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Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan, Samuel Hetterich, Felicia Raßmann
Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Mathematik
21.Juni 2013
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte?
Spielregeln
Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben.
Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte?
Spielregeln
Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben.
Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Bei all diesen Karten genügen vier Farben:
Funktioniert das immer?
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Die Vier-Farben-Vermutung
Vermutung [Guthrie 1852]
Vier Farben genügen!
Das können wir glauben.
Aber können wir es auch beweisen?
Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nichtgefunden?
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Die Vier-Farben-Vermutung
Vermutung [Guthrie 1852]
Vier Farben genügen!
Das können wir glauben.
Aber können wir es auch beweisen?
Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nichtgefunden?
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Warum Beweise?
Vermutung [Euler 1769]
Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c , d > 0, so dass a4 + b4 + c4 = d4.
Gegenbeispiel [Elkies 1986]
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Warum Beweise?
Vermutung [Euler 1769]
Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c , d > 0, so dass a4 + b4 + c4 = d4.
Gegenbeispiel [Elkies 1986]
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Formalisierung des Problems
Die Landkarte wird in einen planaren Graphen verwandelt.
−→ −→
−→
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Sechs-Farben-Satz
Sechs Farben genügen.
Die Eulersche Polyederformel
Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit
v = Anzahl der Knoten
e = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen
gilt immer:
v − e + f = 2
KnotenFlächeKante
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Sechs-Farben-Satz
Sechs Farben genügen.
Die Eulersche Polyederformel
Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit
v = Anzahl der Knoten
e = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen
gilt immer:
v − e + f = 2
KnotenFlächeKante
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Die Eulersche Polyederformel
Die Eulersche Polyederformel
v − e + f = 2
Beispiele:
v = 3 e = 3 f = 2
f1
f2
3− 3 + 2 = 2
v = 4 e = 5 f = 3
f1
f2f3
4− 5 + 3 = 2
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Beweisidee: Induktion.
Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kanteberührt.
v = 4 e = 4 f = 2
4− 4 + 2 = 2
Operation 1−→
v = 3 e = 3 f = 2
3− 3 + 2 = 2
Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v − e + f bleibt gleich.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Beweisidee: Induktion.
Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kanteberührt.
v = 4 e = 4 f = 2
4− 4 + 2 = 2
Operation 1−→
v = 3 e = 3 f = 2
3− 3 + 2 = 2
Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v − e + f bleibt gleich.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Operation 2 Lösche eine Kante, die auf einem Kreis liegt.
v = 3 e = 3 f = 2
3− 3 + 2 = 2
Operation 2−→
v = 3 e = 2 f = 1
3− 2 + 1 = 2
Eine Kante und eine Fläche verschwinden; v − e + f bleibt gleich.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e ⇒ v ≤ 13
e
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e ⇒ f ≤ 23
e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e ⇒ v ≤ 13
e
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e ⇒ f ≤ 23
e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e ⇒ v ≤ 13
e
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e ⇒ f ≤ 23
e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e ⇒ v ≤ 13
e
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e ⇒ f ≤ 23
e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
2 = v − e + f ≤ 13
e − e + 23
e = 0
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e ⇒ v ≤ 13
e
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e ⇒ f ≤ 23
e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
2 = v − e + f ≤ 13
e − e + 23
e = 0
Widerspruch!
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Genügen vier Farben wirklich?
1852 - Guthrie: die Grafschaften von England Vermutung.
1878 - Cayley: Problem wird der London Math Society vorgestellt.
1879/80 - Kempe/Tait legen vermeintliche Beweise vor.
1890/91 - die zwei fehlerhaften “Beweise” widerlegt.
1890 - Heawood: Beweis des Fünf-Farben-Satzes.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Genügen vier Farben wirklich?
1960/70er - Heesch: Idee eines Computerbeweises.
1976 - Appel, Haken: Erster Computerbeweis.
1996 - Robertson, Sanders, Seymour, Thomas:Stark vereinfachter Computerbeweis. Weitgehend anerkannt.
2005 - Gonthier, Werner:Formaler Beweis des Satzes mit einem “Beweisassistenten”.
Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte
Genügen vier Farben wirklich?
Bis heute kein analytischer Beweis.
Lektüre: R. Wilson: Four colors suffice (2002).
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LandkartenfärbungWarum Beweise?Sechs-Farben-SatzGeschichte
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