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Filtrage (Traitement de signal)
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1
Filtrage linaire des signaux
2 Filtrage - Exemples
Filtrage du son ralis par un bouchon doreille
Le filtrage ralis par le bouchon doreille dpend de son positionnement
3 Filtrage- Exemples
Filtre analogique : rponse du filtre dentre dun rcepteur VHF 144MHz
Rcepteur dondes radio VHF 144MHz
Zoom sur le filtre dentre
Rponse en frquence du filtre passe-bande dentre, centr sur 144MHz
Antenne de rception (bande des 2 mtres )
144MHz
4 Filtrage- Exemples
Filtre de rjection (coupe bande) autour de 144MHz
Objectif : amliorer la rception des signaux de provenant de satellites
mtorologiques (137-138MHz) qui sont perturbs par les radios
amateurs VHF 144MHz.
Filtre analogique LC
Rponse en frquence du filtre coupe-bande centr sur 144MHz
5 Filtrage- Exemples
Filtre 3 voies pour enceintes audio HIFI
Objectif : filtrer le signal sonore pour ladapter chacun des 3 haut-parleurs : aigu (HF, filtre passe-
haut), mdium (MF, filtre passe-bande) et grave
(LF, filtre passe-bas)
Filtre 3 voies 24 dB/octave
Enceintes HIFI 3 voies
6 Dfinitions
Lopration de filtrage permet de modifier les amplitudes des composantes frquentielles dun signal
Un filtre linaire est dfini comme un systme linaire et invariant en temps
Le filtre est dfini par sa rponse impulsionnelle h(t) ou son gain complexe H(f)
La rponse frquentielle H(f) est la transforme de Fourier de rponse impulsionnelle h(t)
Le signal filtr est le rsultat de la convolution entre le signal et la rponse impulsionnelle h(t)
Exemple du module de la rponse
frquentielle dun filtre passe-bas.
Frquence de coupure 10kHz.
Exemple du module de la rponse
frquentielle dun filtre passe-bande.
Frquence de coupure 8 et 11kHz.
7 Filtre passe-bas idal
Domaine temporel ou domaine frquentiel ?
Lutilisation des filtres se fait plutt dans le domaine temporel (convolution)
La synthse se fait plutt dans le domaine frquentiel (gabarit du filtre)
1( ) ( ) 2 sin (2 )c ch t TF H f f c f t ( ) ( )
2 c
fH f rect
f
Filtre passe-bas idal :
f
1
-fc fc t
2fc
1/2fc
8 Filtres ralisables en pratique filtres non idaux
Tolrances sur le gabarit dun filtre passe-bas non idal
Caractristiques de la rponse en frquence du filtre ralisable :
Ondulation dans la bande passante Ondulation dans la bande attnue
Limite de bande passante
Limite de bande attnue
Bande de transition
Causalit, phase : La rponse dun filtre idal est infinie et donc non causale. Pour rendre le filtre ralisable, on peut choisir de le rendre causal : implantation en temps rel.
Si on choisit un filtre ralisable non causal, il est ncessaire de contrler sa phase (en fonction de la frquence)
En choisissant une phase linaire, toutes les composantes frquentielles sont retardes de manire identique
9
Filtres analogiques ralisables en pratique
Pour synthtiser des filtres analogiques rpondant un gabarit on choisira parmi un ensemble de filtres connus pour leurs proprits en terme de pente
dattnuation et dondulation dans la bande passante et attnue.
Exemples :
Filtres de Butterworth :
Coupure peu raide mais courbe daffaiblissement rgulire
Filtres de Tchebychev :
Raideur de coupure importante mais ondulations dans la bande passante ou attnue
Filtre simple mettre en uvre
Filtres de Cauer :
Coupure extrmement raide mais ondulations dans la bande passante et attnue
Circuits plus complexes raliser
10 Filtrage numrique. Filtres numriques ralisables en pratique
Objectifs du filtrage numrique
Elaborer un systme linaire et invariant en temps possdant le rponse frquentielle souhaite et se prtant une ralisation efficace sur calculateur
(DSP par exemple)
Contrainte
on ne peut obtenir quune rponse frquentielle approche
Il faut que le systme soit stable et causal (si ncessaire)
le filtrage doit tre ralis avec un nombre fini doprations
La transforme en z est un outil mathmatique trs utile pour la synthse des filtres numriques
Formulation gnrale du filtrage numrique linaire
M
k
k
N
k
k knxbknyany01
les ak et bk sont les coefficients du filtre.
11 Filtrage numrique. Classification des filtres
Classification des filtres :
Filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)
Forme gnrale RIF :
Filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)
Forme gnrale RII :
Classification des ralisations:
Ralisation transversale ou non rcursive
Ralisation rcursive
Ralisation par TF discrte
0
M
k
k
y n b x n k
M
k
k
N
k
k knxbknyany01
12 Filtres numriques ralisables en pratique
Etudes des filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)
Rponse impulsionnelle entirement dfinie par une un nombre fini dchantillons
Principales proprits des filtres RIF :
- ces filtres sont toujours stables
- leur rponse frquentielle peut prsenter une phase linaire
- la dure du rgime transitoire est limite la dure de la rponse impulsionnelle
- pas de propagation des erreurs de calcul (programmation non rcursive)
- faiblesse : pour amliorer les performances du filtre on peut tre amen
augmenter le nombre dchantillons
3 principales mthodes de synthse de filtres RIF :
Mthode des fentres
Mthode de l'chantillonnage en frquence
Mthode de synthse de filtre optimal (REMEZ)
13 Filtres numriques ralisables en pratique
Synthse dun filtre RIF par la mthode des fentres
On part du filtre passe-bas idal de frquence de coupure fc
Filtre numrique : chantillonnage de la rponse impulsionnelle
Dure finie de la rponse impulsionnelle : nombre fini dchantillons (L), multiplication par une fentre
Causalit : dcalage de (L-1)/2 chantillons (si ncessaire)
Mise en uvre : fonction FIR1 avec Matlab par exemple
f
1
-fc fc t
2fc
1/2fc
14 Filtres numriques ralisables en pratique
Synthse dun filtre RIF par la mthode des fentres
t
2fc
1/2fc
1( ) ( ) 2 sin (2 )c ch t TF H f f c f t ( ) ( )
c
fH f rect
f
[ ] 2 sin (2 ) [ ]c ch n f c f n w n
[ ] ( / )w n rect n LAvec
pour limiter la dure 2L+1 chantillons sin( )( ) ( )
sin( )c
f LfG f rect
f f
La phase dpendra du dcalage ventuelle
pour rendre causal le filtre
Rponse du filtre
numrique ralisable
Rponse du filtre idal
Echantillonnage de la
rponse impulsionnelle
f
1
-fc fc
15 Synthse des filtres RIF : mthode des fentres
Choix du nombre dchantillons (impair) du filtre : amlioration des performances
G
G
G G
16 Synthse des filtres RIF : autres mthodes
Autres mthodes de synthse
Mthode de lchantillonnage en frquence
La rponse frquentielle est chantillonne ,la rponse impulsionnelle est obtenue par TF inverse
Possibilit de dfinir des gabarits personnaliss
Ralisation avec le fonction Matlab FIR2
Mthodes optimales
La rponse impulsionnelle est synthtise avec des mthodes doptimisation ayant comme critre la minimisation des oscillations et la raideur de la pente
de coupure
Ralisation avec le fonction Matlab REMEZ
17 Filtrage numrique
Utilisation des filtres RIF dans le domaine temporel : convolution numrique
Soit le filtrage du signal numrique x[n] par le filtre de rponse impulsionnelle h[n]
Soit e[n] : x[0]=10, x[1]=7, x[2]=5, x[3]=12, x[4]=3, et x vaut 0 ailleurs
Et h[n] : h[-1]=1/3, h[0]=1/3, h[1]=1/3, et h vaut 0 ailleurs (filtre non causal)
Soit y le signal rsultant du filtrage de x par h. y est obtenu par la convolution de x par h
Calcul de y[n] k
y n x k h n k
18 Filtrage numrique
Rsultat du filtrage de x par h pour notre cas : 4
0k
y n x k h n k
pour n de -1 5
Analyse frquentielle :
y : 1/3(10 17 22 24 20 15 3)
19 Etude du filtre moyenneur
Moyenneur : filtre numrique simple, moyenne glissante sur M points
1
0
1 M
k
y n x n kM
Rponse frquentielle, TF de la rponse impulsionnelle :
Relation entre-sortie (filtre causal)
Cas du moyenneur temporel sur 3 points :
Rponse impulsionnelle correspondante : h[n]= 1/3 pour n de 0 2, h[n]=0 ailleurs
1( ) (1 2cos2 )
3H f f
H(f)
1
0
1 M
k
h n n kM
20 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter
Filtrage du signal constitu de la somme dune rampe continue et dun signal sinusoidal la frquence 1/8
Comparaison du signal filtr avec un moyenneur sur 3 points et un moyenneur sur 7 points
21 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter
Exemple du filtrage dune image.
Le filtre sera appliqu successivement sur chaque ligne de limage
Exemple de la ligne n 40. Cest un signal
22 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter
Exemple du filtrage de la ligne n 40 par un filtre moyenneur causal sur 11 points
Exemple du filtrage de la ligne n 40 par un filtre moyenneur non causal sur 11 points
Noter le dcalage spatial et lamplitude du rsultat
23 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter
Rsultat sur limage complte du filtrage par un filtre moyenneur non causal sur 11 points
Le filtre a t appliqu dabord sur les lignes puis sur les colonnes
Lamplitude du rsultat a t recalcule pour occuper toute lchelle des niveaux de gris
24 Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter
Comment liminer une composante sinusodale de frquence 1/11 superpose limage
On applique un filtre moyenneur de 11 points sur les lignes
Image avant et aprs filtrage.
Noter la suppression de la composante sinus mais aussi llargissement des motifs
Dtail dune ligne
25 Filtres numriques ralisables en pratique
Etudes des filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)
Le problme est de trouver les coefficients du filtre ak et bk pour que le filtre soit causal et stable
et respecte au plus prs le gabarit frquentiel.
Spcificits des filtres RII
- peuvent tre obtenus par transposition d'un filtre continu
- peuvent tre obtenus avec un petit nombre de coefficients
- mise en uvre rcursive - peuvent tre instables
- la rponse frquentielle peut prsenter une phase non linaire
- une bonne prcision de calcul est ncessaire pour viter la propagation des erreurs
Principales mthodes de synthse de filtre IIR:
Transposition du filtre analogique en filtre numrique
Mthode de l'invariance impulsionnelle
Equivalence la drivation
Equivalence l'intgration : transformation bilinaire
Forme gnrale :
M
k
k
N
k
k knxbknyany01
26 Filtres numriques ralisables en pratique. Filtres RII
Calcul de la rponse impulsionnelle :
calcul de la sortie lorsque lentre est un dirac [n] on suppose que lentre est nulle avant linstant de dpart on suppose que la sortie est nulle avant linstant de dpart
Exemple du filtre RII dfini par son quation entre-sortie : 0.8 1 5 [ ]y n y n x n
Rsultat du calcul :
5 (0.8) [ ]nh n u n
Avec u[n], lchelon unit
La transforme en Z est trs utile
pour ce calcul dans le cas gnral
27 Filtres numriques ralisables en pratique. Filtres RII
Exemple du filtre RII dfini par son quation entre-sortie : 0.8 1 5 [ ]y n y n x n
Noter la possible propagation des erreurs de calcul
Noter le petit nombre de coefficients pour dfinir le filtre (2)
Calcul de la rponse du filtre pour le signal dentre x[n] x[n] = 2[n] - 3 [n-1] +2 [n-3]
y[0] = 0.8y[-1]+5x[0] = 0.8(0) + 5(2) = 10
y[1] = 0.8y[0]+5x[1] = 0.8(10) + 5(-3) = -7
y[2] = 0.8y[1]+5x[2] = 0.8(-7) + 5(0) = -5,6
y[3] = 0.8y[2]+5x[3] = 0.8(5,6) + 5(2) = 5,52
y[4] = 0.8y[3]+5x[4] = 0.8(5,52) + 5(0) = 4,416
. Ensuite la sortie est proportionnelle (0,8)n
28 Filtres numriques ralisables. Exemple du filtre passe-bas du 1er ordre
Filtre numrique quivalent au
filtre RC analogique passe bas :
Calcul de la rponse frquentielle
TFtd ou proprits de la TZ
Relation entre-sortie de ce filtre linaire
caractris par lquation aux diffrences suivante :
On dduit la rponse impulsionnelle
par calcul de la rponse [n] ou avec
la transforme en Z
1 [ ] 1y n ay n x n avec a
'nh n a u n avec u n l chelon unit
2
1( )
1 j fH f
ae
29 Mise en uvre des filtres numriques : structure rcursive et non rcursive
Structure non rcursive
Adapte aux filtres RIF
Structure rcursive
Adapte aux filtres RII et
dautres filtres pouvant tre formuls de manire rcursive
30
Les fentres de pondration
31 Fentres de pondration
Modlisation
Pour traiter ou analyser un signal, on est amen limiter sa dure.
La transforme de Fourier du signal 'tronqu' n'est alors qu'une approximation de la
transforme de Fourier du signal de dpart.
Il est important de faire un choix raisonn de la fentre de pondration w(t) qui est
utilise pour limiter la dure du signal.
Dans le domaine temporel :
La fentre quon utilise intuitivement est la fentre rectangulaire qui permet simplement de garder les chantillons du signal sur une dure fixe sans modifier leur amplitude.
Le spectre du signal tronqu est donc convolu (en frquence) par la TF du rectangle
cest dire un sinus cardinal
Devient dans le domaine frquentiel :
)()( twtxtxw
)(*)( fWfXfXw
32 Fentres de pondration
Analyse dun signal sinus de frquence 100Hz, chantillonn 1000Hz et limit L=64 chantillons
0[ ] exp( 2 ) ( / )x n j f n rect n L 0
sin( )( ) ( ) *
sin( )
LfX f f f
f
En chelle log ::
largissement du pic thorique cause
de la convolution par le sinus cardinal
33 Fentres de pondration
Paramtres frquentiels caractristiques des fentres de pondration:
- Largeur du lobe principal rsolution frquentiel - Amplitude du 1er lobe secondaire rsolution dynamique - Pente de dcroissance des lobes secondaires rsolution dynamique
34 Fentres de pondration
Diverses fentres ont t inventes dans le but de limiter les oscillations dans les
lobes secondaires et rduire la largeur du lobe principal
Fentres de Hamming gnralises:
Avec =1 fentre rectangulaire
=0,54 fentre de Hamming
=0,5 fentre de hanning
Fentres triangulaire ou Bartlett
Fentre parabolique
Fentre cosinusodale
Fentre de Blackmann
Fentre de Kaiser
)
2cos()1()(
T
t
T
trecttwH
)1(sinc)1(sinc2
)1()(sinc
TfTfT
TfTfWH
35 Comparaison des fentres de pondration
Comparaison des diffrentes
fentres de pondration
dans le domaine temporel
et le domaine frquentiel
36 Comparaison des fentres de pondration
Analyse dun signal constitu de la somme de 2 sinus chantillonns 4000Hz sur 200 points
Rectangle
Hamming
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