Distribuciones de probabilidad discreta

DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDADES DISCRETAS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENCIÓN - MATURÍN

REALIZADO POR:GRANADO, JESSICAC.I. 18.581.434

MATURÍN, JUNIO DE 2014

ING. AMELIA MALAVE

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD?

Indica una lista de todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de los resultados.

CARACTERÍSTICAS:

La probabilidad de un resultadosiempre debe estar entre 0 y 1. La suma de todos los resultadosmutuamente excluyentes siempre es1.

VARIABLE ALEATORIA

Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores quepuede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe quévalores puede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia,sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad.

Por ejemplo: Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio

muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociadoal experimento, es Ω = CC, CX, XC, XX, donde (C representa "sale cara" yX, "sale cruz"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental delexperimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría lavariable aleatoria X como la función: X : ΩDada por:

CC 2CX, XC 1XX 0

TIPOS DE VARIABLES

Toda Distribución de Probabilidad es generada por una variable aleatoria X, la que puede ser de

dos tipos:

Variable Aleatoria Discreta (X):Se denomina variable aleatoria porque el valor tomado es totalmenteal azar y discreta por que solopuede tomar valores enteros y unnúmero finito de ellos.

Variable Aleatoria Contínua (X):Se denomina contínua por quepuede tomar tanto valores enteroscomo fraccionarios y un número

infinito de ellos.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS MAS IMPORTANTES

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Es una Distribución de Probabilidad discreta, que toma valor1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad defracaso (q = 1 - p).

Si X es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos",y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito ofracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye comouna Bernoulli de parámetro p.

Su fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Ejemplo:

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) seconsiderará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p)= 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento",y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1(una cruz).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, apartir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de queocurra un determinado número de eventos durante cierto período detiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad deocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos"raros".

CARACTERÍSTICAS:

- Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodode tiempo o a lo largo de un espacio de observación- Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o node una manera no determinística.- La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalode amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de suamplitud)- La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo esprácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.- La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervaloinfinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es:

Donde:K,es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nosda la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).λ, es un parámetro positivo que representa el número de veces que seespera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Porejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces porminuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k vecesdentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo dedistribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.e, es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Ejemplo:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles sonlas probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un díadado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan albanco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

λ = 6 cheques sin fondo por díae = 2.718

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan albanco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dosdías consecutivos.Nota: λ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otraforma, debe “hablar” de lo mismo que x.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es una Distribución de Probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

PROPIEDAD

ES:La muestra se compone de un número fijo de observaciones n.Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamenteexcluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea.La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, esconstante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de queuna observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todaslas observaciones.La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se define por la fórmula:Donde:n= es el número de pruebas.K= es el número de éxitos.p= es la probabilidad de éxito.q= es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de queel 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos sonaficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que del grupo hayan leído la novela 2personas?n = 4p = 0.8q = 0.2

2.¿Y al menos 2?