desde el punto de vista físico que los estudiantes
consideran que entre más distancia recorra un objeto, menor será su velocidad; aunque también
se podría interpretar como que el único movimiento de A fue subir, y eso requiere de esfuerzo,
luego es más rápido que B que avanzó y luego subió. Se evidencia además, que están
interpretando la gráfica como la trayectoria descrita por el objeto. Es importante mencionar que
esta misma lectura se hizo para afirmar lo contrario, es decir, que el objeto B por recorrer una
mayor distancia es el que tiene mayor velocidad.
60
d. El valor de la abscisa: “por que alcanza una velocidad de 60 en 9 segundos el objeto B
mientras que el A en 6” (Estudiante 44, 2014). Aquí, el estudiante interpreta que el objeto A
tiene mayor velocidad que B porque alcanza la misma velocidad de B en un menor tiempo, lo
que pone en evidencia errores en la lectura de los ejes ordenados, es decir, se lee en el eje
vertical la velocidad del objeto.
Quienes contestan que B tiene mayor velocidad apoyan sus respuestas en:
a. La posición “adelantada” de la recta B con respecto a la recta A: “el objeto b llega a tener una
mayor velocidad por lo que lleva 3 horas de ventaja” (Estudiante 83, 2014).; “porque tiene
mayor punto de iniciación” (Estudiante 84, 2014).; “ya que su recorrido tiene inicio desde el
tiempo 3 (3 horas) y esto hace que tenga mayor ventaja con el objeto A” (Estudiante 6, 2014).;
aquí se evidencia que salir en t=3s es interpretado como si el objeto tuviera una ventaja en el
tiempo y no como que salió 3h después de haber partido A; “lleva ya una velocidad de 3 h para
llegar a su límite (de 60 km)” (Estudiante 2, 2014)., en esta explicación se pone evidencia que,
como B empieza en t =3 se asume que viene con una velocidad de tres, adicionalmente, que no
es claro el concepto de velocidad, ni se presta atención a unidades.
En el think aloud también se presenta esta misma explicación: “Yo respondí la B, pero
pues ahí me dejó en duda porque la gráfica no muestra velocidad, ni nada, pero yo diría que lleva
más adelantado el tiempo, pues la gráfica B empieza desde la tercera hora y la gráfica A desde el
cero” (Estudiante 5, 2014). En esta explicación se evidencia que se desconoce que la velocidad
se puede obtener a partir de la información presentada en las gráficas, al ser la velocidad la
pendiente de la recta, por lo tanto, se acude al punto inicial de las rectas.
c. La longitud de las rectas: como se mencionó anteriormente, algunos estudiantes interpretaron
que el eje X, entre (0s, 3s), hace parte de la segmento de recta B, por lo tanto B recorrió una
61
mayor distancia y en consecuencia tiene una mayor velocidad; esto se puede evidenciar en las
siguientes justificaciones: “ya que hace un recorrido mayor” (Estudiante 38, 2014).; “por que
tiene mayor distancia y mayor distancia mayor velocidad” (Estudiante 69, 2014); “porque el
objeto marcha mas lejos que el otro, por esa razón alcanza mas velocidad; “porque a B le toca
más horas de recorrido” (Estudiante 47, 2014).
A la pregunta del literal b, ¿en qué momento la velocidad de A y B son iguales? se
encontraron varias respuestas, siendo “siempre” la respuesta más frecuente, es decir, los
estudiantes consideran que en todo momento los dos objetos tienen la misma velocidad. La
figura 9 muestra los resultados obtenidos.
Figura 9. Respuestas a la pregunta del literal b de la situación No.5
Teniendo en cuenta que en el literal a de esta situación el 55,5% afirma que los dos
objetos tienen la misma velocidad, se esperaba que un porcentaje similar de los estudiantes
contestara igual acá. Sin embargo, menos del 40% de los alumnos contestó de esta manera, lo
que podría deberse a debilidades conceptuales o a que algunas características de la gráfica fueron
interpretadas erróneamente, como se pone en evidencia en algunas de las explicaciones que se
presentan en las diferentes categorías.
36
15 2 4 2
10
1 5
4 4 1 2 2 1 1
Respuestas a la pregunta ¿en qué momento la velocidad de A y B son iguales Siempre
NuncaAl inicio3,60,3No contesta4,5Cruce60-0Al finalP=10, t=360En cero6,60; 9,6020km
62
A continuación se explicarán solamente las categorías más relevantes en términos de
porcentaje o porque ponen en evidencia formas de pensamiento que no se habían identificado en
las situaciones anteriores.
Quienes contestaron “siempre”, dejan ver a través de sus explicaciones que sus respuestas
se apoyan en los siguientes conceptos o características de la gráfica:
a) El concepto de velocidad correctamente, al tener en cuenta la información que se puede
extraer de las gráficas en términos de distancia recorrida en un intervalo de tiempo: “En todo
momento recorren la misma distancia en el mismo tiempo” (Estudiante 34, 2014); “porque
recorren la misma distancia en el mismo tiempo” (Estudiante 40, 2014); “los dos objetos en un
lapso de 1h llegan hacer 10 km y asi sucesivamente” (Estudiante 72, 2014); “ya que los dos
tardan lo mismo en llegar a 60 km en 6 h” (Estudiante 86, 2014).; “Cuando empiezan hasta que
terminan las velocidades son iguales porque se recorren las mismas distancias pero en diferente
hora” (Estudiante 4, 2014).; “Porque aunque comenzó 3 horas después en una hora recorren la
misma cantidad” (Estudiante 32, 2014).
b) El hecho de que las dos son líneas rectas: “porque los dos objetos van a velocidad constante en
un movimiento rectilinio uniforme” (Estudiante 23, 2014); “La grafica al tener rectas sus lineas
indican una vel constante” (Estudiante 7, 2014).
c) El paralelismo entre las rectas: “la grafica nos muestra las posiciones paralelas, nos indican
que siempre tendran la misma velocidad” (Estudiante 13, 2014); “por la posicion en que estan
porque las lineas son paralelas” (Estudiante 71, 2014); “su trayectoria es paralela ambos poseen
la misma velocidad en todos los intervalo de tiempo” (Estudiante 55, 2014).; “Porque los dos son
perpendiculares y avanzan con igual velocidad pero en diferentes tiempos” (Estudiante 11,
2014).
63
Es interesante ver que en algunas explicaciones se sigue reportando que los objetos
fueron lanzados lo que deja ver que se desconoce el enunciado y se piensa posiblemente en que
los objetos se lanzaron desde cierta altura y las rectas representan las trayectorias descritas por
estos objetos, así se evidencia en la siguiente explicación: “porque son lanzados a un movimiento
constante”(Estudiante 15, 2014).
Teniendo en cuenta que Planinic et al.(2012) afirman que El primer paso en la extracción
de cualquier información de una gráfica es reconocer que la gráfica es una representación
simbólica de la relación entre variables, se puede afirmar entonces que los estudiantes no
reconocen esta relación en la gráfica sino que, como lo reportan diferentes investigadores, la
interpretan como una imagen.
Quienes contestan “nunca” apoyan sus respuestas en:
a. El paralelismo entre las rectas: “ya que son rectas las cuales nunca se van a cruzar”(Estudiante
46, 2014).; “Ya que los objetos tienen un recorrido paralelo y por ello nunca se
encontraran”(Estudiante 6, 2014); “Ya que son paralelos y no se uniran, eso significan que
estaran con diferente velocidad y tiempo durante todo el recorrido” (Estudiante 10, 2014).; “Ya
que son perpendiculares y en ningún momento se cruzaran o quedaran en la misma
posición”(Estudiante 28, 2014). El hecho de que los estudiantes hagan énfasis en que las dos
rectas nunca se van a cruzar podría interpretarse como que persiste la idea de que para tener la
misma velocidad se deben cruzar, que fue el resultado que se obtuvo mayoritariamente en la
primera situación.
En el think aloud, por ejemplo, se reporta la siguiente explicación:
“Ninguno, porque pues las líneas que vemos en las gráficas son perpendiculares y ya”, ¿A qué te
refieres con que sean perpendiculares? Pues que nunca se cruzan. Las líneas cuando son
64
perpendiculares se supone que nunca se cruzan. Y si no se cruzan nunca podrían tener la misma
velocidad” (Estudiante 88, 2014).
En este caso el razonamiento es totalmente contrario al que se esperaba y deja evidencia
que: a) hay confusión entre paralelismo y perpendicularidad; b) se desconoce la conexión que
hay entre la velocidad y la pendiente de la recta; c) se acude al hecho de que las dos rectas nunca
se cruzan en lugar de acudir al hecho de que las dos rectas tienen la misma pendiente. En
general, esta explicación permite inferir que hay varias confusiones conceptuales tanto en
matemáticas, como en física y una completa desconexión entre el concepto de pendiente y
velocidad.
Quienes afirman que entre 3s y 6s, consideran que en el intervalo de tiempo (3s-6s) los
dos objetos tienen la misma velocidad porque es en este intervalo en donde los dos objetos están
en movimiento. Así se evidencia en las siguientes afirmaciones: “por que es el momento en el
que ambos estan en movimiento ya que de 0 a 3 h B esta quieto y de 6 a 9 h A esta
quieto”(Estudiante 25, 2014).; “Porque en la gráfica se muestra que a partir de las 3 horas el
objeto B inicia su mov. Con velocidad constante al igual que el A llevan la misma Vel. Desde
ese momento hasta la sexta hora que es cuando A para su movimiento”(Estudiante 14, 2014).
A través de estas explicaciones los estudiantes dejan ver que no es posible hacer una
comparación en un intervalo de tiempo diferente a (3s–6s), es decir, no se admite la posibilidad
de que el objeto continúe moviéndose con la misma velocidad, lo que implica que el punto final
de las rectas es interpretado como que el objeto dejo de moverse.
Quienes afirman “cuando se crucen”: estos estudiantes afirman que sólo cuando las dos
rectas se intersecten los dos objetos tendrán la misma velocidad, reforzando así la idea de que si
dos objetos tienen la misma posición entonces tienen la misma velocidad: “Porque al cruzarse su
65
movimientos era equitativo”(Estudiante 33, 2014).; “cuando los dos objetos tengan el mismo
punto de encuentro o trayectoria”([Estudiante 48, 2014).; “son iguales cuando A y B llegan a su
punto de encuentro”(Estudiante 52, 2014).; “porque van a tener una misma
velocidad”(Estudiante 85, 2014). Es posible que estas justificaciones estén fundamentadas en el
hecho de que las dos rectas son paralelas y por ello consideran que los dos objetos tienen
distintas velocidades.
En otras palabras, es posible que los estudiantes estén pensando en que como
matemáticamente las rectas nunca se van a cruzar entonces las velocidades nunca serán iguales.
En general, para esta situación, se puede afirmar que algunos estudiantes acudieron al
concepto de velocidad y solo el 10% de los estudiantes hace una conexión explícita entre
pendiente y velocidad.
La mayoría de los estudiantes acudieron principalmente a dos características de la
gráfica: a) la posición relativa de las gráficas, es decir, en el hecho de para los estudiantes una
recta más hacia la derecha que otra o más hacia la izquierda que otra, b) el hecho de que las
rectas sean paralelas. La elección de estas características como sustento para dar respuesta a la
pregunta hace pensar que hay un tema relacionado con la capacidad visual de los estudiantes.
Kozhevnikov, Hegarty y Mayer (como se citó en Planinic et al. 2012) realizaron un
estudio que buscó una relación entre la visualización y la resolución de problemas en la
Cinemática. Ellos definieron dos tipos diferentes de visualización: visual y espacial. La primera
se refiere a la apariencia externa de los objetos (por ejemplo, color, forma), también se refiere a
los objetos físicos en el mundo real y por lo tanto está más relacionada con las operaciones
concretas. La visualización espacial se refiere a las relaciones espaciales entre las partes de un
66
objeto y la localización de objetos en el espacio, es decir que se refiere a las transformaciones
tridimensionales de estos objetos y está más relacionada con las operaciones formales.
Estos investigadores encontraron que la visualización espacial contribuye a la
interpretación gráfica del estudiante en la física, mientras que la visualización visual es un
obstáculo en la misma tarea.
Los autores seleccionaron la cinemática como el contexto para su estudio porque éste
tema está relacionado con las habilidades visuales y espaciales, ya que implica ambas
representaciones gráficas y físicas concretas y sostienen que concentrarse en aspectos concretos
de la situación impide a los estudiantes pensar formalmente. En el estudio encontraron que los
estudiantes que son más visuales (capacidad espacial baja), quienes generaron imágenes vívidas
de la situación concreta (imágenes visuales), tendían a interpretar el gráfico como una imagen
literal de la situación y no podían abstraer información relevante de la gráfica. Los estudiantes
que son más espaciales, por el contrario, consideraron que el gráfico es una representación
espacial abstracta, y ninguno de ellos se refirió a la gráfica como una imagen concreta del
movimiento, en consecuencia, se espera que los estudiantes con baja capacidad espacial tengan
más problemas con la interpretación gráfica que los estudiantes de alta habilidad espacial.
Por lo anterior, se podría pensar para la investigación actual que los estudiantes que
interpretan la gráfica de posición en función del tiempo como una imagen de la trayectoria del
objeto tienen una capacidad espacial baja y que si se quiere mejorar la habilidad para interpretar
gráficas habría que buscar estrategias para mejorar dicha capacidad.
Planinic et al.(2012) afirman que factor importante en la interpretación de gráficas es el
conocimiento conceptual en física que tengan los estudiantes, por lo tanto, también habría que
67
reflexionar sobre las estrategias que podrían contribuir a una mejor conceptualización en
cinemática.
Según Kozhevnikov y Thornton (citados por Planinic et al. 2012), parece que una
correlación entre la capacidad espacial y la resolución de problemas de la cinemática ya no está
presente después de los estudiantes reciben instrucción física mediante el uso de tecnologías
ricas visualmente. En consecuencia, sugieren un plan de estudios de física que proporcione
visualizaciones externas que puedan ayudar a los estudiantes con habilidades espaciales bajas a
para compensar dichas deficiencias.
Esta recomendación podría ser tenida en cuenta por los profesores que hayan detectado
estas dificultades y estén interesados en contribuir a la superación de las mismas.
2. Interpretación de las gráficas de posición en función del tiempo para un Movimiento
Uniformemente Acelerado (Caída Libre)
Para explorar acerca de cuál es la interpretación que hacen los estudiantes de una gráfica
de posición en función del tiempo se propuso en el cuestionario la Situación No.4. Se consideró
que esta situación era pertinente para tal propósito. Aunque en el cuestionario ésta fue la única
pregunta que apuntaba directamente a este objetivo, los resultados se vieron confirmados en las
respuestas de las situaciones anteriores.
Situación No.4
Esta situación pretende explorar acerca de la interpretación que los estudiantes hacen de
la gráfica en función del tiempo para un M.R.U. El enunciado correspondiente es: ¿Cuál de las
siguientes gráficas corresponde al movimiento de un cuerpo que cae libremente solo por la
acción de la gravedad?
68
69
Las respuestas dadas por los estudiantes se muestran en la siguiente figura.
Figura 10. Respuestas a la pregunta de la situación No.4
Con respecto a la preferencia por las diferentes gráficas, los resultados encontrados en
esta situación estuvieron en total concordancia con los de Flores, Bello y Millán (2002) quienes
reportan que en el primer lugar de preferencia estuvo la gráfica 6 (6.C. en el artículo de
referencia); en segundo lugar de preferencia la gráfica 8 (6.B. en el artículo de referencia); y, en
tercer lugar la gráfica 5 (6.D. en el artículo de referencia).
Quienes eligieron la figura 5 se apoyan en:
a. La curva representa la trayectoria descrita por el objeto: “porque se ve como si estuviera
cayendo y que el tiempo avanza y la posición” (Estudiante 11, 2014).; “porque cuando hay
gravedad en la tierra se presenta una caida libre la cual demuestra una curva ya que no cae
rectilineo por la velocidad de la caída” (Cuestionario 26, 2014).; “porque por la accion de la
gravedad no puede caer en linea recta u horizontal, siempre va a caer en un lado opuesto
dependiendo el peso del objeto” (Estudiante 85, 2014). En estas justificaciones se pone en
evidencia que leen la gráfica de derecha a izquierda y nuevamente la interpretan como si fuera la
6
45
3
35
1
Respuestas a la pregunta ¿cuál de las gráficas corresponde al movimiento de un cuerpo que cae
libremente solo por la acción de la gravedad
Fig.5
Fig.6
Fig.7
Fig.8
Fig.5 y Fig.8
70
trayectoria descrita por el objeto, incurriendo por lo tanto en el mismo error de las situaciones
anteriores.
El 50% de los estudiantes eligieron la figura 6, poniéndose en evidencia que la gráfica se
interpreta como la trayectoria del objeto: “porque cae de forma recta a una superficie”
(Estudiante 5, 2014).; “en la figura 6 nos muestra que en el momento de soltar un objeto
libremente caera directamente al suelo por la accion de la gravedad” (Estudiante 8, 2014).;
“porque en un movimiento de cuerpo libre, la gravedad es un elemento que conlleva al cuerpo
que direccione hacia el centro del planeta, osea, hacia abajo” (Estudiante 9, 2014).; “porque
muestra cuando el objeto cae pero por la gravedad obviamente el va a bajar derecho” (Estudiante
35, 2014).; “por que el cuerpo cae en linea recta y esto es lo que pasa gracias a la gravedad”
(Estudiante 71, 2014).
A partir de estas explicaciones se puede inferir y corroborar que estos estudiantes están
interpretando la gráfica de posición en función del tiempo para este tipo de movimiento como
una representación visual de lo que se observa, es decir, como una foto de la trayectoria cuando
se deja caer un cuerpo. También se puede inferir que esta interpretación está asociada a los
aspectos de la capacidad visual y la capacidad espacial discutidas anteriormente
Quienes dijeron figura 7 reportan: “porque muestra que mientras aumenta el tiempo
tambien la distancia recorrida” (Estudiante 34, 2014).; “porque para un cuerpo que cae
libremente no se puede en curvas pues en ocaciones es mas factible la linea que indica la
posición” (Estudiante 52, 2014).
Quienes dijeron figura 8 afirman: “porque al caer por la gravedad esta hace que haya un
movimiento semiparabolico cuando el objeto cae en movimiento” (Estudiante 1, 2014).; “porque
la gravedad hace que el objeto tome una curvatura diferente a la que fue lanzado el objeto”
71
(Estudiante 44, 2014).; “porque esta grafica 8 se muestra realmente como cae un cuerpo en caida
libre por la semiparabola que tiene” (Estudiante 82, 2014).; “porque es un movimiento
semiparabolico en caida libre” (Estudiante 3, 2014).; “la figura 8 ya que cuando uno deja caer un
objeto desde una torre se puede observar que cuando cae el objeto hay una curva supongamos
que el objeto es una pelota se podría observar que ella va a seguir rebotando hasta perder
velocidad” (Estudiante 19, 2014).
Ilustración 3. imagen tomada del cuestionario No. 19
Las justificaciones de los estudiantes y el dibujo realizado en uno de los cuestionarios
(ilustración 3) permiten afirmar que efectivamente la elección de la figura 8 se debió a la
interpretación de la gráfica como una representación visual de lo que se observa cuando se deja
caer un objeto. Se pone en evidencia que estos estudiantes desconocen que la gráfica es una
representación matemática de la relación entre dos variables y que para la construcción de la
misma hay un trabajo previo que involucra la elección de un sistema de referencia, establecer
una convención de signos y el registro organizado de unos datos.
Quienes dijeron figura 5 y figura 8 afirman: “porque tenemos tiempo y distancia
recorrida durante el impacto aunque tengo duda porque la figura 5 es muy parecida” (Estudiante
10, 2014). En esta situación los estudiantes tuvieron muchas dudas, es claro, que algunos de
ellos fueron descartando gráficas para poder llegar a la respuesta como se señala en la siguiente
explicación: “la figura 5, por que se observa que a medida que se aumenta la posicion, el tiempo
72
hace igualmente y deduzco que esa figura es la mas acertada para la caida libre” (Estudiante 16,
2014).; “se me hizo logico el descarte además por que la gravedad es una aceleración”
(Estudiante 27, 2014).
Con base en la mayoría de respuestas y explicaciones se podría pensar que la gráfica de
posición en función del tiempo fue interpretada como una imagen o representación de la
trayectoria del objeto, siendo la opción de respuesta 6 y 8, tal vez, las que mejor ponen en
evidencia esta interpretación. Para analizar esta marcada tendencia, se podría tener en cuenta la
influencias de la experiencia cotidiana.
Leinhardt et al. (1990) afirman que las funciones y las gráficas representan uno de los
primeros puntos en matemáticas en el que un estudiante utiliza un sistema simbólico para
ampliar y comprender a otro y, que esta característica coloca demandas al alumno en términos de
nuevas ideas, notación, singularidad y correspondencias simbólicas que se oponen a la intuición
o la experiencia. Con base en la última parte de la afirmación, podría pensarse que la intuición o
la experiencia de haber dejado caer un objeto y ver su trayectoria rectilínea, prevalece en el
momento de interpretar la gráfica apropiadamente y le impide analizarla como la representación
matemática de una relación entre dos variables.
3. Conexiones entre la gráfica de posición en función del tiempo y la gráfica de velocidad en
función del tiempo, para un movimiento rectilíneo uniforme.
La situación 3 en el cuestionario fue propuesta con el fin de explorar si los estudiantes
logran identificar que dos gráficas pueden corresponder al mismo tipo de movimiento. En este
caso, la gráfica de posición en función del tiempo muestra que la velocidad del objeto es
constante en todo momento, es decir, que el movimiento es un movimiento rectilíneo uniforme.
La información de que la velocidad es constante está representada en la gráfica de velocidad en
73
función del tiempo. En consecuencia se puede afirmar que las dos gráficas corresponden a un
mismo tipo de movimiento.
A continuación se presenta el enunciado de la situación y los resultados obtenidos.
Situación No.3
¿Podrían las figuras 3 y 4 corresponder al mismo tipo de movimiento? ________
¿Por qué?
Las respuestas dadas por los estudiantes se muestran en la figura 11.
Figura 11. Respuestas a la pregunta del literal a de la situación No.5
38 50
2
Respuesta a la pregunta ¿pueden las dos gráficas corresponder al mismo tipo de
movimiento?
si
no
no contesta
74
Los estudiantes que responden “no”, respaldan sus respuestas en las siguientes
características de la gráfica o conceptos físicos:
a. La inclinación de las dos rectas: “Uno es recto y el otro es como en diagonal” (Estudiante 76,
2014).; “Porque una va en movimiento lineal mientras que la otra tiene cierto grado de
inclinacion” (Estudiante 51, 2014).; “No, porque tienen un ángulo diferente” (Estudiante 45,
2014).
b. En la diferencia que hay entre las variables asignadas a los ejes coordenados: “No porque la
gráfica 3 muestra es su posición en función del tiempo y la 4 velocidad en función del tiempo”
(Estudiante 47, 2014).; “Porque los datos no concuerdan” (Estudiante 15, 2014).
Con base en estas explicaciones se puede afirmar que los estudiantes consideran que las
gráficas no pueden corresponder al mismo tipo de movimiento porque las variables asignadas a
los ejes coordenados son distintas, es decir, tienen diferentes nombres; esto hace pensar que
desconocen que la velocidad puede ser extraída de la gráfica de posición en función del tiempo y
que esa información es justamente la que está en la gráfica de velocidad en función del tiempo.
c. En los tipos de movimientos: los estudiantes tratan de asociar las gráficas a los diferentes tipos
de movimientos:
“La figura 3 es un movimiento acelerado, mientras que la figura 4 lleva un movimiento
de velocidad constante” (Estudiante 72, 2014).
“Se observa que se presenta un MUA ya que una grafica (4) es la aceleración/tiempo, y la
otra (3), es la posición tiempo” (Estudiante 18, 2014).
“No, porque en la figura 4 se puede ver que es un movimiento constante y rectilineo en
cambio en la figura 3 se ve que es velocidad” (Estudiante 58, 2014).
75
“No porque la figura 3 nos muestra un movimiento uniforme acelerado y la figura 4 nos
muestra un movimiento rectilineo” (Estudiante 44, 2014).
“No porque uno es uniforme y el otro es rectilineo” (Estudiante 50, 2014).
A partir de estas justificaciones, se puede inferir que los estudiantes conocen algunas gráficas
características a las que los asocian, y que por lo tanto las reconocen o creen reconocer los
diferentes tipos de movimiento, pero no hay una interpretación correcta de cada una de ellas por
lo que no logran establecer conexiones entre ellas.
e. Lectura de los ejes coordenados como si en ambos se tratara de la gráfica posición versus
tiempo: “No porque en una va a velocidad constante mientras que la otra nos muestra cierta
inclinación que quiere decir que no va a velocidad constante” (Estudiante 49, 2014). En este
caso se infiere que leyeron las gráficas como si en ambas se trataran de posición-versus tiempo,
lo que podría deberse a una falta de atención a las variables que se ubican en los ejes
coordenados.
f. El tiempo final o los puntos iniciales de las rectas: Para algunos estudiantes es determinante el
punto del extremo del segmento, es decir, que por terminar en diferentes valores de t esto hace
que las gráficas no correspondan al mismo tipo de movimiento, en lugar de interpretar la
información que cada una de las gráficas suministra. Esto se puede evidenciar a través de las
siguientes explicaciones: “Porque no corresponde al mismo tiempo” (Estudiante 53, 2014).; “En
la figura 3 el objeto sube hasta 30 cm en 3s en cambio en la figura 4 mantiene velocidad
constante” (Estudiante 73, 2014).; “No porque es dependiendo de la trayectoria o dirección que
tenga como observamos en las gráficas, hay unos diferentes datos y esos no concuerdan con un
movimiento porque la figura 4 tiene 10 en v y de tiempo es 4s y la posición empieza desde 0 y su
tiempo es de 3s” (Estudiante 48, 2014).
76
g. El tipo de gráfica: Algunos estudiantes reconocen que en la situación hay una gráfica
constante y otra que no lo es y acuden a este conocimiento para contestar a la pregunta, sin
embargo, no interpretan correctamente la información que les da cada gráfica y al no hacerlo no
pueden reconocer que las dos gráficas corresponden al mismo tipo de movimiento. Esto se
puede inferir a través de las siguientes explicaciones: “No porque una es constante y la otra no es
constante ya que la figura 3 muestra mayor velocidad y la figura 4 está constante” (Estudiante
74, 2014).; también se puede inferir que hay una lectura incorrecta de las variables asignadas en
cada uno de los ejes coordenados.
En general se evidencian varios errores al establecer conexiones entre dos gráficas: a) se
interpreta la gráfica como la trayectoria del objeto, lo que implica que desde un comienzo sea
imposible hablar del mismo tipo de movimiento; b) el tiempo final es considerado como una
característica de la gráfica para decidir si las dos gráficas pueden están asociadas al mismo tipo
de movimiento sin advertir que esta no es una condición necesaria ni suficiente en lugar de
extraer la información necesaria de cada gráfica y establecer conexiones: c) se considera que al
ser distintas las variables asignadas a los ejes coordenados, las gráficas no pueden corresponder
al mismo tipo de movimiento, lo que permite inferir que no se puede extraer información de las
gráficas a menos que esta sea totalmente explícita; d) hay una falta de atención a la lectura de las
variables asociadas a cada eje coordenado ya que en algunos casos se interpretaron las dos
gráficas como si en ambas fueran gráficas de posición en función del tiempo.
Quienes afirman que “sí” apoyan sus respuestas en:
a. El concepto de velocidad apoyándose en la información representada en la gráfica: “Porque la
figura 3 nos dice que un objeto se desplaza con una velocidad constante de 10cm/s y la figura 4
nos muestra que durante 4 segundos hay una velocidad constante de 10cm/s” (Estudiante 25,
77
2014).; “Porque primero que todo si la velocidad es constante el carro tendrá una misma
distancia por el mismo tiempo durante todo el recorrido como se muestra en la figura 3 y en la
figura 4 que la velocidad es constante” (Estudiante 55, 2014). Estas justificaciones ponen en
evidencia que se acude al concepto de velocidad y que saben extraer el desplazamiento y el
tiempo transcurrido de la gráfica de posición en función del tiempo y lo pueden relacionar con la
información que hay en la gráfica de velocidad en función del tiempo.
b. Lectura correcta de las gráficas apoyada en el concepto de velocidad: “Porque en la figura 1
nos muestra que el objeto avanza a una velocidad constante de 10cm/s pues al segundo 1 esta en
10 cm, al 2 esta en 20, etc. La figura dos representa que la velocidad es constante que no cambia
y siempre permanece en 10m/s como lo podemos deducir en la figura 1” (Estudiante 79, 2014).;
c. Relación explícita entre pendiente y velocidad: “Vel=pendiente (pos/tiempo); m(cm/s)= y2-
y1/x2-x1; m=20-10/2-1 = 10cm/1s; V=10m/s (fig3) y V=10ms en todo el grafico en tiempo
(fig4) entonces si puede corresponder” (Estudiante 7, 2014).
En resumen, se puede afirmar para esta situación que el 55,5% de los estudiantes no logra
establecer conexiones entre dos gráficas que corresponden al mismo tipo de movimiento y del
42% que sí lo hace utiliza de forma implícita la conexión entre pendiente y velocidad.
78
Conclusiones
Este trabajo buscaba profundizar en la exploración de los errores de los estudiantes en la
interpretación de gráficas de la Cinemática haciendo una discusión desde el punto de vista físico
y matemático, confirmando que además de los errores típicos de los estudiantes reportados en
otras investigaciones, hay unos adicionales los cuales se encuentran ligados a interpretaciones de
la física.
La exploración se realizó en torno a tres categorías: (1) conexiones entre el concepto de
velocidad y pendiente, (2) interpretación de la forma de la gráfica como la trayectoria del objeto
y (3) conexiones entre dos tipos de gráfica.
Con respecto a la primera categoría, se puede afirmar que los estudiantes incurrieron en
errores típicos reportados en otras investigaciones como confundir la pendiente con la altura o
escoger el segmento de mayor altura. En la segunda categoría, se encontró que un gran
porcentaje de los estudiantes interpretó la gráfica de posición en función del tiempo para un
M.R.U.A como la trayectoria descrita por el objeto. Finalmente, en la tercera categoría se
encontró que hay dificultades para conectar dos gráficas que corresponden a un mismo tipo de
movimiento.
Específicamente en el análisis de gráficas, se presentó de forma recurrente:
a. Ausencia del concepto de velocidad. Esta ausencia se constituye, seguramente, en
una gran dificultad en la interpretación de gráficas de la cinemáticas ya que como lo
menciona Planinic et al. (2012) la estimación e interpretación de la pendiente de una
recta en un contexto físico presenta mayor dificultad para los estudiantes que en
contextos matemáticos.
79
b. Desconexión entre el concepto de velocidad y el de pendiente; tal y como lo reportan
diferentes investigadores, entre ellos, McDermott, Rosenquist & van Zee (1987);
Flores, Bello & Millán (2002).
c. Interpretación de la gráfica de posición en función del tiempo, para un M.R.U y un
M.R.U.A, como la trayectoria del objeto. Esta es una de las dificultades más
frecuentes, mencionada entre otros por Flores, Bello & Millán (2002) y Leinhardt,
Zaslavsky & Stein (como se citó en Planinic et al. 2012).
d. Desconocimiento de la información que hay en los ejes coordenados y de las
unidades correspondientes a las magnitudes físicas. Aunque esta dificultad no está
reportada directamente en los autores referenciados en este trabajo, Leinhardt et al.
(1990) hablan de las variables y la escala como elementos importantes de una gráfica
y que demandan del estudiante un trabajo importante especialmente cuando se trata
de construir gráficas en Ciencias Naturales.
e. Confusión entre las definiciones de posición, desplazamiento, trayectoria, velocidad.
Como lo menciona Planinic et al.(2012), la interpretación de gráficas demanda del
estudiante un conocimiento y manejo de los conceptos físicos para poder hacer una
apropiada interpretación de las gráficas, así que la confusión reportada en este trabajo
se puede constituir en una gran barrera para esta tarea.
f. Desconexión entre diferentes gráficas; tal y como lo encontró Flores, Bello & Millán
(2002).
g. Interpretación variada de una misma característica, es decir, una característica puede
ser interpretada de diferentes maneras y por lo tanto puede ser usada para dar
80
respuestas diferentes a una misma situación. Este hallazgo no está reportado de
forma directa en los trabajos consultados, sin embargo se puede inferir que está
asociada a una influencia (predominancia) de la parte visual señalada por
Kozhevnikov, Hegarty y Mayer (como se citó en Planinic et al. 2012) sobre la
espacial.
h. Con respecto a la incorporación de la definición de velocidad media y su modelo
matemático (ecuación) en los cuestionarios, se puede afirmar que esta información
adicional no se vio reflejada en un mejor desempeño en la interpretación de las
gráficas, lo que hace pensar que también hay dificultades en la interpretación de este
otro tipo de registro matemático y que no hay una movilidad entre los dos tipos de
registros. Este punto se deja en perspectiva para próximos trabajos.
1. Reflexiones sobre la práctica docente
Después de realizar este trabajo, puedo afirmar que definitivamente existe una gran
diferencia entre lo que se enseña y lo que aprende el estudiante; esto me lleva a reflexionar sobre
la cantidad de tiempo que le dedico a conocer lo que a los estudiantes les está quedando después
de haber estudiado un tema y la transcendencia que tiene el hecho de tomarse el tiempo de
hacerlo.
Para mí, este trabajo fue precisamente una oportunidad para dedicarle el tiempo necesario
a la exploración de los razonamientos de los estudiantes en esta temática y acercarme de manera
más profunda a las diferentes formas en las que pueden interpretar gráficas de la Cinemática y a
las conexiones que hacen entre conceptos matemáticos y físicos; este conocimiento
indudablemente ha impactado notablemente el trabajo que desarrollo en el aula ya que ahora no
puedo abordar un tema sin dejar de preocuparme por conocer y revisar las ideas que les están
81
quedando a los estudiantes; de hecho, cada vez que tengo clase con los alumnos, sin importar la
temática, me preocupo por llevarme una idea de lo que a los estudiantes les está quedando.
Actualmente, por ejemplo, doy mayores espacios para la participación de la clase, promuevo el
pensamiento en voz alta para que me permitan conocer cómo están pensando y cuál es el
aprendizaje que se llevan de la clase y me esmero por crear un clima de aula que permita generar
un ambiente de confianza para que los estudiantes pregunten y se equivoquen, ya que estas
equivocaciones se constituyen en una valiosa fuente de información acerca de los posibles
razonamientos de hacen los estudiantes.
Ver resultados tan diversos sobre un tema tan fundamental para la física, como lo es el
concepto de velocidad, me deja ver la complejidad del tema y me anima a seguir investigando
con el propósito de emprender acciones que promuevan una sólida conceptualización en física,
una correcta interpretación de las gráficas y la una relación apropiada entre los conceptos
matemáticos y físicos.
Con respecto al instrumento puedo afirmar que ni siquiera yo misma proponía este tipo
de situaciones en el aula y que siendo situaciones sencillas se constituyen en excelentes
herramientas para trabajar en clase ya que potencian en los estudiantes habilidades
fundamentales como la observación y la comparación; incluso puedo afirmar con base en mi
experiencia que estas situaciones tampoco están propuestas en los libros de texto que
habitualmente usamos los maestros.
Finalmente puedo decir que inicialmente daba por hecho que si un estudiante era capaz
de hacer una práctica de laboratorio, tomar datos y registrarlos para luego construir una gráfica
estaba garantizado el proceso inverso, es decir, que si un estudiante podía construir una gráfica
implicaba que dada una gráfica la sabía interpretar. Pero teniendo en cuenta los resultados y el
82
hecho de los estudiantes han desarrollado diferentes prácticas de laboratorios en la que
construyeron gráficas puedo decir que no es así y que sería conveniente que los maestros
dedicáramos algún tiempo para verificar algunas de las suposiciones que hacemos ya que los
procesos inversos no necesariamente están garantizados.
2. Aportes del trabajo
Teniendo en cuenta que el cuestionario diseñado para esta investigación ha pasado por un
proceso de validación cualitativo riguroso se puede afirmar que él mismo se constituye en un
aporte para los docentes de las áreas de física y matemáticas. En él, se presentan situaciones
gráficas poco rutinarias que resultan de interés, porque para solucionarlo no se hace necesario el
uso de ecuaciones pero si exige una verdadera comprensión del concepto de velocidad y de su
representación gráfica además, pone a prueba la interpretación de una gráfica de posición en
función del tiempo para un M.U.A. como una relación entre dos variables y con un sistema de
referencia previamente establecido.
El cuestionario puede ser implementado en las clases con fines variados: hacer un
diagnóstico, verificar la comprensión sobre la conexión entre pendiente y velocidad, conocer las
interpretaciones que le quedan al estudiante, presentar la aplicación de la pendiente en el
contexto de la cinemática, etc.
Este trabajo también ofrece a los docentes un conocimiento detallado a cerca de las
características de una gráfica de posición en función del tiempo en las que se apoyan los
estudiantes de grado décimo para extraer información de la velocidad de un objeto y las
explicaciones que dan para utilizar dichas características, en el contexto del M.R.U y el
M.R.U.A.. Esta información puede ser tenida en cuenta por los docentes durante la planeación
de clases, el diseño de la malla curricular, las estrategias didácticas que se podrían implementar
en las clases e incluso la estimación del tiempo dedicado a la enseñanza de este tema.
83
3. Limitaciones del trabajo y direcciones hacia nuevos trabajos
Como se ha señalado anteriormente, este trabajo se concentró en explorar acerca de: a)
las conexiones entre pendiente y velocidad b) las característica de una gráfica en la que los
estudiantes se apoyan para extraer información c) si los estudiantes hacen conexiones entre dos
tipos de gráficas y d) la interpretación de una gráfica de posición en función del tiempo como la
trayectoria del objeto. Sin embargo, no da cuenta de otros aspectos vinculados a esta temática
como pueden ser las posibles causas de las dificultades reportadas, las posibles estrategias de
solución o la eficacia de las posibles soluciones, por lo que sería interesante poder explorar estos
aspectos en futuros trabajos.
Debido a la complejidad del tema se podrían desarrollar con mayor profundidad aspectos
relacionados con la psicología cognitiva, educación matemática, educación física y las propias
disciplinas.
84
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gráficas cartesianas del movimiento: el caso de la velocidad y la trayectoria. Revista
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Leinhardt, G., Zaslavsky, O., & Stein, M. K. (1990). Functions, graphs, and graphing: Tasks,
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85
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Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas Guía sobre lo que los estudiantes deben
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practical guide to modelling cognitive processes (Vol. 2). London: Academic Press.
86
ANEXOS
ANEXO 1. INSTRUMENTO UTILIZADO EN LA PRUEBA PILOTO
CUESTIONARIO SOBRE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Situación No.1.
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se están moviendo a lo
largo de una recta horizontal.
Fig.1. Posición en función del tiempo para la situación 1.
c. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad?_______
Si es así, ¿en qué momento la tienen? ___________
Explica tu respuesta:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
d. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la
velocidad del objeto B? _______
Justifica tu respuesta:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Situación No.2
La siguiente figura representa la distancia recorrida con relación al tiempo, para un carro que se mueve
sobre una carretera recta.
87
a. ¿En qué intervalo de tiempo la rapidez fue mayor? __________________
Justifica tu respuesta: ________________________________________________________
Situación No.3
¿Podrían las figuras 3 y 4 corresponder al mismo tipo de movimiento? ___________
Fig.3. Posición en función del tiempo para la situación 3. Fig.4. Velocidad en función del tiempo para la situación 3.
¿Por qué?
_____________________________________________________________________________
Situación No. 4
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponden a un movimiento rectilíneo? _______________
88
¿Por qué?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Situación No.5
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan sobre una
recta horizontal. (Las rectas A y B son paralelas)
Fig.7. Posición en función del tiempo para la situación 5.
Con base en la gráfica contesta:
b. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad? _______
Justifica tu respuesta:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Fig.4. Posición en función del
tiempo para la situación 4.
Fig.6. Posición en función del
tiempo para la situación 4.
Fig.5. Posición en función del
tiempo para la situación 4.
89
c. ¿En qué momento la velocidad de A y B son iguales? ____________
Explica tu respuesta:
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
90
ANEXO 2. INSTRUMENTO UTILIZADO EN LA PRUEBA FINAL
SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL COLEGIO INSTITUTO TÉCNICO INDUSTRIAL PILOTO I. E. D.
“Formación Humana y Técnica Industrial Sostenible”.
CUESTIONARIO SOBRE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Objetivo de la prueba:
Esta prueba busca indagar sobre la manera en que los estudiantes interpretan algunas gráficas de
posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Descripción general del cuestionario:
El cuestionario consta de cinco situaciones, cada una de ellas tiene una gráfica y un texto corto que
sirven como referente para dar una respuesta y una justificación a la pregunta planteada. Las
situaciones son independientes entre sí.
Recomendaciones:
Observa detenidamente las gráficas y lee cuidadosamente las preguntas antes de contestar.
Escribe tus explicaciones de forma más detallada posible.
Al final del cuestionario encontrarás algunas fórmulas que puedes utilizar si lo consideras necesario. Es decir, el uso de estas ecuaciones no es obligatorio.
Si vas a realizar algún calculo u operación hazlo al lado de la gráfica o al respaldo de la hoja.
CUESTIONARIO SOBRE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Situación No.1.
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se están
moviendo a lo largo de una recta horizontal.
91
e. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad?_______
Si es así, ¿en qué momento la tienen? ___________
Explica tu respuesta:
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
f. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del objeto A ¿es más grande, más pequeña o
igual a la velocidad del objeto B? _______
Justifica tu respuesta:
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Situación No.2
La siguiente figura representa la posición con relación al tiempo, para un carro que se mueve
sobre una carretera recta.
a. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad fue mayor? _____
A. Entre t=0s y t=1s
B. Entre t=1s y t=3s
C. Entre t=3s y t=6s
D. Otro ____________
Justifica tu respuesta: ________________________________________________________
92
Situación No.3
¿Podrían las figuras 3 y 4 corresponder al mismo tipo de movimiento? ___________
¿Por qué?
______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
93
Situación No. 4
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al movimiento de un cuerpo que cae libremente
solo por la acción de la gravedad?_________
¿Por qué?
94
Explica tu respuesta:
______________________________________________________________________________
Situación No.5
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan
sobre una recta horizontal.
Con base en la gráfica contesta:
d. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad? _______
Justifica tu respuesta:
______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
e. ¿En qué momento la velocidad de A y B son iguales? ____________
Explica tu respuesta:
______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
DEFINICIONES Y ECUACIONES RELACIONADAS CON EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
La velocidad media de un objeto se define como una cantidad vectorial que relaciona el
desplazamiento y el tiempo transcurrido.
→
95
Dónde:
→ ( )
→ ( )
96
ANEXO 3. MODELO DE CONSENTIMIENTO INFORMADO A ESTUDIANTES
CONSENTIMIENTO INFORMADO PARA ESTUDIANTES
Por medio de la presente, solicitamos muy comedidamente su colaboración en
el trabajo de investigación titulado “Conexiones entre Matemáticas y Física en
la interpretación de gráficas de la Cinemática realizadas por estudiantes de
grado décimo del Colegio Instituto Técnico Industrial Piloto” que está realizando
la estudiante de Maestría, Inés Delgado R, de la Universidad de los Andes y
docente de ésta Institución Educativa. El objetivo de la investigación es
identificar cómo, los estudiantes de grado décimo del Instituto Técnico Industrial
Piloto, interpretan algunas gráficas de la Cinemática.
Su participación se materializaría contestando un cuestionario y participando
en una pequeña entrevista. Tenga en cuenta que:
Su participación es totalmente voluntaria.
Toda la información que ofrezca será empleada con propósitos
exclusivamente investigativos.
Aunque marque el cuestionario con su nombre, su identidad será
protegida y se mantendrá en total anonimato y confidencialidad.
Usted está en total libertad de decidir cuándo finalizar su participación.
Si tiene alguna inquietud, se pude comunicar con Inés Delgado R al correo
electrónico i.delgado29@uniandes.edu.co.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Acepto participar voluntariamente en este trabajo de investigación del Centro
de Investigación y Formación en Educación –CIFE– de la Universidad de los
Andes.
__________________________________
Nombre del Participante
_________________
Fecha
___________________________________
Firma
97
ANEXO 4. MODELO DE CONSENTIMIENTO INFORMADO A PROFESOR TITULAR
Y COORDINADOR ACADÉMICO
CONSENTIMIENTO INFORMADO
Por medio de la presente, solicitamos muy comedidamente su colaboración en
el trabajo de investigación titulado “Conexiones entre Matemáticas y Física en
la interpretación de gráficas de la Cinemática realizadas por estudiantes de
grado décimo del Colegio Instituto Técnico Industrial Piloto” que está realizando
la estudiante de Maestría, Inés Delgado R, de la Universidad de los Andes y
docente de ésta Institución Educativa.
El objetivo de la investigación es identificar cómo, los estudiantes de grado
décimo del Instituto Técnico Industrial Piloto, interpretan algunas gráficas de la
Cinemática.
Su participación se materializaría autorizando el desarrollo de la investigación
en la Institución Educativa con los estudiantes de grado décimo, de la jornada
mañana.
Si tiene alguna inquietud, se pude comunicar con Inés Delgado R al correo
electrónico i.delgado29@uniandes.edu.co.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Acepto participar voluntariamente en este trabajo de investigación del Centro
de Investigación y Formación en Educación –CIFE– de la Universidad de los
Andes.
__________________________________
Nombre del Participante
_________________
Fecha
___________________________________
Firma
98
ANEXO 4. MODELO DE CONSENTIMIENTO INFORMADO A PADRES DE FAMILIA
CONSENTIMIENTO INFORMADO PARA PADRES DE FAMILIA
Por medio de la presente, solicitamos muy comedidamente su colaboración en
el trabajo de investigación titulado “Conexiones entre Matemáticas y Física en
la interpretación de gráficas de la Cinemática realizadas por estudiantes de
grado décimo del Colegio Instituto Técnico Industrial Piloto” que está realizando
la estudiante de Maestría, Inés Delgado R, de la Universidad de los Andes y
docente de ésta Institución Educativa. El objetivo de la investigación es
identificar cómo, los estudiantes de grado décimo del Instituto Técnico Industrial
Piloto, interpretan algunas gráficas de la Cinemática.
Su participación se materializaría autorizando a su hijo(a) a contestar un
cuestionario y participando en una pequeña entrevista. Es importante que
tenga en cuenta que:
La participación es totalmente voluntaria.
Toda la información que ofrezca será empleada con propósitos
exclusivamente académicos.
Aunque su hijo(a) marque el cuestionario con el nombre, su identidad
será protegida y se mantendrá en total anonimato y confidencialidad.
Su hijo(a) y usted están en total libertad de decidir cuándo finalizar su
participación.
Si tiene alguna inquietud, se pude comunicar con Inés Delgado R al correo
electrónico i.delgado29@uniandes.edu.co.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Acepto participar voluntariamente en este trabajo de investigación del Centro
de Investigación y Formación en Educación –CIFE– de la Universidad de los
Andes.
__________________________________
Nombre del Padre o Madre de Familia
_________________
Nombre del hijo(a)
___________________________________
Firma del Padre o Madre de Familia
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