CPV seu pé direito também na...

1CPV unifesp2011

unifesP – 17/dezembro/2010

CPV seu pé direito também na Medicina

matemática

16. Afigura1representaumcabodeaçopresonasextremidadesdeduashastesdemesmaalturahemrelaçãoaumaplataformahorizontal.Arepresentaçãodessasituaçãonumsistemadeeixosortogonaissupõeaplataformadefixaçãodashastessobreoeixodasabscissas;asbasesdashastescomodoispontos,AeB;econsideraopontoO,origemdosistema,comooponto

médioentreessasduasbases(figura2).Ocomportamentodocaboédescritomatematicamentepelafunçãof(x)=2x + 12x,

comdomínio[A,B].

a) Nessascondições,qualamenordistânciaentreocaboeaplataformadeapoio? b) Considerandoashastescom2,5mdealtura,qualdeveseradistânciaentreelas,seocomportamentodocaboseguir

precisamenteafunçãodada?

Resolução:

a) Amenordistânciaocorrequandoocaboestáomaisbaixopossível,ouseja,naintersecçãocomoeixoy(x=0).

Assim,f(0)=20 + 12

0 =1+1=2

Portanto,amenordistânciaserá2.

b) Devemoster,

2x + 12x=2,5

Fazendo-se2x=t,obtemos:

t+ 1t=2,5

t=12 Þ

12 =2

x Þx=–1ÞA(–1;2,5) Þt2–2,5t+1=0 t=2Þ2=2x Þx=1ÞB(1;2,5)

Portanto,adistânciaentreashastesserá|1–(–1)|=2.

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17. Progressãoaritméticaéumasequênciadenúmerostalqueadiferençaentrecadaumdessestermos(apartirdosegundo)eoseuantecessoréconstante.Essadiferençaconstanteéchamada“razãodaprogressãoaritmética”eusualmenteindicadaporr.

a) ConsidereumaPAgenéricafinita(a1,a2,a3,...,an)derazãor,naqualnépar.DetermineafórmuladasomadostermosdeíndicepardessaPA,emfunçãodea1,ner.

b) QualaquantidademínimadetermosparaqueasomadostermosdaPA(–224,–220,–216,...)sejapositiva?

Resolução:

a) Peladefiniçãodada,temosquea2=a1+r,a4=a1+3r,a6=a1+5r,...,an=a1+(n–1)r

eassim,asequênciadostermosdeíndiceparéumaPAderazão2ren2 termos.

Portanto,asomadessasequênciaseráS=a a n

n2 22

+( )=

a r a n r n1 1 14

+ + + −( )( )=( )2

41a nr n+

b) Paraasomaserpositiva(S>0),temosS=( ) ( ( ( ) ))a a n n nn1

2224 224 1 4

2+

=− + − + − .

=( )− +452 4

2n n

Assim, ( )− +452 42

n n >0Þn>113.Portanto,asomaépositivaapartirde114termos.

18. Considerea1,a2,a3,b1,b2,b3númerosreaisestritamentepositivos,taisqueospontos(a1,b1),(a2,b2)e(a3,b3)pertençamàretay=2x.

a) Sabendo-sequeQ(x)=a x a x a

b x b x b12

2 3

12

2 3

+ +

+ +(comb1x

2+b2x+b3≠0)independedex,pede-sedeterminarseuvalor.

b) Nafigura,seospontosA,BeCsãovérticesdeumtriânguloisósceleseosegmentoACéumdosdiâmetrosdacircunferênciaconvenientementecentradanaorigemdosistemaortogonal,pede-sedeterminaramedidadosegmentoABemfunçãodea1.

Resolução:

a) Comoospontos(a1,b1),(a2,b2)e(a3,b3)pertencemàretay=2x,temosb1=2a1,b2=2a2eb3=2a3.

Assim, Q(x)=a x a x a

b x b x b

a x a x a

a x a x a

a x a x12

2 3

12

2 3

12

2 3

12

2 3

12

22 2 2

+ +

+ +=

+ +

+ +=

+ + aa

a x a x a3

12

2 32( )+ + ÞQ(x)=

12

b) Pelafigura,temosC(a1,b1)eA(–a1,–b1).Comoambosospontospertencemàretay=2x,temosqueamedidadosegmentoACé

AC = ( ( )) ( ( ))a a b b1 12

1 12− − + − − ÞAC = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 201

212

12

12

12a b a a a+ = + =

ComoACéodiâmetrodacircunferência,entãoéahipotenusadotriânguloretânguloisócelesABC,retânguloemB.

Assim,AB2+BC2=AC2esendoAB=BC,temos:2AB2=AC2 Þ2AB2=20a12 ÞAB2=10a1

2 ÞAB=a1 10

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19. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicadopor|z|)éamedidadosegmentoOAecujoargumento(indicadoporθ)éomenorânguloformadocomOA,nosentidoanti-horário,apartirdoeixoRe(z).Onúmerocomplexoz=iéchamado“unidadeimaginária”.

a) Determinarosnúmerosreaisxtaisquez=(x+2i)4éumnúmeroreal. b) Seumadasraízesquartasdeumnúmerocomplexozéocomplexoz0,cujoafixoéoponto(0,a),a>0,determine|z|.

Resolução:

a) z=(x+2i)4

z=x4+4x3(2i)+6x2(2i)2+4x(2i)3+(2i)4

z=x4+8x3i+24x2i2+32xi3+16i4

z=x4+8x3i–24x2–32xi+16 z=(x4–24x2+16)+(8x3–32x)i

Parazserumnúmeroreal,temosque8x3–32x=0Þ8x(x2–4)=0Þx=0oux=2oux=–2

b) Comoz=z04ez0=0+ai,temos:

z=(0+ai)4=a4i4=a4+0i

Portanto,como|z|= x y2 2+ ,temos|z|= ( ) ( )a a4 2 2 40+ =

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20. Paratestaradurabilidadedeumabateriaelétricaforamconstruídosdoispequenosaparatosmóveis,AeB,quedesenvolvem,respectivamente,asvelocidadesconstantesde30cm/se20cm/s.Cadaumdosaparatoséinicialmenteposicionadoemumadasduasextremidadesdeumapistaretilíneaehorizontalde9mdecomprimento,ecorrememsentidocontrário,umemdireçãoaooutro,cadaumemsuafaixa.Aochegaremàextremidadeoposta,retornamaoinício,numfluxocontínuodeidasevindas,programadoparadurar1horae30minutos.Otempogastopelosaparatosparavirarem-se,emcadaextremidadedapista,einiciaremoretornorumoàextremidadeoposta,édesprezívele,portanto,desconsideradoparaodesenvolvimentodoexperimento.

a) DepoisdequantossegundososaparatosAeBvãoseencontrar,pelaprimeiravez,namesmaextremidadedapista? b) Determinequantasvezes,durantetodaaexperiência,osaparatosAeBsecruzam.

Resolução:

a)

OaparatomóvelAdemora90030 =30segundosparairdeumaextremidadeaoutraeoaparatomóvelBdemora 900

20=45segundos.

Portanto,oprimeiroencontronamesmaextremidadeocorreem,mmc(30,45)= 90 segundos.

b)

Ográficopermiteafirmarque,acada180s,osaparatosmóveisAeBencontram-se5vezeseretornamaopontodoorigem.

Logo,concluímosqueem1h30=5400s,osaparatosmóveisencontram-se 5400 5180

. =150 vezes.

900 cmA B

30 cm/s 20 cm/s

comentário da prova de matemática unifesp 2a fase 2011

A segunda fase daUNIFESP 2011manteve o nível apresentado nos anos anteriores, com questões adequadas e conteúdospertinentesaoprogramadoEnsinoMédio,taiscomofunções,progressões,geometriaanalítica,númeroscomplexosearitmética,quecertamentecontemplaráosalunosbempreparados.

20%–FunçãoExponencial

20%–ProgressãoAritmética

20%–GeometriaAnalítica

20%–NúmerosComplexos

20%–Aritmética

S (cm)

900

0 30 45 60 90 120 135 150 180 t (s)

SA

SB