View
349
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
Poglavlje 3aZADACI IZ DIFERENCIJALNIH JEDNACINAPod diferencijalnom jednaeinom n-tog reda (n EN), podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika(1)F(x, y, yl, ... , y(n») = 0,pri cemu je nepoznata funkcija y = y(x) n-puta diferencijabilna na nekom intervalu (a, b). Reiiiti ovakvu diferencijalnu jednaeinu znaei naei bilo kakvu funkciju y = y(x) koja je identicki zadovo Ijava. Broj n se tada naziva redom date diferencijalne jednaeine. Tako postoje diferencijalne jednaeine prvog, drugog, treeeg
Citation preview
Poglavlje 3a
ZADACI IZ DIFERENCIJALNIH
JEDNACINA
Pod diferencijalnom jednaeinom n-tog reda (n EN), podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika
(1) F(x, y, yl, ... , y(n») = 0,
pri cemu je nepoznata funkcija y = y(x) n-puta diferencijabilna na nekom intervalu (a, b). Reiiiti ovakvu diferencijalnu jednaeinu znaei naei bilo kakvu funkciju y = y(x) koja je identicki zadovoIjava.
Broj n se tada naziva redom date diferencijalne jednaeine. Tako postoje diferencijalne jednaeine prvog, drugog, treeeg reda itd.
U nastavku resavaeemo neke jednostavnije tipove diferencijalnih jednaeina i to pre svega diferencijalne jednaeine prvog reda koje osim promenljive x i nepoznate funkcije y = y(x) sadrze jos sarno prvi izvod y'(X) nepoznate funkcije y(x). Dakle to su jednaeine oblika
F(x, y, y') = o.
1. Diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive
Pod diferencijalnom jednaeinom koja razdvaja promenljive podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika
(1) y' = f(x-)g(V),
pri cemu je f(x) data neprekidna funkcija na nekorn intervalu (a,b) i g(y) je data neprekidna funkcija na nekom intervalu (c, d). Ovakva diferencijalna jednaeina pod pretpostavkom da je g(y) i' 0 na intervalu (c, d) moze se napisati u obliku
dyd; = f(x)g(y),
-152
odnosno
Odavde primenom
tj.
(2)
pri cemu je C proizvoljna Dobijena jednaeina Ako se pritom jedDI
naei inverzna funkcija G-
Cime resenje date diferenc:i
Zadatak 1. 1l
i naci njeno partikular
Resenje. Ova di
pn cemu je f(x) =
jednacinu kaja razdvaj Aka datu jednaei
integracijam leve i desr
tj.
153
l
3. DIFERENCI.JALNE JEDNACINE
odnosno dy
- = f(x)dx.g(y)
Odavde prirnenom integracije dobijamo da je
! ~ = !f(x)dx,g(y)
tj.
(2) C(y) = F(x) + C.
pri cemu je C proizvoljna realna kOllstanta. Dobijena jednaeina (2) definise opste reiienje jednaeine (1) u implicitnom obliku. Ako se pritom jednaeina (2) moze eksplicitno reiiiti po y, tj. ako se iz nje eksplicitno moze
naii inverzna funkcija C- l , dobijarno da je
y = C-I(F(x) + C),
Cime resenje date diferencijalne jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku.
inu Zadatak 1. Resiti diferencijalnu jednacinu
, y y = --,
X
siti i naci njeno partikularno rdenje koje zadovoljava uslov y(l) = 2. YO-
Resenje. Ova diferencijalna jednaCina moze se napisati u obliku me
ega y' = -~y = f(x)g(y), X
IrZe
pn cemu je f(x) = -l/x; g(y) = y, pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive.
Ako datu jednaeinu napisemo u obliku:
dy 1 . dy dx -d = --y, tJ.
X X Y X
integracijom leve i desne strane dobijamo da je oju
Jdy = -J dX, Y .7:
tj.dna
je lnlyl = -In Ixl + c, Iyl = e- 1n jxl+C = eln Th+c =
= cCClll I;', =
_C(~\_C~ ,C\ ;> 0). - 1 ~ [xi) - IX!
154 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
odnosno C
y= (CyfO,xyfO). X
Kakoje Y = 0 takodje resenje ove jednatine, dobijamo sa je opste resenje posmatrane jednaCine y = C/x za proizvoljnu konstantu C E R i za svako x ;;eO.
Iz ovog opsteg resenja date diferellcijalne jedllatine i iz uslova da je y(l) =,2, dobijamo da jc C = 2, pa traicno partikularuo resenjc date difcrencijaillc jcdnatillc glasi:
2 Yo(x) = -.
x
Zadatak 2. Resiti diferencijalnu jednacinu
Resenje. Data diferencijalna jednatina se moze napisati u obliku
(1)
odnosno dy dx (y+ 1)2'
pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive, pri cemu je
1 g(y) = (y + 1)2
Iz jednatine (1) integracijom nalazimo da je
j(Y+ 1)2dy = - j x 3 dx,
(y+ 1)3 x 4
3 = -4+ C,
3 3 4 3x4
(y + 1) = -4x + 3C = -4 + C I ,
y + 1 = (-3x4 /4 + C)I/3,
Y = -1 + (C - 3x4 /4)1/3 (C E R).
Zadatak 3. Resiti diferencijalnu jednacinu ~
ydx + (x2 - 4x) dy = o.
patakodje Aka I
neposredIw
tj.
Kako
dobijamo d
Odav(
Pod bo jfJdnKinu obIi
(1)
-----
155 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
ReSenje. Data diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku
(x2 - 4x) dy = -yd3J,
dy _ Y /je dx - - x2 - 4x' /I. 2. pa takodje predstavIja diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenIjive.
it' Ako ovu jednaeinu napisemo u obliku
dy dx Y x2 - 4x'
neposredno nalazimo da je
dy J dx J dx J 11 = - x2 - 4x = - x(x - 4)'
tj.
J dx In Iyl = - (xx-4)"
Kako je daIje
1 x - (x - 4) 1 1 1 x(x - 4) 4x(x - 4) 4x-44x'
dobijamo da je
IJ dx IJdXIn Iyl = - - -- + - - = )ri 4 x-4 4 x
1 1 = --Inlx - 41 + -Inlxl =
4 4 1 x
= -Inl-I +c=4 x-4 Ixl ) 1/4
= In ( Ix _ 41 + c.
Odavde najzad dobijamo da je
1Iyl = C1 Vlxl: 41' (C1 > 0),
y=C2V1x:41 (x#4, C2 E R).
2. Homogena diferencijalna jednaCina
Pod homogenom diferencijalnom jednaeinom podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednatinu oblika
(1) y' = !(x,y),
156
K
P,
odakle j
dobij3111
ij.
PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2
pri cemu je f(x, y) homogena funkcija stepena k (k E No), tj. ima osobinu vaja pl'l
f(tx, ty) = t k f(x, y).
Svaka takva jednaeina se uvodjenjem smene y = xz, pri cemu je z = z(x) = y/x nova
nepoznata funkcija, svodi na diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenljive (sa nepoznatom
funkcijom z(x».
Zadatak 4. Rditi dijerencijalnu jednacinu
(2x + 3y) dx + (y - :.1:) dy = O.
Resenje. Data difcrenc~jalnajednaNna se maze napisati u oblikll pri Cem
dy 2x + 3y dx y-x
odnosno
y' = j(x, y),
pri cemu je
j(x, y) = 2x + 3y. x-y
Kako je pritom funkcija j(x, y) homogena funkcija stepena 0 jer je
_ 2tx + 3ty _ 2x + 3y _ 0j( )j(tx, ty) - . -_. - t x, Y , tx - ty x - Y
data diferencijalna jednaeina predstavlja homogenll diferencijalnu jednaCinu. Ako sOOa uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je
y' = (xz)' = z + xz',
odaklc zamenom u datoj jednaCini oua postaje
, 2x + 3xz 2 + 3z z+xz= =---,
x - xz 1 - z
, 2 + 3z - z + z2 + 2 + 3z xz = -z + --- = ------
1-z 1-z , Z2 + 2z + 2
xz - ----- l--;z '
odnosno , 1 z2 + 2z + 2
z =-----x 1- z
157 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
Poslednja jednaeina oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenljive. Ona se moze napisati u obliku
1- z dz _ dx z2 + 2z + 2 - x'
odakle je integracijom 1-z d JdXJ z2 + 2z + 2 z = ~.
Kako je daljc
1-z (z + 1) 2-t2
Z2 + 2z + 2 (z + 1)2 + 1 t 2 + l'
pri cemu je t = z + 1, i pritom je
2-t 2 t
t 2 + 1 t2 + 1 - t 2 + l'
dobijamo da je integral sa leve strane poslednje jednaeine jednak
1 J = 2arctgt - 2ln (t 2 + 1) =
1 = 2arctg (z + 1) - 2"ln ((z + 1)2 + 1).
Odavde dobijarno da jednaCina po z postaje
2arctg (z + 1) - ~ln ((z + 1)2 + 1) = lnx + C (C E R),
tj.
2arctg (~+ 1) - ~ln ((~ + 1)2 + 1) = lnx + C (C E R). x 2 x
Zadatak 5. Resiti diferencijalnu jednacinu
(x - y)ydx - x 2dy = O.
Resenje. Data diferencijalna jednaCina se moze napisati u ohliku
x 2 dy = (x - y)ydx,
tj. dy (x-y)y
= dx x2
158 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Kako funkcija Za =(X-y)y
f( x,y) 2 X
ima osobinu da je R.e
- (tx - ty)ty _f( )tx, ty - (tX)2
t2(x - y)y (X - y)y tj. t2x2 x2
= f(x,y) (t =I- 0),
Kal zakljucujemo da je f(x,y) homogena funkcija stepena 0, pa data diferencijalna jednacina predstavlja homogenu diferencijalnu jednaCinu.
Ako sada uvedcmo smcnu y = XZ, dobijamo da je y' = Z+ xz', pa zamcnom u oatoj jeonaCini ova jeonaCina postaje hOfiogeDJ
stavlja hL , (x - xz)xz daje y' = z + xz = = (1 - z)z =
x 2
= Z - z2,
tj.
odnosno dz 1 2 -=--z dx x
Poslednja jednaeina predstavlja diferencijalnu jednacinu koja razdvaja promenljive. Iz ove jednaCine dobijamo redom da je
dz dx pa integrl Z2 X
Jdz = -J dX,z2 X
1 -- = -lnlxl + C,
z 1 - = lnlxl + C1 , (C1 E R),z
1 Z=
In Ixl + CJ .
Stat Odavde konaeno dobijamo da je
x (C E R).y = xz = In Ixl + C pri refiu,
159 3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE
Zadatak 6. Resiti diferencijalnu jednacinu
x dy - y dx = Vx 2 + y2 dx.
Resenje. Ova diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku
x :~ = y + Vx 2 + y2,
tj.
y' = y + J x2 + y2
X
Kako se daIje neposredno moze videti da je fnnkcija
=y+vx2+y2f( x,y) ,
x
homogena funkcija o-tog stepena, data diferencijalna jednaeina takodje predstavIja homogenu diferencijalnu jednaeinu. Ako uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je y' = z + xz', pa zamenom n datoj jednaeini dobijamo jednacinn
, xz + v'x2 + x 2Z2 Z + xz = ------
x
=xz+x~ =z+~. x
Odavde je
xz'=~,
dz ~ x- = 1 + z2 dx '
dz dx
v'1 + Z2 x
pa integracijom dobijamo
In (z + ~) = In Ixl + c, z +)1 + Z2 = elnlxl+C = C1 1xl, (C1 > 0),
VI + z2 = C1 1xl - z.
Odavde kvadriranjem nalazimo da je
1+ Z2 = (C1x - Z)2 = C~X2 - 2C1xz + Z2,
C2 X 2 -1 ' 2C1xz = C~X2 - 1, z = 1 .
2C1x
Stoga neposredno sledi da je opste resenje date diferencijalne jednaeine:
C2x 2 -1 y = xz(x) = 1 '
2C1
pri cemu je C1 proizvoIjna realna konstanta.
1
160 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
3. Linearna diferencijalna jednaCina prvog reda
Pod linearnom diferencijalnom jednacinom prvog reda podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednaCinu oblika
(1) y' + p(x)y = q(x),
pri cemu su funkcije p(x), q(x) definisane i neprekidne na nekom intervalu (a,b). Ako uvcdcmo funkcije
u(x) =e-fp(xldx,
vex) =!cfp(;CldXq(x)dx =! q(x) dx,u(x)
tada je opste resenje ove diferencijalne jednaCine dato sa
y(x) = u(x)[C + vex)],
pri (,emu je C proizvoljna realna konstanta.
Zadatak 7. Re§iti diferencijalnu jednacinu
y' - (tgx) Y = cosx.
Resenje. Data diferencijalna jednaCina je ocigledno linearna diferencijalna jednaCina prvog reda pri cemu je
u(x) = e- fp(x)dx = eftgxdx = Sinxdx _fd(.C08:r)
=== ef cos x == e cos x == 1 ,
cosx
v(x) = f ~~~~ dx = f (cos x) cosx dx =
1+COS2X2= cos x dx = 2 dx =f f = f d;' +f COS~XdX =
x sin2x = '2+ -4-'
Odavde dobijamo da jc opste rcsenje date diferencijalne jednaCine:
_ 1 f(C x sin 2X)yx( ) --- +-+--,
cos x 2 4
pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.
Be
Za
KaI
Cemu SU
161 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
Zadatak 8. Resiti diferencijalnu jednacinu , y 1
Y - 1- x 2 = + x.
Resenje. Ova diferencijalna jednaeina je takodje linearna i prvog reda, pri cemu su njeni koeficijenti
1 1 p(x) = --1-- = -2--1' q(x) = x + l.2-x x-
Stoga je u(x) = c- fp(x)dx = cf 1~:2.
Kako je daIje
1 l+x+(I-x) 1 1
1- x 2 2(1 - x 2 ) = 2(1 - x) + -=-2("-'-I-+-x--'-) '
dobijamo da je dX IjdX IjdX
j 1 - x2 = 2 1 - x + 2 1 + x = 1
= In .JT=X + In vT+X = I-x
=InJl+X. I-x
Odavdc jc
InJ'+x /fg+x1l(x) = C I-x = --. I-x
DaIje je:
q(X)dX j~-Xv(x) = -(-)- = --(1 + x) dx = j u x 1 +x
= j VI=XvT+Xdx= j ~dx. Kako je sada podintegralna funkcija definisalla samo za vrednosti Ixl < 1
mozemo da llvedcmo smenu x = sin t, hme dobijamo sIcdece:
j ~dx = j Vl- sin2 t costdt =
2= j (cos t)(cos t) dt = j cos t dt =
= j 1 + ~os 2t dt = j ~t + j cos ~t dt =
t sin 2t = 2+-4- =
arcsin x sin t cos t ---+---
2 2 arcsin x x~
= 2 + 2 .
162 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Odavde sledi da je resenje date diferencijalne jednacine
y(x) = u(x)(C + v(x)) =
= J1 + x (C xv'f=X2 arcsin .T)I-x + 2 + 2 '
pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.
Zadatak 9. Nab opste resenje diferencijo,lne jednacine
X y' + y - eX = 0,
kao i parlikulamo rdenje koje zadovoljava uslov y(l) = 1.
Resenje. Kako se data diferencijalna jednaCina moze napisati u obliku
x , I e y + -y=-,
x x
ona je ocigledno linearna diferencijalna jednacina prvog reda, pri cemu je
1 eX p(x) = -, q(x) = -.
x x
Odavde je:
u(x) =e-!p(x)dx =e-!~dx =
= e -In X = e1n ~ = ~ , X
I q(x) I eX I xv(x)=. u(x)dx=. x-;;dx=. eXdx=e ,
pa je opste reSenje date diferencijalne jednaCine:
y(x) =u(x)[C+v(x)] = ~[C+eX]. x
Najzad iz uslova da je y(l) = 1 dobijamo da je
C + e = 1, C = 1 - e,
pa je traZeno partikularno resenje
I
~
163 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
4. Bernulijeva diferencijalna jednaCina
Pod Bernulijevom difercncijalnotl\ jedml.i;iuotl\ podrazunwvamo bilo koju diferencijalnu jcdnaCinu oblika
y' + p(x) y = q(x) y"',
pri cemu su p(x), q(x) date neprekidne funkcije na nekom intervalu (a,b) i Q # 0; 1 (broj Q nije jednak ni 0 niti 1). Ova diferencijalna jednacina se svodi na linearnu diferencijalnu jednacinu prvog reda smenom
1 y(x) = Z T"="<;,
pri cemu je z = z(x) nova ncpoznata funkcija.
Zadatak 10. Relliti dijerencijalnu jednai'imL
, 4Y = -y+x.jY.
X
Resenje. Data diferencijalna jednaeina je oCigledllo Bernulijeva sa koeficijcntima
4p(x) = --, q(x) = :1:,
x
Ako uvedemo smenu
1 1 1 2Y = z T"="<; = Z 1-1!2 = z 172 = z ,
sledi da je y' = 2z z'.
Stoga zamenom data jednaeina postaje
I 4 22zz = -z +xz. x
.leono rcsenje ove oiferencijalne jeonai"inp jP oi"igleono Zl (x) == 0, ooaklc jc
Yl(X) = zi(x) == O. Drugo resenje nalazimo iz uslova da je
, 4 I 2 x2z = -z+x, z - - z = -.
x x 2
Poslednja jednaCina je linearna diferencijalna jednaCina. Ako uvedemo funkcije:
'f 2 dx 2 f dx 21 2u(x)=e- -x-=e x=c nx=x,
x Jdx 1v(x)= 2-d.r= -=-Inx,J1 x 2 2.1: 2
dobijamo da je
2 In X) 4 IIlX)2z(x) = x (C + 2 ' Y = Z2 = x ( C + 2 '
164
pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.
Zadatak 11. Resiti dijerencijalnu jednacinu
,y 2 Y + - = -xy
x
Resenje. I ova jednaeina .ie oCigledno Bmnulijeva pri (-pmu .ip a = 2. Ako uvedemo smenu:
11 1 1 -_0.0-:- 1y :::=: z~ == z12 == z-=l' :
z sledi da je
, z' y = _0 z2'
Stoga zamenom data diferencijalna jednacina postaje
z' 1 x --+-=-z2 xz z2'
odnosno , z
z - - = x. x
Dobijena diferencijalna jednacina je linearna, pa uvodimo funkcije:
J - d", J dx 1 xU ( ) X = e- -x- = e x = en. = x,
v(x) = ~ xdx = dx = x..I JStoga je
z(x) = x (C + x) = x2 + ex,
pri cemu je C proizvoljna realna konstanta. Odavde dobijamo da je opste resenje date diferencijalne jednacine:
1 1 y (x) = - = ----=----=.,- (C E R).
z(x) x 2+ Cx
Zadatak 12. Resiti dijerencijalnu jednacintL
y' + 2 x y + X y4 = o.
Resenje. Data diferencijalna je~naCina je takodje Bernulijeva sa parametrom Cl' = 4. Ako uvedemo smenu
1 1 1 1Y = z-r:=<> = zT=4 = Z-3 = Z-3,
Daljl
dobijamo
Stoga zam
------------3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE 165
dobijamo da je 1y' = -- z-4/3 z'. 3
Stoga zamenom data diferencijalna jednaeina postaje
ko DaIje mnoienjem sa z4/3 dobijamo jednacinu
-31
z' + 2x z + x = 0,
odnosno jednaCinu z' - 6x z = 3x,
dakle linearnu diferencijalnu jednaCinu prvog reda. Odavde je
u(x) = c-f(-6x)dx = c6 fxdx = c 3x2 ,
3x2 3x2v(x) = f e- . (3x) dx = -~ f e- d( -3x2
) =
= -~ feu du = _~eU (u = -3x2 ),
1 2= __e-3x
2 '
= Ce3x2z(x) = e 3x2 (C _~e-3x2) _ ~.
Stoga je opste resenje date difercncijalne jednai':ille
oje
5. Diferencijalna jednacina sa totalnim diferencijalom
Pod diferencijalnom jednahmo sa totalnim diferencijalom podrazumevamo bilo koju dife"encijalnu jednacinu oblika
(1) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
pri cemu su funkcije P(x,y), Q(x,y) diferencijabilne na nekom pravougaoniku a < x < b, c y < d i vaZi uslov
(2) P~(x, y) == Q~(x, V). K't-
Pod navedenim uslovima pokazuje se da postoji diferencijabilna funkcija u(x,y) (a < x <: b, c < Y < d) (tzv. potencijal posmatrane jednaCine) takva da vaZi
u~ == P(x, V), u~ == Q(x, V),
:
166 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
tj. identicki je ispunjeno
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = u~ dx + u~ dy = du(x, y).
Stoga data diferencijalna jednacina postaje
du(x, y) = 0, tj. u(x, y) = C.
Poslednja rclacija eksplicitno opisuje sva resenja y = y(x) ove diferencijalne jednaeine.
Zadatak 13. Resiti diferencijalnu jednacinu
Resenje. Ova diferencijalna jednaCina je oblika (1) pri cemu je
Kako je
p~ = ~ (3x2 + 6xy2) = 12xy,
Q~ = d~ (6x2 y + 4y3) = 12xy,
imamo da je p~ == Q~, pa ova jednaCina predstavlja difcrcncijalnll jednaCinll sa totalnim diferencijalom (TD). Stoga postoji njen potencijal u(x, y) takav da je
u~(x, y) = P(x, y) = 3x2 + 6xy2,
u~(x, Y) = Q(x, y) = 6x2y + 4y3.
Iz prve jednaCine
u~ = 3x2 + 6xy2,
intcgracijom po x dobijamo da je
pri ccmu jc f(y) izvcsna funkcija po y. Odavdc sledi da je
u~ = 6x2y + f'(y) = 6x2y + 4y3,
J'(y) = 4y3, f(y) = y4 + C,
odakle je zamenom: u(x, y) = x 3 + 3x2 y2 + y4 + C.
Odavde neposredno dobijamo da r~senje date diferencijalna jednaeina moze da se napise u obliku
odnosno
pri cemu je ~
Osimt po y = y(x).
Zada
Re§eq
Stoga data ( jalom.
Njen 1>4
Iz prvq
paje
Stogaj4
Odavde
pri cemu jf' C ~apom(
feSiti po y =
167
odnosno
3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
pri remu je C2 proizvoljna reallla konstanta. Osim toga, nije tesko videti da poslednjajednaCina moze da se resi eksplicitno
po y = y(x).
Zadatak 14. Resiti diferencijalnu jednacinu
(x + y) dx + (x + 2y) dy = O.
Resenje. Ovde ccmo imati da jc
P(x,y) =x+y, Q(x,y) =x+2y,
P~ = .!£(x + y) == 1,dy
Q~ = d~ (x + 2y) == 1,
P'-Q'y = x'
Stoga data diferencijalna jednacina predstavlja jednaeinu sa totalnim diferenci
1 sa jalom.
e Njen potencijal u(x, y) nalazimo iz uslova da je
u~ = P(x,y) = x+y, u~ = Q(x,y) = x+2y.
Iz prvog uslova sledi da jc
2x u(x, y) = 2 + xy + f(y),
pa je
u~ =x+!'(y) =x+2y.
Stoga je f'(y) = 2y, f(y) = y2 + C, pa zamenom sledi da je
2xu(x,y) = 2 + xy + y2 + C.
Odavde sledi da je opste resenje posmatrane diferencijalne jedllabne dato sa
2x2 +xy+y'2 = C,
DoZe pri cemu .if' C proizvoljna rcalna konstanta.
Napomenimo da .ie oCiglcdno da se i poslf'dn.ia jednaCina mo7.c f'ksplicitno resiti po y = y(x).
,
]
168 PREDAVANJA 1 VEZBE 1Z MATEMATIKE 2
Zadatak 15. ReSiti diferencijalnu jednaCinu pricemusujigd Ako stavim<J
2xdx y3 - 3x2 dobijamo lineamu -3- + 4 dy=O. x = x(p,C), tada 0y y
(2)
Resenje. Ovde cemo imati da je Osim toga, J:
lama reSenje oblika 2x y3 _ 3x2
P(x,y) = 3' Q(x,y) = 4 ' y Y
pri cemu je chilo lEI I 6x
Py = -4' y Zadatak P' - Q'y =- x·
Stugaje i ova diferencijalna jednaeina - jednacina sa totalnim diferencijalom. Potcncijal ovc difcrcncijalne jcdnaeine nalaziwo iz uslova da je:
Resenje. 1 3x2
I () 2x je f(y') = 2y', g( U x = P x,y = 3' u~ = Q(x,y) = - - -4 .
y Y Y
Iz prvog uslova intcgracijom po x dobijamo da je
2 DiferenciraJx u(x, y) = 3 + f(y),
y
odaklc je 3x2 1 3x2
u' = - - + l' (y) = - - -,Y y4 Y y4
1'(y) = ~, f(y) = In IYI + c. y
Odavde zamenom dobijamo da jc
2 Time smo ( xu(x,y) = 3 + In Iyl + c, Njenim resavanje y
pa je opste resenje date diferencijalne jednaCine:
2x3+lnlyl = C, Stogaje opy
pri cemu jc C proizvoljna rcalna konstanta.
6. Lagranzova diferencijalna jednacina Ispitajmo i
larna resenje. Ka Pod Lagranzovom diferendjalnom jednai'inom podrazumevamo bilo koju difercncijalnu
difercllcijailla jL'<ijednai'inu oblika
(1) y = X f(y') + g(y'),
169 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
pri cemu su fig date diferencijabilne funkcije. Ako stavimo y' = p, sledi da je dy = y'dx = pdx, i diferenciranjem jednacine (1) po x
dobijamo lineamu diferencijalnu jednaeinu prvog reda po x = x(p). Ako je njeno opste rffienje x = x(p, C), tada opste resenje jednaeine (1) dobijamo u sledeeem parametarskom obliku:
(2) x = x(p,C), y = x(p,C) f(p) + g(p) (p E R).
Osim toga, pokazujc se da Lagranzova difcrcncijalna jcdnaCina moze da ima i tzv. singulama rffienjc ohlika
y = f(c) x + g(c),
pri cemu je chilo koji koren jednaCinc f(c) = c.
Zadatak 16. ReJiti diferencijaln1l jednai'inll
y = 2x y' + in y'. [OIll.
Resenje. Data diferencijalna jednaCina je oCigledno Lagranzova, pri cemu je f(y') = 2y', g(y) = In y'. Ako stavimo y' = p, ona postaje
y = 2xp + lnp.
Diferenciranjem poslednje jednacine po x nalazimo da je
dy = pdx = 2p(dx) + 2x dp + dlnp,
dppdx + 2xdp + - = 0,
P dp dp
dx + 2x - + - = 0,P p2
dx 2 1 -+-x=--.dp P p2
Time smo dobili linearnu diferencijainu jednacinu prvog reda po x = x(p).
Njenim resavanjem dobijamo da je
1 C x(p) = -- + - (C E R).
P p2
Stoga je opste resenje date diferencijalne jednaCine:
1 C 2C x = -- +- y = inp+ - - 2.
P p2' p
Ispitajmo jos da Ii ova diferencijalna jednacina eventuaino poseduje singlllarno resenje. Kako jednaCina f(c) = 2c = c ima resenje c = 0, dobijamo da data
jalnu difcrencijalna jcdnaCina ima singularno rcScnjc
y = f(O) x + g(O) = 2·0· x + In (0).
.
170 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Medjutim, kako In 0 nije dcfinisano, zakljucujemo da data diferencijalna jednacina nema singularnih resenja.
Zadatak 17. Re.5iti diferencijalnu jednacinu
3, , y = -xy +cY •
2
Resenje. Data diferencijalna jednaCina je takodje Lagranzova, pri <'emu je f(y') = ~y', g(y') = eY'. Ako stavimo y' = p, ova jednacina postaje
pa diferenciranjcm po x slcdi:
, 3 3 dy = y dx = p dx = - p dx + -:r dp + eP dp,
2 2 Pdx 3x dp ~1J d-2- + -2- + e- p = 0,
pdx + 3xdp + 2eP dp = 0,
dx p dp + 3x + 2eP = 0,
dx 3 eP -+-x=-2-. dp p p
Dobijena diferencijalna jednaCina je linearna diferencijalna jednacina prvog reda po x = x(p). Njenirn resavanjern dobijamo da je
x(p) = :.' (C + (p2 - 2p + 2)eP).
Stoga je opste resenje date diferencijalne jedllacine:
x(p) = p~ (C + (p2 - 2p + 2)eP) ,
y(p) = 2;2 (C + (p2 - 2p + 2)eP) + eP.
Dalje cerna posrnatrati jednaCinu
3 !(c)=2'c=c.
Kako ova jednaCina irna jedno jed,Jnstveno resenje c = 0, data diferencijalna jednaeina imaee singularno resenje
y = j(O)x + g(O) = 0 . x + eO =1,
dalde reSenje
171 3. DIFERENClJALNE JEDNACINE
dakle resenje y( X) == 1.
7. Kleroova diferencijalna jednaCina
Pod Kleroovom diferencijalnom jedna.cinom podrazumevamobilo koju diferencijalnu jedna.cinu oblika
(1) y = Ty' + g(y'),
pri cemu je g(y') data diferencijabilna fUllkcija. Ona ocigledno predstavlja poseban slucuj Lagranzove diferencijalne jednacine pri cemu je
fly') = yi Stoga se moze koristiti isti metod resavanja kao i kod Lagranzove dieferencijalne jednacine.
Takodje, moze se koristiti i sledeei metod. Poznato je da opste resenje jednaCine (1) glasi
(2) y=Cx+g(C).
Osim toga, Kleroova diferencijalna jedllaCina moze irnati i singularllo resenje koje se dohija iskljucenjem parametra l' iz jednaCina
(3) y = x1' + 9(1'), x = -g'(1')'
Zadatak 18. Re.siti diferencijalnu jednacinu
Resenje. Data difp-wnc:ijalna jf'duahna jf' ohgkdno Kkroova pri cmlll .if'
g(y') = ---?-z' tj, g(p) = - ;2' Stoga.if' njf'IlO opstc' wsp-n.ip
1 y = C x + g(C) = C T - C2'
pri CP-ffill .if' C proizvoljna realna konst.anta. Singlilarno resenje date jednaCinc nala:ziffio iz uslova da je
I Y = x P + g(p) = x p - -;-,
p'2
l' (1)':r = - 9' (p) = - ( - p2) = p2
Odavde je
.r
pa zalllCUO[l\ dohijaillo siuguluruo )('scn.ic a ohlikll:
21/3 2/3'.r . 1 "I 'J, 'JY = -:r-,-,.' -- --;--;- = -- '2 I- .1'""
1:' /.) 4"/,J I: :,
( l' 0 1 ._ \) X?/'.') = __ = - !' + 4lI3 I~2 .
172 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Zadatak 19. Resiti diferencijalnu jednacinu
, ,2y=xy+y.
Resenje. Data diferencijalna jednacina je takodje Kleroova, pri cemu je g(y') = y,2, tj. g(p) = p2. Stoga je njeno opste resenje
y=Cx+g(C)=Cx+C2 (C E R).
Singularno resenje date diferencijalne jednaCine nalazimo iz uslova da je
y=xp+g(p) =Xp+p2,
x = ---g'(p) = _(p2)' = -2p.
Odavde je p = -x/2, pa zamenom dobijamo da je
2 (X) ( X)2y=xp+p =X -2" + -2" = 2 2 2x x x
=--+-=--. 2 4 4
Stoga je funkcija y = -x2 /4 singularno resenje date diferencijalne jednacine.
8. Rikatijeva diferencijalna jednaCina
Pod Rikatijevom diferencijalnom jednacinom podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednaeinu oblika
(1) y' +p(x) y2 + q(x) y + r(x) = 0,
pri <'emu su p(x), q(x), r(x) date neprekidne funkcije na nekom intervalu (a, b). Ova diferencijalna jednaeina se u opstem slucaju ne moze resiti pomotu kvadratura. Me
djutim, ako je poznato jedno partikularno reSenje yo(x) ove diferencijaIne jednaeine, onda se ona uvodjenjem smene
1 y=yo+
z svodi na linearnu difcrcncijalnll jednaCinu prvog rcda po nepoznatoj funkciji z(x), pa sc daklc
moze reSiti po funkciji z = z(x), a time i po nepoznatoj funkciji y = y(x).
Zadatak 20. Resiti diferencijalnu jednacinu
ako se zna da je funkcija Yo co, eX jedno njeno partikulamo resenje.
Resenje. Proverimo najpre da Ii je funkcija Yo(x) = eX jedno partikularno resenje date diferencijalne jednaCine. Imacemo da je
yb - Y6 + 2ex Yo = (eX)' - (ex )2 + 2eX(eX) = 2x + 2 c2x= eX _ c = e2x + eX,
pa je funJrcija J jednaCine
KaIIojedl
Odavdeje
173 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
pa je funkcija YO(X) = eX zaista jedno partikularno resenje date diferencijalne jednaCine.
Kako je data diferencijalna jednacina ocigledno Rikatijeva, uvescemo smenu
1 :r 1je Y = Yo + - = e + -. z z
Odavde je 1
y' = eX - - z' z2
pa zamenom data jednaCina postaje:
X I, (;r. 1)2 x(x 1)e - - +;-. + 2c' e +;- = c 2x + eX.z2 Z C
odakle jc sredjivanjem
leo
z' 1 - + = 0, z' + 1 = 0,z2 z
z'=-l, Z=--.T+C (CER).
Odavde sledi da je opste resenje date difNcncijalne jednacinf'
X 1 y=c +C-.T (C E R).
Zadatak 21. Resiti dzjerencijalnu jednaCinu
If'na
y' + y2 _ 2y sin x + sin2 x - cos.r = 0,
klc
ako je poznato jedno partikularno rei3enje Yo (x) Cine.
= sin x ave dijc7'cncijalne jcdn ((
Resenje. Data dif(~rellcijalllajcdllacilla je ociglcdllo Rikatijeva. pet SllH'tl{)!l
Y = 1
Yo + z
. 1 = sm x +
z
no
sledi da je ,
y = cos;/,
Zamenom. data jf'dnahna postajf': ;
z' _2 . ~
( cos:r - ;~) + ( sin.r + ~) 2 - 2 sin ,r ( sin x + ~) + sin2 x - cos T = 0,
174 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Sredj ivanjem, ova diferencijalna jednaCina dobija oblik: odnosno (>' + 2J Kako su I
z' 1--+--0 alna i razlicita.,
z2 z2 - , {e- 2T , eX}, a I
z' = 1, z = x + O.
Odavde sledi da je opste resenje date diferencijalne jednaeine:
pri cemu su Olt~1. 1 Y = Yo + - = SIll X + -0'
z +x
Iii- A2
..
Zadatall pri cemu je 0 proizvoljna realna konstanta.
9. Homogena linearna diferencijalna jednaCina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima ReSenje.
jednaeina drllgOl Pod homogenom linearnom diferendjalnom jcdnaeinom n-tog reda sa konstantnim kodi teristicna jednaC
djentima podrazumevamobilo koju jednaCinu oblika
(1) y(n) + al y(n-l) + ... + an y = 0, . odnosno (>' - 3)2
pri cemu su koeficijenti al, . .. ,an dati realni brojevi. .cIakle realna i jI Diferencijalnoj jednaeini (1) pridruzuje se odgovarajuca kamkteristicna jednacina
Je'ienja {e3x ,
(2)
koja, kao sto je poznato uvek ima n realnih iii kompleksnih resenja UfaeunavajuCi tu i njihove visestrukosti.
Ako je pritom >"0 realan koren jednaeine (2) algebarske visestrukosti m, onda funkcije Zadatak
formiraju odgovarajuci deo fundamentalnog sistema reSenja pnsrnatrane jednacine. Ako je >"0 = Q + i ,8 ({3 # 0) kompleksan koren jedna6ne (2) algebarske visestrukosti m,
onda je odgovarajuCi deo fundamentalnog sistema reSenja formiran od funkcija ReSenje. 4 me"'''' cos{3x, e"'''' sin{3x, xe"'''' cos{3x, xe"'''' sin{3x, ... , x - 1 e"'''' cos{3x, 'jalna jednaCil
xm-1e"'''' sin{3x. karakteristiCm
Opste resenje jednaeine (1) dobija se onda kao linearna kombinacija funkcija iz fundalllen
talnog sistema resenja imajucu u vidu sve korene karaketristicne jednaeine (2).
= -4. Oda Zadatak 22. Naci opste resenje diferencijalne jednacine Stoga je od.t!
{cos 2%, sin 2: y" + y' - 2 y = O.
Resenje. Data difcrcllcijalna jedllaCilla jc oeigledno hOlllogclla lillearna diferencijalna jednaeina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi: Zadatak
>.2 + >. _ 2 = 0,
x
175 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
odnosno (A + 2)(A - 1) = O. Kako su resenja karakteristicne jednaCine Al = -2, A2 = 1, dakle re
alna i razliCita, odgovarajuci fundamenatlni sistem resenja date jednacine bice {e- 2x , eX}, a odgovarajuce opste resenje
-2x C xyx=() CIe + 2C,
.pri cemu su C1 ,C2 proizvoljne realne konstante.
Zadatak 23. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
y" - 6y' + 9y = O.
Resenje. I ova diferencijalna jednaCina je hOlllogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstalltnilll kodicijentillla. Njena odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi
A2- 6A + 9 = 0,
odnosno (A - 3)2 = O. Stoga su resenja ove karakteristicne jednaCinc Al = A2 = 3, dakle realna i jednaka. Odavde sledi da je odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja {e3x , x e3x }, a opste resenje date jcdnacine
Zadatak 24. Nati opste rcSenje difeTencijalnc jcdna(:inc
y" + 4y = O.
Resenje. Ova diferencijalna jedllaCina je takodje homogcna linearna diferencijalna jednaCina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi:
tj. A2 = -4. Odavde je Al = 2i, A2 = -2i. Stoga je odgovarajuci fundamentalni sistem resenja date diferencijalne jP'l!u
cine {cos 2x, sin 2x}, pa je opstc resenje date difl~ren('ijalne jednaCine
Zadatak 25. Naci opste 'T-eSenJc ddcr-eru:ijalne jcdna(:inc
y" ~ 2y' + 2y = O.
176 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Resenje. I ova diferencijalna jednaeina je oCigledno homogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njena odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi:
I
pa su njcna resenja A1,2 = 1 ± i. Stoga je a = 1, f3 = 1, pa je odgovarajuCi fundamentalni sistem reSenja {eX cos x, eX sin x}, a opste rescllje date jednaCiue:
y = C1 eX cos x + C2 eX sin x = eX (C 1 cos X + C2 sin x)
Zadatak 26. NaCi opste nosenje difer'encijalne jednacine
y'" - 2y" - 3y' = o.
Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi
odnosno A (A2 - 2A - 3) = 0, tj. A(A - 3)(A + 1) = 0. Odavde je Al = -1, A2 = 0, A3 = 3. Kako su sva tri resenja ove jednaCine realna i razlihta, odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja glasife:
a opste resenje date diferencijalne jednaCine
Zadatak 27. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
ylll + 2y" + y' = 0.
Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:
tj. A(A2 + 2A + 1) = 0, tj. A(A +1)2 = O. Odavde je Al = A2 = -1 i A3 = 0, paje odgovarajuCi fllndamentalni sistem resenja
-Xe ,
I
prif
tj. A funru
aopS
177
jOCi inc:
= 0, jufi
>a je
3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:
pri i'pmu su C1 , C2 , C3 proizvoljne realne kOllstante.
Zadatak 28. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
yl1l + 4 y" + 13y' = o.
Resenje. Odgovarajub:t karakteristicna jednai':iua glasi:
tj. ,\ (,\2 + 4,\ + 13) = 0, odakle je '\1 = 0, '\2,3 = -2 ± 3i. Stoga je odgovarajuci fundamentalni sistem resenja ove jednaCine
{1, e~ 2x cos 3x, e- 2x sin 3x} ,
a opste resenje date jednaCine:
Zadatak 29. Nafi aplite resenje diferenriJalne jednarine
yiV + 4 yl1l + 8y" + 8y' + 4y = o.
Resenje. Karakteristicna jednai'ina date diferencijalne jednaCinc glasi:
odnosno (,\2 + 2,\ + 2)2 = o. Odavde je
'\1 ='\2 = -1 + i, '\3 ='\4 = -1 - i.
Stoga je a + i (3 = -1 + i dvostruki kompleksan koren karakteristicne jednaCine, pa je opste resenje ove jednacine:
pri cemu su C1 , C2 , C3 , C4 proizvoljne realne konstante.
Zadatak 30. Naci opste resenje diferenrijalne jednacine
yV _ 2 yiv + 2 ylll _ 4y" + y' - 2y = o.
178 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi:
A5 - 2A4 + 2A3 - 4A2 + A - 2 = 0,
(A -- 2)(A4 + 2A2 + 1) = 0,
(A - 2)(A2 + 1)2 = O.
Odavdc jc Al = 2, A2 = A3 = i, A4 = A5 -1" pa je opste resellje date difercllcijallle jedlla(;iue:
y = C l c2x + C2 cosx + C:~ sin x + x(C4 cosx + C5 sin x),
Zadatak 31. Naci opgte 1denje diferencijalne jednacine
yll/ - 3y" + 3y' - y = 0,
kao i paTiikularno resenje Yo koje zadovoljava Kosijeve uslove
y(O) = 1, y'(O) = 2, y"(O) = 3.
Resenje. Karakteristiclla jednacilla date diferencijalne jedllacine glasi:
A:~ - 3A2 + 3A - 1 = 0,
(A - 1)(A2 - 2A + 1) = 0,
(A _l)a = 0,
odaklc jc Al = A2 = A:~ = 1. Stoga je opste wsellje date diferellcijallle jedlla(;ille
pri cemu su C l , C2 , C3 proizvoljne realne konstante.
Odavde diferenciranjem dobijamo da je
y' = C l eX + C2 eX + C2xex + 2C3 xex + C3x 2ex =
= [Cl + C2 + (C2 + 2C3 )x + C:3x2 Jex,
y" = [C2 + 2C3 + 2C3xJex + [C1 + C2 + (C2 + 2C3 )x + C3 X2]eX =
= [C l + 2C2 + 2C3 + (C2 + 4C3 )x + C3x 2Jex.
Ako sada iskoristimo uslove da je b(O) = 1, y'(O) = 2, y"(O) = 3, dobijamo
daje
OdavdE I"eSenje
10. 1
179 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
Odavde nalazimo da je C I 1, C3 = 0, pa je trazeno partikularno resenje
10. Nehomogena linearna diferencijalna jednaCina
sa konstantnim koeficijentima
Pod nehomogenom linearnolll diferencijalnom jednacinom n-tog reda sa konstantnim koeficijentima podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednafinu oblika
(1) yen) + aI yen-I) + ... + anY = j(x),
pri cemu su koeficijenti f11, . .. , an dati realui brojevi i funkcija j(x) nije identicki jednaka nuh ua posmatrauolll intervalu (a, b).
Resavanje ovakve diferencijalne jednacine je veoma te,mo povezano sa reSavanjem odgovarajuce homogene linearne diferencijalne jednaCine
(2) yen) + al y(n-l) + ... + anY = O.
Posehno, pod karakteristicnom jednai:inom diferencijalne jednacine (1) podrazumevamo odgovarjucu karakteristicnu jednai:inu diferencijalne jednaeine (2). Dakle joona(-inu
An + aIA,,-1 + ... + an = O.
Kao najvazniji korak u resavanju jednacine (1) pokazuje se da je. ako mozcmo da (·<In'dinu) opste rcsenje YH jedna.Cinc (2) i har jedno partikularno resenje Yo jednai"'ille (1), opst,> resenj(' jcdnaCine (1) dato sa
Y = YH -1- Yo-
Partikularno resenjc jednadne (1) moze se odrooiti u nekim posehnim sIui":ajcvima koji s," odnose na funkciju j(;c). Naprimcr, ako funkcija j(.T) ima oblik
(*) j(x) = eOx [Pm (:1:) cos{3x + Qn(:D) siuiJx],
pri remu je Pm(x) polinom stepena m (m 2: 0) i Qn(x) polinom stepena n (n 2: 0). Tlda, ako je '"Y = Q + i 13, razlikujemo dva sIucaja.
(10). Ako kompleksan broj '"Y nije reSenje karakteristicne jednafine homogene jednahne (2), tada partikularno reSenje Yo trazimo u ohliku:
pri cemu su Rl(X), 51 (x) polinomi stepena I = max{m, n} .
(2°). Ako kompleksau broj ') jeste resenje karakteristicne jednacine odgovarajure hOlllo-, gene jednaeine algebarske visestrukosti 8 (82: 1), tada partikularno reSenje Yo trazimo 11 obliku
Pritom koeficijentc polinoma R l , 51 odredjujemo iz pretpostavke da je Yo partikularno
reSenje date diferencijalne jednaeine.
I
180 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Zadatak 32. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
y"' - y" + y' - Y = x 2 + x.
Resenje. Karakteristifna jednaCina date difcreacijalne jcdnaCinc glasi:
tj. (A - 1)(A2 + 1) = O. Odavde je Al = 1, A2,3 = ±i. Stoga je opste resenje odgovarajuce hOlllogene jednaCine:
Kako je f(x) = x2 + x, funkcija f(x) je oblika (*) pri cemu je
0: = (3 = 0, 'I = 0: + i(3 = 0, n = 2.
Kako pritolll broj 'I = 0 nije resenje karakteristicne jednacine, partikularno resenje yo(x) date nehomogene jednaCine trazimo u obliku
pri remu Sll ao, aI, a2 7.a sada neodwdjeni kocficijenti. Odavde je
Yo' = 2aox + aI, yO" = 2ao, YOIll == 0,
pa zamenom u datu diferencijalnu jednaCinu dobijamo
Drugim reCima dobijamo da je
Odavdc i7.jednaravanjcm koeficijenata dobijamo jednaCinc:
-ao = 1, 2ao - al = 1, -2ao + al - a2 = 0,
tj. ao = -1, al = -3, a2 = -1. Stoga je
2Yo = _x - 3x - 1,
pa je opste resenje date nehomogene d{ferencijalne jednacine:
2 y = YH + Yo = C1 eX + C2 cos X + C3 sin x - x - 3x - 1.
R.eil jednatine
njeni kOmi
homogene
Kallo
Kako je hi traZimo u (
181 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
Zadatak 33. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
ylll - y" = 12 x2 + 6x.
Resenje. Kako je odgovarajuca karakteristiclla jedllacilla date diferellcijalne jednaeine
njeni koreni su Al = A2 = 0 i A3 = 1. Stoga je opste resellje odgovarajuce homogene diferellcijalne jednaeine
Kako je dalje funkcija f(x) = 12x2 + 6x, dobijamo da je a = (3 = 0, 'Y = o. Kako je broj 'Y = 0 dvostruko resenje karakteristicne jednaCine, funkciju yo(x) trazimo u obliku
Odavde je
Yo' = 4aox3 + 3a1x2 + 2a2x, Yo" = 12aox2 + 6a1x + 2a2,
YOIll = 24aox + 6a1,
pa zamenom u datoj diferencijalnoj jedllahni dobijamo da je
(24aox + 6a1) - (12aox:.! +6a1x + 2a2) = 12x2 + 6x,
- I2aox2 + 6(4ao - adx + 6a1 - 2a2 = I2x2 + 6x.
Odavde nalazimo da jc
-I2ao = 12, 4ao - a1 = 1, 6al - 2a2 = 0,
odnosno
ao = -1, a1 = -5, a2 = -15.
Stoga je Yo = x 2 ( ~X2 - 5x - 15),
pa je opste resenje date nehomogene jedllfthllf'
Zadatak 34. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
182 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:
A2 + A = A(A + 1) = 0,
odakle je Al -1. Stoga je opste resenje odgovarajuce homogene jednaCine:
Kako jc j(x) = 4x2e dobijamo da jc a = 1, fJ = 0, 'Y = 0: + i fJ = 1. Kako daljc komplcksan broj 'Y = 1 llije koren odgovarajucc karakteristicllC jedllaCinc, partikularno resenje yo(x) trazimo 11 obliku:
Odavde diferenciranjem llalazimo da je
Yo' = (2aox + ad eX + (aox2 + alx + 0,2) eX = T= [aox2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] e ,
Yo" = [2aox + 0,1 + 20,0] eX + [aox2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] eX = = [aox 2 + (0,1 + 4ao)x + 20,0 + 20,1 + 0,2] eX,
pa zamenOlIl u datoj difewncijalnoj jcdnaCini, posle skracivallja sa e, dobijamo da jc
2aox2 + (60,0 + 2adx + 20,0 + 30,1 + 20,2 = 4x2.
Odavde izjednacavanjem koeficijenata sledi da je
20,0 = 4, 60,0 + 20,1 = 0, 20,0 + 30,1 + 20,2 = 0,
odakle je 0,0 = 2, 0,1 = -6, 0,2 = 7. Stoga je
Yo = (2x 2 - 6x + 7) eX,
pa je opste resenje date diferencijalne jednaCine
Zadatak 35. Naci opste rdenje dijerencijalne jednacine
y" + lOy' + 25y = 4e-5x .
Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi
A2 + lOA + 25 = 0, (A + 5)2 = 0,
odakle je Al =
Kako je. dalje broj 'Y = . rcsenje Yo date
Odavde sI
Yo'
Zamenom
odakle je B = : jedniltine:
Zadatal
Odavde je ~1 =
Kakoje !( ·.,=l+inije". ahIiku
Am.... L::...~.~ ........ PA._
183 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
odakle je >'1 = >'2 = -5. Stoga je
Kako je f(x) = 4e-5x dobijamo da je a = ~5, (3 = 0, -y = ~5. Kako je daljc broj -y = -fi koren karakteristicne jedna6ne visestrukosti s = 2, partikularno resenje Yo date diferencijalne jednacine trazimo U oblikll
Ie,
5xodakle je B = 2, dakle Yo = 2x2 e- . Stoga je opste reSenje date diferencijalne jednlj.Cine:
no
Zadatak 36. NaCi opste 'T'!'senje diferencijalne jednacine
y" .- 6y' + 9y = 25 eX sin x.
Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:
>.2 _ 6>' + 9 = 0, (>' - 3)2 = 0.
Odavde je >'1 = >'2 = 3, pa je
Odavde sledi da je
Zamenom u datoj jednafini sledi da je
Kako je f(x) = 25 eX sinx, sledi da je 0: = 1, (3 = 1, -y = 1 + i. Kako pritom -y = 1 + i nije koren karakteristicne jeduaCine, partikularuo rescllje Yo tra~il1l() u obliku
Yo = eX(a cos x + b sin:r).
Ako sada nadjemo Yo', Yo" i zamenimo u datoj diferencijalnoj jednaCini, dobijamo jednacinu
(3a - 4b) cos x + (4a+ 3b) sinx = 25 sinx.
184 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
Odavde nalazimo 3a - 4b = 0, 4a + 3b = 25,
dakle a = 4, b 3. Stoga je traieno partikularno relienje date diferencijalne jednacine:
Yo = eX (4 cos x + 3 sin x) ,
i oplite resenje posmatrane diferencijalne jednaeine
Zadatak 37. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
y" + 2y' + 5y = e- X cos 2x.
Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:
>.2 + 2>' + 5 = 0,
pa su njeni koreni >'1,2 = -1 ± 2i. Stoga je
xKako je dalje f(x) = e- cos2x, sledi da je a = -1, (3 = 2, 'Y = -1 + 2i. Kako je 'Y koren karakteristicne jednaCine visestrukosti s = 1, partikularno reSenje yo(x) traiimo u obliku
Yo = xe-X(A cos 2x + B sin 2x).
Ako sada nadjemo Yo', Yo II , zamenimo u datoj jednaeini i skratimo sa e-x ,
dobijamo uslov -4A sin 2x + 4B cos 2x = cos 2x.
Odavde je A = 0, B = 1/4, dakle
yo(x) = ~e-x sin2x. . 4
Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:
1x xy(x) = (C1 cos 2x + C2 sin 2x) e- + 4x e- sin2x,
pri cenu su C1 , C2 proizvoljne realne konstante.
11. Sistemi diferencijalnih jednacina prvog reda
U OVOII
konstantnim ~
Nepozn
Zada nih jednacir.
(a) x
(b) x
(c) x
ReSeD
Odgovarajuc
i ima reilenja Za >. =
linearnih jedJ
odnosno
dakle iz jedm da je q2 =-]
Za >. jednaeina
odnosno ql =
Stoga je opStA
X(t) = (
185 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
U ovorn delu posrnatraeerno sarno linearne sisterne diferencijalnih jednaCina prvog reda sa konstantnirn koeficijentirna.
Nepoznate funkcije cerna obicno oznacavati sa x(t), y(t) (a < t < b).
Zadatak 38. NaCi opste resenje sledeeih homogenih sistema diferencijalnih jednacina sa konstantnim koeficijentima.
(a) x' = x+ 2y, y' = 2x + y;
(b) x' = 2x - y, y' = x + 4y;
(c) x' = 2x + 5y, y' = -2x.
Resenje. (a) Dati sistem u matricnom obliku glasi:
Odgovarajuca karakteristiclla jednaCilla glasi:
I 2 1 -2 A
1 _ 2 A = (1 - A) - 4 = A2 - 2A - 3 = (A - 3)(A + 1) = 0, 1
i ima resenja Al = -1, A2 = 3, dakle ima realna i medjusobno razliCita resenja. Za A = -1 odgovarajuCi sopstveni vektor nal~illlo i:l hOlllogenog sistema
lincarnih jedllaCilla
2 ) (ql) = 0I-A q2 '
odnosno
dakle i:l jednaCine ql +q2 = O. Ako u ovoj jednacini stavimo da je ql = 1, dOJijamo da je q2 = -1, pa jc odgovarajllCi sopstveni vcktor
Za A 3, odgovarajuCi sopstveni vcktor Q nalazimo iz sistema lincarnih jednaCina
odnosno ql = q2· Odavde za ql = 1 dobijamo da je q2 = 1, pa je
Stoga je opste resenje datog sistema:
tX(t) = (X(t)) = Ce- ( 1)+ Ce3t (1)y(t) I -1 2 1
186 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
odnosno:
pri cemu su CI , C2 proizvoljne realne konstante.
(b) Odgovarajl1Ci sistem 11 matricnom obliku glasi:
Stoga je odgovarajnca karakteristicna jednaCina:
2 A- -1 I1 4 _ A = (2 - A)(4 - A) + 1 = A2 - 6A + 8 + 1 = A2 - 6A + 9 = 0, 1
dakle (A - 3)2 = O. Stoga ona ima realno i dvostruko resenje Al = A2 = 3. Za A = 3 jedan njen sopstveni vektor nalazimo iz sistema linearnih jednaCina
-qI - q2 = 0, qI + q2 = 0,
odakle je q2 = -qI. Ako ovde stavimo qI = 1, dobijamo da je q2 = -1. Stoga je jedan njen sopstveni vektor
Odavdc slcdi da je opste resenje datog sistema difcfellcijalnih jednatilla:
X(t) = (x(t)) =C C t 31( 1)' =3t (1) (Cle3t+C2te3t)y(t) Ie -1 + 2 e -1 --CI e3t - C2 te3t ,
odllosno:
pri cemu su CI, C2 proizvoljne realne konstante.
(c) Odgovaraj uca matrica datog sistema glasi
a odgovarajuca karakteristicna jednacina
2 - A 5 I = A2 - 2A + 10 = O. 1
-2 -A
Odavde nalazimo da je AI,2 = 1 ± 3i. Stoga opstc rcsenje datog sistema trazimo 11
obliku ~
t t x (t) = et cos 3t (PI) + et sin 3t (qI) = (PI e cos 3t + qI e s~n 3t) .
P2 q2 P2et cos 3t + q2 ct sm 3t
X(t) :
Ako vekt skraCivanjem s
Odavde, sistem lineamil
odnosno
Diskusijol
oaprimer qI, 92 Be proostale dw
187 3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE
Ako vektorsku funkciju X(t) diferenciramo i zamenimo u dati sistem, tada tskraCivanjem sa e , dobijamo sistem jednaCina
(PI + 3qI) cos 3t + (qI - 3pd sin 3t = (2pI + 5p2) cos 3t + (2qI + 5q2) sin 3t,
(P2 + 3q2) cos3t + (q2 - 3p2) sin3t = -2PI cos3t - 2q2 sin3t.
Odavde, izjednacavanjem koeficijenata uz funkcije cos 3t i sin 3t, dobijamo sistem linearnih jednaCina po PI, P2, qI, q2:
PI + 3qI = 2PI + 5P2, qI - 3PI = 2qI + 5q2,
P2 + 3q2 = -2PI, qz - 3P2 = -2qI,
odnosno PI + 5P2 = 3qI, qI + 5q2 = - 3PI ,
2PI + P2 = -3qz, 2qI + q2 = 3p2.
Diskusijom dobijenog sistema jednacina sledi da se dye njegove nepoznate, naprimer qI, q2 mogu uzeti potpuno proizvoljno, recimo qI = 3CI, q2 = 3C2, dok se preostale dye PI, P2 mogu izraziti pomocu njih, tj.
Odavde dobijamo da je opste resenje datog sistema diferencijalnih jednaCina:
t (-CI - 5C2 ) t· (3CI )X( t ) = e cos3t 2C + C + c sm3t 3C = I 2 2
_ C t (- cos 3t + 3 sin 3t ) C t ( -5 cos 3t )- Ie + 2e .2 cos 3t cos 3t + 3 sm 3t '
pri cemu su C I , C2 proizvoljne realne konstante.
Zadatak 39. Naci opste resenje homogenog sistema diferencijalnih jc(ba
tina (n (~1 ~ T) m Zadatak sc ostavlja za samostalan rad.
Zadatak 40. Odrediti opste re.~enje nehomogenog sistema diferenri)abih jednaCina
2tx/(t) = yet) + e , y/(t) = x(t) - 4e2t ,
ako se zna da on ima parczkulamo resenje oblika
x = (x) = _ ~ e2t (p)a y 3 q'
188 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
pri cemu su p i q izvesne konstante.
Resenje. Iz datog uslova sledi da je
y(t) = _~e2t 3
partikularno resenje datog sistema, odakle dobijamo da je
Odavde skraeivanjem sa e2t dobijamo sistem linearnih jednacina
-2p/3 = -q/3 + 1, -2q/3 = -p/3 - 4,
odnosno 2p = q- 3, 2q = p+ 12.
Stoga je p = 2, q = 7, pa trazeno partikularno reSenje glasi
Dalje uocimo odgovarajuci homogeni sistem diferendjalnih jednaCina:
x'(t) = y(t), y'(t) = x(t),
tj.
Odgovarajuca karakteristicna jeduaCina glasi
odnosno ,\2 - 1 = 0, odakle je ,\) = 1 i >'2 = -1. Za,\ 1, posmatramo odgovarajuCi homogcni sistem linearnih jednaCina
-ql + q2= 0, ql - q2 = 0,
odakle je ql = q2, pa je jedan odgovarajuci sopstveni vektor
Za ,\ = -1, posmatramo odgovarajuCi homogeni sistem linearnih jednaCina
q) + q2 = 0, ql + q2 = 0,
Odavde
iz koga stavljI
odnosno:
189 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
iz koga stavljajuCi ql = 1 nalazimo da je odgovarajuCi sopstveni vektor
Odavde najzad dobijamo da je opste resenje datog nehomogenog sistema:
() x(t)) t(l) _t(l) 12t (2)X t = ( y(t) = Gle 1 + G2e -1 - 3e 7 1
odnosno:
t G -t 7 21Y(t) = GIe - 2e - 3e ,
pri cemu su GIl G2 proizvoljne realne kOllstante.
12. Parcijalne diferencijalne jednaCine
U ovom delu posmatraeemo najpre homogene linearnc pardjalne jednaeine prvog wda oblika
(1) XIPI + ... + XnPn = 0,
pri cemu su Xl = Xl (Xl, ... , xn ), .. . , X n = X,,(XI, ... , Xn) (n 2 2) date funkcije promenljivih XI,oo.,Xn ((XI,.",Xn ) E D ~ Rn), z = Z(XI, .. "Xn ) je nepoznata funkcija, i Pi = az/th;, (i = 1, ... , x n ) 8U njeni parcijalni izvodi.
Homogenoj jednadni (1), pridruzuje se pomocni Lagranzov sistem ohicnih difl'rcncijalnih jednaeina
d."l:l dXn(2) -=.":=--,
Xl X n
pri cemu pretpostavljamo da je u celoj posmatranoj ohlasti X I, ... , X n i' O. Ako su 'Pi (Xl, ... , X n ) = Ci (i == 1, ... , n - 1) njegovih n - 1 nezavisnih integrala, tada 8e
pokazuje da je opste reilcnje pardjalnc jedna(;ine (1) dato sa
o pri ccmu je F == F( iLL, ... , U n - Il proizvoljna diferencijabilna funkcija.
Osim jednaeine (1) posmatraeemo i tzv. nehomogenc iii kvazilinearne parcijallJe diferellcijalne jednaeine oblika
(3) XIPI + ... + XnPn = R,
pricemusu Xi == Xi(XI, ... ,Xn , z),R == R(:Cl, ... ,Xn,Z) (i = 1, ... ,n)datefllIlkcijepromellIjivilJ XI,".,Xn,z ((XI,oo.,Xn,z) E D ~ R n+1
), Z == Z(XI,oo.,Xn ) je nepozIlata funkcija, i Pi aZ/aXi (i = 1, ... , n) su njeni parcijalni izvodi.
I jednaeini ovakvog tipa se, pod pretpostavkom da je u eeloj posmatranoj obhwti X I, .
X n , R i' 0, pridruzuje sJii~an pomocni Lagranzov sistem obicnih difereneijalnih jednaCina oblika
dxn dz (4)
Xn R
190 PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2
Ako pretpostavimo da BU 'Pi(Xl, .. ·,Xn,z) = Ci (i = l, ... ,n) njegovih n nezavisnih integrala, tada se moze pokazati da je reSenje jednatine (3) dato u implicitnom obliku sa
pri cemu je F = F(Ub"" un) proizvoljna diferencijabilna fllnkcija.
Zadatak 41. Naci opste resenje parcijalnih diferencijalnih jednaCina
(a) xp + yq = 0; (b) xp + yq = 3z,
ako je z = z(x, y) nepoznata funkcija, i p = 8z/8x, q = 8z/8y.
Resenje. (a) Data parcijalna jcduaCilla je ol':igledllo hOIUogella lillearua parcijalna prvog reda po ncpoznatoj funkciji z = z(x, y). OdgovarajuCi POlllOCIli sistcm obicnih difercncijalnih jcdnaeina svodi se samo na jednu jcdnaCinll i glasi:
dx dy x y
Odavde integracijom neposrcdno dobijamo da jc jedan njegov integral y/x = C. Stoga je opste resenje posmatranc jcdnaeinc dato sa
z = F(y/x),
pri cemu je F = F(u) proizvoljna diferencijabilna fUllkcija.
(b) Posmatrana parcijalna jednaeina je oCigledno kvazilinearna jednaCina prvog reda sa nepoznatom funkcijom z = z(x, y). OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jedIlaCiIla glasi:
dx dy dz
x y 3z
Iz jednaeine dx/x = dy/y dobijamojedan njen integral y/x = Ct. Iz jednaine dxjx = dz/3z dobijamo drugi njen integral z/x3 = C2. Stoga opste reSenje date jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku iz jednaeine
F(y/x,zjx3 ) = 0,
pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenljivih u i v.
Dalje cemo navesti jednu jednostavnu osol.>inu tzv. produzellih jednakosti, koja se lako dokazuje, a moze veoma korisno da posluzi kod resavanja pridruzenih sistema obicnih diferencijalnih jednatina koje smo pomimuli prethodno.
Ova osobina gtasi: ~
Ako vaZi produzena jednakost
191 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE
i postoje brojevi AI, ... , An takvi da je Albl + ... + Anbn = 0, tada takodje vazi i da je Alai + ... + Anan = O.
Zadatak 42. Naci opste resenje sledeeih parcijalnih diferencijalnih jednacina prvog reda.
(a) 2p+3q = 1; (b) y2zp-x2zq = x 2y; (c) (y-z)p+(x-y)q = z-:r;
(d) ap+bq+cz=O(a,b,c#O); (e) xp+yq+zr=xyz, pri cemu je p = au/ax, q = au/ay, r = au/az.
Resenje. Primetimo najpre da su I've posmatrane parcijalnc jedllacille 110mogelle ili kvazilinearne jednacine. Stoga se moze primeniti prethodni metod resavanja.
(a) U ovom slucaju odgovarajuCi pomocni sistem obicnih diferencijalnih jednaCina glasice:
dx dy dz
231
Iz dx/2 = dz/l integracijom dobijamo da je x - 2z = C I , a iz dx/2 ,= dy/3 dobijamo da je 3x - 2y = C2 . Stoga je opste resenje ove jednacine dato sa
F(x - 2z,3x - 2y) = 0,
pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna difcrcncijabilna funkcija promcnljivih /1 i v.
(b) OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jednCina glasi
dx dy dz y2 z -x2z x 2y'
Izjeduaeinc dz/x2y = dy/( -x2z), odnosno z dz+ydy = 0, nalazimo dajc y2+ z 2 =,
C\. Dalje iz dx/(y2z ) = dy/( -x2z) nalazimo da je x3 + y3 = C2. Stoga jl' opst('
resenje ove jednacine dato sa
pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenjjivih.
(c) U ovom slucaju odgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jed 'lacina glasi:
dx dy dz y-z x-y z-x
Kako je (y - z) + (x - y) + (z - x) = 0, iz osobina produzene jednakosti dobijamo
da je takodje i dx + dy + dz = 0, odnosno x + y + z = C\. Dalje, kako je
x(y - z) + z(x - y) + y(z - x) = 0,
192 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2
slieno sledi da je x dx + z dy + y dz = 0, odakle je X 2 + 2yz = C2 . Stoga je opste resenje date jednaeine
F(x2 + 2yz, x + Y + z) = 0,
pri eernu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju prornenljivih.
(d) U ovorn slllcajll odgovarajllCi pornor.ni sistern glasi:
dx dy dz
a b -cz
h dz/(-cz) = dx/a dobijamo daje z = Cle-ex/a. Iz dx/a = dy/b dobijalllo daje ay - bx = C2 . Stoga je opste resenje date parcijalne jednaCine
z = e-cx/ a f(ay - bx),
pri cernu je f = f(u) proizvoljna diferencijabilna funkcija.
(e) U ovorn slueaju su x, y, z nezavisne promenljive, a nepoznata funkcija je u = u(x, y, z). Pritorn je p = By/Bx, q = Bu/By, r = Bu/Bz. OdgovarajuCi sistern diferencijalnih jednaCina glasi:
dx dy dz d'U
X Y z xyz
Odavde neposredno dobijamo dva njegova prva integrala x/V = CJ i z/y = C2 .
TreCi nezavisni integral nalazirno koriScenjern faktora yz, xz, xy i -3. Nairne, kako
je x(yz) + y(xz) + z(xy) + xyz(-3) = 0,
iz osobine produzene jednakosti sledi da je takodje i
yzdx + xzdy + xydz - 3du = 0.
Odavde je d(xyz - 3u) = 0, odnosno xyz - 3u = C3 . Stoga je opste resenje date parcijalne jednaCine
F(x/y, z/y, xyz - 3u) = 0,
pri sernu je F = F(u,v,w) proizvoljna diferencijabilna funkcija tri prornenljive.
Pogla
DIFE
~inisllDOl
Recommended