View
23
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
P. Jiménez Aquestes transparències contenen tres parts: Part 1: Part final del mòdul de mobilitat i anàlisi del desplaçament (quan fallen les fórmules de mobilitat, i per què, i anàlisi del manipulador 3R) Part 2: Solució a l’exercici 1 del mòdul 1. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Curs 2009-2010
Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics(GCR)
P. Jiménez
Aquestes transparències contenen tres parts:
• Part 1: Part final del mòdul de mobilitat i anàlisi del desplaçament (quanfallen les fórmules de mobilitat, i per què, i anàlisi del manipulador 3R)
• Part 2: Solució a l’exercici 1 del mòdul 1.• Part 3: Qüestions resoltes de mobilitat i anàlisi de desplaçament.
Part 1Part final del mòdul de mobilitat i anàlisi del desplaçament:• Part 1A: Quan fallen les fórmules de mobilitat, i per què.• Part 1B: Anàlisi del manipulador 3R.
Part 1AQuan fallen les fórmules de mobilitat, i per què.
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
Per què?
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3
El criteri de GK es compleix per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient). El mecanisme (b) té la particularitat de complir :
4
3
1
lli
i
ab
1 2 3
4
1
2
3
4
! 0real m142)14(3
44
m
jn
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3
Hi ha dues articulacions al mecanisme (d) que no són binàries, són ternàries
c d1
2
34
2
! 0real m062)15(3
65
m
jn
51 3
45
442)15(3
45
m
jn
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3
El mecanisme (f) està sobre-restringit, hi ha més links dels necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme
e f2
! 1real m282)17(3
87
m
jn
15
4
3
0122)19(3
129
m
jn
6
72
15
4
3
6
7
8 9
Recordeu també:
funciona quan les articulacions són tipus P o R
jn m 2)1(3
0
33
m
jn1)3()1(3
1
j
iifn m
Part 1BAnàlisi directa i inversa del robot 3R
Anàlisi directa del manipulador 3R
3
1
2
x,y,,xy
= p
1
2
3
=
Conegut Volem:
Donats els angles articulars volem calcular la posa de l’efector
Anàlisi directa del manipulador 3R
3
2
1
X
Y
12a
23a
34a
1
21
112 cosa )cos( 2123 a
)cos( 32134 a
Anàlisi directa del manipulador 3R
3
2
1
X
Y
12a
23a
34a
1
21
112 sina
)sin( 2123 a
)sin( 32134 a
Anàlisi directa del manipulador 3R
3
2
1X
12a
23a
34a
1
21
)sin()sin(sin
)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
aaay
aaax
321
Y
Anàlisi directa del manipulador 3R
3
2
1
X)sin()sin(sin
)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
aaay
aaax
321
Y
Anàlisi inversa del manipulador 3R
3
1
2
x,y,, xy
= p
1
2
3
=
Volem: Sabent:
Donada la posa de l’efector, volem calcular els angles articulars
Anàlisi inversa del manipulador 3R
)cos()cos(cos 321342123112 aaax
)sin()sin(sin 321342123112 aaay
321
)cos(coscos 212311234 aaax
)sin(sinsin 212311234 aaay
(a)
(b)
(a)2+ (b)2
)sin)sin(cos)(cos(2
)sin()cos(
1211212312
223
212
234
234
aa
aaayax(c)
Anàlisi inversa del manipulador 3R
fd 2cos23122 aad
(c)
2121121121 cos))cos((sin)sin(cos)cos(
223
212
234
234 )sin()cos( aaayaxf
22 a
22 b
(a), (b)
FAB
EBA
11
11
sincos
sincos
sinsin
coscos
34223
3422312
ayFaB
axEaaA
)sin(),cos( 2121
Anàlisi inversa del manipulador 3R
a3
a2
a1
X
12a
23a
34a
Y (x,y,)
Anàlisi inversa del manipulador 3R
b3
b2
b1
X
12a23a
34a
Y (x,y,)
Part 2Solució a l’exercici 1 del mòdul 1
Exercise 1. Mobility of planar bar-and-joint linkagesA planar bar-and-joint linkage is one where the links are rigid bars, articulated via pin joints, i.e., planar rotary joints. Some examples are included on the right.
Note that Duffy's formula (1.1) is derived for linkages where the joints are assumed to be binary (each joint connects exactly two links) and the links can have any number of joints. Contrarily, in bar-and-joint frameworks the joints can connect any number of bars, and the links (i.e., the bars) can only have two joints.
Develop a mobility criterion for bar-and-joint linkages, analogous to Duffy's formula (1.1). The formula should give the mobility of the linkage (m), in terms of the number of bars (e) and the number of joints (v). Hint: use as configuration variables the (x,y) coordinates of the v joints, and note that each bar imposes one constraint of the form |p i-pj|2 =lij
2 where pi = (xi,yi) are the coordinates of the ith joint, and lij is the length of the bar connecting joints i and j. Count the number of variables and equations of the resulting system of equations, and write down the balance "mobility = number of freedoms - number of constraints". Note that one of the bars must be anchored to the ground, in order for m to really reflect the number of internal degrees of freedom.
Using the previous formula, predict the mobility in the linkages to the right. In which linkages does the formula fail and why?
(Please comment the steps of your solution to the problem.)
M = # pars. configuracionals - # restrics. internes
Canvi de perspectiva:
Configuració definida per les coordenades cartesianes de les articulacions
Restriccions internes imposades per les barres (distàncies entre articulacions)
# paràmetres configuracionals
(x1,y1)
(x2,y2) (x3,y3)
(x4,y4)
2v
(a,b)
(x2,y2) (x3,y3)
(c,d)
2(v-2)
e
(e-1)
lij2=|pi- pj|2=( xi- xj)2 +( yi- yj)2
l122=( x1- x2)2 +( y1- y2)2 l23
l34
l41
ja inclosa al #par. config.
# restriccions internes
M = # pars. configuracionals - # restrics. internes
Mobilitat (M)
M = 2(v-2)-(e-1)= 2v-e-3
v = 4e = 4
M = 2·4-4-3 =1
v = 4e = 5
M = 2·4-5-3 =0
(Teorema de Laman)
La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
Per què?
La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
Es garanteix el compliment de la fórmula per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient).
M = 2v-e-3=2·6-8-3=1
v = 6e = 8
Mreal = 0 !
La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
M = 2v-e-3=2·6-9-3=0
v = 6e = 9
Mreal = 1 !
Es garanteix el compliment de la fórmula per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient).
La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
M = 2v-e-3=2·6-7-3=2
v = 6e = 7
Mreal = 1 !
v = 6e = 9
M = 2v-e-3=2·6-9-3=0
El segon mecanisme està sobre-restringit, hi ha més links dels necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme
Part 3Qüestions de test resoltes, sobre mobilitat i anàlisi de desplaçament
Qüestió: Prediu la mobilitat dels següents mecanismes:
a) Esquerre: 3. Centre: 3. Dret: 1.b) Esquerre: 3. Centre: 3. Dret: -1.c) Esquerre: 1. Centre: 3. Dret: 3.d) Esquerre: 2. Centre: 4. Dret: 2.e) Cap de les anteriors.
Dues possibilitats: com a mecanismes de cossos i articulacions, o com a mecanismes de barres i articulacions
m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·9 = 3
m = 2v–e–3 = 2·9–12–3 = 3
Com a mecanisme de cossos i articulacions:
Com a mecanisme de barres i articulacions:
Estructures equivalents
Els quatre mecanismes presenten la mateixa estructura i per tant tenen la mateixa mobilitat
m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·9 = 3
m = 2v–e–3 = 2·9–12–3 = 3
Com a mecanisme de cossos i articulacions:
Com a mecanisme de barres i articulacions:
m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·10 = 1
m = 2v–e–3 = 2·10–16–3 = 1
Com a mecanisme de cossos i articulacions:
Com a mecanisme de barres i articulacions:
a b
c d
Qüestió: Quines de les configuracions següents d’un manipulador 3RPR són singulars?
a) a i bb) a, b i dc) a i cd) a, b i ce) b i c
Recommended