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Controlo de SistemasIntrodução
Alexandra Moutinho
Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, (alexandra.moutinho@tecnico.ulisboa.pt)
• Controlo de Sistemas:– Programa– Bibliografia– Corpo docente– Horários– Método de avaliação– Laboratório
• Um exemplo prático resolvido como team-basedlearning para: – Relembrar modelação e análise de sistemas– Introduzir controlo de sistemas
Nesta aula
2
• Aprender técnicas de projecto de sistemas de controlo para sistemas lineares e invariantes no tempo representados em função de transferência, nos domínios do tempo contínuo e discreto (ou digital).
Objetivo
3
• Introdução ao controlo automático: conceitos de feedback e feedforward
• Ferramentas de análise de sistemas de controlo:– Método do LGR (Lugar Geométrico das Raízes)
– Critério de estabilidade de Nyquist
• Projecto de controladores no domínio do tempo contínuo:– Controladores PID
– Compensadores de avanço/atraso
• Projecto de controladores digitais:– Método da emulação
– Método directo
Programa resumido
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• INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLO: – controlo por realimentação e controlo directo; – controlo de sistemas com atraso – Preditor de Smith;– conceitos básicos e terminologia;– especificações de desempenho;
• ANÁLISE DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO: – o Lugar Geométrico das Raízes (LGR); – LGR de sistemas com atraso;
• ANÁLISE DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA: – o critério de estabilidade de Nyquist; – estabilidade relativa: margens de fase e de ganho;
• ERROS ESTACIONÁRIOS E PRECISÃO DO ANEL FECHADO
Programa
5
• SÍNTESE DE CONTROLADORES: – controladores PID;– compensadores de avanço;– compensadores de atraso;
• SISTEMAS DE CONTROLO DIGITAL: – equivalentes discretos de sistemas contínuos; – síntese de controladores digitais pelo método da
emulação:• síntese de controladores PID;
– síntese de controladores digitais pelo método directo; • o LGR em Z; • o critério de estabilidade de Nyquist em Z.
• NÃO LINEARIDADES
Programa
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• Principal
– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (7ª edição), 2017
– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press
– Solved Problems in Dynamical Systems and Control, T. Machado, A. Lopes, D. Valério, A. Galhano, IET, 2016
• Secundária
– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (8ª edição), 2020
– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (5ª edição), 2010
Bibliografia
7
• Prof.ª Alexandra Moutinho (responsável)– alexandra.moutinho@tecnico.ulisboa.pt
– Pav. Mecânica 3, piso superior
• Prof. Duarte Valério– duarte.valerio@tecnico.ulisboa.pt
– Pav. Mecânica 3, piso térreo
• Prof. Carlos cardeira– maria.joao.sousa@tecnico.ulisboa.pt
– Pav. Mecânica 3, piso superior
• Solange Santos– solange.santos@tecnico.ulisboa.pt
– Pav. Mecânica 3, laboratório LCAR (piso inferior)
Corpo docente
8
• Sala de aula:
– 2x1.5h teóricas (T)/sem.
– 1x1h problemas (PB)/sem.
– 1x1h laboratório (L)/quinz.
• Acompanhamento *:
– 9.5h hor.dúvidas (D)/sem.
*avisar o docente no dia anterior por email / em atualização
Horário
9
• Componente teórica (70%, mínimo 9.5):
– 2 Testes (sem nota mínima individual):• (T1) 30 de abril (6ª feira)
• (T2) 4 de junho (6ª feira)
– 1 Exame ou repescagem de 1 teste:• (E), (T1), (T2) 29 de Junho (3ª
feira)
• Componente prática (30%, mínimo 9.5):
– Trabalho laboratorial:• (Lab) Entrega quinzenal
9 e 23 abril, 7 e 21 maio
Método de Avaliação
𝑁𝐹 = 0.7 ∗ max 𝐸,𝑇1 + 𝑇2
2+ 0.3 ∗ 𝐿𝑎𝑏
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• Opções na data de exame normal (apenas uma delas):
– Exame, ou
– Repescagem Teste 1, ou
– Repescagem Teste 2.
• Opção na data de exame de época especial:
– Exame.
• Método de avaliação de alunos trabalhadores-estudantes e em época especial igual à época normal:
𝑁𝐹 = 0.7 ∗ max 𝐸,𝑇1 + 𝑇2
2+ 0.3 ∗ 𝐿𝑎𝑏
Método de Avaliação
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• Disponibilizado na página de CS em Material de Apoio -> Aulas Teóricas:
– Planeamento de todas as aulas
– Conteúdos (bibliografia e/ou vídeos expositivos, links kahoots)
– Gravação de um dos turnos
Aulas Teóricas
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• Enunciados das aulas na página da UC no Fénixem Material de Apoio -> Aulas de Problemas
• Antes das aulas:
– (Tentar) Resolver os problemas
– Assistir aos vídeos com a resolução dos exercícios
• Nas aulas:
– Tirar dúvidas e discutir diferentes formas de resolver os problemas
Aulas de Problemas
13
• Modelação, identificação e controlo de um veículo autónomo terrestre – Rasteirinho
Laboratório
14
• Laboratório individual e obrigatório
• Aulas de laboratório virtuais são quinzenais, iniciam dia 8 de março
• Trabalho será principalmente computacional, em simulação
• A entrega dos relatórios dos Laboratórios é feita quinzenalmente, via Fénix
• Espera-se que haja oportunidade de todos os alunos terem um laboratório presencial de 2h nas últimas 2 semanas de aulas para implementação do lab. 4
Laboratório
15
• Programa e planeamento– Aulas teóricas
– Aulas de problemas
– Aulas de laboratório
• Método e datas de avaliação
• Bibliografia
• Material de apoio– Aulas teóricas
– Aulas de problemas
– Aulas de laboratório
Webpage de Controlo de Sistemas
16
Podem usar telemóveis, tablets e/ou PC nas aulas, quando este símboloaparecer nos slides
Todos os Kahoot feitos serão disponibilizados nos slides e nos sumários das aulas
Regra da UC
17
18
Pausa para uma zoom poll
Team-based learningCaso de estudo: Antena de radiotelescópio
Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA), Chile, European Southern Observatory, José Francisco Salgado
19
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA), Chile, European Southern Observatory, José Francisco Salgado
23
• Considere uma antena de um radiotelescópio, cujo ângulo de azimute 𝜃 se pretende definir
• Este é um exemplo de um sistema de controlo de posição, o qual converte um pedido de posição (𝜃𝑟) numa dada resposta de posição (𝜃)
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
𝜽
24
• A orientação 𝜃 da antena é variável por acoplamento com um motor com velocidade de
rotação ሶ𝜃
• Como faria o projetodeste sistema de controlo?
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
Motor
𝜽
Antena
25
Projeto de controlo de sistemas
Definir sistema físico e
especificações de desempenho pretendidas
Analisar desempenho do sistema e decidir
quanto à necessidade de
controlo
Projetar sistema de controlo
Avaliar desempenho do
sistema controlado e
cumprimentos dos requisitos
26
• Requisitos:
– Seguimento de orientação desejada
• Especificações de desempenho:
– Estabilidade
– Precisão no seguimento
– Resposta transiente rápida e sem sobreimpulso
– Robustez a perturbações
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
Motor
𝜽
Antena
27
• Como analisar o desempenho do sistema e decidir quanto à necessidade de controlo?
• Desempenho analisado nos domínios do:– Tempo:
• Ex. entrada em degrau
• Resposta transiente
• Resposta estacionária
– Frequência: • Entrada sinusoidal
• Ex. diagrama de Bode
• Ganho e fase da saída relativamente à entrada
Projeto de controlo de sistemas
28
• Como obter as respostas do sistema nos domínios do tempo e da frequência?
– Experimentalmente
• Implica existência e disponibilidade do sistema físico
• Requer estabilidade do sistema físico
– Em simulação
• Requer modelo do sistema– Útil também para o projeto e validação do controlador
• Aplicável qualquer que seja o sistema
Projeto de controlo de sistemas
29
• Para obter o modelo do sistema, comecemos por desenhar o seu esquema:
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
Motor
Armadura
Resistência da armadura
Engrenagem
Engr.
Inércia
Amortecimento viscoso𝜽
+
−
𝒆𝒂(𝒕)
Campo fixo
30
• Equivalente a:
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
𝜽(𝒕)
𝑻(𝒕)𝒊𝒂(𝒕)
𝒆𝒂(𝒕) 𝒗𝒃(𝒕)
𝑹𝒂 𝑳𝒂+
−
−
+
Campo fixo
Rotor
𝑱
𝑫
Circuito da armadura
31
• 𝑒𝑎(𝑡), tensão de alimentação do motor• 𝑅𝑎, resistência da armadura• 𝐿𝑎, indutância da armadura• 𝑖𝑎(𝑡), corrente no motor• 𝑇 𝑡 = 𝐾𝑡𝑖𝑎(𝑡), binário induzido no rotor• 𝐾𝑡, constante do binário induzido• ሶ𝜃(𝑡), velocidade angular do rotor
• 𝑣𝑏 𝑡 = 𝐾𝑏 ሶ𝜃(𝑡), força contraeletromotriz• 𝐾𝑏, constante da força contraeletromotriz• 𝐽, inércia• 𝐷, constante do amortecimento viscoso
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
32
• Podemos agora modelar o sistema a controlar:
– Parte elétrica:
𝑒𝑎 𝑡 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 𝑡 + 𝐿𝑎𝑑𝑖𝑎(𝑡)
𝑑𝑡+ 𝑣𝑏(𝑡)
𝐾𝑏𝑑𝜃𝑑𝑡
– Parte mecânica:
ถ𝑇 𝑡𝐾𝑡𝑖𝑎(𝑡)
= 𝐽𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2+ 𝐷
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
33
• Aplicando Transformada de Laplace às equações anteriores com condições iniciais nulas:
– Parte elétrica:
𝐸𝑎 𝑠 = 𝑅𝑎𝐼𝑎 𝑠 + 𝐿𝑎𝑠𝐼𝑎 𝑠 + 𝐾𝑏𝑠𝜃(𝑠)
– Parte mecânica:
𝐾𝑡𝐼𝑎(𝑠) = 𝐽𝑠2𝜃 𝑠 + 𝐷𝑠𝜃(𝑠)
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
(1)
(2)
34
• Substituindo a eq. (2) na eq. (1):
𝐸𝑎 𝑠 =𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 𝐽𝑠2 + 𝐷𝑠
𝐾𝑡𝜃(𝑠) + 𝐾𝑏𝑠𝜃(𝑠)
• Assumindo 𝐿𝑎 ≪ 𝑅𝑎, usual num motor dc:
𝐸𝑎 𝑠 =𝑅𝑎𝐾𝑡
𝐽𝑠2 + 𝐷𝑠 + 𝐾𝑏𝑠 𝜃(𝑠)
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
35
• Finalmente, a função de transferência do sistema:
𝜃(𝑠)
𝐸𝑎 𝑠=
𝐾𝑡𝑅𝑎𝐷 + 𝐾𝑡𝐾𝑏
𝑠𝑅𝑎𝐽
𝑅𝑎𝐷 + 𝐾𝑡𝐾𝑏𝑠 + 1
• Ou escrita mais genericamente:
𝜃(𝑠)
𝐸𝑎 𝑠=
𝐾
𝑠 𝑇𝑠 + 1, 𝐾 = 0.025 ൗrad
V , 𝑇 = 0.6 s
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
36
• Podemos desenha-la como um diagrama de blocos:
• A função de transferência corresponde a um modelo do sistema no domínio da frequência, relacionando a saída do sistema com a sua entrada, através da razão
𝐺(𝑠) =saída
entrada
Função de transferência
𝐾
𝑠 𝑇𝑠 + 1
𝜃(𝑠)𝐸𝑎 𝑠
37
• Como classifica este sistema 𝜃(𝑠)
𝐸𝑎 𝑠=
0.025
𝑠 0.6𝑠+1quanto a:
– Ordem?• Ordem do polinómio do denominador ou número de pólos: 2
– Tipo?• Número de pólos na origem: 1
– Estabilidade?• Localização dos pólos: 1 no semi-plano complexo esquerdo (SPCE) e 1
no eixo imaginário; Sistema marginalmente estável
https://create.kahoot.it/details/at1c-revisao/2e7c87d9-9593-4acf-87a2-546a6504318e
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
38
• Que tipo de resposta ao degrau espera de um sistema como este?
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
>> G = tf(0.025,[0.6 1 0])
G =
0.025
-----------
0.6 s^2 + s
Continuous-time transfer
function.
>> t = 0:0.1:250;
>> u = ones(size(t));
>> figure, lsim(G,u,t)
39
• O que significa uma entrada em degrau neste caso?– Variação da tensão de
entrada no motor de 0 para 1V
• O que significa esta resposta?– Variação da posição angular
do veio do motor (antena) constante, i.e., a antena rodará a uma velocidade constante
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
𝐾
𝑠 𝑇𝑠 + 1
𝜃(𝑠)𝐸𝑎 𝑠
40
• Podia antecipar este tipo de resposta?
– 𝑮 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎
𝑮 𝒔 = +∞, corresponde ao ganho estático do
sistema, ou seja, qual o ganho da saída relativamente à entrada quando a frequência tende para zero (ou o tempo tende para infinito)
• Está de acordo com a estabilidade do sistema?
– Sistema marginalmente estável
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
41
• Avaliação pela resposta no tempo do sistema:
– toda a entrada limitada resulta numa saída limitada
– qualquer entrada limitada resulta numa saída ilimitada
– é estável para algumas entradas limitadas e instável para outras
https://create.kahoot.it/details/at1d-estabilidade-por-resposta/7007f5c4-80ef-4ad8-8860-c06018d3c088
• Avaliação pela resposta no tempo do sistema:
– Um sistema é estável se
– Um sistema é instável se
– Um sistema é marginalmente estável se
Estabilidade
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• Avaliação pela localização dos pólos do sistema:
– Um sistema é estável se
– Um sistema é instável se
– Um sistema é marginalmente estável se
•
– todos os pólos pertencem ao semi-plano complexo esquerdo
– tiver pelo menos um pólo no semi-plano complexo direito e/ou pólos de multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário
– só tiver pólos no semi-plano complexo esquerdo e pólos de multiplicidade 1 no eixo imaginário
https://create.kahoot.it/details/at1e-estabilidade-por-polos/587df221-ce04-4032-92d0-519ba21ae7ac
Estabilidade
43
𝑮𝟎 𝒔 =𝟏
𝒔, 𝑮𝟏 𝒔 =
𝟏
𝒔 + 𝟏, 𝑮𝟐 𝒔 =
𝟏
𝟎. 𝟐𝒔 + 𝟏, 𝑮𝟑 𝒔 =
𝟏
𝒔 − 𝟏
Sistema de 1ª ordem, 𝑮 𝒔 =𝑲
𝑻𝒔+𝟏
44
Sistema de 1ª ordem, 𝑮 𝒔 =𝑲
𝑻𝒔+𝟏
>> G0=tf(1,[1 0]);
>> G1=tf(1,[1 1]);
>> G2=tf(1,[1 0.2]);
>> G3=tf(1,[1 -1]);
>> iopzmap(G0,G1,G2,G3)
>> figure,step(G0,G1,G2,G3)
>> axis([0,6,0,3])
45
𝑮𝟎 𝒔 =𝟏
𝒔𝟐 + 𝟏, 𝑮𝟏 𝒔 =
𝟏. 𝟓
𝒔𝟐 + 𝟑. 𝟓𝒔 + 𝟏. 𝟓, 𝑮𝟐 𝒔 =
𝟒
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟒,𝑮𝟑 𝒔 =
𝟏𝟎
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟏𝟎, 𝑮𝟒 𝒔 =
𝟏𝟎
𝒔𝟐 − 𝟐𝒔 + 𝟏𝟎
Sistema de 2ª ordem, 𝑮 𝒔 =𝝎𝒏𝟐
𝒔𝟐+𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐
46
Sistema de 2ª ordem, 𝑮 𝒔 =𝝎𝒏𝟐
𝒔𝟐+𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐
>> G0=tf(1,[1 0 1]);
>> G1=tf(1.5,[1 3.5 1.5]);
>> G2=tf(4,[1 4 4]);
>> G3=tf(10,[1 2 10]);
>> G4=tf(10,[1 -2 10]);
>> iopzmap(G0,G1,G2,G3,G4)
>> figure,step(G0,G1,G2,G3,G4)
47
• Voltando ao nosso problema, se pretendemos orientar a nossa antena numa dada direção 𝜃𝑟, o que devemos fazer?a) Variar manualmente a
tensão de alimentação do motor de modo a manter a orientação constante
b) Projetar um controlador que o faça de modo automático
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
48
• Desenhe o diagrama de blocos do anel de controlo que implementaria
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
𝐺 𝑠 =0.025
𝑠(𝑠 + 1)
𝐸𝑎(𝑠) 𝜃(𝑠)
Antena
Sensor
𝜃𝑟(𝑠)𝐺𝑐(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝜃𝑚(𝑠)
+−
Controlador
𝐻 𝑠 = 1
49
>> G = tf(0.025,[0.6 1 0]);
>> sisotool(G)
>>
• Assumindo um controlador proporcional, 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
>> G = tf(0.025,[0.6 1 0]);
>> sisotool(G)
>>
>> Kp=16.7;
>> Gaf=feedback(G*Kp,1)
Gaf =
0.4175
--------------------
0.6 s^2 + s + 0.4175
Continuous-time transfer
function.
>> figure,step(Gaf)
>>
50
• Requisitos:
– Seguimento de orientação desejada
• Especificações de desempenho:
– Estabilidade
– Precisão no seguimento
– Resposta transiente rápida e sem sobreimpulso
– Robustez a perturbações
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
?
51
• Como verificar robustez a perturbações?
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
𝐺 𝑠 =0.025
𝑠(𝑠 + 1)
𝐸𝑎(𝑠) 𝜃(𝑠)
Antena
Sensor
𝜃𝑟(𝑠)16.7
𝐸(𝑠)
𝜃𝑚(𝑠)
+−
Controlador
𝐻(𝑠)
Perturbações
+
+
+
+
Ruído
52
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
>> simulink
>>
53
• Verificar cumprimento dos requisitos:
– Para valores conhecidos das perturbações e ruído;
– Para que gama das perturbações e ruído (análise de sensibilidade)
• Verificar cumprimento dos limites físicos da atuação
• Avaliar necessidade de testar outros controladores
Caso de estudo:Antena de radiotelescópio
54
• História de Controlo de Sistemas
• Motivação para Controlo de Sistemas
• Estratégias de controlo
– Controlo por realimentação
– Controlo direto
– Controlo em cascata
• Análise de sistemas de controlo: efeitos da realimentação
Próxima aula
55
1. Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons
• Capítulo 1 - Introduction
• Capítulo 2 – Modelling in the frequency domain
Referências/fontes usadas
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