Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali

Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali

Reti Elettriche – Parte I

Revisione aggiornata al 18-3-2013

(www.elettrotecnica.unina.it)

Oggetto del corso

• Studio delle reti elettriche

- reti in regime stazionario

- reti in regime lentamente variabile ed

in particolare sinusoidale

• Elementi di impianti elettrici

- il trasformatore

- elementi di sicurezza elettrica

Supporti didattici

• Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed applicazioni” Liguori Editore

• Appunti integrativi su:

- Trasformatore

- Esercizi numerici

• Slides del corso

Tipologia delle reti elettriche considerate

Reti di bipoli

Definizione preliminare di bipolo: Oggetto elettrico facente capo a due morsetti terminali A e B, che sono attraversati dalla corrente i e a cui è applicata la tensione v. Si considera il funzionamento dei singoli bipoli “a scatola chiusa”, partendo dalle relazioni tra v ed i.

Richiami preliminari

Corrente elettrica, tensione elettrica e forza elettromotrice

La corrente elettrica (di conduzione)

Δq carica netta che, nell’intervallo di tempo Δt, transita nel verso diretto dalla sez. A alla sez. B attraverso la sez. S.

t

qi ot

lim

qqqqq

Vettore densità di corrente (di conduzione)

Il vettore densità di

corrente di conduzione da A verso B attraverso la superficie S è definito da:

S

dSnGi

Corrente elettrica in un conduttore filiforme

Definizione di Ampére.

In 2 conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e indefiniti posti in aria circola la corrente di un A, se tra di essi si esercita una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza.

Misura della corrente (amperometro ideale)

L’amperometro ha 2 morsetti,uno + ed uno -

Misura della corrente da A verso B.

Misura della corrente da

B verso A.

Diversi tipi di corrente

Corrente nei conduttori metallici, costituita da un flusso di elettroni (e=-1.6·10-19 coulomb)

(1 coulomb=1 A * 1 sec)

Corrente nei conduttori elettrolitici costituiti da un flusso di ioni positivi e negativi

K

eKF

F

La corrente nei semiconduttori

Struttura cristallina del silicio

Conduzione di tipo p (positiva) costituita da un flusso di “buchi”

La corrente di spostamento

La corrente di spostamento jS attraverso una superficie S invariata nel tempo ed immersa in un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data da:

La quantità rappresenta il vettore

densità di corrente di spostamento

t

K

)(

S

S dSnt

Kj

)(

Un esempio di corrente di spostamento

v

S

La corrente totale

La somma della corrente di conduzione i e della corrente di spostamento jS:

itot=i+jS è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità è solenoidale:

Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di spostamento jS uscenti dalla (o entranti nella) superficie chiusa Σ è nulla.

0])(

[

dnt

KG

La tensione elettrica

Data una linea ϒ di estremi A e B si dice

tensione da A a B lungo ϒ, la quantità

che rappresenta il lavoro compiuto dal campo

elettrico per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ. L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1 joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il campo elettrico è conservativo la tensione è

B

A

dltK)(

K

BAT

%

La tensione elettrica

indipendente da γ. Il campo elettrico è dotato di potenziale:

La d.d.p. tra A e B può essere formalmente indicata come

)()(' BVAVTT BABA

ABVBVAV )()(

VK

'

AB AB

Misura della tensione elettrica (voltmetro ideale)

Il voltmetro ha 2

morsetti,uno + ed uno - Misura della d.d.p. VAB

Misura della d.d.p. VBA

Forza elettromotrice

Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica:

Essa è diversa da zero solo se non è conservativo

sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia.

dltKe

K

L’esempio della pila (funzionamento a vuoto)

Sia KT la forza totale agente sull’unità di carica.

dove è il campo elettrostatico creato dalla distribuzione di cariche sugli elettrodi e è il campo di natura

dltKe T

ieT KKK

eK

iK

2

21

1 da A a B

2 da B ad A%

L’esempio della pila (funzionamento a vuoto)

elettrochimica presente solo all’interno della soluz. elettrolitica,dove:

Nell’aria si ha:

0 ieT KKK

0iK eT KK

dltKdltKe ie

0

2

e )( 2 A

B

i dltK )( 2 A

B

ABe VAVBVdltK )]()([

ABVe

F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica

Solenoidalità del vettore induzione magnetica

21 SSS S

dSnB 0

S

S SdSnBdSnBdSnB

1 221 0

1 2

21S S

dSnBdSnB

B

F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica

Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γPer la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ.Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità:

in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.

B

n

S

dSnB

F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica

Flusso concatenato con una linea chiusa Flusso concatenato con una linea chiusa orientata orientata γγ

Congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ

F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica

Legge di Faraday

Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una f.e.m. data da:

in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.

dt

de

Definizione di bipolo

Si definisce bipolo un oggetto elettrico racchiuso da una superficie S, da cui fuoriescano due morsetti A e B; S sia scelta in maniera tale che: 1) iA=iB; 2) sia conservativo su S e nelle sue immediate vicinanze; 3) vi sia assenza di forze di natura non elettrica. Il regime di funzionam. è stazionario o lentamente variabile

K

0])(

[

S

dSnt

KG

se

0S

dSnG

BA ii

se

ABBA VT

0)(

t

K

0t

B

0dt

ddlKe

S

zaIndut tan

dt

diLv

Pila ideale

ev

Esempi di bipoli

A

B

Esempi di bipoli: la capacità

v

S

A

B

i

Convenzioni dei segni in un bipolo

Potenza assorbita da un conduttore

Il lavoro dL secondo la direzione della forza per spostare la carica positiva dq da A a B (lavoro assorbito) è:

La potenza corrispond. è pass=vi: tale espressione è esatta in regime staz. ed approssim. in regime lentamente variab.

K dF

KidtKdqdF )( B

A

dldFdL

B

A

vidtdlKidtdL )(

vidt

dLpass

Convenz. utilizzatore

Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha:

dL=-vidt e p=-vi questa potenza,derivante da un lavoro secondo una

direzione opposta alla forza, si dice erogata dal conduttore.

Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che continuano a valere le precedenti relazioni:

Passorbita=vi Perogata=-vi Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva

entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.

Potenza erogata o assorbita da un bipolo (convenzione del

generatore)

Perogata=-vi=vi’ Passorbita=vi=-vi’

Potenza assorbita o erogata da un bipolo

Convenzione dell’utilizzatore

p assorbita =vi

p erogata =-vi

Convenzione del generatore

p erogata =vi

p assorbita =-vi

Misura della potenza

La misura della potenza assorbita (o erogata) da un bipolo si fa con il wattmetro, che presenta 2 coppie di morsetti: una coppia amperometrica attraversata da i ed una voltmetrica, cui è applicata v. Ciascuna coppia ha un morsetto +.

I principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle correnti -LKC)

Per la definizione di bipolo:

In generale:

m numero lati confluenti nel nodo

1i

2i

3i

4i

0S

dSnG

04321 iiii

m

ki1

0

II principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle tensioni -LKT)

Per la definizione di bipolo:

In generale:

m è il numero di lati della maglia

1v

2v

3v

4v

0dlK

A

D

D

C

C

B

B

A

dlK

04321 vvvv

m

kv1

0

Reti in regime stazionario

Analisi delle reti

Caratteristica statica di un bipolo

Si dice caratteristica statica di un bipolo la relazione:

V=f(I))

che lega la tensione V applicata ai morsetti A e B alla corrente I che lo attraversa in regime stazionario.

Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica

Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I

%

Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I

Classificazione dei bipoli: bipoli lineari e non lineari

Si dice lineare un bipolo la

cui caratteristica è lineare.

Si dice non lineare nel

caso contrario

Classificazione dei bipoli:bipoli inerti e bipoli non inerti

Si dice inerte un bipolo la cui caratteristica la caratteristica passa per l’origine degli assi.

Si dice non inerte nel caso contrario

Classificazione dei bipoli: bipoli passivi

Si dice passivo un bipolo per il quale la potenza assorbita è maggiore o eguale a zero. Esso funziona sempre da utilizzatore.

vipass

V·I≥0

Classificazione dei bipoli: bipoli attivi

Si dice attivo un bipolo non passivo. In alcune regioni del piano V,I esso funziona da generatore in altre da utilizzatore.

Convenzione utilizzatore

V·I≥0V·I≤OV·I>0

Una rete elementare

1V 2V

2I1I

)( 222 IfV

VVV 21021 VV

021 II III 21

)( 111 IfV

VIfIf )()( 21

Bipoli lineari ideali

Bipolo Resistenza

RIV oppure

oppure

GVI

)1

(R

G

RIV

GVI

G

Potenza assorbita dal bipolo Resistenza

Convenzione utilizzatore

Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2.

Convenzione generatore

Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2.

Una diversa caratterizzazione del bipolo resistenza

Vn, Pn

n

n

P

VR

2

10 V, 20 W 500 V, 50 kW

5R 5R

Equivalenza di bipoli

• Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica statica

Corrente nei conduttori metallici

V=RI

e=-1.6·10-19 coulomb

Resistenza reale di un conduttore

La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l è dato da:

dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T:

ρ= ρ0(1+αT)

ρ0 resistività a 0 0C

S

lR

Generatore ideale di tensione

V=E

Generatore ideale di corrente

I=J

Corto circuito ideale

V=0

Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 odal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0

Aperto ideale

I=0

Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 odal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0

Serie e parallelo di bipoli

1I 2I

nInV2V1V

V

IIII n .....21

1V 2V nV

1I2I nI

V

I

VVVV n .....21

n

kII1

n

kVV1

A B

A

B

Resistenze in serie

n

kVV1

IRV kk

n

keq RR1

IRRIV eq

n

k 1

V

V

Resistenze in parallelo

n

kII1

VGR

VI k

kk

VGGVI eq

n

k 1

IRV eq

n

keq

eq

GG

R

1

11

n

k

eq

R

R

1

1

1

Se n=2

Se RRR 21

2

RReq

21

21

21

111

RR

RR

RR

Req

Generatori ideali di tensione in serie e in parallelo

n

eqk EEE1

E=E1=E2

I=I1+I2

Equivalenza di bipoli

1V 2V

21 VVV RIV 1 02 V RIV

1I 2I

III 2102 I

Equivalenza di bipoli

1V

2V

021 VVV

02 I

II 1

Equivalenza di bipoli

V=E

I=J

Bipolo di Thévenin

LKT

Caratteristica statica

TR

TR

RV

E

ccI

0 VVE R

IRV TR

IREV T

Tcc REI /

Bipolo di Norton

LKC

Caratteristica statica

J

NR

NR

RI

0 IIJ R

NR RVI /

dove

0 IR

VJ

N

)( IJRV N

Equivalenza del bipolo di Norton al bipolo di Thévenin

E

TR

ccI JNR

Thévenin Norton

Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:

TN RR ccIJ

Generatore reale di tensione

Pila reale sotto carico Circuito equivalente

iR

A B

Generatore reale di tensione

iR

uRuV

uI

uiu IREV

uuu IRV

E

ccI

uV

uI

uRiR

ui IR

iuu RR

EI

iu

uu RR

REV

P

A

B O

Potenza utile erogata dal generatore reale di tensione

Potenza utile

Il massimo di Pu al variare di Ru si ha se:

2uuuuu IRIVP

2

2

)( iuu RR

ER

0

u

u

R

P iu RR iu RR /

uP

1

ccEI4

1

Bilancio delle potenze e rendimento

LKT iR

uR

uI

uV

2uiuuu IRIVEI

uiuuiu IRRIRVE )(

cP uP JP

2)( uiuc IRRP

iu

u

c

u

RR

R

P

P

2uuu IRP

iu RR /

Caduta di tensione nel generatore reale di tensione

Caduta di tensione

uR

iR uI

uV

uiu IRVEV

iu

i

RR

RE

100100%iu

i

RR

R

E

VV

iu RR /

%V

Parallelo di generatori reali di tensione

02211 EVVE

ci IRV 11 ci IRV 22

21

21

iic RR

EEI

Ic=0 se E1=E2

Una particolarizzazione della LKT

LKT per una generica maglia a m lati

Generico lato k-esimo

kR

kE

kV

kI

m

kV1

0)( dove

kkkk IREV

m

kkk IRE1

0))((

m m

kkk IRE1 1

)()(

Un esempio

1I

2I3I

4I 2E

1E1R

2R

3R

4R4433221121 IRIRIRIREE

Formule del partitore di tensione

Ripartizione della tensione V applicata a 2 resistenze in serie

IRV 11 IRV 22

21 RR

VI

21

11 RR

RVV

21

22 RR

RVV

Formule del partitore di corrente

Ripartizione della corrente I tra due resistenze in parallelo

11 R

VI

22 R

VI

21

2121 )//(

RR

RRIIRRV

21

21 RR

RII

21

12 RR

RII

Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo

Equivalenza di tripoli di resistenze

Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze

)()(

BAACBCAB

ACBCAB RRJRRR

RRRJ

Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze

)()(

CBACBCAB

ACABBC RRJRRR

RRRJ

Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze

)()(

CAACBCAB

BCABAC RRJRRR

RRRJ

Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il

sistema:

BAACBCAB

ACBCAB RRRRR

RRR

)(

CBACBCAB

ACABBC RRRRR

RRR

)(

CAACBCAB

BCABAC RRRRR

RRR

)(

Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo

Trasformazione triangolo-stella

Trasformazione stella-triangolo

0R

RRR ACAB

A 0R

RRR BCAB

B 0R

RRR ACBC

C dove

ACBCAB RRRR 0

0GRRR BAAB 0GRRR CBBC 0GRRR CAAC dove

CBA RRRG

1110

Un caso particolare

YCBA RRRR 02

0 GRGRRR YBAAB YCBA RRRR

G3111

0

YY

YAB RR

RR 332 RRRR ABACBC

3

3

R

R

RR

y

Y

Analisi di una rete elettrica

LKT per le maglie 1, 2, 3

1)

2)

3)

LKC per il nodo A (o B)

33111 IRIRE

33222 IRIRE

221121 IRIREE

0321 III

Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e coalbero

Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e n nodi:

Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete.

Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie chiuse.

Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è costituito da l- (n-1) lati

Esempi di grafi, alberi e coalberi

l=3

n=2

Esempi di grafi, alberi e coalberi

l=10

n=6

Analisi di reti resistive con sorgenti di tensione

Data la generica rete, con l lati ed n nodi:

il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari nelle l incognite Ik costituito da:

l-(n-1) LKT

n-1 LKC

m m

kkk IRE1 1

)()(

m

kI1

0

Un esempio numerico

20321 RRR

E1=30 V E2=60 V

Sistema risolvente

302020 31 II

602020 32 II

0321 III

Forma matriciale

I1=0

I2=1,5 A

I3=1,5 A

Risultato

0

60

30

111

20200

20020

3

2

1

I

I

I

Le potenze in gioco

Potenza erogata da E1: Pe1=E1 I1=0 W Potenza erogata da E2: Pe2=E2I2 =90 W Potenze assorbite dalle resistenze: PR1=R1I1

2 =0 W PR2=R2I2

2 =45 W PR3=R2I3

2 =45 W Prtot=90 W

Pe1 + Pe2 =Prtot

Una rete con sorgenti di tensione e di corrente

20321 RRR

E1=30 V J=2 A

JI 3

302020 21 II

12211 EIRIR JII 21

221 II

J

E

I

IRR 1

2

121

11

J

ERR

I

I 1

1

21

2

1

11

I1=-0,25 A I2=1,75 A

Le potenze in gioco

Potenza erogata da E1:

Pe1=E1 I1=-7,5 W

Potenza erogata da J:

PeJ=VJJ=150 W

Potenze assorbite dalle resistenze:

PR1=R1I12=1,25 W

PR2=R2I22=61,25 W

PR3=R2I32=80 W

Prtot=142,5 W

2233 IRIRV j

VJ=75 V

Pe1 + PeJ = Prtot

Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente

Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non considerando i lati contenenti i generatori di corrente in cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:

l-(n-1) LKT

n-1 LKC

m m

kkk IRE1 1

)()(

m r

kk JI1 1

)()(

Principio di conservazione delle potenze elettriche

Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete.

Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete

Tesi

Somma parziale relativa al nodo Pi

l

kk IV1

0

Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

)'()"( kkk PUPUV

l l

kkkk IPUIPU1 1

0)'()"(

0)........( '21 ii ilihiiP IIIIU

Una formulaz. del principio di conservazione nelle reti lineari

0 i

Ri

Ji

E iiiPPP

2iiR IRP

i

iii

iJ

iE IRPP

ii

2

La somma delle potenze erogate dai generatoridi tensione e di corrente è eguale alla sommadelle potenze assorbite dalle resistenze

Un corollario dei principi di Kirchhoff

Ipotesi Nel generico nodo P’ confluiscono solo bipoli passivi

Tesi Tra i nodi contigui esiste almeno un nodo P” a potenziale U≥U(P’) e almeno uno a potenziale U≤U(P’).

Da questo corollario scaturisce il principio di non amplificazione delle tensioni.

0kk IV

4

1

0kI

Se I1, I2>0 si ha V1,V2≥0 e U(P”1)≤U(P’) e U(P”2)≤U(P’)

Se I3, I4<0 si ha V3,V4 ≤ 0 e U(P”3) ≥ U(P’) e U(P”4) ≥ U(P’)

Principio di non amplificazione delle tensioni

Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati passivi tranne uno, è applicata la tensione massima.

Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi dell’unico lato attivo.

Si può dimostrare che in tale lato si ha anche la massima corrente (Principio di non amplificazione delle correnti)

Sovrapposizione degli effetti

J

E

I

IRR 1

2

121

11

)12()12()22( HIA

"'0

011 HH

J

E

J

EH

"'"' 111 IIHAHAHAI

JI 3

011'

' 1

1

21

2

1 ERR

I

I

J

RR

I

I 0

11"

"1

21

2

1

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico

20321 RRR J=2 AE1=30 V

0'3 I75,0''21

121

RR

EII 1"

21

21

RR

RJI 1"

21

12

RR

RJI

2"3 JI

I1=I’1+I”1=-0,25 A I2=I’2+I”2=1,75 A

I3=I’3+I”3=2 A

%

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico

20321 RRR E2=60 VE1=30 V

eqR

EI 11'

Req=R1+R2//R3=30 Ω

I’1= 1 A 5,0''32

312

RR

RII 5,0''

32

213

RR

RIIA A

%

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico

Req=R2+R1//R3=30 Ω

2" 22

eqR

EI 1""

32

223

RR

RII 1""

32

321

RR

RII

I1=I’1+I”1=0 I2=I’2+I”2=1,5 A I3=I’3+I”3=1,5 A

Non applicabilità della sovrapposizione degli effetti al calcolo delle potenze

Posto:

la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari alla somma di P’k e P”k; infatti:

2''kkk IRP 2""

kkk IRP

"'"'2"'2 2)( kkkkkkkkkkk IIRPPIIRIRP

Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente

Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:

l-(n-1) LKT

n-1 LKC

m m

kkk IRE1 1

)()(

m r

kk JI1 1

)1()1()( llll HIA kR

kE

kV

kI

kkkk IREV )1()1()( '' llll HVA

Metodo dei potenziali nodali

Sostituendo le correnti nelle n-1 LKC:

si ha il sistema di n-1 eq. nelle n incognite Upk:

Se poniamo eguale a zero il potenziale di uno degli n nodi, si ottiene:

kT kSkR

kI

kE

TkSkk UUV

kkkk IREV

kTkSkkk GUUEI )(

kk RG /1

m r

kk JI1 1

m r

kkTkSkk JGUUE1 1

)(

1)1(1)1()1()1( "" nnnn HUA

Metodo dei potenziali nodali, la formula di Millmann

La LKC fornisce

dove:

0BU

n

iI1

0

iAii GUEI )(

ii R

G1

i

n n

Aii GUGE 1 1

n

i

n

ii

ABA

G

GEVU

1

1

Formula di Millmann: un esempio numerico

20321 RRR

E1=30 V E2=60 V

0BU

G1=G2=G3=G=0,05 Ω-1

303

213

1

3

11

G

GEGE

G

GEU

i

i

A VI1=(E1-UA)G1=0

I3=(-UA)G3=-1,5 A

I2=(E2-UA)G2=1,5 A

Teorema di Thévenin: enunciato

Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Thévenin, in cui V0 è la tensione a vuoto tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

0V

eqR

Teorema di Thévenin: dimostrazione

"" IRV eq%

Teorema di Thévenin: dimostrazione

0V

eqR

""' 0 IRVVVV eq

"0"' IIII

IRVV eq 0

Teorema di Thévenin: una conseguenza

eqRR

VI

0

eqRR

RVV

0

Un esempio numerico20321 RRR

E1=30 V E2=60 V

75,021

12

RR

EEI A 45220 IREV

Req=R1//R2=10 Ω

V

5,11020

45

3

03

eqRR

VI A

Teorema di Norton: enunciato

Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Norton, in cui Icc

è la corrente di corto circuito tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

eqR

Teorema di Norton: dimostrazione

0V

eqR

Caratteristica comune ai bipoli di Thévenin e Norton

Teorema di Norton: una conseguenza

eq

eqcc RR

RII

eq

eqcc RR

RRIV

Un esempio numerico20321 RRR

E1=30 V E2=60 V

Req=R1//R2=10 Ω

A

Icc=E1/R1+E2/R2=4,5 A

5,11020

105,43

eq

eqcc RR

RII