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Se potessimo disporre sott’acqua (al centro di ogni piano della torre) di un oscilloscopio da 50k€, di potenza illimitata, di banda infinita, di ampi spazi … , allora tutto quel che segue sarebbe perfettamente inutile. Cosa si è fatto. (Integrazione alla Riemann). - PowerPoint PPT Presentation
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Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 1
Se potessimo disporre sott’acqua (al centro di ogni piano della torre) di un oscilloscopio da 50k€, di potenza illimitata, di banda infinita, di ampi spazi … , allora tutto quel che segue sarebbe perfettamente inutile.
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si è fatto(Integrazione alla Riemann)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
I PMT sono rivelatori “quantistici” ed i segnali da essi forniti sono descrivibili con grandezze statistiche (distribuzioni di ampiezza,
larghezza, forma...)
Impulso “tipico” da singolo fotone
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.5
1Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
PMT Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)
Vout Filter (smpld)Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 7
0 4.63 108 9.259 10
8 1.389 107 1.852 10
7 2.315 107
0.02
0
0.02
0.04
0.06
Fitted filtered PMT pulse
time [s]
Vou
t co
nv. A
/D
Segnale acquisito con la FEM attuale
Riemann vs Lebesgue
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Riemann sampling
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Dai campioni alle aree
Riemann vs Lebesgue
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Riemann integral
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Vo
ut
(Fil
ter)
Dai campioni alle aree
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.Sequenza “random” di segnali simulati
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 11
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5Filt. PMTUnfil. PMT
PMT mult. pe ; Filtered PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.
Sequenza “random” di segnali simulati e filtrati
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 12
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5Filtered PMT mult. pe ; 5ns sampled
n*tc [s]
norm
. va
l.
Sequenza “random” di segnali simulati filtrati e campionati
Riemann vs Lebesgue
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“A Midsummer Night's Dream ” of a Physicist’s
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 480
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 14
Riemann integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Dai campioni (ogni tc) alle aree
Riemann vs Lebesgue
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Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 16
Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
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Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si tenta di fare(Integrazione alla Lebesgue)
Riemann vs Lebesgue
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Lebesgue sampling
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 20
Lebesgue integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
50
100
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe)
time n[s]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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Non linear Lebesgue integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1 pe100 pe0.3 pethr. 0.3 pe
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
1.32ns 3.96ns 8.00ns
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si propone di fare
(Integrazione alla Riemanna finestra mobile)
Running Window Integration
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Anziché acquisire il valore del campione si acquisisce il valore dell’area sottesa dalla curva e delimitata da due campioni successivi e questo
valore si aggiorna istante per istante (tempo continuo).
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Windowed Running Integration
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 28
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
La larghezza dell’RWI, praticamente, coincide con quella del segnale
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 29
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)Vout Wnd Int (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Confronto tra il segnale e i due metodi di filtraggio (RWI e tradizionale)
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 33
Ulteriori notevoli proprietà del metodo RWI
La somma dei campioni, dal primo all’ultimo diversi da zero, è invariante rispetto alla loro posizione relativa all’uscita dell’integratore.
I campioni, dal primo diverso da zero all’ultimo prima del massimo, forniscono un eccellente “nonio” per stimare il tempo (assoluto) d’inizio dell’impulso in uscita dal PMT.
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 34
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
no
rm.
val
.
Segnale random originale e corrispondente segnale RWI
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 35
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.Particolare, espanso, dei due segnali
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 36
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. val
.
I due segnali normalizzati alle stesse ampiezze(tranne il ritardo, per costruzione, di un tc, i due segnali coincidono)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 37
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
5
10
15
20
25
30
2
0
2
RWI IoutSum RWISub RWI
RWI Iout ; Sum RWI ; Sub RWI
n*tc [s]
Rel
. Val
.
Somma e differenza dei campioni RWI(con semplici operazioni è possibile estrarre le informazioni di interesse)
Riemann vs Lebesgue
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Che significa eseguire, su di una funzione un “integrale a finestra (rettangolare) mobile ?”
Riemann vs Lebesgue
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frwi t( )
f ( ) g t ( )
d
frwi t( )t
t ti
f ( )
d
g t( ) t( ) t ti( )
1 0 1 2 30
0.5
1
1.5Integration Window
n*tc
g(t)
[
dim
ensi
onle
ss]
La forma generale è la seguente :
se la finestra d’integrazione è rettangolare :
l’integrale assume la forma particolarmente semplice :
Riemann vs Lebesgue
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frwi m( )
n
f n( ) g m n( )( )
frwi t( )t
t ti
f ( )
dCome si realizza questo integrale ?
Lo si può discretizzare pensando di ritardare con “n” linee di ritardo il segnale, ognuna lunga tc/n, e sommare tutte le uscite :
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 41
-
+
+
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in serie ognuna lunga Tc/10
La realizzazione appare fattibile ma complessa
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 42
-
++
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in parallelo ognuna lunga i*Tc/10 (con i = 1,2,…,10)
Realizzazione ancora più complessa
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 43
g t( ) t( ) t ti( )
1 0 1 2 30
0.5
1
1.5Integration Window
n*tc
g(t)
[
dim
ensi
onle
ss]
Tornando al tempo continuo, si può osservare come la finestra d’integrazione rettangolare :
1 es ti
sL [g(t)] =
abbia un interessante corrispettivo (trasf . di Laplace) nel dominio della frequenza complessa (s = j ω) :
Riemann vs Lebesgue
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La funzione (di trasferimento) G(s) è il prodotto tra un integratore ideale ed un “produttore infinito di zeri” :
G s( )1 e
s ti
s ti
Ii s( )1s ti
Piz s( ) 1 es ti G s( ) Ii s( ) Piz s( )
1 107
1 108
1 109
1 1010
50
40
30
20
10
0
10
20log[|Ii(f)|]20log[|Piz(f)|]
f [Hz]
dB
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 45
Dopo qualche ….. riflessione ….. si è giunti al circuito seguente :
-
+
+
V+
La cui funzione di trasferimento è esattamente quella cercata : G s( )
1 es ti
s ti
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 46
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. discr. int.continous. int.run. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Paragone tra il segnale, il suo integrale continuo, il RWI e la somma discreta (con n linee di ritardo)
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 47
1 107 1 10
8 1 109 1 10
1050
40
30
20
10
0
Ideal RWI
f [Hz]
dB
Simul. TINA-8
Funz. di Trasf. teorica
Il circuito (di principio) mostrato è stato simulato nella sua forma definitiva considerando i modelli dei componenti reali.
Simulazione con tutti componenti reali
tranne l’amplificatore che è il componente più critico (forse si
potrà togliere).
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 48
ConclusioniIl metodo RWI consente :
la misura “teorica” della carica dei segnali, un’ottima misura dei tempi di arrivo (err. < 1ns), una dinamica aumentata rispetto alla soluzione precedente, la disambiguazione dei segnali ai limiti delle caratteristiche del PMT, la trattazione estremamente semplificata dei dati a terra (oper. algebr.), probabilmente una circuiteria estremamente semplice, un consumo identico all’attuale (già molto basso),un costo trascurabile. In definitiva il RWI estrae al meglio, dal PMT, tutte le caratteristiche necessarie, a chi si occupa di trigger, per la ricostruzione degli eventi. Il metodo è intrinsecamente generale e permette di essere associato a qualsiasi PMT presente e futuro.
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