DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 5 aprile 2013 Rosetta Zan Dipartimento...

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

TFA A048-A049-Matematica

Incontro

5 aprile 2013

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

• Razionalità matematica e altre forme di razionalità

• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

In contesto scolastico

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

L’allievo:• interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’

MISCONCETTI

L’allievo interpreta...

• procedure• termini• simboli• proprietà• concetti

dà loro un ‘senso’

misconcetti

L’allievo interpreta…procedure

Errori sistematici.

Molti allievi sbagliano…

...non perché applicano in modo scorretto procedure corrette

Ma perché applicano (in modo corretto) procedure scorrette!

278- 352- 406- 543- 510- 1023-135= 146= 219= 367= 238= 835 =143 214 213 224 328 1812

Scena 1: Johnnie

437 – 284 =

437-

284=

253

L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia!”

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

A

B C

A

B

C

Le altezze di un triangolo

INFLUENZA DEL LINGUAGGIO • l’altezza di una persona• …di una casa• …di un ponte

MODELLO PRIMITIVO

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Scena 7: Alice

Deve riconoscere in alcuni enunciati l’ipotesi e la tesi.

Sistematicamente, riconosce come ipotesi quella che invece è la tesi.

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Scena 6: Marco

Deve moltiplicare x + 1 per x +2:

x + 1 (x+2) =

= x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Il segno di uguale

“In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?”

1063 + 217 = 1280 – 425 = 855

“4 + 5 = 3 + 6”

‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un altro problema!’

“4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.

Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto quest’estate?

30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97

"Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?"

giugno luglio agosto settembre

Il segno di uguale

Una discussione in classe

CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA?

• INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" , quel segno lì in matematica che significa?

• ILA: Vuol dire che viene il risultato.

• LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato.

• GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così

• INS: E se io scrivo 8=8 va bene?

• GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce…

…devi metterci anche qualcosa.

Scena 9: Irene

Irene, prima liceo classico:

x2 = 3x - 2

x2 + 3x + 2 = 0

… e trova quindi le due soluzioni.

Irene

“Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano!

Mi adeguo senz’altro.

Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di un’equazione, non cambia niente!”

L’uso delle lettere

Scrivi un’equazione usando le variabili S e P per rappresentare il seguente enunciato: ‘In questa università gli studenti sono 6 volte i professori’. Usa S per il numero degli studenti, e P per il numero dei professori.

In un gruppo di 150 matricole di Ingegneria il 37% non scrive l’equazione corretta S=6P. L’errore più comune è: 6S=P.La percentuale di errore cresce al 73% in una versione del problema in cui il rapporto professori / studenti è 4:5 invece che 1:6.

In uno studio successivo viene utilizzata una versione modificata del test originario (Rosnick, 1981). Tale versione viene data ad un gruppo di 33 studenti che seguono un corso di statistica e a 119 studenti di scienze sociali in un corso di calcolo al secondo semestre:

In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. Questo fatto è rappresentato dall’equazione: S=6P.a) In questa equazione, cosa sta ad indicare la lettera P?i) Professoriii) Professoreiii) Numero dei professoriiv) Nessuna delle risposte precedentiv) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)vi) Non sob) Cosa sta ad indicare la lettera S?i) Professoreii) Studenteiii) Studentiiv) Numero degli studentiv) Nessuna delle risposte precedentivi) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)vii) Non so

22 %

L’allievo interpreta…concetti

misconcetti la moltiplicazione fa “ingrandire”

un numero è negativo nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno “-”

insieme

Modelli primitivi (E. Fischbein)Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta • Operando: può essere un numero positivo

qualsiasi,• Operatore: deve invece essere un numero intero

si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65

…ma 0,65 volte 3 ???

la moltiplicazione “fa ingrandire”

PROBLEMA 1Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina.

Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano?

PROBLEMA 2Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente?

35%

76%

• Dare una definizione di tangente al grafico di una funzione.

TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Modello primitivo di tangente

A

Il disegno può portare a costruire un’immagine per il concetto di tangente in altri casi quali:

concept image concept definition

P

• Quando gli studenti seguono un corso di analisi ricevono in genere una definizione formale di tangente in un punto al grafico di una funzione derivabile come retta passante per quel punto con pendenza uguale alla derivata della funzione nel punto.

• Nonostante questo, il loro modello di tangente, costruito attraverso esperienze che hanno coinvolto figure come le precedenti, può contenere elementi ‘parassiti’: ad esempio il vincolo che una tangente può incontrare una curva in un punto solo e non può attraversare la curva in quel punto.

• Questo modello (o per usare le parole di Vinner: concept image) è confermato dalle risposte date alle seguenti domande da 278 studenti che seguivano un corso di analisi al primo anno di università:

Di seguito sono disegnate tre curve.

Su ognuna di esse è scelto un punto P.

Per ognuno dei tre casi scegli l'affermazione che ti sembra corretta fra le tre elencate sotto, e segui le istruzioni fra parentesi.

A. Per P è possibile condurre esattamente una tangente alla curva (disegnala).B. Per P è possibile condurre più di una tangente (specifica quante: due, tre,

infinite. Disegnale tutte se sono in numero finito, ed alcune se sono infinite).C. Per P è impossibile condurre tangenti alla curva.

In contesto scolastico

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

L’allievo:• interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’

MISCONCETTI

ITALIANO

Verbi riflessivi:Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio.Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

Come?

• Cercare di scardinarli

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

1. Indicatori: Errori sistematici

Strategia: chiedere la collaborazione dell’allievo nel descrivere i propri processi di pensiero

2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano

3. Questionari

2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano

Il giardino di Torquato?

fornisce una relazione approssimativa fra n e P, dove:

n = numero di passi al minuto, e

P = lunghezza del passo in metri

Dalle prove PISA. ‘Andatura’

La figura mostra le orme di un uomo che cammina.

La lunghezza P del passo è la distanza fra la parte posteriore di due orme consecutive.

Per gli uomini, la formula 140P

n

- Domanda 1:

Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico?

Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.

140P

n n = numero di passi al minuto

P = lunghezza del passo in metri

Risultati (Italia):

23% risposte corrette

35% omissioni

- Domanda 1:

Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico?

Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.

140P

n n = numero di passi al minuto

P = lunghezza del passo in metri

70 / P = 140 Errore più frequente:

140 / 70

3. Questionari

positivo negativo dipende

a2 + 1 è un numero

a2 - 5 è un numero

aaa + 3 è un numero

a è un numero

3000+ a è un numero

- 5 a2 è un numero

- a è un numero

Negli esempi che seguono a è un numero diverso da zero. Allora:

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

• Cercare di scardinarli

• Rendere gli allievi consapevoli

• Costruire situazioni di ‘conflitto cognitivo’

• Discussione collettiva

Alcune implicazioni generali

1. Il ruolo del contesto

2. Il ruolo dell’errore:2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore

2.2 L’interpretazione dell’errore2.2.1 Distinzione errore / fallimento

2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

COMPITO PER CASA

Riflettere:• sulla distinzione fra errore e fallimento•sulle implicazioni di tale distinzione

errore / fallimento

In contesto scolastico:

Un soggetto: l’insegnante

riconosce il fallimento…

ed individua i comportamenti fallimentari

di un altro soggetto: l’allievo

L’insegnante…

• Vuole che l’allievo modifichi i suoi comportamenti fallimentari

• Cioè i comportamenti che secondo l’insegnante lo hanno portato…

• …al fallimento riconosciuto dall’insegnante stesso

l’insegnante vuole che l’allievo modifichi i propri comportamenti

INSEGNANTE ALLIEVO

ma è l’allievo che deve modificarli

!

implicazioni didattiche

Se l'allievo si è posto un obiettivo diverso, o non si è posto alcun obiettivo, non necessariamente condivide il fallimento osservato dall'insegnante.

E se d’altra parte non riconosce un fallimento, per quali motivi dovrebbe cambiare i propri comportamenti?

OSSERVAZIONE 1

l’insegnante ha in mente un obiettivo interno alla matematica

(trovare l’ipotenusa, le soluzioni di un’equazione, …)

INSEGNANTE ALLIEVO

l’allievo si pone un obiettivo esterno alla matematica

(dare la risposta giusta, prendere un buon voto, …)

Spesso…

• L’allievo non riconosce il fallimento individuato dall’insegnante perché si è posto un obiettivo diverso

OBIETTIVO: dare la risposta corretta

Esempio: Marco

Deve moltiplicare x + 1 per x +2:

x + 1 (x+2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

per l’insegnante… ci sono 2 errori!

…per Marco l’obiettivo è stato raggiunto

ERRORE FALLIMENTO

Inoltre non è detto che l’allievo condivida l'individuazione dei comportamenti fallimentari.

E d’altra parte lui vorrà cambiare i comportamenti che lui stesso (e non l’insegnante) riconosce come fallimentari…

OSSERVAZIONE 2

Esempio 1: Se l’allievo ha copiato male il compito da un compagno bravo…

…e non ha risolto correttamente gli esercizi

Deve studiare / esercitarsi di più, meglio…

Devo copiare meglio…

Comportamenti fallimentari: Non aver studiato Aver copiato male

Esempio 2: Risposte a caso…

• Per l’allievo il comportamento fallimentare è:

Aver dato quella particolare risposta

• Per l’insegnante.

Aver risposto a caso

…cambia la risposta!

APPROFONDIMENTO:Le ricerche sui processi

decisionali

Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche.

a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby

b) Luigi fa l’architetto

c) Luigi fa il contabile

d) Luigi suona per hobby musica jazz

e) Luigi ha l’hobby del surf

f) Luigi fa il giornalista

g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz

h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo

Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari.

a) Linda insegna in una scuola elementare

b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga

c) Linda è attiva nel movimento femminista

f) Linda lavora in una banca

d) Linda è un’assistente sociale

e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile

h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista

g) Linda è un agente assicurativo

La roulette russaSei persone si sfidano alla roulette russa

usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto.

(1) Secondo te qual è la posizione più sicura?50%: la prima23%: sono tutte equivalenti

(2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima40%: l’ultima

Tversky e Shafir, 1992 1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame

universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto.

Che decideresti di fare?

Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse:2) di essere stato promosso3) di essere stato bocciato

1) Situazione di incertezza2) Sa di essere stato promosso3) Sa di essere stato bocciato

incerto

C

C

C

C

N

N

N

N

C

N

C

N

C

N

C

N

C

C

N

N

C

C

N

N

promosso bocciato C = compra

N = non compra

Le terne possibili:

Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo.

- - - - n d o

oppure più parole che hanno una n in terza posizione:

- - n - - - - ?