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Cours 4: Le sens de la metrique 1
Cours 4. Geometrie d’une surface courbe,
geometrie d’un espace-temps courbe, le
trou noir de Schwarzschild ! Dilatation du
temps gravitationnelle
Cours 4: Le sens de la metrique 2
Resume du cours d’aujourd’hui
– Resume du dernier cours sur la metrique, le produit scalaire, la
transformation des coordonnees d’un tenseur.
– Interpretation physique de la metrique.
– Exploration de la geometrie d’une sphere.
– Exploration de la geometrie de Schwarzschild.
Cours 4: Le sens de la metrique 3
Resume du dernier cours sur le calcul
vectoriel sur une variete
pseudo-riemannienne
– Tous les vecteurs en quatre dimensions peuvent etre ecrives
comment :~V = a~e0 + b~e1 + c~e2 + d~e3 = V α ~eα
ou les ~eα sont les vecteurs de bases et V α sont les composants
contravariants.
– Si nous changeons les vecteurs de bases, le vecteur ne change pas
mais les coordonnees nouvelles, xα′, sont liees a les coordonnees
ancients, xβ , par une transformation lineaire :
xα′
= Λα′
βxβ
Cours 4: Le sens de la metrique 4
ou la matrice de transformation est donnes par
Λα′
β =∂xα
′
∂xβ
– Les mathematiques de RR sont plus belles que ceux de
mecanique newtonnienne. Comparons un changement de
referentiel inertiel dans lequel un observateur se deplace le long
de l’axe X a un vitesse constante v. Dans la mecanique
newtonnienne, ca implique un changement des vecteurs de
position, de vitesse, d’impulsions etc. Il sont liees par une
transformation de Galilee. Mais de la RR c’est simpliement un
changement des vecteurs de bases ! Et donc tous les
quadrivecteurs ne changent pas, mais bien sur les coordonnees
Cours 4: Le sens de la metrique 5
changent par une transformation lineaire de Lorentz :
(Λα′
β) =
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ou,
β =v
c,
γ =1√
1− β2. (1)
– On peut utiliser les vecteurs de bases daux ωα aussi pour la base,
~V = V α~eα = Vαωα
ou Vα sont les composants covariants.
– Les composants covariants se transform sous un changement de
Cours 4: Le sens de la metrique 6
base comme les vecteur de base.
– On peut aisement se rappeler les transformations par l’idee
d’equilibrer des indices :
Vα′ = Λβα′Vβ =∂xβ
∂xα′ Vβ
~eα′ = Λβα′~eβ (2)
– On prend le produit scalaire avec le tenseur metrique :
~A · ~B = g( ~A, ~B) ≡ gαβAαBβ
– Le tenseur metrique joue le double role d’encoder la geometrie et
de nous dit comme faire le produit scalaire.
– Une autre definition du tenseur metrique est
gαβ ≡ ~eα · ~eβ
– Dans une variete riemannienne, l’element lineaire est vraiment
Cours 4: Le sens de la metrique 7
une distance comme nous avons vu pour la sphere :
ds2 = r2sdθ
2 + r2s sin2θ dφ2
– Dans une variete Lorentzienne, l’element lineaire est la limite
infinetesimale de l’intervale de RR
lim∆s→0
∆s2 = ds2
Cours 4: Le sens de la metrique 8
La sphere est courbe
– Metrique pour la sphere :
ds2 = r2sdθ
2 + r2s sin2θ dφ2
– Le rayon d’un cercle, rc :
ds2∣∣φ
= r2sdθ
2
ds∣∣φ
= Rsdθ
rc =
∫ θc
0
ds∣∣φ
= Rsθc. (3)
Cours 4: Le sens de la metrique 9
– Le perimetre d’un cercle, pc :
ds2∣∣θ
= r2s sin2θc dφ
2
ds∣∣θ
= Rs sin θc dφ
pc =
∫ 2π
0
ds∣∣θ
= 2πRs sin θc. (4)
– Rapport :
pcrc
= 2πsin θcθc
< 2π. (5)
Cours 4: Le sens de la metrique 10
Autre manifestation de la courbure
– Le plus grande cercle sur la sphere, θc = π2 , s’appelle « grand
cercle ». Par exemple l’equateur ou un meridien (une ligne de
longitude sur le Globe).
– Les grands cercle sont les generalisations des droites pour
geometrie riemannienne ; ils sont les geodesiques.
– Deux meridiens sont paralleles a l’equateur, mais se croisent au
pole Nord a l’exception du cinquieme postulat d’Euclide.
– Les geodesiques jouent un role tres important. L’espace-temps dit
a la matiere comment elle doit bouger. Une particule libre (en
l’absence de toute force electromagnetique ou nucleaire) suit une
geodesique.
Cours 4: Le sens de la metrique 11
Courbure de l’espace-temps autour d’un
trou noir de Schwarzschild
– La metrique de Schwarzschild
ds2 = (1 + 2Φ)dt2 − (1 + 2Φ)−1dr2 − r2(dθ2 + sin2θ dφ2), (6)
ou Φ = −GM/c2r, G est la constante newtonienne, c la vitesse
de la lumiere, M la masse. Donc Φ est comme le potentiel
gravitational sauf que le fait que r n’est pas la distance au centre,
c’est juste la coordonnee radiale. Ces coordonnees de
Schwarzschild sont comme les coordonnees spherique : 0 ≤ θ ≤ πet 0 ≤ φ ≤ 2π sont les coordonnees angulaires ; r est la
coordonnee radiale ; t est la coordonnee temporelle.
– Mais dt n’est pas un intervalle de temps, et dr n’est pas une
petite distance. Il faut utiliser la metrique pour definir les
Cours 4: Le sens de la metrique 12
intervalles physiques. On va voir bientot !
– Considerons la sous-variete r = Rs, t = t0. On a
dl2 ≡ −ds2∣∣Rs,t0
= R2s(dθ
2 + sin2θ dφ2). (7)
– Remarquez-vous que l’intervalle (au carre) peut etre negatif ou
positif. Quand il est negatif nous disons que il est « du genre
espace » ; l’intervalle positif est « du genre temps ».
Cours 4: Le sens de la metrique 12-1
Table 1 – Interpretation physique de l’intervalle
ds2 < 0, dl =√−ds2
dl = distance propre
dl = distance on mesure avec une regle
ds2 > 0,√ds2 = dτ
dτ = temps propre
dτ = temps on mesure avec une horloge
Les mesures en RR et RG sont effectuees avec des horloges et
des regles au repos. En fait, on define un referentiel comme un
essemble d’observateurs chaqun portant une horloge et une regle
avec lesquelles il fait sont mesures.
Cours 4: Le sens de la metrique 13
Geometrie de Schwarzschild est spherique
symetrique
– C’est claire a partir de Eq. (7) que les surfaces obtenues avec
t = t0, r = Rs sont les spheres. Pourquoi ? Rappelez-vous que
toutes les informations geometriques sont continues dans la
metrique et donce l’element lineaire. Et d’ailleurs nous savons la
metrique de la sphere a la forme de Eq. (7).
– Nous dissons que l’espace-temps ou geometrie de Schwarzschild
est symetrique spherique. En effet, on peut presque trouver la
metrique Eq. (6) cherchant les espace-temps qui sont
independents du temps et symetriques spherique. C’est la piste
normalement utilisee pour introduire l’espace-temps de
Schwarzschild (Hobson et al., 2010, §9.1) ou (Schutz , 2009, §10.1
et §10.2).
Cours 4: Le sens de la metrique 14
Geometrie de Schwarzschild : sens de r
– On peut calculer la surface des spheres utilisant l’element lineaire
dl2 en Eq. (7).
A =
∫ π
0
∫ 2π
0
dl2 =
∫ π
0
∫ 2π
0
R2s(dθ
2 + sin2θ dφ2)
= R2s4π. (8)
– Attention ! ! Malge la familiaritee de cet expression, on ne peut
pas dire que Rs est la distance au centre de la sphere ! Les
distances sont definis par un integral de la racine carree de
l’intervalle du genre espace ; voir Table 1 ci-dessus. En effet, pour
le trou noir de Schwarzschild il y a un singularite de coordonnee
Cours 4: Le sens de la metrique 15
a r = rs ≡ 2MG/c2 ou
grr = (1 + 2Φ)−1 =1
1− 2MGc2rs
=∞
– La sphere r = rs est l’horizon de trou noir de Schwarzschild. Si
vous traversez cette sphere vous ne pouvez pas resortir. Meme la
lumiere ne peut pas echapper l’interieur de l’horizon d’un trou
noir.
– Restons a l’exterieur de l’horizon ! (L’analyse a l’interieur de
l’horizon est bizarre car r devient une coordonnee du genre
temps et t devient une coordonnee du genre espace !).
Cours 4: Le sens de la metrique 16
L’espace-temps de Schwarzschild est
courbe
– On peut trouver les spheres dans l’espace plat (espace euclidien
ou espace-temps de Minkowski a un instant du temps). Nous
l’avons deja fait en cours 3 ! Et donc jusqu’a maintenant c’est
n’est pas claire que l’espace est courbe autour d’un trou noire de
Schwarzschild.
– Comparons la surface de deux spheres avec coordonnee radiale
r = R > rs et r = 2R. La surface de la deuxieme est 4 fois la
premiere :A2
A1=
4(2R)2π
4R2π= 4.
– Dans l’espace plat, ca implique que la distance entre les deux
spheres est R. Mais dans l’espace-temps de Schwarzschild la
Cours 4: Le sens de la metrique 17
distance est :∫ 2R
R
√−ds|t,θ,φ =
∫ 2R
R
√−grrdr =
∫ 2R
R
1√1 + 2Φ
dr 6= R.
– L’espace dans l’espace-temps de Schwarzschild est courbe.
– La courbure d’espace n’est pas comme une sphere – c’est plutot
comme un chapeau.
Cours 4: Le sens de la metrique 18
Figure 1 – Plongement du plan equatoriel coupant la terre. Il y a
juste deux dimensions d’espace montre. L’hauteur est une dimension
imaginaire pour montrer la courbure.
Cours 4: Le sens de la metrique 19
Explication qualitative
– Imaginez-vous que la Terre est homogene, spherique, et qu’elle ne
tourne pas. La geometrie autour d’elle serait celle de
Schwarzschild. Et la geometrie ne change pas avec le temps ; elle
est permanente et figee comme une statue. En fait, le trou noir
de Schwarzschild a la meme geometrie en dehors de l’horizon.
– On peut mettre en evidence la courbure d’un tranche d’espace ou
d’espace-temps a deux dimensions avec la cartographie.
– On a vu que la sphere est courbe. Si je coupe la sphere en deux
morceaux et que je mets les deux morceaux sur une surface plate,
ils ne restent pas plats sur la surface. Si je le coupe en 4
morceaux, c’est toujours la meme situation.
– Si je le coupais en beaucoup de morceaux, j’aurais les morceaux
tres minces. Je n’ai pas change la courbure de chaque morceau
Cours 4: Le sens de la metrique 20
mais et j’arriverais a les aplatir avec minimum distorsion ! Je vais
utiliser cette idee tout a l’heure !
– Ce n’est pas le cas avec le cylindre. Je peux le couper une seule
fois, le derouler, et il devient parfaitement plat.
– Pour la surface d’une sphere je peux continuer de la couper en
plusieurs morceaux jusqu’a ce qu’ils paraissent plats, meme si la
courbure reste la meme que la sphere de depart. Et ca c’est vrai
pour n’importe quelle surface en deux dimensions si la surface est
lisse. Une surface lisse a une courbure finie ; il n’y a pas de
singularite.
– La courbure des bords des morceaux met en evidence la courbure
globale de la surface. Pour reconstruire la surface globale, il faut
mentalement «recoudre» les bords, sans detendre la surface, c’est
a dire ne pas changer la distance entre les points.
Cours 4: Le sens de la metrique 21
Figure 2 – Qu’est-ce qu’il y a dans l’espace blanc sur la carte ? Par
exemple, l’espace entre les deux cotes de Groenland ? Rien ! C’est du
neant ! La surface de la terre consiste uniquement en la region coloree
de la carte !
Cours 4: Le sens de la metrique 22
Courbure d’espace a 3 dimensions
– Rappelez-vous que nous parlons de la surface, une chose en deux
dimensions. Nous avons, juste pour l’instant, imagine que la
troisieme dimension d’espace n’existe pas. Bien entendu c’est
normal d’imaginer la surface courbe dans la troisieme dimension,
mais ce n’est pas necessaire de reintroduire la troisieme
dimension quand on recoud les bords des morceaux.
– Ca c’est le grand effort d’imagination qu’on doit faire pour
comprendre la courbure d’espace.
– Quand vous etes a l’aise avec cette idee de la courbure pour
l’espace en deux dimensions, vous devez simplement faire
exactement pareil pour l’espace en trois dimensions. C’est a dire,
vous devez imaginer qu’il est possible d’avoir une courbure dans
l’espace a trois dimensions. Je ne peux pas facilement le dessiner,
Cours 4: Le sens de la metrique 23
mais ce n’est pas important.
Cours 4: Le sens de la metrique 24
Le temps dans l’espace-temps de
Schwarzschild est courbe
– Le phenomene de la dilation du temps gravitationnelle est du a
la courbure du temps.
– Les italiens ont mesure la dilatation du temps gravitationnelle
avec des horloges atomiques tres precises en 1977. Deux horloges
cesium identiques ont ete comparees.
– Une etait a Plateau Rosa a 3500 m d’altitude, l’autre a Turin a
250 m d’altitude. L’horloge a Plateau Rosa a gagne environ
trente et une nano secondes par jour sur l’horloge a Turin (Scott ,
2015; Briatore and Leschiutta, 1977).
Cours 4: Le sens de la metrique 25
Explication qualitative
– Souvent on dit que le temps coule plus vite en haute altitude, ou
on dit que les horloges se ralentissent pres du centre de la
planete. Mais nous allons voir tout a l’heure que ce n’est pas
exactement ca. C’est plutot qu’il y a davantage du temps a
mesurer en haut altitude. Bien sur ca vaut une explication.
Cours 4: Le sens de la metrique 26
Courbure d’espace-temps
– L’effort final d’imagination est de realiser que le temps est la
quatrieme dimension d’espace-temps ; l’espace-temps peut etre
courbe !
– Je peux le visualiser avec un diagramme en deux dimensions :
une dimension d’espace et une dimension de temps. Je vais le
faire pour l’espace-temps proche de la terre. C’est similaire pour
un trou noir de Schwarzschild.
Cours 4: Le sens de la metrique 27
4000m
3000m
2000m
250m
1000m
0 1 2 3 4 5 6 7temps
altitud
e
Figure 3 – Tranche d’espace-temp, hauteur vs. temps, dans l’espace-
temps de Schwarzschild. Ca applique proche de la surface de la terre.
Cours 4: Le sens de la metrique 28
Courbure d’espace-temps
– Dans le diagramme, la region coloree, c’est-a-dire les trois
morceaux en forme de banane, est une tranche d’espace-temps a
deux dimensions. (Les directions de longitude et de latitude ne
sont pas representees.) Le temps est courbe ! La courbure des
bords des morceaux met en evidence la courbure du temps. Bien
entendu j’ai beaucoup exagere leurs courbures dans ce
diagramme.
– Les deux lignes sont les ”lignes d’univers” des deux horloges dans
l’experience dans les Alpes italiennes. La ligne verte a deux cent
cinquante metres represente la ligne d’univers d’horloge qui reste
a Turin. La ligne rouge monte au debut, atteint 3500 m pour
quelques heures, et puis descend jusqu’a 250 m ; c’est la ligne
d’univers de la deuxieme l’horloge. La deuxieme horloge a passe
Cours 4: Le sens de la metrique 29
plus du temps entre le debut et la fin de cette experience parce
que la banane est plus epaisse en haute montagne.
– Les morceaux de banane sont presque des morceaux d’un
diagramme de Minkowski. Les horloges se deplacent l’une par
rapport a l’autre a une vitesse toujours tres inferieure a celle de
la vitesse de la lumiere. Donc ce n’est pas necessaire de rendre
compte des effets de relativiste restreinte.
– Le bilan : le temps est courbe autour de la Terre. Cela implique
une dilatation du temps gravitationnelle. Les horloges a haute
altitude mesurent davantage de temps que les horloges a basse
altitude meme car il y a davantage du temps la a mesure !
– La gravitation n’a aucun effet sur la foncitonnement des horloges.
Cours 4: Le sens de la metrique 30
Dilatation du temps gravitationnelle :
calculs quantitatifs
– Ingorons la partie de la tranjectoire (rouge) quand l’horloge a
monte la montagne ; considerons juste le mesurement du temps
quand les horloges ont une coordonnee radiale fixe.
– La duree mesure entre deux valeurs de coordonnee temporelle
t = t1 et t = t2 est
∆τ =
∫ t2
t1
dτ =
∫ t2
t1
√ds2∣∣r,θφ
=
∫ t2
t1
√gttdt2 (9)
=
∫ t2
t1
√1− 2MG
c2rdt =
√1− 2MG
c2r(t2 − t1). (10)
– Donc le rapport pour l’horloge a Plateau Rose, r = rB , et
Cours 4: Le sens de la metrique 31
l’horloge a Turin, r = rA est :
∆τ(rB)
∆τ(rA)=
√1− 2MG
c2rB√1− 2MG
c2rA
> 1, (11)
≈ 1 +g
c2(3500− 250). (12)
Cours 4: Le sens de la metrique 32
References
Briatore, L., and S. Leschiutta (1977), Evidence for the earth
gravitational shift by direct atomic-time-scale comparison, Il
Nuovo Cimento B Series 11, 37 (2), 219–231,
doi :10.1007/BF02726320.
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite
Generale, de boeck, Bruxelles.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.
Scott, R. B. (2015), The consistency between the equivalence
principle and gravitational time dilation : Do clocks really slow
down ?, Found. Phys., p. under review.
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