Dpt. Télécommunications, Services & Usages Techniques de codage et modulations H....

Dpt. Télécommunications, Services & Usages Techniques de codage et modulations H. Benoit-Cattin 1

Techniques de codage

et modulations

3TC-TCM

Hugues BENOIT-CATTINJacques VERDIER

IntroductionSource

analogiqueSource

numérique

ÉchantillonnageQuantification

Codage

Modulationsanalogiques

Modulationsnumériques

Modulationséchantillonnées

Codagede canal

Codagede source

Chiffrage

Canal de transmission

Théorie de l’information

Th. Signaux (SIS, TSI) : décrit messages et perturbations …

Th. Information (TCM) : propose une quantitative de l ’information et étudie sa

représentation, transmission

Modulation (TCM) : modifie les signaux pour les propager sur les canaux de

transmission (PFO, 4TC-COH)

Électronique (AEN) : réalise les fonctions

• A. Techniques de codage• 1. Entropie & Capacité ..……. D4

• 2. Codage de source ………………. D22

• 3. Codage de canal …………………. D40

• 4. Cryptographie …………………. D72

• B. Modulations analogiques & numériques• 1. Modulations analogiques de signaux analogiques ..……. D105

• 2. Modulations échantillonnées …………D

• 3. Transmission d ’un signal numérique sur fréquence porteuse …………. D

[1] G. Battail, "Théorie de l'information. Application aux techniques de communication", Ed : Masson, Paris, 1997, 397 p. [2] A. Spataru, "Fondements de la théorie de la transmission de l'information", Ed : Presse Polytechnique Romande, Lausanne, 1987, 625 p. [3] T.M. Cover, J.A. Thomas, "Information theory", Ed : Wiley Interscience, New York, 1991, 542 p. [4] G. Brassard, "Cryptologie contemporaine", Ed: Masson, 1993, 122 p. [5] P. Csillag, "Introduction aux codes correcteur", Ed: Ellipses, 1990, 96p.

[6] P.Lecoy, "Technologies des télécoms", Ed.: Hermes, 1995, 373 p[7] Ph. Fraisse et al, "Transmission de l'information", Ed. Ellipses, 1999, 191 p

[8] http://www.multimania.com/xcotton/electron/coursetdocs.htm

De saines lectures

A.1 Entropie & Capacité

• Théorie de l ’information

• Les sources ...

• Information & Entropie

• Les canaux discrets

• Transinformation & Capacité

Théorie de l ’information

Vue d’ensemble d’un système de communicationindépendante des moyens techniques & physiques

1948 : Shannon Théorie de l'information

Réflexion sur les techniques de communication (XIX°)- Mécanique, accoustique- Ondes radio-électrique- Télégraphe (code morse)- Téléphone, ….

Système de communication = fonctions physiques réalisables Mauvaise compréhension des perturbations, des débits …

GSM codage de source & canal

TV Num codage de source & canal

Réseaux codage de canal

@business cryptage

Ca ne sert à rien !

1960 / conquête spatiale codage de source

Aujourd'hui

• Paradigme de Shannon = modèle sys. com.

Source = je parleCanal = l ’air ambiantPerturbations = bruit sonoreDestinataire = tu écoutes

Source : siège d'évènements aléatoires qui constituentle message émis EntropieCanal : transmet et dégrade le message Capacité

Des messages différents portent la même information, le codagecherche le message avec les meilleures propriétés.

Codage de source supprime la redondance, réduit le coût

Codage de canal protège contre les perturbations

Chiffrage protège contre les curieux

Deux théorèmes fondamentaux :

Codage de source Codage de canal

Les sources ...Sources débitant des messages sous forme discrète !

Source discrète d'information : suite de variables aléatoiresdiscrètes X1, X2, … Xn

Mot : succession finie de symboles

Alphabet : totalité des D lettres [X] = [x1,x2, …., xD]

Symbole ou lettre : élément fondamental irréductiblecontenant une information, cad réalisation particulière de lasource d'information.

Message : réalisation particulière parmiles données susceptibles d'être transmises

Source discrète sans mémoire : source pour laquelle laprobabilité d'apparition d'un symbole ne dépend pas dessymboles précédents )(,...),/(

21 nnnn iiii xpxxxp

Source sationnaire : source pour laquelle les probabilitésd'apparition des différents symboles ne dépendent pas del'origine des temps kxpxp

knn ii

Source de Markov : source pour laquelle la probabilité degénérer un symbole ne dépend que du symbole à l'instant n-1

)/(,...),/(121

nnnnn iiiii xxpxxxp

• Quantité d'information propre

Propriété de l'information = imprévisibilité

))(1()( xpfxh

2 evt. indépendants apportent la somme de leur quantité d'info

)()())(

1())().(

1()),(1(),( yhxh

xpfypxpfyxpfyxh

f fonction logarithme (Base 2 >> bit)

))(log())(1log()( xpxpxh

Information & Entropie ...

Avec f croissante & f(1)=0

Règle de Bayes : ),()().()().(),( xypxpxypypyxpyxp

)),(1log(),( yxpyxh

))(1log()( yxpyxh

),()()()()(),( xyhxhxyhyhyxhyxh

)()( xhyxh si x et y indépendants

• EntropieHyp : source discrète finie stationnaire sans mémoire

n..., 1,2,ipour )( ii xXpp

Emission = variable aléatoire X

iii ppppXhEXH

)log(.)1log(.))(()(

Quantité d'information moyenne associéeà chaque symbole de la source = entropie

• Ex : Source binaire

1ou 0 si 0

10pour )1log().1()log(.)(

pppppXH

• Redondance

)()(max XHXHR

• Propriétés de l ’entropieContinuité : l'entropie est une fonction continue de chaquevariable pi.

Additivité : de part la définition de l'information propre.

Positive :

Bornée :

0),...,,()( 21 npppHXH

)log()1

,...,1

()( nnnn

• Entropie & Débit d ’informationLe débit d'information d'une source est donné par le produitde l'entropie de la source (valeur moyenne de l'info /symbole)par le nombre moyen de symboles par seconde soit :

kième extension : source Sk dont l'alphabet Qkaire est obtenuen groupant par bloc de k celui de la source S

• Source Qaire

Source Qaire : source S dont l'alphabet possède Q éléments

symboleun d' moyenne durée avec ).( )( 1

Les canaux discrets

Canal : milieu de transmission de l'information situé entre la sourceet la destination. Le canal opère une transformation entre l'espacedes symboles à l'entrée et celui de la sortie.

Canal discret : les espaces d'entrée et de sortie sont discrets

Canal sans mémoire : si la transformation d'un symbole x àl'entrée en un symbole y en sortie ne dépend pas destransformations antérieures

Canal stationnaire : si les transformations ne dépendent pas del'origine des temps

yxyxyx

......

),(...),(),(

......

),(),(),(

),(...),(),(

yxpyxpyxp

jjii yxpxp

ijij yxpyp

• Probabilités marginales

))(log(.)()(1

ii xpxpXH

))(log(.)()(1

jj ypypYH

)),(log(.),(),(1 1

jji yxpyxpYXH

• Entropie réunie ou conjointe

))/(log(.),()/(1 1

jji yxpyxpYXH

• Entropie conditionnelle ou équivoque

• Transinformation :

quantité d ’information moyenne qui traverse le canal

))().(

),(log(.),();(

1 1 ji

jji ypxp

yxpyxpYXI

)/()()/()();(

),()()();(

XYHYHYXHXHYXI

YXHYHXHYXI

)()(),(

0)/()/(

YHXHYXH

XYHYXH

)()(),(

)()/(et )()/(

YHXHYXH

YHXYHXHYXH

• Canaux non perturbés

• Canaux très perturbés

• Capacité d’un canal

• Redondance d’un canal

• Efficacité d’un canal

));(( YXIMaxC

);( YXICRc

Ex canal binaire

Transinformation & capacité

A.2 Codage de source

• Généralités

• Théorème du codage de source

• Codage de Shannon-Fano

• Codage binaire de Huffman

• Codage Arithmétique

• Codage par longueur de plage

• Codage de type dictionnaire

Généralités

Adapter la source au canal l'alphabet le débit

Utiliser la capacité du canal maximiser I(X,Y)

Hyp : Source stationnaire, canaux sans perturbation

Codeurde source

Sourceinitiale

Source àentropie max

Codeur de source supprimer la redondance

• Propriétés d'un codeur de source

Régularité : messages codes

Déchiffrabilité : séparation des mots non ambiguë

• Code et Mot-code[S]=[s1,s2, …, sN] [X]=[x1,x2, …, xD]

[C]=[c1,c2, …, cN]

• Exemple

Symbole Code A Code B Code C Code D

S1 00 0 0 0S2 01 10 01 10S3 10 110 011 110S4 11 1110 0111 111

Code à longueur variable / fixe

Code séparable : pas de signe de démarcation entre les mots

Code instantané ou irréductible : on détermine les mots-codesà mesure que l'on reçoit les lettres de l'alphabet du code.CNS : Aucun mot-code n'est le préfixe d'un autre !

Arbre & codesbinaires instantanés

• Longueur moyenne d'un mot-code

iii lspl

• Limite de la longueur moyenne

minlog

• Capacité - Efficacité - Redondance

DXHMaxC log))(( D

Ex code opt.Dl

)(.)()( XHlCHSH

• Codes optimaux absolus

Codes dont l'efficacité est maximale : = 1

liD Cond. Néces. pour les codes opt. abs.

" Par un codage approprié (codage par groupe de n symboles dela source), l'information moyenne par lettre de l'alphabet du codepeut être amenée aussi proche que l'on veut de la capacité ducode, c'est-à-dire qu'il existe toujours un codage optimalabsolu ."

Rq1 : à n fixé, le code qui donne max<1 est dit 'optimal'

Théorème du codage de source

Algorithme de génération d'un codage optimal absolu, pourdes sources divisibles récursivement (jusqu'à un symbole parensemble) en deux sous-ensembles équiprobables.

Symboles ProbaMots-codes Longueur

sk p(sk) ck lk

s1 0.25 0 00 2s2 0.25 0 1 01 2s3 0.125 0 100 3s4 0.125 0 1 101 3s5 0.0625 0 1100 4s6 0.0625 0 1 1101 4s7 0.0625 0 1110 4s8 0.0625

1 1 1111 4

Codage de Shannon-Fano

- Algorithme de génération d'un codage optimal symbole parsymbole.

- Code à longueur variable codes longs pour probas faibles

Extraction des probabilités Création de l'arbre Création de la table d'Huffman Codage

Lecture de la table d'Huffman Création de l'arbre de décodage Lecture séquentielle et décodage

On transmet la table + les codes en binaire

• Algorithme

Codage binaire de Huffman (1952)

Rq : code d'échappement= Huffman + fixe

Huffman 1 symbole = 1 mot-code Arithmétique 1 flot de symboles = nbre en virgule flottante

m=0 ; M=1 ;Tant que !(fin de fichier)

{i = symbole suivant;soit [ai ; bi] associé à i ;s = M-m ;M = m + s.bi ;m = m + s.ai ;

}Renvoyer m, le compacté du fichier

N = nombre codé ;Faire

{trouver i / N [ai ; bi[ ;sortir i ;s = bi - ai ;

N = (N - ai) / s ;}

Tant qu'il reste un symbole à lire

Codeur Decodeur

Codage arithmétique

• Exemple

si pi [ai ; bi[ Huffi 0.1 [0.0 ; 0.1[ 111

A 0.1 [0.1 ; 0.2[ 110

E 0.1 [0.2 ; 0.3[ 101

I 0.1 [0.3 ; 0.4[ 100

B 0.1 [0.4; 0.5[ 0111

G 0.1 [0.5 ; 0.6[ 0110

L 0.2 [0.6 ; 0.8[ 00

S 0.1 [0.8; 0.9[ 0100

T 0.1 [0.9 ; 1.0[ 0101

0.43722077 = ?

10111010 10100100 11011001 0101111000 00011101 10110010 11010100

Arithmétique Huffman

+ de calcul Proba très élévée 1 bitPeu de symboles ()

Run Length

Codeurs statistiques

- Dépendants de la qualité de la statistique

- Statistique connue par le décodeur

Coder le nombre de symboles identiques

• CCITT, Fax groupe III Huffman sur les plages de 0 précédant les 1

000001111100000000000000000 5w5b17w

000000000001111100000000000 11w5b11w

A B C C C C C C A B C A B C A B !6C A B C A B C

• JPEG Huffman sur les plages de 0 précédant les coeff. DCT

Codage par longueur de plage (Run length coding)

• Table d'Huffman FAX III

Coder une extension de la source de longueur variable

1977 : LZ (Lempel & Ziv) 1984 : LZW (Welch)

Dictionnaire de symboles incrémenté dynamiquement apprentissage

Fichier codé = suite des adresses des mots du dico

! Gérer l'incrément des bits d'adresse

PKZIP, ARJ LZW + Huffman

Codage de type dictionnaire (1977)

Codeur LZW

ID = {Ci,Wi} , P=

Tant que (symboles à coder)C = symbole suivantSi PC ID

P = PCSinon

sortir WP

PC IDP=C

Fin siFin tant que

sortir WP

Décodeur LZW

ID = {Ci,Wi}cW = 1er code ; sortir s(cW)

Tant que (codes à lire)pW = cWcW = code suivantSi (s(cW) ID)

sortir s(cW)P = s(pW)C = 1er symbole de s(cW)PC ID

SinonP = s(pW)C = 1er symbole de s(pW)sortir s(PC)PC ID

Fin siFin tant queABBABABAC.. . .

Utilisé en compression audio & vidéo (JPEG, MPEG ...)mais en étant associé à des algorithmes non réversibles(avec pertes)

Supprime la redondance Sensibilité au bruit

Codage de canal

Conclusion sur le codage de source

A.3 Codage de canal

• Généralités

• Théorème du codage de canal

• Codes linéaires

• Codes cycliques

• Codes convolutifs

Généralités

Codeur de canal introduire une redondance utilisable

Détecter et/ou corriger les erreurs de transmission

• Détection et correction d'erreurs

Détection par écho

Détection par répétition

Détection par bit de parité

Détection par code

Détection et correction par code

• Codes détecteur et/ou correcteur

Codes linéaires• Codes groupes

Parité, Code de Hamming• Codes cycliques

CRC/FCS, code BCH, Golay

Codes convolutifs Algorithme de Viterbi

• Taux d'erreur transmisbitsdeNombre

erronésbitsdeNombreTe

011001001001100100101001010 011001101100101101000010

125.0243 eT

• Probabilité d'erreur

rnrrnnerreursr ppCP )1.(./

ncorrectsbitsn pP )1(

• Taux de codage

- k taille du mot d ’information (avant codage)- n taille du mot-code (après codage)

" Pour une source à débit d'information de R bit/s et un canal decapacité C bit/s, si R<C, il existe un code ayant des mots delongueur n, de sorte que la probabilité d'erreur de décodage pE

vérifie : )(.2 REn

Rq1 : un résultat inatendu !

Rq2 : existance ss méthode ...

Rq3 : à pE constant, n augmente si Rtend vers C.

Rq4 : en pratique, si R<0.5 C, descodes existent avec pE faible.

Théorème du codage de canal

VRC (Vertical Redundancy Check) Asynchrone

LRC (Longitudinal Redundancy Check) Synchrone

Détection d ’erreur par bit de parité

CS CC Canal

DCi v v’

] [] .... .... [ 2121 icaaaaaav nmmm

[ c ] : m symboles de contrôle[ i ] : k =n-m symboles d'information

n ...... 21 iiii vvvv

sinon 0

position ième la àerreur si 1i

• Mot-code : v

• Mot-erreur :

• Notations

Codes linéaires

• Distance de Hamming

) ( .... ) () (),( 2211 jninjijiji aaaaaavvD

Le nombre de coordonnées par lesquels les 2mots diffèrent

• Propriétés des codes linéaires

Les symboles de contrôle sont obtenus par une combinaison linéaire des symboles d ’information.

un code linéaire contient v=[0 0 …0]

• Code systématique

Les symboles d ’information et de contrôle sont séparés.

• Illustration spatiale : modèle code groupe

W = ensemble des N = 2n mots V = ensemble des S = 2k mots ayant un sens (mot-code) W

• Un mot = un vecteur dans un espace à n dimensions ! w=[a1 a2 ... an]

ii Wv Région Région 0 W équidistant

Détection et correction si Wi grand

Ex Hamming(S4)

• Capacité de détection et région de décision

Détecter d erreurs Dmin= d+1Corriger e erreurs Dmin= 2e+1Corriger e & détecter d erreurs Dmin= 2e + d + 1

Théorème de Hamming

• Principe de détection et correction

ki Siv 2 à 1pout tout 0)(

erreurd' pas alors 0)( Si i ii vvv

erreurd'détection 0)( Si zvi

D(z)connu est z Sierreurd' correction ii vv

D : opérateursDeux

• Décodage et matrice de contrôle

mn2m1m

n22221

n11211

h...hh

......

h...hh

HSoit H(m,n) la matrice de contrôle,

v.HzSoit z le syndrome (ou correcteur),

n21 a...aav

Si z=[0] pas d ’erreur, sinon erreur et +- correction

• Codage et matrice génératrice

Soit G(k,n) la matrice génératrice,

0H.G t

G m,kk

H mm,kt

k21 i...iii

kn2k1k

n22221

n11211

g...gg

......

g...gg

Les matrices H et G sont liées par :

et peuvent se mettrent sous la forme systématique

• Exemple k=2, m=1, n=3

111]H[

000101

110101

101101

011101

110]G[ 1

000101

101101

110101

011101

101]G[ 2

Code de Hamming groupe

Correction d'une erreur

1212 mkn mm

...101

...110

...:::

...21 nhhhH avec )(ibinhi

Mot-erreur : .... .... i

jjj hzHvHzvv ..

L'erreur est à la position dec(hi)

Ex Hamming

1010101

1100110

1111000

H 7654321 iiiciccv

0. TvH

Circuit de codage

Circuit de décodage

iiice 21

03 2.2.2.pour 1 eeeii

(Cyclic Redundancy Check / Frame Check Sequence)

• Code cyclique = code linéaire + propriété de permutation

2210 ...)(

nn xaxaxaaxv] .... [ 110 naaav• Mot-code :

• Bloc de n symboles polynôme de degré n-1 ! :

• Information : ]i .... i i[i 1k10 1k1k

2210 xi...xixii)x(i

32 xx11101

Codes cycliques

• Polynôme générateur : g(x)

- g(x) définit le codeur (n,k)

- g(x) est de degré m=n-k

- Il vérifie :1kn

21 xa...xgxg1)x(g

)x(p)x(gx1 n

Exemple : code cyclique (n=7, k=4)

)xx1()xx1()x1(x1 3327

g(x) est de degré 3 soit :

)xx1(g(x)ou )xx1()x(g 332

• Matrice génératrice et polynôme générateur

)x(g.x

Exemple : g(x)=(1+x2+x3)

1101...

.1101..

..1101.

...1101

G )7,4(

1101000

0110100

1110010

1010001

G )7,4(s

1001011

0101110

0010111

H )7,3(s

• Codage par multiplication

• Codage par division

• Décodage par division

)x(i.x)x(c)x(v m

)(. )(

xixRestexc

)x(g)x(i)x(v

xvRestexz

Si z(x)=0 Transmission OKSinon Détection ou correction

110001010111110

65)(32)(31)(

xxxxvxxxxixxxg et

Systématique !

# convolution discrète !

• Exemples de polynômes générateurs

ATM- x8 + x2 + x + 1 Cellule ATM

- x10 + x9 + x5+ x4+ x + 1 Couche AAL type 3/4

CCITT N°41 X25 (HDLC)

- x16 + x12 + x5 + 1

IEEE 802 Réseaux locaux

- x32 + x26 + x23+ x22 + x16+ x12 + x10+ x8 + x7+ x5 + x4+ x2 + 1

)1)(1)(1()( 24324 xxxxxxxxxg Code BCH (Bose-Chaudhuri - Hocquenghem)

n=15, m=10, e=3R = 33%

Code Golay111065421)( xxxxxxxg n=23, m=11, e=3

R = 52 %

Les symboles d'information sont traités en flux continu

Contrainte : m = nb de blocs contrôlés par un bloc donné

Rque :Blocs de n0 symboles, mais dont les m0 contrôleurs nedépendent pas que des k0 symboles d'information !

Longueur de contrainte : n=m.n0

• Généralités

Taux d'émission :0

Codes convolutifs

• Codes convolutifs systématiques

12211 ............ jjYXYXYXV

....... 01 kjjj XXX

....... 01 mjjj YYY Contrôle

Informationavec

Mot-code :

• Codes convolutifs non systématiques

Contrôle et information sont mélangés

Mot-code : ............21 jUUUV

nnnnn xRxRxRxRy .... 1122334

• Exemple : m=4, k0=1, m0=1, n0=2

R=[1011]

• Représentation des codes convolutifs

- Par le codeur

- Par une matrice de transfert

- Un diagramme d'état

- Un treillis chemin décodage par chemin le + probable

Exemple : n0=2, R=0.5 , m=3

Recherche d'erreur à la fréquence N Dmin = 2e+1

Stratégie de recherche de Dmin

Exemple pour N=3

10 01 10 ?3

11 01 10

• Décodage : algorithme de Viterbi

Indispensable

Théories mathématiques complexes des solutions concrètes

Recherche de codeurs conjoint source / canal

- Reed-Salomon (1984) : BCH Qaire DVB(204,188,8)- Turbo-Codes (1993) : Code convolutif V+H

- complexité --- robustesse ++- flexibilité ++

Conclusion sur le codage de canal

A.4 Cryptographie

• Généralités

• Techniques de chiffrage

• Usage des approches clé publique

• Législation & Cryptologie

Généralités

• Objectifs

TéléphonieCommerce électronique@Business

• Applications

Mots de passeSécurité réseaux

Militaires

Garantir la confidentialité des donnéesGarantir l'intégrité des donnéesGarantir l'identité des correspondants

Non répudiation des transactions

• Vocabulaire

Cryptographie : techniques de chiffrage

Cryptologie : cryptographie & cryptanalyse

• Vue de la théorie de l'information

Chiffrage = Canal très perturbé

nm Messages : [M]mi

[C] : nc Cryptogrammescj

Chiffrage

nk Clés )/()();( CMHMHCMI

Secret parfait ssi : 0);(soit )()/( CMIMHCMH

Clé unique permet mi cj soit nm=nc=nk

Toutes les clés sont équiprobables

Chiffrage efficace

(Coût + temps) de décryptage >> Valeur de l'info

Chiffrage à clé privée (symétrique)DES, IDEA,

Chiffrage à clé publique (asymétrique)RSA, PGP

Approches modernes

Approches classiques

Chiffrage par substitutionJules César, l'Abbé Trithème

Chiffrage par transposition

Techniques de chiffrage

• Chiffrage par substitution

Chaque lettre (ou groupe de lettres) est remplacée par unelettre (ou un groupe de lettres)

Abbé Trithème (1499)

• Chiffrage par transposition

Change l'ordre des lettres sans les substituer

Exemple

• Chiffrage à clé privée

Clé privée Clé privée

MessageMessage &^$!@#l:{Q&^$!@#l:{QDecryptionDecryptionEncryptionEncryption

MessageMessage

Encryption and decryption use same key

Encryption and decryption use same mathematical function

Example: Data Encryption Standard (DES, IDEA ,RC2, ...)

Key length matters

Keys must often be changed

Shared keys must be generated and distributed securely

• Challenges with symmetric encryption

Ramdomized Key generator

• IDEA (International Data Encryption Algorithm / Lai, Massey 1991 ) Une succession d’addition (+) , multiplication (x), et Xor ()

Mot de 64 bits Clé de 128 bits 8 rondes

- X1 x Z1 = Y1

- X2 + Z2 = Y2

- X3 + Z3 = Y3

- X4 x Z4 = Y4

- Y1 Y3 = Y5

- Y2 Y4 = Y6

- Y2 x Z5 = Y7

- Y6 + Y7 = Y8

- Y8 x Z6 = Y9

- Y7 + Y9 = Y10

- Y1 Y9 = X1’- Y3 Y9 = X3’- Y2 Y10 = X2’- Y4 Y10 = X4’

- X1 x Z1 = X1’- X2 + Z2 = X2’- X3 + Z3 = X3’- X4 x Z4 = X4’

Principe

• Chiffrage à clé publique

Clé publique Clé privée

MessageMessage &^$!@#l:{Q&^$!@#l:{QDecryptionDecryptionEncryptionEncryption

MessageMessage

Encryptor and decryptor use different keys

Encryptor and decryptor use different mathematical functions

Example: public key algorithms (RSA, Diffie-Hellman, ...)

• RSA (Rivest Shamir Adleman / 1978)

Basé sur des propriétés algébriques : - multiplication - factorisation

Clé publique : N, e Clé privée : N, s

&^$!@#l:{Q&^$!@#l:{Qm=xm=xs s (mod N)(mod N)x = mx = mee (mod N) (mod N)

Choisir N = p . q avec p et q premiers (512 bits soit # 200 chiffres)

Choisir s / s premier avec z=(p-1) .(q-1)

Sécurité dépend des connaissances arithmétiques !

e / e. s = 1 (mod z) e<<s

Exemple simple de RSA p=3 et q=11 N = 33 z = 20 s = 7 7.e = 1 (mod 20) e = 3 C = M3 . (mod 33) et M = C7 . (mod 33)

• PGP (Pretty Good Privacy / 1991 )

Algorithme hybride : PGP = (RSA + IDEA)

Longtemps interdit en France !

• Comparaison

Symmetric Asymmetric

Number of keys 1 2

Usual key length

56 bits 512+ bits

Performance fast very slow

Dedicated hardware

yes very rare

Code breaking difficultalmost

impossible

• Confidentialité

• Authentification

• Confidentialité & authentification

• Signature

• Certificat

• Protocoles réseaux sécurisés

Usages des approches clé publique

• Alice gets Bob’s public key• Alice encrypts message with Bob’s public key• Bob decrypts using his private key

BobAlice

ClearEncrypted

Bob’s Private KeyBob’s Public Key

DecryptionDecryptionEncryptionEncryption

PriPriPub

• Confidentialité

• Authentification

PriPri Pub

Clear ClearEncrypted

• Alice encrypts message with her private key• Bob gets Alice’s public key• Bob decrypts using Alice’s public key

Alice’s Public KeyAlice’s Private Key

EncryptionEncryption DecryptionDecryption

BobAlice

• Confidentialité & Authentification

• Signature : Authentification & Intégrité

• Digital Signature Standard from NIST

• Public and private keys (512+ bits)

• Applied on a digest of the message to be signed

Hash of Message

Message

HashHashFunctionFunction

• one-way cryptographic function

• maps a large message into a short hash

• typical hash size 128 bits

• examples: MD5, SHA

Digest (Hash)

• How does Alice sign her message?

Encrypt Hash Using Alice’s Private Key

Hash of Message

Digital Signature = Encrypted Hash of Message

AliceAlice

Message

• How does Bob verify Alice’s signature?

If Hashes Are Equal, Signature Is Authentic

Signature

Decrypt theReceived Signature

Decrypt Using Alice’s Public Key

Hash of Message

Re-Hash the Received Message

Hash of Message

Message withAppended Signature

Signature

Message

AliceAlice

Message

• How can Bob be assured that the Alice’s public key belongs to Alice?

• Digital certificate is signed message that attests to authenticity of user’s public key

00001230000123SHA, DH, 3837829…SHA, DH, 3837829…1/1/97 to 12/31/981/1/97 to 12/31/98Bob Smith, Acme CorporationBob Smith, Acme CorporationDH, 3813710…DH, 3813710…Certificate AuthorityCertificate AuthoritySHA, DH, 2393702347…SHA, DH, 2393702347…

CertificateAuthority

Bob’s Public Key

• Certificat : l'identité électronique

• A digital certificate contains• Serial number of the certificate

• Issuer algorithm information

• Valid to/from date

• User public key information

• Signature of issuing authority

0000123SHA,DH, 3837829....1/1/93 to 12/31/98Alice Smith, Acme CorpDH, 3813710...Acme Corporation, Security Dept.SHA,DH, 2393702347 ...

• Tiers de confiance / sequestre

• Norme CCITT X. 509

• Protocoles réseaux sécurisés

SSL (Secure Socket Layer)

Secure HTTP

SET (Secure Electronic Transaction)

Secure TCP/IP IP v.6

• S S L

Communication sécurisée entre deux entités

Échange de données sur liaison sécurisée

Commerce électronique

Protocole de handshake Client vérifie le certificat du serveur

Client génère paire de clé

Demande la clé publique du serveur

Envoie de la clé publique du client chiffrée au serveur

Test émis par le serveur

• Commerce électronique

Evolution exponentielle, initiée par les professionnels, tiréepar les particuliers

Pose tous les problèmes traités par la cryptologie Authentification Intégrité Confidentialité Non répudiation

2 voies principales Acheteur / Vendeur SSL Acheteur / Vendeur + Banques SET

Pas de législation internationale + évolution rapide Difficulté de standardisation des protocoles

Les logiciels de chiffrage ne sont pas comme les autres !

USA Cryptologie, armes et munitions Même cadre juridique ITAR (International Traffic Arm Regulation) Export (40 bits)

Législation & Cryptologie

France Législation très restrictive mais évolutive SCSSI (Service Central de Sécurité des Sys. Informations) Organisme d'état

Décrets 98-206 & 207 du 23 Mars 1998

- Autorisation Déclaration Sans formalité- 240 essais, F U I E

Sanctions encourues :

- Import sans autorisation : 6 mois & 200 000 F

- Tiers de confiance illégal : 2 ans & 300 000 F

- Fourniture pour crime & délit : 3 ans & 500 000 F

- Circonstance aggravante ?

Indispensable aux réseaux de communication Sécurité Intranet / Extranet / Internet

Moteur de développement du @Business

Conséquences juridiques

Conclusion sur la cryptograhie

… Transition ...

Théorie de l'information Domaine vaste (Continu, Modèle deréseaux, Théorie de la distorsion, …)

Techniques de codage

Coder, c ’est bien,mais moduler ça sert aussi ...

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