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De Boltzman às Fronteiras da Mecânica Estatística
Antônio Murilo S. Macêdo
Departamento de Física
Universidade Federal de Pernambuco
Recife, Brazil
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Evolução Conceitual
Conteúdo
1. Introdução Histórica
2. Entropia e Informação
3. Reducionismo X Emergentismo
4. Sistemas Mesoscópicos
5. Sistemas de Não-Equilíbrio
6. Conclusões
Maxwell foi um dos fundadores dateoria cinética dos gases e introduziu em 1860 pela primeira vez o conceito de probabilidade na física com a dedução da função distribuição de velocidades de um gás ideal em equilíbrio térmico.
James C. Maxwell
Hipóteses básicas: Isotropia e independência estatística
Ludwig Boltzmann apresentou em 1872 uma equação integro-diferencial para a função distribuição de velocidades de um gás real fora do equilíbrio térmico.
Hipóteses básicas:1) Gás rarefeito (colisões binárias)2) Colisões são dominadas por forças internas3) As velocidades de duas partículas não são
correlacionadas (caos molecular)4) A função distribuição não varia apreciavel-
mente entre colisões.
Boltzmann definiu a grandeza
Teorema H
Em 1877 Boltzmann estudou um modelo de energias discretas e obteve a conexão entre H(t) e a entropia termodinâmica.
e mostrou que
Josiah Wilhelm Gibbs
Maximizando s mantendo u fixoBoltzmann estabelece as bases damecânica estatística de equilíbrio.
Em 1902 Gibbs sistematiza o método de Boltzmann através da noção de ensembles
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Evolução Conceitual
Teoria da Informação
Em 1948 Claude Shannon publicou o livro “Mathematical Theory of Communication”estabelecendo os fundamentos da teoriaa informação e definindo a grandeza
como uma medida da informação faltante.
My greatest concern was what to call it. I thought of calling it ‘information’,
but the word was overly used, so I decided to call it ‘uncertainty’. When I
discussed it with John von Neumann, he had a better idea. Von Neumann
told me, ‘You should call it entropy, for two reasons. In the first place your
uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name,
so it already has a name. In the second place, and more important, nobody
knows what entropy really is, so in a debate you will always have the
advantage.
A Escolha do Nome
A Informação Faltante
A informação faltante correspondeao número de perguntas bináriasda melhor estratégia.
Exemplo Simples
Entropia de Shannon
Para mais detalhes veja por exemplo
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Evolução Conceitual
Reducionismo na Física
Ernst Mach Ludwig Boltzmann
X
Energicistas Atomicistas
Versão Moderna da Disputa
Reducionismo
O sistema tem unidades básicas que seguem leis fundamentais
Leis básicas eficazes
Algoritmos ineficientes
Emergentismo
O sistema é um macrofluidoque segue leis emergentes
Leis emergentes eficazes
Algoritmos eficientes
Visão Esquemática
Dedução X Inferência
Eficácia X Eficiência
Reducionismo X Emergentismo
Analogia com Ciência da Computação
Leis Fundamentais
Regras de autômatos
Deduções Físicas
Algoritmos
Fenômenos Observáveis
Conjuntos Decidíveis
O Sonho Reducionista
A Teoria de Tudo: A Máquina Universal de Turing
Característica: Universalmente eficaz, mas ineficiente.
Limitação Fundamental: O problema da decibilidade.
O Problema de Decibilidade
Definição: Um conjunto é decidível se for possível escrever umprograma numa máquina para determinar se umdado elemento pertence ao conjunto e o programasempre termina com uma resposta SIM ou NÃO apósum conjunto finito de passos.
Conjuntos Decidíveis (Classe enumerável)
• Conjunto dos números primos.• Conjunto dos naturais que satisfazem x2+y2=z2.
Conjuntos Indecidíveis (Classe não-enumerável)
• Conjunto dos programas que terminam após um número finito de passos.• Conjunto das fórmulas válidas envolvendo números inteiros (Gödel).
Seria este fenômeno dedutível da Teoria de Tudo?
Classes Computacionais
Classe P: Problemas solúveis numa máquina determinística
em tempo polinomial.
Classe NP: Problemas solúveis numa máquina não-determi-
nística em tempo polinomial.
Classe NP-completo: Problemas NP fáceis de verificar.
Otimização: Aumentar eficiência na classe P através de codificação.
Complexidade: Eficiência
Computabilidade: Eficácia
Classe computável: Problemas solúveis por algoritmos (conjuntos decidíveis)
Classe não computável: Problemas insolúveis por algoritmos.
Eficácia Universal: A Máquina de Turing.
Reducionismo
Leis Fundamentais
Regras de autômatos
Deduções
Algoritmos
Fenômenos Físicos
Conjuntos Decidíveis
Fenômenos Observáveis
Problemas P
Inferências
Algoritmos
Leis Emergentes
Códigos
Emergentismo
Consenso em Decisões de Grupo
Reducionismo
Emergentismo
Modelo de Kuramoto: Equação de Fokker-Planck não-linear.
Movimento do Giroscópio
Reducionismo
• Equações de movimento para cada átomo pela teoria quântica.
• Rigidez é um fenômeno cooperativo.• Descrição eficaz, mas ineficiente.
Emergentismo
• Rigidez é uma ordem emergente.• Equações de movimento newtonianas
para os graus de liberdade relevantes.• Descrição eficaz e eficiente.
Física da Matéria Condensada
Procedimento de Landau-Anderson
Continuidade Adiabática
Teoria Efetiva deCampos Livres
Teoria Microscópica
Fronteira de Fase
Líquidos Quânticos
• Superfluido (campo sem massa de Goldstone)
• Supercondutor (campo de calibre massivo; Higgs)
• Líquido de Fermi em metais (massa renormalizada)
• Líquido de Luttinger (separação carga-spin, d=1)
• Líquido Hall fracionário (carga fracionária, d=2)
N HFN S N L
Classificação de Wen
Sumário
• Abordagem de cima para baixo.
• Argumento inferencial.
• Campos efetivos livres.
• Ordem é fenômeno emergente.
• Realismo não-representativo:
campos efetivos representam
excitações numa fase ordenada.
• Abordagem de baixo para cima.
• Argumento dedutivo.
• Campos fundamentais acoplados.
• Ordem é fenômeno cooperativo.
• Realismo representativo: campos
são partículas reais colocadas no
vácuo.
EmergentismoReducionismo
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Evolução Conceitual
Como descrever transporte de carga e spin num gás de elétrons bidimensional confinado?
Mecânica Estatística de Sistemas Quânticos Finitos
Transistor de Spin
2DEGFM1
Gate
Proposto por Datta e
Das (APL 56, 1990)
Princípio básico:
Polarizador e analizador
ferromagnético
Precessão de spin
controlado por porta
(efeito Rashba)
FM2
S.Datta
(Th. Schäpers)
Teoria de Landauer-Büttiker
• Combina espalhamento quântico com termodinâmica irreversível.
• Leis de conservação quanto-mecânicas (unitariedade).
• Reservatórios (produção de entropia e forças termodinâmicas).
• Conectores (espalhadores com coerência de fase).
• Canais de transporte com ocupação variável.
• Estatística de eventos de transmissão (observáveis) .
Rede de Nós e Conectores
Separação de desvios de fase controláveis e incontroláveis.Similar à separação de forças determinísticas e estocásticas
na equação de Langevin e à separação da energia em trabalho e calor na termodinâmica
Modelo Físico para os Nós
Cavidadebalística caótica
Pedaço de umcondutor sujo
Ponto Quântico Aberto
Estatística de Transferência de Carga
Contagem do número de elétrons transferidos através do sistema para um número fixo de tentativas de transmissão Nat =5 (a); 10(b); 20(c) e transparência T=0,7.
Cumulantes de uma Distribuição
Os cumulantes oferecem uma descrição quantitativa de algumas características de uma distribuição.
Cumulantes de Transferência de Carga
Condutância
Potência do ruído de disparo
Caos
Caos
Caos
Método de Gibbs: Considere a entropia de Shannon
)2/(sech 1 ; )2/tanh( 22
pn
pp
nnpnpnnmpq
pq
nm STS
)(ln)()()( SPSPSdPH
Estatística suficiente é obtida através das médias
)/21( 21
)1det()(
NN
SSCSP
A estimativa de máxima entropia é o núcleo de Poisson
N1 e N2 são os números de canais abertos.
Distribuição de Cumulantes de Transferência de Carga de um Ponto Quântico
F.A.G.Almeida, S. Rodríguez-Pérez, e AMSM PRB 80, 125320 (2009)
Simulações de Monte-Carlo
da distribuição de condutância
de um fio quase-1D mostrando
uma lei de escala e pontos de
não-analiticidade. L.S.F-Peréz
et al., Microelectronics Journal
36, 893 (2005).
Transição Ponto-Fio
Abordagem Emergentista
Fase de alta energia
e pequenas distâncias
Fase de baixas energias
e grandes distâncias
TCS
TCS
Interpretação Física
Visão reducionista
Visão emergentista
O campo Q é a unidade de informação do líquido quântico.
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Evolução Conceitual
Sistemas de Não-Equilíbrio
Fora do equilíbrio a funçãodistribuição de velocidadesdepende da posição e do tempoe é afetada pelas colisões entreas partículas. Na equação deBoltzmann o sistema é rarefeitode modo que colisões são bináriase as velocidades de duas partículasarbitrárias não são correlacionadas (caos molecular)
O Método Projetivo
Uma importanrte ferramenta para descrever sistemas forado equilíbrio é o método projetivo, que consiste em projetara dinâmica num subespaço gerado por operadores relevantes.
Robert
Zwanzig
Ensembles de Não-Equilíbrio
Outra abordagem bastante geral consiste na extensão dométodo de Gibbs para situações fora do equilíbrio. Aplicaçõesincluem física de semicondutores, condensados de Bose-Einsteine sistemas biológicos.
Roberto Luzzi
IFGW-Unicamp
Entropia como Desordem
Atomicismo X Energicismo
Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico
Caos Molecular eSeta do tempo
Entropia como Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda
Métodos Projetivos eFunção Memória
Conclusão
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