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Matematica
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MAGIA MATEMTICA
PORQUE LA MATEMTICA TAMBIN TIENE SU ENCANTO.
1
PRESENTA
JUAN GUILLERMO BUILES GMEZ
LICENCIADO EN MATEMTICA Y FSICA
ESPECIALISTA EN CULTURA POLTICA
ESPECIALISTA EN TELEMTICA E INFORMTICA
DOCENTE TIEMPO COMPLETO DE MATEMTICA
I.E. PBRO ANTONIO JOS BERNAL LONDOO S.J
2
CMO LOGRAR, EN NUESTROS ESTUDIANTES, MOTIVACIN POR EL ESTUDIO DE LAS MATEMTICAS?
3
SER COMPETENTE IMPLICA:
SABER APLICAR EN LA COTI-
DIANIDAD E INFORMALIDAD
LA FORMALIDAD DE LA NO
COTIDIANIDAD JGB
4
INSTITUCIN EDUCATIVAPBRO.ANTONIO JOS BERNAL L. S.JANTES CENTENARIO IGNACIANO- TOSCANA
NCLEO EDUCATIVO:
TELFONOS:
EXPERIENCIA SIGNIFICATIVA:
PROYECTO:
TIEMPO:
EDUCADOR RESPONSABLE:
EQUIPO COLABORADOR:
919 MEDELLN
4631218
MAGIA MATEMTICA
CLUB MATEMTICO
13 AOS EN EL REA Y 10 CON LOSESTUDIANTES (2010)
JUAN GUILLERMO BUILES GMEZ
DIRECTIVAS ; CLUB MATEMTICOINSTITUCIONAL Y REA DEMATEMTICAS
5
OBJETIVOS
IMPLEMENTAR EL JUEGO LIBRE Y DIRIGIDO
PEDAGGICAMENTE EN EL PROCESO
ENSEANZA APRENDIZAJE DE LA
MATEMTICA PARA DESCUBRIR JUNTOS LA MAGIA Y
ENCANTO QUE ENCIERRA LA MISMA
HACER CONCRETO LO ABSTRACTO DE LA
MATEMTICA
HUMANIZAR MUCHO MS LA PRCTICA MATEMTICA
6
METODOLOGA PRESENTACIN DE LOS TEMAS Y EXPLICACIN POR PARTE DEL
MAGO
CARRUSELES EXPLICATIVO PRCTICOS
MESAS DE TRABAJO EN LAS CUALES SE SOCIALIZAN INVESTIGACIONES, A NIVEL INFORMAL, PROPUESTAS Y DESARROLLADAS POR EDUCADORES Y ESTUDIANTES
TRABAJOS Y TALLERES EN PEQUEOS GRUPOS CON UNA GUIA PREVIAMENTE ELABORADA
CONSULTAS E INVESTIGACIONES VA INTERNET SOBRE TEMAS DE INTERS PARTCULAR O COLECTIVOS
PROPUESTAS DE ALGUNOS TRUCOS, RETOS O DESAFIOS MATEMTICOS PARA SU POSIBLE DISCUSIN O SOLUCIN PEDOGGICA
DIVULGACIN DE SUS HALLAZGOS E INTERESES A TRAVS DE CARTELERA INSTITUCIONAL DEL CLUB MATEMTICO
7
8
FUNDAMENTACIN TERICA ESTNDARES Y COMPETENCIAS MATEMTICAS EMANADAS POR EL MEN
TEORAS SOBRE LA IMPORTANCIA Y DINAMISMO DEL BINOMIO JUEGO APRENDIZAJE, SEGN INVESTIGACIN DE LA UNIVERSIDAD PEDAGGICA
MODELO DEL CONSTRUCTIVISMO
NIVELES DE DESARROLLO DE PENSAMIENTO DE VAN HIELE:
NIVEL 1: RECONOCIMIENTO DE FORMAS
NIVEL 2: EXPLORACIN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS
NIVEL 3: RELACIONES LGICAS ENTRE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS
NIVEL 4Y5: FORMACIN Y ESTRUTURACIN AXIOMTICA DEDUCTIVA DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMTRICOS
PROYECTOS BACO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL Y CAJA DE POLINOMIOS DE LA UNIVERSIDAD DE NARIO
ESTUDIOS COGNITIVOS EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA (BOOTH 1984, CHAIKLIN 1984)
MODELO POR COMPETENCIAS (PROPOSITIVA-ARGUMENTATIVA-INTERPRETATIVA-COMUNICATIVA) DEL MEN.
2010: MODELO PEDAGGICO DESARROLLISTA SOCIAL QUE INTEGRA EL SER Y EL SABER.
9
IMPACTO INSTITUCIONAL TODA LA COMUNIDAD EDUCATIVA HABLA, CRITICA,
INVESTIGA Y SE PREOCUPA POR EL MEJORAMIENTO DEL REA
LA COMUNIDAD NO ES AJENA A SU PROCESO Y EJECUCIN
EL CLUB MATEMTICO HA DEJADO DE SER UN GRUPO CERRADO A LAS DEMS EXPERIENCIAS Y SE HA POSICIONADO EN UNO DE LOS QUE LOS ESTUDIANTES ADMIRAN, RESPETAN Y DESEAN INGRESAR PARA HACER PARTE ACTIVA DE LA INVESTIGACIN
EL PROYECTO SE BRINDA A TODOS LOS INTERESADOS A NIVEL INTERNO Y EXTERNO DE LA INSTITUCIN
10
RESULTADOS OBTENIDOS ESTAMOS HUMANIZANDO LAS
MATEMTICAS A MEDIDA QUE LA
ACERCAMOS AL ESTUDIANTE
EN UNA FORMA NATURAL Y
ESPONTNEA
YA NO ES LA MS DIFCIL. ESLA MS FCIL O UN REA
NORMAL COMO LAS DEMS
HASTA EL QUE SE CREA MSAJENO AL REA, AHORA COMO
MNIMO LA CRITICA, CUESTIONA
Y APOYA SUS ESFUERZOS PARA
MEJORAR
o EL 60 % DE LOS ESTUDIANTES DE LA
INSTITUCIN SE HAYA EN UN NIVEL
MEDIO, MIENTRAS QUE EL 20 % ALCANZANIVELES ALTOS TANTO EN EL
PROCESO MATEMTICO INSTITUCIONAL
COMO EN LAS PRUEBAS EXTERNAS(SABER E ICFES)
LA I.E AJBL S.J HA OBTENIDO LOSMEJORES RESULTADOS EN EL ICFES
A NIVEL DEL NCLEO Y DE LA
CIUDAD DE MEDELLN.
EL CLUB MATEMTICO, Y ELPROYECTO EN S, HA OCUPADO
LUGARES HONROSOS EN LA FERIA
DE LA CIENCIA INSTITUCIONAL YNCLEAR EN VARIOS AOSCONSECUTIVOS
RECIBI LA MENCIN: CECILIALINCE EN EL 2004 COMO MEJORMAESTRO Y PROYECTO CIUDAD DEMEDELLN
SE HA DEMOSTRADO CON EL CLUBQUE EL USO DEL MATERIAL CONCRETO
NO ES PRIORIDAD UNICA DE LA
EDUCACIN INICIAL SINO QUE SE
PUEDE Y SE DEBE IMPLEMENTAR EN
TODOS LOS PROCESOS EDUCATIVOS.
11
CONTAMOS CON EL AVAL DEL MUNICIPIO DE MEDELLNPremio Cecilia Lince 2004
12
VEAMOS ALGUNOS TRUCOS CARTAS MGICAS
A 1 3 5 7 9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 33 35
37 39 41 43 45 47 49 51 53
55 57 59 61 63
13
B2 3 6 7 10 11 14 15 18
19 22 23 26 27 30 31 34 35
38 39 42 43 46 47 50 51 54
55 58 59 62 63
14
C4 5 6 7 12 13 14 15 20
21 22 23 28 29 30 31 36 37
38 39 44 45 46 47 52 53 54
55 60 61 62 63
15
D8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
16
E16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
17
F32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
18
19
ADIVINANDO LA CARTA SEALADA
20
CUADRADOS MGICOS EN EL CALENDARIO
D L M M J V S
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
JULIO XXXX
21
VASOS FLOTANTES
SE TIENEN 8 VASOS: 4 LLENOS Y 4 VACOS
EL RETO CONSISTE EN MOVER SLO 2 VASOS DE TAL FORMA QUE QUEDEN ALTERNADOS: 1 LLENO, 1 VACIO, 1 LLENO, ETC.
22
6+4=1?
DADA LA SIGUIENTE FIGURA:
COLOCAR 4 PALILLOS MS DE TAL FORMA QUE DE CMO RESULTADO UNO
23
MONEDAS QUE VUELAN
DADA LA FIGURA:
TRASLADE SLO 2 MONEDAS O BOTONES A OTRA POSICIN, DE MANERA QUE SE FORMEN DOS HILERAS QUE, AL SUMARSE YA SEA HORIZONTAL O VERTICALMENTE, CONTENGAN 6 MONEDAS O BOTONES CADA UNA.
24
PALILLOS Y MS PALILLOS
SABIENDO QUE CON TRES PALILLOS IGUALES
FORMAMOS UN TRINGULO EQUILTERO.
EQUILTERO: EL QUE POSEE SUS TRES LADOS,
3 NGULOS IGUALES
EL RETO CONSISTE EN CONSTRUIR 4
TRINGULOS COMO EL ANTERIOR, UTILIZANDO
NICAMENTE 6 PALILLOS SIN PARTIRLOS O
QUEBRARLOS.
25
SER POSIBLE?
PODRA PARTIR UNA BARRA O PASTEL DE CHOCOLATE EN 8 PARTES IGUALES REALIZANDO TAN SLO 3 CORTES.
FAVOR ESCRIBIR LA EXPLICACIN DE COMO HACERLO.
26
LPIZ INVISIBLE
PODRAN CONSTRUIR LA H LA F MAYSCULA SIN LEVANTAR EL LPIZ NI REPISAR.
QUE TAL SI INTENTAN CONSTRUIR LOS SIGUIENTES DIBUJOS SIN LEVANTAR EL LPIZ DEL PAPEL NI REPISAR.
27
LOS 8 INSEPARABLES
COLOCAR LOS NMEROS DEL 1 AL 8 (UNA SOLA VEZ) DE TAL FORMA QUE NMEROS COSECUTIVOS NO QUEDEN JUNTOS VERTICAL, HORIZONTAL NI DIAGONALMENTE
28
TEMAS Y SUBTEMAS POR NIVELES
BSICA PRIMARIA
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR DESDE VARIAS ESTRATEGIAS
EL BACO Y SUS MARAVLLAS
LAS REGLETAS DE COUSINIERE
GEOMETRA CON PAPELITOS Y CUBOS
TRUCOS MATEMTICOS
29
PRIMARIA, 6 Y 7CALCULADORA DIGITAL
(1 PARTE)
TABLAS MGICAS
TABLAS DE DOBLE ENTRADA
RAZ CUADRADA DESDE LOS DIVISORES
LA MATEMTICA EN OTRAS CULTURAS
MATEMTICA EN UN 2X3
LOS FRACCIONARIOS
RETOS MATEMTICOS
REGLETAS DE CUISENAIRE
ENTRE OTROS
30
8 Y 9
CUADRADOS Y
TRINGULOS MGICOS
CALCULADORA
DIGITAL (2 PARTE)
(LGEBRA)
ROMPECABEZAS
ALGEBRAICO
TABLA DE DOBLE ENTRADA Y LOS PRODUCTOS NOTABLES
MATEMTICA EN UN 2X3 (2 PARTE)
DESAFIOS MATEMTICOS
LA FACTORIZACIN EN 4 PASOS
31
10 Y 11
GANNDOLE A LA CALCULADORA
CALCULADORA TRIGONOMTRICA
ALGO DE CLCULO EN LAS MANOS
DIDCTICA DEL CLCULO
GRFICA DE FUNCIONES Y SU DESPLAZAMIENTO
LA FACTORIZACIN EN 2 PASOS
EL GEOPLANO Y LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
EL TANGRAN Y PIEZAS DE SOMA
TRUCOS CON CARTAS Y MONEDAS Y MUCHO MS...
32
PENSANDO=INTERPRETANDO?
33
TABLAS DE MULTIPLICAR
DESDE LA GEOMETRA
CONSTRUIMOS VARIOS CUADRADOS. CADA UNO DE ELLOS ACTUAR COMO LA UNIDAD:
34
RESOLVAMOS 2X3
COLOCAMOS 2 PAPELITOS VERTICALMENTE:
35
LUEGO, COLOCAMOS HORIZONTALMENTE, 3 PAPELITOS CONTANDO CON UNO DE LOS YA EXPUESTOS:
36
PEDIMOS AL JVEN QUE COMPLETE LA FIGURA:
CUNTOS CUADRADOS CUENTA? R/ 6
ENTONCES 2X3=6 Y 6 ES UN NMERO RECTNGULAR
37
VEAMOS AHORA 3X3
COLOCAMOS 3 CUADRITOS VERTICALMENTE
38
Y LUEGO, COLOCAMOS 3 CUADRITOS HORIZONTALMENTE, CONTANDO CON EL YA EXPUESTO
39
LE PEDIMOS QUE COMPLETE LA FIGURA:
CUNTOS CUADRITOS SE CUENTAN? R/ 9
ENTONCES 3X3=9 Y 9 ES UN NMERO CUADRADO PERFECTO, PORQUE SE FORMA UN CUADRADO DE LADO 3.
40
41
TABLAS MANUALES (UNA POR UNA)
TABLA DEL 9.
Enumeramos los dedos de nuestras manos del 1 al 10
as:
42
EJEMPLOS:
Obtengamos en nuestras manos 9*5:
Cuento en las manos desde el 1 al 5, y bajo el ltimo dedo.
Ahora basta con contar cuantos dedos hay antes (4) y despus (5) del dedo acostado, para obtener 45.
43
Obtengamos en nuestras manos 9*6
Cuento en las manos desde el 1 al 6, y bajo el ltimo dedo.
Ahora basta con contar cuantos dedos hay antes y despus del dedo acostado, para obtener 54.
44
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR EN
LAS MANOS
45
TABLAS EN EL PAPEL
SE TOMA LO QUE LE FALTA A CADA FACTOR PARA LLEGAR A 10.
SE MULTIPLICAN DICHAS DIFERENCIAS ENTRE S. (ESTA SER LA LTIMA CIFRA)
SE OBTIENE LA RESTA CRUZADA ENTRE UN FACTOR Y UNA DIFERENCIA. (ESTA SER LA
PRIMERA CIFRA)
46
47
CALULADORA DIGITAL
Como las tablas de multiplicar del 1 al 5, son relativamente fciles, trabajaremos con las tablas mayores al 5.
Enumeramos nuestros dedos del 6 al 10 en ambas manos.
48
EJEMPLOS
Si quisiramos multiplicar 7*7; procederamos as:
Contamos en una mano hasta 7 bajando los dedos
En la otra mano realizo lo mismo de acuerdo al segundo factor.
49
C) Cada dedo acostado vale por diez. En este caso tenemos 40.
D) Los dedos que quedan parados se multiplican entre s y se suman al valor anterior. En este caso, 3*3 =9
Entonces 7*7 =40+9 =49
50
Para obtener 7*8 procedemos de igual forma que el anterior
DEDOS ACOSTADOS: 5X10= 50+
DEDOS PARADOS: 2X3= 6 .
5651
TABLAS DEL 11 AL 15
ENUMERAMOS LOS DEDOS DE CADA MANO DEL 11 AL 15
AC SLO TRABAJAN LOS DEDOS ACOSTADOS
Y AL FINAL HAY QUE SUMAR UNA CONSTANTE DE 100
52
VEAMOS: 12X12
DEDOS ACOSTADOS: 4X10= 40
DEDOS ACOSTADOS 2X2= 4
MS 100 100
144
53
ANALICEMOS 13X11
DEDOS ACOSTADOS: 4X10= 40
DEDOS ACOSTADOS: 3X1= 3
MS 100 100
143
54
CALCULADORA DIGITALHAGA CLIC PARA VISUALIZAR VIDEO
55
NUESTRAS MANOS SE CONVIERTEN
MGICAMENTE EN UNA CALCULADORA
CIENTFICA.
56
EL LGEBRA EN NUESTRAS
MANOS
57
Se analiza un poco el manejo de las variables (letras) en nuestras manos.
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
1. Suma de variables: Basta doblar los dedos de la variable respectiva, contar dichos dedos y acompaarlo de la variable.
2. Resta de variables semejantes: El mismo proceso de la suma pero no olvide que est restando.
No olvide: a) Tome los valores en cada mano segn lo indique el ejercicio, haga la resta de dedos (vaya anulndolos) y si el resultado queda en la mano derecha ser negativo.
58
MULTIPLICANDO VARIABLES
59
1) Doble los dedos de las variables
2) El exponente lo dar el nmero de dedos acostados.
Ejemplo: * =
(2+2=4 dedos acostados)
.=
DIVIDIENDO VARIABLES
60
1 Tomo la mayor potencia de la variable en la mano izquierda y resto dichos valores (dedos acostados).
2) Si la diferencia me da en la mano izquierda el exponente es positivo; en la mano derecha da
exponente negativo.
Ejemplo:
SE APRENDE TANTO
JUGANDO COMO
SE JUEGA TANTO
MIENTRAS SE APRENDE
61
MATEMTICAS EN UN 2*3: Multiplicando rpido por los mltiplos de 5:
Multiplicacin por 5: Es fcil multiplicar por 5; slo debes sacar la mitad del factor y agregar un cero.
EJEMPLOS: 120*5 = mitad de 120 es 60 y un cero = 600
84*5 = mitad de 84 es 42 y un cero = 420
17*5= mitad de 17 es 8,5 y quitamos la coma =85
Multiplicacin por 15: Obtengo la mitad del nmero
Sumo esta mitad al nmero original y agrego un cero.
EJEMPLOS: 120*15= mitad de 120 es 60; 60+120= 180 Y un cero= 1800
84*15= mitad de 84 es 42; 42+84= 126 y un Cero =1260
17*15= mitad de 17 es 8,5; 17+8,5=25,5 y quitando la coma=255.
62
MULTIPLICANDO POR NMEROS ENTRE 11 Y 19
MULTIPLICO UNIDAD X UNIDAD
A UN FACTOR LE SUMO LAS UNIDADES DEL OTRO
17* 14* 15*
11 13 19
7 12 45
18 17 24 .
187 182 28563
MULTIPLICANDO VALORES ENTRE 21 Y 29
MULTIPLICO UNIDAD X UNIDAD
A UN FACTOR LE SUMO LAS UNIDADES DEL OTRO
POR LTIMO DUPLICO Y MS LO QUE LLEVO
24* 22* 21*
28 23 25
32 6 5
32X2=64Y3 25X2=50 26X2=52
672 506 525
64
MULTIPLICANDO POR 9,99,999.
SE RESTA 1 AL OTRO FACTOR
SE COLOCA LO QUE LE FALTA A CADA CIFRA (MENOS LA LTIMA) PARA LEGAR A 9
LO QUE LE FALTA A LA LTIMA CIFRA PARA LLEGAR A 10
4532* 352* 128*
9999 9999 . 99999 .
4531 . 351 . ?
546 . 964 .
8 . 8 .
45315468 3519648
65
MULTIPLICANDO NMEROS CERCANOS A 100 A 1000
SE TOMAN LAS DIFERENCIAS DE CADA FACTOR CON EL 100 EL 1000
SE MULTIPLICAN ENTRE S DICHAS DIFERENCIAS (FORMANDO 2 3 CIFRAS)
SE RESTA EN X UN FACTOR CON UNA DIFERENCIA
98X96= 08 = 9408 97X99= 03 = 9603
2 4 3 1
997X996= 012 = 993012 995X998= ?
3 4 66
APRENDER DEBE
SER UN HOBBY ( GUSTO)
Y NO UNA CARGA DE
INTILES FORMULISMOS
CUALQUIER ESPACIO
HA DE SER LABORATORIO
PARA GENERAR AMOR
HACIA EL CONOCIMIENTO
67
CUADRADOS DE LOS NMEROS DEL 11 AL 19
UNIDAD AL CUADRADO
SUMO BASE + SUS UNIDADES
112= 1*1=1 Y 11+1=12 121
122 = 2*2=4 Y 12+2= 14 144
142 = 4*4=16 Y 14+4= 18+1=19 196
152= ?
68
CUADRADOS DE NMEROS TERMINADOS EN 5
SIEMPRE TERMINA EN 25
MULTIPLICO LAS DECENAS DE LA BASE POR EL NMERO SUCESOR
252 = 25 Y 2X3= 6 625
452 = 25 Y 4X5= 20 2025
852 = ?
69
FRACCIONES DE IGUAL NUMERADOR SUMA O ADICIN:
1 + 1 = 5 (SUMO DENOMINADORES)
2 3 6 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
2 + 2 = 12 (DOBLE SUMA DENOMINADORES)
2 4 8 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
1 + 1 = 5 ?
2 3 6
70
FRACCIONES DE IGUAL NUMERADOR RESTA:
1 1 = 1 (RESTO DENOM HACIA LA IZQUIERDA)
2 3 6 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
2 2 = -2 (DUPLICO DENOMINADORES Y RESTO)
4 3 12 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
1 1 = 1
2 3 6
71
72
EL BACO Y SUS MLTIPLES FUNCIONES
2 4 6 5 8
DM UM C D U
73
BACO BINARIO
74
FRACCIONES DECIMALES
3 + 2 = 32
10 100 100
0.3+0.02=0.32
75
BACO ALGEBRAICO
3 X2 + 2X + 4
76
INGLS EN EL BACO?
77
Y QU PASA CON LA GEOMETRA?
78
SE PUEDE TRABAJAR EL LGEBRA?
79
Y LA ESTADSTICA?
80
ROMPECABEZAS ALGEBRAICO El lgebra toda en un rompecabezas:
Aqu el trabajo fundamental radica en la construccin del rompecabezas algebraico. Debemos construir las siguientes piezas
81
CONSTRUYAMOS EL MATERIAL
CONSTRUIMOS UN CUADRADO CUYO LADO SEA IGUAL A LA UNIDAD (1)
AL CALCULAR SU REA: LADO * LADO (1*1= 1) OBTENEMOS 1 Y REALIZAMOS MNIMO 10 DE ELLOS.
82
CONSTRUIMOS UN RECTNGULO CUYA ALTURA SEA IGUAL A LA UNIDAD Y DE BASE CUALQUIER MEDIDA ( QUE
LLAMAREMOS X )
AL CLCULAR SU REA: BASE * ALTURA
( X*1 = X ) OBTENEMOS LA VARIABLE X Y REALIZAMOS MNIMO
10 DE ELLOS.
83
CONSTRUIMOS OTRO RECTNGULO CUYA ALTURA SEA IGUAL A LA UNIDAD Y DE BASE CUALQUIER MEDIDA PERO
DIFERENTE A X ( LA LLAMAREMOS Y )
AL CLCULAR SU REA: BASE * ALTURA
( Y*1 =Y ) OBTENEMOS LA VARIABLE Y
84
CONSTRUIMOS LOS CUADRADOS DE LADO IGUAL A LA VARIABLE X ; PARA OBTENER EL REA CORRESPONDIENTE A X2 . DE
IGUALFORMA PARA Y2
Y POR LTIMO UN RECTNGULO DE DIMENSIONES X e Y PARA FORMAR EL REA CORRESPONDIENTE A X*Y.
85
86
EJEMPLOS Si quisiramos factorizar: X2 + 5x +6.
Reunimos todas esas reas y trato de formar un
Cuadrado o rectngulo as:
Y la respuesta es su rea total:
(x + 3) (x + 2)
X2 +5x+6= (x+3) (x+2) 87
AL FACTORIZAR 4 Y2+4Y+1, DISPONEMOS EN FORMA DE CUADRADO O RECTNGULO LAS REAS
SOLICITADAS
DE DONDE SE DEDUCE QUE:
4 Y2+4Y+1 = ( 2Y+1 ) ( 2Y+1 )
88
PARA TRABAJAR POLINOMIOS CON COEFICIENTE NEGATIVO
NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO Y SUS SIGNOS POSITIVO Y NEGATIVO AS:
89
PARA FACTORIZAR: X2-1 (DIFERENCIAS DE CUADRADOS)
COLOCAMOS LAS REAS (X2 ) Y (1) EN EL PLANO SEGN SU SIGNO:
90
DEBEMOS COMPLETAR UN CUADRADO O
RECTNGULO
EN ESTE CASO PODEMOS SUMAR Y RESTAR EL REA CORRESPONDIENTE A X ; y PARA ELLO COMPLETAMOS LA
FIGURA
X+1
X + 1
X-1
Y SI HALLAMOS SU REA TOTAL TENEMOS: BASE X ALTURA
ENTONCES X2 -1= (X+1) (X-1)91
NO SLO DE PAN
(CONOCIMIENTO) VIVE EL
HOMBRE
92
VEAMOS UNA MULTIPLICACIN DE
POLINOMIOS (2X+2) (X+3)
COLOCO LAS FICHAS O REAS DEL FACTOR BASE (2X+2)
93
Y ACOMODAMOS LAS FICHAS QUE
CONFORMAN LA ALTURA (X+3)
DEBO CONTAR CON EL NMERO (1) COLOCADO EN LA BASE
94
COMPLETAMOS EL CUADRADO O
RECTNGULO, CON LAS PIEZAS ADECUADAS
EL RESULTADO SER LA SUMA DE TODAS LAS FICHAS O REAS QUE CONFORMAN LA FIGURA, ES DECIR:
(2X+2) (X+3) = 2X2 +8X+6
95
ALGO MS DEL ROMPECABEZAS ALGEBRAICO
LA DIVISIN DE POLINOMIOS
PRODUCTOS NOTABLES
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
LA FACTORIZACIN EN 4 2 CASOS
96
ECUACIONES CON EL ROMPECABEZAS
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
a) 2X 3 = X +4
1) DISPONGO LAS
FICHAS DE IGUAL
FORMA COMO LO
INDICA EL
EJERCICIO
97
2X 3 = X + 4
2) HAGO LA
TRASPOSICIN DE
TRMINOS,
DESLIZNDOLOS
HORIZONTALMENTE
98
2X-3=X+4
ELIMINO O SIMPLIFICO VALORES IGUALES
(VERTICALMENTE)
Y LEO HORIZONTALMENTE EL
RESULTADO
(O FORMO GRUPOS
IGUALES PARA CADA X
SEGN EL # DE X)
99
100
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1) X+Y = 6 2) X -Y = 2
DISPONEMOS LAS PIEZAS, SEGN LO INDICA EL SISTEMA
101
CALCULADORA DIGITAL TRIGONOMTRICA
102
BACO NEPERIANO BACO INVENTADO POR JOHN NAPIER PARA
REALIZAR PRODUCTOS Y COCIENTES DE NMEROS
103
Multiplicacin
PROVISTOS DEL CONJUNTO DESCRITO, SUPONGAMOS QUE DESEAMOS CALCULAR EL PRODUCTO DEL NMERO 46785399
POR 7. EN EL TABLERO COLOCAREMOS LAS VARILLAS
CORRESPONDIENTES AL NMERO, TAL COMO MUESTRA LA
FIGURA. HACIENDO POSTERIORMENTE LA LECTURA DEL
RESULTADO EN LA FRANJA HORIZONTAL CORRESPONDIENTE AL 7 DEL CASILLERO DEL TABLERO, OPERACIN QUE SOLO
REQUIERE SENCILLAS SUMAS, CON LLEVADA NATURALMENTE DE LOS DGITOS SITUADOS EN DIAGONAL.
104
46785399 por 7
105
46785399
x 96431
46785399
X 96431
46785399
140356197
187141596
280712394
421068591
4511562810969
106
LPIZ INVISIBLE PODRAN CONSTRUIR LA H O LA F MAYSCULA SIN
LEVANTAR EL LPIZ NI REPISAR.
QUE TAL SI INTENTAN CONSTRUIR LOS SIGUIENTES
DIBUJOS SIN LEVANTAR EL LPIZ DEL PAPEL NI REPISAR.
107
REGLETAS CUISENAIRE EL NMERO NATURAL Y LAS OPERACIONES CON
NMEROS NATURALES PUEDEN TRABAJARSE CON AYUDA DE DISTINTOS MATERIALES.
- UN MATERIAL DIDCTICO ESPECFICO LO CONSTITUYEN LAS REGLETAS CUISENAIRE. SUPONEN LA APLICACIN DE LOS NMEROS A UN CONTEXTO DE MEDIDA.
108
REGLETAS CUISENAIRE LAS REGLETAS CUISENAIRE SON BLOQUES DE MADERA DE
DISTINTAS LONGITUDES Y COLORES , QUE SE EMPLEAN PARA CONTAR Y OPERAR CON CANTIDADES REALES.
109
CON LAS REGLETAS SE PUEDEN HACER ACTIVIDADES ADITIVAS COMO LA CONSTRUCCIN DE TRENES CON DOS O MS REGLETAS Y LUEGO MEDIR SU TOTALIDAD CON UNA NICA REGLETA ; TAMBIN SE PUEDEN HACER ACTIVIDADES DE SUSTRACCIN COMO DETERMINAR EL COMPLEMENTO DE UNA REGLETA RESPECTO DE OTRA MAYOR.
CONVIENE ESTUDIAR LAS COMPOSICIONES Y DESCOMPOSICIONES ADITIVAS DE LOS NMEROS, PARA CONOCERLOS EN SUS RELACIONES CON LOS DEMS. POR EJEMPLO, AL ESTUDIAR 5 SE DEBE VER QUE : 0+5 = 5 ; 1+4 = 5 ; 2+3 = 5 ; 3+2 = 5 ; 4+1 = 5 ; 5+0 = 5. INVERSAMENTE, QUE TAMBIN 5 = 5+0 ; 5 = 4+1 ; 5 = 3+2 ; 5 = 2+3 ; 5 = 1+4 ; 5 = 0+5 ; 5 = 1+1+1+1+1.
110
Trabajando slo con regletas blancas y naranjas se puede incidir sobre la estructura del sistema de
numeracin decimal (la blanca es la unidad, la naranja
es la decena) y aplicar a las relaciones aditivas
111
Y PARA NO OLVIDAR TABLAS MGICAS (4, 8, 9 Y 5)
DOBLANDO PAPEL
EN EL GEOPLANO
CON PAPEL CALCANTE
TABLAS PARA DIVIDIR
RAZ CUADRADA DESDE LOS DIVISORES
SUMAS RPIDAS
112
SER POSIBLE UNIR DIVERSIN CON CONOCIMIENTO?
113
LOS 8 INSEPARABLES COLOCAR LOS NMEROS DEL 1 AL 8 (UNA SOLA VEZ) DE TAL
FORMA QUE NMEROS COSECUTIVOS NO QUEDEN JUNTOS
VERTICAL, HORIZONTAL NI DIAGONALMENTE
114
LA DIDCTICA DEL CLCULOEL VALOR ABSOLUTO: X
ENTINDASE STE COMO LA DISTANCIA DE UN VALOR REAL AL CERO:
-8 = LA DISTANCIA DEL -8 AL CERO ES 8
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8
5 = LA DISTANCIA DEL 5 AL CERO ES 5
0 1 2 3 4 5
5115
RESOLVAMOSLA INECUACIN: X-3 2
UBICAMOS EN LA RECTA EL VALOR 3:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
CON EL COMPS, HACIENDO CENTRO EN 3 Y UNA ABERTURA IGUAL A 2, HACEMOS ARCO A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA
DE 3 3+2
(//////////////)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3-2
LA SOLUCIN SER EL INTERVALO S= (1,5)
116
RESOLVAMOSX+2 3 X-(-2) 3
UBICAMOS EN LA RECTA EL VALOR -2:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 CON EL COMPS, HACEMOS CENTRO EN EL -2 Y CON UNA
ABERTURA IGUAL A 3, REALIZAMOS ARCO A LA IZQUIERDA Y A
LA DERECHA PERO HACIA FUERA
-2+3
//////////////) (//////////////////
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2 -3
LA SOLUCIN SER: S= (-00, -5) U (1, +00) 117
LAS MATEMTICAS EN OTRAS CULTURAS LOS EGIPCIOS, POR EJEMPLO, PARA SUMAR
ABREVIADAMENTE, SIN SABER QUIZ EMPLEABAN EL
SISTEMA BINARIO O EN BASE DOS YA QUE SU MTODO LO
QUE HACIA ERA DUPLICAR Y LUEGO SELECCIONABAN EL
RESULTADO.
118
MULTIPLICACIN EGIPCIA1. MULTIPLICAR 12X24
TOMAMOS EL FACTOR MAYOR (24) Y LO DUPLICAMOS O DOBLAMOS EN AMBAS COLUMNA, AS:
1 24 DOBLAMOS
DOBLAMOS 2 48
4 96
8 192
119
12 X 24 (EGIPTO) EN LA COLUMNA DE LA IZQUIERDA, OBTENEMOS
LOS SUMANDOS QUE GENERAN EL FACTOR
MENOR.
Y EN LA COLUMNA DE LA DERECHA, HASTA SUMAR SUS RESPECTIVOS SUMANDOS PARA
OBTENER EL RESULTADO.
1 24
2 48
4 96
8 192
12 288
120
MULTIPLICACIN PITAGRICA O GRIEGA
LOS GRIEGOS FUERON MS CREATIVOS Y EMPLEARON EL SIGNO X (POR) CREANDO COLUMNAS O DIAGONALES ENTRE
EL.
1 5 10 100 1000 10.000
ANALICEMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
121
123 X 258A. CONSTRUIMOS EL SIGNO X
B. UBICAMOS LOS FACTORES EN FORMA DIAGONAL
122
123 X 258 (GRECIA)C. OBTENEMOS LOS PRODUCTOS PARCIALES
BUSCANDO UBICARLOS CORRECTAMENTE.
123
MULTIPLICACIN MUSULMANA O RABE
APLICADA EN CASI TODA EUROPA EN TIEMPOS DEL DESCUBRIMIENTODE AMRICA.
SE ACOMODAN LOS FACTORES EN UN ARREGLO RECTNGULAR Y SE SUMAN LOS RESULTADOS EN FORMA DIAGONAL. VEAMOS:
124
293 X 10421)
CONSTRUYO UNA TABLA O RECTNGULO SEGN LAS CIFRAS DE LOS FACTORES Y TRAZO LAS DIAGONALES DE CADA CUADRITO.
125
293 X 1042 (RABE) 2) OBTENGO LOS PRODUCTOS PARCIALES
TENIENDO EN CUENTA QUE 2X3=06 Y 5X1=05.ANALICEMOS ALGUNOS PRODUCTOS.
126
293 X 1042 (RABE)3) TERMINAMOS DE OBTENER LOS PRODUCTOS Y EL
RESULTADO LO DAR LA SUMA DE CADA UNA DE LAS DIAGONALES:
SUMAR
LUEGO: 293 X 1042 = 305306.
127
MULTIPLICACIN FULMNEA
RESULTA INTERESANTE EL PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR DOS NMEROS DE VARIAS CIFRAS
INDICADO POR MATEMTICOS COMO FOURIEREN 1831; CAUCHY EN 1840, EN EL QUE SE PROCEDE DE IZQUIERDA A DERECHA.
128
PASO 1: ESCRIBIMOS UN FACTOR FIJO Y EL OTRO EN UNA TIRA DE PAPEL (FACTOR MVIL) PERO INVERTIDO. SE DISPONE SUCESIVAMENTE DEBAJO DEL MULTIPLICANDO, HASTA QUE SU LTIMA CIFRA SE COLOQUE EN LA VERTICAL QUE PASA POR LA CIFRA FINAL DEL FIJO.
PASO 2: EN CADA CASO SE V OBTENIENDO EL PRODUCTO (SU SUMA) DE LAS CIFRAS QUE COINCIDEN Y SE VA COLOCANDO EN DIAGONAL AL FRENTE PARA OBTENER EL PRODUCTO FINAL.
129
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS: 892 X 136 (FULMNEA)
892 FACTOR FIJO
634 FACTOR MVIL
892
634 32
634 60 (36+24)
634 83 (8+27+48)
634 60 (54+6)
634 12
388912130
MULTIPLICACIN RUSA Y CHINA (ALDEANA)
PARECE SER QUE LOS ANTIGUOS PUEBLOS DE RUSIA Y CHINA NO EMPLEABAN LAS TABLAS PITAGRICAS Y
SE DEDICABAN SIMPLEMENTE A DOBLAR (DUPLICAR)
UN FACTOR Y A REDUCIR A LA MITAD EL OTRO
FACTOR. VEAMOS
(10) (20) (30) (40) (50) (60) (70) (80) (90)
131
RESOLVER 12X35 COMO EN CHINA-RUSIA
12 X 35
6 70
MITAD 3 140
DOBLE
1 280
1) AL MENOR FACTOR SE LE EXTRAE LA MITAD EN
FORMA SUCESIVA,
DESPRECIANDO
RESIDUOS SI LOS HAY,
MIENTRAS EL FACTOR
MAYOR SE V
DOBLANDO.
132
12 X 3512 X 35
6 70
3 140
1 280
420
1) POR EL LADO DEL FACTOR MENOR, DONDE SE OBTUVO COCIENTE PAR SE TACHAN SUS VALORES.
2) EL RESULTADO SER LA SUMA DE LOS VALORES, NO TACHADOS, EN LA COLUMNA DEL FACTOR
MAYOR.
133
CUADRADOS MGICOS SON AQUELLOS CUADRADOS EN LOS CUALES
SE CUMPLE QUE: LA SUMA DE LOS NMEROS DE CADA FILA, COLUMNA O DIAGONAL ES LA
MISMA
EXISTEN CUADRADOS MGICOS DE ORDEN IMPAR (COMO EL DE 3X3 5X5) Y DE ORDEN
PAR (COMO EL DE 4X4 6X6). VEAMOS SU
CONSTRUCCIN Y DESARROLLO.
134
1) EN EL SIGUIENTE CUADRADO MGICO DE
3X3 COLOCAR LOS NMEROS DEL 1 AL 9 (SIN
REPETIRLOS) DE TAL FORMA QUE LA SUMA
EN CUALQUIER DIRECCIN SEA 15.
SUMA=15 S= L + L
2
DONDE L= VALOR DEL LADO DEL CUADRADO
135
CUADRADOS DE ORDEN PAR COLOCAR LOS NMEROS DEL 1 AL 16 (SIN
REPETIRLOS) DE TAL FORMA QUE LA SUMA EN
CUALQUIER DIRECCIN SEA 34.
SUMAR= 34
136
LOS ROMANOS EN EL BACO JGB DE JUAN GUILLERMO
C M D X C L I X V I
137
ARITMTICA Y LGEBRA EN EL BACO JGB DE JUAN GUILLERMO
138
BACO PLANO JGBHAGA CLIC PARA VISUALIZAR EL VIDEO
139
LA MATEMTICA Y LA FSICA EN UNA PIRMIDE PERMITE DINAMIZAR EL MUNDO DE LAS FRMULAS Y
ECUACIONES
140
EL ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL
ES UN MATERIAL DIDCTICO QUE PERMITE OPERAR O REALIZAR CLCUOS MATEMTICOS (ARITMTICOS,
GEOMTRICOS, ALGEBRAICOS, TRIGONOMTRICOS)
EN UNA FORMA MS CPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y
LGICA YA QUE TOMA COMO BASE LA GEOMETRA Y
EVOLUCINA EN EL PENSAMIENTO HASTA LOGRAR
GENERALIZAR O ABSTRAER RESULTADOS EN UN
CAMPO NO TAN CONCRETO COMO EL LGEBRA Y LA
TRIGONOMTRIA.
141
MATERIAL EN UN CARTN PAJA, MADERA O ACRLICO
DISEAR Y RECORTAR:1) UN CUADRADO QUE ACTUAR COMO UNIDAD:
2)UN RECTNGULO QUE ACTUAR COMO DECENA O
COMO CUALQUIER VARIBLE (PARA LAS FRACCIONES ACTUAR COMO LA UNIDAD)
142
3) UN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUAR COMO CENTENA O CUADRADO DE CUALQUIER VARIABLE)
4) DE IGUAL FORMA PODRAMOS OBTENER LAS FRACCIONES Y SUS RESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE AC OTRAS VARIABLES)
143
5) PARA LA TRIGONOMETRA: RECORDEMOS QUE
Y QUE POR TEOREMA DE PITGORAS EN UNA CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO IGUAL A
1) ENTONCES
144
6) Y SE PUEDE LLEVAR AL CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA APROXIMACIN AL CONCEPTO Y COMPRENSIN DEL MISMO.
VEAMOS EN FORMA PRCTICA.
NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO:
- +
+ -
145
A) OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS:
1) 5+3=
DISPONGO UN RECTNGULO DE 5 UNIDADES EN EL I III CUADRANTE POR ESTAR POSITIVO.
A CONTINUACIN, DISPONGO UN RECTNGULO DE 3 UNIDADES.
LA RESPUESTA SER UN RECTNGULO DE 8 UNIDADES. (SIMPLE! VERDAD?)
146
2) (-5) + (4) DISPONGO LOS
RECTNGULOS EN LOS CUADRANTES SEGN SUS SIGNOS.
OBSERVO QUE 4 POSITIVOS SE ANULAN CANCELANCON 4 NEGATIVOS DANDO COMO RESPUESTA 1 NEGATIVO.
147
3) (3) POR (-2)
UN FACTOR LO COLOCO EN UN SEMIEJE POSITIVO (X)
EL OTRO EN UN SEMIEJE NEGATIVO (Y)
SE COMPLETA LA FIGURA Y EL RESULTADO SE OBTIENE
CONTANDO EL NMERO DE
CUADROS.
= -6.
148
4) (12) POR (12)
= 144
149
B) OPERACIONES DE FRACCIONES.
1)
COLOCO UNA UNIDAD DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN SEMIEJE (X)
LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL OTRO SEMIEJE (Y)
SELECCIONO UN REA CUYA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN SEXTOS.)
OBSERVEMOS QUE
Y
LUEGO
150
2) COLOCO LAS UNIDADES
FRACCIONADAS EN EL SEMIEJE ADECUADO.
SELECCIONO EL REA DE BASE 4 Y ALTURA 2, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL (QUEDA DIVIDIDA EN DOCEAVOS)
OBSERVEMOS QUE:
Y
LUEGO:
151
TRIGONOMETRA: IDNTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE PITGORAS TENEMOS QUE:
152
Y DIOS NOS DI EL CONOCIMIENTO
Y HABIT ENTRE NOSOTROS 153
PARA EL CLCULO:
1) DADA LA FUNCIN Y= X, SU DERIVADA Y = 1
SE PODRA ENTENDER COMO CUANTAS VECES SE NECESITA EL FACTOR X, PARA OBTENER LA FUNCIN Y= X (EN ESTE CASO 1 VEZ) O TAMBIN DERIVAR LA FUNCIN CON RSPECTO A X (1 Y X ORIGINAN Y= X)
154
2) DADA LA FUNCIN REAL Y= ; SU DERIVADA ___= =2X
AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN REA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS EQUIS (2X).
155
156
157
158
EL LGEBRA SIN LA TORTURA DE LAS LETRAS
SI INDAGAMOS UN POCO SOBRE EL ORIGEN DEL LGEBRA, PODEMOS VISLUMBRAR SUS INICIOS, Y QUIZZ LOS DE LA MATEMTICA MISMA, ESTN EN LA GEOMETRA Y LA ELEMENTAL ARITMTICA.
VEAMOS ALGUNAS CONEXIONES O EVIDENCIAS.
159
AHORA SI, REEMPLAZO LA BASE 10 POR X O POR CUALQUIER LETRA) Y 100 POR
Y AS SUCESIVAMENTE LOGRAMOS DICHA EQUIVALENCIA.
160
FACTORIZACIND)
161
ALGUNOS DE NUESTROS ENCUENTROS Y SUS SOCIOS
162
MS SOCIOS Y MAS ENCUENTROS
163
ENCUENTROS EN EL 2010
164
ENCUENTROS 2010
165
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TEL: 3008262888 / 4631218
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166
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