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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia
07 a 09 de outubro de 2010 ISSN 2178-6135
Artigo número: 40
Desenvolvendo um material didático, com auxílio do software Maple 13, para os conteúdos
de Campos Vetoriais, Curvas Espaciais e Integrais de Linha
Tiago Aparecido Perez Vieira
Amanda Yoshie Takikawa
Wellington José Corrêa
Adilandri Mércio Lobeiro
Priscila Amara P. de Melo
Resumo
Ao se estudar Cálculo Vetorial, em específico, campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha, deve-se ter uma boa noção gráfica. Visto isso, este trabalho utiliza do software Maple 13 para criar um material de apoio, dos temas mencionados, para docentes e discentes. Então, tomaram-se por base as definições destes conteúdos e principalmente o potencial que este software oferece. Também foram explorados exemplos práticos e uma apreciação interessante na interpretação do gráfico nas integrais de linha. Por meio disso, pode-se notar que o modo em que a abordagem foi feita, pelo uso principal do tutorial e alguns comandos de fácil aprendizagem, facilitou o entendimento e aumentou a didática exigida para tal matéria. Teve-se então, que o uso do software se mostrou válido e de grande estímulo para o avanço nos estudos nessa área.
Palavras-chave: campos vetoriais, curvas espaciais, integrais de linha,
Maple 13, software.
Abstract
Developing educational material, using the software Maple 13 for the
contents of Vector Fields, Space Curves and Line Integrals
When Vector Calculus is studied, specifically vector fields, space curves and line integrals, a good graphic notion is necessary. Therefore, this paper uses software Maple 13 to create a helping material about those themes for docents
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and “students”. So, the definitions from these subjects were taken as a base, mainly the potential offered by this software. Practical examples and an interesting appreciation in the reasoning of the line integrals graphic were also explored. For this reason, we can notice that the model the approach was done, through the tutorial’s main purpose and also through the easily learned commands, made the understanding more effortless and enhanced the teaching method used for this subject. Then, it’s possible to convey that the use of Maple 13 is worth and very helpful for the progress of the studies in this area.
Keywords: vector fields, space curve, line integrals, Maple 13, software.
Introdução
O início dos estudos do cálculo vetorial data dos meados do século XIX e tornou-se uma
parte essencial da matemática exigida a engenheiros, físicos, matemáticos e a outros ramos da
ciência. Tal requisito não foi de certo modo acidental, pois além de proporcionar uma notação
concisa para a apresentação das equações que surgem das formulações matemáticas dos
problemas da física e geometria, é também um subsidio natural na materialização de idéias dos
mais diversos fenômenos.
No estudo dos campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha tem-se uma gama de
aplicabilidades de grande interesse. De acordo com Thomas (2003) estes conteúdos são utilizados
por matemáticos e engenheiros para, por exemplo, descrever o escoamento de fluidos, projetar
cabos de transmissão subaquáticos e também calcular o trabalho necessário para colocar um
satélite em órbita. Anton et al. (2007) ressalta que a descrição matemática de fluxo é o próprio
conceito de campos vetoriais e que as integrais de linha são utilizadas para analisar as
propriedades desses campos e fluxos.
Quando se trabalha com a disciplina de Cálculo Vetorial, a noção gráfica é muito
importante ao tratar dos vários temas relacionados, tais como conceito de fluxo e o trabalho
realizado pelo campo vetorial, sendo muitas vezes quase impossível esboçar a mão grande parte
dos campos vetoriais. Deste modo, é preciso se adaptar ao uso de diversos níveis de tecnologia e
também ao emprego de computadores, de calculadoras gráficas ou de um SAC (Sistema de
Álgebra Computacional) (Kreyszig, 2009).
Sob este aspecto, o SAC escolhido para abordar o conceito de campos vetoriais é o Maple
13. De Acordo com Mariani (2005), o Maple é desenvolvido pela Universidade de Waterloo,
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Canadá, e pelo Instituto ETH, de Zurique, Suíça, consistindo em um sistema de computação
algébrica, numérica e gráfica. É notório que o aplicativo abrange uma ampla gama de assuntos
relacionados ao aprendizado e ao uso de recursos matemáticos, no qual funciona como um
excelente instrumento de trabalho.
Procurou-se explorar todo o poderio do software na sua versão de número 13, já que a
maioria das bibliograficas utilizadas é referente a versões mais antigas do Maple (por exemplo,
Mariani, 2005) que não apresentam tantas funcionalidades até então, que se oferece nesta
versão. Assim o software se apresenta um excelente aliado ao docente e ao aluno como
ferramenta para estudar tais conceitos do cálculo vetorial, principalmente na visualização e
compreenssão dos campos vetoriais.
Dessa forma, a composição deste artigo está constituída de três seções brevemente
expostas a seguir.
Na seção “Campos Vetoriais” apresenta-se a definição e exemplos de campos vetoriais,
proporcionando várias aplicações dos mesmos em diversos fenômenos naturais, usando o Maple
para sua visualização gráfica sob a forma tradicional de comandos e uma alternativa bem mais
atraente de manuseio que é por meio de um tutorial oferecido pelo software.
Em seguida, na seção “Curvas Espaciais”, de forma análoga à primeira, as curvas espaciais
são esboçadas recorrendo ao Maple.
Na seção “Integrais de Linha”, tais integrais são estudadas para encontrar o trabalho
realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de uma curva. Com isto usa-se o
Maple não só para calcular o valor de uma integral de linha, mas encontrar o sinal do trabalho
realizado visualizando o gráfico, o qual contém a curva, o vetor tangente da curva e o campo
vetorial. Também é abordado nesta seção um pouco sobre Integrais de Escoamento e Circulação.
Ademais, na última seção, estão as conclusões conseguidas pela análise das seções
precedentes.
O objetivo deste artigo é oferecer um material didático, o qual envolve campos vetoriais,
curvas espaciais e integrais de linha, com algumas situações encontradas no cotidiano, que
possibilite ser um instrumento de apoio no estudo do cálculo vetorial tanto para professores
quanto para estudantes, explorando a potencialidade do software Maple 13.
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Campos Vetoriais
Inicialmente, é importante relembrar a definição de campo vetorial, a qual se mostra da
seguinte forma:
Seja . Um campo vetorial em é uma função que associa a cada ponto
em 2 um vetor bidimensional . De forma análoga, define-se um campo vetorial
tridimensional (Stewart, 2006). Se anexarmos o vetor velocidade a cada ponto de sua trajetória
no plano de movimentos, teremos um campo bidimensional ao longo da trajetória.
A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar setas representando vetores
, começando no ponto . Em geral, salvo o caso de campos vetoriais simples, é
impossível desenhar à mão a maioria dos campos vetoriais bidimensionais e tridimensionais e,
portanto, necessita-se do auxílio de um sistema de computação algébrica, neste caso, o Maple 13.
Para tanto, vamos traçar um campo vetorial de duas maneiras: a primeira, usando os
tradicionais comandos e a segunda, por meio de um tutor que facilita o esboço do mesmo.
Considere , em seguida temos o desejado para o seguinte
comando:
Figura 1 – Representação do Campo Vetorial.
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O gráfico do campo vetorial aparece na sua forma padrão. No entanto, caso deseja-se uma
visualização peculiar, podemos alterar algumas opções como, por exemplo, o estilo das flechas
usadas para representar um vetor e a cor destas. As opções possíveis para as flechas são LINE,
THIN, SLIM, e THICK com THIN sendo o padrão. Há possibilidades de mudar as cores do gráfico
colocando o nome da cor desejada na opção color no comando, contudo é necessário que o nome
das cores seja escritos em inglês. A seguir está o exemplo de um comando com as possibilidades
abordadas:
Esses procedimentos, e outros, podem ser feitos também clicando com o botão direito em
cima do gráfico e ir à opção desejada.
Para obter o mesmo gráfico, mas agora sem comandos, recorre-se ao Tutorial seguindo as
instruções: Ferramentas – Tutoriais – Cálculo Vetorial – Campos Vetoriais. Na opção ‘Campos
Vetoriais’ abrirá uma janela.
Figura 2 – Procedimento para plotar um campo vetorial.
Coloca-se as coordenadas do campo vetorial na primeira opção (Vector Field), o ponto de
inicio na segunda (Initial Point), o sistema de coordenadas na terceira opção (Coordinate System)
e o frame na ultima (Frame).
Para plotar e animar o gráfico, é necessário, primeiramente, clicar na opção display. A
próxima ação mostrará o esboço do gráfico do campo vetorial. Se for de interesse obter a
animação do mesmo, é necessário clicar na opção animate para disponibilizar a animação.
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Figura 3 – Representação de um Campo Vetorial.
Na animação estará disponível a linha em azul como classificada por Stewart (2006) de
‘linha de fluxo’, como o próprio nome diz, indica a direção do fluxo do campo vetorial, a reta
tangente em vermelho escuro e a reta normal vermelho claro no sistema . Já no sistema
poderá ser visualizado também a reta bi-normal em verde.
A opção ‘close’ irá fechar o tutorial, aparecendo o campo desejado na folha de trabalho do
Maple. Após a sua plotagem, basta clicar em cima do gráfico e depois no play, que está na barra
de tarefas do Maple. Para mais opções com o gráfico, é necessário clicar com o botão direito do
mouse em cima do gráfico.
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Figura 4 – Animação de um Campo Vetorial em 2D.
Para plotar gráficos em existem duas maneiras, uma é usar o comando fieldplot3d. A
outra é utilizando o tutorial novamente, sendo que todo o procedimento descrito acima sobre
plotagem de campos vetoriais em 2D se aplica para os feitos em 3D, trocando o sistema de
coordenadas e as consequentes mudanças.
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Figura 5 – Representação de um campo vetorial em 3D com equação
.
A linha em azul e as três retas exibidas no gráfico, já foram explicadas anteriormente.
Podemos encontrar algumas aplicações de campo vetorial em várias situações. Uma delas
está disponibilizada no site do CPTEC/INPE, o qual é um site do governo, renomado e que contém
dados precisos e de muita importância para vários ramos da ciência. A situação abaixo retrata os
vetores velocidade do ar e indicam rapidez a direção e sentido no Oceano Atlântico no dia
28/07/2010. Associando a cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor velocidade do vetor,
tendo assim, um campo de vetores velocidade.
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Figura 6 – Intensidade e direção do vendo no Oceano Atlântico.
(Fonte:
A boa representação de um fenômeno, como este acima, depende do uso de equações
vetoriais corretas, que descrevem com certa precisão o que se requer. Com isso, explorando um
pouco mais a capacidade do software, segue alguns exemplos de campos vetoriais que
exemplificam fenômenos naturais.
Em diversas localidades do mundo há a ocorrência de furacões, ficando a cargo dos centros
de estudo, como o Centro Nacional de Furacões dos EUA, disponibilizar dados, o mais rápido
possível, para emitir alertas as regiões (Anton, 2007). Para tal, é necessário considerar algumas
hipóteses que simplificam a plotagem do mesmo.
Tais medidas possibilitam criar um modelo simples de representação de furacões, podendo
então extrair informações desejadas com uma maior facilidade.
CPTEC, Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos.)
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Figura 7 – Olho de um Furacão plotado com o comando
.
A opção fieldstrenght=fixed permite um controle mais preciso de como o tamanho dos
vetores desenhados corresponde à força do campo. Caso o leitor deseje explorar mais opções do
comando fieldplot, é necessário na digitar na ajuda no Maple o comando fieldplot.
Outro tipo de aplicabilidade é a descrição da velocidade da corrente num córrego em várias
profundidades, a velocidade de pontos de uma roda em movimento, a força de repulsão de uma
corrente elétrica, a chuva ou a nevasca. Estes estão exibidos abaixo.
Figura 8 – Velocidade da corrente num córrego com .
Percebe-se que quanto mais profundo, a velocidade tende a zero, e quanto menor a
profundidade maior será a velocidade.
Figura 9 – Velocidade de pontos de uma roda em movimento com .
A imagem mostra que no centro da roda a velocidade é nula e a pontos equidistante da
mesma tem o mesmo valor de velocidade.
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Figura 10 – Força de repulsão da corrente elétrica com o comando
.
É notável que quanto mais perto da carga, maior será a força de repulsão sobre a mesma.
Agora, utilizando-se da imaginação, o gráfico abaixo propõe uma situação muito comum
como a chuva ou mesmo uma nevasca, sendo cada gota ou cada floco de neve, um vetor
apontando para a direção de queda.
Figura 11 – Campo vetorial que pode expressar chuva ou nevasca usando, por exemplo, o
comando
.
A opção é o estilo das flechas, enquanto que a opção é
quantos vetores você quer visualizar nas variáveis , no caso quatro vetores. Para mais
detalhes, digite no Maple ?fieldplot3d.
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Curvas Espaciais
O Maple se mostra muito eficaz na obtenção do gráfico de curvas espaciais. Para tal
operação pensa-se em uma partícula se movendo pelo espaço durante um intervalo de tempo ,
tendo como coordenadas da partícula as funções definidas sobre :
(1)
Os pontos formam uma curva no espaço que é a
trajetória da partícula. As equações acima são chamadas parametrização da curva espacial.
Para obter o gráfico de uma curva espacial pode-se recorrer ao Tutorial seguindo as
instruções: Ferramentas – Tutoriais – Cálculo Vetorial – Curvas Espaciais. Na opção ‘Curvas
Espaciais’ abrirá uma janela.
Figura 12 – Procedimento para plotar uma curva parametrizada.
Coloca-se a parametrização da curva na primeira opção (Space Curve), o intervalo na
segunda (Range), o sistema de coordenadas na terceira opção (Coordinate System), o número de
quadros da animação na quarta opção (Frame) e as opções para complementar o gráfico, como o
vetor normal, por exemplo, na última (Display Options). Os procedimentos para disponibilizar o
gráfico e animá-lo são análogos aos de campos vetoriais.
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Figura 13 – Representação da curva parametrizada.
Com isto, teremos o gráfico da curva espacial. A animação do mesmo segue os mesmos
passos descritos anteriormente no tutor de campos vetoriais.
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Figura 14 – Animação da curva parametrizada.
Os vetores que aparecem nas animações são o vetor tangente em azul, o vetor normal em
verde e o vetor bi-normal em rosa.
A seguir estão mais alguns exemplos de curvas parametrizadas.
Figura 15 – Curva espacial conhecida como Hélice com parametrização
.
Figura 16 – Curva espacial com parametrização
Para mais informações sobre curvas espaciais, via Maple, digite no mesmo ?SpaceCurve.
.
Integrais de Linha
Quando estudamos fenômenos físicos que são representados por vetores, trocamos
integrais sobre intervalos fechados por integrais sobre caminhos através de campos vetoriais.
Usamos tais integrais para encontrar o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um
objeto ao longo de um caminho. A seguir, a definição clássica de integral de linha.
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Segundo Leithold (1994), dado um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa
de parametrização . A integral de linha de ao longo da curva
é:
O Maple apresenta um comando direto para o cálculo de uma integral de linha definida
acima. Para tanto, devemos carregar o pacote
(2)
. O comando é
da forma , onde VectorField é o campo vetorial dado,
dom é o caminho especificado que pode ser Circle (círculo), Line (segmento de reta),
LineSegments (coleção de segmentos de reta) e Path (parametrização), e options são as opções do
referentes a visualização da integral ou mesmo do gráfico da mesma, como será descrito abaixo.
Por exemplo, determine o trabalho feito pelo campo de forças ao se
mover uma partícula ao longo do círculo centrado na origem de raio um, com parametrização
.
Calculando primeiramente a integral de linha da forma feita manualmente pelo aluno,
temos:
Agora, calcula-se o mesmo problema utilizando os recursos oferecidos pelo Maple.
De fato, inicialmente, adicionando a opção , o comando retorna a
representação da integral de linha.
Pode-se agora, adicionar a opção , a qual retorna o gráfico da curva (neste
caso é o círculo), os vetores tangentes e o campo vetorial.
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Figura 17 – Campo vetorial no círculo unitário.
Observe que o movimento ao longo da curva descrito pelo vetor tangente é contrário ao do
campo vetorial, logo o trabalho realizado é negativo, porque o campo vetorial impede o
movimento ao longo da curva, o que pode ser constatado com o valor da integral de linha.
Percebe-se que se , o comando mostraria a situação oposta do exemplo
dado, e o movimento da curva descrito pelo vetor tangente é o mesmo do campo vetorial,
mostrando que o trabalho realizado é positivo.
Em seguida, exibiremos o trabalho realizado pela força sobre a
partícula que percorre a curva
a)
dada por:
consiste nos segmentos de reta a e a :
b) é o segmento de reta de a :
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c) é dado pela parametrização ;
d) é dado pela elipse de equação ;
Para melhor entender o exemplo a seguir, recorre-se ao conceito de campos conservativos
que segundo Stewart (2006) tem a seguinte definição:
Suponha que seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta conexa . Se
for independente do caminho em , então é um campo vetorial conservativo, ou
seja, existe uma função tal que .
Este conceito no Maple é denotado pela função scalar potencial. Dado uma função vetorial
basta clicar em cima desta com o botão direito do mouse e ir à opção Scalar Potencial, se após
este procedimento aparecer uma função , então o campo é conservativo, caso contrário, ele
não o é.
A seguir, encontra-se um exemplo do que foi abordado.
Seja o campo vetorial , calcule a função
escalar potencial e a partir do gráfico, deduzir se este é conservativo ou não.
Tem-se que:
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(3)
Pode-se notar agora que o campo vetorial é conservativo. Agora, com o auxilio do recurso
gráfico, confirma-se isto.
Figura 18 – Representação de um campo vetorial conservativo.
Uma explicação para comprovar que o campo é conservativo é que cerca de todos os
caminhos fechados, o número e o tamanho dos vetores de campo que apontam em direções
semelhantes aos que o caminho parece ser praticamente o mesmo que o número e tamanho dos
vetores que apontam na direção oposta.
Agora, com este suporte, pode-se ilustrar o egrégio conteúdo de integrais de linha, com um
exemplo de grande relevância que é a Lei Gravitacional de Newton, a qual, segundo Stewart
(2006) estabelece que a amplitude da força gravitacional entre dois objetos com massa e
é:
(4)
Admitindo que o objeto de massa seja a Terra e seu centro seja a origem do . Seja
o vetor de posição do objeto com massa , então . Portanto, a força
gravitacional agindo no objeto em é
(5)
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Vamos determinar o trabalho realizado pela força gravitacional quando a terra se move do
afélio (em uma distância máxima em relação ao Sol de km) ao periélio (em uma
distância mínima de km).
Definindo as constantes:
Para simplificar o problema, recorre-se ao Teorema Fundamental para as Integrais de Linha,
que segundo Stewart (2006) se caracteriza da seguinte forma:
Seja uma curva lisa pela parametrização , . Seja uma função
diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente é contínuo em . Considere
ainda, então,
(6)
Em seguida, vamos descrever o campo vetorial carregando o pacote
;
(7)
Note que para obter a função potencial (Scalar Potential), basta clicar com o botão direito
sobre a equação () descrita acima.
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Deste modo, fixando um sistema de coordenadas, de modo que o Sol esteja na origem do
sistema, note que se é a distância de à origem, então, . Assim,
, tal que
Portanto, o trabalho realizado pelo gravitacional quando a terra se move do afélio ao
periélio é
J
Será abordado neste momento as chamadas Integrais de Escoamento e Circulação, que
segundo Thomas (2003), são calculadas da mesma forma que se calcula as integrais de trabalho.
Aquelas integrais possuem a seguinte definição:
Se é uma curva lisa no domínio de um campo vetorial de velocidade contínuo , o
escoamento ao longo da curva de a
é
(8)
Uma relevante observação é que se a curva é um laço fechado, o escoamento é chamado
de circulação ao redor da curva.
Como exemplo para tal situação, tem-se um campo de velocidade de um fluido
. Calcula-se então, o escoamento ao longo da hélice com parametrização
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Análogo ao exemplo inicial deve-se apenas lembrar que para uma hélice, sendo esta neste
exemplo um caminho a se percorrer, a especificação correspondente é Path. Como a forma que
seria feita manual pelo aluno já foi descrita anteriormente, restringiu-se à forma computacional.
Tem-se então:
Modificando o comando para plotar o gráfico tem-se:
Figura 19 – Representação do escoamento ao longo da Hélice em um campo de velocidade de
um fluido.
Já é perceptível, analisando o gráfico, que o resultado desta integral será positivo, pois o
vetor tangente à linha de fluxo está no mesmo sentido do campo de velocidade. Isto será
confirmado a seguir pelo resultado da integral.
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Considerações Finais
Para mais detalhes sobre os recursos oferecidos para integrais de linha, é necessário
digitar no Maple ?LineInt.
Percebeu-se neste artigo que o uso do software Maple é grande valia para visualização dos
campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha, bem como sua interpretação e uso nas
aplicações, não apenas fazendo uso dos comandos tradicionais, mas recorrendo esta nova
alternativa proposta pelo software, denominada tutorial, que de forma rápida e simples esboça os
gráficos almejados.
Notou-se também que foi possível criar um material no qual oferece ao docente e ou ao
discente suporte para incrementar, ajudar e mesmo tornar mais interessante o estudo da
matemática.
A facilidade de manuseio e entendimento ao usar o tutorial de campos vetoriais e curvas
espaciais dá margem a uma nova visão ao se tratar destes conteúdos, pois torna os processos
ágeis e também possibilita a plotagem de gráficos, como observado anteriormente, quase
impossíveis de se esboçar a mão.
É plausível ressaltar que o estudo de integrais de linha em conjunto com este SAC, permite
não só o cálculo da integral de linha, isto é o trabalho realizado de um dado campo vetorial sobre
uma curva, mas, por meio da visualização do campo vetorial, da curva e dos vetores tangentes
sobre a curva pode-se inferir o sinal do trabalho realizado. Isso deixa o estudo deste conteúdo
mais interessante e de fácil compreensão, dando ao aluno uma visão ampla do que está
realmente acontecendo.
Com isto, uma combinação do uso perspicaz do computador com uma matemática de alta
qualidade vem resultando numa mudança do ensino e do aprendizado, fazendo com que os
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alunos e docentes deixem de se concentrar na utilização de fórmulas, passando assim para uma
abordagem mais quantitativa, visual e orientada para a execução de seus objetivos. Por um lado,
os experimentos de SAC também evidenciam o computador como um instrumento de observação
e experimentação, que pode se tornar o início de novas pesquisas, além de poder ser usado para
“provar” ou desmentir conjecturas, ou para formalizar relações empíricas que são
frequentemente bastante úteis como orientações de trabalho aos matemáticos e engenheiros.
Por outro lado, mostram-se alguns exemplos de tarefas que os computadores não são
capazes de fazer, a saber, a modelagem e a interpretação de resultados. Assim, usamos o
computador como uma ferramenta de “matemática experimental”, embora seu uso não seja
mandatório, para a investigação e a pesquisa, isto é, na obtenção experimental de resultados
passíveis de demonstração posterior ou capazes de se constituir em valiosas orientações
heurísticas qualitativas para engenheiros e matemáticos, particularmente nos casos de problemas
mais complexos.
Referências
ANTON, Howard et al. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
CPTEC, Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos. Previsão Oceânica. Disponível em:
<http://ondas.cptec.inpe.br/anima_pac.shtml>. Acesso em: 27 jul. 2010.
KREYSIG, Erwin. Matemática Superior para Engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
LEITHOLD, L. Cálculo Com Geometria Analítica. São Paulo: Editora Harbra Ltda,Vol. 2, 1994 .
MARIANI, Viviana Cocco. Maple: fundamentos e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2005
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Learning, 2006.
THOMAS, George B. Cálculo. 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003.
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Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia
07 a 09 de outubro de 2010 ISSN 2178-6135
Artigo número: 40
Tiago Aparecido Perez Vieira. Aluno do curso de Engenharia Ambiental da Universidade Tecnológica
Federal do Paraná – Campus Campo Mourão – PR. tiagoperezvieira@hotmail.com
Amanda Yoshie Takikawa. Aluna do curso de Engenharia de Alimentos da Universidade Tecnológica
Federal do Paraná – Campus Campo Mourão – PR. amandatakikawa@hotmail.com
Wellington José Corrêa. Professor de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
Campus Campo Mourão – PR. wcorrea@utfpr.edu.br
Adilandri Mércio Lobeiro. Professor de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
Campus Campo Mourão – PR. alobeiro@utfpr.edu.br
Priscila Amara P. de Melo. Professora de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná
– Campus Campo Mourão – PR. pmelo@utfpr.edu.br
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