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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES PROBLEMAS QUE ENVOLVAM FUNÇÕES
Marlene Muzyka Oyarzabal Nunes 1
Reinaldo Francisco 2
Resumo: Este trabalho apresenta a necessidade em descobrir uma maneira mais
adequada, atraente e simples de ensinar e aprender matemática, trabalhando com a
metodologia resolução de problemas e suas aplicações com recursos
computacionais no cotidiano de alunos jovens e adultos, trazendo benefícios tanto
aos professores quanto aos alunos.
A preocupação da escola pauta-se na interação entre o conteúdo e as formas
de ensino, deste modo os pressupostos teóricos que sustentaram este estudo
encontram seus fundamentos no estabelecimento de uma relação dialética entre
teoria e prática, ou seja, entre o conhecimento matemático do aluno jovem, adulto e
idoso, para que seja aplicado no processo de produção e nas manifestações
teóricas metodológicas que estruturam o conhecimento cientifico da matemática.
Foram realizados estudos e pesquisas que resultaram em metodologias
possíveis de serem aplicadas nas escolas e que favoreçam o aprendizado de
funções na disciplina de matemática.
Com esta investigação ficou evidenciada a dificuldade que o professor tem em
sala de aula para aplicar a metodologia proposta e orientar os alunos para fazerem
análise e aplicação em resolução de problemas, isso demanda de bastante tempo e
outros fatores como os relacionados a empatia da população idosa em trabalhar
com o computador sendo que o principal objetivo deste trabalho foi a utilização de
recursos tecnológicos para facilitar a compreensão da resolução de problemas.
Palavras-chave: Resolução de funções; Metodologias; Situações problemas.
_____________________ 1 Professora do ensino fundamental e médio, Laranjeiras do Sul, PR,
e-mail: marlenemuzyka@seed.pr.gov.br 2 Professor do Departamento de Matemática, UNICENTRO, Guarapuava - PR.
e-mail: reinaldo@unicentro.br
2
Abstract: This paper presents the need to find a more suitable, attractive and simple way to teach and learn mathematics, working with problem solving methodology and their applications to computing resources in the daily lives of students and young adults, bringing benefits to both teachers and students. The concern of the school is based on the interaction between the content and forms of education, thus the theoretical assumptions that supported this study have their foundations in establishing a dialectical relationship between theory and practice, is between the mathematical knowledge of young, adult and elderly students, to be applied in the production process and in the theoretical methodological manifestations that structure the scientific knowledge of mathematics. Studies and researches were done, that resulted in methodologies that are possible to be implemented at schools and that encourage learning in the discipline of mathematical functions. With this research, the difficulty that the teacher have in the classroom to implement the proposed methodology and guide students to do analysis and application in solving problems was highlighted. This implementation requires a lot of time and depends on other factors such as the empathy of the elderly population to work with the computer. Ultimately, the main objective of this study was the use of technological resources to facilitate understanding of problem solving. Keywords: function resolution; Methodologies; Situations problems.
I. INTRODUÇÃO
As atividades apresentadas neste trabalho foram desenvolvidas na 1a série do
ensino médio, da Escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA) contou-se,
também, com a colaboração de professores do Grupo de Trabalho em Rede GTR.
Um dos principais objetivos da matemática é o de resolver problemas,
aplicando os conhecimentos matemáticos adquiridos, pois é assim que os alunos
iniciam o pensar matemático. No entanto, a maior dificuldade dos alunos é entender
o enunciado dos problemas e efetuar cálculos que envolvam vários algoritmos, pois
não conseguem relacionar com facilidade os dados e buscar métodos adequados
para as resoluções.
A resolução de situações problemas dá mais trabalho ao professor, o qual
precisa interagir com os alunos, mas estes, com certeza sentem-se mais motivados
e desafiados a querer resolve-los, fazendo uso dos recursos disponíveis e propondo
soluções às questões.
3
Hoje, o que se busca são pessoas com criatividade, iniciativa e que saibam
resolver situações problemas do seu dia-a-dia, trabalhando sozinhos ou em grupos,
tomando decisões rápidas e precisas.
Resolvendo problemas, o educando, vê aplicações da matemática e não fica
apenas resolvendo, mecanicamente, algoritmos e regras, sem significados e que
não exigem qualquer estratégia e procedimentos, passando a ver a importância da
matemática no seu cotidiano. Dessa forma, a matemática é vista com mais
afetividade, pois os alunos participam ativamente da resolução e também na
elaboração, já que os problemas dos livros didáticos, nem sempre, são uma situação
problema e às vezes são muito fáceis ou difíceis demais.
Assim, o professor está usando, dos educandos, conhecimentos adquiridos em
suas vidas, já que se trata de jovens, adultos e idosos, dos quais, a maioria não tem
computador em casa, e sentem a necessidade de saber usá-los, por isso se sentem
motivados.
II. Fundamentação Teórica
Resolver problemas tem como objetivo desenvolver inúmeras habilidades entre
as quais, fazer com que o aluno aprenda conceitos, a transformar a linguagem usual
em linguagem matemática. Portanto, trata-se, de salientar e evidenciar os processos
de pensamento e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos por parte do aluno.
Desse modo, o aluno expõe seus processos de pensamento, tornando-se
consciente do modo de utilizá-los em suas operações.
Uma das maiores dificuldades do ensino da matemática é fazer com que o
ensino tenha significado. O professor alcançará seus objetivos no momento em que
o aluno estiver resolvendo exercícios que tenham sentido. É dever do educador o
apoio e incentivo, para que o educando compreenda o processo de resolução e para
que possa exercitar sua capacidade mental refletindo sobre seu próprio processo de
pensamento, a fim de melhorar conscientemente.
Segundo DANTE, (2005, p.60)
Devemos mostrar ao aluno a necessidade de resolver problemas na vida
diária, o valor de enfrentar desafios que exigem grande esforço e
4
dedicação, mesmo que não os solucione corretamente, pois o ato de tentar
resolvê-los com empenho já é um grande aprendizado.
É papel do educador oferecer estímulo para que o aluno confie em si gerando
idéias produtivas, a fim de que explore e descubra novas estratégias de resolução,
como também preparar este aluno para solucionar outras situações que envolvam
conceitos matemáticos, não apenas na escola, mas também no seu cotidiano.
É importante que o aluno tenha tempo suficiente de ler e compreender, para
que elabore seu pensamento para a busca de soluções frente à situação problema
apresentada, criando suas próprias estratégias de resolução,
Esse tipo de exercício deve englobar tanto os conhecimentos que o aluno tem
quanto os novos que aprende diariamente na escola. Assim o ensino da Matemática
pode tornar-se atrativo, significativo e coerente com a realidade que o cerca. Torna-
se de extrema importância que antes da resolução, o professor faça uma avaliação
do grupo envolvido para obter informações precisas quanto aos seus conhecimentos
matemáticos e quais são suas vivências diárias.
Portanto, é relevante lembrar que trabalhar com diferentes situações é muito
importante, e é conveniente que os alunos tragam problemas interessantes,
formando um banco de problemas, assim eles podem ajudar a construir outros que
podem ser resolvidos em duplas, em grupos ou mesmo individualmente, jornais e
revistas podem ser utilizados para desenvolver este tipo de trabalho que ajuda os
alunos a compreender melhor como é o processo de construção e resolução dos
mesmos.
O uso de diferentes meios pra resolução de situações problemas, inclusive o
tecnológico, nos faz perceber a importância do uso de diferentes tecnologias no
nosso dia-a-dia. Usar o computador no ensino de matemática se configura na
atualidade como uma necessidade de se aproximar a realidade do contexto social,
no qual o educando está inserido.
As situações problemas, ao longo da história da humanidade, surgiram de
problemas, tanto relacionados a questões cotidianas, quanto a partir daquela
vinculados a outras ciências.
A resolução de problemas deve ser um momento de investigação, descoberta e
aprendizagem, os alunos sendo encorajados a analisar detalhadamente o texto,
relacionando os dados numéricos e os outros elementos que o constituem.
5
Trabalhar com situações problemas é um desafio para os professores, porque
é necessário que seja bem escolhido, desafiador, fazer com que o aluno se sinta
convidado aprender
De acordo com Freire (1983, p.33)
O desenvolvimento de uma consciência crítica que permite ao homem
transformar a realidade se faz cada vez mais urgente. Na medida em que os
homens, dentro de sua sociedade, vão temporalizando os espaços
geográficos e vão fazendo história pela sua própria atividade criadora.
É função da escola ser facilitadora da aprendizagem oferecendo a estes
alunos, não somente os recursos tecnológicos, mas sim, o de trabalhar o raciocínio
lógico tornando-os capazes de escolher os meios apropriados, encontrar resultados
e verificar as respostas.
É um grande engano em achar que o conhecimento é puramente fruto de
experiências, ele também é oriundo de conhecimentos acadêmicos, fonte de
aprendizagem quando leva o aprendiz a executar suas idéias para que o levem a
uma reestruturação intelectual na resolução de situações problemas.
A resolução de problemas é uma metodologia na prática educativa da
matemática que merece atenção de todos os professores deve-se trabalhar o ano
inteiro, não ser uma atividade isolada, usando os conceitos matemáticos que estão
sendo desenvolvidos, não constituindo experiências repetitivas, os mesmos
problemas com outros números, mas sim problemas que envolvam os alunos,
levando-os a pensar neles e a querer resolvê-los.
Quando deixamos os alunos falarem de como estão resolvendo, podemos
perceber como estão pensando e assim orientar e a aprendizagem se realizará mais
facilmente e permitira uma maior troca de experiências entre os mesmos, ampliando
o vocabulário matemático e fazendo com que idéias e procedimentos sejam
compartilhados.
O cálculo mental e de grande importância, pois os alunos irão fazer uso dessa
estratégia, está ligado a aspectos da vida cotidiana, muitos o associam com cálculo
não-exato, mas há situações onde se requer uma resposta exata e a resolução de
problemas demanda de um domínio crescente de recursos de cálculo.
6
III. Metodologia
Ensinar matemática de uma maneira interessante, isto é, útil e atual o mais
próximo possível da realidade do aluno com a utilização de métodos que privilegiem
a participação ativa do educando na construção de sua aprendizagem, como a
Resolução de Problemas que podem contribuir para uma melhor compreensão de
conceitos e conteúdos matemáticos, é o grande desafio que nós educadores
encontramos.
Como afirma Diniz (2001, p. 92)
O mais importante é que os alunos estejam envolvidos ativamente em sua
aprendizagem, refletindo constantemente frente a cada novo desafio e
interferindo na forma e no ritmo da atividade.
Com isso, não levamos o aluno aos problemas tradicionais, onde todos os
dados aparecem no texto e a solução sempre existe e é única, onde ele resolve
mecanicamente, muitas vezes sem ter entendido o que fez.
Segundo Diniz (2001, p. 89)
Devemos considerar que a resolução de problemas trata de situações que
não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine
seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da
solução.
Com o desenvolvimento do senso crítico, da curiosidade e da confiança com
problemas atuais, do nosso dia-a-dia, ou trabalhar com algum fato histórico, mas
sempre buscando coisas diferentes para chamar a atenção dos alunos com clareza
de objetivos a serem alcançados e planejamento cuidadoso das atividades e do
encaminhamento dos questionamentos, desenvolvendo atividades, como trabalhar
em grupo, ter confiança em si, não desistir na primeira dificuldade, tendo assim,
uma aprendizagem real.
7
3.1 Resoluções de problemas
Neste trabalho foi encaminhada a resolução de situações problemas de acordo
com as etapas desenvolvidas por Polya em seu livro, "A Arte de Resolver
Problemas"; que são:
Compreender o problema;
Elaborar um plano;
Executar o plano;
Fazer a verificação.
Algum aluno pode ter mais facilidade e conseguir chegar ao resultado pulando
alguma etapa, mas o correto é seguir todas as fases, pois pode acontecer de o
estudante ficar fazendo cálculos sem ter compreendido o problema, sem ter feito um
plano e verificando cada passo.
3.1.1 Compreensão do problema
O aluno deve compreender o problema e querer resolvê-los, para isto o
problema deve ser bem escolhido, e o professor precisa tirar algum tempo para a
sua apresentação.
O estudante deve indicar a incógnita e os dados.
3.1.2 Elaborar um plano
Para termos um plano precisamos conhecer quais os cálculos ou desenhos
usar, precisamente, para encontrar a incógnita organizando os dados em tabelas e
vendo o que é pedido, muitas vezes chegamos a uma sentença matemática.
O professor pode propiciar discretamente, com indagações e sugestões alguma
idéia.
Para se ter uma boa idéia é necessário relembrar certos itens relevantes do
conhecimento matemático já adquirido, como problemas já resolvidos.
8
3.1.3 Executar o plano
Para executar o plano não se pode desanimar na primeira dificuldade. Isto
requer conhecimentos anteriores, assim o aluno deve verificar cada passo do plano
elaborado.
3.1.4 Fazer a verificação ou retrospecto
Nesta etapa, analisamos e fazemos a verificação do resultado obtido.
Os alunos contam como chegaram aos resultados, se a resposta está correta, e
se há outra maneira de se chegar ao resultado obtido.
Segundo Dante (2005, p. 52)
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do que
ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um
algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções, passo a passo,
de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve
funcionar como incentivador e moderador das idéias geradas pelos próprios
alunos.
Com clareza de objetivos a serem alcançados, com o planejamento cuidadoso
das atividades e com o encaminhamento dos questionamentos, desenvolvem-se
atitudes de como trabalhar em grupo, ter confiança em si, não desistir na primeira
dificuldade para adquirir uma aprendizagem real.
Nesta perspectiva, procura-se desenvolver uma metodologia de ensino que
não seja centralizada no professor, como detentor único do conhecimento a ser
transmitido, verificando qual a compreensão que os alunos possuem no seu
cotidiano para iniciar o estudo dos conceitos científicos.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos
(2006, p.39) "O educador deve perceber o que o educando sabe e o que precisa
saber, conhecendo-o no conjunto: profissão, religião, desejos, anseios,
características e ideologias, por meio do dialogo e da observação permanentes."
Esses estudantes possuem uma grande bagagem cultural e de conhecimentos
adquiridos, assim, é possível tratar do mesmo conteúdo de formas e em tempos
9
diferenciados, tendo em vista as histórias de vida dos educados e acreditando na
capacidade de aprendizagem do adulto no seu ritmo.
São pessoas marcadas pela exclusão social, as quais exigem um
encaminhamento metodológico diferenciado.
O grande desafio que os educadores matemáticos encontram é tornar a
matemática interessante, útil e atual com a utilização de métodos que privilegiem a
participação ativa do educando na construção de sua aprendizagem, como a
resolução de problemas que podem contribuir para uma melhor compreensão de
conceitos e conteúdos matemáticos.
Ao definir situações problemas, Macedo (2002, p. 114) afirma:
As situações-problema caracterizam-se por recortes de um domínio
complexo, cuja realização implica mobilizar recursos, tomar decisões e
ativar esquemas. São fragmentos relacionados com nosso trabalho, nossa
interação com as pessoas, nossa realização de tarefas, nosso
enfrentamento de conflitos.
Trabalhar funções, a partir da resolução de problemas com visualização dos
resultados e gráficos, nos faz refletir sobre a importância de nossos educando
estarem em constante contato com diferentes recursos tecnológicos no seu dia-a-
dia, pois isso fará com que o aluno traga em sua bagagem, subsídios diferenciados
para a resolução e construção de situações problemas e outros exercícios
matemáticos. Sabe-se que hoje, praticamente, todos os educando, de uma forma ou
de outra, têm acesso à informática e seus recursos tecnológicos.
IV. Resultados e Discussões
4.1 Exemplos das atividades desenvolvidas
Resolva os problemas em seu caderno.
1 - Adaptado do livro didático, matemática (Projeto Araribá)
A festa de aniversário de João aconteceu na Brinquedolândia.
Os preços eram os seguintes, por convidado:
10
- Crianças abaixo de 3 anos Não pagam
- Crianças de 3 a 9 anos R$ 20,00
- Crianças com mais de 9 anos R$ 25,00
No final da festa, Matilde, mãe de João, recebeu a seguinte conta:
Convidados presentes: 74
Total a pagar: R$ 1325,00
Matilde quis conferir com sua lista de convidados, portanto pediu uma conta mais
detalhada, e recebeu a informação de que havia 14 crianças com menos de 3 anos.
a) Considerando as informações da casa de festas, quantas pessoas, com 3 anos ou
mais, foram à festa de Daniel?
Resposta: 60 crianças
b) Como ficaria a Conta detalhada? Complete a tabela abaixo, por tentativas.
N0 de convidados Total a pagar
Convidados abaixo de 3 anos 14 R$ 0
Convidados de 3 a 9 anos 35 R$ 700
Convidados com mais de 9 anos 25 R$ 625
Total 74 R$ 1325
Este problema pode ser resolvido por um sistema de equações.
-20x -20y = -1200 x + y = 60 20x +25y = 1325 x + 25 = 60
5y = 125 x=35 x = 35 y = 25
Responda as questões do problema anterior:
a) De um total de 74 convidados, 14 tinham menos de 3 anos, no máximo.
Quantas pessoas com mais de 3 anos compareceram à festa?
Das 74 pessoas presentes na festa, 14 têm menos de 3 anos. Então 60
convidados pagaram.
Considerando que não houve convidados com menos de 9 anos, temos 53
pessoas com mais de 9 anos.
11
b) É possível resolver o problema da festa de Matilde tentando alguns valores
até chegar ao valor exato? Como você fez? (resposta pessoal)
c) No mês que vem é o aniversário de Mariana, irmã de João e Matilde quer fazer
uma estimativa do orçamento.
Como Mariana quer mais dois brinquedos na sua festa que custam R$
50,00(os dois) de aluguel, escreva a função que representa as faixas etárias:
Y = 20x + 50 crianças de 3 a 9 anos
Y = 25x + 50 crianças acima de 9 anos
d) Construa os gráficos que representam as duas funções, supondo que foi
5,10 e 15 crianças em cada caso. Utilize o software Geogebra (software
gratuito de matemática dinâmica) que está disponível em
http://www.geogebra.org/download/install.htm.
A) B)
X y X Y
5 150 5 175
10 250 10 300
15 350 15 425
Gráfico1: (A) y=20x+50 (B) y=25x+50
Durante a atividade os alunos usaram as etapas de resolução de problemas
descritos por Polya (2006, p. 4): Compreender o problema, elaborar um plano,
12
executar o plano, fazer o retrospecto e verificar a resolução. Para compreender o
problema foram utilizadas as seguintes questões: Quais os dados do problema?
Você já resolveu algum problema semelhante? É possível construir uma tabela?
Alguns alunos foram tentando com o número de convidados: Primeiro
colocaram 30 de 3 a 9 e 30 mais de 9. 30 x 20 = 600, 30 x 25 = 750, passou 25,00,
então eles foram tentando até chegar 25 e 30. Outros pegaram o preço pago como
referência, R$600,00 e R$700,00, e foram fazendo tentativas até chegarem a
R$700,00 e R$625,00, depois foi só dividir para ter o número de crianças. Outros
perguntaram se havia outra maneira de resolver e acabaram resolvendo por
tentativa e erro.
Os alunos construíram os gráficos das funções no laboratório de informática da
escola, usando o software Geogebra. Quando questionados sobre o uso do
computador um dos alunos falou:
"Acho muito bom, não saber usar o computador significa ser um analfabeto do
século XXI."
2) (Enem 2009 – Adaptado)
Na cidade de Adriano e Ana haverá shows em um teatro. Pensando em todos o
teatro propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para
si:
Pacote 1: taxa de 40 reais por show.
Pacote 2: taxa de 75 reais mais 10 reais por show.
a) Escreva as funções que expressam de forma geral as situações.
Pacote 1: y = 40x
Pacote 2: y = 75 + 10x
b) João escolheu o pacote 1, sabendo-se que haverá 5 shows no total, veja
quanto ele pagará se for a 1, 2, 3, 4 e 5 shows.
X Y
1 40
2 80
3 120
4 160
5 200
13
c) Ana escolheu o pacote 2, quanto ela pagará se for a 1,2,3,4 e 5 shows?
d) O que você observou do pacote 1 em relação ao pacote 2?
É mais vantagem o pacote 2 se eles forem a 3 ou mais shows.
e) Construa os gráficos que representam as duas funções, utilizando o software
Geogebra.
Gráfico 2: pacote 1 →y = 40x pacote 2 →y = 75 + 10x
Os alunos verificaram que existem regularidades na resolução e com a
construção da tabela puderam ver com mais clareza. Em um primeiro estágio, a
turma teve permissão para utilizar os recursos disponíveis, com seus planos
pessoais de resolver o problema. Eles puderam discutir as soluções obtidas e
observar as diferenças que encontraram.
Os dois gráficos foram construídos no mesmo plano cartesiano e os alunos
puderam observar o ponto de intersecção das retas, isto é, para dois shows e meio
eles pagariam o mesmo valor nos dois pacotes (R$100,00). O uso da tecnologia
melhorou a visualização da resposta.
X Y
1 85
2 95
3 105
4 115
5 125
14
Superadas as dificuldades iniciais, resolveram uma lista de problemas
envolvendo funções de primeiro e segundo graus. Alguns alunos testaram outros
exemplos de funções. E quando questionados falaram:
"Tudo hoje se faz usando um computador, se não usamos temos várias
dificuldades".
3) (UFPR 2008 adaptado)
O supermercado Compre Bem decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do
leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto
no preço do litro, será possível vender 30 litros de leite a mais que em um dia sem
promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende
2600 litros de leite ao preço de R$ 1,80 por litro.
a) Qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em
um dia sem promoção?
V = 2600 x 1,80
V = 4680,00 reais.
Qual será o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em
um dia, se cada litro for vendido por R$ 1,40?
V = 1,40. (2600 + 20 x 30)
V = 1,40 x 3200
V = 4480,00 reais.
Observar que quando é dado um desconto de R$ 0,20, será possível vender 20 x
30 = 600 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Neste caso, será
possível vender 2600 + 600 = 3200 litros a R$1,40, e o valor arrecadado será de
3200 x1,40 = R$ 4480,00.
b) Qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior
valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado?
O valor arrecadado V(x) é função do desconto x dado por:
f(x) = (1,80-x).(2600+x.100.30)
f(x) = 4680+5400x-2600x-3000x2
f(x) = -3000x2+2800x+4680
15
Como V é uma função quadrática com coeficiente negativo no termo de
ordem 2, então o valor máximo de V(x) é atingido no vértice da parábola
correspondente.
xv = -b / 2.a xv = -2800 / -6000 = 0,46
c) Utilizando o software Geogebra represente essa situação graficamente:
Gráfico 3: y= -3000 x2
+2800x+4680
d) O que significa o ponto A no gráfico acima?
O ponto A é o vértice, ou seja, o ápice da arrecadação. A partir de 0,46 reais
de desconto, o lucro passa a diminuir.
Quando o desconto for de 0,46 reais, o estabelecimento vai arrecadar
R$5333,17.
A maior dificuldade encontrada pelos alunos nesta atividade foi determinar a
equação f(x)=(1,80-x).(2600+x.100.30). Foi necessário que os alunos, incluindo os
P(ideal) = 1,80 - 0,46
P(ideal) = 1,34 reais.
L = 1,34 x (2600 + 46.30)
L = 5333,20 reais.
16
que não obtiveram nenhuma resposta ou chegaram a uma conclusão errada,
refizessem o percurso de resolução, refletindo em como iniciaram o problema. É
importante ficar claro que, durante o processo, não é errado tentar um método de
resolução e ele não funcionar. Nesse caso, é preciso pensar por que deu errado e
achar um novo meio de resolvê-lo.
4) (UFJF – MG, adaptado) Um veneno foi ministrado a uma população de ratos para
testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em
semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por f(t) = - 5t2 + 10 t + 50.
a) Determine o intervalo de tempo em que a população de ratos ainda cresce.
xv = -b / 2. a xv = -10 / -10= 1 S = [0,1[
b) Na ação do veneno, existe algum momento em que a população de ratos é
igual à população inicial? Quando?
-5(0)2+10.0+50 = -5t2+10t+50 50 = -5t2+10t+50
-5t2+10t = 0 5t (-t+2) = 0 t = 0 -t + 2 = 0
t = 2 (duas semanas)
c) Entre quais semanas os roedores seriam exterminados? Construa o gráfico:
A população é igual a zero.
f(t) = 0 -5t2+10 t+50 = 0 Δ = 100+1000 = 1100
t = -10 + (-33,16 / -10) t’ = -10+(33,16 / -10) t’ = -2,31
t” = -10 – (33,16 / -10) t” = 4,31 entre 4 e 5 semanas.
d) Construa o gráfico que representa a função acima usando o software
Geogebra:
Gráfico 4: y = -5t
2+10t+50
17
e) Analise o gráfico anterior:
A população inicial é de 50 ratos. Após duas semanas, a população será
novamente de 50 ratos.
Entre 4 e 5 semanas os roedores serão eliminados.
O gráfico é analisado somente no primeiro quadrante, pois não se considera
tempo ou população negativos.
O problema apresentou maior dificuldade de compreensão e resolução, no
momento de relacionar as variáveis da questão proposta. Houve a necessidade da
intervenção do professor para o entendimento inicial, o qual foi fundamental. O
problema acima requereu dos alunos uma análise das informações apresentadas
tanto através de textos quanto gráficos.
Nesse primeiro momento, foi necessário traçar um plano, para que o enunciado
do problema fosse compreendido pelos alunos. Alguns reescreveram o enunciado
com suas próprias palavras. Porém foi preciso rever alguns conceitos matemáticos
anteriores e problemas, já realizados.
O gráfico, também, foi construído utilizando-se o software Geogebra, nas
primeiras atividades os alunos exploraram os recursos básicos do programa e
devido à rapidez com que os gráficos foram feitos tiveram mais tempo para
interpretar, criar estratégias e experimentações para sua resolução.
4.2 Resultados obtidos com avaliação diagnostica
Os seguintes testes foram realizados com 33 alunos, o trabalho envolveu duas
turmas, com idade entre 22 e 53 anos.
Primeira questão:
Letra A: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações
de adição e multiplicação. 60% acertaram a questão no pré-teste e 75%
acertaram no pós-teste.
Letra B: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações
de subtração. No pré-teste 58% dos alunos acertaram e no pós-teste 75%.
Letra C: Verificar se os alunos interpretam problemas e raciocinam
matematicamente. No pré-teste 32% acertaram e no pós-teste 60%
acertaram.
18
Segunda questão:
Letra A: Avaliar a compreensão do conceito de função através de problemas
físicos. No pré-teste 78% dos alunos responderam corretamente. No pós-
teste, 90% acertaram.
Letra B: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações de
adição. No pré-teste 46% acertaram e no pós-teste 80% acertaram.
Letra C: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações de
adição. No pré-teste 36% acertaram e no pós-teste 75% acertaram.
Letra D: Checar se os alunos traduzem para a linguagem matemática
problemas que envolvem funções de primeiro grau. No pré-teste 43%
acertaram e no pós-teste 83% acertaram.
0
20
40
60
80
100
Letra A Letra B Letra C Letra D
% de acert os
Resultados da questão 2
Pré-teste Pós-teste
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Letra A Letra B Letra C
% de acert os
Resultados da questão 1
Pré-teste Pós-teste
19
Terceira questão:
Verificar se os alunos resolvem operações básicas com números inteiros. No
pré-teste, 71% acertaram a letra A e 95% a B. No pós-teste, 53% acertaram a letra A
e 87% a B.
Quarta questão:
Constatar se a turma sabe encontrar o valor desconhecido numa equação do
primeiro grau. No pré-teste, 57% acertaram a letra A e 53% a letra B. No pós-teste,
88% acertaram a letra A e 85% a B.
0
20
40
60
80
100
Letra A Letra B
% de acert os
Resultados da questão 4
Pré-teste Pós-teste
0
20
40
60
80
100
Letra A Letra B
% de acert os
Resultados da questão 3
Pro-teste Pós-teste
20
Quinta questão:
Verificar se os alunos sabem localizar pontos em um referencial cartesiano. No
pré-teste, 21% dos alunos realizaram a tarefa corretamente e no pós-teste 78%.
4.3 Professores que participaram do GTR
O Grupo de Trabalho em Rede - GTR, é uma das ações do programa de
Desenvolvimento Educacional - PDE, e tem proporcionado a socialização, a
discussão e a interação dos Professores PDE com a rede.
Neste tópico são transcritos alguns depoimentos dos professores de diversas
regiões do Paraná,.
"Pude trocar experiências com colegas com realidades diferentes, ter novas
idéias a partir disso."
"Os objetivos foram claramente alcançados, com o decorrer do curso fizemos
uma análise da resolução de problemas de matemática com o uso das novas
tecnologias, as discussões contribuíram para nosso trabalho docente, uma vez que
refletimos sobre nossas práticas e descobrimos novas formas de abordagem de
conteúdo. É perfeitamente possível a aplicação desse projeto em minha escola uma
vez que a mesma possui laboratório de informática e professores capacitados."
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Letra A
% de acert os
Resultados da questão 5
Pré-teste Pós-teste
21
"Sem dúvida alguma os objetivos almejados foram alcançados, é muito bom
para nós professores participar de um curso assim, o nosso trabalho é árduo, e
precisamos de força para encará-lo e quando ouvimos outros professores, novas
idéias surgem em nossa mente e de fato um começar de novo vem a tona em
nossas aulas.
"Não tem como dizer que o projeto não vai contribuir para minha escola, o que
nossos alunos precisam é justamente de aulas assim, sempre inovadoras, sempre
levadas para a realidade deles, e a realidade hoje sem dúvida é a informática."
V. Considerações finais
Diariamente os alunos questionam os professores onde usarão determinados
conteúdos e assuntos, especialmente, quando estes, passam a ser trabalhados de
forma abstrata. Nesse sentido, professores se preocupam com o ensino da
matemática, o qual deve contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico do
aluno, para que este possa resolver situações problemas que perpassam seu dia-a-
-dia, aprendendo essa matéria de uma forma dinâmica e contextualizada. Nossa
proposta é fazer uma integração dos assuntos abordados em sala de aula com a
sua aplicação na vida social.
O uso do computador no ensino da matemática se configura na atualidade
como uma necessidade de trazer para esta, a realidade do contexto social, no qual o
aluno está inserido. Um dos fatores de mudanças educacionais tem sido a
disponibilidade de recursos tecnológicos nas escolas, por essa razão o ensino de
funções pode ser trabalhado através de resoluções de problemas, facilitando o
aprendizado das mesmas para o aluno. O uso do computador permite relacionar as
descobertas empíricas com as representações matemáticas algébricas.
Enfim, estas problemáticas constatadas e levantadas no estabelecimento
escolar suscitaram a seguinte questão: O computador pode ser utilizado como
instrumento para lutar contra o fracasso escolar, motivando os alunos e facilitando a
resolução de problemas no aprendizado de funções.
22
Portanto, reafirma-se a necessidade das situações problemas fazerem parte da
rotina das aulas de Matemática, bem como há a necessidade de que os professores
conheçam o método de resolução de situações problemas e os recursos que podem
utilizar juntamente com seus alunos para construir e resolver diferentes conteúdos
matemáticos. Lembrando que hoje, a informática é uma grande aliada nestas
situações.
Confirmou-se nesta investigação a dificuldade que encontramos para trabalhar
em sala de aula devido ao tempo reduzido para que alunos façam análises em cima
de um problema proposto, existe uma grande empatia da população idosa em
trabalhar com o computador sendo que o principal objetivo deste trabalho foi à
utilização de recursos tecnológicos para facilitar a compreensão na resolução de
problemas.
VI. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de problemas de matemática. 1ª a
5ª séries. Para estudantes do curso Magistério e professores do 1º grau. 12ª ed. São
Paulo: Ática, 2003.
FREIRE, Paulo. Educação e Mudança, Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1983.
MACEDO, L. de Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento
de competências e aprendizagem escolar. In: PERRENOUD, P. et al. As
competências para ensinar no século XXI: a formação dos professores e o
desafio da avaliação. Porto Alegre: Artmed Editora, 2002.
NUNÊZ, Isauro Beltrán. RAMALHO, Betânia Leite (Orgs.). O uso de situações-
problema no ensino de ciências. In: Fundamentos do ensino-aprendizagem das
Ciências Naturais e da Matemática: O novo Ensino Médio. Porto Alegre: Sulina,
2004.
SMOLE ,Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez, Ler, escrever e resolver problemas.
Habilidades para aprender matemática. Porto alegre: Artmed, 2001.
23
PARANÁ, Secretaria de estado Educação. Diretrizes Curriculares da Educação
de jovens e adultos no Estado do Paraná - DCE 2006
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Primeira reimpressão. Tradução e
adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de janeiro: Interciências, 1986.
24
ANEXO I
Escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA)
Pré-Teste e Pós-Teste:
1) Em uma relojoaria, cada vendedor recebe R$ 60,00 por semana e mais comissão
de R$ 15,00 por relógio que vender. Em uma semana Bruno vendeu 6 relógios e
Ana vendeu 3. Calcule e responda:
a) Quanto Bruno recebeu nesta semana? E Ana?
b) Quanto Bruno recebeu a mais que Ana?
c) Se Bruno vendeu o dobro que Ana, por que ele não recebeu o dobro?
Explique com suas palavras o que aconteceu.
2) Uma panela com certa quantidade de água a 10 graus é posta sobre um tripé. Em
seguida é aquecida a água. De dois em dois minutos, alguém, mede a temperatura
da água e anota o resultado em uma tabela:
Tempo (minutos) Temperatura (graus)
0 10
2 14
4 18
6 22
8 26
a) É correto afirmar que a temperatura da água varia em função do tempo? Por quê?
b) Continuando da mesma maneira, qual será a temperatura da água aos 12 minutos de aquecimento?
c) Quanto à temperatura da água está aumentando por minuto? d) Marque a equação da função que relaciona a temperatura T ao tempo de
aquecimento. I) y=10+2x III) y=2+10x II) y= 1+10x IV) y= 10+1x
3) Calcule o valor de cada uma das expressões abaixo:
a) 2 x ( -3) = b) (-18) ÷ (-3) =
4) Encontre o valor desconhecido nas equações:
a) x + 5 = 12 b) x – 3 = 8
5) Desenhe o Referencial Cartesiano x e y e localize os pontos A(-1;2), B(4;0),
C(0;3), D(2;3) no referencial cartesiano.
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