View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del
Instituto Politécnico Nacional
DEPARTAMENTO DE FÍS ICA
Dinámica del Universo de Condiciones Topológicas en Mundos Brana.
Tesis que presenta
Miguel Ángel García Aspeitia
para obtener el Grado de
Doctor en Ciencias
en la Especialidad de
Física
Director de Tesis: Dr. Tonatiuh Matos Chassin
México, Distrito Federal Agosto, 2011
Dedicada con todo mi Amor a Yasmín, Martha, Miguel y Luís.
DECLARACIÓN.
El material de esta tesis es propia del autor y no ha sido considerada anteriormente en otras publicaciones conocidas. Cabe señalar que el material obtenido de otros trabajos de investigación, así como tesis están debidamente citados a lo largo de este trabajo.
Miguel Ángel García Aspeitia. México D.F. a 01 de Junio del 2011.
AGRADECIMIENTOS
A Dios: Por su gran inspiración, paciencia, fe y por permitirnos desentrañar los misterios de este hermoso Universo. Al Dr. Tonatiuh Matos: Por su guía, paciencia y sabiduría a lo largo del desarrollo de esta investigación. Por todas esas charlas y creer en mi, a o largo de estos años. Por brindarme su amistad y formarme como científico. A mi amada esposa Yasmín Alcántara: Gracias por caminar a mi lado y ser mi inspiración, gracias por no dejarme claudicar y mostrarme lo hermoso que es vivir a tu lado. Una vida no alcanzaría para agradecerte todo lo que me has dado y lo mucho que me has hecho feliz. A mis padres Martha Aspeitia y Miguel García: Por su paciencia educándome cada día, gracias por su apoyo e inspiración, gracias por esas miles de horas de discusiones científicas que me regalaban, sin ustedes nada de esto hubiera sido posible. A mi hermano Luís García-Aspeitia. Por ser mi confidente, por confiar en mi y estar siempre junto a mi, aunque estés lejos. Al Dr. Abdel Pérez Lorenzana. Por esas discusiones tan largas y tan enriquecedoras que teníamos, por ser mi guía y el doctor, que con su paciencia y enseñanzas, supo inspirarme y generar nuevas ideas en este mundo científico. A mis sinodales. Los Doctores Rubén Cordero, Eduard de la Cruz, Hugo Compean. Por haber revisado pacientemente mi tesis y con sus sugerencias y comentarios hacerme mejor investigador. A mis amigos. Sergio, Alejandro, Aidé, Julio, Blanca, Ivan, Juan, Pablo, Sergio (El compa), Aldrin, Fercho. Gracias por estar ahí y ser mi apoyo en los momentos difíciles tanto científicos como personales. Ustedes hacen que la vida en el CINVESTAV sea excelente. Al departamento de física del CINVESTAV. Por darme un lugar donde desarrollarme como científico y permitirme estar a la vanguardia de mi rama. A CONACyT. Por otorgarme mi beca de doctorado y haber mantenido mis estudios a lo largo de estos tres años de investigación y desarrollo científico. Miguel Ángel García Aspeitia.
RESUMEN
Recientemente, diversas observaciones (SnIA, WMAP, Lentes
Gravitacionales) confirman que desconocemos aproximadamente el 96%
del contenido total de nuestro Universo, cuyas entidades dominantes son
conocidas como materia y energía oscura.
Con la finalidad de proponer soluciones a dichos problemas, esta tesis se
enfoca en abordar los problemas desde el punto de vista topológico
mediante la introducción de dimensiones extras con el uso de Teoría de
Branas y la suposición de materia oscura que se comporta como campo
escalar débilmente interactuante.
La idea principal se basa en introducir dos branas esféricas S3 dadas por
la métrica de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) en un
espacio de fondo cinco dimensional del tipo Anti’d Sitter-Schwarzchild
(AdS-S), cuyos contenidos son campos de espín 0 en la brana interior
(brana oculta), campos de espín 1 en la brana exterior (nuestro Universo)
y campos de espín 2 en el fondo 5D. Mediante el modelo anterior, se
estudia la dinámica de dichas branas en los regímenes de altas y bajas
energías, su evolución y una posible colisión debido a los efectos
inflacionarios producidos por el campo de espín 0. Similarmente
mediante teoría de perturbaciones se estudian los efectos producidos por
los campos de espín 0 y los posibles efectos sobre nuestro Universo.
Finalmente se exponen correcciones en las ecuaciones de Tolman-
Oppenheimer –Volkoff (TOV) para velocidades de rotación galácticas,
producidas por los términos cuadráticos en el tensor energía momento de
las ecuaciones modificadas de Einstein.
ABSTRACT
Recently, diverse observations (SnIA, WMAP, Gravitational Lensing)
confirm that we unknown approximately the 96% of the Universe
content, whose dominant entities are known as dark matter and dark
energy.
With the aim of propose solutions of that problems, this thesis points to
board the problems from the topological point of view through the
introduction of extra dimensions with the braneworld theory and the
supposition that the dark matter behaves as weak interacting scalar field.
The main idea is introduce two spherical branes S3 with the Friedmann-
Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) metric embedded in a five
dimensional Anti’d Sitter-Schwarzchild (AdS-S) bulk, whose contents
are spin zero fields in the interior brane (hidden brane), spin one fields in
the exterior brane (our Universe) and spin two fields in the 5D bulk.
Through the previous model, it is study the dynamics of this branes in the
high and low energy regimes, the evolution and possible collision due to
the inflationary effects of the spin zero field. Similarly through the
perturbation theory it is study the effects produced by the spin zero field
and the effects in our Universe. Finally it is expose the corrections in the
Tolman- Oppenheimer –Volkoff (TOV) equations for galactic rotation
velocities produced by the quadratic terms in the energy tensor
momentum of the modified Einstein equations.
Indice general
1. Prefacio 8
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Preludio. 11
2.1. Relatividad General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Cosmologıa Estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Radiacion Cosmica de Fondo (CMB). . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Inflacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Introduccion a las Dimensiones Extras. 34
3.1. Mundos Branas (Brane-World) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1. Teorıa-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2. Branas cıclicas o modelo Ekpyrotico. . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3. Modelo ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4. Modelos de Randall-Sundrum. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.5. Modelo DGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Cosmologıa con Consideraciones Topologicas 46
4.1. Explorando la dinamica del Universo a partir de consideraciones
topologicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1. El Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2. Ecuaciones de Friedmann modificadas. . . . . . . . . . . . 50
4.1.3. Los Escenarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.4. La Dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
INDICE GENERAL 2
4.2. Ventaja de los modelos Ekpyroticos o Cıclicos sobre los modelos
Inflacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3. Branas con campo escalar de materia oscura: La perspectiva dinami-
ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1. Ecuaciones de constriccion en un mundo brana cinco di-
mensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.2. Perturbaciones cosmologicas y ecuaciones de conservacion
sobre la brana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3. Sistemas dinamicos con potencial escalar cuadratico en la
brana oculta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Huellas de branas en el CMB (Perspectivas) . . . . . . . . . . . . 82
5. Consideraciones Topologicas a Nivel Galactico. 86
5.1. Correcciones de Mundos Brana para ULBDM. El Contexto Galacti-
co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1. Ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! en la brana. . 87
5.1.2. Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) a escalas
galacticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3. Ecuaciones modificadas de TOV con halos compuestos por
ULBDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2. Analisis a nivel galactico con una ecuacion de estado de la forma
P = !"2 (Perspectivas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Conclusiones y Expectativas. 97
6.1. Conclusiones en el Nivel Cosmologico. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2. Conclusiones en el Nivel Galactico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3. Conclusiones generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4. Expectativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A. Notacion y Convenciones 100
B. Ecuaciones de Einstein Cinco Dimensionales. 101
INDICE GENERAL 3
C. Ecuaciones de Einstein sobre la Brana. 102
Indice de figuras
2.1. Representacion pictorica del espacio tiempo, ası como su defor-
macion debida a la presencia de materia (o energıa), segun lo pro-
puesto por la teorıa general de la relatividad. . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Posibles geometrıas para un Universo homogeneo e isotrpo. " > 1
representa un Universo cerrado, " < 1 representa un Universo
abierto y " = 1 representa un Universo plano. . . . . . . . . . . . 14
2.3. El esquema muestra los diferentes contenidos del Universo ası co-
mo sus porcentajes. La suma total de las componentes debe dar
igual a uno!
i "i = 1 para que concuerde con las observaciones
de un Universo plano. (Figura tomada de los archivos de la NASA.
Riess) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Simulaciones numericas del comportamiento de la materia oscura a
escalas cosmologicas basadas en el comportamiento de la partıcula
hipotetica WIMP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Primera contribucion de Feynman a la polarizacion del vacıo, q
representa el momento del foton virtual y k el momento de la
partıcula virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Espectro de radiacion cosmica de fondo medida por el instrumento
FIRAS a bordo del satelite COBE. La imagen muestra uno de los
espectro de cuerpo negro mas precisos que se pueden obtener en
la naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4
INDICE DE FIGURAS 5
2.7. Espectro de potencias de las anisotropıas de la temperatura de
la radiacion cosmica en terminos del momento multipolar. Los
datos son obtenidos de WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang
(2005), CBI (2004) y VSA (2004). Tambien se muestra el modelo
teorico (Lınea solida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8. Campo escalar oscilando alrededor de un mınimo de potencial V (x) 27
3.1. Representacion tridimensional de una variedad compleja de Calabi-
Yau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Espectro de masas de K-K para un campo escalar complejo en el
cırculo, a) utilizando la descomposicion (3.11) y b) en modos pares
e impares. Ambos espectros son equivalentes (Figura tomada de
[59]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1. Dos branas concentricas de tamano a1 y a2 respectivamente, con
tensiones # iguales y energıas de vacıo #1, #2 y #3 respectivas a
cada region generada por ambas branas. . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Modelo de dos branas planas separadas por una distancia b0. La
brana oculta contiene un campo escalar y la brana visible (nuestro
Universo) contiene el modelo estandar de partıculas (Tomada de
[12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. Modelo para estudiar una sola brana (brana oculta), la cual con-
tiene un campo escalar. Se considera por simplicidad, la existencia
de simetrıa Z2 (Tomada de [12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4. Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-
diciones iniciales "!!! 0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa
ultraligera de m! " 10!32GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5. Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-
diciones iniciales "!!! 1 y "V ! 0 asumiendo una masa ultrali-
gera de m! " 10!32GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
INDICE DE FIGURAS 6
4.6. Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" !0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV
para k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7. Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" !0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV
para k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8. Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 1
y "V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para
k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9. Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 1
y "V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para
k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.10. Espectro de potencias del CMB con efectos del mundo brana, los
parametros de las fluctuaciones de radiacion oscura $C" (no con-
fundir con energıa oscura) forman parte de las perturbaciones a la
curvatura a gran escala para la materia (denotados en la grafica
por %") (Figura obtenida de [65] ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1. Solucion numerica de la ecuacion (5.16); donde se muestran la so-
lucion numerica (lınea continua) y el campo de soluciones (flechas).
La grafica es generada en unidades arbitrarias con condiciones ini-
ciales "0 = 2 para el nucleo del objeto astrofısico. . . . . . . . . . 92
5.2. Velocidades de rotacion para las curvas isotermicas (5.19) y Navarro-
Frenk-White (5.20) en verde y rojo respectivamente. Las curvas
de rotacion fueron graficadas en unidades arbitrarias. . . . . . . . 93
5.3. Velocidades de rotacion de las isoterma (5.19) (lınea continua)
y de Navarro-Frenk-White (5.20) (lınea punteada) ası como un
conjunto de velocidades de rotacion de galaxias escogidas al azar
[13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
INDICE DE FIGURAS 7
5.4. Solucion numerica de la ecuacion (5.26); donde se muestran la so-
lucion general de la ecuacion diferencial (lınea continua) ası como
su campo de soluciones (flechas). La grafica es generada en unida-
des arbitrarias con condiciones iniciales "0 = 1 para el nucleo del
objeto astrofısico con las correcciones de "2 para el BEC. . . . . . 96
Capıtulo 1
Prefacio
Dejen eso para quien lo entienda, que yo no quiero ruido con el Santo Oficio,
que soy ignorante y tiemblo de decir alguna proposicion malsonante o torcer la
genuina inteligencia de algun lugar. Yo no estudio para escribir, ni menos para
ensenar (que fuera en mı desmedida soberbia), sino solo por ver si con estudiar
ignoro menos. Ası lo respondo y ası lo siento...
Fragmento de: Respuesta a la muy ilustre Sor Filotea de la Cruz, Sor Juana
Ines de la Cruz.
1.1. Introduccion
Las piedras angulares de la fısica del siglo XX han sido, la Teorıa de la Re-
latividad General (TGR) y el Modelo Estandar de partıculas (ME); las cuales
han dado cabida a un sin fin de predicciones teoricas, que han sido confirmadas
en experimentos tanto terrestres como espaciales (LAGEOS, WMAP, Planck).
Como es bien sabido, la TGR y el ME son el esqueleto de la cosmologıa ac-
tual cuyo exito en la explicacion de los fenomenos de nuestro Universo no ha
tenido precedentes en la historia de la humanidad. Sin embargo, observaciones
actuales realizadas con los mas modernos experimentos confirman que descono-
cemos aproximadamente el " 96 % de nuestro Universo. Dichos paradigmas son
debidos a dos entidades conocidas como materia y energıa oscura cuya dinamica
8
CAPITULO 1. PREFACIO 9
y composicion es desconocida hasta el momento de la escritura de esta tesis.
Diversas propuestas teoricas buscan explicar la verdadera naturaleza de la
materia y energıa oscura en nuestro Universo. Entre las mas citadas para ma-
teria oscura son como ejemplos: Materia oscura frıa (CDM), Materi oscura ca-
liente (HDM), modos de Kaluza-Klein (KK), Gravedad modificada Newtoniana
(MOND) y Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) que en particular
contiene a Campo escalar de materia oscura (SFDM), entre otras y para energıa
oscura son como ejemplo: Constante Cosmologica (#), Campos Escalares (Quin-
taesencia, Phantom, K-Esencia, etc..) y Teorıas de altas dimensiones, entre otras.
De entre las propuestas mas aceptadas, se encuentran los modelos de altas
dimensiones los cuales nos dan un panorama que sugiere una topologıa distinta
a la estructura 4-dimensional trabajada con la TGR y provee de una amplio
espectro de nueva fısica. Como mencionaremos mas adelante, existe una gran
variedad de teorıas que entran dentro de los modelos de branas; entre los mas
importantes, se encuentra la teorıa M , modelos cıclicos, modelo DGP, modelo
RS, modelo ADD entre otros.
En efecto, la finalidad de esta tesis es basarse en la hipotesis de candidatos que
expliquen tanto materia como energıa oscura en nuestro Universo. Cabe senalar
que aunque existen una diversidad de propuestas que buscan dar solucion a los
problemas de materia y energıa oscura, en esta tesis trataremos el problema desde
el punto de vista de las dimensiones extras en particular de la moderna Teorıa
de Branas (Brane World Theory).
En particular, nuestro modelo es tratado bajo la suposicion de un fondo
cinco dimensional donde convive con dos branas cuatro dimensionales inmersas1;
ası como la hipotesis de que la materia oscura se comporta como un campo
escalar real (SFDM) debilmente acoplado con la gravedad [1]-[10].
El acoplamiento de ambas teorıas generara predicciones interesantes acerca
de la naturaleza del espacio-tiempo ası como de la dinamica de sus componentes
[11], [12], [13]; debido a que de forma natural, un espacio tiempo con dimensiones
1Dicho modelo es una generalizacion al modelo de Randall-Sundrum donde se supone unfondo tipo Minkowski [35]-[36].
CAPITULO 1. PREFACIO 10
extras genera expansion acelerada a causa de la presencia de una densidad de
energıa del vacıo distinta de cero respectiva al fondo 5D. De igual manera cabe
senalar que la presencia de un campo escalar que se comporta como materia
oscura en una brana hermana, explicarıa la razon del porque la unica interaccion
entre la materia oscura y los campos del modelo estandar es vıa gravitacional
[11], [12], [13].
De igual manera...
La tesis esta dividida en los siguientes puntos importantes:
1. En el preludio, se dara una breve revision de la relatividad general, el
modelo estandar y la cosmologıa moderna.
2. En la introduccion a las dimensiones extras, se revisaran los modelos mas
exitosos e importantes de teorıas de altas dimensiones que se trabajan en
la investigacion mundial.
3. En la cosmologıa con consideraciones topologicas se analizara teorıa de
branas con un SFDM como candidato a materia oscura, su dinamica y sus
consecuencias en la cosmologıa.
4. En la seccion de consideraciones topologicas a nivel galactico se analizaran
las consecuencias en la dinamica galactica y de objetos astrofısicos muy
energeticos debidos a una teorıa de branas con ULBDM como materia
oscura.
5. Finalmente se daran conclusiones generales del trabajo realizado.
Capıtulo 2
Preludio.
¿Palabras? Sı, de aire, y en el aire perdidas. Dejame que me pierda entre
palabras, dejame ser el aire en unos labios, un soplo vagabundo sin contornos
que el aire desvanece. Tambien la luz en sı misma se pierde.
Destino del Poeta. Octavio Paz.
2.1. Relatividad General.
La teorıa general de la relatividad es una teorıa geometrica basada en el
Principio de Equivalencia, que puede ser citado de la siguiente manera: Ob-
servadores en caıda libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a
observadores inerciales. No hay experimentos locales que puedan distinguir entre
estas dos situaciones.
En efecto; la Teorıa General de la Relatividad describe la gravedad como la
curvatura del espacio-tiempo debida a la interaccion con la materia y energıa a
traves de la ecuacion (2.6) (Observese figura 2.1)
Por otra parte, es posible definir matematicamente el espacio-tiempo como
una variedad diferencial de dimension 4 (M4, g) de signatura sign(#+++). Con
distancias locales medidas por el elemento de lınea:
ds2 = gµ!dxµ $ dx! . (2.1)
11
CAPITULO 2. PRELUDIO. 12
Figura 2.1: Representacion pictorica del espacio tiempo, ası como su deformacion
debida a la presencia de materia (o energıa), segun lo propuesto por la teorıa
general de la relatividad.
Donde la suma va sobre los ındices µ, & = 0...d # 1. La 1-forma dxµ provee una
base de coordenadas locales del espacio cotangente de la variedad M.
Toda partıcula inmersa dentro del espacio tiempo sigue trayectorias geodesi-
cas dadas por la ecuacion:
d2x"
d' 2+ $"
µ!
dxµ
d'
dx!
d'= 0, (2.2)
cuyo significado fısico es equivalente al provisto por las leyes de Newton pero
generalizado para un espacio curvo. El gran logro de la relatividad general, es
que el espacio tiempo tambien juega un papel en la dinamica, evolucionando
en conjunto con la materia y la energıa contenida en el. La manera apropiada
de describir la dinamica del espacio tiempo, es mediante la accion de Einstein-
Hilbert.
S[xµ, g] =
" #1
2((R# 2#) + £ME
$%#gd4x, (2.3)
donde (2 = 8)G, R es el escalar de Ricci, # la constante cosmologica y £ME el
Lagrangiano de materia provisto por el modelo estandar (SU(3)&SU(2)&U(1)).
Antes de puntualizar la ecuacion de Einstein, es util descomponer el tensor de
Riemann es su partes componentes como
CAPITULO 2. PRELUDIO. 13
Rµ!#$ = Cµ!#$ +2
d# 2
%Rµ[#|g!|$] #R![#|gµ|$]
&+
2R
(d# 1)(d# 2)gµ[#|g!|$], (2.4)
donde el tensor de Ricci y el escalar de Ricci estan dados por:
Rµ! ' g#$Rµ#!$ yR ' gµ!Rµ! (2.5)
y el tensor de Weyl Cµ!#$ es libre de traza.
Al minimizar la accion (2.3) $S = 0 resultan las ecuaciones de campo de
Einstein
Gµ! = Rµ! #1
2gµ!R + #gµ! = (2Tµ! , µ, & = 1..,4 (2.6)
donde la parte izquierda de la ecuacion se atribuye a la dinamica del espacio
tiempo y el lado derecho a los campos que prevalecen dentro del espacio tiempo.
La constante cosmologica # se le atribuye la actual aceleracion del Universo 1 y
tiene un valor fijo obtenido por observaciones de |"obs" | ! (10!12GeV )4 [20].
La ecuacion (2.6) es valida para una variedad diferencial de n-dimensiones, sin
embargo fısicamente solo ha sido corroborado para cuatro dimensiones. El lector
puede notar, que para que la ecuacion (2.6) sea consistente dimensionalmente,
es necesario cambiar la constante (2 ( (2(4+n) = 8)G4+n para (n " 1) [21].
2.2. Cosmologıa Estandar.
El estudio de la dinamica y evolucion del Universo es estudiado por la cosmo-
logıa mediante las herramientas de la relatividad general y el modelo estandar
de partıculas. La cosmologıa estudia desde momentos despues de la singularidad
inicial hasta la actual aceleracion de Universo teniendo un exito sin precedentes
en la fısica teorica.
La cosmologıa moderna, esta basado en la teoria de la gran explosion (Big
Bang) la cual supone como hipotesis principales, la homogeneidad e isotropıa a
1Actualmente la constante cosmologica es uno de los paradigmas de la cosmologıa actualcuyo problema sera tratado en las secciones posteriores.
CAPITULO 2. PRELUDIO. 14
grandes escalas. Bajo estas premisas, es posible escribir la metrica mas general
para un espacio con estas caracterısticas como:
ds2 = #dt2 + a(t)2
'dr2
1#Kr2+ r2d*2 + r2sen2*d+2
(, (2.7)
donde K = 0, 1,#1 corresponde a una geometrıa plana, esferica e hiperbolica
respectivamente (Ver figura 2.2) y a(t) es el factor de escala asociado con el
tamano del Universo.
Figura 2.2: Posibles geometrıas para un Universo homogeneo e isotrpo. " > 1
representa un Universo cerrado, " < 1 representa un Universo abierto y " = 1
representa un Universo plano.
Con lo que respecta a lo contenido en el Universo, es posible describir la
materia y energıa en el Universo mediante el tensor energıa-momento para como:
Tµ! = (" + p)UµU! + pgµ! ( Tµ! = diag(#", ,p), (2.8)
con ", p, Uµ la densidad de energıa, presion y el cuadrivector velocidad respecti-
vamente.
Si se aplica la ecuacion anterior a las ecuaciones de Einstein es posible obtener:
'a
a
(2
+K
a2# #
2=
8)G
3" (2.9)
y
CAPITULO 2. PRELUDIO. 15
2a
a+
'a
a
(2
+K
a2# # = #8)Gp, (2.10)
donde es posible definir H(t) = a/a y la respectiva ecuacion de continuidad
)µT µ! = 0 como:
"# 3a
a(p + ") = 0. (2.11)
Las ecuaciones anteriores describen el Universo desde el punto de vista de la
relatividad general en cuatro dimensiones.
Actualmente tenemos conocimiento que el Universo contiene las siguientes
componentes:
Figura 2.3: El esquema muestra los diferentes contenidos del Universo ası como
sus porcentajes. La suma total de las componentes debe dar igual a uno!
i "i = 1
para que concuerde con las observaciones de un Universo plano. (Figura tomada
de los archivos de la NASA. Riess)
1. Fotones. Las mediciones actuales de la temperatura de los fotones es de
T = 2,725± 0,002 K [14], (WMAP (2006), Acbar (2004)) . Cuya densidad
de energıa esta dada por la distribucion de Bose-Einstein
CAPITULO 2. PRELUDIO. 16
"% = 2
"d3p
(2))3
1
ep/T # 1p. (2.12)
Donde el factor 2 es debido a los estados de spin del foton. Expresando
la Integral (2.12) de la siguiente manera, mediante el cambio de variable
x ' p/T se tiene
"% =8)T 4
(2))3
" #
0
dxx3
ex # 1, (2.13)
por tanto
"% =)2
15T 4. (2.14)
Es util escribir la ecuacion anterior de la siguiente manera
"%
"cr=
)2
15
'2,725K
a
(4 1
8,098& 10!11h2eV 4
=2,47& 10!5
h2a4, (2.15)
donde h = 0.72± 0.08. Como es posible ver de la ecuacion anterior (2.15),
los fotones dependen del factor de escala lo que implica que tienen una
dependencia temporal a(t) y no espacial. Sin embargo, es posible encontrar
pequenas perturbaciones espaciales, las cuales corresponden a las aniso-
tropıas generadas por el CMB [14].
2. Bariones. Mediciones a diferentes desplazamientos al rojo (redshift) 2 nos
dan a conocer que la densidad de bariones en el Universo escala como
a!3 [14] por lo que es preciso realizar una comparacion entre la densidad
crıtica de tal manera que tengamos una mejor imagen entre la densidad de
bariones y la densidad crıtica
2Es conveniente definir el factor de la estreches de una longitud de onda que viaja en unespacio tiempo que evoluciona como 1 + z ' !obs/!emit = 1/a(t) [14]
CAPITULO 2. PRELUDIO. 17
"b
"cr= "ba
!3, (2.16)
donde "b es la razon de la densidad de bariones entre la densidad crıtica
actualmente.
Cabe mencionar que resultados preliminares utilizando la CMB nos dan un
estimado de "bh2 = 0,024+0,004!0,003.
3. Materia no barionica. La mayor parte de la materia en el Universo, es
invisible a los detectores actuales. Sin embargo, existen tecnicas gravita-
cionales capaces de obtener mediciones de la densidad de materia total,
puesto que se comporta con un decaimiento igual a la materia barionica
dado por la siguiente relacion
"m = "m"cra!3. (2.17)
Resultados recientes concuerdan en que el parametro de densidad en el Uni-
verso deberıa ser de alrededor de " * 0.3. Cabe senalar que la naturaleza
de dicha materia es desconocida actualmente, sin embargo se han realizado
esfuerzos tanto teoricos como experimentales para develar dicho misterio
[1]-[13], [15]-[16], [18] (Ver figura 2.4).
Algunas de las propuestas para tratar de resolver el misterio de la mate-
ria oscura son: Materia oscura frıa (CDM por sus siglas en ingles) cuya
partıcula fundamental puede ser predicha por la extension supersimetrica
del modelo estandar (SUSY), materia oscura campo escalar (SFDM por sus
siglas en ingles), materia oscura fuzzy, etc... Sin embargo, en los siguientes
capıtulos nos enfocaremos en el modelo SFDM como posible candidato a
materia oscura y se tratara en el contexto de dimensiones altas dimensiones.
4. Neutrinos.
Los neutrinos son parte fundamental de la cosmologıa y constituyen ac-
tualmente el 0,02 % aproximadamente del total de nuestro Universo. Como
CAPITULO 2. PRELUDIO. 18
Figura 2.4: Simulaciones numericas del comportamiento de la materia oscura a
escalas cosmologicas basadas en el comportamiento de la partıcula hipotetica
WIMP.
es bien sabido, los neutrinos son fermiones cuya estadıstica esta dada por
la distribucion de Fermi-Dirac con potencial quımico igual a cero.
Observaciones de neutrinos solares [23], atmosfericos [24] y terrestres (Ex-
perimentos en CERN y en plantas nucleares) sugieren oscilaciones entre los
distintos sabores de neutrinos. Lo que implicarıa neutrinos masivos cuya
densidad de energıa viene dada de la forma
"! = 2
" )p2 + m2
!
ep/T! + 1d3p. (2.18)
Donde la ecuacion anterior (2.18) a altas temperaturas se reduce a [14]
"! = 37
8
'4
11
(4/3
"%, (2.19)
donde "% es la densidad de energıa de los fotones. La cantidad de neutri-
nos puede ser calculada mediante el parametro de densidad dado por la
siguiente relacion
CAPITULO 2. PRELUDIO. 19
"! =m!
94h2eV, m! += 0 (2.20)
donde cotas de la masa3 de los neutrinos nos dan el porcentaje mencionado
anteriormente de la cantidad de neutrinos en el Universo.
5. Energıa oscura. La energıa oscura en una de las componentes del Universo
mas desconocidas por la fısica moderna. Su existencia es propuesta debido a
observaciones realizadas por dos grupos encargados de analizar supernovas
[25], [26]. La conclusion obtenida por ambos equipos es que el Universo se
esta acelerando contrario a lo que los modelos teoricos predicen.
Una de las explicaciones para la aceleracion actual del Universo es la exis-
tencia de una energıa que corresponde alrededor del 72 % de la energıa
total del Universo. Candidatos posibles a energıa oscura son la constante
cosmologica, quinta-esencia, k-esencia entre otros. Actualmente, el candi-
dato mas aceptado por la comunidad cientıfica para energıa oscura es la
constante cosmologica debido a su capacidad de reproducir muchas de las
observaciones cosmologicas. Sin embargo los problemas teoricos para la ex-
plicacion de la constante cosmologica son trascendentales y su analisis nos
puede llevar al entendimiento de la gravedad cuantica.
Cabe senalar algunos de los principales problemas de la constante cos-
mologica:
El problema del ajuste fino o “fine tunning”. Es posible inferir que
la densidad de energıa del vacıo deberıa ser no mayor que el valor de la
densidad crıtica del Universo dado por la siguiente ecuacion [30]
|"# ,"-| # 3H20
8)G, (2.21)
donde H0 es la constante de Hubble con un valor aproximado de H0 =
100h km seg!1Mpc!1, ,"- es la densidad promedio y G es la constante de
3Es importante mencionar, que si la masa del neutrino fuera cero m! = 0 su comportamientoserıa parecido al del foton.
CAPITULO 2. PRELUDIO. 20
la gravitacion (Apendice A). Donde en unidades fısicas es posible obtener
|"v| # 10!29g/cm3 ! 10!47GeV 4. (2.22)
Por otra parte, si sumamos todas las contribuciones de las energıas del
punto cero para todos los modos normales de un campo de masas m por
encima del “cuto! ”del numero de onda # >> m [30] (Ver Figura 2.5)
tendrıamos en el espacio de Fourier la siguiente ecuacion
k
q+k
q q
Figura 2.5: Primera contribucion de Feynman a la polarizacion del vacıo, q re-
presenta el momento del foton virtual y k el momento de la partıcula virtual.
,"- = 4)
" "
0
k2dk
(2))3
1
2
%k2 + m2 $ #4
16)2, (2.23)
si pensamos que es correcta la relatividad general a escala de Planck [30]
#2 $ (8)G)!1 se tiene
,"- ! 2!10)!4G!2 = 2& 1071GeV 4 (2.24)
por lo que entre las ecuaciones (2.22) y (2.24) se tiene una diferencia de
" 118 ordenes de magnitud. Lo que genera una discrepancia muy grande
entre los valores observacionales (2.22) y los valores teoricos.
Avances teoricos de las ultimas decadas usando SUSY reducen el valor
teorico de la densidad a la mitad [20], [30]. Por lo que la discrepancia entre
CAPITULO 2. PRELUDIO. 21
los valores teoricos y observacionales siguen estando vigente hasta nuestros
dıas.
El Problema de la coincidencia. El problema de la coincidencia, se
refiere al porque esta sucediendo la aceleracion del Universo actualmente y
no sucedio en otra epoca.
Es claro que bajo la premisa del principio antropico, la aceleracion del Uni-
verso no pudo haber sucedido antes pues no se hubiesen podido virializar las
estructuras de nuestro Universo y tanto los cumulos de galaxias, galaxias,
sistemas solares, planetas y vida no hubiesen podido existir.
Sin embargo respuestas dadas por el principio antropico (desde un punto de
vista detractor al principio antropico) no son suficientes para justificar la
existencia y dominacion de la energıa oscura en la epoca actual por lo que
es necesario esfuerzos teoricos con respecto a la comprension de la energıa
oscura como entidad dominante de nuestro Universo actual.
2.2.1. Radiacion Cosmica de Fondo (CMB).
La CMB, es una emision uniforme de radiacion de energıa termal de cuerpo
negro que viene de todas partes del cielo. La radiacion es isotropa al menos en
una parte en 10,000 (Ver figura 2.6). En otras palabras, son fotones los cuales
permean el Universo a una temperatura de alrededor de " 2,726K y provienen
de la ultima dispersion de los electrones a corrimientos al rojo de z " 1100.
*Anisotropıas Primarias. Las anisotropıas de la radiacion cosmica de fon-
do es dividida en los dos siguientes tipos: anisotropıas primarias, debida a los
efectos de la ultima superficie de dispersion y las anisotropıas secundarias, las
cuales son debidas a los efectos tales como la interaccion entre la radiacion cosmi-
ca de fondo con el gas caliente del Universo o potenciales gravitacionales, el cual
ocurre entre la ultima superficie de dispersion y el observador.
La estructura de las anisotropıas del CMB esta principalmente determinada
por dos efectos: oscilaciones acusticas y la difusion de amortiguacion. Las oscila-
ciones acusticas surgen debido a la competencia en el plasma de fotones-bariones
CAPITULO 2. PRELUDIO. 22
Figura 2.6: Espectro de radiacion cosmica de fondo medida por el instrumento
FIRAS a bordo del satelite COBE. La imagen muestra uno de los espectro de
cuerpo negro mas precisos que se pueden obtener en la naturaleza.
en el Universo primitivo. La presion de los fotones tiende a eliminar las aniso-
tropıas, mientras que la atraccion gravitacional de los bariones -moviendose a
velocidades mucho menores a velocidad de la luz - tiende a generar colapso y a
formar halos densos. Estos dos efectos compiten a crear las oscilaciones acusti-
cas las cuales dan los picos caracterısticos en la estructura del CMB. Los picos
corresponden, aproximadamente, a las resonancias en las cuales los fotones se
desacoplan cuando un modo particular es una amplitud de un pico (Ver figura
2.7).
Cabe mencionar, que la ubicacion de los picos contienen informacion fısica
interesante acerca del Universo. Por ejemplo: la escala angular del primer pico
determina la curvatura del Universo (pero no su topologıa), el siguiente pico
determina la densidad reducida de bariones y el tercer pico puede ser usado para
determinar la densidad de materia oscura en nuestro Universo.
*Formalismo Matematico de las Anisotropıas. Como se sabe, el sateli-
te COBE descubrio que la radiacion cosmica de fondo es casi isotropa, pero no
perfectamente isotropa. Diferentes procesos fısicos causan las anisotropıas en el
CAPITULO 2. PRELUDIO. 23
Figura 2.7: Espectro de potencias de las anisotropıas de la temperatura de la
radiacion cosmica en terminos del momento multipolar. Los datos son obtenidos
de WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang (2005), CBI (2004) y VSA (2004).
Tambien se muestra el modelo teorico (Lınea solida).
CMB y cada uno de ellos tiene sus caracterısiticas distintivas -amplitud en las
fluctuaciones y dependencia angular. Primero introduciremos algunas herramien-
tas matematicas para cuantificar el nivel de anisotropıas. De esto, definamos una
desviacion fraccional en la direccion - en el cielo de la temperatura medida T (-)
de una media global T [71]:
%T
T(-) =
1
T(T (-)# T ). (2.25)
La funcion de correlacion angular es entonces definida por
C(*) =
*%T
T(-),
%T
T(-$)
+|&=|'!'"|, (2.26)
para dos puntos diferentes en el cielo con separacion *.
Una descomposicion angular es util y bastante usada cuando uno piensa acer-
ca de fluctuaciones especıficas a una escala angular. La funcion de correlacion
C(*) puede ser descompuesta en terminos de los polinomios de Legendre
CAPITULO 2. PRELUDIO. 24
C(*) =1
4)
,
l
(2l + 1)ClPl(cos(*)). (2.27)
El primer termino a ser considerado es el termino dipolar l = 1. Es bien sabido
que la tierra orbita alrededor del sol y el sol, tiene un movimiento relativo al
centro de la galaxia. Ahora pensemos acerca del movimiento de la Tierra relativo
al marco de referencia en reposo para el CMB. Si la Tierra, se mueve a una
velocidad v, un desplazamiento en la frecuencia %&/& de los fotones del CMB
aparecera como fluctuaciones a la temperatura de la forma del dipolo [71].
La siguiente anisotropıa angular, es causada por la formacion de estructura
y por las fluctuaciones a gran escala en los potenciales gravitacionales; el efecto
Sachs-Wolfe [27]. El satelite COBE ha descubierto que en la ultima dispersion, el
Universo fue casi homogeneo; las fluctuaciones de densidad a z = 1000 se infieren
que son de alrededor del orden de 10!5.
Existen dos mecanismos importantes que generan las anisotropıas secundarias
del CMB: El efecto Sunyaev-Zel’ldovich y la reionizacion.
El efecto Sunyaev-Zel’ldovich es causado por una restriccion espacial de la
ionizacion de Compton. Los fotones del CMB son dispersados debido a “elec-
trones calientes”, que causan el espectro de distorsion del CMB vıa la ganancia
neta de energıa de los electrones. Cabe mencionar, que la amplitud del efecto
Sunyaev-Zel’ldovich es al menos 10!3 veces %T/T siendo la fuente dominante de
las anisotropıas secundarias a escalas de arco de un minuto (arcmin) [71].
Por su parte, cabe senalar que la reionizacion es un proceso que ocurrio des-
pues de la epoca en que comenzo la formacion de galaxias, y es la segunda mayor
fase de cambio del hidrogeno en el Universo. Se piensa que la reionizacion ocu-
rrio cuando las primeras generaciones de estrellas de poblacion III y quasares
emitieron radiacion que reionizo el Universo, volviendo a hacerlo un plasma io-
nizado (6 < z < 20; 150# 1000 millones de anos tras el big bang).
CAPITULO 2. PRELUDIO. 25
2.2.2. Inflacion.
La cosmologıa estandar no es capaz de resolver los siguientes problemas: El
problema del horizonte, planicidad, monopolos, antimateria, el problema de la
estructura, los cuales mencionaremos algunos detalles a continuacion:
1. El problema de horizonte. La cosmologıa estandar contiene un horizonte
de partıculas de radio comovil [32] que puede ser escrito como
rH =
" t
0
dt
a(t), (2.28)
el cual converge cuando a % t1/2 en la epoca de dominacion temprana de
la radiacion. A tiempos mas tardıos, la integral prevalece por la fase de
dominio de la materia, para la cual
DH = a0rH $ 6000%"z
h!1Mpc. (2.29)
De aquı, es posible observar que el horizonte en la ultima region de dis-
persion tenıa solo " 100Mpc de tamano, para un angulo de alrededor de
1 grado. Esto ultimo automaticamente genera la siguiente pregunta ¿Por-
que hay un numero tan grande de regiones causalmente desconectadas en-
tre si, siendo que el cielo de microondas tiene aproximadamente la misma
temperatura? [32]
2. El problema de la planicidad. Es claro que el Universo con " = 1 es
inestable:
#1# 1
"(z)
$= f(z)
#1# 1
"
$, (2.30)
donde f(z) = (1+z)!1 en la era de dominacion de materia, % (1+z)!2 para
la era de radiacion dominante, de tal manera que f(z) $ (1 + zeq)/(1 + z)2
en epocas tempranas. Para tener " $ 1 en este momento, es necesario un
ajuste fino de " en el pasado, el cual aumenta y se necesita de mas y mas
precision conforme crece el corrimiento al rojo. En efecto, ignorando los
CAPITULO 2. PRELUDIO. 26
efectos de aniquilacion, 1+z = Tini/2,7K; 1+zeq $ 104, eso implicarıa que
el ajuste fino serıa de [32]
|"(tini # 1)| # 10!22
#Eini
GeV
$2
. (2.31)
En epocas de Planck, el cual es el tiempo natural inicial, se requiere una
desviacion de solo 1 parte por cada 1060. Esto es satisfecho si " = 1 exacta-
mente. Lo generarıa la siguiente pregunta: ¿Como pudo el Universo empezar
con una desviacion de " = 1 tan precisa de tal manera que la curvatura se
hizo importante despues de muchas e-foliaciones de expansion? [32]
3. La existencia de monopolos. Dicha existencia es predicha por el modelo
estandar de partıculas, ası como modelos de gran unificacion y actualmente
no existe ninguna evidencia observacional de dichos monopolos.
4. El problema de la antimateria. Para kT # mP c2, existe un equilibrio
aproximadamente igual al numero de fotones, protones y antiprotones. Ac-
tualmente se tiene que Np/N% " 10!9, pero Np $ 0. Una conservacion
del numero de bariones implicarıa que Np/Np = 1 + O(10!9) en epocas
tempranas. ¿De donde surge dicha asimetrıa inicial? [32]
5. El Problema de la Estructura. El Universo no es precisamente ho-
mogeneo. Generalmente se supone que las galaxias y cumulos crecen vıa
inestabilidades gravitacionales debidas a perturbaciones iniciales. ¿Cual es
el origen de dichas perturbaciones? [32]
Una manera natural de resolver dichos problemas es mediante una expansion
exponencial del espacio tiempo conocida como inflacion. En particular la teorıa
de inflacion puede ser tratada mediante la hipotesis de rodamiento lento (Slow
Roll) [31] en la cual se supone un campo escalar cuyo potencial oscile alrededor
del mınimo tal y como lo muestra la figura 2.8.
* Inflacion del tipo de Rodamiento Lento. Esta inflacion es definida co-
mo una era de gravedad repulsiva, a > 0, la cual es equivalente a 3P < #" donde
CAPITULO 2. PRELUDIO. 27
CAPITULO 2. PRELUDIO. 21
la presion para un campo homogeneo es p = T (0)i de tal manera que
p =1
2
!d!(0)
dt
"2
! V (!(0)). (2.45)
para obtener una expansion acelerada necesaria para resolver los problemas antes
mencionado, es necesario proponer ”slow roll”donde el nombre se refiere a que
el campo oscila alrededor de su mınimo de potencial con la intencion de que
V (!) > ! lo que nos lleva a que P < 0 necesaria para una expansion inflacionaria.
(FIGURA)
V (x)
x
Puesto que la densidad de energıa es constante es posible escribir la ecuacion
de Friedmann para un Universo plano como:
1
a
da
dt=
#8"G#
3= cte. (2.46)
De la ultima ecuacion se obtiene que la solucion produce una expansion expo-
nencial.
a(t) = aeeH(t!tf ), t < tf (2.47)
donde tf es el final de la inflacion. Finalmente el horizonte comovil primordial el
cual es generado despues de la inflacion, puede ser obtenido integrando el inverso
de la ecuacion anterior ($ =$ t
tfdt!
a(t!)) dando como resultado
$prim =1
Hfaf
%eH(tf!ti) ! 1
&, (2.48)
donde ti es el tiempo inicial. De tal manera que los problemas anteriores (ho-
rizonte y planicidad) son resueltos si al menos la inflacion tiene 60 e-folding
(H(tf ! ti) > 60), el problema de los monopolos es de igual manera resuelto por
la inflacion debido a que el crecimiento exponencial diluye cualquier problema
topologico debido al modelo estandar.
Finalmente, cabe sealar los parametros de slow roll que vienen definidos de
la forma:
CAPITULO 2. PRELUDIO. 21
la presion para un campo homogeneo es p = T (0)i de tal manera que
p =1
2
!d!(0)
dt
"2
! V (!(0)). (2.45)
para obtener una expansion acelerada necesaria para resolver los problemas antes
mencionado, es necesario proponer ”slow roll”donde el nombre se refiere a que
el campo oscila alrededor de su mınimo de potencial con la intencion de que
V (!) > ! lo que nos lleva a que P < 0 necesaria para una expansion inflacionaria.
(FIGURA)
V (x)
x
Puesto que la densidad de energıa es constante es posible escribir la ecuacion
de Friedmann para un Universo plano como:
1
a
da
dt=
#8"G#
3= cte. (2.46)
De la ultima ecuacion se obtiene que la solucion produce una expansion expo-
nencial.
a(t) = aeeH(t!tf ), t < tf (2.47)
donde tf es el final de la inflacion. Finalmente el horizonte comovil primordial el
cual es generado despues de la inflacion, puede ser obtenido integrando el inverso
de la ecuacion anterior ($ =$ t
tfdt!
a(t!)) dando como resultado
$prim =1
Hfaf
%eH(tf!ti) ! 1
&, (2.48)
donde ti es el tiempo inicial. De tal manera que los problemas anteriores (ho-
rizonte y planicidad) son resueltos si al menos la inflacion tiene 60 e-folding
(H(tf ! ti) > 60), el problema de los monopolos es de igual manera resuelto por
la inflacion debido a que el crecimiento exponencial diluye cualquier problema
topologico debido al modelo estandar.
Finalmente, cabe sealar los parametros de slow roll que vienen definidos de
la forma:
Figura 2.8: Campo escalar oscilando alrededor de un mınimo de potencial V (x)
" es la densidad de energıa y P la presion. En particular, nos concentraremos
solo en la era de inflacion observable [31], la cual comienza cuando el Universo
observable deja el horizonte.
Es importante recordar, que durante la inflacion el parametro de densidad "
se aproxima hacia 1. Como hipotesis, suponemos que el valor es cercano a 1, lo
cual significa que " es cercana a 1 durante la inflacion observable. Esto genera
una densidad de energıa " en terminos del parametro de Hubble [31] de
3M2P H2 = ". (2.32)
Durante la inflacion, suponemos que la densidad de energıa y presion es domina-
da por campos escalares. El campo escalar que se supone genera inflacion, es el
campo conocido como inflaton -, el cual es por definicion el unico con dependen-
cia temporal significativa. La densidad de energıa y presion pueden ser escritas
como
" =1
2-2 + V, (2.33)
CAPITULO 2. PRELUDIO. 28
P =1
2-2 # V. (2.34)
La evolucion de - esta dada por
- + 3H- = #V $, (2.35)
donde los puntos denotan d/dt y las primas denotan d/d-. Esto es equivalente a
la ecuacion de continuidad " = #3H(" + P ), la cual junto con la ecuacion (2.32)
es equivalente a
H = # 1
2M2P
-2. (2.36)
Mientras que las escalas cosmologicas dejan el horizonte, el paradigma de infla-
cion de rodamiento lento es practicamente obligatorio con el fin de dar cuenta a
la invarianza de escala del espectro de perturbaciones primordiales a la curvatura
[31].
Se supone que el campo del inflaton - esta en una region del potencial la cual
satisface las condiciones de planicidad
. . 1, (2.37)
|/|. 1, (2.38)
donde
. ' 1
2M2
P
'V $
V
(2
, (2.39)
/ ' M2P
V $
V, (2.40)
los cuales son conocidos como parametros de rodamiento lento. De igual manera,
se supone que la evolucion dada por la ecuacion (2.35) puede ser remplazada por
la aproximacion de rodamiento lento de la forma
CAPITULO 2. PRELUDIO. 29
- = # V $
3H. (2.41)
Las condiciones de planicidad, ası como la aproximacion de rodamiento lento
son las ecuaciones basicas necesarias para derivar las predicciones estandar de
las perturbaciones a la densidad y al ındice espectral [31]. Para potenciales que
satisfacen las condiciones de plancidad, la aproximacion de rodamiento lento es
tıpicamente valida para una amplia region de condiciones iniciales (valores de -
y - en epocas tempranas).
La primera condicion de planicidad . . 1 asegura que " es cercano al poten-
cial V y varıa de forma lenta. Como resultado, H varıa tambien de forma lenta,
lo que implicarıa que uno puede escribir a % eHt.
La segunda condicion de planicidad |/| . 1 es de hecho una consecuencia
de la primera condicion de planicidad mas la aproximacion de rodamiento lento,
3H- = #V $. De hecho, si diferenciamos lo anterior, es posible demostrar
-
H-= .# /, (2.42)
y de la ecuacion (2.35) la aproximacion de rodamiento lento es equivalente a
|-|. H|-|. Un rol crucial es jugado por el numero de tiempos de Hubble N(-)
dados por inflacion, los cuales permanecen cuando - tiene un valor dado. De
algun tiempo t a un tiempo t2 fijo, es posible definir el numero de tiempos de
Hubble como:
N(t) '" t2
t
H(t)dt. (2.43)
Cambios pequenos satisfacen
dN ' #Hdt(= #dln1). (2.44)
Durante la inflacion de rodamiento lento se tiene:
dN
d-= #H
-=
V
M2P V $ = ±(
%2.MP )!1. (2.45)
CAPITULO 2. PRELUDIO. 30
Cabe mencionar, que el numero de e-foliaciones en la inflacion de rodamiento
lento, puede ser calculado mediante la siguiente ecuacion
N(-) =
" '
'final
M!2P
V
V $d-, (2.46)
donde -final marca el final de inflacion [31].
* Predicciones realizadas por el modelo de rodamiento lento. Dos
hipotesis basicas son propuestas. Una es que las perturbaciones del campo del
inflaton $- tiene interacciones despreciables con los otros campos. Esto es equi-
valente a decir que es valido la teorıa de perturbaciones lineales cosmologicas
durante epocas inflacionarias.
La otra hipotesis esencial es que mucho antes de existir el horizonte, cuando
el concepto de partıcula tiene sentido, los modos relevantes de Fourier $- tienen
cero numeros de ocupacion. Esta hipotesis para el vacıo es mas o menos obli-
gatoria, puesto que muchas partıculas podrıan tener una presion significativa y
estropearıan inflacion [31].
Como resultado de estas hipotesis, las perturbaciones primordiales a la curva-
tura serıan gaussianas, con propiedades estocasticas las cuales estan totalmente
definidas por su espectro de potencias PR(k).
* El Espectro. Las perturbaciones $- estan bien definida en hipersuperfi-
cies espacialmente planas. Por tanto, en el lımite de rodamiento lento H ( 0,
uno puede ignorar el efecto a las perturbaciones de la metrica, y $- satisface la
siguiente ecuacion
$- + 3H ˙$- +
-V $$ +
'k
a
(2.
$- = 0. (2.47)
Las condiciones de planicidad aseguran que el cuadrado de la masa 2V $$ sea
despreciable hasta al menos unos pocos tiempos de Hubble despues de que el ho-
rizonte existie. Esto significa que $- pude ser tratado como un campo sin masa.
A pocos tiempos de Hubble despues de la existencia del horizonte, sus fluctua-
ciones del vacıo pueden ser tratadas como una cantidad clasica, cuyo espectro
esta dado por:
CAPITULO 2. PRELUDIO. 31
P' =
'H
2)
(2
. (2.48)
Por otra parte, es importante mencionar que las correspondientes perturbaciones
a la curvatura estan dadas por R = (#H/-)$- (valido en teorıas de perturbacio-
nes lineales independientes de rodamiento lento). Usando las ecuaciones (2.41) y
. . 1 es equivalente escribir
4
25PR(k) ' $2
H(k) =1
75)2M6P
V 3
V $2 =1
159)2M4P
V
.. (2.49)
En esta expresion, el potencial y sus derivadas estan evaluadas en la epoca de
salida del horizonte para las escalas k, la cual esta definida por k = aH. Las
predicciones, para el espectro de R(k) a pocos tiempos de Hubble despues de la
salida del horizonte no sirve de nada en su forma actual [31]. Sin embargo uno
puede mostrar que R(k) es independiente temporal entre esta epoca y la aproxi-
macion a la entrada del horizonte mucho despues de que la inflacion terminara.
Comparando la ecuacion (2.49) con el el valor observacional obtenido por el
COBE $H ' (2/5)PR1/2 = 1,91& 10!5 de las anisotropıas del CMB se tiene
M!3P
V 3/2
V $ = 5,3& 10!4. (2.50)
La anterior relacion provee de constricciones utiles en los parametros del poten-
cial. Este puede ser escrito en la siguiente forma equivalente
'V
.
(1/4
= 0,027MP = 6,7& 1016GeV. (2.51)
Debido a que . es muchısimo menor que 1, la energıa inflacionaria escala como
V 1/4, la cual es al menos unos cuantos ordenes de magnitud debajo de la escala de
Planck. La escala al dejar el horizonte a una epoca dada, esta directamente rela-
cionada con el numero de e-foliaciones N(-) de la inflacion del tipo de rodamiento
lento, esto ocurre despues de la epoca de la salida del horizonte. En realidad, de-
bido a que H varia lentamente tenemos que dlnk = d(ln(aH)) $ dlna = Hdt.
De la definicion de la ecuacion (2.44) se tiene
CAPITULO 2. PRELUDIO. 32
dlnk = #dN(-), (2.52)
y por tanto
ln
'kfinal
k
(= N(-), (2.53)
donde kfinal es la escala en la cual se deja el horizonte al final de inflacion del
tipo rodamiento lento. Como ya se habıa visto, esta relacion es muy util cuando
se trabaja en predicciones para una potencial dado.
* El ındice espectral.
Se tiene una expresion para PR(k) en terminos de V y V $ y queremos calcular
el ındice espectral definido por n(k)# 1 ' dPR/dlnk. Mediante (2.45) y dlnk =
#dN(-) tenemos
d-
dlnk= #M2
P
V $
V, (2.54)
donde, como siempre, k = aH. Es preciso hacer mencion que se necesitaran las
siguientes expresiones
d.
dlnk= 2./ # 4.2, (2.55)
d/
dlnk= #2./ + 02, (2.56)
d02
dlnk= #2.02 + /02 + #3, (2.57)
donde
02 ' M4P
V $
V 2
'd3V
d-2
(, (2.58)
#3 ' M6P
V $2
V 3
'd4V
d-4
(. (2.59)
CAPITULO 2. PRELUDIO. 33
De igual manera, en el caso V $ % -p, con p += 1 o 2, uno tiene |/| " |.| "| #|. La
jerarquıa puede continuar y cada nueva ecuacion introduce una nueva cantidad
M2nP V $n!1(dn+1V/d-n+1). Usando (2.55) y (2.49) uno obtiene
n# 1 = #6. + 2/, (2.60)
y usando (2.55) y (2.56) se tiene
dn
dlnk= #16./ + 24.2 + 202. (2.61)
Practicamente todos los modelos propuestos han sido de la forma V $ % -p o V $ %-pln-, y en algunos casos uno tiene - . MP . Por tanto . " (-/MP )|/| son
despreciables, y uno puede escribir
n# 1 = 2/, (2.62)
dn
dlnk= 202. (2.63)
De forma mas general uno puede argumentar que . es pequeno y que no importa
la forma del potencial que eligamos, lo cual se cumple para - . MP . Para
probar esto, tomemos el rango cosmologico con lo cual, uno puede asumir . .12 & (1/9)2 = 6& 10!3 [31].
Capıtulo 3
Introduccion a las Dimensiones
Extras.
Todo el majestuoso edificio de la ciencia contemporanea descansa en dos pro-
posiciones metafısicas, que pueden enunciarse como sigue: 1) La regularidad de
la naturaleza no reconoce excepciones, y 2) El hombre posee la capacidad de com-
prender la regularidad de la naturaleza.
Ruy Perez Tamayo. Cientıfico Mexicano.
3.1. Mundos Branas (Brane-World)
Debido a los problemas que persisten en la cosmologıa (energia oscura, ma-
teria oscura, etc..), es necesario explorar nuevas alternativas que nos den una
nueva perspectiva del Universo y con ella resolver dichos problemas. Es por esto,
que en esta seccion nos enfocaremos a mencionar algunas de las mas importante
teorıas de mundos branas que existen:
3.1.1. Teorıa-M
Los modelos de mundos brana basados en teorıa-M fueron propuestos en la
literatura, en el artıculo publicado por Horava y Witten [33], donde se propone
34
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 35
una teoria general de 11-dimensiones capaz de unificar la gravedad con el modelo
estandar y generar una teorıa unificadora consistente matematicamente. En este
modelo, 4 dimensiones son las conocidas por la relatividad general, 6 dimensiones
microscopicas son compactificadas en variedades diferenciales complejas llamadas
variedades de Calabi-Yau (tambien conocidas como variedades de Kahler (Ver
figura 3.1)) y finalmente 1 dimension del tipo cosmologica que genera un fondo
en el cual estan inmersas las diez dimensiones anteriores.
Figura 3.1: Representacion tridimensional de una variedad compleja de Calabi-
Yau.
Cabe senalar que aunque se supone que teorıa-M es una teorıa general de
unificacion de todas las fuerzas de la naturaleza, su poder predictivo no ha sido
el apropiado y ha perdido credibilidad en los ultimos anos.
3.1.2. Branas cıclicas o modelo Ekpyrotico.
Las branas ciclicas fueron propuestas por Turok y Steinhardt [38] y [40] con la
finalidad de resolver los problemas de planicidad, las perturbaciones observadas
en el CMB, la constante cosmologica y la misma gran explosion.
La idea es suponer un espacio 5-dimensional como fondo y en el interior
branas 4-dimensionales con una dinamica dada por la siguiente accion:
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 36
S = SM + SBI + Smat, (3.1)
donde SM es la accion de una teorıa-M hetereotica 5-dimensional con un conte-
nido de campo mınimo [39] matematicamente descrito por
SM =M3
(5)
2
"
(5)
d5x%#g
'R# 1
21A-1A-# 3
2
1
5!e2'FABCDEFABCDE
(
#3,
i=1
32iM3(5)
"
M(i)(4)
d40(i)
)#hie
!'
+3,
i=1
32iM3(5)
"
M(i)(4)
d40(i)
'1
4!NABCD1µX
A(i)1!X
B(i)1(X
C(i)1"X
D(i)
(, (3.2)
donde M(5) es la masa de Planck en cinco dimensiones, R es el escalar de curva-
tura en cinco dimensiones, e' es el conocido como “breathing modulus”, el cual
describe el tamano de la variedad tres dimensional de Calabi-Yau y NABCD es la
cuatro forma del campo de norma, con el campo de fuerza F = dN .
La accion SBI contiene las interacciones entre las branas y la accion Smat es
para la materia contenida en la brana dada de la forma
Smat =2,
i=1
"
M(i)(4)
d40(i)
)#hi£mat(i). (3.3)
El significado fısico de las acciones anteriores es dos branas inmersas en un espacio
de 5-dimensiones cuya dinamica genera una colision entre ellas provocando lo
que se conoce como la gran explosion evadiendo el problema de singularidad. Las
inhomogeneidades observadas en el CMB son causadas debido a que en la colision
entre dichas branas no son totalmente planas, sino que existen irregularidades
en las mismas de tal manera que el contacto en el momento de la colision no
es totalmente homogenea generando perturbaciones en el CMB. Este tipo de
modelos cıclicos tambien ayuda a proponer una hipotesis del porque la constante
cosmologica tiene un valor tan pequeno y esto es debido a que quiza la constante
cosmologica tuvo un valor grande pero conforme las colisiones entre las branas
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 37
sucedieron, la densidad de energıa de la constante cosmologica disminuyo hasta
que tuvo el valor conocido actualmente.
3.1.3. Modelo ADD
Supongamos una variedad diferencial E = M & T s, donde la accion de la
gravedad sobre dicha variedad diferencial E puede ser escrita como
Sgrav = # 1
16)G"
"d4+sx
/|g(4+s)|R(4+s), (3.4)
donde G" es la constante de gravitacion en un mundo (4+s)D. Dado la variedad
E, es posible escribir la metrica gµ!dxµdx! # $abdyadyb con µ, & = 0, 1, 2, 3 y
a, b = 1,...,s [41]. En efecto, usando dicha metrica, es posible escribir la accion
anterior como
Sgrav = # Vs
16)G"
"d4x
/|g(4)|R(4), (3.5)
donde GN = G"/Vs. Por lo que la escala fundamental de Planck, debe ser corre-
gida por [41]
M"c2 =
#!1+sc5+s
8)G"
$1/(2+s)
, (3.6)
o en unidades naturales como:
M2P = M s+2
" Vs. (3.7)
Por lo que de las ecuaciones anteriores es posible observar, que existen implica-
ciones importantes a la gravedad cuando introducimos dimensiones extras en la
accion. Por ejemplo si s = 1 el radio de la dimension extra es de R = 4.7&1012m
con M" " 4.7& 105 si s = 2, R = 3.8& 10!4m y M" " 3.0.
No solo en la gravedad es posible observar dichos efectos; de igual manera,
en los campos del Modelo Estandar se observan nuevos efectos tal y como lo
muestran los trabajos de Arkani et al. [34]. Para ejemplificar agreguemos un
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 38
campo escalar complejo 3 que vive en la variedad E = M& T s, cuya accion 5D
es
S[3] =
"d4xdy(1M3"1M3#m23"3), (3.8)
con M = 0,...5 y y denota la quinta dimension. Debido a que T 1 es compacto,
existe una periodicidad definida por la identificacion
y ( y + 2)R, (3.9)
donde se rompe la simetrıa de Lorentz del grupo SO(1, 4) al SO(1, 3). Cabe
senalar que la invariancia de la accion bajo traslacion no implica que 3 sea
invariante bajo (3.9). Por lo que es suficiente, que sea invariante hasta una fase
bajo la simetrıa de accion [59]
3(x, y + 2)R) ( exp(2)2i)3(x, y). (3.10)
Por simplicidad tomese 2 = 0 lo que implica que 3(x, y) permite una descompo-
sicion de Fourier de la siguiente forma
3(x, y) =#,
n=!#3(n)(xµ)
einy/R
%2)R
. (3.11)
Donde de la serie (3.11), el campo 3(0) se le conoce como modo cero y los otros
modos 3(n) (n > 0), son llamados modos excitados de Kaluza-Klein. Sustituyendo
(3.11) en (3.8) e integrando a la dimension extra se obtiene [59], [41]
S[3] =
"d4x
#,
n=!#(1µ3(n)"1µ3
(n) #m2n3
(n)"3(n)), (3.12)
donde (Ver Fig. 3.2)
m(n)2 = m2 +n2
R2, (3.13)
donde la teorıa efectiva del campo 3 aparece como una torre infinita de campos
con masa m(n), en general degenerada 2s veces pero con un solo modo cero [59].
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 39
n = ±2
n = ±1
n = 0
!(n) !(n) !!(n)
n = 2
n = 1
n = 0
1R2
a) b)
Figura 3.2: Espectro de masas de K-K para un campo escalar complejo en el
cırculo, a) utilizando la descomposicion (3.11) y b) en modos pares e impares.
Ambos espectros son equivalentes (Figura tomada de [59]).
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 40
*Validez del modelo ADD y cotas experimentales.
Es posible realizar un analisis de la validez del modelo ADD ası como sus
cotas experimentales mediante la comparacion de la energıa E y el inverso del
tamano de las dimensiones extras 1/R de la siguiente manera:
1. Para energıas E . 1/R la fısica habra de comportarse 4D.
2. Si 1/R < E < M", cuando se hacen mediciones a distancias cortas, un
mayor numero de excitones de Kaluza-Klein (KK), son cinematicamen-
te accesibles. Mediante esta energıa seria posible evidenciar la naturaleza
extra-dimensional.
3. A energias por arriba de M" el enfoque debe ser remplazado por una teorıa
que describa correctamente la gravedad cuantica.
Si suponemos un escenario del tipo ADD, en los aceleradores de partıculas el
efecto de los acoplamientos gravitacionales serıan principalmente de dos tipos:
1. Energıa faltante, que viaja al bulto.
2. Correcciones a las secciones eficaces provenientes del intercambio de gravi-
tones.
3. Otra senal de dimensiones extras serıa la conversion eficiente de energıa
del colisionador a radiacion de Hawking debido a la produccion de micro-
agujeros negros.
Finalmente, cabe mencionar que las cotas mas fuertes de la existencia de
dimensiones extras provienen de las observaciones cosmologicas y astrofısicas.
Por ejemplo, la cota mas restrictiva M" < 1600 TeV para n = 2 proviene de la
observacion directa de la luminosidad de las estrellas de neutrones. Mayor numero
de dimensiones extras o su topologıa en general suaviza las cotas e incluso las
evita si los gravitones pesado de KK decaen en modos de KK mas ligeros y
estables.
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 41
3.1.4. Modelos de Randall-Sundrum.
Modelos del tipo de Randall-Sundrum [35]-[36], [42] fueron propuestos con la
finalidad de resolver el problema de jerarquıa de la fısica de partıculas. La idea
para resolver dicho problema es la siguiente: Propongamos dos branas planas
fijas en los puntos y = 0, y = )r con tensiones ' y #' respectivamente, ası como
la suposicion de una constante cosmologica negativa ## que tiene el espacio de
fondo donde las branas estan inmersas.
En efecto, bajo dichas consideraciones las componentes de la metrica 5D solo
dependen de la quinta coordenada, por tanto uno tiene el ansatz [41]
ds2 = !2(y)/µ!dxµdx! # dy2, (3.14)
donde se parametriza !(y) = e!)(y). La accion propuesta por Randall y Sundrum
contiene S = Sgrav + So + Sv, i.e. una parte gravitacional, una brana oculta y
una brana visible; donde
Sgrav =
"d4xdy
%g(5)
'1
2k2"R(5) + #
(, (3.15)
mientras que la parte de la branas puede ser escrita como
So,v =,
i=±
'i
"d4x
%go.v (3.16)
donde go,v es referido a la metrica inducida para la brana oculta y visible respec-
tivamente. Notese que k2" = 8)G" = M!3
" .
La ecuacion de Einstein cinco dimensional para la accion dada
GMN = #k2"#gMN + k2
"'
0#go
g(5)$µM$!
Ngµ!$(y)# k2"'
0#gv
g(5)$µM$!
Ngµ!$(y # )r),
(3.17)
donde el tensor de Einstein es el usual GMN = RMN # 12gMNR(5). De aquı es
sencillo obtener dos ecuaciones independientes de la forma
Gµ! = #3gµ!
%#4$$ + 2(4$)2
&; Gµ5 = 0; y G55 = #6g55(4
$)2. (3.18)
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 42
Usando la ecuacion (3.17) uno obtiene
6(4$)2 = k2"#, 34$$ = k2
"' ($(y)# $(y # )r)) . (3.19)
Donde de la ultima ecuacion es posible obtener la solucion
4(y) = µ|y|. (3.20)
donde µ2 = k2!"6 = "
6M3!. La condicion de ajuste fino vendrıa dado por
# =' 2
6M3", (3.21)
de aquı automaticamente se sigue
ds2 = e!2µ|y|/µ!dxµdx! # dy2. (3.22)
La escala de Planck efectiva en la teorıa de Randall-Sundrum se escribirıa como
[41]
M2P =
M3"
µ
%1# e!2µ*r
&(3.23)
para r grandes se recupera la forma familiar de las dimensiones extras.
Como se habıa mencionado anteriormente, una de los principales intereses
de los modelos de Randall-Sundrum [35]-[36] es el problema de jerarquıa. Para
ejemplificar esto, tomemos un accion con campo escalar dentro de la brana visible
de la siguiente manera:
SH =
"d4x!4()r)
1!!2()r)1µH1µH # 5
%H2 # 2v2
0
&23
. (3.24)
Como regla, escogemos todo parametro adimensional de la teorıa para ser na-
turalmente dado en terminos de M" el cual esta cerca de la masa de Planck.
De tal manera que tomemos 2v0 " M . Despues de introducir la normalizacion
H ( !!1()r)H = eµr*H para recuperar el termino cinetico, la accion anterior
puede ser escrita como
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 43
SH =
"d4x
11µH1µH # 5
%H2 # 2v2
&23
, (3.25)
donde el vacıo actual vendrıa dado por v = e!µ*r. Por tanto, escogiendo µr " 12,
la masa fısica del campo escalar, y su vacıo, aparecerıan naturalmente a escalas
de TeV, sin ningun problemas jerarquico en el radio [41].
3.1.5. Modelo DGP
El modelo DGP propuesto por Dvali, Gabadadze y Porrati [37] asume una
brana 4-dimensional inmersa en un espacio 5-dimensional de Minkowski con la
finalidad de encontrar modificaciones al comportamiento de la gravedad en cuatro
dimensiones.
La idea es como sigue: Propongamos una accion de la forma
S = M3
"d5X
%GR(5) + M2
P
"d4x
)|g|R, (3.26)
donde M es la masa 5D de Planck y MP es la masa de Planck 4D. GAB(X) 'GAB(x, y) denota una metrica 5D para la cual, el escalar de Ricci 5D es R(5).
Cabe se˜alar que la brana esta localizada en y = 0.
Como un ejemplo instructivo, el articulo de Dvali et al. [37] sugiere agregar
una campo escalar 5D de la forma:
S = M3(5)
"d4xdy1A&(x, y)1A&(x, y) + M2
P
"d4xdy$(y)1µ&(x, y)1µ&(x, y),
(3.27)
donde & es un campo escalar. Efectivamente, la ecuacion de movimiento mode-
lada por la accion anterior viene dada de la forma
212A& +( 6$)212
µ& = 0, (3.28)
donde las primas denotan derivadas con respecto a y ası como 6$ es el pico de la
funcion en el punto y = 0.
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 44
Para encontrar el potencial de la ecuacion de movimiento anterior es necesario
acudir a la funcion retardada de Green escrita de la forma
%M3
(5)1A1A + M2P $(y)1µ1
µ&GR(x, y; 0, 0) = $(4)(x)$(y), (3.29)
donde GR(x, y; 0, 0) = 0 para x0 < 0 [37].
Es claro que el potencial bajo la influencia del campo escalar & sobre la
variedad 4D de la brana, estarıa determinada por:
V (r) =
"GR(t, ,x, y = 0; 0, 0, 0)dt, (3.30)
donde r ')
x21 + x2
2 + x23. Como es habitual, para encontrar la funcion de Green
es necesario realizar la respectiva transformada de Fourier con respecto a la
variedad 4-dimensional xµ
GR(x, y; 0, 0) '"
d4p
(2))4eipxGR(p, y). (3.31)
Cambiando al espacio euclıdeo la ecuacion (3.29) se tiene
%M3
(5)(p2 # 12
y) + M2P p2 $(y)
&GR(p, y) = $(y), (3.32)
donde p2 denota el cuadrado del 4-momento euclıdeo. Efectivamente la solucion
con condiciones de frontera apropiadas viene dada de la forma
GR(p, y) =e!p|y|
M2p p2 + 2M3
(5)p, (3.33)
donde p ')
p2 =)
p24 + p2
1 + p22 + p2
3. Haciendo uso de la ecuacion (3.30) el
potencial mediado por un campo escalar en una brana 4-dimensional de la forma
V (r) = # 1
8)2M2P
1
r
#sen
'r
r0
(Ci
'r
r0
(+
1
2cos
'r
r0
( #) # 2Si
'r
r0
($$,
(3.34)
donde Ci(z) ' 7 + ln(z) +4 z
0 dt(cos(t) # 1)/t, Si(z) =4 z
0 dtsen(t)/t donde
7 * 0.577. Donde r0 viene dada de la forma
CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 45
r0 'M2
P
2M3(5)
. (3.35)
La expresion anterior es una expresion geometrica que relaciona el comporta-
miento a cortas y largas distancias.
Para finalizar, es importante observar el comportamiento del potencial a cor-
tas y largas distancias. Por tanto tenemos que a cortas distancias r << r0 el
potencial puede ser escrito como
V (r) * # 1
8)2M2P
1
r
#)
2+
'#1 + 7 + ln
'r
r0
(( 'r
r0
(+O(r2)
$, (3.36)
donde es posible observar que a cortas distancias el potencial es el clasico observa-
do en la teorıa 4D Newtoniana ası como una modificacion repulsiva logarıtmica.
Por otra parte, para comportamientos a largas distancias r >> r0 se tiene:
V (r) * # 1
8)2M2P
1
r
#r0
r+O
'1
r2
($, (3.37)
por lo que a largas distancias el potencial escala como 1/r2 en concordancia con
las leyes de las teorıas 5-dimensionales.
Cabe senalar, que el modelo DGP es una alternativa al problema de la ace-
leracion del Universo mediante el uso del parametro r0 obviamente realizando
acotaciones sobre la masa de Planck 5-dimensional M(5).
Capıtulo 4
Cosmologıa con Consideraciones
Topologicas
Lo esencial es invisible a los ojos.
El zorro del Principito (capıtulo XXI) de Antoine de Saint-Exupery.
4.1. Explorando la dinamica del Universo a par-
tir de consideraciones topologicas.
En esta seccion se explorara la dinamica de un universo que contiene dos
branas simetricamente esfericas S3 4-dimensionales inmersas en un espacio de
fondo 5-dimensional dichas branas no interactuan entre ellas, excepto con el
fondo. Cabe senalar que los resultados pueden ser generalizado a las otras dos
topologıas homogeneas e isotropas conocidas (R3, H3) [11].
Se asume, como condiciones iniciales, que el factor de escala de la brana
interior esta dada por a1 y la brana exterior (donde vivimos) tiene el factor de
escala a2, con a1 < a2. Por simplicidad, se supone un centro comun (Ver Figura
4.1).
Cabe senalar que se supone que la materia solo esta confinada en las bra-
nas, siendo el contenido de la brana interior un campo escalar auto-interactuante
46
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS47
Figura 4.1: Dos branas concentricas de tamano a1 y a2 respectivamente, con
tensiones # iguales y energıas de vacıo #1, #2 y #3 respectivas a cada region
generada por ambas branas.
(campo de espın cero) que posteriormente se senalara como materia oscura, mien-
tras que en la brana exterior existiran los campos del modelo estandar (campo
de espın uno) de partıculas.
Con dichas hipotesis se mostrara lo siguiente:
1. El campo escalar en la brana interior, actua como inflaton, expandiendo la
brana interior y provocando que colisione con la brana exterior, la cual se
encontrara en equilibrio termico despues de la colision. De aquı se desprende
una gran explosion tal como en los escenarios ekpyroticos [38]-[40].
2. Es posible escoger parametros libres en el modelo de tal manera que despues
de la colision ambas branas se expanda juntas.
3. Las fluctuaciones inducidas por la colision en el campo escalar, provocan
pozos de potencial que posteriormente daran paso a la formacion de es-
tructura en la brana exterior, actuando como semillas en la formacion de
galaxias en la brana donde vivimos vıa interacciones gravitacionales. Des-
pues de la colision la fısica de la brana exterior esta relacionada con los
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS48
modelos cıclicos y ekpyroticos [38]-[40].
La diferencia de este modelo con los anteriores es la hipotesis de las condicio-
nes iniciales ası como el contenido de materia en las branas. Por ejemplo, despues
de la colision, la brana exterior se comporta de una manera muy similar al mo-
delo presentado por Liddle y Urena [43]. El problema de este ultimo modelo es el
periodo de recalentamiento, donde no es natural que el Universo se recaliente. Sin
embargo en el modelo presentado, la epoca de recalentamiento no es necesaria
debido a que este sucede como consecuencia de la colision de las branas de la
misma manera que en los modelos ekpyroticos [38]-[40].
Cabe resaltar que existen muchas preguntas abiertas, las cuales pueden ser re-
sueltas en trabajos anteriores como ([39], [40], [44], [45] y [46]).
A continuacion se mostrara el modelo desarrollado [11].
4.1.1. El Modelo.
Supongase dos branas inmersas en un fondo 5-dimensional. La forma de la
accion para dicho modelo tiene la estructura fısica dada por
S =
"dX5
)#g(5)m
3(5)
%R(5) + #
&#
,
±
"
±dx4
)#g±
%2m3
(5)K± + £±&
(4.1)
siendo± la region exterior o interior de la brana respectiva, g(5) es la determinante
de la metrica 5-dimensional y g la determinante de la metrica 4-dimensional, m(5)
es la masa de Planck 5D, R(5) es el escalar de curvatura 5D, K es la curvatura
extrınseca y # es la constante cosmologica 5D, £+ es el Lagrangiano de los
campos contenidos en la brana exterior (espın cero) y £! es el Lagrangiano de
los campos contenidos en la brana interior (espın uno).
El fondo puede ser descrito en coordenadas naturales de la forma [47]
ds2(5) = #A(a)±dt2± +
1
A(a)±da2 + a2
5d6 + sen2(6)(d*2 + sen2(*)d32)
6. (4.2)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS49
Ahora, es preciso resolver la ecuaciones de Einstein 5D R(5)AB= 2
3#±g(5)AB
con
(A = B = 1, · · · , 5) para la funcion A(a)± mas general, donde se obtiene:
A(a)± = 1# 2M±
m3(5)a
2# #±
6a2, (4.3)
donde 2M±
m3(5)
es el parametro de masa del agujero negro en AdS-S(5) [45] y "±
6 es
la constante cosmologica 5D en el fondo.
Por otra parte, si se considera la ubicacion de las dos branas con t = t('),
a = a(') parametrizadas por el tiempo ' , se tiene la metrica 4D inducida como
ds2(4)i = #d' 2 + a2
i (')5d62 + sen2(6)
%d*2 + sen2(*)d32
&6, (4.4)
donde los subındices i = 1, 2 denotan a las dos branas, teniendo en mente que
a1 < a2. Cabe senalar que las funciones t(') y a(') tiene las constricciones dadas
por
u!u! = gµ!uµu! = #A(ai)t
2 + A(ai)!1a2
i = #1, (4.5)
siendo uµ = (t, ai, 0, 0) la velocidad de la brana. Los puntos representan diferen-
ciacion con respecto a ' . En efecto, si se define el vector unitario normal a la
branas n±µ tal que n±µ uµ = 0 y n±µ n±µ = 1, las componentes vendrıan dadas por
n±µ = ±1ai,#A(ai)
!1%A(ai) + a2
i
& 12 , 0, 0
3. (4.6)
Siguiendo [29], [48] y [49] es posible construir la curvatura extrınseca usando la
ecuacion
Kµ! = #g"µ)"n! . (4.7)
Las componentes no nulas de Kµ! pueden ser escritas como
K±tt = #
1ai + 1
2+A(ai)±
+ai
3
(a2i + A(ai)±)
12
, (4.8)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS50
K±,, = K±&
& = K±-- =
(a2i + A(ai)±)
12
ai. (4.9)
Con las ecuaciones de movimiento de la brana se sigue [29], [48] y [49]:
[K]gµ! # [Kµ! ] = k2(5)Tµ! , (4.10)
)!T!µ = [Tµn], (4.11)
donde k2(5) = 8*
m3(5)
, [Kµ! ] = K+µ!#K!
µ! y Tµ! es el tensor energıa momento. Usando
la ecuacion (4.9) uno encuentra
(a2i + A(ai)!)
12 # (a2
i + A(ai)+)12 =
ai
3k2
(5)"i, (4.12)
donde se asume que el contenido de materia de las branas puede ser representado
como fluidos perfectos con densidad "i y presion Pi
La ecuacion (4.11) representa la conservacion de la energıa en la brana, dada
por
d
dt("ia
3i ) + Pi
d
dt(a3
i ) = 0. (4.13)
4.1.2. Ecuaciones de Friedmann modificadas.
En esta seccion se escribiran las ecuaciones de campo del modelo. Primero es
imprescindible distinguir entre tres regiones de vacıo, la primera esta localizada
dentro de la brana interior, a la cual llamaremos region I, la segunda esta localiza-
da entre ambas branas, region II y la tercera region sera los alrededores externos
de la brana exterior, region III (ver figura 4.1). Ahora considerese la siguiente
analogıa con un sistema electromagnetico. Imagine un conductor cargado, es bien
sabido que en el interior de las conductores no existe campo electrico mientras
que en el exterior si existe y el cual pude ser calculado mediante el principio de
superposicion. Teniendo en mente el regimen lineal entre el electromagnetismo y
la gravitacion, la analogıa resulta obvia.
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS51
Por lo tanto para la region de la brana interior (I) puede escribirse mediante
la ecuacion (4.3) como
A(a1)! = 1# #1
6a2
1, (4.14)
donde efectivamente no existe potencial gravitacional dentro de la region I. Sin
embargo, en la region entre las branas (region II), la ecuacion (4.3) puede ser
escrita como
A(a1)+ = 1# 2M1
m3(5)a
21
# #2
6a2
1, (4.15)
donde M1 es la masa de la brana interior. Si sustituimos las ecuaciones (4.14) y
(4.15) en la ecuacion (4.12) se tiene
a21
a21
+1
a21
=k4
(5)"21
36+
#1 + #2
12+
M1
m3(5)a
41
+(#2 # #1)2
16"21k
4(5)
+9M2
1
m6(5)k
4(5)"
21a
81
+3M1(#2 # #1)
2m3(5)a
41k
4(5)"
21
. (4.16)
Por otra parte, dentro de la brana exterior (region II nuevamente) se tiene
A(a2)! = 1# 2M1
m3(5)a
22
# #2
6a2
2. (4.17)
Finalmente, fuera de la brana exterior (region III), la masa total es M = M1+M2
debido al principio de superposicion, por tanto se tiene
A(a2)+ = 1# 2(M1 + M2)
m3(5)a
22
# #3
6a2
2. (4.18)
Nuevamente, sustituyendo las ecuaciones (4.17) y (4.18) en (4.12) se obtiene
a22
a22
+1
a22
=k4
(5)"22
36+
#3 + #2
12+
2M1 + M2
m3(5)a
42
+(#3 # #2)2
16"22k
4(5)
+9M2
2
m6(5)k
4(5)"
22a
82
+3M2(#3 # #2)
2m3(5)a
42k
4(5)"
22
. (4.19)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS52
Las expresiones (4.16) y (4.19) son conocidas como ecuaciones de Friedmann de la
brana interior y exterior respectivamente. En ambas ecuaciones (4.16) y (4.19),
el tercer, cuarto, quinto y sexto termino estan presentes si suponemos que no
existe simetrıa Z2. Ambas ecuaciones estan de acuerdo con lo obtenido por Ida.
[47], excepto por el tercer, cuarto, quinto y sexto termino el cual es caracterıstico
de dicho modelo.
4.1.3. Los Escenarios.
De acuerdo a lo propuesto de mundos brana, es natural asumir que las com-
ponentes de materia consisten en la tension de la brana # y los campos ordinarios
"sf y "m tales que la densidad de la brana vendrıa dada por
"1 = "sf + #, P1 = psf # #, (4.20)
"2 = "m + #, P2 = pm # #, (4.21)
donde "m y pm denotan la densidad de energıa y la presion de la materia de
campos de espın uno antes de la colision. Despues de la colision uno puede in-
terpretar a "m y pm como bariones mas radiacion mas neutrinos, etc... Por otra
parte, "sf y psf denotan la densidad de energıa y presion de un campo escalar
autointeractuante respectivamente y # es la tension de la brana.
Ahora supongamos dos escenarios. El primero corresponderıa a densidades
muy altas en comparacion con la tension de la brana "i >> # (i = sf, m) y el
segundo corresponderıa a densidades muy bajas en comparacion con la tension
de la brana "i << # (i = sf, m).
1. Lımite de Altas Energıas en el Universo Temprano.
Primero analicemos la evolucion de las branas cuando "i >> #, i = sf, m.
Este escenario corresponde al Universo despues de la colision. Asumamos
las siguientes condiciones de ajuste fino en el interior de la brana #1/6 =
2#(5)/3, #2/6 = #25(5)/3, con k4(5) = 36(2
(4)/6# donde 5(5) ! (1018GeV )4
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS53
es del orden de magnitud de las fluctuaciones cuanticas del vacıo predichas
por el modelo estandar [20]. Remplacemos las ecuaciones Eq. (4.20) en Eq.
(4.16) para obtener
a21
a21
+1
a21
=(2
(4)
3"sf
11 +
"sf
2#
3+
#4D1
3
+M
m3(5)a
41
-1#
#(#(5) + 5(5))
2(2(4)#"sf
%1 + #sf
2$
&+ #2(2
(4)
.&
3M2
m6(5)a
81(
2(4)
#
4#"sf
%1 + #sf
2$
&+ 2#2
, (4.22)
donde
#4D1 =
(2(4)#
2+ (#(5) # 5(5)) +
#(5(5) + #(5))2
4(2(4)#"sf
%1 + #sf
2$
&+ 2#2(2
(4)
, (4.23)
esto es debido a que en altas energıas se tiene que
"2sf " 2#"sf
11 +
"sf
2#
3+ #2
donde por simplicidad asumimos que M1 = #M2 = #M , donde no existe
interpretacion fısica. Por tanto, imponiendo "sf . # y proponiendo (2(4)# !
5(5) obtenemos
'a1
a1
(2
+1
a21
!(4
(4)
3
"2sf
25(5)+
#4D1
3+
M
m3(5)a
41
, (4.24)
con
#4D1 = #
5(5)
2. (4.25)
De la misma forma para la brana exterior es posible obtener las siguientes
condiciones de ajuste fino #3/6 = 2#(5)/3. Nuevamente, si uno remplaza
las condiciones previas y (4.21) en (4.19) se tiene
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS54
a22
a22
+1
a22
=(2
(4)
3"m
11 +
"m
2#
3+
#4D2
3
+M
m3(5)a
42
-#1 +
#(#(5) + 5(5))
2(2(4)#"m
%1 + #m
2$
&+ #2(2
(4)
.
+3M2
m6(5)a
82(
2(4)
#
4#"m
%1 + #m
2$
&+ 2#2
, (4.26)
con
#4D2 =
(2(4)#
2+ (#(5) # 5(5)) +
#(5(5) + #(5))2
4(2(4)#"m
%1 + #m
2$
&+ 2#2(2
(4)
. (4.27)
Nuevamente, utilizando la condicion
"2m " 2#"m
11 +
"m
2#
3+ #2, (4.28)
por tanto, en el lımite donde "m / # y (2(4)# ! 5(5), se obtiene
'a2
a2
(2
+1
a22
!(4
(4)
3
"2m
25(5)+
#4D2
3# M
m3(5)a
42
, (4.29)
con
#4D2 = #
5(5)
2. (4.30)
Las relaciones (4.24) y (4.29) son las ecuaciones de Friedmann para un
Universo temprano dentro de nuestro modelo. Observese que la densidad
"sf aparece cuadratica en la ecuacion (4.24), por lo que conlleva a que
la brana que contiene los campos escalares infla, aun con una masa para
el campo escalar muy pequena. Dicha inflacion provocarıa que la brana
interior colisione con la brana exterior, donde el contenido de materia es
unicamente campos de espın uno. Consecuencias interesantes se senalaran
mas adelante bajo dichas hipotesis.
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS55
2. Lımite de Bajas Energıas en el Universo Tardıo.
De la misma manera es posible analizar el regimen "i . #, i = sf, m para
el Universo tardıo usando las mismas condiciones que en el regimen previo.
Es posible obtener las siguientes dos relaciones para las branas 1 y 2.
a21
a21
+1
a21
=(2
(4)
3"sf
11 +
"sf
2#
3+
#4D1
3
+M
m3(5)a
41
-1#
#(#(5) + 5(5))
2(2(4)#"sf
%1 + #sf
2$
&+ #2(2
(4)
.
+3M2
m6(5)a
81(
2(4)
#
4#"sf
%1 + #sf
2$
&+ 2#2
, (4.31)
a22
a22
+1
a22
=(2
(4)
3"m
11 +
"m
2#
3+
#4D2
3
+M
m3(5)a
42
-#1 +
#(#(5) + 5(5))
2(2(4)#"m
%1 + #m
2$
&+ #2(2
(4)
.
+3M2
m6(5)a
82(
2(4)
#
4#"m
%1 + #m
2$
&+ 2#2
, (4.32)
con
#4D1 =
(2(4)#
2+ (#(5) # 5(5)) +
#(5(5) + #(5))2
4(2(4)#"sf
%1 + #sf
2$
&+ 2#2(2
(4)
, (4.33)
#4D2 =
(2(4)#
2+ (#(5) # 5(5)) +
#(5(5) + #(5))2
4(2(4)#"m
%1 + #m
2$
&+ 2#2(2
(4)
. (4.34)
De la misma forma que en la parte anterior, esto es debido a que "2i =
2#"i
%1 + #i
2$
&+ #2, (i = sf, m). Por tanto imponiendo la condicion "i . #
ası como (2(4) ! 5(5), se obtiene
'a1
a1
(2
+1
a21
!(2
(4)
3"sf +
#4D1
3+
3M2
2m6(5)5(5)a8
1
, (4.35)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS56
'a2
a2
(2
+1
a22
!(2
(4)
3"m +
#4D2
3+
3M2
2m6(5)5(5)a8
2
, (4.36)
donde encontramos el resultado importante
#4D1,2 = #(5). (4.37)
Por tanto, es posible fijar una constante cosmologica #(5) " (10!12GeV )4
de tal manera que #4D1,2 tenga el valor de las observaciones de la constante
cosmologica cuatro dimensional [20]. Las ecuaciones (4.35) y (4.36) son las
ecuaciones de Friedmann para un Universo en epocas tardıas, las cuales
dan la dinamica de las branas. De las similitudes de las ecuaciones (4.35)
y (4.36) es posible observar que la dinamica es muy similar en epocas
tardıas, lo que llevarıa a concluir que es posible fijar los parametros libres
del modelo de tal manera que se obtengan dos branas expandiendose juntas
manteniendo una distancia constante entre ellas.
4.1.4. La Dinamica.
a) Inflacion con geometrıa esferica. Ahora, nos enfocaremos a estu-
diar la dinamica de las branas mencionadas anteriormente. La idea
principal del modelo que estamos tratando aquı, es no fijar las condi-
ciones iniciales. En vez de eso, fijamos la topologıa inicial del modelo de
la siguiente manera. Supongamos que existen dos branas concentricas
S3. En la brana interior vive un campo escalar y en la exterior viven
los campos de espın uno. La materia contenida en la brana exterior
tiene la ecuacion de estado p = (7 # 1)", cuya densidad evoluciona
como " + 3 aa7" = 0 con (4.13). Durante el Universo temprano, la ex-
pansion de las branas sigue la expresion (4.29), por tanto la brana
exterior evoluciona como
a22 + 1 =
(4(4)
3
"20
2a6%!22 5(5)
+#2
3a2
2 #M
m3(5)a
22
, (4.38)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS57
o si la expresion es derivada con respecto a t se obtiene
2a2 = #(67 # 2)(4
(4)
3
"20
2a6%!12 5(5)
+ 2#2
3a2 + 2
M
m3(5)a
32
. (4.39)
Si durante este periodo, la brana exterior es dominada por materia,
el primer termino tenderıa a " a!5, si la brana esta dominada por
radiacion, el termino tenderıa a " a!7. En cualquier caso, durante
este periodo el primer termino dominarıa sobre los otros dos, indicando
que esta brana comienza con una aceleracion negativa suficientemente
grande, pero decrece su aceleracion lo suficientemente rapido conforme
evoluciona [11].
En la otra brana, la situacion es completamente diferente debido al
hecho de que la brana es permeada con un campo escalar, donde su
evolucion esta gobernada por la ecuacion (4.24). Durante la epoca en
donde la densidad es lo suficientemente grande, los dos ultimos termi-
nos del lado derecho de la ecuacion (4.24) pueden ser despreciados.
En la aproximacion de rodamiento lento esta ecuacion se reduce a
H2 *7
8)
3m2(4)
8V
#1 +
V
2#
$, (4.40)
& * # V $
3H. (4.41)
Donde V es el potencial del campo escalar. Por tanto, usando los
parametros de rodamiento lento se tiene
. * 2
(2(4)
'V $
V
(2 1 + V/#
(2 + V/#)2, (4.42)
/ 'm2
(4)
8)
'V $$
V
(2#
2# + V. (4.43)
si, por ejemplo, el potencial del campo escalar es una funcion expo-
nencial V = V0exp(#2((4)-), . esta dado por [50]
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS58
. * 222#
V. (4.44)
Durante este periodo V/# / 1 [51], por tanto . < 1 y la brana
infla mientras . " 1, esto es, mientras el potencial del campo escalar
alcanza Vfin " 222#. Si el potencial es V = 12m
2'-
2, el parametro de
rodamiento lento serıa
. " 8
(2(4)
1
-2
1 + V/#
(2 + V #)2=
m2Pl
)-2
1 + V/#
(2 + V/#)2, (4.45)
esto significa que si V / #, la inflacion termina cuando el campo esca-
lar tiene el valor -2 " 1*
$V m2
Pl. Para ambos potenciales, el interior de
la brana infla y colisiona con la exterior, calentando las branas rapida-
mente. El calor de las branas esencialmente depende de las constantes
de interaccion entre el campo escalar y la materia y por supuesto de la
velocidad de la colision. La inflacion en el interior de la brana de igual
manera hace crecer las fluctuaciones cuanticas del campo escalar, de
tal manera que despues de que inflacion termine, la brana interior con-
tiene un espectro de potenciales semiclasicos los cuales se convertiran
en las semillas para la formacion de estructura en la brana exterior.
Entre ambos regımenes, durante la colision de las branas la fısica de las
branas es tal como los modelos ekpyroticos [52]. Durante la colision, es
necesario tomar en cuenta los efectos de gravedad cuantica debido a la
interaccion de ambos espacios-tiempo. De las ecuaciones anteriores, se
observa que ambas branas se expanden siguiendo la misma dinamica.
El campo escalar alcanza su mınimo de potencial implicando que para
ese periodo el potencial del campo escalar se comporta como " -2.
El campo escalar en la brana interior induce pozos de potencial en la
exterior vıa interacciones gravitacionales, las cuales evolucionan como
materia oscura frıa (ver [1]).
b) El Campo Escalar como Materia Oscura.
Como se habıa explicado anteriormente, el campo escalar confinado
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS59
en la brana produce pozos de potencial a lo largo de toda la brana,
causado por el crecimiento extremo de las fluctuaciones del campo
escalar durante inflacion. En la brana exterior, la materia siente estos
pozos de potencial como una fuerza extra gravitacional, sin embar-
go esta no puede ser detectada mediante otra interaccion mas que
la gravitacional. De manera que podamos ajustar el modelo de ma-
terıa oscura escalar a observaciones galacticas y cosmologicas, la masa
del campo escalar medido en la brana exterior debe ser ultra-ligera
Msfdm " 10!22eV . Sin embargo, esta masa ultra-ligera causa proble-
mas de jerarquıa los cuales pueden ser resueltos mediante la prescrip-
cion de Randall-Sundrum [35]-[36]de la siguiente manera. El campo
escalar parte de la accion
Sinterior =
"d4x£sf =
"d4x
%#g
5gµ!-,µ-,! + m2
sf-26. (4.46)
Donde al usar coordenadas Gausianas normales para una metrica AdS
ds2 = e!2ky/µ!dxµdx! +dy2, la accion (4.46) en la brana exterior tiene
la forma
Sexterior =
"d4x
5/µ!-,µ-,! + m2
sf-26, (4.47)
donde se realizo la identificacion e.y- ( -, e!.ymsf = msfdm y
02 = "6M3
(5)conforme las dos branas se expanden juntas, y perma-
nece constante despues de la colision. Por tanto, con la prescripcion
anterior es suficiente que 0 " 82 para una masa de campo escalar
de msf " 5& 105M(5). Esto significa que observamos una masa ultra
ligera del campo escalar en la brana exterior mientras que en la brana
interior el campo escalar tiene una masa significativamente viable fısi-
camente. Aun mas, dicha masa ultra ligera, fija una distancia mınima
entre dichas branas.
Dicha masa ultra ligera significa que con un solo parametro libre en la
brana exterior este campo escalar se comporta como un campo escalar
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS60
de materia oscura [2], con las siguientes importantes implicaciones:
La masa ultra ligera del campo escalar se ajusta a:
1) La evolucion de las densidades de las componentes cosmologicas
[1].
2) Las curvas de rotacion en las galaxias [3] ası como los perfiles de
densidad en las galaxias LSB [4].
3) Con la masa del SF, la masa crıtica de colapso para un campo
escalar real serıa de 1012 M%, i.e., las observadas en halos de
galaxias [5].
4) El perfil de densidad central de la materia oscura es plano [4].
5) El campo escalar tiene un corte natural, de tal manera que la
subestructura en cumulos de galaxias es evitada naturalmente.
Con la masa del campo escalar de m' " 10!22eV la cantidad de
subestructura es compatible con las observaciones [6]
6) SFDM forma galaxias de manera mas temprana que el modelo
CDM, debido a que forman condensados de Bose-Einstein a una
temperatura crıtica de Tc / TeV . De tal manera que si el mo-
delo SFDM es correcto, se deberıan observar galaxias a grandes
redshifts.
4.2. Ventaja de los modelos Ekpyroticos o Cıcli-
cos sobre los modelos Inflacionarios.
Los modelos Ekpyroticos de branas genera soluciones practicas a los proble-
mas cosmologicos en los cuales es necesario introducir una expansion inflaciona-
ria. Algunas de las respuestas a dichos problemas seran mencionados a continua-
cion:
1. El origen de la materia. Una fraccion significante de la energıa cinetica
contenida en las branas en movimiento es convertida en energıa termica en
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS61
forma de radiacion en la brana visible, proveyendo del contenido de materia
que actualmente se observa en el Universo [52].
2. La homogeneidad e isotropıa en el Universo. Debido a que las branas
son (casi) paralelas ellas colisionaran (casi) al mismo tiempo en todos los
puntos, produciendo una densidad de energıa con una temperatura (casi)
constante, “ekpyrotic temperature”, por todo el Universo visible [52].
3. Planicidad espacial en el Universo. La planicidad espacial del Univer-
so se sigue de asumir branas inicialmente planas con densidad de energıa
cercana al vacıo [52].
4. Las semillas de la estructura a gran escala. Aunque las branas empie-
zan planas y paralelas, estas se someten a fluctuaciones cuanticas durante
su trayecto a traves de la quinta dimension. Debido a esto las branas tie-
nen “arrugas”, lo que genera que algunas partes colisionan mas temprano
o tarde en promedio obteniendo regiones mas frıas o calientes respectiva-
mente. Estas perturbaciones primordiales crecen para convertirse en las
anisotropıas de la radiacion cosmica de fondo y ser semillas de las estruc-
turas a gran escala que se observan actualmente. La adiabaticidad de las
perturbaciones es facil de comprender en este formalismo donde la distan-
cia entre estas branas aparece como un campo escalar. Se supone que el
ındice espectral es casi un variante escalar dado que dichas condiciones
cambian muy lentamente durante el movimiento de las branas a tarves de
la quinta dimension. En este formalismo existe un numero de parametros
libres cuya magnitud natural es difıcil de estimar, de tal manera que no es
claro como obtener naturalmente las correctas pequenas amplitudes para
las perturbaciones [52].
5. La ausencia de defectos topologicos. La produccion de reliquias no
deseadas es altamente suprimidas si la temperatura ekpyrotica es mas baja
que la escala de energıa a la cual dichas reliquias se producen. Cabe senalar,
que en contraste con los modelos inflacionarios, la temperatura del Universo
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS62
es en tiempo no superior a la temperatura ekpyrotica [52].
6. El problema de la singularidad. En los escenarios ekpyroticos, el Big
Bang es iniciado a alguna temperatura finita donde no existe singularidades
en la curvatura. Debido a que este tipo de escenarios surge de la teorıa-M
heteriotica, los teoremas de singularidades caracterısticos de la relatividad
general, la cual es una aproximacion de bajas energıas de la teorıa-M, no
necesariamente son aplicables. Sin embargo, los escenarios ekpyroticos no
incluyen una descripcion de lo que pasa antes del inicio del movimiento de
las branas. Cualquier modelo donde el tiempo no sea infinitamente exten-
dido hacia el pasado es por su puesto geodesicamente incompleto y por lo
tanto singular [52].
4.3. Branas con campo escalar de materia oscu-
ra: La perspectiva dinamica.
Como se habıa hecho enfasis anteriormente, la idea es asumir que la materia
oscura solo vive en la brana interior (brana oculta) y la unica manera en que
interacciona dicho campo con los campos del modelo estandar, es mediante la
gravedad [11]. Por esta razon, asumimos que no es posible la deteccion directa
de la materia oscura en nuestro Universo.
Basandonos en estas ideas, hemos enfocado dicha seccion en estudiar las cons-
tricciones topologicas y las perturbaciones escalares producidas por un campo
escalar real en la brana oculta con la finalidad de analizar esta clase de modelos
como formas alternativas de explicar el particular comportamiento de la materia
oscura. Para dar un orden a dichas ideas, hemos separado nuestro estudio en dos
puntos importantes.
El primero punto es continuar el trabajo de Garcia-Aspeitia y Matos [11],
donde se consideran dos branas concentricas esfericas inmersas en un fondo 5D
que ayuda a explicar el comportamiento de la materia oscura. Sin embargo, en
esta seccion nosotros solamente consideraremos una pequena region localmente
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS63
plana de dichas branas esfericas con la finalidad de obtener dos branas planas 3D
inmersas en un fondo 5D. La primera brana la consideraremos como la exterior o
visible (nuestro Universo), cuya fısica esta dictada mediante el modelo estandar
de partıculas y la otra, la conoceremos como la brana interior u oculta la cual
contiene un campo escalar real, cuya interaccion gravitacional producida por el
SF es interpretado como materia oscura (ver figura 4.2).
b0
Hidden Brane Visible Brane
Standard ModelScalar Field
Figura 4.2: Modelo de dos branas planas separadas por una distancia b0. La brana
oculta contiene un campo escalar y la brana visible (nuestro Universo) contiene
el modelo estandar de partıculas (Tomada de [12]).
De aquı se sigue que las interacciones entre las dos branas es unicamente
gravitacional debido a los pozos de potencial producidos por dichos campos en
las branas ası como por la topologıa sugerida.
Por otra parte, los campos de espın-0 o campos escalares mınimamente aco-
plado a la gravedad. Son buenos candidatos para ser materia oscura. Si escoge-
mos apropiadamente el potencial del campo escalar y fijamos su masa, es posible
asociar dicho campo de espın-0 con la materia oscura. Trabajos recientes (Por
ejemplo [1]) proponen un campo escalar real con potencial V (&) = m2!&2/2 como
candidato plausible para materia oscura. Sin embargo como se menciono ante-
riormente es necesario fijar una masa ultraligera para dichos bosones de aproxi-
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS64
madamente m! " 10!22eV de manera que se fije a observaciones cosmologicas.
Este modelo alternativo de materia oscura, es tambien conocido materia oscu-
ra de campo escalar [2], [6], materia oscura como condensado de Bose-Einstein
(BEC-DM ) [7]-[9], materia oscura bosonica ultraligera (ULBDM) [10] y cerca-
namente relacionado con materia oscura difusa (FDM pos sus siglas en ingles)
[53].
Bajo las hipotesis anteriores nos enfocaremos a estudiar la influencia del
SFDM en la brana oculta, ası como las constricciones debidas a la topologıa
de la quinta dimension.
Por otra parte, daremos estudio al segundo paso. En este nuevo marco, estu-
diaremos las perturbaciones producidas por el SFDM en la brana oculta. Para
realizar esto, consideraremos los siguientes detalles de dicha topologıa (ver figura
4.3):
Z2Z2
Hidden Brane
Scalar Field
Figura 4.3: Modelo para estudiar una sola brana (brana oculta), la cual contiene
un campo escalar. Se considera por simplicidad, la existencia de simetrıa Z2
(Tomada de [12]).
1. La brana oculta, contiene un campo escalar el cual produce las perturba-
ciones que influenciaran la dinamica de la brana visible a traves de la fuerza
gravitacional.
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS65
2. Por simplicidad, no existira interaccion gravitacional con la brana visible,
por tanto la unica contribucion a la dinamica de la brana oculta sera pro-
ducida por el fondo 5D y el SFDM. Es importante resaltar que la simetrıa
Z2 es impuesta en ambos lados de la brana oculta.
Este escenario previo, es util para estudiar las modificaciones en las pertur-
baciones escalares provistas por los mundos brana con un SFDM como fuente de
dichas perturbaciones. La razon es debida a que podemos reescribir las ecuacio-
nes de Einstein obteniendo contribuciones de segundo orden al tensor energıa-
momento ası como contribuciones no locales debidas al tensor de Weyl.
4.3.1. Ecuaciones de constriccion en un mundo brana cin-
co dimensional.
En esta seccion formularemos las ecuaciones basicas para el modelo previa-
mente descrito [54].
Empecemos escribiendo la accion cinco dimensional de las branas y el fondo
de la siguiente manera
S[xA, g(5)] = # 1
2(2(5)
"d5x
)#g(5)R(5) ±
,
i
"d5x
)#g(5)£i, (4.48)
donde g(5) es la metrica cinco dimensional, (5 es la constante gravitacional 5D,
R(5) es el escalar de Riccci 5D, £i corresponde al lagrangiano del campo escalar
para la brana oculta y el lagrangiano del modelo estandar para nuestro Universo.
En efecto, la ecuacion de Einstein puede ser escrita como:
GAB = (2(5)
1TAB|fondo + 9TAB|branas
3, (4.49)
donde A, B = 0, 1, 2, 3, 4. El tensor energıa momento para el fondo es TAB|fondo
y 9TAB|branas = TAB + TAB" es el tensor energıa-momento para la brana visible y
para la brana oculta respectivamente. Siguiendo la propuesta de Binetruy et al.
[54], es posible escribir una metrica plana 5D general como:
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS66
ds2 = #n2(t, y)dt2 + a2(t, y)$ijdxidxj + b2(t, y)dy2, (4.50)
donde n(t, y), a(t, y) y b(t, y) son funciones arbitrarias y y parametriza a la quinta
coordenada. De la misma manera, es posible escoger un tensor energıa-momento
nulo para el fondo TAB|fondo = 0 y se fija el tensor energıa momento para las
branas como
TAB =$(y)
bdiag(#", ,p, 0), (4.51)
TAB" =$(y # 1/2)
bdiag(#"", ,p", 0), (4.52)
donde " y p son la densidad de energıa y presion de la brana visible ası como "" y
p" la densidad de energıa y presion de la brana oculta. La brana visible esta fija
en y = 0 y la brana oculta en y = 1/2 del orbifol. Cabe senalar que la segunda
derivada de a satisface la siguiente ecuacion diferencial [54]
a$$ = [a$]0 ($(y)# $(y # 1/2)) + ([a$]0 + [a$]1/2)($(y # 1/2)# 1), (4.53)
donde 0 indica diferenciacion con respecto a la variable y, de la misma manera,
[a$]0 y [a$]1/2 denota el salto de a$ en ambas branas respectivamente.
Evaluando en el tensor de Einstein GAB (Apendice 1) mediante la ecuacion
(4.53), es posible de obtener las siguientes ecuaciones dinamicas.
[a$]0a0b0
= #(2
(5)
3", (4.54)
[a$]1/2
a1/2b1/2= #
(2(5)
3"", (4.55)
donde los subındices 0 y 1/2 para a, b significa que dichas funciones las tomamos
en y = 0 y y = 1/2 respectivamente. De la misma forma, evaluando (4.53) en
G00 obtenemos
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS67
[a$]0b0
= #[a$]1/2
b1/2. (4.56)
Si sustituimos las ecuaciones (4.54) y (4.55) en la ecuacion (4.56) obtenemos la
primera ecuacion de constriccion para las diferentes densidades de energıa en
ambas branas
a0" = #a1/2"". (4.57)
De manera analoga es posible encontrar una ecuacion similar para n. Por tanto
obtenemos la siguiente ecuacion de constriccion
(3p + 2")n0 = #(3p" + 2"")n1/2. (4.58)
Las ultimas ecuaciones, (4.57) y (4.58) son muy importantes para comprender la
relacion entre las ecuaciones de estado de la brana visible y la brana oculta.
A partir de aquı, se obtendra una expresion para calcular la ecuacion de estado
!" para la brana oculta y su relacion con la ecuacion de estado !". Escribamos
la solucion mas general para a(t, y) y n(t, y) de la siguiente manera
a(t, y) = a0(t)f(7|y|), (4.59)
n(t, y) = n0(t)f(µ|y|), (4.60)
donde f es una funcion arbitraria de |y|. En efecto, 7 y µ pueden ser expresadas
en terminos de las siguientes funciones [55]
7 = #b0(2(5)
""6A(|y|) , (4.61)
µ = b0(2(5)
""(2 + 3!")
6 2A(|y|), (4.62)
donde
A(|y|) =df(7|y|)d(7|y|) (4.63)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS68
y
2A(|y|) =df(µ|y|)d(µ|y|) . (4.64)
Si usamos las ecuaciones (4.59) (4.60) en (4.57) y (4.58) es posible escribir a !
en terminos de !" como [55]
! =1
3
'(2 + 3!")
f(#7(2 + 3!")/2)
f(7/2)# 2
(, (4.65)
donde se ha introducido p = !" y p" = !""" y la relacion µ = #7(2 + 3!").
Esta ultima expresion relaciona los fluidos en la brana oculta con los fluidos de
la brana visible. Siguiendo la idea propuesta por Binetruy et al. [54], usaremos
la solucion de orden lineal
a(t, y) = a0(t)(1 + 7|y|), (4.66)
n(t, y) = n0(t)(1 + µ|y|), (4.67)
b(t, y) = b0, (4.68)
y A(|y|) = 1 para una solucion lineal [55]. Usando las ecuaciones (4.66) y (4.67)
en la ecuacion (4.65) se obtiene ! como
! =1
3
'(2 + 3!")
2 + b0H1/2(2 + 3!")
2# b0H1/2# 2
(, (4.69)
donde 7 = #b0H1/2 (el subındice 1/2 para H indica que la funcion es tomada en
y = 1/2).
Por tanto la ecuacion para " en terminos de "" esta dada por
" = #"(1# b0H1/2). (4.70)
Donde podemos obtener la presion de la brana visibe como p = !". La ecuacion
(4.69) relaciona ! con !" ası como la tasa de expansion H1/2 de la brana oculta.
Por otra parte, algunos autores han realizado estudios a escalas cosmologicas
y galacticas teniendo como conclusion que la hipotesis de SFDM [1]-[10], [15],[16]
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS69
es una idea prometedora para ser candidato a materia oscura ademas de ser una
buena alternativa al paradigma de CDM. Cabe senalar que en el modelo de
SFDM, es propuesto un potencial cuadratico o de forma de un coseno hiperboli-
co (ver por ejemplo [1], [2], [15]) con la finalidad de ajustarse a la dinamica
mostrada en el paradigma de CDM. Sin embargo en esta tesis, unicamente esta-
remos interesados en estudiar el potencial cuadratico [1] para un campo escalar
&" el cual vive en la brana oculta.
En efecto, empezaremos por escribir el potencial como
V (&") =1
2m2
!"&2", (4.71)
donde m!" es la masa del campo escalar. Muchos de los trabajos en esta lınea
sugieren una masa ultra-ligera para el campo escalar con la finalidad de ajustarse
a modelos realistas de formacion de estructura [16], con masas del orden de
m!" " 10!22eV . Con el potencial cuadratico (4.71) es posible escribir la densidad
de energıa y la presion asociada con este campo escalar en particular
"!" =1
2(&2
" + m2!"&
2"), p!" =
1
2(&2
" #m2!"&
2"), (4.72)
donde los puntos denotan derivadas con respecto al tiempo propio y !!" viene
dada de la forma
!!" =&2" #m2
!"&2"
&2" + m2
!"&2", (4.73)
relacionadas con "!" y p!" como p!" = !!""!". De la misma manera, el potencial
Newtoniano -" asociado con la densidad de energıa del campo escalar puede ser
escrito como
)2-" = 2)G(&2" + m2
!"&2"). (4.74)
Con la ayuda de las ecuaciones (4.69) y (4.70) es posible derivar algunas carac-
terısticas del campo escalar en la brana visible. Para realizar esto, usemos las
ecuaciones (4.72) y (4.73) de tal manera que podamos escribir la ecuacion de
estado de la brana visible como
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS70
!! =1
3
'$
2# b0H1/2$
2# b0H1/2# 2
(, (4.75)
donde
$ = 2 + 3&2" #m2
!"&2"
&2" + m2
!"&2", (4.76)
de la misma forma, "! y p! pueden ser escrita como
"! = #1
2(&2
" + m2!"&
2)(1# b0H1/2), (4.77)
p! = #1
6
'$
2# b0H1/2$
2# b0H1/2# 2
((&2
" + m2!"&
2")(1# b0H1/2). (4.78)
El potencial Newtoniano en la brana visible - cambia debido a la presencia de
la brana oculta como
)2- = #2)G(&2" + m2
!"&2")(1# b0H1/2). (4.79)
En un caso hipotetico en el cual nuestro Universo no se expande, H1/2 ( 0, es
posible observar que !!" = !!, "!" = #"!, p!" = #p! y )2-" = #)2-. Es
importante remarcar que las ecuaciones de una brana visible son similares a las
ecuaciones de una brana oculta. La diferencia radica en el signo del Laplaciano
ası como en la densidad y la presion y la cual es debida a la imposicion de la
simetrıa Z2 de mundos brana. Sin embargo, en general, el campo escalar en la
brana oculta esta relacionado con la evolucion de nuestro Universo ası como con
el comportamiento de la funcion b(t, y) en la quinta dimension.
En las siguientes secciones analizaremos las perturbaciones producidas por el
SFDM en la brana oculta.
4.3.2. Perturbaciones cosmologicas y ecuaciones de con-
servacion sobre la brana.
En esta subseccion, nos enfocaremos unicamente en el campo escalar conte-
nido en la brana oculta y obtendremos las perturbaciones producidas durante
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS71
el periodo inflacionario ası como las subsecuentes perturbaciones que se generan
a grandes escalas las cuales dan lugar a la formacion de estructura de nuestro
Universo (brana visible) vıa interacciones gravitacional con la brana oculta.
Comenzaremos escribiendo las perturbaciones escalares de las ecuaciones de
Einstein modificadas (C.17)-(C.20); por tanto, usaremos el tiempo conforme '
[17]-[56] con lo que la metrica perturbada se verıa de la forma
g00 = #a(')2(1 + 2-"(', ,x)), (4.80)
gij = a(')2$ij(1 + 2+"(', ,x)), (4.81)
donde a(') es el factor de escala, -"(', ,x) corresponde al potencial Newtoniano
y +"(', ,x) es la perturbacion a la curvatura espacial.
Por otra parte, las perturbaciones al tensor energıa- momento de materia en
la brana oculta puede ser escrito como:
T 00 = #("" + $""), (4.82)
T ji = (p" + $p")$
ji + $)j
"i, (4.83)
T j0 = ("" + p")v"i = #T 0
i , (4.84)
donde "" y p" son la densidad de energıa y presion no perturbadas respecti-
vamente. Aquı $"" y $p" son la densidad de energıa perturbada y la presion
perturbada respectivamente y $)j"i = $)j
";i # 13$
ji $)
k"k es el tensor sin traza de es-
fuerzo anisotropo perturbado, mientras que v"i es la cuatro velocidad del fluido.
Las perturbaciones al tensor energıa momento cuadratico es [57]
'00 = #""
12("" + 2$""), (4.85)
'0i =
""6
("" + p")v"i, (4.86)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS72
'ji =
""12
''2p" + "" + 2
'1 +
p"""
($"" + 2$p"
($ji #
'1 +
3p"""
($)j
"i
(. (4.87)
Finalmente, los tensores de Weyl perturbados 0ji serıan
#000 = #(2
(4)("". + $"".), (4.88)
#00i = (2
(4)$q".;i, (4.89)
#0ij = #(2
(4)
%(p". + $p".)$
ji + $)j
".i
&, (4.90)
donde $q". = ("". +p".)v".. Dos de las ecuaciones de Einstein 5D son equivalentes
a las ecuaciones de conservacion y pueden ser escritas como
˙$"" + 3a
a($"" + $p")# 3+"("" + p") +)2$q" = 0, (4.91)
˙$q" + 4a
a$q" + 1i($p") + ($"" + $p")-"i = 0, (4.92)
donde · ' ddt es la diferenciacion conforme. Cabe senalar que la relacion entre
el tiempo conforme y el tiempo cosmologico esta dado por dd/ = a d
dt . Ahora
escribamos las perturbaciones de un campo escalar en general.
El tensor energıa-momento asociado con este campo escalar es Tij = &",i&",j#12(g
0)&",0&",)+2V (&")), por tanto, si perturbamos el campo escalar como &"(', ,x) =
&(0)" (')+ $&"(', ,x), obtenemos el tensor energıa-momento perturbado (donde los
superındices (0) denotan una cantidad no perturbada)
$T 00 = #a(')!2(&(0)
" $&" # -"&(0)2" )# V,!$&" = #$"", (4.93)
$T ji = a(')!2(&(0)
" $&" # -"&(0)2" )$j
i # V,!$&"$ji = #$p", (4.94)
$T 0i = #a(')!2(&(0)
" $&",i), (4.95)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS73
donde hemos fijado $)j"i = 0 debido a que para un campo escalar se supone que
los efectos no locales debidos al tensor de Weyl son despreciable. Por otra parte,
el tensor energıa-momento cuadratico puede ser escrito como
$'00 = # 1
12(&(0)2
" + 2a2V (0))(a!2(&(0)" $&" # -"&
(0)2" )# V,!$&"), (4.96)
$'0i = # 1
12(&(0)2
" + 2a2V (0))(a!2(&(0)" $&",i)), (4.97)
$'ji = # 1
12
'3
4&(0)4" # a4V (0)2 + a2&(0)2
" V (0) + 2&(0)2" $"" + (&(0)2
" + 2a2V (0))$p"
($ji ,
(4.98)
por tanto la perturbacion a la proyeccion del tensor de Weyl es
$0!µ ' 0. (4.99)
Para obtener las perturbaciones a las ecuaciones de Klein-Gordon [58] es necesario
usar la ecuacion (4.91)
$&" + 2a
a˙$&" # -"&" # 3&"+" + a2V,!!$&" + 2a2-"V,! #)2$&" = 0. (4.100)
Por otra parte, las ecuaciones de campo perturbadas de Einstein pueden ser
escritas como
$G!µ + #(4)$
!µ = (2
(4)$T!µ + (4
(5)$'!µ. (4.101)
Usando el resultado de las ultimas ecuaciones (4.93)-(4.101), las ecuaciones de
campo pueden ser escritas en tiempo cosmologico (denotada por el subındice cero
&,0) como
6H(+",0 + H-")#2
a2)2+" # #(4) = #
'(2
(4) +1
12(4
(5)(&(0)2",0 + 2V (0))
(
(&(0)",0$&",0 # -"&
(0)2",0 + V,!$&"), (4.102)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS74
2(H-" + +",0),i # a#(4) =
'(2
(4) +1
12(4
(5)(&(0)2",0 + 2V (0))
(&(0)",0$&",i, (4.103)
# 2
3a2(+" # -")
ji + #(4)$
ji = (2
(4)$Tji + (4
(5)$'ji , (i += j), (4.104)
2+",00 + 2H(-",0 + 2+",0) + 2(2H + H2)+" #2
3a2)2(+" # -") + #(4) =
(2(4)
1&(0)",0$&",0 # -"&
(0)2",0 # V,!$&"
3+
1
12(4
(5)[3
4&(0)4",0 # V (0)2 + &(0)2
",0 V (0)
+ 2&(0)2",0 (&(0)
",0$&",0 # -"&(0)2",0 + V!$&") + (&(0)2
",0 + 2V (0))(&(0)",0$&",0
# -"&(0)2",0 # V,!$&")]. (4.105)
Para la ecuacion de Klein-Gordon (4.100) en tiempo cosmologico se tiene
$&",00+2H$&",0#-",0&",0#3&",0+",0+V,!!$&"+2-"V,!#1
a2)2$&" = 0, (4.106)
siendo H el parametro de Hubble en tiempo cosmologico.
A partir de aquı escribiremos las ecuaciones perturbadas (4.102)-(4.106) en
el espacio de Fourier. Por tanto, es necesario definir las componentes de Fourier
$&(', xi) como
$&"(', xi) =
1
(2))3
"d3k$&"(k
i)exp(ikixi), (4.107)
donde ki es el numero de onda comovil [58]. Usando la ecuacion (4.107) es posible
escribir las ecuaciones de Einstein (4.102)-(4.106) en el espacio de Fourier como
#2&(0)",0$&"(k
i),0 = 2(3H&(0)",0$&"(k
i)# -"&(0)2",0 + V,!$&"(k
i)) +2
a2k2+", (4.108)
2+",0 = #2H-" + 2&(0)",0$&"(k), (4.109)
y la ecuacion (4.105), de la siguiente forma
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS75
2+",00 + 2H(-",0 + 2+",0) + 2(2H + H2)+" #2
3a2k2(+" # -") =
(2(4)
1&(0)",0$&"(k
i),0 # -"&(0)2",0 # V,!$&"(k
i)3
+1
24(
3
2&(0)2",0 # V (0) + 2(&(0)
",0$&"(ki),0 # -"&
(0)2",0 )&
72 +
&(0)2",0 # 2V (0)
&(0)2",0 + 2V (0)
8# V!$&"(k
i)), (4.110)
donde 2 y 4 estan definidas como
2 ' (2(4)
11 +
"!"
#
3, (4.111)
4 '7
(4(5)
12
81&(0)2",0 + 2V (0)
3= (2
(4)
"!"
#. (4.112)
Cabe senalar que es posible ver la ecuacion (4.104) como
# 2
3a2(+" # -")
ji = (4
(5)$'ji . (i += j) (4.113)
La ecuacion de Klein-Gordon (4.106) en el espacio de Fourier puede ser escrita
como
$&"(ki),00 + 2H$&"(k
i),0 +
'k2
a2+ V,!!
($&"(k
i) = -",0&(0)",0 + 3&(0)
",0+",0 # 2-"V,!,
(4.114)
donde por simplicidad hemos supuesto que no existe constante cosmologica (#(4) =
0) en la brana oculta.
4.3.3. Sistemas dinamicos con potencial escalar cuadrati-
co en la brana oculta.
En esta seccion, comenzaremos con el potencial mas simple para el SFDM
dado por la ecuacion (4.71). Por tanto, el sistema (4.108)-(4.114) lo transfor-
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS76
maremos a un sistema dinamico autonomo; donde es posible obtener soluciones
usando un codigo numerico.
Es importante mencionar, que antes de realizar los calculos pertinentes de las
ecuaciones perturbadas, es importante introducir las ecuaciones de Friedmann
para el sistema no perturbado en este codigo numerico de la siguiente manera
3H2 = (2(4)"!"
11 +
"!"
2#
3, (4.115)
y la ecuacion de Raychaudhuri como
2H = #(2(4)
11 +
"!"
#
3("!" + p!"). (4.116)
Ahora, definamos las siguientes variables adimensionales para un campo escalar
no perturbado
x ' ((4)
&(0)",0%6H
, u ' ((4)
%V%3H
= ((4)m!&(0)
"%6H
,
y ' (2(4)
"!"
3H2s ' m!
H,
H
H2' #3
2'. (4.117)
Usando las definiciones anteriores, es posible observar que #!!$ = 2(1!y)
y y ' =
21
2!yy
3x2. Por tanto, se obtiene el siguiente sistema adimensional autonomo
para un campo escalar no perturbado
x$ = #3x# su +3
2x', (4.118)
u$ = sx +3
2u', (4.119)
y$ = #6x2 + 3y', (4.120)
s$ =3
2's, (4.121)
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS77
siendo 0 la diferenciacion con respecto a los numeros de e-foliaciones N = ln(a),
por tanto ddt = H d
dN .
Por otra parte, para las ecuaciones perturbadas (4.108)-(4.114) es posible
definir las siguientes variables adimensionales
z1 '%
6((4)$&", l1 ' -", U ' #((4)%
6
V,!
H2,
x1 ' +", x2 '+",0H
, l2 '-",0H
, z2 '%
6((4)$&",0H
. (4.122)
Donde usando las variables adimensionales (4.122) es posible obtener un sistema
autonomo para las ecuaciones perturbadas de la siguiente manera
z$1 = 6l1x# (3x# U)z1
x# 2k2
a2
'yl1
x(2# y)
(s2
m2!"
, (4.123)
l$1 =
'2# y
2y
(xz1 # l1, (4.124)
l$2 = #l2 +
'3
2'# 2
(l2 + (3'# 1)l1 +
3
2y(3x2 # u2) +
1
2(1 + y)Uz1
+x(z2 # 6l1x)
'1
2+ y
'2 +
x2 # u2
x2 + u2
((, (4.125)
z$2 = z2
'3
2'# 2
(+ 12l1U + 24l2x#
7'sk
m! 1 a
(2
+ 1
8, (4.126)
donde hemos usado la condicion +" = -" ( x1 = l1, x2 = l2 debido a que
en el caso de un campo escalar la perturbacion a la curvatura y la funcion de
lapso coinciden. Adicionalmente, es conveniente definir el parametro de densidad
"!!' x2 y "V ' y2 las cuales seran importantes para los resultados numericos.
Ahora, resolvamos numericamente los sistemas dinamicos perturbados y no
perturbados a traves del metodo de Runge-Kutta-4. Las condiciones iniciales
para la integracion numerica de ambos sistemas dinamicos son tomadas de las
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS78
epocas inflacionarias cuando el factor de escala es a " 10!6 y el parametro de
Hubble es H " 1013GeV haciendo enfasis de que las condiciones anteriores son
solo para un potencial cuadratico con masa ultraligera (m! " 10!32GeV )
En esta subseccion mostraremos los resultados numericos para el sistema de
ecuaciones (4.118)-(4.121) asumiendo las dos condiciones iniciales siguientes en
el parametro de densidad ".
Primero tomemos "!!! 0.5 y "V ! 0.5 como condiciones iniciales. Es im-
portante notar que hemos asumido una metrica plana para a brana oculta, por
tanto "!!+ "V = 1 a todo tiempo.
!"
!"#$
!"#%
!"#&
!"#'
!(
("!&
("!)
("!%
("!*
("!$
("!(
(""
!"
+
!##,
!-
Figura 4.4: Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-
diciones iniciales "!!! 0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultraligera de
m! " 10!32GeV .
La figura 4.4 muestra la evolucion numerica para "!!y "V con las condiciones
iniciales previas. Como se puede observar, la parte cinetica decrece ("!!( 0)
conforme la brana oculta se expande (a ( 1), mientras que la energıa potencial
se convierte en la componente dominante ("V ( 1) cuando la brana oculta se
expande (a ( 1). Ahora asumamos que "!!! 1 y "V ! 0 como condiciones
iniciales.
De la misma manera, el resultado es mostrado en la figura 4.5. En este caso,
la energıa cinetica es dominante en la evolucion de la brana oculta mientras que
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS79
!"
!"#$
!"#%
!"#&
!"#'
!(
("!&
("!)
("!%
("!*
("!$
("!(
(""
!"
+
!##,
!-
Figura 4.5: Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-
diciones iniciales "!!! 1 y "V ! 0 asumiendo una masa ultraligera de
m! " 10!32GeV .
la energıa potencial es cero, fısicamente este comportamiento es como considerar
partıcula libre.
Ambas soluciones numericas ( Fig 4.4.-Fig. 4.5) muestran una brana llena
de campos escalares ultraligeros con condiciones iniciales diferentes ("!!! 0.5,
"V ! 0.5 y "!!! 1, "V ! 0). Sin embargo, el calculo que nos dara infor-
macion acerca de las mejores condiciones iniciales para el comportamiento del
campo escalar como materia oscura sera dado por las evoluciones numericas de
las ecuaciones perturbadas.
A partir de este momento, resolveremos numericamente el sistema dinamico
(4.123)-(4.126) con un campo escalar de masa ultraligera. Asumiendo las mismas
condiciones en los parametros de densidad "!" ! 0.5 y "V ! 0.5 y escogiendo
como condiciones iniciales para las perturbaciones z1 ! 1& 10!1, l1 ! 1& 10!3,
l2 ! 1& 10!1, z2 ! 1& 10!4 y k = 10!3, las soluciones numericas para el sistema
son mostradas en la Figura 4.6 y en la Figura 4.7.
Donde solo se ha graficado la evolucion de z1 y l1 debido a que ellos estan
directamente relacionados con las perturbaciones escalares y el potencial Newto-
niano respectivamente. De dichas condiciones iniciales es posible observar que el
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS80
!"
!"#""$
!"#""%
!"#""&
!"#""'
!"#"(
!"#"($
!"#"(%
!"#"(&
!"#"('
("!&
("!)
("!%
("!*
("!$
("!(
(""
+(
,
Figura 4.6: Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 0.5
y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.
!"
!"#"$
!"#"%
!"#"&
!"#"'
!"#(
("!&
("!)
("!%
("!*
("!$
("!(
(""
+(
,
Figura 4.7: Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 0.5
y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS81
sistema perturbado mostrado en las figuras anteriores, no es conveniente debido
a que el campo escalar no se comporta como materia oscura en nuestra brana;
esto es debido a que la perturbacion escalar $&" y el potencial Newtoniano -"
domina cuando a " 10!6 y este decrece cuando a ( 1. Es importante recalcar
que la dominacion de las perturbaciones de materia oscura en nuestro Universo
sucede cuando a " 10!3. Por tanto, de las condiciones iniciales "!" ! 0.5 y
"V ! 0.5 es posible observar el crecimiento de las perturbaciones a edades muy
tempranas (a < 1& 10!5) el cual no coincide con las observaciones cosmologicas
en nuestra brana.
De la misma manera , para el caso cuando las condiciones iniciales del parame-
tro de densidad son "!" ! 1 y "V ! 0 ası como la eleccion de z1 ! 1 & 10!1,
l1 ! 1& 10!3, l2 ! 1& 10!1, z2 ! 1& 10!4 y k = 10!3, se obtiene las siguientes
soluciones numericas mostradas en la figura 4.8 y en la figura 4.9.
!!"
#"
#!"
#$"
#%"
#&"
#'"
!"!(
!"!'
!"!&
!"!%
!"!$
!"!!
!""
)!
*
Figura 4.8: Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 1 y
"V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.
La dinamica observada para estos casos es mas interesante fısicamente que
la observada en las figuras 4.6 y 4.7 debido a que la dinamica inducida en la
brana visible es similar a los efectos de la materia oscura en el modelo estandar
cosmologico, esto es debido a que existe un crecimiento en las perturbaciones del
campo escalar $&" y el potencial Newtoniano -" (Fig. 4.8) en el rango a " 0.001
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS82
!!"#
!!##
!"#
$#
$"#
$!##
!#!%
!#!"
!#!&
!#!'
!#!(
!#!!
!##
)!
*
Figura 4.9: Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 1 y
"V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.
(epoca de dominacion de la materia oscura en nuestro Universo) a " 1. Por
tanto, si durante el Universo temprano en la brana oculta, la energıa cinetica
del campo escalar domina, las fluctuaciones del campo escalar de la brana oculta
se comportaran como materia oscura en nuestro Universo visible y ello podrıa
explicar la formacion de estructura a gran escala en nuestro Universo. Este ultimo
resultado sugiere que el campo escalar en la brana oculta podrıa imitar los efectos
de materia oscura a traves de su interaccion gravitacional. Sin embargo aun es
necesario un estudio mas exhaustivo acerca de las condiciones iniciales impuestas
en los casos perturbados y no perturbados de las ecuaciones dinamicas.
4.4. Huellas de branas en el CMB (Perspecti-
vas)
En esta seccion discutiremos los puntos principales para desarrollar CMB en
teorıa de branas; nos basaremos principalmente en los artıculos desarrollados por
Maartens [21], Leong et al. [72] y Koyama [65]. Se realizara un ejemplo en el cual
los efectos no locales debidos al tensor de Weyl son visibles y generan cambios
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS83
en las huellas del CMB a diferencia de los modelos anteriores en los cuales se
desprecian dichos efectos. Investigaciones posteriores se enfocaran en el desarrollo
de las ecuaciones respectivas para el CMB pero para el modelo propuesto en las
secciones anteriores.
Para las anisotropıas del CMB, uno necesita considerar las fuentes multi-
componentes [21]. Linealizando las expresiones que en forma general no son li-
neales para el tensor energıa-momento total efectivo, se obtiene
"tot = "
'1 +
"
2#+
"1
"
(, (4.127)
ptot = p +"
2#(2p + ") +
"1
3, (4.128)
qtotµ = qµ
11 +
"
#
3+ q1
µ, (4.129)
)totµ! = )µ!
'1# " + 3p
2#
(+ )1
µ! , (4.130)
donde
" =,
i
"(i), p =,
i
p(i), qµ =,
i
q(i)µ , (4.131)
son las densidades totales de materia y radiacion, presion y densidad de momento,
y )µ! es el esfuerzo anisotropico de los fotones (despreciando neutrinos, bariones
y SFDM como fuente de materia oscura). En la era de radiacion fuertemente
acoplada, las ecuaciones escalares perturbadas pueden ser desacopladas para dar
una ecuacion para el potencial gravitacional &, definida por la parte electrica del
tensor de Weyl en la brana [21]:
Eµ! = )[µ)!]&. (4.132)
En relatividad general, la ecuacion & no tiene un termino fuente, pero en los
mundos branas existe un termino fuente construido de )1µ! ası como sus derivadas
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS84
temporales. A bajas energıas (" . #), y para un fondo plano (K = 0), la ecuacion
es [72]
3x&$$k + 12&$k + x&k =const
#
#)1$$
k # 1
x)1$
k +
'2
x3# 3
x2+
1
x
()1
k
$, (4.133)
donde x = k/(aH), las primas denotan d/dx, y &k, )1k son los modos de Fourier
de & y )1µ! . En relatividad general el lado derecho de la ecuacion es cero, de
tal manera que la ecuacion puede ser resuelta para &k, donde las variables per-
turbativas restantes son la base para la integracion numerica del CMB. A altas
energıas, temprano en la era de radiacion, las ecuaciones desacopladas son de
cuarto orden y tienen la forma [21], [72]
729x2&$$$$k + 3888x&$$$k + (1782 + 54x2)&$$k + 144x&$k + (90 + x2)&k
= const
#243
')1
k
"
($$$$
# 810
x
')1
k
"
($$$
+18(135 + 2x2)
x2
')1
k
"
($$$
+const
##30(162 + x2)
x3
')1
k
"
($
+x4 + 30(162 + x2)
x4
')1
k
"
($. (4.134)
El formalismo y maquinaria esta lista para calcular la temperatura y anisotropıas
para la polarizacion en la cosmologıa de mundos brana Una solucion, o al menos
una aproximacion, esta dada para )1µ! . El resultado del espectro de potencias
revelara la naturaleza de las huellas de los mundos branas en las anisotropıas del
CMB, los cuales pudiesen proveer algunas constricciones o posibles predicciones
comprobables de los modelos de mundos brana [21].
Finalmente, cabe senalar que en posteriores trabajos, se desarrollaran estudios
de las huellas dejadas en el CMB debida al modelo de branas esfericas.
CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS85
50
i.e., the matter on the regulator brane must have fine-tuned and negative energy density to prevent the regulator branefrom moving in the background. With these assumptions, and further assuming adiabatic perturbations for the matter,there is only one independent brane-world parameter, i.e., the parameter measuring dark radiation fluctuations:
!C! =!"E"rad
. (8.25)
FIG. 12: The CMB power spectrum with brane-world e!ects, encoded in the dark radiation fluctuation parameter !C! as aproportion of the large-scale curvature perturbation for matter (denoted "! in the plot). (From [104].)
This assumption has a remarkable consequence on large scales: the Weyl anisotropic stress !#E terms in the Sachs-Wolfe formula Eq. (6.78) cancel the entropy perturbation from dark radiation fluctuations, so that there is no di!erenceon the largest scales from the standard general relativity power spectrum. On small scales, beyond the first acousticpeak, the brane-world corrections are negligible. On scales up to the first acoustic peak, brane-world e!ects can besignificant, changing the height and the location of the first peak. These features are apparent in Fig. 12. However, itis not clear to what extent these features are general brane-world features (within the low-energy approximation), andto what extent they are consequences of the simple assumptions imposed on the background. Further work remainsto be done.
A related low-energy approximation, using the moduli space approximation, has been developed for certain 2-branemodels with bulk scalar field [105]. The e!ective gravitational action on the physical brane, in the Einstein frame, is
Se! =1
2$2
!d4x!"g
"R" 12%2
1 + 2%2(&')2 " 6
1 + 2%2(&()2 " V (', ()
#, (8.26)
where % is a coupling constant, and ' and ( are moduli fields (determined by the zero-mode of the bulk scalar fieldand the radion). Figure 13 shows how the CMB anisotropies are a!ected by the (-field.
IX. CONCLUSION
Simple brane-world models of RS type provide a rich phenomenology for exploring some of the ideas that areemerging from M theory. The higher-dimensional degrees of freedom for the gravitational field, and the confinement
Figura 4.10: Espectro de potencias del CMB con efectos del mundo brana, los
parametros de las fluctuaciones de radiacion oscura $C" (no confundir con energıa
oscura) forman parte de las perturbaciones a la curvatura a gran escala para la
materia (denotados en la grafica por %") (Figura obtenida de [65] )
Capıtulo 5
Consideraciones Topologicas a
Nivel Galactico.
...y espero que nuestros bisnietos me agradezcan no solo cuanto aquı he re-
cogido, sino aquello que he omitido deliberadamente para permitirles el placer de
encontrarlo.
Yo encuentro que la logica, sus silogismos y la mayorıa de sus preceptos son
utiles para comunicar lo que ya sabemos, o para discernimiento de lo que igno-
ramos, pero no para la investigacion de lo desconocido.
Rene Descartes
5.1. Correcciones de Mundos Brana para ULBDM.
El Contexto Galactico.
Como se habıa mencionado anteriormente una explicacion alternativa a la
materia oscura es provista por partıculas bosonicas en un condensado de Bose-
Einstein (BE). La condensacion de BE ha resultado interesante especialmente
en los modelos de partıculas de materia oscura ultra ligeras (ULBDM). Esto
es debido a que mientras la fraccion termica escala como radiacion (" a(t)!4),
la fraccion del BEC lo hace como materia (" a(t)!3), dando como resultado
86
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.87
la formacion de estructura a gran escala, aun si el modelo contiene partıculas
ultraligeras.
La propuesta de este modelo de branas a nivel galactico es la siguiente: Su-
pongamos la existencia de algunas especies de partıculas bosonicas en equilibrio
termodinamco local. En epocas tempranas, la temperatura del Universo era ex-
tremadamente alta, por tanto, el gas de bosones del ULBDM se encuentra en el
regimen relativista m/T << 1. Aun ası la estadıstica de Bose-Einstein permite
una transicion de fase a un estado condensado, cuya dinamica es descrita por la
siguiente distribucion de momentos
f(p) = n(d)bec$
3(p) +1/!3
e(E!µ)/Td # 1. (5.1)
Donde por simplicidad, es supuesto que el BEC ya esta formado cuando el gas
de bosones es desacoplado del bano termico. Por tanto, despues del desacople,
n(d)bec = nbec(t)a(t)!3 sera la densidad de numero de las partıculas en el estado
base, Td = T (t)a(t)!1 sera la temperatura, $3 es la distribucion delta de Dirac,
! es la constante de Planck y µ es el potencial quımico, cuya magnitud, bajo la
condensacion BE se aproxima a la masa de la partıcula µ ( m. Actualmente,
el termino singular es la firma del condensado de BE en el espacio fase. La
distribucion del momento describe el comportamiento coherente de una fraccion
de partıculas del BEC. La ausencia de la constante de Planck corresponde a
los grados de libertad internos en el primer termino, expresan la manifestacion
macroscopica de la fraccion condensada.
A partir de las consideraciones anteriores, estudiaremos el ULBDM a nivel
galactico con las correcciones provistas por teorıa de branas.
5.1.1. Ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! en la
brana.
En astrofısica, las ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! (TOV) [61]
dan constricciones a la estructura de un objeto esfericamente simetrico cuyo
contenido es un gas isotropo el cual esta en equilibrio gravitacional. Siguiendo
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.88
estas ideas, escribamos la metrica de un objeto esfericamente simetrico como [61]
ds2 = #e!(r)dt2 + e"(r)dr2 + r2(d*2 + sen2(*)d-2). (5.2)
cuya solucion del tensor Gµ! puede ser escrita como [61]
G00 = e!"
'1
r
d&
dr# 1
r2
(+
1
r2, (5.3)
Gji = e!"
'1
r
d5
dr+
1
r2
(# 1
r2. (5.4)
De manera similar, la ecuacion de conservacion no cambia )µTµ! = 0, debido a
que asumimos que el tensor energıa momento en el fondo es cero TAB = 0. Por
tanto
dP
dr= #(P + ")
2
d&
dr. (5.5)
Por otra parte, es una buena aproximacion usar simetrıa esferica para analizar
el comportamiento de los halos de ULBDM que se forman alrededor de objetos
esfericos como
dM(r)
dr= 4)r2"(r). (5.6)
Para simplificar el modelo, supongamos que las proyecciones en el tensor de
Weyl (efectos no locales) pueden ser despreciados 0µ! ! 0 y es posible realizar
la eleccion e!"(r) =%1# 2mG
r
&. Por otra parte, los efectos de la expansion del
Universo a escalas galacticas puede ser despreciado (#(4) " 0).
En efecto, usando las ecuaciones de Einstein modificadas (C.17)-(C.20) es
sencillo demostrar la ecuacion de TOV modificada como
d&
dr= 8)Gr
:P +
"
25(2P + ")
;, (5.7)
donde G es la constante de gravitacion de Newton, P y " la presion y densidad
del ULBDM respectivamente; ademas se supone que 2mG << r.
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.89
La ecuacion anterior (5.7) representa la ecuacion hidrodinamica de un gas (en
particular del ULBDM) en equilibrio gravitacional con las respectivas correccio-
nes cinco dimensionales provistas por los mundos brana. Cabe senalar que en el
lımite "/5 ( 0 la relatividad general es recuperada.
5.1.2. Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) a
escalas galacticas.
Como se enfatizo en el inicio de esta introduccion tomemos la hipotesis de
halo galactico formado por partıculas de ULBDM en equilibrio termodinamico y
en un estado BEC. Las variables termodinamicas son evaluadas hoy (a(t0) = 1))
y la dinamica se asume estacionaria. Por tanto, la densidad de numero total
puede ser calculada integrando la ecuacion (5.10) sobre todos los momentos, los
cuales en el lımite ultrarelativista tiene la solucion exacta
nB = nbec +%(3)T 3
)2, (5.8)
con %(3) ! 1,2. Este resultado define la densidad crıtica como:
Tc =
')2nB
%(3)
(1/3
, (5.9)
debajo de ella se espera que exista condensacion de BE. Se espera que la distribu-
cion de los momentos fısicos del BEC formen una funcion pico a momentum cero,
describiendo un sistema autogravitante. Por tanto, reemplacemos la distribucion
delta de Dirac en la ecuacion (5.1) por una distribucion de Maxwel-Boltzmann
fbec(p) =(2))3/2n0
#2c
exp
'# p2
2#2c
((5.10)
debido a que estamos interesados en la epoca actual y a escalas galacticas, como
primera aproximacion despreciaremos los terminos colisionales, lo que implica,
que el resultado dinamico es descrito de buena forma por la ecuacion de Vlasov
dfbec(p)/dt. Un punto clave en este analisis es que #c debe ser pequeno con la
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.90
finalidad de manifestar el termino singular en la distribucion de momentos. Por
tanto propongamos el siguiente ansatz:
#c = m#s. (5.11)
En el contexto galactico, aquı #s debe ser denominada como una constante
de velocidad de dispersion del ULBDM dentro de la galaxia (No confundir en
este caso con la tension de la brana). Ademas es posible suponer que la velocidad
de dispersion de la materia oscura es igual a la medida por los bariones en la
galaxia. Tomemos como ejemplo de referencia el valor #s = 510+165!95 km/s, medido
en la galaxia 1255 # 0 (a z " 2,186) por Dokkum et al. De igual manera es
posible observar que para mantener el orden de la forma de la singularidad de la
distribucion de momentos, dicho ansatz debe ser acompanado con una condicion
para la masa
m < #!1s . (5.12)
De acuerdo a la teorıa cinetica, la densidad de energıa del BEC esta definida
en terminos de la distribucion de momentos
"halo(p) =
"d3p
(2))3fbec(p) = mn0(r), (5.13)
Phalo(p) =1
3
"d3p
(2))3
p2
Efbec(p) =
n0(r)#2c
m. (5.14)
Con nuestro ansatz para #c, se obtiene el valor para la ecuacion de estado
!halo 'Phalo
"halo=
1#s
c
32
, (5.15)
donde hemos escrito explıcitamente la velocidad de la luz c. Donde la ecuacion
de estado es una medicion de la energıa cinetica en el halo.
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.91
5.1.3. Ecuaciones modificadas de TOV con halos com-
puestos por ULBDM.
En esta seccion, nos enfocaremos a combinar el modelo de ULBDM con las
ecuaciones modificadas de TOV provista por branas.
Por tanto usando dP/dr y "h!h ' Ph ası como las ecuaciones modificadas de
TOV, es posible escribir
!hd"
dr= #4)Gr
:!h +
"
25(2!h + 1)
;(!h + 1)"2, (5.16)
donde en este caso 5 es la tension de la brana y h ' halo. Integrando la ecuacion
anterior tenemos
r =1)
2)G(!h + 1)
#"0 # "
"0"+ 6ln
<<<<"(1 + 6"0)
"0(1 + 6")
<<<<
$1/2
, (5.17)
donde "0 es la densidad de energıa inicial en el nucleo del objeto en estudio y
6 '1
22h+122h"
3. Es importante mencionar que la ecuacion (5.17) es la solucion mas
general provista por teorıa de branas (Ver figura 5.1).
En lo que sigue realizaremos un analisis de los limites "/5 >> 1 y "/5 << 1
de la ecuacion (5.16) para observar el comportamiento a niveles de altas energıas
y bajas energıas.
*Terminos de bajas energıas. En el lımite ("/5 << 1), la teorıa general
de la relatividad es recuperada, por lo que integrando (5.16) es posible obtener
la solucion para "(r) en terminos de r como:
"(r) ="0
2)G(!h + 1)"0r2 + 1, (5.18)
donde por supuesto, se desprecia el termino de altas energıas. Por lo que se
obtiene una forma clasica (el termino clasico lo referimos a que los terminos de
teorıa de branas, son despreciados) relativista de el gas ULBDM con ecuacion de
estado !h = #2s .
Evidentemente, con la ecuacion (5.18) es posible obtener una expresion para
la velocidad de rotacion en galaxias con halos formados por ULBDM. Usando
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.92
3
4
rho(r)
4
r
30 1 2
1
0
2
Figura 5.1: Solucion numerica de la ecuacion (5.16); donde se muestran la solu-
cion numerica (lınea continua) y el campo de soluciones (flechas). La grafica es
generada en unidades arbitrarias con condiciones iniciales "0 = 2 para el nucleo
del objeto astrofısico.
V 2rot = rgtt,r
gtt= r d!
dr , es posible escribir
V (r)rot =r=1
1 + 12h
3 %r2
&2+ 1
8*G2h#0
, (5.19)
donde es supuesto una velocidad de rotacion isoterma.
Por otra parte, cabe senalar la comparacion entre la velocidad de rotacion
para una isoterma obtenida en este caso (5.19) y la velocidad de rotacion obtenida
por Navarro et al. [60] (Ver figura 5.2)
V (r)NFW =
0
8)G!
'"0
rs
(r
'1 +
r
rs
(!1
, (5.20)
donde la densidad de energıa para este caso, viene dada por "NFW = #rrs
(1+ rrs
)2
con rs el radio de escala.
*Terminos de altas energıas. En los terminos de altas energıas "/5 / 1
la integral puede ser facilmente resuelta y obtenida la densidad de energıa como
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.93
Figura 5.2: Velocidades de rotacion para las curvas isotermicas (5.19) y Navarro-
Frenk-White (5.20) en verde y rojo respectivamente. Las curvas de rotacion fue-
ron graficadas en unidades arbitrarias.
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20 25
! (
km
/s)
r(kpc)
Rotation velocity
56.4015 * x / sqrt(0.479485 * x**2 + 3.5117 )
Figura 5.3: Velocidades de rotacion de las isoterma (5.19) (lınea continua) y de
Navarro-Frenk-White (5.20) (lınea punteada) ası como un conjunto de velocida-
des de rotacion de galaxias escogidas al azar [13].
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.94
[13]
"(r) =
0!h5"2
0
2)G"20(2!
2h + 3!h + 1)r2 + !h5
, (5.21)
donde claramente !h = #2s . Se observa, que a altas energıas las correcciones en la
densidad de energıa decae como 1/r en comparacion con la densidad de energıa
obtenida por la relatividad general (5.18).
Como un parentesis, cabe senalar que la evidencia observacional genera cons-
tricciones a la tension de la brana de alrededor de 5 > (1MeV )4 [21] con la
finalidad de recuperar el exito de la relatividad general.
En efecto, la curva de rotacion 9V (r) provista por la densidad de energıa
mostrada en la ecuacion (5.21) puede ser escrita de la siguiente forma
9V (r) =r/
2(22h+32h+1)
2h(22h+1)
%( r
2)&2
+ "4*G(2h+1)#2
0
. (5.22)
De manera similar a la ecuacion (5.19), la ecuacion (5.22) reproduce de una
manera excelente una curva de rotacion isoterma, aun siendo que que la ecuacion
de densidad de energıa (5.21) no es una isoterma. Mas aun, es posible observar
diferencias notables en ambas curvas de rotacion debido a la presencia de la
tension de la brana ası como correcciones cuadraticas propias de una teorıa de
branas.
5.2. Analisis a nivel galactico con una ecuacion
de estado de la forma P = !"2 (Perspecti-
vas).
Diversos autores [77], [78] y [79], aseguran una ecuacion de estado para con-
densados de Bose-Einstein (BEC) de la forma
P =2)a!2
m3"2 (5.23)
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.95
donde a es la constante de dispersion y m es la masa del campo escalar en estudio
(cabe senalar que hemos recuperado la constante ! con la finalidad de ser mas
explıcitos). La ecuacion anterior (5.23), es equivalente a la ecuacion de estado
politropica de la forma
P = K"%, 7 = 1 +1
n, (5.24)
cuya constante politropica viene dada por K = 2)a!2/m3 e ındice politropico
n = 1.
Si se aplica la hipotesis anterior para la ecuacion modificada de Tolman-
Oppenheimer-Volko! (5.7) se tiene:
d&
dr= 8)Gr
#K +
(2K" + 1)
25
$"2. (5.25)
Por lo que la forma general para la ecuacion diferencial de la densidad serıa:
d"
dr= #2)Gr(" + K!1)
'K +
(2K" + 1)
25
("2. (5.26)
Cuya solucion general, dara el comportamiento de los perfiles de densidad para
BEC’s de materia oscura escalar con las correcciones producidas debido a teorıa
de branas (Ver figura 5.4).
Similarmente, es posible escribir una ecuacion caracterıstica para las veloci-
dades de rotacion como:
Vrot =
=rd&
dr=
0
8)G
#K +
(2K" + 1)
25
$r", (5.27)
donde depende explıcitamente de ", la cual es solucion de la ecuacion diferencial
(5.26) (Ver figura 5.4).
Finalmente, cabe senalar que trabajos mas detallados para el comportamiento
del BEC de la forma P = K"2 junto con las correcciones de altas dimensiones,
estan previstos en estudios posteriores.
CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.96
Figura 5.4: Solucion numerica de la ecuacion (5.26); donde se muestran la so-
lucion general de la ecuacion diferencial (lınea continua) ası como su campo de
soluciones (flechas). La grafica es generada en unidades arbitrarias con condicio-
nes iniciales "0 = 1 para el nucleo del objeto astrofısico con las correcciones de
"2 para el BEC.
Capıtulo 6
Conclusiones y Expectativas.
Solo triunfa en el mundo quien se levanta y busca a las circunstancias y las
crea si no las encuentra.
Bernard Shaw.
6.1. Conclusiones en el Nivel Cosmologico.
Como es posible observar de los artıculos [11] y [12], modificaciones a la
topologıa global del Universo generan dinamica interesante y alternativa, cuyo
estudio puede dar respuesta de la forma topologica real de nuestro Universo a
grandes escalas, ası como del comportamiento de la materia y energıa oscura en el
mismo. Cabe senalar que es posible verificar este tipo de geometrıa en particular,
mediante un analisis del CMB debido a los terminos extras caracterısticos en las
nuevas ecuaciones de Friedmann.
Como se observo en el capıtulo IV el problema de la materia oscura puede ser
tratado sumando dos ingredientes: suponer que la materia oscura es un campo
escalar real debilmente acoplado con la gravedad y que dicho campo escalar ha-
bita la brana oculta. Dichos ingredientes, resolverıan el problema de la deteccion
directa de la materia oscura mediante procesos distintos al gravitatorio; ası co-
mo el problema de jerarquıa implıcito en la hipotesis de materia oscura escalar
(ver capitulo IV). De igual manera, estudios mas profundos acerca de las pertur-
97
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y EXPECTATIVAS. 98
baciones escalares sugieren un buen comportamiento de dichas perturbaciones
producidas por el campo escalar a tiempos donde domina la materia oscura en
nuestro Universo [12]. A primera instancia, sugiere que las hipotesis propuestas
en esta tesis dan los resultados esperados. Sin embargo es necesario un estu-
dio mas detallado acerca de las perturbaciones primordiales con la intencion de
refutar o probar dichas hipotesis.
Finalmente cabe senalar que estudios posteriores, se enfocan en la obtencion
del espectro de anisotropıas del CMB considerando correcciones cuadraticas al
tensor energıa momento mas consideraciones topologicas como las propuestas en
los artıculos [11] y [59] despreciando los efectos no locales del tensor de Weyl que
generarıan radiacion oscura en las ecuaciones (4.133) y (4.134). Es importante
mencionar, que observaciones realizadas por el satelite Planck (2009-) confir-
marıan o refutarıan la existencia de huellas dejadas por las dimensiones extras
en la radiacion cosmica de fondo.
6.2. Conclusiones en el Nivel Galactico.
En el caso galactico, las huellas dejadas por las modificaciones causadas por
la propuesta de mundos brana, son fundamentales para el estudio de objetos
densos altamente energeticos compuestos en este caso de partıculas ultraligeras
ULBDM que se comportan como materia oscura [13] (SFDM, axiones, etc...).
Las caracterısticas provistas por teorıas de branas pueden generar cotas para la
tension de la brana 5 y un comportamiento dinamico distinto al predicho por la
teorıa general de la relatividad, el cual podrıa ser observado en dichos objetos
altamente energeticos en el Universo como los quasares.
Por otra parte, a bajas energıas, recuperamos automaticamente el exito pre-
dicho por la teorıa general de la relatividad obteniendo densidad isotermas que
reproducen las curvas de rotacion que se muestran en la literatura (Ver figura
5.2). Dicho resultado conlleva a un exito doble debido a que ademas las partıcu-
las ultraligeras que siguen una estadıstica de Bose-Einstein podrıan ser buenos
candidatos para ser la materia oscura en nuestro Universo.
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y EXPECTATIVAS. 99
6.3. Conclusiones generales.
A lo largo de esta tesis, se ha discutido un nuevo modelo de mundos branas
propuesto en [11], [12] y [13] desde el punto de vista cosmologico ası como el
galactico. Se ha analizado la dinamica del Universo como consecuencia de la
topologıa propuesta, las perturbaciones escalares debidas al SFDM ası como la
dinamica a nivel galactico; sus consecuencias y posibles huellas que nos ayuden a
identificar la verdadera geometrıa del Universo ası como la verdadera naturaleza
de la materia oscura.
Cabe mencionar, que experimentos recientes realizados en el gran colisionador
de hadrones (LHC) han acotado y reducido las expectativas de que los WIMPS
creados por partıculas supersimetricas sean la fuente de materia oscura. Esto abre
la posibilidad de que candidatos como los campos escalares ultraligeros (SFDM)
se posicione como los mejores candidatos a materia oscura. Sin embargo SFDM
tiene problemas como la masa ultraligera necesaria para reproducir la dinamica
de nuestro Universo. Estos problemas, como se habıan mencionado anteriormente
pueden ser resueltos desde el punto de vista de dimensiones extras ayudando a
aliviar el problema de jerarquıa.
6.4. Expectativas.
Finalmente, como expectativas, se tiene contemplado desarrollar el estudio
de las anisotropıas en el CMB producidas por estos tipos de modelos y el analisis
mas detallado de las huellas dejadas por mundos branas a niveles galacticos
principalmente en objetos astrofisicos muy energeticos como quasares u otros.
Apendice A
Notacion y Convenciones
En lo que respecta al siguiente trabajo, usaremos el sistema de dimensiones
naturales donde la velocidad de la luz c, la constante de Planck ! y la constante de
Boltzmann k seran consideradas como 1 (c = ! = k = 1) excepto la constante de
la Gravitacion de Newton que tendra dimensiones de G = m!2p /8) donde mp es
la masa de Planck cuyo valor numerico en kilogramos es: mp ' 2,17671&10!8kg.
En caso de ser necesario, omitiremos las dimensiones naturales y utilizaremos el
sistema internacional (MKS) o el sistema CGS.
Cabe mencionar que en el sistema internacional tenemos las siguientes cons-
tantes importantes:
c ' 2,9979& 108ms!1, (A.1)
! ' 1,0545& 10!34Js, (A.2)
kB ' 1,3806& 10!23JK!1 (A.3)
G ' 6,6725& 10!11m3kg!1s!1. (A.4)
100
Apendice B
Ecuaciones de Einstein Cinco
Dimensionales.
El tensor de Einstein 5D GAB pude ser obtenido usando el elemento de lınea
cinco dimensional (4.50)
G00 = 3
>a
a
7a
a+
b
b
8# n2
b2
'a$$
a+
a$
a
'a$
a# b$
b
((?, (B.1)
Gij =a2
b2$ij
@a$
a
'a$
a+ 2
n$
n
(# b$
b
'n$
n+ 2
a$
a+ 2
a$$
a+
n$$
n
(A
+a2
n2$ij
>a
a
'# a
a+ 2
n
n
(# 2
a
a+
b
b
'#2
a
a+
n
n
(?
# $ija2b
n2b, (B.2)
G05 = 3
7n$
n
a
a+
a$
a
b
b# a$
a
8, (B.3)
G55 = 3
@a$
a
'a$
a+
n$
n
(# b2
n2
'a
a
'a
a# n
n
(+
a
a
(A, (B.4)
donde los puntos representan diferenciacion con respecto a t y las primas 0 son
diferenciacion con respecto a y.
101
Apendice C
Ecuaciones de Einstein sobre la
Brana.
En esta seccion se demostrara la modificacion de las ecuaciones de Einstein
cuando inducimos una variedad diferencial 4-dimensional (brana) dentro de una
variedad diferencial 5-dimensional (bulk) [29].
Denotemos un vector unitario n0 normal a una variedad diferencial M ası co-
mo una metrica inducida sobre la variedad qµ! = gµ! # nµn! . Iniciemos usando
la definicion de Gauss acerca del tensor de Riemman
(4)R0)%3 =(5) Rµ
!#$q0µq!
)q#%q
$3 + K0
% K)3 #K03 K)% , (C.1)
ası como la ecuacion de Codacci
DµK!µ #DµK =(5) R#$n
$q#µ, (C.2)
donde la curvatura extrınseca sobre la variedad M es denotada por Kµ! =
q0µq)
!)0n), K = Kµµ y Dµ es la derivada covariante con respecto a qµ! . Con-
trayendo la ecuacion de Gauss sobre 2 y 7 se tiene
(4)R!µ =(5) R#$q#µq
$! #(5) R0
)%3n0q)µn%q3
! + KKµ! #K0µ K!0, (C.3)
lo cual unido utilizando la parte geometrica de la ecuacion de Einstein se tiene
102
APENDICE C. ECUACIONES DE EINSTEIN SOBRE LA BRANA. 103
(4)Gµ! =
'(5)R#$ #
1
2g(5)
#$ R
(q#µq
$! +(5) R#$n
#n$qµ! + KKµ! #K#µK!#
# 1
2qµ!
%K2 #K0)K0)
&# Eµ! , (C.4)
donde
Eµ! '(5) R0)#$n0n#q)
µq$! . (C.5)
Si suponemos que la ecuacion de Einstein en 5D esta dada de la forma
(5)R0) #1
2g(5)
0)R = (25T0), (C.6)
y si usamos la descomposicion del tensor de Riemann en los tensores de Weyl y
Ricci se tendra
(5)Rµ0!) =2
3
1g(5)
µ[!R)]0 # g(5)0[!R)]µ
3# 1
6gµ[!g
(5))]0R +(5) Cµ0!), (C.7)
con ello es posible encontrar las ecuaciones 4-dimensionales de Einstein.
(4)Gµ! =2(2
5
3
'T#$q
#µq
$! +
'T#$n
#n$ # 1
4T #
#
(qµ!
(+ KKµ! #K$
µK!$
# 1
2qµ!
1K2 #K0)
0)
3# .µ! , (C.8)
donde
.µ! '(5) C0)#$n0n#q)
µq$! . (C.9)
De la ecuacion de Codacci (C.2) y la ecuacion de Einstein 5-dimensional se tiene
D!K!µ #DµK = (2
5T#$n$q#
µ. (C.10)
Por conveniencia, escojamos las coordenas 6 tal que la hipersuperficie 6 = 0
coincide con el mundo brana y nµdxµ = d6 lo cual implica
APENDICE C. ECUACIONES DE EINSTEIN SOBRE LA BRANA. 104
aµ = n!)!nµ = 0. (C.11)
Esta es una condicion sobre las coordenadas en las direcciones de las dimensiones
extras. Si asumimos la metrica 5-dimensional de la forma
ds2 = d62 + qµ!dxµdx! , (C.12)
y que el tensor energıa momento tenga la forma
Tµ! = ##gµ! + Sµ!$(6), (C.13)
donde Sµ! = #5qµ! + Tµ! con Tµ!n! = 0.
Por otra parte es posible hacer uso de las condiciones de Israel de la forma:
[qµ! ] = 0, (C.14)
[Kµ! ] = #(25
'Sµ! #
1
3qµ!S
(, (C.15)
donde [X] := lim,&+0X#lim,&!0X = X+#X!. Con la finalidad de simplificar
el problema, propongamos simetrıa de espejo Z2 por lo que a partir de (C.15) es
posible obtener
K+µ! = #K!
µ! = #1
2(2
5
'Sµ! #
1
3qµ!S
(. (C.16)
Si aplicamos la relacion anterior en la ecuacion (C.8) finalmente se tienen:
(4)Gµ! = ##4qµ! + 8)GNTµ! + (45'µ! # .µ! , (C.17)
donde
#4 =1
2(2
5
'# +
1
6(2
552
(, (C.18)
GN =(4
55
48), (C.19)
APENDICE C. ECUACIONES DE EINSTEIN SOBRE LA BRANA. 105
'µ! = #1
4Tµ0T0
! +1
12TTµ! +
1
8qµ!T0)T0) # 1
24qµ!T
2. (C.20)
Las cuales son conocidas como ecuaciones de Einstein modificadas sobre una
brana inmersa en un espacio cinco dimensional.
Artículos y Memorias realizados durante la estancia de doctorado.
1. Artículo “The Universe Dynamics form Topological Considerations” Autores: Miguel Ángel García-Aspeitia y Tonatiuh Matos. Publicado en la revista “General Relativity and Gravitation” GERG. Journal: 10714, Article No: 1093, Ms Code: GERG-D-10-00271.0. Editorial: Springer. Vol: 43, Num 1. Disponible en: arXiv:0906.3278v3 [gr-qc] 2010. 2. Artículo “Branes Filled by a Scalar Field Dark Matter: The Dynamical Perspective.” Autores: Miguel Angel García-Aspeitia, Juan Magaña y Tonatiuh Matos. En refereo para “General Relativity and Gravitation” Disponible en: arXiv: 1102.0825v1 [gr-qc] 2011. 3. Artículo “Braneworld Corrections of the Ultra Light Bosonic Dark Matter. The Galactic Context” Autor: Miguel Angel García-Aspeitia y Ivan Rodriguez Montoya. En proceso. MEMORIAS 1. Proceeding AIP Conf. Proc. 1241, 876 (2010). “Cosmic Acceleration from Topological Considerations” para el American Institute of Physics AIP para las memorias del congreso “Invisible Universe” celebrado en París Francia. Autores: Miguel Ángel García Aspeitia y Tonatiuh Matos. Editores: Jean-Michel Alimi, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France ; André Füzfa, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France. http://scitation.aip.org/proceedings/confproceed/1241.jsp 2. Proceeding AIP Conf. Proc. 1241, 1221 (2010) “Ultra Light Bosonic Dark Matter and CMB” para el American Institute of Physics AIP para las memorias del congreso “Invisible Universe” celebrado en París Francia. Autores: Ivan Rodriguez Montoya, Tonatiuh Matos y Miguel Ángel García Aspeitia. Editores: Jean-Michel Alimi, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France ; André Füzfa, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France. http://scitation.aip.org/proceedings/confproceed/1241.jsp 3. Proceeding para AIP Conf. Proc. 1256, 275 (2010). “Primordial Perturbations Produced by a Self Interacting Scalar Field in the Braneworld: The Dynamical Systems Perspective.” para las memorias del congreso VIII Mexican School on Gravitation and Mathematical Physics “Speakable and Unspeakable in gravitational physics” Playa del Carme, Quintana Roo, México 2009. Autores: Miguel A. García Aspeitia, Juan Aldebaran Magaña, Tonatiuh Matos, Pablo A. Rodriguez. Editor: Luis A. Ureña.
4. En proceso Proceeding “Cosmic Acceleration from Topological Considerations” para el World Scientific, Singapore, para las memorias del congreso “Twelfth Marcel Grossman Meeting” celebrado en París Francia. Autores: Miguel Ángel García Aspeitia, Tonatiuh Matos e Ivan Rodriguez Montoya. 5. En proceso Proceeding “Scalar Field Dark Matter from Two Concentric Spherical Branes Universe” para el congreso 6th edition of the International Workshop on Dark Matter DSU celebrado en Leon Guanajuato. Autores: Tonatiuh Matos and Miguel A. García Aspeitia. 6. Proceeding para AIP Conf. Proc. 1318, 224 (2010). Titulado “Cosmic Braneworld and Ultra Light Bosonic Dark Matter” para el congreso celebrado en el Colegio Nacional. Autores: Ivan Rodriguez Montoya, Miguel A. García-Aspeitia, Juan Magaña and Tonatiuh Matos.
Bibliografıa
[1] Matos T., Vazquez A., Magana J. A. MNRAS., 389 13957(2009). ar-
Xiv:0806.0683
[2] Matos T., Guzman F.S., Class. Quant. Grav. 17 L9-L16 (2000). arXiv:gr-
qc/9810028
[3] Bohemer C. G., Harko T., JCAP 0706, 025 (2007). arXiv:astro-ph/0303455
[4] Bernal A., Matos T., Nunez D., Rev. Mex. A. A. 44, 149-160 (2008).
arXiv:astro-ph/0303455
[5] Alcubierre M., Guzman F.S., Matos T., Nunez D., Urena L. A., Wiederhold
P., Class. Quant. Grav., 19, 5017-5024 (2002). arXiv:gr-qc/0110102
[6] Matos T., Urena L. A., Phys. Rev. D 63, 063506 (2001). arXiv:astro-
ph/0006024
[7] Lee J., Koh I., Phys. Rev. D, 53 2236 (1996). hep-ph/9507385
[8] Lee J., JKPS 54, 2622 (2009)
[9] Woo T., Chiueh T. C., ApJ 697, 850 (2009). astro-ph/0806.0232
[10] Rodrıguez-Montoya I., Magana J., Matos T. y Perez-Lorenzana A., ApJ 721
1509 (2010). arXiv:0908.0054v1 (2009)
[11] Garcıa-Aspeitia M. A. and Matos. T., Gen. Relativ. Grav. (2011) 43: 315-
329
106
BIBLIOGRAFIA 107
[12] Garcıa-Aspeitia M. A., and Magana J., Matos T., Enviado a Gen. Relativ.
Grav.
[13] Garcıa-Aspeitia M. A., and Ivan Rodriguez., Articulo en proceso (2011)
[14] Dodelson S., Modern Cosmology, Academic Press. (2003)
[15] Urena L. A., Matos T., Phys. Rev D 62 081302 (2000), arXiv:astro-
ph/0003364v1
[16] Guzman F. S., Urena-Lopez L. A., Phys. Rev. D 68 024023 (2003),
arXiv:astro-ph/0303440
[17] Ma C. P., Bertschinger E. Astrophys. J. 455 7-25 (1995), arXiv:astro-
ph/9506072v1
[18] Rodrıguez-Montoya I., Magana J., Matos T. and Perez-Lorenzana A., ApJ
721 1509 (2010). arXiv:0908.0054v1 (2009)
[19] Torres del Castillo G. F., Notas Sobre Variedades Diferenciales. CINVES-
TAV (1981)
[20] Carroll S., Living Rev. Rel. 4:1 (2001)
[21] Maartens R., Living Rev. Rel 7:7 (2004) arXiv:gr-qc/0312059v2
[22] Hernandez R., Tesis de Maestria, CINVESTAV-IPN (2007)
[23] Bahcall J. N. Neutrino Astrophysics. Cambridge University Press, Cambrid-
ge, (1989)
[24] Fukuda Y. et al., Phys. Rev. Lett. 81, 1562 (1998)
[25] Riess A. G. et al., Astrophysical Journal 116, 1009 (1998)
[26] Perlmutter S. et al., Astrophysical Journal 517, 565 (1999)
[27] Sachs R. K. y Wolfe A. M. Astrophysical Journal 147, 73 (1967)
BIBLIOGRAFIA 108
[28] Lyth D., Riotto A., Phys. Rept. 314: 1-146, (1999). arXiv:hep-ph/9807278v4
[29] Shiromizu T., Maeda K. and Sasaki M., arXiv:gr-qc/9910076v3
[30] S Weinberg. Review of Modern Physics, Vol. 61, No. 1 (1989)
[31] Lyth D. H. & Riotto A., Phys. Rept. 314:1-146. arXiv:hep-ph/9807278v4
(1999)
[32] Peacock J. A., Lectures given at the EDAN summer school. arXiv.astro-
ph/9601135v1(1995)
[33] Horava P., Witten E., Nucl. Phys. B 460, 506 (1996) arXiv:hep-th/9510209
[34] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G., Phys. Lett. B 429, 263 (1998).
arXiv:hep.ph/9803315
[35] Randall L., Sundrum R., Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999). arXiv:hep-
th/9905221
[36] Randall L., Sundrum R., Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999). arXiv:hep-
th/9906064
[37] Dvali G., Gabadadze G., Porrati M., Phys. Lett. B 485, 208-214 (2000).
arXiv:hep-th/0005016v2
[38] Khoury, Ovrut, Steinhardt, Turok. Phys. Rev. D 64:123522 (2001)
[39] Rasanen R. S., Ph.D. thesis, (2002). arXiv:astro-ph/0208282v2
[40] Steinhardt, Turok., arXiv:hep-th/0111098
[41] Perez-Lorenzana. A., J. Phys. Conf. Ser. 18. 224-269 (2005)
[42] Gogberashvili M., et al Phys. Lett. B 636 147-149 (2006) arXiv:gr-
qc/0511039v2
[43] Liddle A. and Urena-Lopez L., et al ., Phys. Rev. Lett. 97, 161301 (2006).
BIBLIOGRAFIA 109
[44] Shiromizu, Maeda, Sasaki., et al Phys. Rev. D 62 024012 (2000)
[45] Mac Fadden P., PhD thesis. Cambridge, Reino Unido (2006) arXiv:hep-
th/0612008v2
[46] Niz Quevedo Gustavo., PhD thesis. Cambridge, Reino Unido (2006)
[47] Ida D. Extra Large Dimensions, Classical Theories of Gravity JHEP09
(2000) 014.
[48] Maeda, Mizuno, Torii., et al., Phys. Rev. D 68, 024033 (2003)
[49] Cordero R. and Vilenkin A., Phys. Rev. D 65, 083519. arXiv.hep-th/0107175
[50] Copeland E. J., Liddle A. R., Lidsey J. E., et al. Phys. Rev. D 64, 023539
(2002)
[51] Lidsey J., Matos T., Urena L. A. Phys. Rev. D66, 023514 (2002).
arXiv:astro-ph/0111292
[52] Rasanen, S. PhD thesis. Helsinki Institute, Finland. arXiv:astro-
ph/0208282v2 (2002)
[53] Hu W., Barkana R., y Gruzinov A., Phys. Rev. Lett 85, 1158 (2000)
[54] Binetruy P., De!ayet C. y Langlois D. Nucl. Phys. B 565: 269-287 (2000).
arXiv:hep-th/9905012v2
[55] Perez. J. L., Tesis de Mastria. ESFM-IPN Mexico (2010)
[56] Kodama H., Sasaki M., Progress of Theoretical Physics Supplement No. 78
(1984)
[57] Langlois D., Maartens R., Sasaki M., Wands., Phys. Rev. D 63 084009
(2001). arXiv:hep-th/0012044
[58] Huston I., Malik K. A., JCAP 0909 019 (2009), arXiv:astro-
ph.CO/0907.2917v1
BIBLIOGRAFIA 110
[59] Heredia de la Cruz I., Tesis de Maestrıa, CINVESTAV-IPN (2007).
[60] Navarro J. F., Frenk C. S., White S. D. M., Astrop. J. 462: 563-575 (1996).
arXiv:astro-ph/9508025v1
[61] Oppenheimer J. R., and Volko! G. M., Phys. Rev. 55 (1939)
[62] Gibons C. H., Journal of App. Fluid. Mech. Vol 1, No. 2 pp. 1.8, (2008).
Disponible en www.jafmonline.net
[63] Rahaman F., Kalam M., DeBenedictis A., Usmani A. A., Saibal R., MNRAS
389 27 (2008). arXiv:0802.3453v2
[64] Dıaz E., Zandivarez A., Merchan M., Muriel H., The Astroph. Journal, 629.
159-171 (2005).
[65] Koyama K., Phys Rev. Lett. 91 221301 (2003) arXiv:astro-ph/0303108
[66] Koyama K., JCAP 0603 017 (2006) arXiv:astro-ph/0601220v1
[67] Hu W., Barkana R., and Gruzinov A., Phys. Rev. Lett. 85 1158 (2000)
[68] Lee J., and Koh I., Phys. Rev. D., 53, 2236 (1996). arXiv:hep-ph/9507385
[69] Lee J., JKPS 54 2622 (2009)
[70] Woo T., and Chiueh T. C., ApJ 697 850 (2009). arXiv:astro-ph/0806.0232
[71] Yoshida N. Ph. D thesis. Munich Germany. (2001)
[72] Leong B. Dunsby P. K. S. Challinor A. D. Lasenby A. N. Phys. Rev. D 65,
104012 (2002). arXiv:gr-qc/0111033
[73] Heiblum A. Tesis de Licenciatura. Facultad de Fısica UNAM. Mexico (2003)
[74] Liddle A., Introduction to Modern Cosmology. Second Edition. Wiley.
[75] Durrer R., The Cosmic Microwave Background. Cambridge.
BIBLIOGRAFIA 111
[76] Misner C. W., Thorne K. S., & Wheller J. A., Gravitation. W. H. Freeman
and Company.
[77] Chavanis P. H., ArXiv:1103.2050v1
[78] Chavanis P.H., ArXiv:1103.2054
[79] Chavanis P. H. ArXiv:1103.2698
[80] Durkee M. N., University of Cambridge. arXiv:1104.4414v1 (2011)
Recommended