View
559
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Cursul 2. Calcul vectorialBibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989.
4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
1. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.
2. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
3. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi Pedagogică
R.A., Bucureşti, 1993.
4. C. Udrişte, Algebră liniară, geometrie analitică, Geometry Balkan Press, Bucureşti, 2005.
5. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
6. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,
Craiova, 1996.
Scopuri:
1) Introducerea noţiunii de vector liber
2) Operaţii cu vectori liberi
3) Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi: produsul scalar, produsul vectorial,
produsul mixt
1. Vectori liberi
Pe lângă noțiunile cu care operează matematica, create prin abstractizare în urma
observației mediului înconjurător (de ex. noțiunile geometrice) sau a cercetării cantitative și
calitative a fenomenelor naturii (de ex. noțiunea de număr) în matematică există și elemente
preluate din alte științe. Noţiunea de vector, introdusă de fizică a fost studiată şi dezvoltată,
creându-se calculul vectorial, devenit un instrument util atât matematicii, cât şi fizicii. Toate
mărimile fizice sunt reprezentabile prin vectori (de ex. forţa, viteza).
În examinarea fenomenelor din natură se întâlnesc două tipuri de mărimi:
1. mărimi scalare (temperatura, lungimea, timpul, volumul, densitatea, suprafața) care se
pot caracteriza printr-un număr (ce se măsoară cu o anumită unitate de măsură);
1
2. mărimi vectoriale (forţa, viteza, accelerația) pentru a căror caracterizare nu este
suficientă măsura lor, ci este necesară cunoașterea direcției și sensului în care ele
acționează.
Pentru a reprezenta un vector se utilizează segmentul orientat, metoda fiind preluată din
mecanică.
Fie spaţiul tridimensional al geometriei elementare.
Definiţia 1.1. Numim segment orientat (sau vector legat) o pereche ordonată de puncte
şi-l notăm (vezi Fig. 1.1).
Fig. 1.1. Reprezentarea unui segment orientat
CARACTERISTICILE UNUI SEGMENT ORIENTAT
Considerăm segmentul orientat , pentru oricare două puncte .
Punctele şi se numesc originea şi respectiv extremitatea (vârful) segmentului
orientat. Dacă atunci este segmentul orientat nul.
Dacă atunci dreapta determinată de ele se numeşte dreapta suport a lui şi se
notează cu ;
Direcţia segmentului orientat este direcţia dreptei .
Sensul pe dreapta suport, de la către se numeşte sensul segmentului orientat .
Distanţa dintre punctele şi se numeşte lungimea (norma, modulul) segmentului
orientat şi se notează . Dacă originea unui segment orientat coincide cu
extremitatea (segment orientat nul) atunci lungimea acelui segment este egală cu .
Definiţia 1.2. Două segmente orientate şi , , au aceeaşi direcţie dacă
dreptele lor suport şi sunt paralele sau coincid.
2
Definiţia 1.3. Două segmente orientate şi , , care au aceeaşi direcţie se
spune că au acelaşi sens dacă şi se găsesc în acelaşi semiplan determinat de dreapta
(vezi Fig. 1.2).
Fig. 1.2. Exemplu de două segmente orientate, ce au acelaşi sens
Definiţia 1.4. Două segmente orientate şi , , se numesc echipolente
dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime; dacă este echipolent cu vom
scrie .
Teorema 1.1. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o
relaţie de echivalenţă.
Observaţie
Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pentru că este:
1. reflexivă: ;
2. simetrică: implică ;
3. tranzitivă: şi implică .
Vectorii pot fi clasificați astfel:
a) vectori liberi, ce au originea arbitrară în orice punct al spațiului, dar păstrează
modulul, direcția și sensul;
b) vectori legați, ce au originea într-un punct determinat;
c) vectori alunecători care se deplasează de-a lungul unei aceleiași drepte suport, iar
originea lor poate fi oriunde pe dreaptă.
Definiţia 1.5. Numim vector liber (geometric) caracterizat de un segment orientat ,
mulţimea segmentelor orientate echipolente cu :
.
Orice segment orientat din această mulţime se numeşte reprezentant al vectorului liber
; deci .
Un vector liber de lungime:
se numeşte versor (vector unitate) ; se notează în general cu ;
3
se numeşte vector nul ; se notează cu .
Definiţia 1.6. Prin lungimea, direcţia şi sensul unui vector liber nenul se înţelege
lungimea, direcţia şi sensul segmentului orientat care îl reprezintă.
Mulţimea vectorilor geometrici din spaţiul se va nota cu :
,
adică reprezintă mulţimea claselor de echivalenţă ale segmentului orientat .
Pentru a desemna lungimea unui vector liber sau se pot utiliza notaţiile: ,
sau .
Definiţia 1.7. Se spune că doi vectori liberi sunt egali şi se scrie dacă reprezentanţii
lor sunt echipolenţi.
Definiţia 1.8. Doi vectori liberi nenuli şi se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcție
(vezi Fig. 1.3).
Fig. 1.3. Exemplu de vectori coliniari
Definiţia 1.9. Doi vectori coliniari care au aceeaşi lungime însă au sensuri opuse se numesc
vectori opuşi. Opusul vectorului liber este (vezi Fig. 1.4).
Fig. 1.4. Exemplu de vectori opuşi
Definiţia 1.10. Trei vectori liberi , , se numesc coplanari dacă dreptele lor suport sunt
în același plan. (vezi Fig. 1.5).
Fig. 1.5. Exemplu de vectori coplanari
§1.1. Operaţii cu vectori liberi
În mulţimea se definesc următoarele operaţii:
4
1. adunarea vectorilor liberi;
2. înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale;
3. descompunerea unui vector liber.
1.1.1. Adunarea vectorilor liberi
Pe se defineşte o operaţie internă (adunarea vectorilor liberi)
, definită astfel: .
Deci, suma a doi sau mai mulți vectori este tot un vector, care se poate obține prin
următoarele metode:
A) dacă vectorii sun paraleli sau coliniari și
a) au același sens atunci vectorul sumă are direcția și sensul vectorilor
componenți, iar mărimea egală cu suma mărimilor vectorilor componenți;
b) de sens contrar atunci vectorul sumă are direcția comună, sensul vectorului mai
mare, iar mărimea dată de diferențele mărimilor celor doi vectori.
B) dacă vectorii au doar originea comună, suma lor se determină utilizând regula
paralelogramului.
Definiţia 1.111. (regula paralelogramului). Fie doi vectori liberi, ce au
originea comună şi un punct arbitrar fixat. Dacă ( reprezentant al
vectorului liber ) şi atunci vectorul liber reprezentat de segmentul orientat
se numeşte suma vectorilor liberi şi ; se scrie sau (Fig. 1.6).
Fig. 1.6. Ilustrarea regulii paralelogramului
C) dacă vectorii sunt dispuși astfel încât în extremitatea unuia să fie originea celuilalt,
pentru a realiza suma lor se aplică regula triunghiului.
5
Definiţia 1.122. (regula triunghiului). Fie doi vectori liberi şi un punct
arbitrar fixat. Dacă ( reprezentant al vectorului liber ) şi atunci vectorul liber
reprezentat de segmentul orientat se numeşte suma vectorilor liberi şi ; se scrie
sau (Fig. 1.7).
Fig. 1.7. Ilustrarea regulii triunghiului
Observații. Pentru mai mulți vectori, așezați în același fel, se aplică regula poligonului,
care este o generalizare a regulii triunghiului; vectorul sumă este acela care închide poligonul și
unește originea primului vector component, cu extremitatea ultimului.
Adunarea vectorilor are la bază fapte experimentale (compunerea forțelor, a vitezelor)
Exemplul 1.1. Se consideră un segment şi punctele şi care împart segmentul în
trei părţi egale. Dacă este un punct oarecare în afara segmentului, să se exprime vectorii
şi în funcţie de vectorii şi .
Rezolvare
Folosind regula triunghiului avem:
.
Dar
.
Deducem
şi
6
.
Similar,
.
Teorema 1.2. Adunarea vectorilor liberi determină o structură de grup abelian pe
mulţimea vectorilor liberi.
Observații. Observăm că adunarea vectorilor liberi este o operaţie algebrică internă bine
definită adică vectorul liber nu depinde de alegerea punctului pentru că din
şi rezultă .
Se verifică proprietăţile de:
1. asociativitate:
3V,,, cbacbacba ;
2. este element neutru:
astfel încât , 3V a ;
3. element simetrizabil:
, astfel încât ;
4. comutativitate:
, .
1.1.2. Înmulţirea unui vector liber cu un scalar
Vom defini acum o operaţie externă (înmulţirea unui vector liber cu un scalar )
, definită astfel: ,
dacă sau ;
vectorul liber are:
a) aceeaşi direcţie cu ,
b) acelaşi sens cu dacă şi sens opus lui dacă ;
c) lungimea .
Teorema 1.3. Înmulţirea vectorilor liberi cu scalari are următoarele proprietăţi:
1. distributivitate faţă de adunarea vectorilor:
şi ;
2. distributivitate faţă de adunarea scalarilor
şi ;
7
3. şi ;
4. .
1.1.3. Descompunerea unui vector liber
Propoziţia 1.1. (descompunerea unui vector după o direcţie). Fie .
Vectorii şi sunt coliniari dacă și numai dacă unic astfel încât .
Teorema 1.4. Fie . Vectorii şi sunt coliniari dacă şi numai dacă
nesimultan egali cu (adică ) astfel încât .
Descompunerea unui vector după două direcții este operația inversă adunării a doi vectori.
Propoziţia 1.2. (descompunerea unui vector după două direcţii necoliniare). Fie
. Dacă sunt coplanari atunci unic determinaţi astfel încât
.
Teorema 1.5. Fie . Vectorii sunt coplanari dacă şi numai dacă
nesimultan egali cu (adică ) astfel încât .
Propoziţia 1.3. (descompunerea unui vector după trei direcţii necoplanare). Fie
. Dacă sunt necoplanari atunci unic determinaţi
astfel încât .
Considerăm un punct în numit origine şi trei versori necoplanari , , cărora le
ataşăm axele de coordonate , , , ce au acelaşi sens cu sensul acestor versori (vezi Fig.
1.9). Ansamblul se numeşte reper cartezian în .
Fig. 1.7. Reprezentarea unui reper cartezian în
8
Întrucât versorii , , sunt necoplanari, atunci conform propoziţiei 1.3, pentru orice vector
, unic determinaţi astfel încât se exprimă în forma , numită
expresia analitică a vectorului . Numerele se numesc coordonatele euclidiene
(componente) ale lui în raport cu reperul .
Definiţia 1.133. Fie fixat. Vectorul se numeşte vector de poziţie al punctului
. Coordonatele vectorului de poziţie în raport cu reperul se numesc
coordonatele punctului . Dacă atunci se scrie .
Exemplul 1.2. Să se determine astfel încât vectorii
, ,
să fie coplanari.
Cu astfel determinat să se descompună după direcţiile vectorilor şi .
Rezolvare
Folosind teorema 1.5, , , coplanari , astfel încât
.
Obţinem
, adică
;
sistemul omogen admite soluţia nebanală
.
Dacă , , coplanari, din propoziţia 1.3 avem: unic determinaţi astfel
încât
;
deci
Obţinem
.
Definiţia 1.144. Dacă şi , sunt două puncte date, atunci
avem (vezi fig. 1.8)
,
9
iar distanţa dintre punctele şi notată se calculează conform formulei:
.
Fig. 1.8
Definiţia 1.155. Fie , şi , . Unghiul
determinat de segmentele orientate şi se numeşte unghiul dintre vectorii liberi şi
(vezi Fig. 1.9). Unghiul dintre cei doi vectori este unghiul semidreptelor suport considerate în
sensul vectorilor.
Fig. 1.9. Reprezentarea unghiului dintre vectorii liberi şi
Vectorii şi se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este .
§1.2. Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi
1.2.1. Produs scalar în
Fie . Pentru , se notează cu unghiul dintre şi .
Definiţia 1.166. Se numeşte produs scalar al vectorilor liberi şi scalarul dat de
(1.2)
10
Produsul scalar reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța necesară pentru a deplasa un
mobil pe o dreaptă, de vector director , care face cu direcția forței unghiul .
Propoziţia 1.4. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:
1. comutativitatea: , ;
2. , şi ;
3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor liberi:
, ;
, ;
4. , , şi ;
5. şi sunt ortogonali, , ;
6. dacă
,
atunci se obţine expresia analitică a produsului scalar:
(1.2)
În particular,
(1.2)
7. unghiul dintre vectorii nenuli este dat de formula
, (1.2)
se observă că vectorii şi sunt ortogonali dacă şi numai dacă
.
Exemplul 1.3. Să se calculeze ştiind că
, şi , iar , şi .
Rezolvare
Folosind formula (1.2) avem:
.
Calculăm
.
Similar şi .
11
Exemplul 1.4. Să se găsească un vector coliniar cu şi care satisface condiţia
.
Rezolvare
Deoarece este coliniar cu rezultă unic astfel încât . Vom obţine
.
Rezultă .
1.2.2. Produs vectorial în
Fie . Pentru , se notează cu unghiul dintre şi .
Definiţia 1.17. Produsul vectorial dintre vectorii liberi şi este vectorul liber
construit în felul următor:
direcţia lui este ortogonală planului determinat de vectorii şi ;
mărimea lui este dată de formula
(1.2)
sensul dat de regula mâinii drepte, adică sensul indicat de degetul mare al
mâinii drepte, când se roteşte către cu unghiul .
Fig. 1.8. Reprezentarea grafică a produsului vectorial
Propoziţia 1.5. Proprietăţile algebrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:
1. anticomutativitatea: , ;
2. , şi ;
3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor
, ;
12
, ;
4. , ;
5. , ;
6. dacă , atunci se obţine expresia analitică a
produsului vectorial
. (1.2)
Propoziţia 1.6. Proprietăţile geometrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:
1.
2.
3. identitatea lui Lagrange:
,
4. este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanţilor lui şi
având aceeaşi origine.
a
b
O A
C B
Fig. 1.9. Interpretarea geometrică a produsului vectorial
Dar
.
Rezultă
.
Exemplul 1.1. Cunoscând două laturi , ale unui triunghi să se
calculeze lungimea înălţimii sale .
Rezolvare
13
adică este ortogonal pe şi .
1.2.3.3. Produs mixt în Definiţia 1.18. Fie trei vectori liberi. Produsul mixt al acestor vectori liberi
este numărul real .
Observa ţ ie . Dacă vectorii liberi sunt necoplanari, atunci produsul mixt,
în valoare absolută a celor trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei trei
vectori ca muchii (vezi Fig. 1.13).
Dacă notăm cu unghiul dintre vectorii şi şi cu unghiul dintre vectorii şi ,
atunci
,
adică
.
Fig. 1.10. Interpretarea geometrică a produsului mixt
Propoziţia 1.7. Produsul mixt al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:
1.
2.
3. ,
4.
5. identitatea lui Lagrange:
14
6. dacă şi numai dacă:
a) cel puţin unul dintre vectorii , , este nul;
b) doi dintre vectori sunt coliniari;
c) vectorii , , sunt coplanari.
7. dacă , , atunci se obţine expresia
analitică a produsului mixt
. (1.2)
Exemplul 1.2. Să se determine astfel ca volumul paralelipipedului construit pe
vectorii , , să fie egal cu .
Rezolvare
Volumul construit pe cei trei vectori ca muchii este
.
Din condiţia deducem adică , .
15
Recommended