View
125
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
DSP 5 The Discrete Fourier Transform ( DFT ) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง. ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์. เป้าหมาย. นศ รู้จักความหมายของ อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจากสัญญาณในโดเมนเวลา - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DSP 5 The Discrete
Fourier Transform (DFT)การแปลงฟูรเิยรแ์บบไมต่่อเน่ือง
ผศ.ดร . พรีะพล ยุวภษิูตานนท์ภาควชิา วศิวกรรมอิเล็กทรอนิกส์
DSP5-1CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
เป้าหมาย
• นศ รูจ้กัความหมายของ อนุกรมฟูรเิยรแ์บบไมต่่อเนื่อง (Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจากสญัญาณในโดเมนเวลา
• นศ เขา้ใจความสมัพนัธข์อง การแปลงฟูรเิยรแ์บบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform: DFT) และ DFS
• นศ สามารถทำาการแปลง DFT กับสญัญาณเชงิเวลาใดๆได้
DSP5-2CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-3
ทำาไมต้อง DFT ?
( ) ( )j j n
nX e x n e
แต่ หากจะคำานวณ DTFT ด้วย โปรเซสเซอร ์หรอื คอมพวิเตอร ์จะต้องจดัการให้ลำาดับ n มค่ีาท่ีจำากัด
แต่จากเรื่องของ DTFT สงัเกตวา่ n มค่ีาไมจ่ำากัด
หากต้องการใชค้อมพวิเตอรห์รอืตัวประมวลผลมาชว่ยคำานวณผลเราต้องการจำานวนลำาดับท่ีจำากัด
ดังนัน้จงึต้องใช ้การแปลงฟูรเิยรแ์บบไมต่่อเน่ือง Discrete Fourier Transform (DFT)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-4
อนุกรมฟูรเิยรแ์บบไมต่่อเน่ืองThe Discrete Fourier Series
(DFS) ( ) ( ), ,x n x n kN n N ใหส้ญัญาณท่ีเป็นรายคาบ
2Nความถ่ีมูลฐาน เป็น เรเดียน2 , 0,1,..., 1k k NN
ความถี่ฮารม์อนิก เป็น21
0
1( ) ( ) , 0, 1,...N j kn
N
kx n X k e n
N
21
0( ) ( ) , 0, 1,...
N j nkN
kX k x k e k
( )X kคือ ค่าสมัประสทิธิ ์ฟูรเิยรไ์มต่่อเน่ือง โดยท่ี
แสดง ได้เป็น( )x n
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-5
( ) ( )X k N X k
2jN
NW e
1
0
1
0
( ) DFS[ ( )] ( )
1( ) IDFS[ ( )] ( )
NnkN
k
Nnk
Nk
X k x k x k W
x k X k X k WN
Analysis (DFS) equation:
Synthesis (IDFS) equation:
เราแทน
( )X k ก็เป็นสญัญาณรายคาบ
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-6
( ) ...,0,1,2,3,0,1,2,3,0,...x k
ตัวอยา่ง
วธิทีำา
หา DFS ของสญัญาณรายคาบ
ดจูากลักษณะสญัญาณ จะได้ คาบเวลา = 4 (N=4 ) 2 24
j jN
NW e e j
3
40
( ) ( ) , 0, 1,...nk
nX k x n W k
3 30
40 0
(0) ( ) ( ) (0) (1) (2) (3) 6n
n nX x n W x n x x x x
k=0
k=1 3 31
40 0
3 32 2
40 0
3 33 3
40 0
(1) ( ) ( )( ) ( 2 2 )
(2) ( ) ( )( ) 2
(3) ( ) ( )( ) 2 2
n n
n n
n n
n n
n n
n n
X x n W x n j j
X x n W x n j
X x n W x n j j
k=2k=3
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-7
ตัวอยา่ง
วธิทีำา
dsp_5_1.eps
L
N
มสีญัญาณพลัส ์(pulse) เป็น รายคาบดังรูป จงหาอนุกรม DFS
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-8
2 21 1
0 0( ) ( )
N Lj nk j nkN N
n nX k x n e e
แปลง DFT
หรอืใชตั้วชว่ยจาก ผลรวมเรขาคณิตแบบจำากัด จะดีกวา่ไหม?เราจะนัง่คำานวณด้วยมอืก็ได้…
1
0
1 , 11
LLn
n
aa aa
221
20
1( ) ( )1
Lj kNL j k nNkjn N
eX k ee
ทำาใหไ้ด้
( ) , 0, , 2 ...X k L k N N แต่เฉพาะท่ี 0, , 2 ..k N N
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-9
ชว่งพลัสบ์วก L=5 และคาบเป็น N=20
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-10
ชว่งพลัสบ์วก L=5 และคาบเป็น N=40
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-11
ชว่งพลัสบ์วก L=5 และคาบเป็น N=60
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-12
ชว่งพลัสบ์วก L=7 และคาบเป็น N=60
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-13
ขอ้สงัเกตุ
• ชว่งระยะพลัสบ์วก สมัพนัธก์ับ คาบเวลาและขนาดของผลการแปลง DFS ดังนี้
L
L
L
L
( )x n
( )X k
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-14
DFS กับ z-transform และ DTFTสำาหรบัสญัญาณจำานวนจำากัดใดๆ
, 0 1( )
0,nonzero n N
x notherwise
จดัใหเ้ป็น สญัญาณท่ีเป็นคาบได้โดยใชส้ญัญาณเฉพาะ n = 0 ถึง N-1( ), 0 1
( )0,x n n N
x notherwise
0 5
N=6
0 5
( )x n
( )x n
และบวกรวม ( ) ( )
rx n x n rN
…
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-15
DFS กับ z-transform และ DTFT (ต่อ)
•
21
0
21
0
( ) ( )
( )
N j nkN
n
nN j k
N
n
X k x n e
x n e
2( ) ( ) j kNz e
X k X z
ความสมัพนัธ ์DFS และ z-transform
2( ) ( )jk
N
X k X e
ความสมัพนัธ ์DFS และ DTFT
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-16
DFT กับ DFS• DFS เป็นการแปลงสญัญาณเชงิเวลาไมต่่อเนื่องและเป็นคาบ
ใหเ้ป็นสญัญาณเชงิความถ่ีแบบไมต่่อเนื่องและเป็นคาบ • แต่สญัญาณบางอยา่งทัว่ๆไป อาจจะไมเ่ป็นคาบก็ได้• ในการวเิคราะหจ์งึต้องตัดสญัญาณนัน้มาหน่ึงชว่งและหา
DFS ของชว่งสญัญาณนัน้ ซึ่งเราสมมติใหเ้ป็นชว่งหน่ึงคาบ • และเราเรยีกการแปลง DFS กับสญัญาณเพยีงหนึ่งคาบนัน้
วา่การแปลง DFTDFT เป็นการแปลงท่ี ใชก้ารหา DFS ของสญัญาณเพยีงหนึ่งคาบ
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP5-17
CTFT
( )x n
( )jX e t
( )X j
2 2n
( )X k
DTFT
0 N-10 N-1
DFS
DFT0 N-10 N-1
( )X k
k
k
1 คาบ
( )x t
( )x n
( )x n
DSP5-18
การเพิม่จำานวนศูนย ์(zero padding)
1, 0 3( )
0,n
x notherwise
ตัวอยา่ง เป็นสญัญาณท่ีมค่ีาเป็นหนึ่งเฉพาะยา่น
( ) [1,1,1,1]x n
4
'( ) [1,1,1,1,0,0,0,0]zeros
x n
นัน่คือตัวอยา่งเมื่อเพิม่ศูนย ์ 4 ตัว
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-19
ผลการแปลง DTFT ของ x(n)
dsp_5_6.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-20
หา DFT ของ x(n)2 2
4j jN
NW e e j
3
40
( ) ( ) , 0, 1,...nk
nX k x n W k
3 30
40 0
(0) ( ) ( ) (0) (1) (2) (3) 4n
n nX x n W x n x x x x
k=0
k=13 3
14
0 0
3 32 2
40 0
3 33 3
40 0
(1) ( ) ( )( ) 0
(2) ( ) ( )( ) 0
(3) ( ) ( )( ) 0
n n
n n
n n
n n
n n
n n
X x n W x n j
X x n W x n j
X x n W x n j
k=2k=3CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-21
N=4
dsp_5_7.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-22
N=8
dsp_5_8.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-23dsp_5_9.eps
N=16
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-24dsp_5_10.eps
N=32
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-25
ความละเอียด (Resolution) ของการคำานวณสเปคตรมั
• การเพิม่ศูนย ์Zero padding เป็นการเติมจุดคำานวณใหม้ากขึ้น เพื่อชว่ยในการเพิม่ ความหนาแน่น (density) ของการแสดงสเปคตรมั
• แต่ไมไ่ด้เป็นการเพิม่ความละเอียด (resolution) ในการวเิคราะหส์เปคตรมั ต้องเพิม่จำานวนจุด (point) ในการคำานวณ DFT
( ) cos(0.48 ) sin(0.52 )x n n n
ตัวอยา่ง ลำาดับ x(n) มอีงค์ประกอบความถี่ อยูส่องความถ่ี
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-26
สำาหรบัสญัญาณ x(n) n=0 ถึง 9
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-27
เพิม่ศูนยอี์ก 40 ตัว
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-28
แมเ้พิม่ศูนยอี์ก 90 ตัว ก็ไมเ่พิม่ความละเอียด
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-29
ใชส้ญัญาณ x(n) จำานวน 100 ลำาดับ จะเห็นรายละเอียดของสองความถ่ี
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-30
ขนาด และ เฟสของ x(n)=[ … 0 1 0 … ]
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-31
สรุป
• DFT ใชใ้นการคำานวณการแปลงฟูรเิยร ์ด้วยตัวประมวลผล (คอมพวิเตอร ์หรอื โปรเซสเซอร์ )
• DFT ก็คือ DFS สำาหรบัสญัญาณเพยีงหน่ึงคาบ• DFT (DFS) มคีวามเชื่อมโยงกับการแปลงแซด และ
DTFT• การเพิม่ศูนย ์Zero padding เป็นการเติมจุด
คำานวณใหห้นาแน่นมากขึ้นแต่ไมช่ว่ยเรื่องความละเอียดของสเปคตรมั
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
Recommended