Conjuntos

INMACULADA CONCEPCION

CONJUNTOS

OLANCHITO, YORO

DANIS MEJIA

INTRODUCCION

La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de programación, etc. .

CONJUNTOSEs una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos de un conjuntos

Un conjunto puede ser definido EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves y separados por una coma

Ejemplo:

1.- Sea, A el conjunto de las vocales A={a,e,i,o,u}2.- Sea B el conjunto de los dias de la semanaB={lunes, martes, miercoles, jueves, viernes}

Definimos un conjunto IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de llaves las carateristicas de los elementos que pertenecen al cojunto como sigue:{x/x tiene la propiedad p} esto se lee “el conjunto de todas las x tales la propiedad p”.

Ejemplos:

1.- Sea A el conjunto de vocales:

Se escribe A={x/x es una vocal}

Se lee “ el conjunto de todas las x tales que x es una vocal “

2.- Sea D el conjunto de los numeros naturales pares.

Se escribe D={x/x es un numero natural par}

Se lee “el conjunto de todas las x tales que las x es un numero natural par”

RELACION DE PERTENENCIAUn elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos, representado de la siguiente forma:

elemento conjunto se lee, elemento pertenece a conjuntoSu negacion elemento conjunto se lee, elemento no pertenece a conjuntoEjemplos:Del ejemplo anterior podemos decir:1.- a A se lee, a pertenece al conjunto A2.- w A se lee, w no pertenece al conjunto A3.- 33 D se lee, 33 no pertenece al conjunto D

Un conjunto es finito cuando podemos listar todos sus elementos A={1,2,3}Es infinito cuando no podemos listar todos sus elementosS={ x/x N, x ≥ 10}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Igualdad de Conjuntos

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todos los elementos de A pertencen a B y todos los elementos de B pertenecen a A.Esto es, A=B, entonces x A implica que x B, y y B implica que y AEjemplo:

1.- Si T={1,2,3,4,5} y L={3,5,2,1,4}Entonces T=L

2.- S M={1,3,5,7,9} y G={x/x es impar ^ 1 ≤ x ≤ 9}Entonces M=G

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Subconjuntos

Si cada elemento de un conjunto A, es también elemento de un conjunto B, entonces A se llama subconjunto de B. También decimos que A esta contenido en B, o que B contiene a A.Sin embargo, no todo elemento de B necesita ser elemento de A.Esta relación se escribe: A B o B A Si A no es un subconjunto de B, es decir, si por lo menos un elemento de A no pertenece a B, escribimosEjemplo:

1.- A={1,3,4,5,8,9} y B={1,2,3,5,7} C={1,5}Podemos decir que:C A y C B por 1 y 5, los elementos de C, tambien son elementos de A y B.B A ya que algunos de sus elementos como 2 y 7 no pertenecen a A.

CONJUNTOS ESPECIALESConjunto Vacio

Es el carece de elementos, se simboliza por ( ) o Ø.Ejemplo:El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas de 500 anos de de edad, es un conjunto vacio.

Conjunto UniversalEn toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y se denotará por U.

Si U = N, el conjunto de los numeros naturales.A={1,2,3,4,5,} B={x/x es un numero primo} C={x/x es un numero natural par}A,B y C son conjuntos propios de U

Conjunto de PartesCONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).

Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Formemos todos sus subconjuntos:M={a} N={b} P={c} Q={d}

R={a,b} S={a,c} T={a,d} U={b,c} b

V={b,d} X={c,d} Y={a,b,c} Z={a,b,d}

L={b,c,d}

El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:P(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}

DIAGRAMA DE VENN

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

C

BA

U

En la siguiente figura se han representado los conjuntos A, B, C,D y U.

A={1,2,3} B={1) C={8,3} D={8}

A U, B U, C U, D U

B A y D C

U

A

B C

D

76

556

A B

El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

OPERACIONES CON CONJUTOSUnion de Conjuntos

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

AUB AUB

76

556

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

OPERACIONES CON CONJUTOSInterseccion de Conjuntos

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A∩B A∩B=B

B

A ∩ B=Φ

Diferencia de Conjuntos OPERACIONES CON CONJUTOS

La diferencia de dos conjuntos A y B denotada A - B , que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.

Simbolicamente: A – B={x/x A ∈ Λ x B} ∉

Ejemplos:

a) A={a,b,c} B={c,d} A - B={a,b}b) A={3,4,5,6} B={4,5} A - B={3,6}c) A={1,2,3} B={6,7} A - B={1,2,3}

UAA

B

BA B

U U

76

556

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

76

556

A B

El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

B A

B A x /x B x A

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

OPERACIONES CON CONJUTOSDiferencia Simetrica de Conjuntos

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B, denotada por Δ, que se lee A diferencia simetrica B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.

Simbolicamente: A Δ B={x/x A v x B ∈ ∈ Λ x A ∩ B } ∈

Ejemplo:

a) A={1,2,3,4} B={4,5} A Δ B={1,2,3,5}

A B

U Observe que lo sombreado corresponden conjuntos A - B y B – A, por esto también

A Δ B={A-B}U{B-A} A Δ B={AUB}-{B∩A}

76

556

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA-B B-A

A B

OPERACIONES CON CONJUTOSComplemento de un Conjunto

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denotado A´, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A.

Simbólicamente: A´={x/x U ∈ Λ x A } ∉

Ejemplo:

Sea U= N{el conjunto de los números naturales}A={x/x es un numero natural par}A´={es un numero natural impar }=U-A

A

U

A´= U - A

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

12 3

45

6

78

9

U AA

A’={2;4;6,8}

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

1. (A’)’=A

2. A U A’=U

3. A ∩ A’=Φ

4. U’=Φ

5. Φ’=U

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS

Leyes de Idempotencia I. A U A = A

II. A ∩ A = A

Demostrar:

A={1,2,3)

A U A={1,2,3}

A ∩ A={1,2,3}

I. (A U B) U C = A U (B U C)

II. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Demostrar:

I. (A U B) U C = A U (B U C)

A={1,2,3) B={4,5,6} C={7,8}

(A U B)={1,2,3,4,5,6} U {7,8}

(A U B) U C ={1,2,3,4,5,6,7,8}

(B U C)={4,5,6,7,8} U {1,2,3}

A U (B U C)={1,2,3,4,5,6,7,8}

Leyes Asociativa

Las Sig. 4 propiedades se utilizan con la unión y la intersección

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOSLeyes Conmutativas Leyes Distributivas I. A U B = B U A

II. A ∩ B = B ∩ A

Demostrar:

I. A U B = B U A

A={1,2,3) B={3,4,5,6}

A U B={1,2,3,4,5,6}

B U A={4,5,6,1,2,3}

II. A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B={3}

A ∩ B={3}

Nota: 3 es el elemento común.

I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C)

II. A U (B ∩ C) = (B ∩ A) U ( A ∩ C)

Demostrar:

I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C)

A={1,2,3) B={3,4,5,6} C={6,7}

A U (B ∩ C)

B ∩ C={6} U {1,2,3}

A U (B ∩ C) ={1,2,3,6}

(B U A) ∩ ( A U C)

B U A={3,4,5,6,1,2} A U C={1,2,3,6,7}

(B U A) ∩ ( A U C)={1,2,3,6}

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS

Leyes de IdentidadRelacionadas con el conjunto universal y vacio

I. A U U = U A ∩ U = U

II. A U ø = A A ∩ ø = øDemostrar:

U={1,2,3,4,5,6} A={1,2}

A U U = U A U ø = A

A U U ={1,2,3,4,5,6} A U ø ={1,2,{ }}

A ∩ U = U A ∩ ø = ø

A ∩ U ={1,2,3,4,5,6} A ∩ ø ={ }

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS

Leyes de ComplementoCon respecto al complemento

I. A U A’ = U A U A’= ø II. (A)’ = A U’= ø

Demostrar:

I. A U A’ = øA U A’ ={ }

Demostrar:

I. A U A’ = U

A U A’ ={1,2,3,4,5}

Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5} A={1,2,3}

Demostrar:

I. (A’)’ = A

A’={ }, (A’)’={1,2,3}

Leyes D’ Morgan I. (A U B)’ = A’ ∩ B’ II. (A ∩ B)’ = A’ U B’Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={3,4,5}

Demostrar:

I. (A U B)’ = A’ ∩ B’

(A U B)’ ={6 }

A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6}

A’ ∩ B’={6}

Demostrar:

I. (A ∩ B)’ = A’ U B’

(A ∩ B)’ ={1.2.4.5,6 }

A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6}

A’ U B’={4,5,6,1,2}

ALGEBRA DE CONJUNTOS

Con base a la relacion de orden A B y en las operaciones A U B y A ∩ B se pueden formar la algebra de conjutos.Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5,6}

Demostrar que: A - B = A ∩ B’ = B’ - A’

I.- A – B A – B ={1,2,3}

II.- A ∩ B’ B’={1,2,3,6} A ∩ B’ ={1,2,3}

III.- B’ – A’ A”={4,5,6} B’ - A’ = {1,2,3}

Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5} C={6}

Demostrar que: A – (B U C) = (A – B) ∩ ( A – C)

I.- A – (B U C) B U C ={4,5,6} A – (B U C)={1,2,3}

II.- (A – B) ∩ ( A – C) A – B ={1,2,3} A – C ={1,2,3} (A – B) ∩ ( A – C)={1,2,3}

Relacion entre la logica y los conjuntos

Formas NomalesALGEBRA DE CONJUNTOS

Las formas normales disyuntivas y conjuntivas corresponden a la teoria de conjuntos a las formas union e interseccion.

La forma normal completa de la union: se obtiene reuniendo los terminos interseccion cuyo resultado es el conjunto universal U.

Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4}

Demostrar que: (A’∩ B’) U (A’∩ B) U (A∩ B’) U (A ∩ B)= U

A’={4,5) B’={1,2,3,5}(A’∩ B’)={5} (A’∩ B)={4} (A∩ B’) ={1,2,3) (A ∩ B)= { }

U={ 5,4,1,2,3,{ } }

U

A∩ B’ A ∩ B A’ ∩ B

A’ ∩ B’

La forma normal completa de la interseccion: se obtiene intersectando los terminos ide la union cuyo resultado es el conjunto

ALGEBRA DE CONJUNTOSFormas Nomales

øTeniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostracionesU={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4}

Demostrar que: (A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) =

A’={4,5) B’={1,2,3,5}

(A’U B’)={4,5,1,2,3} (A’U B)={4,5} (AU B’) ={1,2,3,5) (A U B)= {1,2,3,4 }

(A’U B’) ∩ (A’U B) ={4,5} (AU B’) ∩ (A U B) ={1,2,3}

(A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) =

ø

ø

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 3

12

CONJUNTOS NUMERICOS

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPUESTAS

CONJUNTOS NUMERICOS