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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Herve Gurgey
5 octobre 2007
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 1
On considere une serie statistique double definie par la donnee de p valeursxi et de p valeurs yi .On considere un repere R du plan .On appelle nuage de points de la serie statistique l’ensemble des pointsMi de coordonnees (xi , yi ) .
x
y
M1
M2
M4
M3
M5
M6
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 2
On considere une serie statistique double definie par la donnee de p valeursxi et de p valeurs yi .On considere un repere R du plan .On appelle nuage de points de la serie statistique l’ensemble des pointsMi de coordonnees (xi , yi ) .
x
y
M1
M2
M4
M3
M5
M6
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5
M6
G
Definition 3
On note x la moyenne de la serie statistiquedes valeurs xi . On note y la moyenne dela serie statistique des valeurs yi . Le pointG (x ; y) est appele point moyen du nuagede points
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5
M6
G
Definition 4
On note x la moyenne de la serie statistiquedes valeurs xi . On note y la moyenne dela serie statistique des valeurs yi . Le pointG (x ; y) est appele point moyen du nuagede points
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5 M6
(D)
P1
P2
P4
P3
P5
P6
G
Definition 5
On appelle droite de regression de y en x parla methode des moindres carres toute droited’equation y = ax + b qui rend minimale lasomme suivante :
i=n∑i=1
MiP2i
c’est a dire ;
i=p∑i=1
(yi − (axi + b))2
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5 M6
(D)
P1
P2
P4
P3
P5
P6
G
Definition 6
On appelle droite de regression de y en x parla methode des moindres carres toute droited’equation y = ax + b qui rend minimale lasomme suivante :
i=n∑i=1
MiP2i
c’est a dire ;
i=p∑i=1
(yi − (axi + b))2
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 1
Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )
Propriete 2
Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )
Remarque 1
Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 3
Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )
Propriete 4
Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )
Remarque 2
Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 5
Il existe une et une seule droite de regression de y en x par la methode desmoindres carres ( ADMISE) )
Propriete 6
Le point moyen est un point de la droite de regression ( ADMISE) )
Remarque 3
Les calculatrices et les tableurs possedent des programmes integres donnantl’equation de la droite de regression.C’est d’ailleurs le plus souvent avec ces outils que l’on determinera les equationde droite de regression(voir travaux diriges)
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 7
La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :
a =cov(x , y)
[σx ]2
avec :
cov(x , y) =1
n
i=p∑i=1
(xi − x) (yi − y)
Remarque 4
Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y
Remarque 5
Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen
Exemple 1
Voir exercices
Herve Gurgey
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Propriete 8
La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :
a =cov(x , y)
[σx ]2
avec :
cov(x , y) =1
n
i=p∑i=1
(xi − x) (yi − y)
Remarque 6
Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y
Remarque 7
Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen
Exemple 2
Voir exercices
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 9
La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :
a =cov(x , y)
[σx ]2
avec :
cov(x , y) =1
n
i=p∑i=1
(xi − x) (yi − y)
Remarque 8
Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y
Remarque 9
Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen
Exemple 3
Voir exercices
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 10
La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :
a =cov(x , y)
[σx ]2
avec :
cov(x , y) =1
n
i=p∑i=1
(xi − x) (yi − y)
Remarque 10
Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y
Remarque 11
Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen
Exemple 4
Voir exercices
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Propriete 11
La droite de regression de y en x a pour equation y = a× x + b ou :
a =cov(x , y)
[σx ]2
avec :
cov(x , y) =1
n
i=p∑i=1
(xi − x) (yi − y)
Remarque 12
Le nombre cov(x , y) est appele covariance de x , y
Remarque 13
Pour determiner b il suffit d’utiliser le fait que la droite de regression passe parle point moyen
Exemple 5
Voir exercices
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5 M6
(D)
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
G
Definition 7
On appelle droite de regression de x en y parla methode des moindres carres toute droited’equation x = a′y +b′ qui rend minimale lasomme suivante :
i=n∑i=1
MiQ2i
c’est a dire ;
i=p∑i=1
(xi −
(a′yi + b′))2
Remarque 14
Pour etablir les calculs il suffit d’echanger le role de x et y dans les formulesci-dessus
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
x
y
M1
M2
M4
M3
M5 M6
(D)
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
G
Definition 8
On appelle droite de regression de x en y parla methode des moindres carres toute droited’equation x = a′y +b′ qui rend minimale lasomme suivante :
i=n∑i=1
MiQ2i
c’est a dire ;
i=p∑i=1
(xi −
(a′yi + b′))2
Remarque 15
Pour etablir les calculs il suffit d’echanger le role de x et y dans les formulesci-dessus
Herve Gurgey
Cours : droite de regression par la methode des moindres carres
Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 9
On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :
r =cov(x , y)
σx × σy
Remarque 16
On a : a× a′ =cov(x , y)
σ2x
× cov(y , x)
σy2Donc : a× a′ =
cov(x , y)2
σ2x × σ2
y= r 2
Propriete 12
−1 6 r 6 1 ADMISE
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 10
On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :
r =cov(x , y)
σx × σy
Remarque 17
On a : a× a′ =cov(x , y)
σ2x
× cov(y , x)
σy2
Donc : a× a′ =cov(x , y)2
σ2x × σ2
y= r 2
Propriete 13
−1 6 r 6 1 ADMISE
Herve Gurgey
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Definition 11
On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :
r =cov(x , y)
σx × σy
Remarque 18
On a : a× a′ =cov(x , y)
σ2x
× cov(y , x)
σy2Donc : a× a′ =
cov(x , y)2
σ2x × σ2
y= r 2
Propriete 14
−1 6 r 6 1 ADMISE
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 12
On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :
r =cov(x , y)
σx × σy
Remarque 19
On a : a× a′ =cov(x , y)
σ2x
× cov(y , x)
σy2Donc : a× a′ =
cov(x , y)2
σ2x × σ2
y= r 2
Propriete 15
−1 6 r 6 1 ADMISE
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
Definition 13
On appelle coefficient de correlation de la serie statistique double le nombredefini par :
r =cov(x , y)
σx × σy
Remarque 20
On a : a× a′ =cov(x , y)
σ2x
× cov(y , x)
σy2Donc : a× a′ =
cov(x , y)2
σ2x × σ2
y= r 2
Propriete 16
−1 6 r 6 1 ADMISE
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.
I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.
I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.
I Pour davantage d’informations voir livre page 163
Herve Gurgey
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I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.
I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.
I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.
I Pour davantage d’informations voir livre page 163
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.
I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.
I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.
I Pour davantage d’informations voir livre page 163
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
I si r 2 = 1 alors a× a′ = 1.Les droites D et D’ sont alors confondues ; on dit que l’ajustement affineest parfait.
I si 0.7 < |x | < 1alors les deux droites D et D’ sont proches l’une de l’autre (en fait l’angleentre les deux est inferieur a 45 ) ; on dit que l’ajustement affine estjustifie.
I si |r | < 0, 7 alors l’angle entre les deux droites est superieur a 45 .L’ajustement affine ne se justifie pas.
I Pour davantage d’informations voir livre page 163
Herve Gurgey
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Nuage de points Point moyen d’un nuage d’un point Droite de regression de y en x Les formules de calcul La droite de regression de x en y Mesure de la qualite de l’ajustement Interpretation et utilisation du coefficient de correlation
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