Demostración matemática discreta

Sean 1 1 1 1[ , , ]L A y

2 2 2 2[ , , ]L A reticulados y 1 2:h A A un isomorfismo entre reticulados.

Demostrar que:

(a) si 1w A es un elemento

1 – irreducible, entonces ( )h w es 2 – irreducible.

(b) si 1,..., kp p son elementos de

1A y 1 1 1... kp p es una expresión

1 –irredundante, entonces

1 1 1( ... )kh p p es una expresión 2 – irredundante.

Solución:

Por hipótesis se tiene que 1 2:h A A es un isomorfismo entre los reticulados 1L y

2L , es decir, h es una

aplicación biyectiva que preserva las operaciones. En otras palabras, h cumple con lo siguiente:

1 2( ') ( ) ( ')h x x h x h x y 1 2( ') ( ) ( ')h x x h x h x , 1, 'x x A

Parte (a):

Sea 1w A un elemento 1 – irreducible. Esto es, el elemento w de 1L no se puede descomponer usando el

supremo. Por lo tanto, en 1L no existen elementos

1 2,w w , con 1 2w w w , tales que

1 1 2w w w .

Luego, como h preserva las operaciones, entonces no existen elementos 1 2( ), ( )h w h w tales que

1 2( ) ( ) ( )h w h w h w y 1 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )h w w h w h w h w .

( )h w es 2 – irreducible.

Parte (b):

Sean 1 2, ,..., kp p p elementos de 1A . Como 1 1 2 1 1... kp p p es una expresión 1 – irredundante, entonces

cada ip ( 1,2,..., )i k es 1 –irreducible y no existe ninguna sub-expresión 1 1 2 1 1... rq q q de

1 1 2 1 1... kp p p tal que la igualdad 1 1 2 1 1... rq q q = 1 1 2 1 1... kp p p sea verdadera. De la parte (a) se

tiene que si 1p A es 1 – irreducible, entonces ( )h p es 2 – irreducible. Luego, dado que h es biyectiva y

preserva las operaciones, se cumple que:

1 1 2 1 1 1 2 2 2 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )k kh p p p h p h p h p , 1 2 1, ,..., kp p p A

donde cada ( )ih p ( 1,2,..., )i k es 2 – irreducible. Así, 1 2 2 2 2( ) ( ) ... ( )kh p h p h p es una expresión

2 –irredundante.

1 1 2 1 1( ... )kh p p p es 2 –irredundante.