View
38
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Differentieer regels. De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Differentieer regels
De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:
Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:
Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.
Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.
Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
7.1
voorbeeld
f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van differentiëren
Andere regels ?!?
De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.
Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.
Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.
Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) = f(x) g(x) niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.
De productregel
De quotiëntregel
7.1
De productregel:
Als p(x) = f(x) · g(x)) dan is p'(x) = f'(x) · g(x)) + f(x) · g'(x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:
)()()()(
))()(()(lim)(
))()((lim
))()(()(lim
)())()((lim
))()(()()())()((lim
)()()()()()()()(lim
)()()()(lim
)()(lim)('
00
00
0
0
0
0
xgxfxgxfh
xghxgxfhxg
h
xfhxfh
xghxgxf
h
hxgxfhxfh
xghxgxfhxgxfhxfh
xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh
xgxfhxghxfh
xphxpxp
hh
hh
h
h
h
h
v.b. productregel
8665
81223642
)23)(4()32(2)(
)32)(4()(
8665)(
12832
128432
)32)(4()(
24
22424
223
32
24
235
3235
32
xxx
xxxxxx
xxxxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxx
xxxxx
xxxxf
De quotiëntregel:
2
22
2
))((
)()()()(
))((
)()(
))((
)()(
))((
)()(
)(
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(')()(')('
)(')()(')()('
)(')()()(')('
)()()(
xg
xgxfxgxf
xg
xgxf
xg
xgxf
xg
xgxf
xg
xf
xg
xgxgxf
xf
xg
xgxqxfxq
xgxqxfxgxq
xgxqxgxqxf
xfxgxq
2))((
)()()()()(
)(
)()(
xg
xgxfxgxfxqdan
xg
xfxqals
Bewijs (1) :
v.b. quotiëntregel
xx
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxx
x
xxxxxxxf
xxfx
xx
x
xxxxf
43
)3(4
)3(
124
)3(
)42()4126(
)3(
)3)(42()3)(4126(
)3(
1)12462()3)(4126()('
4)(3
)3)(42(
3
)12462()(
2
22
2
22
2
232
2
23
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt.off’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.
algemeen :f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f’(xA)
7.1
De afgeleide van f(x) = axn
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
algemeen geldt :k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3)
7.2
opgave 22
a f(x) = x√x – 3x= x1½ - 3x
f’(x) = 1½x½ - 3 = 1½√x – 3
stel k : y = ax met a = f’(0) = -3dus k : y = -3x
b f’(x) = 31½√x – 3 = 31½√x = 6√x = 4x = 16l : y = 3x + bf(16) = 16 (16, 16)
l : y = 3x - 32
16 = 3 · 16 + b16 = 48 + b-32 = b
∙
∙
7.2
Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:
Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).
En dus:
Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)
En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .
De kettingregel:
)(.)(.
))(())(.)((lim
))(())(.)((lim)('
0
0
xgxgh
xgfxghxgfh
xgfxghxgfxs
h
h
h
xgfhxgfxs
h
))(())((lim)('
0
dy
du
du
dy
dx
dy
v.b. kettingregel
xxx
xxx
xxxxf
xxxf
xxxxf
xxx
xxxf
50304
)25152(2
)52)(5(2)(
)5()(
50304)(
2510
)5()(
23
23
2
22
23
234
22
xxx
xxx
dx
du
du
dy
dx
dy
udu
dy
uy
xdx
du
xxu
50304
)52()5(2
2
52
5
23
2
2
2
Differentieerregel voor de quotiëntregel:
2
22
2
21
1
))((
)()()()(
))((
)()(
))((
)()(
))((
)()(
)(
)(
)())((1)())(()()(
lg
))(()()(
xg
xgxfxgxf
xg
xgxf
xg
xgxf
xg
xgxf
xg
xf
xgxgxfxgxfxq
elkettingregenproductdeensvo
xgxfxqweetje
2))((
)()()()()(
)(
)()(
xg
xgxfxgxfxqdan
xg
xfxqals
Bewijs (2) :
a grafiekb raaklijn horizontaal f’(x) = 0
y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 - 2x
= 3u2 en = x - 2
f’(x) = 3u2 · (x – 2)= 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)
f’(x) = 0 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0x2 – 4x = 0 v x – 2 = 0x(x – 4) = 0 v x = 2x = 0 v x = 4 v x = 2
c stel l : y = ax + ba = f’(6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2 · (6 – 2) = 432l : y = 432x + bf(6) = 216 dus A(6, 216)
dus l: y = 432x - 2376
dydu
dudx
opgave 29
216 = 432 · 6 + bb = -2376
7.3
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
Teken f(x) = x² - 3x + 1.Teken enkele lijnen met rc = 2.Eén van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de coördinaten van B.rc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossenf’(x) = 2x – 3f’(x) = 2
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
B(2,5; -0,25)
2x – 3 = 22x = 5x = 2,5
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
y
B●
x
7.4
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden1) Bereken f’(x).2) Los algebraïsch op f’(x) = 0.3) Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0.
7.4
a N = 90t – 40t√t + 20N = 90t – 40t1½ + 20
= 90 – 60t½ = 90 - 60√t
= 90 – 60 · 1 = 30
Om 8 uur ’s morgens neemt het aantal auto’s dat per minuut passeert toe met 30 per uur.
b = 0 geeft
90 - 60√t = 0-60√t = -90√t = 1½t = 2¼ dus om 9.15 uur
c 1 per twee minuten betekent 30 per uur
= -30
90 - 60√t = -30-60√t = -120√t = 2 t = 4 dus om 11.00 uur
opgave 43
dN dt
[ ]dN dt t=1
dN dt
dN dt
t
N
O2¼
Krommen door toppen
• Opgave 46 m.b.v. geogebra
opgave 51
a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10f’(x) = -3x² - 6x + 24f’(x) = 0 geeft-3x² - 6x + 24 = 0x² + 2x – 8 = 0(x + 4)(x – 2) = 0x = -4 v x = 2voer f in op je GRoptie minimummin. is f(-4) = -70optie maximummax. is f(2) = 38
b f(x) = -50 3 oplossingeny = -50 snijdt de grafiek van f 3 keerf(x) = 50 1 oplossingy = 50 snijdt de grafiek van f 1 keer
O 2-4x
y
●
●
-50
50
c f(x) = p 3 oplossingen-70 < p < 38
d f(x) = p 1 oplossingp < -70 v p > 38
-70
38
7.5
Differentiëren met quotiëntregel en kettingregel : (1/3)
112
2)(
21
1
2
1)(
2)1(2
1)(
2))((2
1)(
2)(
1)(
))(()1(1)(_
2
1)(
22
2
2
12
2
1
2
2
1
2
122
2
2
x
x
x
xxf
xx
xf
xxxf
xxgxf
xxg
xxgwaarbij
xgxxxfstel
x
xxq
2))((
)()()()())(()(
)(
))(()(
xh
xhxfxhxgxgfxqdan
xh
xgfxq
V.b. :
Vervolg: (2/3)
22
2
22
2
2
2222
2
22
22
2
2
)2(
12
)2(
)2(
1)(
)2(
1)12)2(
1()(
)2(
21)2(1)(
2)(
2)(
x
xx
x
x
x
xxq
xxxx
x
xxq
x
xxxx
x
xq
xxh
xxh
1)2()(
1)2(
222)(
1)2(
)1(2)2()(
1)2(
112
1)2(
)2()(
222
3
222
33
222
22
222
22
222
2
xx
xxq
xx
xxxxxq
xx
xxxxxq
xx
xxx
xx
xxxq
Vervolg: (3/3)
Grafiek
opgave 58
a f(x) =
f’(x) = = =
f’(x) = 0 -6x2 + 30 = 0-6x2 = -30x2 = 5x = √5 v x = -√5
min. is f(-√5) = =
max. is f(√5) = =
Bf =
2
6
5
x
x
2
2 2
5 6 6 2
5
x x x
x
2 2
2 2
6 30 12
5
x x
x
2
2 2
6 30
5
x
x
6 5
5 5
35
5
35
5
6 5
5 5
3 35, 5
5 5
-√5
√5
7.5
Opgave 57
b f’(0) = =
f(x) = ax heeft precies één oplossing voor a ≥ v a ≤ 0
c f’(x) = =
-18x2 + 90 = 2(x4 + 10x2 + 25)-18x2 + 90 = 2x4 + 20x2 + 50-2x4 - 38x2 + 40 = 0x4 + 19x2 – 20 = 0(x2 + 20)(x2 – 1) = 0x2 + 20 = 0 v x2 – 1 = 0geen opl. x2 = 1
x = -1 v x = 1vold. vold.
30
25
11
5
11
5
2
3 2
22
6 30
5
x
x
2
3
7.5
vervolg
opgave 65
a fp(x) = x3 + x2 + px + 7
f’p(x) = ¼x2 + 2x + p
f’p(1) = 0 ¼ + 2 + p = 0
p = -2¼
f’-2¼ (x) = 0
¼x2 + 2x - 2¼ = 0x2 + 8x – 9 = 0(x + 9)(x – 1) = 0x = -9 v x = 1
1
12
-9 1
b f’p(x) = ¼x2 + 2x + p
f’p heeft twee extreme waarden
dus f’p(x) = 0 heeft twee oplossingen
D > 0D = 22 – 4 · ¼ · pD = 4 – p4 – p > 0-p > -4p < 4
Recommended