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Vorläufige Version des Skriptes
Wintersemester 2010/2011
Vorlesungsunterlagen
Einführung in dieFinite Elemente Methode
– Flächentragwerke –
Franz-Joseph Barthold
unter Mitarbeit von
Daniel Materna und Nikolai Gerzen
13. November 2011
Numerische Methoden und InformationsverarbeitungFakultät Architektur und Bauingenieurwesen
Technische Universität DortmundAugust-Schmidt-Strasse 8, D-44221 Dortmund
http://www.bauwesen.tu-dortmund.de/nmi
iii
Numerische Methoden und InformationsverarbeitungFakultät Architektur und BauingenieurwesenTechnische Universität DortmundAugust-Schmidt-Straße 8D-44221 DortmundInternet: www.bauwesen.tu-dortmund.de/nmi
Professor Dr.-Ing. habil. Franz-Joseph BartholdE-Mail: franz-joseph.barthold@tu-dortmund.de
Dr.-Ing. Daniel MaternaE-Mail: daniel.materna@tu-dortmund.de
Dipl.-Ing. Nikolai GerzenE-Mail: nikolai.gerzen@tu-dortmund.de
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.Ohne Genehmigung des Autoren ist es nicht gestattet, diesesManuskript ganz oderteilweise auf fotomechanischen Wegen (Fotokopie, Mikrokopie, Digitalisierung) zuvervielfältigen.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
Vorwort
Das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerkedient zurErgänzung der Vorlesungen der GrundlagenfächerTechnische Mechanik, Statik undDynamiksowie Numerische Methoden und Informationsverarbeitungder FakultätArchitektur und Bauingenieurwesen der Technischen Universität Dortmund.
Die vorliegende Version umfasst eine Darstellung, die sichan die Vorlesungen zurThematik anlehnt. Trotzdem sind die Unterlagen kein vollständiger Ersatz für denBesuch der Veranstaltungen und sollen auch nicht vom begleitenden Studium derangegebenen Literatur abhalten.
Den wissenschaftlichen Mitarbeitern Daniel Materna und Nikolai Gerzen danke ichfür die zahlreichen und umfangreichen Beiträge, ohne die eine ausführliche Zusam-menstellung nicht möglich ist. Den studentischen Hilfskräften Wojciech Kijanskiund Dustin Kumor danke ich für die Unterstützung bei der Erstellung der Bilder, derBeispielaufgaben sowie der begleitenden Übungsunterlagen.
Es wird weiterhin ausdrücklich um Kritik und Verbesserungsvorschläge gebeten. FürHinweise auf Fehler sind wir dankbar. Diese können beispielsweise per E-Mail oderauf persönlichem Wege übermittelt werden.
Dortmund, im November 2010 Franz-Joseph Barthold
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
I Die Scheibe 3
2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie 52.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Vektoren und ihre Matrizendarstellung. . . . . . . . . . . . 52.1.1.1 Vektordarstellung in krummlinigen Basissystemen52.1.1.2 Matrizen der krummlinigen Vektorkoeffizienten. 62.1.1.3 Vektordarstellung für kartesische Basissysteme. . 72.1.1.4 Matrizen der kartesischen Vektorkoeffizienten. . 72.1.1.5 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Tensoren und ihre Matrizendarstellung. . . . . . . . . . . 82.1.2.1 Tensordarstellung in krummlinigen Basissystemen82.1.2.2 Tensordarstellung für kartesische Basissysteme. . 82.1.2.3 Matrizen der kartesischen Tensorkoeffizienten. . 9
2.1.3 Hinweise zur Struktur und Notation der Darstellung. . . . 92.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Gebiet und Rand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Deformation und Verschiebung. . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Lagrangesche vs. Eulersche Betrachtungsweise. . . . . . . 122.2.4 Deformationsgradient und Verschiebungsgradient. . . . . . 132.2.5 Verzerrungsmaß und Verzerrungstensor. . . . . . . . . . . 142.2.6 Multiplikative Zerlegungen bei großen Deformationen . . . 17
2.2.6.1 Polare Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.6.2 Volumetrische und isochore Anteile. . . . . . . . 172.2.6.3 Elastische und plastische Anteile. . . . . . . . . 19
2.2.7 Kleine Deformationen und linearer Verzerrungstensor . . . 192.2.8 Veranschaulichung des linearen Verzerrungstensors. . . . . 21
2.2.8.1 Normalverzerrungen vs. Ingenieurdehnungen. . 212.2.8.2 Schubverzerrungen vs. Ingenieurgleitungen. . . 212.2.8.3 Der ebene Verzerrungszustand. . . . . . . . . . 22
2.2.9 Verträglichkeitsbedingungen für die linearen Verzerrungen . 222.2.10 Invarianten und Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.10.1 Eigenwerte des linearen Verzerrungstensors. . . 252.2.10.2 Hauptachsenproblem. . . . . . . . . . . . . . . 25
viii Inhaltsverzeichnis
2.2.11 Additive Zerlegungen bei kleinen Deformationen. . . . . . 262.2.11.1 Zerlegung in Verzerrungen und Drehungen. . . . 262.2.11.2 Zerlegung in Kugeltensor und Deviator. . . . . . 272.2.11.3 Zerlegung in elastische und plastische Anteile. . 29
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen. . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Kraft- und Spannungsvektoren. . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Spannungstensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2.1 Das Cauchy Fundamentallemma. . . . . . . . . 302.3.2.2 Das Cauchy Spannungstheorem. . . . . . . . . . 302.3.2.3 Klassische Ingenieurnotation für die Spannungen332.3.2.4 Vergleich der Notationen und Vereinbarungen. . 33
2.3.3 Das lokale Kräfte- und Momentengleichgewicht. . . . . . 352.3.3.1 Das Momentengleichgewicht. . . . . . . . . . . 352.3.3.2 Das Kräftegleichgewicht. . . . . . . . . . . . . 352.3.3.3 Tensorielle Notation versus klassische Notation. 37
2.3.4 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement. . . . . 372.3.4.1 Momentengleichgewicht. . . . . . . . . . . . . 382.3.4.2 Kräftegleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Konstitutive Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1 Grundlagen der Materialtheorie. . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1.1 Bedingungen aus Mathematik und Physik. . . . 402.4.1.2 Bedingungen aus der Wahl der Materialklasse. . 41
2.4.2 Die Eigenschaften der linearen Elastizität. . . . . . . . . . 412.4.2.1 Grundlagen der Hyperelastizität. . . . . . . . . . 41
2.4.3 Die lineare Elastizität in Matrizenschreibweise. . . . . . . 432.4.3.1 Eigenschaften der allgemeinen linearen Elastizität 432.4.3.2 Das allgemeine Elastizität in Matrizenschreibweise 44
2.4.4 Das isotrope, linear-elastische Materialverhalten. . . . . . 452.4.4.1 Die Struktur isotroper, elastischer Materialgesetze 45
2.4.5 Das Hookesche Werkstoffgesetz. . . . . . . . . . . . . . . 462.4.5.1 Absolute Tensorschreibweise.. . . . . . . . . . . 462.4.5.2 Indexschreibweise für kartesische Koordinaten.. 462.4.5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . 472.4.5.4 Der ebene Spannungszustand (ESZ). . . . . . . 472.4.5.5 Der ebene Verzerrungszustand (EVZ). . . . . . . 48
2.4.6 Bestimmung der Lamé-Parameter� und� . . . . . . . . . 482.4.6.1 Experimente zur Bestimmung der Parameter. . . 492.4.6.2 Interpretation der Ergebnisse. . . . . . . . . . . 522.4.6.3 Zusammenstellung der Materialparameter. . . . 54
3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie 573.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen. . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1 Navier-Lamésche Verschiebungsdifferentialgleichungen . . 583.1.1.1 Herleitung der Verschiebungsdifferentialgleichung 583.1.1.2 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . 59
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
Inhaltsverzeichnis ix
3.1.1.3 Eigenschaften der Verschiebungs-DGL. . . . . . 593.1.2 Biharmonische DGLen für die Verschiebungen. . . . . . . 60
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . 613.2.1 Biharmonische Differentialgleichungen für die Spannungen 613.2.2 Die DGL für die Maxwellschen Spannungsfunktionen. . . 63
3.2.2.1 Einführung der Spannungsfunktionen. . . . . . . 643.2.2.2 Herleitung der DGLen für die Spannungsfunktion653.2.2.3 Die Maxwellsche Spannungsfunktion der Scheibe66
3.2.3 Die direkte Herleitung der Scheibentheorie. . . . . . . . . 68
4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie 714.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen. . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinaten. . . . . . . 724.1.2 Ebener Spannungszustand in Polarkoordinaten. . . . . . . 734.1.3 Ebener Spannungszustand in kartesischen Koordinaten . . . 744.1.4 Analytische Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Scheibe mit Loch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie 935.1 Formulierung der schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Mathematisch orientierte Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie 976.1 Das Dirichletsche Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie. . . . . . . . . . . 98
6.2.1 Äquivalenz zur schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . 986.3 Das Hu-Washizu Funktional der linearen Elastizität. . . . . . . . . 1006.4 Das Hellinger-Reissner Funktional der linearen Elastizität . . . . . . 100
7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen 1017.1 Vorbemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Das isoparametrische Konzept. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.1.1 Konstruktion der Ansatzfunktionen. . . . . . . . 1057.2.1.2 Bilineare Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . 106
7.2.2 Approximation der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.3 Approximation der Verschiebung. . . . . . . . . . . . . . 1127.2.4 Approximation der Verzerrungen. . . . . . . . . . . . . . 1137.2.5 Jacobi Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3 Diskretisierung der schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3.1 Zerlegung der schwachen Form in Elementanteile. . . . . . 1157.3.2 Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastvektor. . . . . . 116
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
x Inhaltsverzeichnis
8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement 1178.1 System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 FE-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.4 Bestimmung des Lastvektors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.5 Lösung des linearen Gleichungssystems. . . . . . . . . . . . . . . 1258.6 Vergleich Stablösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9 FEMSOLID - Ein Beispiel für ein FEM-Programm 127
10 Erweiterte Elementformen für die Scheibe 129
11 Die gemischte Methode für die Scheibe 13111.1 Grundgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.1.1 Kugeltensor und Deviator. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.1.2 Schwache Form der Gleichgewichtsbedingung. . . . . . . 13211.1.3 Beschreibung der Volumendilatation. . . . . . . . . . . . . 13211.1.4 Beschreibung der Druckspannungen. . . . . . . . . . . . . 13311.1.5 Beschreibung der Deviatorspannungen. . . . . . . . . . . 13311.1.6 Zusammenstellung der schwachen Formulierungen. . . . . 13411.1.7 Energiepotential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.2 Diskretisierung der schwachen Formen. . . . . . . . . . . . . . . . 13411.2.1 Unabhängige Ansätze für die drei Feldgrößen. . . . . . . . 13411.2.2 Statische Kondensation auf Systemebene. . . . . . . . . . 13611.2.3 Statische Kondensation auf Elementebene. . . . . . . . . . 13611.2.4 Die B-bar Formulierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.3 Implementierung der B-bar Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.3.1 Berechnungsschema der modifizierten Steifigkeitsmatrix . . 13811.3.2 Hinweise zur Implementierung. . . . . . . . . . . . . . . . 13811.3.3 Überprüfung der Dimensionen einzelner Größen. . . . . . 141
11.4 Übung zum Thema: B-bar Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.5 Vergleichslösung mit Ansys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Notation und Literatur 145
Literaturverzeichnis 153
Index 153
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
Abbildungsverzeichnis
2.1 Deformation eines Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Polare Zerlegung des materiellen DeformationsgradientenF . . . . 182.3 Beispiel für eine lineare Drehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Volumen- und Flächenkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Tensorielle Spannungskoeffizienten am Volumenelement. . . . . . 312.6 Gleichgewicht am Schnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Normal- und Schubspannungen am Volumenelement. . . . . . . . 342.8 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement. . . . . . . . . 382.9 Versuch 1: Einfache Scherung eines rechteckigen Blockes . . . . . . 492.10 Versuch 2: Konstanter Druck auf eine Kugel. . . . . . . . . . . . . 502.11 Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes. . . . . . . . 51
4.1 Rand einer Scheibe mit Belastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Verlauf der Spannungskomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Einführung von Polarkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Linien der Hauptnormalspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5 Verteilung der Radialspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Der elastische Halbraum mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 814.7 Verteilung der Spannungskomponente�z . . . . . . . . . . . . . . 854.8 Spannungsverteilung im elastischen Halbraum. . . . . . . . . . . . 874.9 Gelochte Scheibe unter einachsigem Zug. . . . . . . . . . . . . . . 884.10 Spannungsverläufe in der gelochten Scheibe. . . . . . . . . . . . . 92
7.1 Zerlegung des Gebietes� in finite Elemente�e . . . . . . . . . . . 1027.2 Isoparametrische Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Pascalsches Dreieck für zweidimensionale Ansatzfunktionen . . . . 1057.4 Referenzelement oder Parameterraum�p . . . . . . . . . . . . . . 1077.5 Bilineare Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.6 Beispiel zur Koordinatentransformation. . . . . . . . . . . . . . . 110
8.1 System und Abmessungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Freiheitsgrade Scheibenelement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.4 Gausspunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.5 Eingespannter Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Tabellenverzeichnis
2.1 Beziehungen zwischen den Materialparametern. . . . . . . . . . . 55
8.1 Numerische Integration fürK11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1 Einleitung
Das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerkebeschäf-tigt sich mit den Grundlagen derFinite Elemente Methodein der Anwendung aufebene Flächentragwerke. Diese Tragstrukturen bilden einen besonderen Schwerpunktin der Ausbildung desKonstruktiven Bauingenieurssowohl für das Verständnis dermechanischen Grundlagen, für die Beurteilung des statischen Tragverhaltens als auchfür die fundierte Anwendung numerischer Methoden.
Im Studium werden zunächst Stabtragwerke behandelt. DieseZusammenstellungsetzt somit die Kenntnis des SkriptesEinführung in die Finite Elemente Methode– Stabtragwerkevoraus.
Die mathematisch-mechanische Modellbildung ebener Flächentragwerke führt zupartiellen Differentialgleichungen in den beiden Koordinaten der Flächenebene. Dermathematische Aufwand und die Ansprüche an die mathematischen Grundkenntnis-se sind daher deutlich höher als bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen derStabtragwerke.
Teil I
Die Scheibe
2 Die Grundgleichungen der linearenElastizitätstheorie
In diesem Kapitel werden die Grundgleichungen zur Kinematik, zum Gleichgewichtund zu den konstitutiven Beziehungen für die lineare Elastizitätstheorie hergeleitet.Eine ausführliche Darstellung der (linearen)Elastizitätstheorieist in vielen Lehrbü-chern [6,8] zu finden. Die vorliegende Zusammenstellung bezieht sich in Teilen aufden Beitrag [11], der auch als VorlesungsskriptElastizitätstheorie[12] verfügbar ist.
2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen
Die Kontinuumsmechanikbedient sich derTensordarstellungzur Beschreibung dermechanischen Zusammenhänge bei der Deformation von Festkörpern. Hieraus kanndie in weiten Teilen des Ingenieurwesens üblicheMatrizendarstellungder Elastizi-tätstheorie abgeleitet werden. An dieser Stelle sollen dieBeziehungen zwischen Vek-toren und Tensoren einerseits und den Matrizen andererseits dargestellt werden. Ei-ne detaillierte Darstellung der Zusammenhänge kann den Lehrbüchern Tensorrech-nung [3,9,10] entnommen werden. Das VorlesungsskriptEinführung in die Kontinu-umsmechanik – Vektor- und Tenssorrechnung[2] stellt die erforderlichen Grundlagenin der Notation dieses Skriptes zusammen.
2.1.1 Vektoren und ihre Matrizendarstellung
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie eine allgemeine Vektordarstellung bezüglichbeliebiger krummliniger Basissysteme für den Sonderfall kartesischer Basen durchdie Verwendung der Matrizendarstellung wesentlich vereinfacht werden kann.
2.1.1.1 Vektordarstellung in krummlinigen Basissystemen
Die Vektorenx 2 V des dreidimensionalenVektorraumsV (dimV D n D 3) besit-zen die Darstellung
x D3
X
iD1
xi gi D xi gi D x1 g1 C x2 g2 C x3 g3: (2.1)
Die Komponentendes Vektorsx sind selbst wieder Vektorenx1 g1; x2 g2; x
3 g3,die jeweils eine Teilinformation vonx beinhalten. Die Komponenten bestehen dabei
6 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
aus denkontravarianten1 Koeffizientenx1; x2; x3 und den zugehörigenkovarianten2
Basisvektoreng1;g2;g3. Mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention3 kann dieoben eingeführte Schreibweise ohne die Angabe des Summensymbols verwendetwerden. Eine analoge Darstellung mit denkovarianten Koeffizientenx1; x2; x3 undden zugehörigenkontravarianten Basisvektoreng1;g2;g3 liefert
x DnD3X
iD1
xi gi D xi gi D x1 g1 C x2 g2 C x3 g3: (2.2)
Die ko- und kontravarianten Koeffizienten und Basisvektoren sind für den allgemei-nen Fall krummliniger Koordinatensysteme mit schiefwinkligen Basisvektoren un-terschiedlich. Die angegebenen Darstellungen müssen daher sorgsam unterschiedenwerden, da die Position der Indizes (hoch- oder tiefgestellt) wichtig ist. Die Umrech-nung zwischen den beiden Darstellungen ist über diekovariantenundkontravarian-ten Metrikkoeffizienten
gi � gj D gij beziehungsweisegi � gj D gij (2.3)
und die Orthogonalität der beiden Basissysteme
gi � gj D ıji D
�
1 falls i D j
0 falls i ¤ j
möglich. Das Symbolıji stellt dabei dasKronecker-Symbol4 dar. Die Metrikkoeffi-
zienten bilden die Grundlage der Längenberechnung von Vektoren.
2.1.1.2 Matrizendarstellung der ko- und kontravarianten Vektorkoeffizienten
Jeder Vektorx ist nach der Festlegung einer Basisfg1;g2;g3g oder fg1;g2;g3geindeutig über die zugehörigen Koeffizientenx1; x2; x3 beziehungsweisex1; x2; x3
definiert. Die Koeffizienten können durch dieSpaltenmatrizen der Koeffizienten
xgiD
2
4
x1
x2
x3
3
5
gi
2 R3 bzw. xgi D
2
4
x1
x2
x3
3
5
gi
2 R3 (2.4)
dargestellt werden. Zur Verdeutlichung der Abhängigkeit der Koeffizienten von dergewählten Basis werden die Spaltenmatrizen der Koeffizienten mit einem Indexgi
bzw.gi zur Kennzeichnung der gewählten Basisfg1;g2;g3g bzw.fg1;g2;g3g ver-sehen. Im Allgemeinen giltxgi
¤ xgi , d.h. die Spaltenmatrizen der ko- und kontra-varianten Koeffizienten sind nicht gleich.
1Kontravariante Größen sind mit hochgestellten Indizes gekennzeichnet.2Kovariante Größen sind mit tiefgestellten Indizes gekennzeichnet.3Albert Einstein (1879-1955), deutscher Physiker.
Mit der Einsteinschen Summenkonvention wird vereinbart, dass gegenständig gleiche Indizes, eineSummation von1 bis zur Dimensionn des betrachteten Raumes (hiern D 3) meinen. Treten zweigleiche Indizes (zum Beispieli) einmal kovariant und einmal kontravariant auf, so soll summiert
werden, ohne dass das SummensymbolPnD3
iD1 erneut geschrieben wird.4Leopold Kronecker (1821-1891), deutscher Mathematiker.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen 7
2.1.1.3 Vektordarstellung für kartesische Basissysteme
Die Wahl der Basis ist grundsätzlich beliebig und hat keinenEinfluß auf die Eigen-schaften des Vektorsx. In vielen Fällen ist die Verwendung einerkartesischen Basisvon Vorteil. In diesem Fall werden die ko- bzw. kontravarianten Basisvektoren mitei
beziehungsweise mitei bezeichnet. In derorthonormierten Basisdes kartesischenKoordinatensystems stehen die Basisvektoren paarweise senkrecht aufeinander undjeder Basisvektor ist auf die Einheitslänge normiert. Beide Eigenschaften könnendurch die Auswertung des Skalarproduktes zwischen jeweilszwei Vektoren unterVerwendung desKronecker-Symbolsin der Form
ei � ej D ıij D�
1 falls i D j
0 falls i ¤ j
dargestellt werden. Diese Eigenschaft führt dazu, dass beikartesischen Basen die ko-und kontravarianten Koeffizienten und Basisvektoren zusammenfallen. Es gilt somitxi D xi und ei D ei und damit ist nur eine Basis mit eindeutigen Koeffizientenvorhanden.
2.1.1.4 Matrizendarstellung der kartesischen Vektorkoeffizienten
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird bei der Verwendungkartesischer Basis-vektoren auf die Angabe der Basisei als Index zur Spaltenmatrix verzichtet. Eben-falls bezeichnet manx 2 R
3 wieder alsVektor im dreidimensionalen VektorraumR
3. Für kartesische Basen verwischen sich somit die Unterschiede zwischen einemVektorx 2 V und der zugehörigen Spaltenmatrixx 2 R
3 der Koeffizienten und manschreibt
x D x1
2
4
1
0
0
3
5 C x2
2
4
0
1
0
3
5 C x3
2
4
0
0
1
3
5 D
2
4
x1
x2
x3
3
5 : (2.5)
Hierbei sind die Spaltenvektoren
e1 D
2
4
1
0
0
3
5 ; e2 D
2
4
0
1
0
3
5 und e3 D
2
4
0
0
1
3
5 (2.6)
die Darstellungen der Basisvektorene1; e2; e3 2 V im R3. Man beachte den Unter-
schied in der Notation zwischenei 2 V (aufrechte Buchstaben) undei 2 R3 (ge-
neigte Buchstaben). Die Matrixdarstellung ist in vielen Fällen der Ausgangspunktder Betrachtung.
2.1.1.5 Zusammenfassung
Die Verwendung der Matrizendarstellung basiert üblicherweise auf der vorhergehen-den Wahl einer kartesischen Basis. Dieses ist ein wichtigerSonderfall, der zu einerstarken Vereinfachung der Berechnung führt. Man kann sich in diesem Fall auf dieBetrachtung einer einzigen Koeffizientenmatrix beschränken.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
8 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
2.1.2 Tensoren und ihre Matrizendarstellung
Zwei Vektorenx 2 V und y 2 W können aufeinander abgebildet werden. OhneBeschränkung der Allgemeinheit seien beide Vektorräume identisch, d.h.V D W
und somit dimW D m D dimV D n D 3. Wir schreiben für die AbbildungT W V ! W mit y D T x und bezeichnenT als einen zweistufigenTensor. DieseAbbildungT sei weiterhin linear, d.h. es gelte mitx D ˛1x1 C ˛2x2 für ˛1; ˛2 2 R
undx1;x2 2 V sowiey1; y2 2 W mit yi D T xi für i D 1; 2
y D Tx D T.˛1x1 C ˛2x2/ D ˛1Tx1 C ˛2Tx2 D ˛1y1 C ˛2y2: (2.7)
2.1.2.1 Tensordarstellung in krummlinigen Basissystemen
Die Tensoren können analog der obigen Bemerkungen für die Vektoren wieder inKoeffizienten und Basen dargestellt werden. Die Details desmathematischen Hinter-grunds sowie der Herleitung müssen an dieser Stelle verborgen bleiben. Als Ergebniserhalten wir für die SituationV D W undm D n D 3 die Darstellungen
T D Tij gi ˝ gj D T:ji gi ˝ gj D T i
:j gi ˝ gj D T ij gi ˝ gj : (2.8)
Hierbei werden die kovarianten (Tij ), gemischtvarianten (T :ji undT i
:j ) sowie kontra-
varianten (T ij ) Koeffizienten bezüglich der kontravarianten (gi ˝ gj ), gemischtva-rienten (gi ˝ gj undgi ˝ gj ) sowie kovarianten (gi ˝ gj ) Tensorbasen verwendet.Die obige Darstellung basiert wieder auf der EinsteinschenSummenkonvention, beider die explizite Angabe des Summationssymbols entfällt.Die unterschiedlichen Tensorbasengi ˝ gj ;gi ˝ gj ;gi ˝ gj undgi ˝ gj werdenmittels desdyadischen Produkts aus den eingeführten Vektorbasengi undgi ge-bildet und können wieder mit Hilfe der ko- und kontravarianten Metrikkoeffizientenineinander umgerechnet werden. Die Details werden hier nicht angegeben.
2.1.2.2 Tensordarstellung für kartesische Basissysteme
Die oben gezeigte Vielfalt reduziert sich bei der Verwendung einer kartesischen Ba-sisei D ei auf die Darstellung
T D T ij ei ˝ ej : (2.9)
Die ko-, kontra- und gemischtvarianten Tensorkoeffizienten sowie die ko-, kontra-und gemischtvarianten Tensorbasen sind somit identisch. Es gilt also
Tij D T:ji D T i
:j D T ij und ei ˝ ej D ei ˝ ej D ei ˝ ej D ei ˝ ej :
Die Einsteinsche Summenkonvention wird für den vorliegenden Fall in der Formmodifiziert, dass die Forderung gegenständiger Indizes fallengelassen wird. Somitsoll ebenfalls von1 bis n summiert werden, falls zwei gleiche Indizes in beliebi-ger Stellung auftreten. Oftmals werden dann alle Indizes tiefgestellt. Erneut zeigt
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen 9
sich, dass die Verwendung einer kartesischen Basis zu einerübersichtlicheren Dar-stellung führt, die allerdings mit dem Verlust der Allgemeingültigkeit bezahlt wird.Es ist nach Verwendung der genannten Vereinfachungen nichtmehr möglich, aus ei-ner Indexnotation in kartesischen Koordinaten auf die allgemeingültige Darstellungbezüglich einer beliebigen krummlinigen Basis zu schließen.
2.1.2.3 Matrizendarstellung der kartesischen Tensorkoeffizienten
Der TensorT kann für die gewählte kartesische Basis analog der obigen Vorgehens-weise bei den Vektoren in eine äquivalenten Darstellung mittels einer Koeffizienten-matrix überführt werden. Hierzu bemerken wir, dass die dyadischen Prokukteei ˝ej
die Äquivalente
e1 eT1 D
2
4
1 0 0
0 0 0
0 0 0
3
5 ; e1 eT2 D
2
4
0 1 0
0 0 0
0 0 0
3
5 ; e1 eT3 D
2
4
0 0 1
0 0 0
0 0 0
3
5 ;
e2 eT1 D
2
4
0 0 0
1 0 0
0 0 0
3
5 ; e2 eT2 D
2
4
0 0 0
0 1 0
0 0 0
3
5 ; e2 eT3 D
2
4
0 0 0
0 0 1
0 0 0
3
5 ;
e3 eT1 D
2
4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
3
5 ; e3 eT2 D
2
4
0 0 0
0 0 0
0 1 0
3
5 ; e3 eT3 D
2
4
0 0 0
0 0 0
0 0 1
3
5
im R3�3 besitzen. Aus der TensordarstellungT D T ij ei ˝ ej ergibt sich die zuge-
hörige Matrizendarstellung
T D T ij ei eTj D
2
4
T 11 T 12 T 13
T 21 T 22 T 23
T 31 T 32 T 33
3
5 : (2.10)
Beide Darstellungen verwenden in dieser Form die Einsteinsche Summenkonventionfür beide Indizesi und j , d.h. es wird eine Doppelsumme überi D 1; 2; 3 undj D 1; 2; 3 beschrieben. Eine ausführliche Darstellung lautet
T D T ij ei eTj D
3X
iD1
3X
j D1
T ij ei eTj : (2.11)
2.1.3 Hinweise zur Struktur und Notation der Darstellung
Die kontinuumsmechanischen Grundlagen werden zunächst inder absoluten Tensor-notation angegeben. Diese Darstellung abstrahiert von derWahl eines bestimmtenKoordinatensystems und ist somit allgemeingültig. Für dieweiteren Berechnungenwird daraus die Matrizendarstellung abgeleitet. Die Herleitung dieser Darstellungkann an dieser Stelle nicht erfolgen. Es werden aber die resultierenden Matrizen be-züglich des kartesischen Koordinatensytems angegeben.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
10 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Die Angaben in kartesischen Koordinaten erlauben auch einealternative Herleitungder Beziehungen zur Verifikation und Veranschaulichung derGrundlagen.Die Unterscheidung der Darstellungen ist anhand der verwendeten Schriftarten pro-blemlos möglich. VektorenX;x;u werden durch aufrecht stehende fette Buchsta-ben symbolisiert. Für die (zweistufigen) Tensoren werden serifenlose ZeichenT; ©;¢verwendet. Die zugehörigen Matrizen werden über schrägstehende fette BuchstabenX ;x;u sowieT ; "; � repräsentiert.
2.2 Kinematik
Die Darstellung der Bewegung deformierbarer Körper stelltein wesentliches Ele-ment der Kontinuumsmechanik dar. Die Einführung derVerzerrungdes Körpers unddie Diskussion der wesentlichen Eigenschaften sind die zentralen Ergebnisse.
2.2.1 Gebiet und Rand
Wir beobachten die Bewegung und Deformation eines elastischen Körpers im drei-dimensionalenAnschauungsraum. Der Anschauungsraum kann durch Einführungeines Beobachters (Ursprung) in einen dreidimensionalenEuklidischen VektorraumE
3 überführt werden. Durch die Verwendung kartesischer Koordinaten kann man dieBetrachtungen auch imR3 durchführen.
Allgemeingültige Darstellung. Ein Gebiet� bezeichnet im Folgenden eine offe-ne, beschränkte und zusammenhängende Teilmenge des Euklidischen Vektorraumsmit dem Rand�. Die Vereinigung von Gebiet und Rand ist mit
N� D � [ � (2.12)
definiert. Der Rand� soll die Lipschitz-Stetigkeit erfüllen, da dann entlang desRandes ein eindeutiger äußerer Normaleneinheitsvektor existiert, d.h. ein Vektorn D ni ei mit jnj D 1, welcher aus dem Inneren vonN� in die Umgebung zeigt.Ferner kann der Rand� in einen Dirichlet-Anteil�D und einen Neumann-Anteil�N
zerlegt werden.� D �D [ �N (2.13)
Auf �N sind Spannungsrandbedingungen in Form von BelastungenNt und auf�D
VerschiebungsrandbedingungenNu vorgeschrieben.
Matrizendarstellung. Vereinfachend werden Gebiet und Rand wieder mit den obeneingeführten Symbolen�;� D �D[�N; N� D �[� � R
3 bezeichnet. Die Normalezum Randn und die RandwerteNu und Nt sind Spaltenmatrizen imR3.
2.2.2 Deformation und Verschiebung
Ein Körper ändert bei einer Deformation seine Form und seineLage im Raum.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 11
Allgemeingültige Darstellung. Die Deformation ist eine Abbildung® der vomKörper eingenommenen Teilmenge� auf die Bildmenge®.�/.
® W � ! E3 (2.14)
Dabei bezeichnet man die Urbildmenge� als Referenzkonfigurationoderundefor-mierte Konfiguration. Die Bildmenge®.�/ ist diedeformierte Konfiguration, sieheAbb. 2.1.
x
®
®.�/�
uX
Abbildung 2.1: Deformation eines Körpers
Die Abbildung® muss so beschaffen sein, dass sie eine physikalisch sinnvolle Ver-änderung der Ruhelage beschreibt. Vor und nach der Deformation müssen die ein-zelnen Punkte des Körpers unterscheidbar sein. Dies schließt ein Zusammendrückendes Körpers oder des Teilkörpers auf einen Punkt aus. Darausresultiert die Forde-rung der Injektivität5 an die Abbildung.Für den Fall, dass man die Injektivität der Deformation auchauf dem Rand� for-dert, würde man Verformungen ausschließen, welche zu einerSelbstberührung desKörpers führten. Dies wäre beispielsweise beim Zusammendrücken eines Kreisringsmöglich.Für einen PunktX 2 � bezeichnetx WD ®.X/ 2 ®.�/ den entsprechenden Punktin der deformierten Konfiguration. Die Bewegung des Körpersist eine Folge vonKonfigurationen®t W � ! R
3. Für den Ort des PunktesX zur Zeitt gilt
x D ®t .X/ D ®.X; t/ : (2.15)
Führt man nun den Verschiebungsvektoru.X; t/ als Differenz der Ortsvektoren derMomentan- und Ausgangskonfiguration
u.X; t/ D ®.X; t/ � X (2.16)
5Eine Abbildungf W A ! B heißt injektiv, wenn zu jedem Elementy der ZielmengeB höchstens einElementx der UrbildmengeA gehört.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
12 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
ein, so lässt sich Gl.2.15folgendermaßen umschreiben:
x.t/ D X C u.X; t/: (2.17)
Matrizendarstellung. Die OrtsvektorenX undx sowie der Verschiebungsvektoru lassen sich ausdrücken durch eine Linearkombination der KoeffizientenXi , xi
bzw.ui und der zugehörigen Basisvektorenei in der Form
u D3
X
iD1
ui ei D u1e1 C u2e2 C u3e3 : (2.18)
Im Fall kartesischer Basisvektoren kann der Verschiebungsvektor als Spaltenmatrixdargestellt werden, welche nur die Koeffizientenui enthält, d.h.
u D
2
4
u1
u2
u3
3
5 : (2.19)
Die Darstellungen verwenden ein kartesisches Koordinatensystem und man erhältdie SpaltenmatrizenX ;x undu D x � X für die Koeffizienten der Vektoren.Man bezeichnet die Koeffizientenxi des Ortsvektorsx eines Punktes des defor-mierten Körpers alsEulersche Koordinaten. Die KoeffizientenXi des OrtsvektorsX beschreiben die Lage des materiellen Punktes in der Referenzkonfiguration. Diesewerden alsmaterielle KoordinatenoderLagrangesche Koordinatenbezeichnet.
2.2.3 Lagrangesche vs. Eulersche Betrachtungsweise
Entsprechend den Lagrangeschen KoordinatenXi und den Eulerschen Koordinatenxi kann zur eindeutigen Beschreibung der Bewegung der Punkte des Körpers dieLagrangesche6 oder dieEulersche7 Betrachtungsweise benutzt werden.In der Lagrangeschen Beschreibung wird jede Zustandsgrößedes materiellen Punk-tes, wie z.B. die TemperaturT oder der Verschiebungsvektoru, als Funktion dermateriellen KoordinatenXi und der Zeit aufgefasst und es gilt
T D T .X1; X2; X3; t/
u D u.X1; X2; X3; t/ :
Ein Beobachter ist gewissermaßen mit dem Teilchen verbunden und misst die Ver-änderungen der jeweiligen Zustandsgröße.Bei der Eulerschen Betrachtungsweise wird demgegenüber jede Zustandsgröße alsFunktion der Ortskoordinatenxi und der Zeit gegeben und es gilt
T D T .x1; x2; x3; t/
u D u.x1; x2; x3; t/ :
6JosephLouis de Lagrange (1736-1813), italienischer Mathematiker.7Leonhard Euler (1707-1783), schweizer Mathematiker.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 13
Ein Beobachter sitzt sozusagen an einem festen Ortx und kann zum Zeitpunkttdas Passieren eines TeilchensX sehen. Man misst Veränderungen, die sich für denOrt dadurch ergeben, dass zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche materiellePunkte mit unterschiedlichen Eigenschaften am Ortx sind.Die Eulersche Beschreibungsweise findet insbesondere in der Fluidmechanik Ver-wendung. In der Festkörpermechanik wird meistens die Lagrangesche Beschrei-bung verwendet. Dementsprechend wird im Folgenden nur auf die LagrangescheBeschreibung zurückgegriffen. Der aktuelle Ortx und der Verschiebungsvektoru
wird also als Funktion der materiellen KoordinatenXj aufgefasst und es gilt
x D x.X1; X2; X3; t/ (2.20)
u D u.X1; X2; X3; t/ : (2.21)
2.2.4 Deformationsgradient und Verschiebungsgradient
Zur Vorbereitung der Definition einer Verzerrung müssen zunächst die FeldgrößenDeformationsgradientundVerschiebungsgradienteingeführt werden.
Allgemeingültige Darstellung. Zur lokalen Beschreibung des Deformationspro-zesses führt man denDeformationsgradientF ein. Dieser bildet die Tangentenvekto-ren der Referenz- auf die der Momentankonfiguration ab. Das materielle Linienele-ment dX in � wird mit dem Linienelement dx in ®.�/ verbunden, d.h.
dx D F dX : (2.22)
Die Deformation eines Körpers muss eine eineindeutige (umkehrbar eindeutige) Ab-bildung von� auf ®.�/ sein. Hieraus folgt, dassF nicht singulär sein darf. Diesbedeutet, dass die zugehörigeJacobi8-DeterminateJ der Bedingung
J D detF ¤ 0 (2.23)
genügen muss. Ferner ist zu fordern, dassJ > 0 ist, um Selbstdurchdringungeneines Körpers auszuschließen. WennF nichtsingulär ist, dann existiert die InverseF�1 und man erhält die Umkehrung der Beziehung (2.22)
dX D F�1 dx : (2.24)
Mit Hilfe des DeformationsgradientenF können weitere differentielle Größen trans-formiert werden. Bezeichnet da ein differentielles Flächenelement in der Momen-tankonfiguration und dA das Flächenelement in der Referenzkonfiguration, so ist dieTransformation zwischen� und®.�/ durch dieNansonscheFormel,
da D n da D JF�T N dA D JF�T dA (2.25)
8Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), deutscher Mathematiker.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
14 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
gegeben. Hierbei bezeichnetn den Flächennormalenvektor in®.�/ undN den Flä-chennormalenvektor in�. Entsprechend gilt für die Transformation von Volumen-elementen
dv D J dV : (2.26)
Der DeformationsgradientF lässt sich auch mit®.X/ D x D X C u.X/ in der Form
F D r® D r .X C u.X// D I C ru D I C H (2.27)
darstellen, wobeiI den Einheitstensor undru DW H denVerschiebungsgradientendarstellen.
Bemerkung 2.1. In der Literatur werdenF undH auch alsmateriellerDeformations-bzw. Verschiebungsgradient bezeichnet. Das Adjektivmateriellbezieht sich dabei aufdie Lagrange Betrachtungsweise bzgl. diemateriellenKoordinatenXi . Man beachte,daß es auchräumlicheVerzerrungs- und Verschiebungsgradienten gibt, die sich ausder Ableitung nach den räumlichen Koordinatenxi ergeben. In diesem Skript wirdhierauf nicht eingegangen.
Matrizendarstellung. Die Koeffizienten des DeformationsgradientenF bezüglichder kartesischen Basis bilden die MatrixF und werden aus den partiellen Ableitun-genFij D @xi = @Xj berechnet. Mit Gl.2.15ergibt sich
F WD r' D @x
@XD
�@xi
@Xj
�
D
2
4
x1;1 x1;2 x1;3
x2;1 x2;2 x2;3
x3;1 x3;2 x3;3
3
5 : (2.28)
Die zugehörige Koeffizientenmatrix des Verschiebungsgradienten ist gegeben durch
H D ru D @u
@XD
�@ui
@Xj
�
D
2
4
u1;1 u1;2 u1;3
u2;1 u2;2 u2;3
u3;1 u3;2 u3;3
3
5 : (2.29)
Vollständig ausgeschrieben ergibt sich die Koeffizientenmatrix des Deformations-gradienten zu
F D I C ru D
2
4
1C u1;1 u1;2 u1;3
u2;1 1C u2;2 u2;3
u3;1 u3;2 1C u3;3
3
5 : (2.30)
2.2.5 Verzerrungsmaß und Verzerrungstensor
Als Ausgangspunkt für die Beschreibung der Verzerrungen eines Körpers betrachtenwir dasGreen9-Lagrangesche Verzerrungsmaß"GL. Es ist durch die Differenz derQuadrate der infinitesimal kleinen Linienelemente ds2 D dx � dx der verformten
9George Green (1793-1841), englischer Mathematiker und Physiker.
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2.2 Kinematik 15
Konfiguration®.�/ und dS2 D dX �dX der unverformten Konfiguration� bezogenauf2 dS2 in der Form
"GL WD 1
2
ds2 � dS2
dS2D 1
2
dx � dx � dX � dX
dX � dX(2.31)
definiert.
Beispiel 2.1(Green-Lagrange Verzerrungsmaß). Betrachtet wird eine Dehnung desKörpers mitdx D .1C "C/ dX sowiedx D ds n unddX D dS n. Damit gilt
ds D .1C "C/ dS sowie "C D ds � dS
dSD l � lı
lıD �l
lı: (2.32)
Mit demCauchy Verzerrungsmaß"C folgt
"GL D "C C 1
2"2
C D ds � dS
dSC 1
2
�ds � dS
dS
�2
: (2.33)
Man erkennt die Übereinstimmung des linearen Terms mit dem Cauchy Verzerrungs-maß, das auchlineares Verzerrungsmaßoder Ingenieurverzerrunggenannt wird.
Allgemeingültige Darstellung. Für eine allgemeine Deformation gilt zwischenden Linienelementen die Beziehung dx D F dX und es folgt mit dX D dS n
"GL D 1
2
F dX � F dX � dX � dX
dS2D n � 1
2.FT F � 1/n D n � E n: (2.34)
DerGreen-LagrangescheVerzerrungstensor ergibt sich zu
E D 1
2.FT F � I/ (2.35)
und bildet die zentrale Verzerrungsgröße der nichtlinearen Theorie. Mit dem Defor-mationsgradientenF D I C ru und dem VerschiebungsgradientenH WD ru D F � Ilässt sich der Green-Lagrangesche VerzerrungstensorE auch in der Form
E D 1
2.H C HT C HT H/ ; (2.36)
bzw.
E D 1
2.ru C ruT C ruT ru/ (2.37)
darstellen.
Matrizendarstellung. Die genannten Beziehungen können in eine Matrixnotationübertragen werden und für die kartesischen KoeffizientenEij folgt
Eij D 1
2.ui;j C uj;i C uk;i uk;j /: (2.38)
Die konkrete Auswertung wird an dieser Stelle an zwei Beispielen erläutert.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
16 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Beispiel 2.2(Ebene Deformation). Im Fall einer ebenen Deformation (Scheibenpro-blem) ergibt sich mitu3 D 0 sowieui D Qui .X1; X2/ für i D 1; 2 die Koeffizienten-matrix des Deformationsgradienten zu
F D @x
@XD I C ru D
2
4
1C u1;1 u1;2 0
u2;1 1C u2;2 0
0 0 1
3
5 : (2.39)
Hieraus folgt die Koeffizientenmatrix desGreen-LagrangeschenVerzerrungstensors
E D 1
2.F T F � I/ D
2
4
E11 E12 0
E21 E22 0
0 0 0
3
5 (2.40)
mit den Komponenten
E11 D u1;1 C 1
2.u2
1;1 C u22;1/
E22 D u2;2 C 1
2.u2
2;2 C u21;2/ (2.41)
E12 D E21 D 1
2.u1;2 C u2;1/C 1
2.u1;1 u1;2 C u2;2 u2;1/ :
Die KomponentenE33, E13 undE23 ergeben sich im zweidimensionalen Fall iden-tisch zu Null. Die letzten Terme der rechten Seite repräsentieren die nichtlinearenAnteile des Verzerrungstensors.
Eine weitere Dimensionsreduktion führt zu den Beziehungenfür den Dehnstab.
Beispiel 2.3(Eindimensionale Deformation). Für den Fall einer eindimensionalenDeformation folgt aus den Ergebnissen des Beispiels2.2mit der zusätzlichen Annah-meu2 D 0 undu1 D Qu1.X1/ die Koeffizientenmatrix des Deformationsgradienten
F D @x
@XD I C ru D
2
4
1C u1;1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5 (2.42)
sowie die Koeffizientenmatrix desGreen-LagrangeschenVerzerrungstensors
E D 1
2.F T F � I/ D
2
4
E11 0 0
0 0 0
0 0 0
3
5 (2.43)
mit
E11 D u1;1 C 1
2u2
1;1: (2.44)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 17
2.2.6 Multiplikative Zerlegungen bei großen Deformationen
Im Rahmen der allgemeinen nichtlinearen Theorie kann der Deformationsgradientmultiplikativ in physikalisch interpretierbare Faktorenzerlegt werden. Die aufge-führten multiplikativen Zerlegungen werden im Rahmen einer Theorie kleiner Ver-schiebungen und Verschiebungsgradienten durch eine entsprechende additive Auf-spaltung ersetzt, siehe Abschnitt2.2.11.
2.2.6.1 Polare Zerlegung des Deformationsgradienten
Jede Deformation lässt sich formal als eine Hintereinanderschaltung einer reinenStreckung und einer reinen Drehung darstellen. Nach dem Satz derpolaren Zerle-gungkann der DeformationsgradientF in der Form
F D R U D VR (2.45)
zerlegt werden. Dabei istR ein orthogonaler Drehtensor, d.h. für ihn gilt
RT R D R RT D I : (2.46)
Der TensorR beschreibt eine reine Drehung. Ferner bezeichnenU undV symmetri-sche Tensoren, durch welche die Streckung beschrieben wird.Die polare Zerlegung ist in Abbildung2.2veranschaulicht.Mit Hilfe des sogenanntenRechts-StrecktensorsU und desLinks-StrecktensorsVlassen sich eine Reihe verschiedener Verzerrungsmaße definieren. Aufgrund der Or-thogonalität vonR und der Symmetrie vonU, lässt sich mit Gl. (2.45) der rechteCauchy-Green-Tensor
C D FT F D UT RT R U D UT U D U2 (2.47)
definieren. Hiermit kann derGreen-LagrangescheVerzerrungstensor in der Form
E D 1
2.C � I/ D 1
2.U2 � I/ D 1
2.FT F � I/ (2.48)
angegeben werden. Für eine Starrkörperrotation mitF D R oder einer Starrkörper-translation mitF D 1 folgt immer E D 0. Ebenso werden diese Anteile in einerkomplexen Deformation durch die Konstruktion vonE eliminiert.
2.2.6.2 Volumetrische und isochore Anteile des Deformationsgradienten
Der materielle DeformationsgradientF kann multiplikativ in einen volumetrischenAnteil Fvol D J 1=31 mit J D detF und einen isochoren AnteilNF D J�1=3 F mitkonstanten Volumen detNF D 1 zerlegt werden. Die multiplikative Zerlegung
F D J 1=3 NF (2.49)
wird bei der Behandlung großer Deformationen für quasi-inkrompressible Materia-lien wie z.B. Gummi verwendet.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
18 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 2.2: Polare Zerlegung des materiellen DeformationsgradientenF
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 19
2.2.6.3 Elastische und plastische Anteile des Deformationsgradienten
Für die Behandlung großer elasto-plastischer Deformationen wird die multiplikati-ve Zerlegung des Deformationsgradienten in einen elastischen AnteilFe und einenplastischen AnteilFp in der Form
F D Fe Fp (2.50)
eingeführt.
2.2.7 Kleine Deformationen und linearer Verzerrungstensor
Bei vielen Bauwerken des konstruktiven Ingenieurbaus treten kleine und kaum sicht-bare Deformationen unter der Gebrauchslast auf. Die kontinuumsmechanische Be-schreibung führt in diesem Fall zu einfacheren Beziehungen.
Allgemeingültige Darstellung. Wir sprechen vonkleinen Deformationen, wenndie Verschiebungu in einem Punkt von� und der zugehörige VerschiebungsgradientH D F � I D ru sehr klein sind, d.h. wenn
jjujj � 1 und ı D jjF � Ijj D jjHjj � 1 : (2.51)
Hierbei bezeichnetjjHjj die Norm des Verschiebungsgradienten, d.h.
jjHjj Dp
H W H : (2.52)
Benutzen wirı als eine Art Skalierungsfaktor, so ist
H.ı/ D ı � H (2.53)
und der Green-Lagrangesche VerzerrungstensorE lässt sich ausdrücken durch
E.ı/ D 1
2
�
ı � H C ı � HT C ı2 � HT H�
D ı � 12
�
H C HT�
C ı2 � 12
HT H
D ı � 12
�
H C HT�
C O.ı2/
D ı � O© C O.ı2/ :
(2.54)
Für kleine Deformationen, d.h.ı � 1, können die quadratischen Anteile vernachläs-sigt werden (O.ı2/ � 0) und der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor geht damitüber in denlinearen Verzerrungstensor10 oder denTensor der Ingenieurverzerrungen
O© WD 1
2
�
H C HT�
D 1
2
�
ru C ruT�
: (2.55)
Der lineare Verzerrungstensor ist symmetrisch und es giltO©T D O©.10Im Sprachgebrauch wird auch der Begrifflinearisierter Verzerrungstensor verwendet. Dieser betont
dabei die Herleitung vonO" aus dem (nichtlinearen) Green-Langrangeschen VerzerrungstensorE durcheineLinearisierungbezüglich der Verschiebungenu an der unverformten Konfiguration�.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
20 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Matrizendarstellung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall ergeben sich die Ko-effizienten des linearen Verzerrungstensors zu
O" D�
"ij
�
D
2
4
"11 "12 "13
"21 "22 "23
"31 "32 "33
3
5 : (2.56)
Aufgrund der Symmetrie des VerzerrungstensorsO" D O"T , d.h."ij D "j i , lässt sichder Verzerrungszustand auch mit Hilfe derSpaltenmatrix der Ingenieurverzerrungen" darstellen. Diese auchVerzerrungsvektorgenannte Größe ist gegeben durch
" D�
"11 "22 "33 2"12 2"23 2"13
�T: (2.57)
Der Verzerrungsvektor" enthält die partiellen Ableitungen
ui;j D @ui
@Xj
D @
@Xj
ui D @jui : (2.58)
Mit Hilfe des DifferentialoperatorsD angewendet auf den Verschiebungsvektoru
lässt sich der Verzerrungsvektor in der Form
" D
2
6666664
"11
"22
"33
2"12
2"23
2"13
3
7777775
D
2
6666664
@1u1
@2u2
@3u3
@1u2 C @2u1
@2u3 C @3u2
@1u3 C @3u1
3
7777775
D
2
6666664
@1 0 0
0 @2 0
0 0 @3
@2 @1 0
0 @3 @2
@3 0 @1
3
7777775
2
4
u1
u2
u3
3
5 D Du (2.59)
ausdrücken. Die DifferentialoperatormatrixD ist hierbei gegeben durch
D D
2
6666664
@1 0 0
0 @2 0
0 0 @3
@2 @1 0
0 @3 @2
@3 0 @1
3
7777775
D
2
666666666666666666664
@
@X1
0 0
0@
@X2
0
0 0@
@X3
@
@X2
@
@X1
0
0@
@X3
@
@X2
@
@X3
0@
@X1
3
777777777777777777775
: (2.60)
Die Ingenieurverzerrungen werden häufig in der Form
" D Du (2.61)
dargestellt
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 21
2.2.8 Veranschaulichung des linearen Verzerrungstensors
Der lineare Verzerrungstensor kann einerseits aus dem allgemeinen Verzerrungsmaßund der Beschränkung auf kleine Deformationen hergeleitetwerden. Anderseits istes auch möglich, die Verzerrungen ingenieurmäßig zu motivieren und herzuleiten.Vereinfachend wird Veranschaulichung eine zweidimensionale Deformation einesinfinitesimal kleinen materiellen Elementes betrachtet. Das undeformierte Rechteckmit den Kantenlängen dx;dy wird zu einem Rhombus deformiert.
2.2.8.1 Tensorielle Normalverzerrungen versus Ingenieurdehnungen
Die Längeab der AusgangskanteAB D dx berechnet sich zu
ab D
s�
dx C @ux
@xdx
�2
C�@uy
@xdx
�2
D
s
1C 2@ux
@xC
�@ux
@x
�2
C�@uy
@x
�2
dx :
(2.62)
Für sehr kleine Verschiebungsgradienten mitkux;xk � 1 undkuy;xk � 1 gilt dieApproximation
ab � dx C @ux
@xdx (2.63)
und man erhält die Ingenieurdehnung"x zu
"x D ab �ABAB
D @ux
@xD ux;x : (2.64)
In analoger Form folgen für die y-Richtung sowie die z-Richtung die Beziehungen
"y D @uy
@yD uy;y sowie "z D @uz
@zD uz;z : (2.65)
Die Ingenieurdehnungen"x; "y ; "z in die drei Koordinatenrichtungen stimmen mitden tensoriellenNormalverzerrungen"11; "22; "33 überein.
2.2.8.2 Tensorielle Schubverzerrungen versus Ingenieurgleitungen
Die Ingenieurgleitungen messen die Winkeländerung zwischen zwei ursprünglichorthogonalen Kanten und für die Deformation in der x-y-Ebene gilt
xy D ˛ C ˇ: (2.66)
Aus der Darstellung erkennt man
tan˛ Dduy
dxdx
dx C @dux
dxdx
und tan D
dux
dydy
dy C @duy
dydy
: (2.67)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
22 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Für kleine Winkel ; ˇ � 1 und kleine Verschiebungsgradienten mitkux;xk � 1
undkuy;xk � 1 gilt die Approximation
tan˛ � ˛ � @uy
@xund tan � ˇ � @ux
@y: (2.68)
Unter Berücksichtung der Vertauschbarkeit vonx mit y und ux mit uy folgt dieSymmetrie und man erhält die Darstellung
xy D yx D ˛ C ˇ D @ux
@yC @uy
@x: (2.69)
In analoger Form folgen für die Ingenieurgleitungen in der y-z-Ebene und der x-z-Ebene die Beziehungen
yz D zy D @uy
@zC @uz
@ysowie zx D xz D @uz
@xC @ux
@z: (2.70)
Der lineare VerzerrungstensorO© enthält auf den Elementen"ij außerhalb der Diago-nalen die tensoriellen Schubverzerrungen"12; "23; "13, die den doppelten Ingenieur-gleitungen xy; xz ; xz entsprechen und man erhält beispielsweise für"12 und xy
die Beziehung
"12 D 1
2 xy bzw. 2"12 D xy : (2.71)
2.2.8.3 Der ebene Verzerrungszustand
Bei einer ebenen Deformation mitu3 D 0 undu1 D Ou1.X1; X2/; u2 D Ou2.X1; X2/
ist die explizite Form des linearen Verzerrungstensors gegeben durch die Matrix
O" D 1
2.ru C ruT / D
�
"11 "12
sym: "22
�
(2.72)
mit den Komponenten
"11 D u1;1
"22 D u2;2 (2.73)
"12 D 1
2.u1;2 C u2;1/ :
Die Komponenten"33, "13 und"23 sind im zweidimensionalen Fall identisch Null.
2.2.9 Verträglichkeitsbedingungen für die linearen Verzerrungen
Die linearen Verzerrungen" können gemäß" D D u aus gegebenen Verschiebungs-funktionenu durch die entsprechenden partiellen Ableitungen berechnet werden. Indiesem Abschnitt wird untersucht, ob es auch möglich ist, von den gegebenen Ver-zerrungenO" auf die Verschiebungenu zu schließen.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 23
Die linearen Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen
"ij D 1
2.ui;j C uj;i / (2.74)
ergeben ein System von sechs gekoppelten partiellen Differentialgleichungen zurBestimmung der drei unabhängigen Verschiebungenui in einem Punkt. Um eineeindeutige Zuordnung zwischen den sechs Verzerrungen und den drei Verschiebun-gen in jedem Punkt zu erreichen, müssen6 � 3 D 3 Verträglichkeitsbedingungen,auchIntegrabilitätsbedingungenoderKompatibilitätsbedingungengenannt, von densechs Verzerrungen erfüllt werden. Damit verbleiben nur noch drei unabhängigeVerzerrungen und die drei Verschiebungen sind hieraus berechenbar.Die Verträglichkeitsbedingungen für die sechs linearen Verzerrungs-Verschiebungs-beziehungen werden durch Elimination der Verschiebungsableitungenaus Gleichung(2.74) gewonnen. Hierzu betrachten wir die Gleichung (2.74) und bilden die partielleAbleitung nachXk
"ij;k D 1
2.ui;jk C uj;ik/ (2.75)
sowie die durch die Permutation der Indizes entstehenden Gleichungen
"ik;j D 1
2.ui;kj C uk;ij / ; (2.76)
"jk;i D 1
2.uj;ki C uk;j i / : (2.77)
Durch geeignete Addition und Subtraktion der Gleichungen (2.75), (2.76) und (2.77)erhalten wir mit der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen ein Differentialglei-chungssystem für die unbekannten Verschiebungenui
"ij;k C "jk;i � "ik;j D 1
2.ui;jk C uj;ik C uj;ki C uk;j i � ui;kj � uk;ij /
D 1
2.uj;ik C uj;ki / D uj;ik: (2.78)
Aus der erneuten Forderung vertauschbarer partieller Ableitungen
.uj;ik/;l D .uj;i l/;k (2.79)
ergibt sich für das Differentialgleichungssystem (2.78) die Bedingung
."ij;k C "jk;i � "ik;j /;l D ."ij;l C "jl;i � "i l;j /;k ; (2.80)
das sich in dieSt. Venantschen Kompabilitätsbedingungen
"i l;jk C "jk;li � "ik;jl � "jl;ik D 0 (2.81)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
24 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
umformen läßt. Die Gleichung (2.81) stellt 81 Gleichungen dar, von denen wegen derSymmetrieeigenschaften jedoch nur die folgenden 6 Gleichungen wesentlich sind:
2 "12;12 D "11;22 C "22;11 (2.82)
2 "23;23 D "22;33 C "33;22 (2.83)
2 "31;31 D "33;11 C "11;33 (2.84)
"11;23 D ."12;3 C "31;2 � "23;1/;1 (2.85)
"22;31 D ."23;1 C "12;3 � "31;2/;2 (2.86)
"33;12 D ."31;2 C "23;1 � "12;3/;3 : (2.87)
Es soll jetzt gezeigt werden, daß nur noch drei der sechs Bedingungen unabhängigsind. Hierzu leiten wir (2.85) nochmals partiell nachX2 ab und erhalten
"11;232 D "12;312 C "31;212 � "23;112 : (2.88)
Ebenso ergibt sich aus der Ableitung von (2.86) nachX1
"22;311 D "23;121 C "12;321 � "31;221 : (2.89)
Durch Einsetzen von (2.89) in (2.88) und Vertauschen der Reihenfolge der partiellenAbleitungen folgt
2"12;123 D "11;223 C "22;113 (2.90)
und damit
.2"12;12/;3 D ."11;22 C "22;11/;3 ; (2.91)
d. h. die partielle Ableitung der Gleichung (2.82) nachX3. Damit sind die Gleichun-gen (2.85) und (2.86) von Gleichung (2.82) abhängig. Analog kann mit den übrigenGleichungen verfahren werden. Hieraus erkennt man, daß nurdrei Verträglichkeits-bedingungen unabhängig und hinreichend sind.Die ausgewählten wesentlichen Gleichungen können in der Reihenfolge (2.84), (2.83),(2.82) in einer Matrixdarstellung
0
@
0 @33 @22 0 �@23 0
@33 0 @11 0 0 �@31
@22 @11 0 �@12 0 0
1
A
0
BBBBBB@
"11
"22
"33
2 "12
2 "23
2 "31
1
CCCCCCA
D 0 (2.92)
geschrieben werden. Die Koeffizientenmatrix wird mitD�T bezeichnet und es giltsomit in symbolischer Matrizenschreibweise
D�T" D 0 : (2.93)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 25
2.2.10 Invarianten und Eigenwerte
Der Vorteil einer tensoriellen Darstellung besteht darin,daß sie allgemeingültig istund somit für alle speziellen Basissysteme ausgewertet werden kann. Unabhängighiervon existieren jedoch physikalisch motivierte Hauptwerte und Hauptachsen, de-ren Berechnung und Interpretation an dieser Stelle am Beispiel des linearen Verzer-rungstensorsO© erläutert wird. Die absolute Tensordarstellung wird unmittelbar durchdie Koeffizientendarstellung bezüglich einer kartesischen Basis veranschaulicht.
2.2.10.1 Eigenwerte des linearen Verzerrungstensors
Die Invariantendes Verzerrungstensors sind Eigenschaften vonO©, die unabhängigvon der gewählten Darstellung in einem Koordinatensystem immer unverändert blei-ben, alsoinvariantsind. Zweistufige Tensoren, die über den dreidimensionalenVek-torraumV definiert sind, besitzen drei Invarianten. Die Invariantensind in absoluterTensorschreibweise, in Matrizenschreibweise oder in Koeffizientenschreibweise be-züglich einer kartesischen Basis angegeben
I1 D tr.O©/ D tr. O"/ D "11 C "22 C "33 ;
I2 D 1
2
�
Œtr.O©/�2 � tr.O©2/�
D 1
2
�
Œtr. O"/�2 � tr. O"2/�
D "11 "22 C "22 "33 C "33 "11 � "212 � "2
23 � "213 ;
I3 D det.O©/ D det. O"/D "11 ."22 "33 � "23 "23/
� "12 ."12 "33 � "23 "31/
C "13 ."12 "23 � "22 "31/ :
(2.94)
Hierbei werden die Operatoren für dieSpur tr und dieDeterminantedet auf denTensorO© beziehungsweise die MatrixO" angewendet.
2.2.10.2 Hauptachsenproblem
DasEigenwertproblemoder auchHauptachsenproblemfür den linearen Verzerrungs-tensorO© untersucht die Frage, ob esEigenvektorenoderHauptrichtungenni gibt, inderen Richtung nur eine Dehnung auftritt, also
O© ni D �i ni für i D 1; 2; 3 (2.95)
gilt. Die EigenwerteoderHauptwerte�1; �2; �3 entsprechen physikalisch den Deh-nungen einer Faser in Richtung der Eigenvektorenni . Sie sind die Nullstellen descharakteristischen Polynoms
�3 � I1 �2 C I2 � � I3 D 0 (2.96)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
26 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
und ergeben in der Form
I1 D �1 C �2 C �3
I2 D �1 �2 C �2 �3 C �3 �1
I3 D �1 �2 �3 :
(2.97)
Mit den ermittelten Hauptwerten lassen sich dann die Hauptrichtungenni über dieLösung der Beziehung
.O© � �i 1/ ni D 0 (2.98)
berechnen. Die Hauptrichtungen bilden eine orthonormale Basis.n1;n2;n3/ undder Verzerrungstensor kann in der Form
O© D3
X
iD1
�i ni ˝ ni (2.99)
dargestellt werden.
Bemerkung 2.2. Die eingeführte polare ZerlegungF D R U D V R kann mit dieserZerlegung einfach erläutert werden, da der orthogonale Tensor R eine Drehung derHauptachsen beschreibt und die StrecktensorenU, V die Dehnung in dieser Richtungvor bzw. nach der Drehung angeben.
2.2.11 Additive Zerlegungen bei kleinen Deformationen
Die in Abschnitt2.2.6aufgeführten multiplikativen Zerlegungen des Deformations-gradientenF im Rahmen der allgemeinen nichtlinearen Theorie werden fürkleineDeformationen in additive Zerlegungen des linearen VerzerrungstensorsO© überführt.Die Details des Linearisierungsprozeßes bleiben an dieserStelle verborgen, aber dieresultierenden Beziehungen der linearen Theorie werden angegeben.
2.2.11.1 Zerlegung in Verzerrungen und Drehungen
Analog zur multiplikativen Zerlegung des DeformationsgradientenF kann der Ver-schiebungsgradientH für kleine Deformationen additiv in seine Verzerrungs- undRotationsanteile zerlegt werden.
Allgemeingültige Darstellung. Der VerschiebungsgradientH D ru kann in einensymmetrischen Anteil symfrug und schiefsymmetrischen (antimetrischen) Anteilskwfrug zerlegt werden. Es gilt
ru D symfrug C skwfrug D 1
2.ru C ruT /C 1
2.ru � ruT / : (2.100)
Der lineare VerzerrungstensorO© entspricht damit dem symmetrischen Anteil des Ver-schiebungsgradienten, d.h.
O© D 1
2.ru C ruT / D symfrug : (2.101)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.2 Kinematik 27
Der antimetrische Anteil bildet deninfinitesimalen Drehtensor
O D 1
2.ru � ruT / D skwfrug; (2.102)
dem einachsialer Vektorw zugeordnet ist.
Matrizendarstellung. Der antimetrische DrehtensorO D � O T und der zugehöri-ge achsiale Vektorw besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die Koeffi-zientenmatrizen
O! D
2
4
0 !12 !13
!21 0 !23
!31 !32 0
3
5 D
2
4
0 �w3 w2
w3 0 �w1
�w2 w1 0
3
5 und w D
2
4
w1
w2
w3
3
5
mit
!12 D �!21 D 1
2.u1;2 � u2;1/
!23 D �!32 D 1
2.u2;3 � u3;2/
!32 D �!23 D 1
2.u3;1 � u1;3/
(2.103)
und der Beziehung
!ij D eijk wk sowie wi D eijk !jk (2.104)
zwischen den Koeffizienten der Drehtensors und des achsialen Vektors. Hierbei isteijk dasPermutationssymbolund bedeutet
eijk D
8
<
:
1 falls .i; j; k/ eine Permutation von.1; 2; 3/ ist,�1 falls .i; j; k/ eine Permutation von.3; 2; 1/ ist,0 falls zwei oder drei gleiche Indizes auftreten.
(2.105)
2.2.11.2 Zerlegung in Kugeltensor und Deviator
Die additive Zerlegung des linearen Verzerrungstensors involumen- sowie gestalts-ändernde Anteile ist für mechanische Verständnis des Materialverhaltens hilfreich.Das Maß für die Volumenänderung der nichtlinearen TheorieJ D detF wird imRahmen einer Linearisierung in die linearisierte Form trO© überführt. Hierbei bezeich-net der Operator tr dieSpureines Tensors.Der lineare VerzerrungstensorO© kann somit additiv in einen volumetrischen Anteil(Kugeltensor)O©vol und einen deviatorischen Anteil (Deviator)O©dev mit
O© D O©vol C O©dev D 1
3.tr O©/ 1 C devO© (2.106)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
28 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 2.3: Beispiel für eine lineare Drehung
zerlegt werden. Dabei meint
ı D �V
VD tr.O©/ D "11 C "22 C "33 (2.107)
die VolumendehnungoderDilatation und
"m D "kk
3D "11 C "22 C "33
3D 1
3tr.O©/ (2.108)
ist diemittlere Dehnung. Damit können die Koeffizienten des Verzerrungstensors"ij
in der Form
"ij D "kk
3ıij C eij (2.109)
geschrieben werden, wobei die Koeffizienteneij des Deviators dieGestaltsänderungbeschrieben.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 29
2.2.11.3 Zerlegung in elastische und plastische Anteile
Die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientenin elastische und plasti-sche geht im Rahmen einer geometrisch linearen Theorie ebenfalls in eine additiveAufteilung von elastischen und plastischen Anteilen des lienaren Verzerrungstensorsüber. An dieser Stelle können weitere Details nicht dargestellt werden.
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen
Im Rahmen der allgemeingültigen nichtlinearen Theorie werden die Belastungen undSpannungen am verformten Körper®.�/ betrachtet und es wird das Gleichgewichtfür diesen deformierten Körper formuliert. Durch die im vorhergehenden Abschnittbeschriebene Linearisierung erfolgt eine Vereinfachung der Betrachtungen am un-verformten Körper�. Alle in diesem Abschnitt eingeführten Größen beziehen sichauf den unverformten Körper� und damit wird das Gleichgewicht auch für denunverformten Körper gefordert.
2.3.1 Kraft- und Spannungsvektoren
Auf eine Struktur wirken verschiedene Arten äußerer Kräfte. Volumenkräfteb wir-ken als volumenmäßig verteilte Kräfte auf die Partikel im Inneren der Struktur�.FlächenkräfteNt treten auf der Körperoberfläche bzw. über Teilflächen auf, d.h. aufdem Rand�N, siehe Abb.2.4. Ferner treten bei dynamischen Beanspruchungen nochTrägheitskräfte� Rx für alle Partikel der Struktur auf. Diese werden jedoch im Rah-men dieses Skriptes vernachlässigt, da ausschließlich statische (zeitunabhängige)Probleme betrachtet werden.
b
�
�
Nt
X3
X2
X1
X
Abbildung 2.4: Volumen- und Flächenkräfte
Aus den äußeren Kräften resultieren im Körper innere Kräfte, welche die Wechsel-wirkung zwischen benachbarten Körperpartikeln beschreiben. Diese inneren Kräfte
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
30 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
wirken als Flächenkräfte oderSpannungenauf gedachte Schnitte im Körperinnernund können wie nachfolgend dargestellt alsSpannungsvektordefiniert werden.Betrachtet wird eine äußere Kraft�f , die auf der Fläche�A angreift. Der Span-nungsvektort ist dann definiert durch
t WD lim�A!0
�f
�A; (2.110)
wobei vorausgesetzt wird, dass der Grenzwert existiert. Ferner wird angenommen,dass von der Schnittfläche nur Kräfte und keine Momente übertragen werden. DieBerücksichtigung von Momenten auf infinitesimalen Schnitten kann durch so ge-nannte Momentenspannungen innerhalb derCosserat11 Theorieerfolgen, auf welchean dieser Stelle jedoch nicht eingegangen werden soll.Die eingeprägte OberflächenspannungNt muß auf dem Rand�N der dort auftretendenSchnittspannungt entsprechen, d.h.t D Nt.Die Volumenkraftb und der Spannungsvektort werden in kartesischen Koordinatendurch die Spaltenmatrizen
b D�
b1 b2 b3
�Tund t D
�
t1 t2 t3�T
(2.111)
beschrieben.
2.3.2 Spannungstensor
Der Spannungsvektort hängt wesentlich von der Wahl der Schnittfläche ab. Gesuchtist eine von der Schnittführung unabhängige Darstellung der Spannungen im Körper.
2.3.2.1 Das Cauchy Fundamentallemma
DasCauchy Fundamentallemmastellt die bereits in derTechnischen Mechanikver-wendete Beziehung zwischen den Schnittkräften allgemeingültig dar. Demnach sinddie bei einem gedachten Schnitt durch den Körper mit der Schnittnormalenn auftre-tenden Spannungsvektoren am positiven sowie am negativen Schnittufer entgegen-gesetzt gleich sind. Es gilt also für jeden Punkt der Schnittfläche
t.�n/ D �t.n/ : (2.112)
Die Spannungen an beiden Ufern einer Schnittfläche sind entgegengesetzt gerichtetund betragsmäßig gleich groß.
2.3.2.2 Das Cauchy Spannungstheorem
Die lineare Beziehung zwischen Spannungsvektort und Schnittflächen wird durchdenSpannungstensorO¢ hergestellt.
11Gebrüder Cosserat:Eugène Cosserat (1866-1931), französischer Mathematiker und Astronom.Francois Cosserat (1852-1914), französischer Mathematiker und Ingenieur.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 31
Allgemeingültige Darstellung. Der grundlegendenZusammenhang zwischen demSpannungszustand in einem Körperpunkt und die Darstellungals Spannungsvektorin einem (gedachten) Schnitt wird durch dasCauchy12 Theorem13
t D O¢ n (2.113)
angegeben. Der Spannungsvektort auf jedem Punkt des Randes kann demnach ausdemSpannungstensorO¢ und dem äußeren Normalenvektorn berechnet werden.
Bemerkung 2.3. Durch die Linearisierung wird aus demCauchy Spannungstensor,der auf der verformten Konfiguration®.�/ definiert ist, derlinearisierte Spannungs-tensorO¢. In diesem Fall beziehen sich das Flächenelement�A sowie die Normalenauf die unverformte Lage�.
Matrizendarstellung. Die KoeffizientenO�ij des SpannungstensorsO¢ bezüglich ei-nes kartesischen Koordinatensystems sind in der Darstellung 2.5 angegeben. Dabeibezeichnet der erste Index die Richtung der Spannung und derzweite Index kenn-zeichnet die Richtung der Flächennormale, da mit Gleichung(2.113) aucht D O� n
gelten soll. Die Beziehung zwischen den tensoriellen SpannungskoeffizientenO�ij
und den klassischen Ingenieurspannungen wird in Abschnitt2.3.2.4diskutiert.
O�13
O�12
O�32
e1
e2
e3
O�31
O�21
O�23 O�11
O�33
O�22
Abbildung 2.5: Tensorielle Spannungskoeffizienten am Volumenelement
Die Koeffizientenmatrix des linearen Spannungstensors istgegeben durch
O� D
2
4
O�11 O�12 O�13
O�21 O�22 O�23
O�31 O�32 O�33
3
5 : (2.114)
12Augustin Louis Cauchy (1789-1859), französischer Mathematiker.13Es gibt in der Literatur mehrere Aussagen, die nach Cauchy benannt werden. Genauer spricht man dann
vom Cauchy Spannungs-Theorem.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
32 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Der Spannungsvektort und der zugehörige Normalenvektorn lauten
t D�
t1 t2 t3�T
sowie n D�
n1 n2 n3
�T(2.115)
und es gilt somit im allgemeinen 3D-Fall
O�11n1 C O�12n2 C O�13n3 D t1
O�21n1 C O�22n2 C O�23n3 D t2
O�31n1 C O�32n2 C O�33n3 D t2
(2.116)
oder kompakter2
4
O�11 O�12 O�13
O�21 O�22 O�23
O�31 O�32 O�33
3
5
2
4
n1
n2
n3
3
5 D
2
4
t1t2t3
3
5 (2.117)
bzw.O� n D t : (2.118)
Beweis des Cauchy Theorems für den zweidimensionalen Fall.Der Zusammen-hang zwischen den Spannungskomponententi in einem Schnittn und den innerenSpannungenO�ij im betrachteten Körperpunkt soll exemplarisch an der zweidimen-sionalen Situation hergeleitet werden, siehe Abb.2.6.
O�12
O�22
O�11
O�21
n1
n2
nt2
t1
t
�D
�N
�
e2
e1
Nt
˛
˛
Abbildung 2.6: Gleichgewicht am Schnitt
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 33
Hierzu wird das Kräftegleichgewicht in jede Koordinatenrichtung aufgestellt. DieGleichgewichtsbedingungen lauten
O�11 dX2 dX3 C O�12 dX1 dX3 D t1 dS dX3
O�21 dX2 dX3 C O�22 dX1 dX3 D t2 dS dX3 :(2.119)
Nach der Division durch dX3 dS erhält man das Gleichungssystem
O�11
dX2
dSC O�12
dX1
dSD t1
O�21
dX2
dSC O�22
dX1
dSD t2 :
(2.120)
Wenn man die Ähnlichkeit der Dreiecke�Œn1 n2 knk� und�ŒdX2 dX1 dS� ausnutzt,erhält man mitknk D 1 die Beziehungen
sin˛ D dX1
dSD n2
knk D n2 und cos D dX2
dSD n1
knk D n1 : (2.121)
Für das Gleichungssystem folgt
O�11 n1 C O�12 n2 D t1
O�21 n1 C O�22 n2 D t2(2.122)
bzw. in IndexschreibweiseO�ij nj D ti : (2.123)
Es gilt also O� n D t, wobei die tensorielle Notation für die Spannungskoeffizientenverwendet wird.
2.3.2.3 Klassische Ingenieurnotation für die Spannungen
Die traditionelle Bezeichnung der Normal- und Schubspannungen in rechtwinkligenSchnitten entlang der Koordinatenachsen ist in Abbildung2.7 dargestellt. DieNor-malspannungenwerden als�x � �xx; �y � �yy und �z � �zz geschrieben undweisen in Richtung der Flächennormalen. DieSchubspannungenwirken parallel zuden Schnittflächen und werden mit�xy ; �yx und�yz ; �zy sowie�zx; �xz bezeichnet,wobei der erste Index die Richtung der Flächennormale angibt und der zweite Indexdie Richtung der Schubspannung kennzeichnet.
2.3.2.4 Vergleich der Notationen und Vereinbarungen
Der Vergleich der Abbildungen2.5und2.7zeigt, dass sich die Reihenfolge und Be-deutung der Indizes zwischen der tensoriellen und der klassischen Notation veränderthat. Die klassische Notation hat eine lange Tradition und wird weiterhin überwie-gend in der Ingenieurliteratur verwendet. Demgegenüber ist die Tensornotation vonder modernen Mathematik und der Praxis geprägt, das Cauchy-Theorem als Tensor-Vektor-Produkt in der Formt D O¢ n zu schreiben. Diese Darstellung wird besondersin der Literatur zurKontinuumsmechanikund zurnumerischen Mechanikverwendet.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
34 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
�zx
�yx
�yz
ex
ey
ez
�xz
�xy
�zy�xx
�zz
�yy
Abbildung 2.7: Normal- und Schubspannungen am Volumenelement
Der Konflikt wird allerdings durch das Momentengleichgewicht, siehe hierzu Ab-schnitt2.3.3.1, gemildert, dass zurSymmetrie des SpannungstensorsO¢ D O¢T undsomit die Gleichheit der SpannungskoeffizientenO�ij D O�j i führt. In der klassischenIngenieurnotation bedeutet dieses die Gleichheit der zugeordneten Schubspannun-gen�xy D �yx und�yz D �zy sowie�zx D �xz an orthogonalen Schnitten.In dieser Darstellung verwenden wir die Spannungskoeffizienten�ij des Spannungs-tensorsO¢ bzw. der SpannungsmatrixO� und vereinbaren die folgenden Gleichheit
�12 D �21 D O�12 D O�21 D �yx D �xy
�23 D �32 D O�23 D O�32 D �yz D �zy
�31 D �13 D O�31 D O�13 D �zx D �xz :
(2.124)
Damit gilt für die KoeffizientenmatrixO� und das Cauchy-Theorem die Darstellung
O� D
2
4
�11 �12 �13
�21 �22 �23
�31 �32 �33
3
5 und
2
4
�11 �12 �13
�21 �22 �23
�31 �32 �33
3
5
2
4
n1
n2
n3
3
5 D
2
4
t1t2t3
3
5 : (2.125)
Analog zur tensoriellen Notation beschreibt der erste Index die Richtung der Span-nung und der zweite Index die Richtung der Normalen. Alle Gleichungen in Index-schreibweise werden auf dieser Grundlage dargestellt. DerLeser sollte sich für denVergleich der Formeln dieser Ausarbeitung mit Darstellungen in der Literatur diejeweils gültige Notation berücksichtigen. Beispielsweise kann das Cauchy-Theoremauch in der Form
�j i nj D bi (2.126)
dargestellt werden. Man erkennt an der Wahl der Indizes, dass in diesem Fall die klas-sische Ingenieurnotation (Normalenrichtung, Spannungsrichtung) verwendet wird.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 35
Die Voigtsche14 Notationerleichtert die Schreibweise für symmetrische Tensoren inder Kontinuumsmechanik. Aufgrund der Symmetrie des SpannungstensorsO� , d.h.�ij D �j i , lässt sich der Spannungszustand auch durch die Spaltenmatrix � derSpannungskoeffizienten
� D�
�11 �22 �33 �12 �23 �13
�T(2.127)
darstellen.
Bemerkung 2.4. Die Spaltenmatrix der Spannungskoeffizienten� wird oftmals ver-kürzend als „Spannungsvektor“ bezeichnet. Der „Spannungsvektor“ � 2 R
3 darfjedoch nicht mit denSpannungsvektort 2 E
3 gemäßt D O¢ n verwechselt werden.
2.3.3 Das lokale Kräfte- und Momentengleichgewicht
In diesem Abschnitt wird die lokale Kräftegleichgewichtsbedingung, das ist die Dif-ferentialgleichung für die Spannungen, hergeleitet. Die Darstellung erfolgt im Rah-men der bereits durchgeführten Linearisierung, d.h. es handelt sich um das Gleich-gewicht am unverformten System�.
2.3.3.1 Das Momentengleichgewicht
Das Momentengleichgewicht aller an einem Körper angreifenden Kräfte führt nachlängeren Umformungen der Beziehungen in tensorieller Schreibweise auf die Sym-metrie des SpannungstensorsO¢ D O¢T . Für die Details, die den Umformungen desKräftegleichgewichts im nächsten Abschnitt entsprechen,wird auf die Literatur ver-wiesen verwiesen. Nach Wahl einer kartesischen Basis folgtdie Gleichheit der Span-nungskoeffizienten�ij D �j i .
2.3.3.2 Das Kräftegleichgewicht
Die Newtonschen15 Grundgesetze16 bilden die Grundlage der klassischen Mechanik.
� Lex prima oder das Trägheitsprinzip:Ein Körper verharrt im Zustand derRuhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirken-de Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.
� Lex secunda oder das Aktionsprinzip:Die Änderung der Bewegung einer Mas-se ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional undgeschieht nachder Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
� Lex tertia oder das Reaktionsprinzip:Kräfte treten immer paarweise auf. Übtein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt
14Woldemar Voigt (1850-1919), deutscher Physiker.15Isaac Newton (1643-1727), englischer Naturforscher.16Die Grundgesetze der Bewegung wurden im Jahr 1687 in NewtonsHauptwerkPhilosophiae Naturalis
Principia MathematicaoderMathematische Prinzipien der Naturphilosophieformuliert.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
36 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A(reactio).
Eine ausführliche Diskussion müssen wir der Literatur überlassen. Im Rahmen dervorgenommenen Einschränkungen, das ist die statische Betrachtung kleiner Defor-mationen, erhalten wir die globale Kräftegleichgewichtsbedingung.
Allgemeingültige Darstellung. Aus den obigen Grundgesetzen ergibt sich für dasKräftegleichgewicht, d.h. dass die Summe aller äußeren Kräfte verschwinden muss,
Z
�
Nt d� CZ
�
b d� D 0 : (2.128)
Unter Verwendung des Cauchy Theoremst D O¢ n D Nt und des DivergenztheoremsZ
�
Nt d� DZ
�
t d� DZ
�
O¢ n d� DZ
�
div O¢ d� (2.129)
folgtZ
�
Nt d�CZ
�
b d� DZ
�
div O¢ d�CZ
�
b d� DZ
�
.div O¢ C b/ d� D 0 : (2.130)
Mit der hinreichenden Stetigkeit gilt die ÄquivalenzZ
�
.div O¢ C b/ d� D 0 () div O¢ C b D 0 8 X 2 � : (2.131)
Damit folgt die lokale Gleichgewichtsbedingung in der Form
div O¢ C b D 0 : (2.132)
Matrizendarstellung. Die Matrizendarstellung basiert auf den tensoriellen Span-nungskoeffizienten bezüglich einer kartesischen Basis. Die Divergenz des Spannungs-tensors divO� geht über in die Spaltenmatrix
div O� D
2
4
�11;1 C �12;2 C �13;3
�21;1 C �22;2 C �23;3
�31;1 C �32;2 C �33;3
3
5 : (2.133)
Mit Hilfe der DifferentialoperatormatrixD aus Gl. (2.60) kann die Divergenz desSpannungstensors divO¢ ausgedrückt werden durch den Differentialoperator ange-wendet auf den Spannungsvektor� . Es gilt
2
4
@1 0 0 @2 0 @3
0 @2 0 @1 @3 0
0 0 @3 0 @2 @1
3
5
2
6666664
�11
�22
�33
�12
�23
�13
3
7777775
D
2
4
�11;1 C �12;2 C �13;3
�21;1 C �22;2 C �23;3
�31;1 C �32;2 C �33;3
3
5 D DT �
(2.134)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 37
Damit lässt sich die lokale Gleichgewichtsbedingung (2.132) mit Hilfe des Differen-tialoperatorD und des Spannungsvektor� in der Form
DT � C b D 0 (2.135)
darstellen.
Beispiel 2.4. Wir betrachten ein zweidimensionale Scheibenproblem unter Eigen-gewicht. Es sei�0 die Dichte des Körpers in der Referenzkonfiguration undg dieErdbeschleunigung. Die Volumenlast ergibt sich hierfür zu
b D�
b1
b2
�
D�
0
��0 g
�
: (2.136)
Die Divergenz eines zweistufigen TensorsA ist ein Vektor der Form
divA D�
A11;1 C A12;2
A21;1 C A22;2
�
: (2.137)
Für das zweidimensionale Scheibenproblem lautet damit dielokale Gleichgewichts-bedingung unter Eigengewicht
�
�11;1 C �12;2
�21;1 C �22;2
�
C�
0
��0 g
�
D�
0
0
�
: (2.138)
2.3.3.3 Tensorielle Notation versus klassische Notation
Die tensorielle Notation (Spannungsrichtung, Normalenrichtung) unterscheidet sichvon der klassischen Ingenieurnotation der Spannungen (Normalenrichtung, Span-nungsrichtung). In der Literatur können entsprechend der gewählten Notation dielokalen Kräftegleichgewichtsbedingungen in zwei Formen auftreten:
�ij;j C bi D 0 tensorielle Notation (Spannungsrichtung, Normalenrichtung
�j;ij C bi D 0 klassische Notation (Normalenrichtung, Spannungsrichtung :
In diesem Skriptum wird, soweit nicht explizit angegeben, die tensorielle Notationverwendet.
2.3.4 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement
Alternativ zur obigen Darstellung sollen die lokalen Gleichgewichtsbedingungen an-hand des Kräfte- und Momentengleichgewichts an einem infinitesimalen Scheiben-element mit der Dickedz hergeleitet werden. Die Spannungen und Kräfte im 2D-Fallsind in Abb.2.8 in der klassischen Ingenieurnotation dargestellt.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
38 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
y
�xx �xx C d�xx
�xy �xy C d�xy
�yx
�yx C d�yx
�yy
dx
dy
by
bx
�yy C d�yy
x
Abbildung 2.8: Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement
2.3.4.1 Momentengleichgewicht
Das Momentengeleichgewicht wird um den Mittelpunkt des dargestellten Schei-benelementes angeschrieben. Damit entfallen die Beiträgeder Normalspannungen�xx ; �yy und der Belastungbx; by , da in allen Fällen die Wirkungslinien der resul-tierenden Kräfte durch den Bezugspunkt verlaufen. Nur die Schubspannungen tragenzum Momentengleichgewicht bei und es gilt mit
PM D 0
X
M D 0 D .�xy C d�xy/ � dy � dx2
C �xy � dy � dx2
� .�yx C d�yx/ � dx � dy2
C �yx � dx � dy2
D .�xy � �yx/ � dx � dy C 1
2.d�xy � d�yx/ � dx � dy :
(2.139)
Die Zuwächse können gegenüber den Werten vernachlässigt werden und es folgtsomit dieGleichheit der zugeordneten Schubspannungen an orthogonalen Schnittenin der klassischen Ingenieurnotation (Normalenrichtung,Spannungsrichtung)
�xy D �yx : (2.140)
Die Schubspannungen�xy und�yx werden auch oftmals mit�xy und�yx bezeich-net und stimmen mit den tensoriellen Spannungskoeffizienten �21 und�12 überein.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 39
Die Symmetrie des Spannungstensors kann somit in tensorieller Indexschreibweise(Spannungsrichtung, Normalenrichtung) in der Form
�21 D �12 (2.141)
geschrieben werden.
2.3.4.2 Kräftegleichgewicht
Wir betrachten exemplarisch das Kräftegleichgewicht inx-Richtung. Aufgrund derGleichgewichtsforderung müssen alle Kräfte verschwinden, d.h.
PFx D 0,
X
Fx D�
�xx C @�xx
@x� dx
�
� dy � dz � �xx � dy � dz
C�
�yx C @�yx
@y� dy
�
� dx � dz � �yx � dx � dz
C bx � dx � dy � dz
D�@�xx
@xC @�yx
@yC bx
�
� dx � dy � dz D 0 :
(2.142)
Damit folgt die lokale Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung sowie aus einer ana-logen Herleitung die lokale Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung. Man erhält inder klassischen Ingenieurnotation das Gleichungssytem
�xx;x C �yx;y C bx D 0
�xy;x C �yy;y C by D 0 :(2.143)
In Matrizenschreibweise folgt mit der Voigtschen Notationund�xy D �yx
�
@x 0 @y
0 @y @x
�2
4
�xx
�yy
�xy
3
5 C�
bx
by
�
D 0 : (2.144)
Die lokale Gleichgewichtsbedingung lautet das zweidimensionale Scheibenproblemfolgt in der Form
DT � C b D 0 (2.145)
mit dem Differentialoperator für den 2D-Fall in der klassischen Ingenieurnotation
DT D�
@x 0 @y
0 @y @x
�
D
2
664
@
@x0
@
@y
0@
@y
@
@x
3
775: (2.146)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
40 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
2.4 Konstitutive Gleichungen
In den vorangegangenen Abschnitten wurden Spannungs- und Verzerrungsgrößenhergeleitet. Diese Größen reichen jedoch nicht aus, ein Randwertproblem vollständigzu lösen. Es werden noch Materialgleichungen benötigt, welche die individuellenEigenschaften des betrachteten Körpers beschreiben. In der Kontinuumsmechanikwerden diese Beziehungen auch alskonstitutive Gleichungenbezeichnet.
2.4.1 Grundlagen der Materialtheorie
In diesem Abschnitt werden einige grundsätzliche Hinweisezur Materialtheorie undzur Struktur der Materialgleichungen gegeben. Sowohl allgemeingültige Forderun-gen als auch spezielle Eigenschaften der Materialien beeinflussen die mathematischeFormulierung der Werkstoffgesetze.
2.4.1.1 Bedingungen aus Mathematik und Physik
Zunächst müssen allgemeingültige Bedingungen aus Mathematik und Physik unab-hängig von der speziellen Wahl des Materials beachtet werden.
Hinweise zur deterministischen Theorie. Die Kontinuumsmechanikals mathe-matische Theorie basiert auf der Annahme, dass alle mechanischen Beobachtungenals Feldgrößen (zum Beispiel Verzerrungen und Spannungen)beschreibbar sind, diein stetig differenzierbarer Form von der Geschichte der Bewegung und der Tempe-ratur aller Punkte des Körpers abhängen.
Hinweise zur lokalen Wirkung. Der Spannungszustand eines betrachteten Punk-tes wird von der Deformation aller anderen Punkte des Körpers beeinflußt. Hierbeiist es aber sinnvoll, die Entfernung zwischen den Punkten zuberücksichtigen, daPunkte in weiterer Entfernung eine kleinere Bedeutung als Punkte in der unmittel-baren Umgebung haben. Bei der Beschränkung auf eine lokale Umgebung genügtes, nur noch den Gradienten der Bewegungsfeldes und den Temperaturgradienten zuberücksichtigen.
Hinweise zur materiellen Objektivität. Physikalisch sinnvolle Werkstoffgeset-ze müssen den Objektivitätsforderungen hinsichtlich einer Starrkörperrotation oderder Invarianz gegen Drehung des Koordinatensystems genügen. Anschaulich ausge-drückt darf die Bewegung des Beobachters keinen Einfluß auf das Materielverhaltenhaben. Die Struktur der Werkstoffgesetze wird von dieser Forderung stark beeinflußt.
Hinweise zur Zulässigkeit. Die Materialgesetze dürfen den Bilanz- und Erhal-tungssätzen sowie dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik nichtwidersprechen. Auchhierdurch ergeben sich weitergehende Restriktionen für die Struktur der konstituti-ven Beziehungen.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 41
2.4.1.2 Bedingungen aus der Wahl der Materialklasse
Die Wahl des konkreten Materialverhaltens oder aber der Materialklasse führt zuweitergehenden Einschränkungen und oftmals auch wesentlichen Vereinfachungenfür die mathematische Formulierung der Werkstoffgesetze.
Hinweise zur Homogenität. Für die Beschreibung und Berechnung des Material-verhaltens einer Struktur ist es wesentlich, ob das Material homogenoder inhomo-gen ist. Im Fall der Homogenität wird angenommen, dass alle betrachteten Punk-te identisches Materialverhalten aufweisen. Eine Brücksichtigung des betrachtetenmateriellen Punktes ist deshalb nicht erforderlich. Naturgemäß ist ein inhomogenesMaterialverhalten komplexer zu beschreiben und zu berechnen.
Hinweise zur nachlassenden Erinnerung. Die einzelnen Materialien haben un-terschiedliches Erinnerungsvermögenan vergangene Ereignisse. Als wichtigen Grenz-fall dieser Betrachtung tritt dieElastizität auf, bei der die aktuelle Spannung nurvom aktuellen Deformationszustand abhängen soll. Es liegtsomit keine Geschichts-abhängigkeit vor. Die Deformationen sind vollständig reversible und die Be- undEntlastungskurven stimmen überein.
Hinweise zur materiellen Symmetrie. Die Richtungsabhängigkeit des Material-verhaltens muß ebenfalls in den konstitutiven Beziehungenberücksichtigt werden.Die Werkstoffe zeichnen sich durch ausgewählte Symmetrierichtungen aus, in de-nen identisches Materialverhalten auftritt. Im GrenzfallderIsotropieist keine Rich-tungsabhängigkeit mehr vorhanden und das Material besitztidentische Materialei-genschaften in allen Richtungen.
2.4.2 Die Eigenschaften der linearen Elastizität
Basierend auf den allgemeinen Überlegungen werden nun zunächst die Materialei-genschaften der linearen Elastizität dargestellt. Zur Vereinfachung betrachten wirausschließlichhomogene Materialienund vernachlässigen hiermit eine möglicheOrtsabhängigkeit des Materialverhaltens.
2.4.2.1 Grundlagen der Hyperelastizität
Für die wichtige Klasse derhyperelastischen Materialien17 kann die Struktur derMaterialgleichungen aus den obigen Betrachtungen hergeleitet werden.
17In der Regel meint man mit dem Begriff derElastizität die hier dargestellteHyperelastizität. Bei deralternativ möglichenHypoelastizitätwird auf die Existenz einer Formänderungsenergiefunktionver-zichtet und das Werkstoffverhalten wird inkrementell in der Form �� D E � �" beschrieben. ImEindimensionalen bedeutet dieses, dass die Zuwächse der Verzerrungen�" zusammen mit dem i.d.R.veränderlichen ElastizitätsmodulE die Zuwächse der Spannungen�� beschreiben. Auf dieHypo-elastizitätwird mit dem Verweis auf die Literatur in diesem Skript nichteingegangen.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
42 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Allgemeingültige Aussagen für nichtlineare Deformationen. Daselastische Ver-haltenist dadurch gekennzeichnet, dass es im Sinne einer lokalen Wirkung nur vonden materiellen Deformationsgradienten des aktuellen Punktes abhängt. Weiterhinist eine Geschichtsabhängigkeit des Materialverhaltens durch die Berücksichtigungvergangener Zustände (nachlassende Erinnerung) nicht vorgesehen, d.h. einzig deraktuelle DeformationsgradientF wird berücksichtigt.Die Hyperelastizitätbedeutet, dass eine hinreichend glatteFormänderungsenergie-funktionW D OW.F/ existiert. Aus diesem Potential können der Spannungstensorund der Werkstofftensor durch Ableitungen nach geeignetenVerzerrungsmaßen her-geleitet werden. Durch Wahl materieller (bezogen auf den unverformten Körper�)oder räumlicher (bezogen auf den deformierten Körper®.�/) Spannungs- und Ver-zerrungstensoren entstehen unterschiedlich, aber äquivalente Materialgleichungen.
Hyperelastizität kleiner Deformationen. Im ersten Schritt wird diegeometrischeLinearisierung, das ist die Beschränkung auf kleine Deformationen, vorgenommen.Somit gilt die eingeführte lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen und denVerzerrungen. Es ist zu beachten, dass hiermit weiterhin (physikalisch) nichtlineareBeziehungen zwischen den Spannungen und den Verzerrungen möglich sind.Für dieses Modellproblem folgt die Formänderungsenergiefunktion zu
W D OW.O©.u// : (2.147)
Für einen gegebenen (linearen) Deformationszustand folgtder lineare Spannungs-tensor O¢ durch eine partielle Ableitung nach den linearen Verzerrungen, d.h.
O¢.O©/ D @W
@O© : (2.148)
Der MaterialtensorC wird durch eine partielle Ableitung der linearen Spannungennach dem linearen Verzerrungstensor gebildet, d.h.
OC.O©/ D @ O¢@O© D @2W
@O©@O© : (2.149)
Der Materialtensor ist im Allgemeinen noch eine nichtlineare Funktion der linearenVerzerrungen und damit nicht konstant.
Physikalisch lineare Hyperelastizität kleiner Deformationen. In einem zweitenSchritt wird diephysikalische Linearisierungdurchgeführt, bei der die nichtlinea-re Beziehung (2.148) zwischen Spannungen und Verzerrungen durch einen linea-ren Zusammenhang ersetzt wird. Anschaulich entspricht dieses der Annäherung desnichtlinearen Verhaltens durch die Tangente im Ursprung, siehe die nachfolgendeDarstellung für eine eindimensionale Veranschaulichung.Das Werkstoffverhalten der (geometrisch und physikalisch) linearen Elastizität, dasist diephysikalisch lineare Hyperelastizität kleiner Deformationen, kann in der Form
O¢ D E W O© (2.150)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 43
beschrieben werden. Der zugehörigeElastizitätstensorE entspricht dabei dem Ma-terialtensor der Gleichung (2.149) für O© D 0, also
E WD C.0/ D @2W
@O©@O©
ˇˇˇˇ
O©D0
: (2.151)
Ebenso läßt sich die nunmehr die in den linearen Verzerrungen O© quadratische For-mänderungsenergiefunktionW durch
W D 1
2O© W O¢ D 1
2O© W E W O© (2.152)
ausdrücken. Diese Tensorbeziehungen bildet den Ausgangspunkt für alle weiterenBetrachtungen der linearen Elastizitätstheorie.
2.4.3 Die lineare Elastizität in Matrizenschreibweise
Die bisherigen Überlegungen zur Materialtheorie führen zur Tensordarstellung einesallgemeinen linear-elastischen Materialverhaltens in der Form
W D 1
2O© W O¢ D 1
2O© W E W O©
O¢ D @W
@O© D E W O©
E D @2W
@O© @O©
(2.153)
2.4.3.1 Eigenschaften der allgemeinen linearen Elastizität
Die Tensorbeziehungen können nach Auswertung für eine kartesische Basis in derIndexschreibweise
W D 1
2�ij "ij D 1
2"ij Eijkl "kl
�ij D @W
@"ij
D Eijkl "kl
Eijkl D @2W
@"ij @"kl
(2.154)
angegeben werden. Das linear-elastische Materialgesetz ist in dieser allgemeinenForm durch die Angabe der insgesamt34 D 81 MaterialkonstantenEijkl bestimmt.Eine Reduktion dieser81 Koeffizienten ist in den folgenden drei Schritten bereitsdurch die obigen Annahmen festgelegt.
� Symmetrie des Spannungstensors.Auf Grund der Symmetrie des Spannungs-tensorsO¢ D O¢T , d.h.�ij D �j i , sind die ersten beiden Indizes der Elastizi-tätskoeffizienten vertauschbar, d.h. es giltEijkl D Ej ikl . Damit sind nur noch6 � 9 D 54 Koeffizienten wesentlich.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
44 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
� Symmetrie des Verzerrungstensors.Auf Grund der Symmetrie des Verzer-rungstensorsO© D O©T , d.h. "kl D "lk, sind die letzten beiden Indizes derElastizitätskoeffizienten vertauschbar, d.h. es giltEijkl D Eijlk . Damit sindnur von6 � 6 D 36 Koeffizienten wesentlich.
� Potentialcharakter der Formänderungsenergie.Die KoeffizientenEijkl er-geben sich aus der zweifachen partiellen Ableitung der Formänderungsenergienach den Verzerrungskoeffizienten. Nach demSatz über die Vertauschbarkeitpartieller Ableitungen, auchSatz von Schwarz18 genannt, gilt
Eijkl D @�ij
@"kl
D @2W
@"ij @"kl
D @2W
@"kl @"ij
D @�kl
@"ij
D Eklij : (2.155)
Damit sind die beiden Indexpaare.ij / und.kl/ vertauschbar und es verbleibenvon den insgesamt81 Koeffizienten nur21 wesentliche Koeffizienten.
Zusammenfassend erhält man die Beziehungen
Eijkl D Ej ikl D Eijlk D Ej ilk D Eklij D Elkij D Eklj i D Elkj i (2.156)
und das allgemeine linear-elastische Materialverhalten ist durch21 Koeffizienteneindeutig bestimmt.Eine weitere Einschränkung ergibt sich aus der Forderung der positiven Definitheitdes Elastizitätstensors, d.h durchW > 0 für alle VerzerrungenO© ¤ 0.
2.4.3.2 Das allgemeine Elastizität in Matrizenschreibweise
Die Spaltenmatrix� der Spannungen und die Spaltenmatrix" der Verzerrungen
� D
2
6666664
�11
�22
�33
�12
�23
�13
3
7777775
bzw. " D
2
6666664
"11
"22
"33
2"12
2"23
2"13
3
7777775
wurden in vorigen Kapiteln definiert. Hierbei wurde bereitsdie Symmetrie des Span-nungsmatrixO� D O� T und des VerzerrungsmatrixO" D O"T ausgenutzt, indem in denentsprechenden Spaltenmatrizen nur die jeweils 6 unterschiedlichen Koeffizientenaufgenommen wurden. Bei der Definition der Spaltenmatrix" der Verzerrungen tre-ten die doppelten Schubverzerrungen, d.h. die Ingenieurgleitungen, auf.
Das allgemeine linear-elastische Werkstoffgesetz soll nun in Matrizenschreibweisein der Form
� D E " (2.157)
18Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), deutscher Mathematiker.
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2.4 Konstitutive Gleichungen 45
mit derElastizitätsmatrixE gemäß
E D
2
6666664
E11 E12 E13 E14 E15 E16
E21 E22 E23 E24 E25 E26
E31 E32 E33 E34 E35 E36
E41 E42 E43 E44 E45 E46
E51 E52 E53 E54 E55 E56
E61 E62 E63 E64 E65 E66
3
7777775
(2.158)
dargestellt. Die ElastizitätsmatrixmatE besitzt auf Grund der Wahl der Spannungs-und Verzerrungsmatrizen6 � 6 D 36 unterschiedliche Konstanten. Der Elastizi-tätstensorE ist symmetrisch und daher auch die zugehörige Elastizitätsmatrix, d.h.E D ET bzw.Eij D Ej i .Die KoeffizientenEij D Ej i können aus der Beziehung�ij D Eijkl "kl unterAusnutzung aller Symmetrien die Elastizitätskoeffizienten hergeleitet werden. Es giltfür die Indexpaare.ij / 2 f.11/; .22/; .33/; .12/; .23/; .31/g der Elemente von�
�ij D Eij11 "11 C Eij 22 "22 C Eij 33 "33
C Eij12 2 "12 C Eij 23 2 "23 C Eij 31 2 "31
(2.159)
und somit folgt für die ElastizitätsmatrixE
E D
2
6666664
E1111 E1122 E1133 E1112 E1123 E1131
E2211 E2222 E2233 E2212 E2223 E2231
E3311 E3322 E3333 E3312 E3323 E3331
E1211 E1222 E1233 E1212 E1223 E1231
E2311 E2322 E2333 E2312 E2323 E2331
E3111 E3122 E3133 E3112 E3123 E3131
3
7777775
: (2.160)
Die KoeffizientenEij gemäß (2.158) können aus dem Vergleich mit der Darstellung(2.160) und somit aus den KoeffizientenEijkl bestimmt werden.
2.4.4 Das isotrope, linear-elastische Materialverhalten
2.4.4.1 Die Struktur isotroper, elastischer Materialgesetze
Die Forderung eines isotropen Materialverhaltens, das istdie Richtungsunabhängig-keit der Materialeigenschaften, führt zusammen mit der materiellen Objektivität, dasist die Unabhängigkeit der Materialgesetze von beliebigenDrehungen des Beobach-ters oder des beschreibenden Koordinatensystems, zu einerm vollständigen Verlustvon Richtungsinformationen in den konstitutiven Beziehungen. Für die bestimmen-de FormänderungsenergiefunktionW hyperelastischer Materialien bedeutet dieses,dassW D OW.I1; I2; I3/ nur noch von den Invarianten.I1; I2; I3/ der betreffendenVerzerrungstensoren abhängt. Im Rahmen einer allgemeinennichtlinearen Theoriewerden die Invarianten desRechts Cauchy-Green VerzerrungstensorsC betrachtet,siehe hierzu Abschnitt2.2.6.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
46 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Im Rahmen kleiner Deformationen ergibt sich die weiterhin physikalisch nichtlinea-re Abhängigkeit von den Invarianten des linearen VerzerrungstensorsO© gemäß Glei-chung (2.94). Eine abschließende Vereinfachung auf eine lineare Abhängigkeit derFormänderungsenergiefunktionW von den Invarianten führt auf das zentrale Mate-rialmodel der linearen Elastizitätstheorie.
2.4.5 Das Hookesche Werkstoffgesetz
Das einfachste Materialgesetz ist dasHookesche Gesetz19. Dieses Materialmodellbeschreibt ein linear elastisches Material, welches temperaturunabhängig, homogenund isotrop ist.
2.4.5.1 Absolute Tensorschreibweise.
Die Formänderungsenergiefunktion
W D OW.O©.u// D � sp O©2 C �
2.spO©/2 (2.161)
führt auf die konstitutive Gleichung der linearen Elastizitätstheorie, das HookescheWerkstoffgesetz
O¢ D @W
@O© D 2�O© C �.spO©/ I (2.162)
und den Elastizitätstensor
E D @ O¢@O© D @2W
@O©@O© D 2� I C � I ˝ I : (2.163)
Hierbei bezeichnen� und� die Lamé Konstanten,
� D E
2.1C �/; � D E�
.1C �/.1� 2�/(2.164)
undI den vierstufigen Einheitstensor.
2.4.5.2 Indexschreibweise für kartesische Koordinaten.
Die Auswertung der obigen Beziehungen für kartesische Koordinatensysteme führtzu den Beziehungen
W D �"ij "ij C 1
2� ."kk/
2
�ij D 2� "ij C � "kk ıij
Eijkl D � ıij ıkl C � .ıik ıjl C ıi l ıjk/ :
(2.165)
19 Robert Hooke (1635-1703), englischer Physiker, Mathematiker und Erfinder.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 47
2.4.5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise
Vollständig ausgeschrieben folgt aus GL. (2.163)
E D E
.1C �/.1 � 2�/
2
6666664
1 � � � � 0 0 0
� 1 � � � 0 0 0
� � 1 � � 0 0 0
0 0 0 1�2�2
0 0
0 0 0 0 1�2�2
0
0 0 0 0 0 1�2�2
3
7777775
: (2.166)
Damit kann das Hookesche Werkstoffgesetz für den allgemeinen, dreidimensionalenFall in der Form
2
6666664
�11
�22
�33
�12
�23
�13
3
7777775
D E
.1C�/.1�2�/
2
6666664
1�� � � 0 0 0
� 1�� � 0 0 0
� � 1�� 0 0 0
0 0 0 1�2�2
0 0
0 0 0 0 1�2�2
0
0 0 0 0 0 1�2�2
3
7777775
2
6666664
"11
"22
"33
2"12
2"23
2"13
3
7777775
(2.167)
angegeben werden.Ausgehend von einem zweidimensionalem Verschiebungszustand, können aus dieserForm des Hookeschen Werkstoffgesetzes die Sonderfälle desebenen Verzerrungszu-standes und des ebenen Spannungszustandes hergeleitet werden.
2.4.5.4 Der ebene Spannungszustand (ESZ)
Der ebene Spannungzustand wird dadurch charakterisiert, dass die Spannungskom-ponenten in der dritten Richtung verschwinden, d.h. es gilt
�13 D �23 D �33 D 0: (2.168)
Hieraus ergeben sich für den ebenen Spannungszustand reduzierte Spannungs- undVerzerrungsmatrizen
� ESZ D Œ�11; �22; �12�T und "ESZ D Œ"11; "22; 2"12�
T : (2.169)
Für die Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen folgt
� ESZ D EESZ"ESZ (2.170)
mit der Elastizitätsmatrix
EESZ D E
1 � �2
2
4
1 � 0
� 1 0
0 0 1��2
3
5 : (2.171)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
48 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Weiterhin gilt für die Verzerrungen
"13 D "23 D 0 (2.172)
und"33 D � �
1 � �."11 C "22/ (2.173)
Beim ebenen Spannungszustand sind die Verzerrungen"11, "22 und "33 also nichtmehr voneinander unabhängig.
2.4.5.5 Der ebene Verzerrungszustand (EVZ)
Beim ebenen Verzerrungszustand wird vorausgesetzt, dass die Verzerrungskompo-nenten in der dritten Richtung verschwinden, d.h. es gilt
"13 D "23 D "33 D 0 (2.174)
Dies führt zu reduzierten Spannungs- und Verzerrungsmatrizen für den ebenen Ver-zerrungszustand
� EVZ D Œ�11; �22; �12�T und "EVZ D Œ"11; "22; 2"12�
T (2.175)
Für die Beziehungen zwischen den Spannungen und den Verzerrungen folgt
� EVZ D EEVZ"EVZ (2.176)
mit der Elastizitätsmatrix
EEVZ D E
.1C �/.1� 2�/
2
4
1 � � � 0
� 1 � � 0
0 0 1�2�2
3
5 : (2.177)
Weiterhin gilt für die Spannungen
�13 D �23 D 0 (2.178)
und�33 D �.�11 C �22/ (2.179)
Das bedeutet, dass die Spannungen�11, �22 und�33 im ebenen Verzerrungszustandvon einander abhängig sind.
2.4.6 Bestimmung der Lamé-Parameter� und �
Aus der Gleichung (2.163) erkennt man, daß die Komponenten des Elastizitätsten-sors für das Hookesche Werkstoffgesetz aus zwei unabhängigen Werkstoffkonstan-ten, den Lamé-Parametern� und�, gebildet werden.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 49
Jedes mathematische Modell für reales Materialverhalten,und das Hookesche Werk-stoffgesetz ist ein sehr einfaches Modell, muß mit den im Experiment beobachtetenPhänomenen in Übereinstimmung gebracht wurden.Aus diesem Grunde soll nun an dieser Stelle dargestellt werden, wie sich die Lamé-Parameter� und� aus Versuchen bestimmen lassen. Dabei ist zu beachten, daß dieMaterialparameter nur für kleine Verschiebungen und kleine Verzerrungen theore-tische und physikalische Bedeutung besitzen. Aus dem Vergleich von Versuch undmathematischem Modell erhalten wir die Verknüpfung zwischen den Meßgrößen
� E Elastizitätsmodul (Young’s modulus) und
� � Querkontraktionszahl (Poisson’s ratio)
sowie den Lamé-Parametern� und� .
2.4.6.1 Experimente zur Bestimmung der Parameter
Hierzu betrachten wir drei Experimente, siehe auchCiarlet [5], bei denen wir dieVerschiebungu D ui Ei und damit die Verzerrung– D "ij Ei ˝Ej vorgeben und mitden Spannungen¢ D �ij Ei ˝Ej durch das Werkstoffgesetz�ij D �"kkıij C2�"ij
verknüpfen.
Versuch 1: Einfache Scherung.Wir betrachten einen rechteckigen Block, der durch eine Schubspannung�˛
12 D˛�12, wie in Abbildung2.9 dargestellt, deformiert wird. Wie bereits betont sindsämtliche Versuche nur für kleinebedeutsam, insbesondere tritt in den folgendenAusführungen stets ein Fehler der Größenordnungo.˛/ auf, den wir jedoch nichtdarstellen werden. Die restlichen Spannungskomponenten,die bei der beschriebe-nen Deformation auftreten, sind nicht dargestellt.
Abbildung 2.9: Versuch 1: Einfache Scherung eines rechteckigen Blockes
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
50 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Unsere Beobachtung zeigt, daß sich infolge der aufgebrachten Schubspannung�˛12 D
˛�12 > 0 für kleine Werte von > 0 der Verschiebungszustand
u˛ D ˛
0
@
x2
0
0
1
A
einstellt. Hieraus ergeben sich die Verzerrungskomponenten
"ij D�
1 für i D 1; j D 2
0 sonst:
Werten wir das Werkstoffgesetz für die Schubspannung�˛12 aus, so folgt
�˛12 D ˛ � � > 0; (2.180)
d. h. wir erhalten die Ungleichung
� > 0 (2.181)
als erste Bedingungsgleichung für die Lamé-Parameter.
Versuch 2: Konstanter Druck auf einer Kugel.Im zweiten Experiment betrachten wir eine Kugel, die durch den konstanten Druck˛ � p > 0 für kleine Werte > 0 belastet wird.
Abbildung 2.10: Versuch 2: Konstanter Druck auf eine Kugel
Die Spannungskomponenten�˛ij ergeben sich bezüglich des gewählten kartesischen
Koordinatensystems somit zu
�˛ij D
�
�˛ � p für i D j
0 sonst;
d. h. es gilt�˛ij D �˛pıij .
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 51
Im Experiment beobachten wir, daß die Kugel bei einem elastisch isotropen Werk-stoff gleichmäßig auf eine Kugel mit kleinerem Durchmesserzusammengedrücktwird, d. h. es stellt sich der Verschiebungszustand
u˛ D �˛
0
@
x1
x2
x3
1
A
ein. Damit ergeben sich die Verzerrungskomponenten"ij zu
"ij D�
�˛ für i D j
0 sonst;
d. h."ij D �˛ıij
Setzen wir die Spannungen und Verzerrungen in das Werkstoffgesetz ein, so erhaltenwir
� ˛pıij D �˛.3�C 2�/ıij ; (2.182)
und mitp > 0 gilt
3�C 2� > 0: (2.183)
Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes.In diesem Versuch betrachten wir einen kreisförmigen Stab,der durch eine Normal-spannung E in Stablängsrichtung beansprucht wird, d. h. der Beanspruchungszu-stand lautet
�˛ij D
�
˛E für i D j D 1
0 sonst.
Abbildung 2.11: Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes
Im Experiment beobachten wir eine Verlängerung des Stabes sowie eine gleichmäßi-ge Verminderung der Querschnittsfläche. Der Verschiebungszustand ergibt sich für
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
52 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
kleine Werte von > 0 zu
u˛ D ˛
0
@
x1
��x2
��x3
1
A :
Damit ergeben sich die Verzerrungskomponenten zu
"ij D
8
<
:
��˛ für i; j D 2 oderi; j D 3
˛ für i; j D 1
0 sonst.
Setzen wir die Spannungen und Verzerrungen in das HookescheWerkstoffgesetz ein,so erhalten wir
�˛ij D ˛.�.1 � 2�/ � 2��/ D 0 für i; j D 2 oderi; j D 3 (2.184)
�˛ij D 0 für i ¤ j (2.185)
�˛ij D ˛.�.1 � 2�/C 2�/ D ˛E für i; j D 1 (2.186)
Damit erhalten wir aus (2.184) die Beziehung
�.1� 2�/� 2�� D 0
und daraus, da�C � > 0 nach (2.181) und (2.183),
� D �
2.�C �/: (2.187)
Mit der natürlichen Annahme� > 0 folgt sofort
� > 0: (2.188)
Mit der Bezeichnung (2.187) erhalten wir aus der Gleichung (2.186) für die Span-nungskomponente�11
�˛11 D ˛ �E D ˛
�
�
�
1 � 2�
2.�C �/
�
C 2�
�
und damit die Beziehnug
E D �.3�C 2�/
�C �: (2.189)
2.4.6.2 Interpretation der Ergebnisse
Aus den Experimenten lassen sich anschauliche Deutungen für die aus den Lamé-Parametern hergeleiteten Konstanten gewinnen.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 53
1. Die Konstante� nach (2.187), d. h.
� D �
2.�C �/
mißt im dritten Versuch für kleine Verzerrungen das Verhältnis zwischen derrelativen Abnahme des Querschnittsdurchmessers zu der relativen Verlänge-rung des Stabes, d. h. es gilt
� Ddı � d
d�l � lılı
� :
Die Konstante� wird daher alsQuerkontraktionszahloder in der englischspra-chigen Literatur alsPoisson’ s ratiobezeichnet.
2. Die KonstanteE des dritten Versuches mißt für kleine Verzerrungen das Ver-hältnis der Zugspannung�˛
11 zu der relativen Längenänderung
˛ D l � lılı
:
des Stabes und ist damit ein Maß für dieElastizitätdes Materials. Daher wirdE mit
E D �.3�C 2�/
�C �
alsElastizitätsmoduloder alsYoung’s modulusbezeichnet.
3. Im ersten Versuch wird durch den Lamé-Parameter� die Schubspannung�˛12
mit der Winkeländerung D tan' nach Gleichung (2.180) verknüpft, d. h. esgilt
� D �˛12
˛:
Aus dieser Beobachtung führen wir mit
G WD �
denSchubmodulein.
4. Betrachten wir das zweite Experiment, so wird der Wert3�C 2� in (2.182) inBeziehung zur Druckbelastungp der Kugel gesetzt und stellt damit ein Maßfür die allseitige, gleichmäßige Kompressionsfähigkeit des Materials dar. Ausdiesem Grund wird die Kenngröße
K WD 1
3.3�C 2�/
eingeführt und alsKompressionsmoduloderbulk modulusbenannt.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
54 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie
Damit haben wir die Beziehungen zwischen den Lamé-Parameter � und� und denanschaulich zu interpretierenden Materialparametern:
� Elastizitätsmodul E D �.3�C 2�/
�C �
� Schubmodul G D �
� Querkontraktionszahl � D �
2.�C �/
� Kompressionsmodul K D 1
3.3�C 2�/
hergeleitet.Mit diesen Bezeichnungen kann das Hookesche Werkstoffgesetz und dessen inverseBeziehung z. B. für die Koeffizienten bzgl. des kartesischenKoordinatensystems inder Form
�ij D E�
.1C �/.1� 2�/"kkıij C E
2.1C �/"ij (2.190)
D 2G�
1 � 2�"kkıij C 2G"ij (2.191)
für das Hookesche Werkstoffgesetz, sowie als
"ij D 1C �
E�ij � �
E�kkıij (2.192)
für die inverse Beziehung, dargestellt werden.
2.4.6.3 Zusammenstellung der Materialparameter
Das Hookesche Gesetz ist eindeutig über zwei Materialparameter, den Lamé Para-metern� und�, definiert. Es gibt noch 4 weitere, sinnvolle und anschaulich interpre-tierbare Materialparameter, wie E-ModulE, SchubmodulG, KompressionsmodulKund Querkontraktionszahl�.Die Beziehungen zwischen den Materialparametern sind in Tabelle2.4.6.3angege-ben.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
2.4 Konstitutive Gleichungen 55
Tabelle 2.1: Beziehungen zwischen den Materialparametern� � � G E � K
�;� � � �.3�C2�/�C�
�2.�C�/
�C 23�
�;E � E�3�Cr?
4E 2�
EC�Cr?
EC3�Cr?
6
�; � � �.1�2�/2�
�.1C�/.1�2�/�
� �.1C�/3�
�;K � 32.K � �/ 9K.K��/
3K���
3K��K
�;E �.E�2�/3��E
� E E�2�2�
�E3.3��E/
�; � 2��1�2�
� 2�.1C �/ � 2�.1C�/3.1�2�/
�;K K � 23� � 9K�
3KC�3K�2�6KC2�
K
E; � E�.1C�/.1�2�/
E2.1C�/
E � E3.1�2�/
E;K 3K.3K�E/9K�E
3KE9K�E
E 3K�E6K
K
�;K 3K�1C�
3K.1�2�/2.1C�/
3K.1� 2�/ � K
r? bedeutet hierpE2 C 9�2 C 2E�
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
3 Die Randwertprobleme derlinearen Elastizitätstheorie
Die Feldprobleme der mathematischen Physik und somit auch der Mechanik füh-ren in ihrer mathematischen Formulierung zuRandwertprobleme(RWP) (oder auchRandwertaufgabenRWA) sowie für zeitabhängige Effekte zuAnfangswertprobleme(AWP) (oder auchAnfangswertaufgaben(AWA)). Im Rahmen der Elastostatik derFlächentragwerke treten keine Anfangswertprobleme auf und wir können auf eineDarstellung von Anfangswertaufgaben an dieser Stelle verzichten.
Ein Randwertproblem setzt sich zusammen aus einerDifferentialgleichung, welcheim betrachteten Gebiet� erfüllt werden muss und gegebenenRandbedingungen, dieauf dem Rand� D @� des Gebietes vorgegeben sind.
Gesucht ist somit eine hinreichend oft stetig differentierbare Funktion, welche das
Randwertproblem (RWP)W�
Differentialgleichung (DGL) im Gebiet�Randbedingungen (RB) auf dem Rand�
löst. Die Lösung wird alsklassische Lösungoder auch alsstarke Lösungbezeichnet.
Die Feldprobleme der Mechanik verbinden die geometischen Feldgrößen mit denphysikalischen Feldgrößen, das sind die Verschiebungen und Verzerrungen mit denSpannungsfunktionen und den Spannungen. Die beschriebenen Grundgleichungenkönnen daher einerseits zu Differentialgleichungen für die Verschiebungen führen;andererseits ergeben sich aber auch Differentailgleichungen in den pyhsikalischenGrößene der Spannungen und der Spannungsfunktionen.
Dieses Kapitel stellt die unterschiedlichen Randwertprobleme der linearen Elasti-zitätstheorie in Matrixnotation zusammen. Entsprechend der Vorgehensweise beiden Grundgleichungen werden zunächst allgemeingültige Darstellungen einer drei-dimensionalen Theorie angegeben, aus denen der Sonderfallder Scheibe abgeleitetwird.
58 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
3.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen
Zunächst werden die Randwertprobleme für die Verschiebungenu hergeleitet.
3.1.1 Navier-Lamésche Verschiebungsdifferentialgleichungen
Der Ausgangspunkt für das Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie ist dasfolgende System von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen, bestehend ausden kinematischen Beziehungen (2.55), dem Materialgesetz (2.150) und der lokalenGleichgewichtsbedingung (2.132):
O© D 1
2.ru C ruT / "ij D 1
2.ui ;j Cuj ;i /
O¢ D E W O© �ij D Eijkl "kl (3.1)
�div O� D b ��ij ;j D bi
Hierbei bezeichnetO� D Œ�ij � den symmetrischen Spannungstensor undO" D Œ"ij � denlinearen Verzerrungstensor. Weiterhin ergeben sich die kartesischen Koeffizientenfür ein Hookesches Gesetzes gemäß Gleichung (2.165) zu
Eijkl D � ıij ıkl C � .ıik ıjl C ıi l ıjk/ : (3.2)
3.1.1.1 Herleitung der Verschiebungsdifferentialgleichung
Durch konsequentes Einsetzen der Spannungen und Verzerrungen in die Gleichge-wichtsbedingung (3.1)3, erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung fürdie Verschiebungskomponentenui :
��ij ;j D ��j i ;j
D �2�"j i;j � �"kk;i
D �� .uj;i C ui;j /;j � � .uj;j /;i
D ��ui;jj � .�C �/ uj;j i
(3.3)
und somit gilt die Differentialgleichung
� �ui;jj � .�C �/ uj;j i D bi 8x 2 � : (3.4)
Mit dem DifferentialoperatorL, dem Laplace-Operator� sowie dem Nabla-Operatorr, jeweils angewendet auf Verschiebungu, kann diese Beziehung für die kartesi-schen Koeffizienten auch in der absoluten Schreibweise der Vektoranalysis
�Lu D �Œ ��u C .�C �/r divx u � D b (3.5)
dargestellt werden. Dies ist die Differentialgleichung der linearen Elastizitätstheorieund wird auch alsLamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichungbezeichnet.Das Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie lässt sich nun folgendermaßenformulieren.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen 59
Definition 3.1 (Randwertproblem). Finde einu 2 C 2, welches die Gleichung
� Lu D b 8x 2 � (3.6)
mit dem Differentialoperator
L D Œ ��u C .�C �/r divx u � (3.7)
und die zugehörigen Randbedingungen
u D Nu auf�D und t D � n D Nt auf�N
erfüllt.
3.1.1.2 Darstellung in Matrizenschreibweise
Zur Darstellung des Randwertproblems in Matrizenform verwenden wir die kinema-tische Beziehung (2.61), das Materialgesetz (2.157) und die lokale Gleichgewichts-bedingung (2.135) in Matrizenform, d.h.
" D Du
� D E" (3.8)
�DT � D b
Durch sukzessives Einsetzen von Kinematik und Materialgesetz in die Gleichge-wichtsbedingung folgt
DT � D DT E" D DT EDu (3.9)
Damit folgt die Lamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichung (3.5) in Ma-trizendarstellung in der Form
�Lu D �DT EDu D b : (3.10)
Der Differentialoperator ergibt sich in Matrizenschreibweise zu
L WD DT ED : (3.11)
3.1.1.3 Eigenschaften der Verschiebungsdifferentialgleichung
Die Lamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichung ist eine lineare Differenti-algleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.Auf Grund der Linearitätgilt dasSuperpositionsgesetz. Demnach kann die Strukturantwort für eine Lastfall-kombination aus der Kombination der Strukturantworten dereinzelnen Lastfälle zu-sammengesetzt werden. Für beliebige rechte Seitenb1;b2 gilt �LŒu1� D b1 und�LŒu2� D b2. Dann folgt mit den Lastfaktoren1; ˛2 und somit für die Lastfall-kombinationb D ˛1b1 C ˛2 b2 die Beziehung
�LŒu� D b D ˛1b1 C ˛2 b2 D ˛1.�LŒu1�/C ˛2.�LŒu1�/
D �LŒ˛1 u1 C ˛2 u2�(3.12)
und damit die Aussageu D ˛1 u1 C ˛2 u2 des Superpositionsgesetzes.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
60 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
3.1.2 Biharmonische Differentialgleichungen für dieVerschiebungen
Entfallen in den Lamé-Navierschen Verschiebungsdifferentialgleichungen (3.4) dieVolumenkräfte und die (hier nicht dargestellten) Beschleunigungsterme, so erhältman (nach dem Vertauschen der Indizesi; j )
.�C �/ ui;ij C � uj;i i D 0: (3.13)
Durch nochmalige Differentation nachXj und Summieren ergibt sich hieraus
.�C �/ ui;ijj C � uj;i ij D 0 :
Durch die Vertauschbarkeit der Reihenfolge der partiellenAbleitungen folgt dann
.�C �/ ui;ijj C �uj;j i i D 0:
Tauscht man nun noch die Summationsindizesi undj im zweiten Term aus (dies istmöglich, dai undj stumme Indizes sind), können beide Terme in der Form
.�C 2�/ ui;ijj D 0
zusammengefaßt werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
.ui;i /;jj D 0 (3.14)
ist. Mit der Einführung des Laplace-Operators läßt sich hierfür schreiben
� .ui;i / D 0: (3.15)
Eine weitere Umformung ist mit der Volumendilatation�e in der Form
� .ui;i / D � "i i D �e (3.16)
möglich. Durch zweimaliges Ableiten der Lamé-NavierschenVerschiebungsdiffe-rentialgleichung in der Form (3.13) nachXm und Summieren erhält man
.�C �/ ui;ijmm C � uj;i imm D 0:
Da die Reihenfolge der partiellen Differentationen vertauschbar ist, kann hierfür
.�C �/Œ.ui;i /;mm�;j C � uj;i imm D 0
geschrieben werden. Nun ist aber nach (3.14) der Ausdruck in der eckigen Klammergerade gleich Null, so daß man als Ergebnis schließlich diebiharmonischen Diffe-rentialgleichungen für die Verschiebungskomponentenerhält, d. h. fürj D 1; 2; 3
giltuj;i imm D 0; (3.17)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 61
oder mit Hilfe des Laplace-Operators ausgedrückt
� � uj D 0: (3.18)
In absoluter vektoranalytischer Schreibweise erhalten wir hierfür die Darstellung(siehe z. B.de Boer[3])
.DivX GradX .DivX GradX u// D 0: (3.19)
Hieraus lassen sich somit die Darstellungen bzgl. beliebiger Koordinatensystemeherleiten.
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen
Es werden die Randwertprobleme für die SpannungenO¢ beziehungsweise für dieSpannungsfunktionen hergeleitet.
3.2.1 Biharmonische Differentialgleichungen für die Spannungen
Ausgangspunkt der Betrachtung sind wiederum die geometrischen Beziehungen, diesich aus der Definition des linearisierten Greenschen Verzerrungstensors in der Form
"ik D 1
2.ui;k C uk;i /
ergeben. Die sechs Komponenten"ik des symmetrischen Verzerrungstensors wer-den aus den partiellen Ableitungen der drei Verschiebungskomponentenui gebildet.Für einen kontinuierlichen Verschiebungszustand können daher die sechs Verzer-rungskomponentennicht unabhängig voneinander sein. Es existieren deshalb drei so-genannteVerträglichkeitsbedingungenoder auchKompatibilitätsbedingungenzwi-schen den Verzerrungen. Diese sind bereits in Abschnitt2.2.9hergeleitet worden.Nach Gleichung (2.81) erhalten wir somit die Verträglichkeitsbedingungen
"i l;mk C "mk;li � "ik;lm � "lm;ik D 0:
In diese Verträglichkeitsbedingungen wird jetzt zur Herleitung der biharmonischenDifferentialgleichungen für die Spannungen das HookescheGesetz in der Form derGleichung (2.192)
"ik D 1C �
E�ik � �
Eıik�l l
eingesetzt. Dies ergibt
�i l;mk C �mk;li � �ik;lm � �lm;ik D�
1C �.ıi l�rr;mk C ımk�rr;li � ıik�rr;lm � ılm�rr;ki /:
(3.20)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
62 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
Durch Multiplikation beider Seiten mit dem Kronecker-Deltaımk ergibt sich
�i l;mm C �mm;li � �im;lm � �lm;mi D�
1C �.ıi l�rr;mm C 3�rr;li � �rr;li � �rr;li /:
Nach Einführung des Laplace-Operators� und nach Umbenennung der stummenIndizes läßt sich schreiben
��i l C �kk;li � �ik;lk � �lk;ki D �
1C �.ıi l��kk C �kk;li /: (3.21)
Die linearisierte statische Kräftegleichgewichtsbedingung lautet mit der Bedeutung(Normale, Richtung) der Indizes
�ki;k C ki D 0
und mit der Symmetrie des Spannungstensors, d. h. mit�ik D �ki , erhalten wirhieraus
�ik;k C ki D 0: (3.22)
Durch partielle Differentation dieser Bedingungen nachXl erhält man
�ik;kl D �ki;l ; (3.23)
und (3.21) läßt sich damit zu
��i l C 1
1C ��kk;li � �
1C �ıi l��kk D �.ki;l C kl;i / (3.24)
umformen. Nun werden die Ausgangsgleichungen (3.20) zweimal mit den Kronecker-Deltasıki undıml multipliziert. Das ergibt die Gleichungen
�i l;li C �li;li � �i i;l l � �l l;i i D �
1C �.�4�kk;i i /:
Nach Einführung des Laplace-Operators und nach Umbenennung der Summations-indizes kann man hierfür
2�i l;li � 2��kk D � 4�
1C ���kk
und weiterhin
�i l;li D 1 � �
1C ���kk (3.25)
schreiben. Mit den differenzierten Gleichgewichtsbedingungen (3.23) wird daraus
��kk D �1C �
1 � �ki;i (3.26)
oder bei fehlenden oder konstanten Volumenkräften
��kk D 0: (3.27)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 63
Setzt man (3.26) in (3.24) ein, so erhält man dieGleichungen von Michell
��i l C 1
1C ��kk;li D � �
1 � �ıi lkk;k � .ki;l C kl;i /; (3.28)
die zusammen mit den Randbedingungen für die Spannungen dieBerechnung derSpannungen gestatten.Für fehlende oder konstante Volumenkräfteki gehen die Gleichungen von Michellin dieGleichungen von Beltramiüber
��i l C 1
1C ��kk;li D 0: (3.29)
Die Darstellung der Beltrami-Gleichungen in absoluter vektoranalytischer Schreib-weise lautet
DivX GradX O¢ C 1
1C �.GradX GradX.tr O¢// D 0: (3.30)
Auf diese Gleichungen wendet man nochmals den Laplace-Operator� an
���i l C 1
1C �.��kk/;li D 0;
und erhält daraus mit (3.27) die biharmonischen Differentialgleichungen für dieSpannungskomponenten�i l bei fehlenden oder konstanten Volumenkräften
���i l D 0: (3.31)
In absoluter vektoranalytischer Schreibweise erhalten wir hierfür die Darstellung(siehe z. B.de Boer[3])
.DivX GradX .DivX GradX O¢// D 0: (3.32)
Hieraus lassen sich wie üblich die Darstellungen bzgl. beliebiger Koordinatensyste-me herleiten.
3.2.2 Die Differentialgleichung für die MaxwellschenSpannungsfunktionen
In der Herleitung der biharmonischen Differentialgleichung für die Spannungskom-ponenten ist mit Gleichung (3.22) die statische Gleichgewichtsbedingung benutztworden. Für den Fall verschwindender Volumenkräfte%R bR D 0 gilt damit
DivX O¢ D 0 (3.33)
bzw. in den Koeffizienten bzgl. der kartesischen Basis
�ij;i D 0 für i D 1; 2; 3: (3.34)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
64 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
Verwenden wir die Matrizenschreibweise, so erhalten wir weiterhin
DT � D 0: (3.35)
Um den Aufwand in der Berechnung nach Gleichung (3.31) reduzieren zu können,ist es sinnvoll, nur solche Lösungen�ij zur Konkurrenz zuzulassen, die à priori diehomogenen statischen Gleichgewichtsbedingungen (3.34) bzw. (3.35) erfüllen. Die-se Vorgehensweise, die von Maxwell eingeführt wurde, soll im weiteren dargestelltwerden. Zur Vereinfachung der Schreibarbeit und zur Verbesserung der Übersicht-lichkeit wählen wir hierzu die Matrizendarstellung.
3.2.2.1 Einführung der Spannungsfunktionen zur Erfüllungder homogenenGleichgewichtsbedingungen
Die Maxwellschen Spannungsfunktionen�i .x1; x2; x3/ für i D 1; 2; 3 sollen diehomogenen Gleichgewichtsbedingungen�ij;i D 0 oder DT � D 0 erfüllen. NachMaxwell definiert man:
�11 WD �2;33 C �3;22;
�22 WD �3;11 C �1;33;
�33 WD �1;22 C �2;11;
�12 WD ��3;12;
�23 WD ��1;23;
�31 WD ��2;31:
(3.36)
Mit der Schreibweise
@ik D @.�/@xi@xk
und der Definition der DifferentialoperatormatrixD� durch
D�.6;3/ WD
0
BBBBBB@
0 @33 @22
@33 0 @11
@22 @11 0
0 0 �@12
�@23 0 0
0 �@31 0
1
CCCCCCA
(3.37)
folgt aus (3.36)0
BBBBBB@
�11
�22
�33
�12
�23
�31
1
CCCCCCA
„ ƒ‚ …
�
D
0
BBBBBB@
0 @33 @22
@33 0 @11
@22 @11 0
0 0 �@12
�@23 0 0
0 �@31 0
1
CCCCCCA
„ ƒ‚ …
D�.6;3/
0
@
�1
�2
�3
1
A
„ ƒ‚ …
�
(3.38)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 65
und somit gilt in Matrizenschreibweise
� D D� �: (3.39)
Im Unterschied zur DifferentialoperatormatrixD nach (2.60) sind inD� zweite Ab-leitungen enthalten. Auch ist die Besetzung der DifferentialoperatormatrizenD undD� unterschiedlich, und zwar istD� gerade auf den Leerstellen vonD besetzt. Mitder Definition der Maxwellschen Spannungsfunktionen�i nach (3.36) werden diehomogenen statischen GleichgewichtsbedingungenDT � D 0 erfüllt; denn es gilt
DT D� D
0
@
0 @133 � @331 @122 � @212
@233 � @323 0 @211 � @112
@322 � @222 @311 � @313 0
1
A D 0.3;3/: (3.40)
3.2.2.2 Herleitung der Differentialgleichungen für die Spannungsfunktion
Nachdem mit Gleichung (3.36) die Maxwellschen Spannungsfunktionen bereitste-hen, sind die Verträglichkeitsbeziehungen für die Verzerrungen und das Elastizitäts-gesetz in den Spannungsfunktionen�i auszudrücken.Zuerst betrachten wir die Verträglichkeitsbedingungen (2.81) für die Verschiebun-gen. Die 6 Verzerrungen"ij D "j i müssen 3 Verträglichkeits- oder Integrabilitäts-bedingungen genügen, damit sich ein stetiges Verschiebungsfeldu D ui Ei aus denVerzerrungen integrieren läßt (siehe Abschnitt2.2.9). Aus der Beziehung" D D u
muß es durch Ableitungskombination gelingen, die Verschiebungen zu eliminieren.Wie aus (3.40) hervorgeht, ist dies aber gerade mit der MatrixD�T möglich undzwar ist
D�T" D D�T
D u D 0 u D 0;
d. h. es gilt
D�T" D 0: (3.41)
Dies sind die drei Verträglichkeitsbedingungen für die Verzerrungen.Mit der inversen Beziehung des Elastizitätsgesetzes
" D E�1� (3.42)
folgt durch Einsetzen von (3.41) in (3.42)
D�TE�1� D 0; (3.43)
und damit erhalten wir aus (3.39) die drei gesuchten Differentialgleichungen 4. Ord-nung
.D�TE�1D�/� D 0: (3.44)
Betrachten wir den durch (3.44) definierten OperatorL?
L? WD D�TE�1D�; (3.45)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
66 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
so stellen wir die Symmetrie vonL? fest, d. h.
L? D L?T
: (3.46)
Durch systematisches Probieren erkennt man den Zusammenhang
D� D B D (3.47)
zwischenD� undD, wobeiB in der Form
B WD
0
BBBBBB@
0 �@3 �@2 0 @2 C @3 0
�@3 0 �@1 0 0 @3 C @1
�@2 �@1 0 @1 C @2 0 0
0 0 0 12@3 � 1
2@1 � 1
2@2
0 0 0 � 12@3
12@1 � 1
2@2
0 0 0 � 12@3 � 1
2@1
12@2
1
CCCCCCA
: (3.48)
gegeben ist. Damit läßt sich (3.44) wie folgt darstellen
.DT BT E�1B D/ � D 0: (3.49)
3.2.2.3 Die Maxwellsche Spannungsfunktion der Scheibe
Betrachten wir die beim ebenen Spannungszustand der Scheibe auftretenden Span-nungen, so gilt
�23 D �13 D �33 D 0:
Mit der Definition (3.36) der Maxwellschen Spannungsfunktionenerhalten wir somit
�1 D 0; �2 D 0 und �3 D �:
Die verbleibende Spannungsfunktion�3 D � wird in diesem Fall alsAirysche Span-nungsfunktionF bezeichnet und es gilt
�11 D �;22; �22 D �;11 und �12 D ��;12:
Damit sind die homogenen Gleichgewichtsbedingungen�˛�;˛ D 0 mit ˛; � D 1; 2
erfüllt. In Matrizenschreibweise erhalten wir
0
@
�11
�22
�12
1
A
„ ƒ‚ …
� ESZ
D
0
@
@22
@11
�@12
1
A
„ ƒ‚ …
D�ESZ
�; (3.50)
und damit die Darstellung
� ESZ D D�ESZ�: (3.51)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 67
Die Verträglichkeitsbedingungen für die Verzerrungen sind in (3.41) mittels der Ope-ratormatrixD� dargestellt worden und für den ebenen Verzerrungszustand folgt dar-aus
"11;22 C "22;11 � 2"12;12 D 0: (3.52)
In Matrizenschreibweise lautet dies
�
@22 @11 �@12
�
„ ƒ‚ …
D�ESZ
T
2
4
"11
"22
2"12
3
5
„ ƒ‚ …
"ESZ
D 0 (3.53)
und wir erhalten analog zu (3.50) die Darstellung
D�ESZ
T"ESZ D 0 (3.54)
für den ebenen Spannungszustand. Mit dem inversen Elastizitätsgesetz für den ebe-nen Spannungszustand und der Definition der Maxwellschen Spannungsfunktion(3.36) ergibt sich
.D�ESZ
TD�1
ESZD�ESZ/� D 0: (3.55)
Schreiben wir diese Beziehung ausführlich, so folgt
.D�ESZ
TD�1
ESZD�ESZ/� D
�
@22 @11 �@12
� 1
E
2
4
1 �� 0
�� 1 0
0 0 2.1C �/
3
5
2
4
@22
@11
�@12
3
5 � D
1
E
�
@22 @11 �@12
�
2
4
@22 � �@11
@11 � �@22
�2.1C �/@12
3
5 � D
1
Ef@22.@22 � �@11/C @11.@11 � �@22/C 2.1C �/@12@12/g � D 0:
Nach Auswertung der partiellen Ableitungen und unter Beachtung ihrer Vertausch-barkeit folgt
.D�ESZ
TD�1
ESZD�ESZ/� D 1
Ef@1111 C 2@1212 C @2222g � D 0: (3.56)
Mit dem Laplace-Operator für zweidimensionale Problem in der Form� D @11 C@22 folgt daraus
��� D 0; (3.57)
d. h. es ergibt sich für den ebenen Spannungszustand eine homogene Bipotentialglei-chung für die Airysche Spannungsfunktion�.
Bemerkung 3.1(Eigenschaften der Airyschen Spannungsfunktion).
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
68 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
1. Die Airysche Spannungsfunktion� wird in den Lehrbüchern der Statik auchmit F bezeichnet, d. h. es gilt mit (3.57)
��F D 0:
2. Die Airysche Spannungsfunktion ist unabhängig von den Stoffkonstanten desbetrachteten elastischen Werkstoffes. Das Materialverhalten und somit die Ab-hängigkeit der Verschiebungu von den Stoffkonstanten wird erst durch dieErfüllung der Randbedingungen berücksichtigt.
3. Die Scheibentheorie wird in Abschnitt3.2.3ohne Rückgriff auf die allgemein-gültige Darstellung der Gleichung (3.49) in der üblichen Ingenieurnotationhergeleitet.
3.2.3 Die direkte Herleitung der Scheibentheorie
In den Abschnitten dieses Kapitels soll zur Vereinfachung der Darstellung auf eineweithin gebräuchliche Bezeichnungsweise übergegangen werden:
� Die materiellen KoordinatenX1; X2 undX3 werden durchx; y undz ersetzt;
� Die Spannungen�ik werden dargestellt durch:
�11 D �x ; �22 D �y ; �33 D �z
�12 D �xy ; �23 D �yz ; �31 D �zx; (3.58)
� Anstelle des linearisierten Greenschen Verzerrungstensors mit den Koeffizien-ten "ik werden die Ingenieurdehnmaße und die Ingenieurgleitungenverwen-det:
"11 D "x ; "22 D "y ; "33 D "z ;
2"12 D xy ; 2"23 D yz ; 2"31 D zx:(3.59)
� Die Kräftegleichgewichtsbedingungen inx� bzw.y�Richtung für verschwin-dene Volumenkräfte lauten damit:
@�x
@xC @�xy
@yD 0; (3.60)
@�xy
@xC @�y
@yD 0: (3.61)
Nun wird dieAirysche SpannungsfunktionF so eingeführt, daß die aus ihr abge-leiteten Spannungen die homogenen Gleichgewichtsbedingungen (3.60) und (3.61)identisch erfüllen, d. h.F genügt den Bedingungen
�x D @2F
@y2; �y D @2F
@x2und �xy D � @2F
@x@y: (3.62)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 69
In diesem Fall entspricht die Airysche SpannungsfunktionF der FunktionF0
fürden ebenen Spannungszustand Für das verallgemeinerte Hookesche Gesetz gilt
"x D 1
E.�x � ��y/; (3.63)
"y D 1
E.�y � ��x/; (3.64)
xy D 1
G�xy D 2.1C �/
E�xy : (3.65)
Die Ingenieurdehnmaße ergeben sich aus den partiellen Ableitungen der Verschie-bungskomponenten
"x D @ux
@x; "y D @uy
@yund xy D @ux
@yC @uy
@x: (3.66)
Außerdem müssen die so definierten Dehnmaße die Kompatibilitätsbedingungen(2.82)
@2"x
@y2C @2"y
@x2� @ xy
@x@yD 0 (3.67)
erfüllen. Durch Einsetzen der Beziehungen (3.62) für die Spannungen in das Elasti-zitätsgesetz erhält man
"x D 1
E
�@2F
@y2� � @
2F
@x2
�
; (3.68)
"y D 1
E
�@2F
@x2� � @
2F
@y2
�
; (3.69)
xy D �2.1C �/
E
@2F
@x@y: (3.70)
Setzt man diese Beziehungen in die Kompatibilitätsbedingungen (3.67) ein, so erhältman die Gleichung
1
E
�@4F
@y4� �
@4F
@x2@y2C @4F
@x4� �
@4F
@x2@y2C 2.1C �/
@4F
@x2@y2
�
D 0 (3.71)
für die Airysche Spannungsfunktion. Die Terme mit dem Faktor � heben sich heraus,und man erhält die bekannteDifferentialgleichung für die Scheibe
@4F
@x4C 2
@4F
@x2@y2C @4F
@y4D
�@2
@x2C @2
@y2
� �@2F
@x2C @2F
@y2
�
D 0; (3.72)
d. h.�� F D 0: (3.73)
Die Scheibengleichung ist also eine harmonische Bipotentialgleichung. Das bedeu-tet, daß die Belastungen über die Randbedingungen eingearbeitet werden müssen.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
70 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie
Bemerkenswert ist, daß die Scheibengleichung keine Werkstoffkonstanten enthält.Dadurch werden auch die Lösungen stoffunabhängig, wenn an den Rändern nurKräfterandbedingungen gegeben sind, die unmittelbar mit der Spannungsfunktionverknüpfbar sind. Demgegenüber ergibt sich bei Verschiebungsrandbedingungen ei-ne Abhängigkeit vom Werkstoff. Im Falle mehrfach zusammenhängender Bereicheergeben sich Schwierigkeiten bei der Integration der Verschiebungen. Dann ist esempfehlenswert, von den Differentialgleichungen für die Verschiebungen auszuge-hen.Es sei noch darauf hingewiesen, daß der Laplace-Operator� koordinateninvariantist. Daher ist ein Übergang z. B. zu Polarkoordinaten durch eine einfache Koordina-tentransformation möglich. Man erhält dann
� D @2
@x2C @2
@y2D @2
@r2C 1
r
@
@rC 1
r2
@2
@'2: (3.74)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4 Ausgewählte analytische Lösungender linearen Elastizitätstheorie
Die Aufgaben der Elastizitätstheorie sind meist so kompliziert, daß man im allge-meinen keine geschlossenen Lösungen angeben kann. Es sind daher auch nur wenigeklassische Lösungen für die Lamé-Navierschen Verschiebungsdifferentialgleichun-gen bekannt, z. B.
� die Torsion nicht wölbbehinderter prismatischer Stäbe nach St. Venant,
� die elastische Halbebene (siehe Abschnitt4.2)
� der elastische Halbraum (siehe Abschnitt4.3),
� die dicke Kugel,
� der dickwandige Zylinder und
� die unendlich ausgedehnte Scheibe mit Loch (siehe Abschnitt 4.4).
72 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
4.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen
In Kapitel3 traten in den Grundgleichungen wiederholt Bipotentialgleichungen auf,zu denen wir an dieser Stelle für ausgewählte Formulierungen einige Lösungsfunk-tionen angeben wollen.
4.1.1 Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinatenfür achsensymmetrische Probleme
Die biharmonische Differentialgleichung für eine Verschiebungskomponenteui nach(3.18), eine Spannungskomponente�i l nach (3.31) bzw. eine Spannungsfunktion�nach (3.57)
��ui D 0; ���i l D 0 und ��� D 0; (4.1)
mit dem Laplace-Operator� in Zylinderkoordinaten.r; '; z/
� D @2
@z2C @2
r2C 1
r
@
@r(4.2)
hat unter anderem folgende Lösungen, dieBipotentialfunktionengenannt werden:
r; r2
z; z2; z3; z ln z
R I R Dp
z2 C r2
1
R; ln
RC z
R � z ; z ln.z CR/:
Alle Linearkombinationen mit beliebigen Konstanten sind wegen der Linearität derDifferentialgleichung ebenfalls Lösungen.
Die Verschiebungen inr- undz-Richtung ergeben sich zu
u D � 1
1 � 2�@2�
@r@z; (4.3)
w D 2.1� �/1 � 2�
�� � 1
1 � 2�
@2�
@z2: (4.4)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen 73
Die Normalspannungen lauten
� radial
�r D 2G�
1 � 2�@
@z
�
�� � 1
�
@2�
@r2
�
; (4.5)
� axial
�z D 2.2� �/G
1 � 2�@
@z
�
�� � 2
��@2�
@z2
�
; (4.6)
� tangential
�' D �t D 2G�
1 � 2�
@
@r
�
�� � 1
�
1
r
@�
@r
�
(4.7)
und für die Schubspannung gilt
�rz D �zr D 2.1� �/g
1 � 2�@
@r
�
�� � 1
1 � �
@2�
@z2
�
: (4.8)
4.1.2 Ebener Spannungszustand in Polarkoordinaten
Die Bipotentialgleichung für die Airysche SpannungsfunktionF
�� F D 0; (4.9)
mit dem Laplace-Operator� in Polarkoordinaten ohne Achsensymmetrie
� D @2
@r2C 1
r
@
@rC 1
r2
@2
@'2; (4.10)
hat unter anderem folgende Lösungen:F D r2, F D sin2',F D ln r , F D cos2',F D r2 � ln r , F D r' � sin',F D ', F D r � ' � cos',F D '2, F D r � ln r � cos',F D '3, F D r ln r � cos',F D r2 � ', F D cos.n � ln r/,F D ' � ln r , F D cosh.n � '/,F D r2 � ' ln r , F D r2 cos.n � ln r/ cosh.n � '/.
Weiterhin gilt für harmonische Funktionen�1 und�2 mit ��1 D 0 bzw.��2 D 0,daßF D �1 C r2�2 eine biharmonische Funktion ist. Eine wichtige harmonischeFunktion in Polarkoordinaten ist z. B.
� D rnŒC1 cos.n'/C C2 sin.n'/�: (4.11)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
74 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Die Spannungen des ebenen Spannungszustandes, dargestellt in Polarkoordinaten,ergeben sich zu
�r D 1
r
@F
@rC 1
r2
@2F
@'2; (4.12)
�' D @2F
@r2; (4.13)
�r' D �'r D � @
@r
�1
r
@F
@'
�
: (4.14)
4.1.3 Ebener Spannungszustand in kartesischen Koordinaten
Die Bipotentialgleichung für die Airysche SpannungsfunktionF
��F D 0; (4.15)
mit dem Laplace-Operator� in kartesischen Koordinaten
� D @2
@x2C @2
@y2; (4.16)
hat unter anderem folgende Lösungen:
F D x I x2 I x3
F D y I y2 I y3
F D xy
F D x2y I yx2
F D x3y I yx3:
Weiterhin sind die biharmonischen Polynome
P40 D x4 � 3x2y2 I P41 D x4y � x2y3
P50 D x5 � 5x3y2 I P51 D x5y � 5
3x3y3
P60 D x6 � 10x4y2 C 5x2y4 I P61 D x6y � 10
3x4y3 C x2y5
usw. Lösungsfunktionen. Für harmonische Funktionen� mit �� D 0 gilt, daß fol-gende FunktionenF biharmonische Funktionen sind:
F D .ax C by/ �.x; y/;
F D .x2 C y2/ �.x; y/:
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 75
Weiterhin sind folgende logarithmische Funktionen Bipotentialfunktionen:
F D ln.x2 C y2/;
F D .x2 C y2/ ln.x2 C y2/;
F D .ax C by/ ln.x2 C y2/;
F D ln�
.x C c/2 C y2�
;
F D .x C c/ ln�
.x C c/2 C y2�
:
Ebenso die folgenden Produkte von Exponentialfunktionen und trigonometrischenFunktionen
F D e˛y sin.˛x/; F D e�˛y sin.˛x/;
F D y e˛y sin.˛x/; F D y e�˛y sin.˛x/
sowie die Funktionen mit vertauschten Koordinaten und die folgenden Produkte vonExponentialfunktionen und hyperbolischen Funktionen
F D sinh.˛y/ � sin.˛x/;
F D y � sinh.˛y/ � sin.˛x/;
F D x � sinh.˛y/ � sin.˛x/
und ebenso die Funktionen mit vertauschten Koordinaten.Die Spannungen des ebenen Spannungszustandes dargestelltin kartesischen Koor-dinaten ergeben sich zu
�x D @2F
@y2; (4.17)
�y D @2F
@x2; (4.18)
�xy D � @2F
@x@y: (4.19)
4.1.4 Analytische Lösungen
Beispiele für analytische Lösungen sind im Rahmen der Übungen vorgestellt wordenund noch nicht im Skript enthalten.
4.2 Die elastische Halbebene unter Wirkung einerEinzellast
Aus den unendlich vielen Lösungen der Scheibengleichung (3.73) muß bei einemvorgegebenem Problem eine Lösung gefunden werden, die den jeweiligen Rand-bedingungen genügt. Ein möglicher Lösungsweg soll an einemeinfachen Beispielskizziert werden.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
76 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 4.1: Rand einer Scheibe mit Belastung
Dazu betrachten wir den in Abbildung4.1dargestellten Rand einer Scheibe mit derStreckenlastp.x/. Diese Streckenlast läßt sich alsFouriersches Integralin der Form
p.x/ D 2p
�
1Z
0
sin�c
�cos�xd� (4.20)
darstellen. Diese Gleichung gilt für eine konstante Streckenlast der Länge2c. Beieiner Einzellast setzen wir2pc D P und führen den Grenzübergangc ! 0 durch.Der Ansatz für die SpannungsfunktionF nach Abschnitt3.2.3lautet
F D1Z
0
1
�2.AC �yB/e��y cos�xd�: (4.21)
Durch Einsetzen in die Randbedingungen
�y.y D 0/ D 1
hp.x/ und (4.22)
�xy.y D 0/ D 0 (4.23)
erhält man die KonstantenA undB. Aus (4.22) folgt
�1Z
0
A cos�xd� D 2p
�h
1Z
0
sin�c
�cos�xd�
und mit der Wahl
A D � 2p�h
sin�c
�(4.24)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 77
ist die erste Randbedingung für jedesx erfüllt. Aus der zweiten Randbedingung(4.23) folgt
1Z
0
.A� B/ sin�xd� D 0;
und darausA D B: (4.25)
Damit erhält man aus der Definition der Spannungen nach (3.62) die Lösungen fürdie Spannungskomponenten:
�x D 2p
�h
1Z
0
sin�c
�.1� �y/e��y cos�xd�; (4.26)
�y D 2p
�h
1Z
0
sin�c
�.1C �y/e��y cos�xd�; (4.27)
�xy D 2p
�h
1Z
0
sin�c
��ye��y sin�xd�: (4.28)
Beim Grenzübergang.c ! 0/ zu einer EinzellastP gilt die Grenzwertbetrachtung
limc!0
sin�c
�cD 1;
und die Spannungskomponenten ergeben sich damit zu:
�x D P
�h
1Z
0
.1 � �y/e��y cos�xd�;
�y D P
�h
1Z
0
.1C �y/e��y cos�xd�;
�xy D P
�h
1Z
0
�ye��y sin�xd�:
Nach der Durchführung der Integration entstehen die folgenden Ausdrücke für dieSpannungskomponenten, die in der Abbildung4.2dargestellt sind:
�x D 2P
�h
x2y
.x2 C y2/2; (4.29)
�y D 2P
�h
y3
.x2 C y2/2; (4.30)
�xy D 2P
�h
xy2
.x2 C y2/2: (4.31)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
78 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 4.2: Verlauf der Spannungskomponenten
Der mit den Gleichungen (4.29), (4.30) und (4.31) beschriebene Spannungszustandsoll noch näher betrachtet werden. Dazu werden ebene Polarkoordinatenr und 'eingeführt (Abbildung4.3), die mit dem kartesischen Koordinaten in der Formx Dr cos' undy D r sin' verknüpft sind.
Abbildung 4.3: Einführung von Polarkoordinaten
Dann lassen sich die Spannungen durch Polarkoordinaten ausdrücken und es gilt:
�x D 2P
�h
sin' cos2 '
r; (4.32)
�y D 2P
�h
sin3 '
r; (4.33)
�xy D 2P
�h
sin2 ' cos'
r: (4.34)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 79
Abbildung 4.4: Linien der Hauptnormalspannungen
Mit den Transformationsformeln für die Spannungen
�r D �x cos2 ' C �y sin2 ' C �xy sin2';
�' D �x sin2 ' C �y cos2 ' � �xy sin2';
�r' D 1
2.�y � �x/ sin2' C �xy cos2';
kann man dann auf die Spannungskomponenten für die Schnittedesr; '- Systemsübergehen. Man erhält eine Singularität proportional1=r :
�r D 2P
�h
sin'
r; �' D 0 ; �r' D 0: (4.35)
In den betrachteten Schnitten treten also nur Radialspannungen�r auf, und die Lini-en der Hauptnormalspannungen werden demnach von dem durch den Lastangriffs-punkt ausgehenden Strahlenbüschel und von den konzentrischen Kreisen gebildet(Abbildung4.4).Die Radialspannungen in einem Schnittr D konst: verlaufen sinusförmig (sieheAbbildung4.5).
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
80 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 4.5: Verteilung der Radialspannungen
4.3 Der elastische Halbraum unter Wirkung einerEinzellast
Als weiteres Beispiel der Lösung der elastischen Grundgleichungen soll der elasti-sche Halbraum unter der Wirkung einer Einzellast betrachtet werden.Man geht dazu von den biharmonischen Differentialgleichungen für die Verschie-bungen (3.18) aus und wählt als Lösungsansatz für die Verschiebungen dieharmoni-schen Funktionen'i und :
ux D '1 C z@
@x; (4.36)
uy D '2 C z@
@y; (4.37)
uz D '3 C z@
@z: (4.38)
Die harmonischen Funktionen müssen die Lamé-Navierschen Verschiebungsdiffe-rentialgleichungen erfüllen. Zwischen den'i und gilt der Zusammenhang
@
@zD � 1
3 � 4�
�@'1
@xC @'2
@yC @'3
@z
�
: (4.39)
Die Spannungen am Randz D 0 sollen als Funktion vonx undy in der Form
�z D �1.x; y/ ; �zx D �2.x; y/ ; �zy D �.x; y/: (4.40)
vorgegeben sein. Diese Spannungen am Randz D 0 können in den Verschiebun-gen ausgedrückt werden, was durch die Anwendung des Elastizitätsgesetzes und des
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 81
Abbildung 4.6: Der elastische Halbraum mit Einzellast
linearisierten Greenschen Verzerrungstensors in der Form
�1 D E
1C �
�@uz
@zC �
1 � 2�
�@'1
@xC @'2
@yC @'3
@zC @
@z
��
; (4.41)
�2 D E
2.1C �/
�@ux
@zC @uz
@x
�
; (4.42)
�3 D E
2.1C �/
�@uz
@yC @uy
@z
�
(4.43)
geschieht. Weiterhin nimmt man an, daß zu dem Problem drei harmonische Funktio-nen!1; !2 und!3 existieren, für die die Beziehungen
E
2.1C �/!1.x; y; 0/ D �1.x; y/ (4.44)
E
2.1C �/!2.x; y; 0/ D �2.x; y/ (4.45)
E
2.1C �/!3.x; y; 0/ D �3.x; y/ (4.46)
für den Randz D 0 gültig sind. Setzt man (4.41) bis (4.43) in diese Gleichungen ein,
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
82 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
so erhält man:
!1 D 2@'3
@zC 2z
@2
@z2C 2
@
@z
C 2�
1 � 2�
�@'1
@xC @'2
@yC @'3
@zC @
@z
�
; (4.47)
!2 D @'3
@yC 2z
@2
@z@xC @
@xC @'3
@x; (4.48)
!3 D @'3
@yC 2z
@2
@z@yC @'2
@zC @
@y: (4.49)
Durch Umformen von (4.39)
@'1
@xC @'2
@yC @'3
@zC @
@zD �2.1� 2�/
@
@z(4.50)
und Einsetzen in die harmonischen Funktionen (4.47) bis (4.49) ergeben sich dieGleichungen
!1 D 2@'3
@zC 2.1� �/@
@z; (4.51)
!2 D @'1
@zC @'3
@xC @
@x; (4.52)
!3 D @'2
@zC @'3
@yC
@y: (4.53)
In diesen Gleichungen bestehen die rechten und die linken Seiten aus harmonischenFunktionen. Nun gilt, daß zwei harmonische Funktionen im Gesamtgebiet identischsind, wenn sie an den Rändern dieses Gebietes übereinstimmen. Daher können dieFunktionen'1; '2 und'3 eliminiert werden, und kann allein in!1; !2 und!3
ausgedrückt werden. Nach einer Zwischenrechnung folgt
@2
@zD �1
2
�@!1
@zC @!2
@xC @!3
@y
�
und nach zweimaliger Integration
D �12
zZ
�1
zZ
�1
�@!1
@zC @!2
@xC @!3
@y
�
dzdz: (4.54)
Von Boussinesq[4] stammt die Lösung dieser Gleichungen für eine auf dem elasti-schen Halbraum wirkende Einzellast (Abbildung4.6). Aus den Randbedingungen
�zx D �2 D 0I �zy D �3 D 0 (4.55)
ergeben sich die harmonischen Funktionen
!2 D 0 I und !3 D 0: (4.56)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 83
Es bleibt noch die Funktion!1.x; y; z/ zu bestimmen. Schneidet man aus dem Halb-raum wie in Abbildung4.6skizziert eine Halbkugel mit dem Radiusr , so erhält manaus dem Gleichgewicht der Kraftkomponenten in z-Richtung
Z
O
�vdA D P:
Hierbei bezeichnetO die Oberfläche der Halbkugel. Mit der Einführung einer mitt-leren, konstanten Vertikalspannung�vm durch
�vm
Z
dA D �vm � 2�r2
gilt dann
�vm D P
2�
1
r2D c
r2mit r D
p
x2 C y2 C z2: (4.57)
Die harmonische Funktion!1 muß folgenden Randbedingungen genügen:
1. Sie muß überall auf dem Rand verschwinden, nur im Koordinatenursprungeinen Wert besitzen.
2. Sie muß wie der Ausdruck1
r2unendlich werden für den Grenzübergangr !
0 .
3. Als harmonische Funktion muß sie der Gleichung�!1 D 0 genügen.
Gewählt wird die Funktion!1 D c
r3; (4.58)
die den genannten Bedingungen genügt. Aus den obigen Gleichungen lassen sichnun die harmonischen Funktionen ; '1; '2 und'3 bestimmen und damit auch dieSpannungen. Aus (4.54) folgt mit (4.56) und (4.58)
D 1
2
zZ
�1
zZ
�1
@!1
@zdzdz D c
2� 1r: (4.59)
Eingesetzt in (4.52) erhalten wir
'3 D �cr.1� �/ (4.60)
und damit aus (4.51)
@'1
@zD �@'3
@x� @
@xD �.1 � 2�/
c
2
x
r3:
Damit ist�1 durch
'1 D �.1 � 2�/c2x
Zdz
r3D �.1 � 2�/c
2
x
r.r � z/(4.61)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
84 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
bestimmt und mit (4.53) folgt
'2 D �.1 � 2�/c2
y
r.r � z/: (4.62)
Mit diesen Funktionen lassen sich die Verschiebungskomponenten nach (4.36),(4.37) und (4.38) bestimmen:
ux D �c2
�
.1 � 2�/x
r.r � z/C xz
r3
�
; (4.63)
uy D �c2
�
.1 � 2�/y
r.r � z/C yz
r3
�
; (4.64)
uz D �c2
�
2.1 � �/1r
C z2
r3
�
: (4.65)
Bei Anwendung des Elastizitätsgesetzes und des linearisierten Greenschen Verzer-rungstensors lassen sich nunmehr die gesuchten Spannungskomponenten berechnen.Sie enthalten dann nur noch die Konstantec, die sich über eine Gleichgewichtsbe-trachtung bestimmen läßt.Die gegebene EinzellastP muß gleich dem Integral der Normalspannungen inz-Richtung in jeder beliebigen Tiefez D �h über die gesamte horizontale Ebene indieser Tiefe sein, d. h. es muß gelten
Z
�zds D �P: (4.66)
Daraus läßt sich durch Einsetzen von�z die Konstantec ermitteln. Die Spannungs-und Verschiebungskomponenten sind damit bekannt. Die endgültigen Spannungs-komponenten lauten (Singularität� 1=r2):
�x D P
2�
�3x2z
r5� .1 � 2�/
�r2 C rz � z2
r3.r � z/� x2.2r � z/
r3.r � z/2
��
; (4.67)
�y D P
2�
�3y2z
r5� .1 � 2�/
�r2 C rz � z2
r3.r � z/ � y2.2r � z/r3.r � z/2
��
; (4.68)
�z D 3P
2�
z3
r5; (4.69)
�yz D 3P
2�
yz2
r5; (4.70)
�zx D 3P
2�
xz2
r5; (4.71)
�xy D P
2�
�3xyz
r5C .1 � 2�/
xy.2r � z/r3.r � z/2
�
: (4.72)
In der Abbildung4.7 ist die Verteilung der Spannungskomponente�z in derx � z-Ebene dargestellt. Der Spannungszustand ist rotationssymmetrisch, daher wirdy D
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 85
0 gesetzt. Dann gilt
�z D 3P
2�
z3
.x2 C z2/52
: (4.73)
Abbildung 4.7: Verteilung der Spannungskomponente�z
Man beachte, daß in Abbildung4.7alle für�z eingetragenen Werte mit dem Faktor3P
2�zu multiplizieren sind.
Es sei noch darauf hingewiesen, daß man zu der Gleichung (4.35) entsprechendenDarstellung gelangt, wenn man zu Polar- bzw. Zylinderkoordinaten übergeht. DieserÜbergang soll hier nicht vollzogen werden, es sei nur auf dieentsprechende Literatur,z. B. Girkmann[7], verwiesen.Zu einer anderen Darstellung der Spannungsverteilung im elastischen Halbraum un-ter der Belastung einer Einzellast gelangt man durch Zusammenfassen der Span-nungskomponenten�z ; �xz und�yz zu einem Spannungsvektorttz . Sein Betrag ist
jttzj Dq
�2z C �2
xz C �2yz
D 3P
2�
1
r5
p
z6 C z4x2 C z4y2 D 3P
2�
z2
r4: (4.74)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
86 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Wegen der Bedingungen
�z
�xz
D z
x;
�z
�yz
D z
yund
�xz
�yz
D x
y(4.75)
hat der Spannungsvektorttz die gleiche Richtung wie der Radiusvektorr . Den geo-metrischen Ort von Spannungsvektoren gleichen Betrages bestimmt man aus (4.75)zu
r2 D z
s
3P
2�jttzj : (4.76)
Dies ist die Gleichung einer Kugel, die den Koordinatenursprung und den Lastan-griffspunkt in derx-y-Ebene berührt. In Abbildung4.8 sind die Kugeln als Kreisein derx-z-Ebene dargestellt.
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4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 87
Abbildung 4.8: Spannungsverteilung im elastischen Halbraum
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88 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
4.4 Die Scheibe mit Loch unter einachsigem Zug
Untersucht wird die in Abbildung4.9dargestellte, unendlich ausgedehnte, gelochteScheibe unter einachsigem Zug.
Abbildung 4.9: Gelochte Scheibe unter einachsigem Zug
Die Scheibengleichung (3.73) lautet unter Verwendung von Gleichung (3.74) in Po-larkoordinaten
��F D F;rrrr C 2
rF;rrr � 1
r2.F;rr � 2F;rr''/
C 1
r3.F;r � 2F;r''/C 1
r4.4F;'' C F;''''/ D 0:
(4.77)
Aus F berechnen sich die Spannungen nach (4.12), (4.13) und (4.14) zu
�rr D 1
r2F;'' C 1
rF;r ;
�'' D F;rr ;
�r' D �.1rF;'/;r :
(4.78)
Die Lösung des in Abbildung4.9 skizzierten Spannungsproblems setzt sich additivaus
� einem ungestörten Anteil des rotationssymmetrischen, homogener Span-nungszustandes der ungelochten Scheibe und
� einem Störanteil infolge des Loches, der achsensymmetrisch zurx� undy-Achse ist,
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.4 Scheibe mit Loch 89
zusammen. Im folgenden werden zunächst Ansatzfunktionen für den rotationssym-metrischen und achsensymmetrischen Anteil bereitgestellt:
� Rotationsymmetrischer AnsatzF1.r/:
Mit@
@'.�/ � 0 bei Rotationsymmetrie vereinfacht sich die Scheibengleichung
(4.77) zu
��F1 D F1;rrrr C 2
rF1;rrr � 1
r2F1;rr C 1
r3F1;r D 0: (4.79)
Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Eulertyp, die sich mitdem Potenzansatz
F D Crn (4.80)
lösen läßt. Es entsteht die charakteristische Gleichung
n.n � 1/.n� 2/.n� 3/C 2n.n � 1/.n � 2/� n.n � 1/C n D 0;
d. h. n2.n � 2/2 D 0 mit den Wurzeln:n1;2 D 0I n3;4 D 2: Wegen derDoppelwurzeln lautet die vollständige Lösung für den rotationssymmetrischenAnteil
F1.r/ D C1 C C2r2 C C3 ln r C C4r
2 ln r: (4.81)
� Achsensymmetrischer AnsatzF2.r; '/:
Man macht folgenden sowohl zurx- als auch zury-Achse symmetrischenAnsatz
F2 D f .r/ cos2': (4.82)
Damit ergibt sich die Scheibengleichung (4.77) zu
��F2 D .f;rrrr C 2
rf;rrr � 9
r2f;rr C 9
r3f;r/ cos2' D 0: (4.83)
Es entsteht eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Eulertyp für f , diewiederum mit dem Produktansatz (4.80) gelöst werden kann. Die charakteri-stische Gleichung lautet
n.n � 1/.n � 2/.n � 3/C 2n.n � 1/.n� 2/� 9n.n � 1/C 9n D 0
mit den Wurzeln:n1 D 0; n2 D 2; n3 D 4; n4 D �2. Also lautet dievollständige Lösung für den achsensymmetrischen Anteil
F2.r; '/ D .C5 C C6r2 C C7r
4 C C8
1
r2/ cos2': (4.84)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
90 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Die GesamtfunktionF für die gelochte Scheibe erhält man durch Addition des rota-tionsymmetrischen AnteilsF1 und des achsensymmetrischen AnteilsF2
F.r; '/ D F1.r/C F2.r; '/
D C1 C C2r2 C C3 ln r C C4r
2 ln r
C.C5 C C6r2 C C7r
4 C C8
1
r2/ cos2':
(4.85)
Mit der Hilfe der Gleichungen (4.78) lassen sich hieraus die Spannungen berechnen
�rr D 2C2 C C3
r2C C4 .2 ln r C 1/
„ ƒ‚ …
RotationsymmetrischerAnteil
��
4C5
r2C 2C6 C 6
C8
r4
�
cos2';„ ƒ‚ …
AchsensymmetrischerAnteil
(4.86)
�'' D 2C2 � C3
r2C C4 .2 ln r C 3/
„ ƒ‚ …
RotationsymmetrischerAnteil
C�
2C6 C 12C7 C 6C8
r4
�
cos2';„ ƒ‚ …
AchsensymmetrischerAnteil
(4.87)
�r' D�
�2C5
r2C 2C6 C 6C7r
2 � 6C8
r4
�
sin2':„ ƒ‚ …
AchsensymmetrischerAnteil
(4.88)
Zur Ermittlung der vollständigen Lösung sind die AnsatzkonstantenC1 bisC8 ausden Randbedingungen zu bestimmen. Hierzu führen wir zunächst die folgenden Vor-überlegungen durch:
1. C1 ist für die Spannungen ohne Bedeutung.
2. Die Spannungen bleiben für die gesamte unendlich ausgedehnte Scheibe be-schränkt, d. h. mit den Bedingungen
�rr .r ! 1; '/ ¤ 1 und �''.r ! 1; '/ ¤ 1 (4.89)
folgt sofortC4 D C7 D 0: (4.90)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
4.4 Scheibe mit Loch 91
3. Der Lochrand ist unbelastet, d. h. fürr D a gilt mit (4.86) für jeden beliebigenWinkel '
�rr .r D a; '/ D 0: (4.91)
Daraus erhalten wir die Bedingungsgleichungen
2C2 C C3
a2D 0 und 2
C5
a2C C6 C 3
C8
a4D 0: (4.92)
4. Ebenso gilt für die Schubspannungen am Innenrand
�r'.r D a; '/ D 0 (4.93)
und damit erhalten wir die Bedingung
C5
a2� C6 C 3
C8
a4D 0: (4.94)
5. Für den belasteten Randr ! 1 muß die Spannung der äußeren Belastungentsprechen, d. h.
�xx D �ı und �yy D �xy D 0: (4.95)
Mit den Drehtransformationsbeziehungen gilt:
�rr D �ı cos2' D �ı2.1C cos2'/; (4.96)
�'' D �ı sin2' D �ı2.1 � cos2'/; (4.97)
�r' D ��ı2
sin2': (4.98)
Aus den Gleichungen (4.86) bis (4.88) erhält man so fürr ! 1 bei Vergleich mitden Gleichungen (4.96) bis (4.98) die Koeffizienten
C2 D �ı4
und C6 D ��ı4: (4.99)
Die Gleichungen (4.92) und (4.94) liefern die Koeffizienten
C3 D ��ı2a2I C5 D �ı
2a2 und C8 D ��ı
4a4: (4.100)
Damit erhält man für die Spannungen:
�rr D �ı2
��
1 � 1
. ra/2
�
C�
1 � 4
. ra/2
C 3
. ra/4
�
cos2'
�
; (4.101)
�'' D �ı2
��
1C 1
. ra/2
�
��
1C 3
. ra/4
�
cos2'
�
; (4.102)
�r' D ��ı2
�
1C 2
. ra/2
� 3
. ra/4
�
sin2': (4.103)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
92 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie
Abbildung 4.10: Spannungsverläufe in der gelochten Scheibe
Im Vergleich mit den Formeln (4.86) bis (4.88) können die rotationssymmetrischenbzw. achsensymmetrischen Anteile der Spannungen identifiziert werden. Die Span-nungen sind qualitativ in Abbildung4.10dargestellt. Die maximale Normalspannungtritt am Lochrand für' D �
2OD90ı auf. Somit ergibt sich die maximale Normalspan-
nung zu
�''.' D �
2; r D a/ D 3�ı: (4.104)
Damit erhält man am Lochrand einen sogenanntenSpannungskonzentrationsfaktorK, definiert als
K WD Maximale Spannung
Spannung in ungelochter ScheibeD 3�ı
�ıD 3: (4.105)
Die Spannungskonzentrationsfaktoren kommen in der Bruchmechanik und bei derErmüdungsfestigkeitsberechnung (Kerbfaktoren) zur Anwendung.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
5 Die schwache Form desGleichgewichts für die lineareElastizitätstheorie
Abgesehen von einigen Spezialfällen ist eine analytische Lösung des Randwertpro-blems (3.6) im Allgemeinen nicht möglich. Um dennoch Lösungen für gegebeneProbleme finden zu können, wird der Begriff derschwachen Lösungeingeführt. Da-zu überführt man das Randwertproblem in eine formal äquivalente schwache For-mulierung. Die Zusammenhänge wurden bereits für die eindimensionalen Problemeausführlich erläutert, siehe das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode -Stabtragwerke[1].
5.1 Formulierung der schwachen Form
Zur Herleitung einer schwachen Formulierung wird (2.132)
div O¢ C b D 0
skalar mit einer vektorwertigen Testfunktionv D .vi / multipliziert. Es sei hierbei� � R
3 ein Gebiet mit Lipschitz-stetigen Rand undfu; vg 2 C 2 � C 1. Ferner seiv D 0 auf�D. Die Integration über das gesamte Gebiet ergibt dann
G.u; v/ DZ
�
div O¢ � v d�CZ
�
b � v d� D 0 : (5.1)
Mit Hilfe von partieller Integration und Anwendung des Divergenztheorems läßt sichdie linke Seite umformen. MitO¢; v 2 C 1.�/ gilt
Z
�
div O¢ � v d� DZ
�
div . O¢v/ d� �Z
�
O¢ W r v d�
DZ
�
O¢ v � nd� �Z
�
O¢ W r v d�
DZ
�
O¢ n � v d� �Z
�
O¢ W r v d�
(5.2)
94 5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie
Aufgrund der Symmetrie vonO¢ gilt ferner
O¢ W rv D O¢ W�1
2.rv C rvT /C 1
2.rv � rvT /
�
D O¢ W 12.rv C rvT /
D O¢ W O©.v/ :
(5.3)
Für die obigen Beziehungen folgt nach Umsortieren
R.u; v/ DZ
�
O¢ W O©.v/ d� �Z
�
b � v d� �Z
�
� n � v d� D 0 : (5.4)
Nach Einarbeitung der Spannungsrandbedingungent D O¢n D Nt erhält man dieschwache Form des Gleichgewichts in der Form
R.u; v/ DZ
�
O¢.u/ W O©.v/ d� �Z
�
b � v d� �Z
�
Nt � v d� D 0 : (5.5)
5.2 Mathematisch orientierte Notation
Für die später folgende mathematische Behandlung und zur Schreibvereinfachungführen wir an dieser Stelle eine etwas abstraktere Notationein. Für die virtuelle in-nere Arbeit führen wir die Bezeichnung
a.u; v/ WDZ
�
O¢.u/ W O©.v/ d� (5.6)
und für die virtuelle äußere Arbeit die Bezeichnung
F.v/ WDZ
�
b � v d�CZ
�
Nt � v d� (5.7)
ein. Hierbei ista.:; :/ eine symmetrische Bilinearform, d.h. linear in beiden Argu-menten, so dassa.u; v/ D a.v ;u/. Außerdem ist zu fordern, dass a(.,.) positiv definitist, d.h. es seia.u;u/ > 0. Ferner istF.:/ eine Linearform (lineares Funktional).Als Lösungs- und Testraum dient derSobolew-Raum
V WD fv 2 H 1.�/ j v D 0 auf�Dg ; (5.8)
mitH 1 WD fv j v 2 L2I @1v 2 L2g : (5.9)
Hierbei bezeichnet derLebesgue-RaumL2.�/ den Raum der quadratisch integrier-baren Funktionen auf�. Der RaumH 1 besteht also aus allen Funktionenv , derenersteschwache Ableitung@1v existiert und quadratisch integrierbar ist.Die genannten Funktionenräume werden an späterer Stelle noch genauer spezifiziert.Im Moment ist es wichtig zu wissen, dass wir einen VektorraumV betrachten, der
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise 95
alle zulässigen Testfunktionenv und die Lösungu enthält, so dassu; v 2 V . Wirnehmen im Moment einfach an, dassV der ’richtige’ Funktionenraum ist.Mit dieser Notation lässt sich die schwache Form auch schreiben als
R.u; v/ D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V : (5.10)
Allgemein lässt sich das Problem wie folgt formulieren:Finde einu 2 V , welches die Variationsgleichung
a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V (5.11)
erfüllt.
Bemerkung 5.1. Die BezeichnungVariationsgleichungergibt sich aus der Tatsache,dass man (5.5) anstatt mittels partieller Integration auch aus der ersten Variationdes zugehörigen Energiefunktionals herleiten kann. Dieser Zugang wird in Kap.6.1aufgezeigt.
5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise
Zur Darstellung der schwachen Form (5.5) in Matrizendarstellung verwenden wirden Spannungsvektor (2.127) und den Verzerrungsvektor (2.57). Die innere virtuelleArbeit in der schwachen Form, d.h. das Skalarprodukt von SpannungstensorO¢.u/und virtuellem VerzerrungstensorO©.v/
Z
�
O¢.u/ W O©.v/ d� (5.12)
kann mittels Spannungs- und Verzerrungsvektor ausgedrückt werden. Für das Ska-larprodukt gilt beispielsweise im 2D-Fall aufgrund der Symmetrie
O¢ W O© D�
�11 �12
�21 �22
�
W�
"11 "12
"21 "22
�
D �11"11 C �12"12 C �21"21 C �22"22
D �11"11 C 2 �12"12 C �22"22:
(5.13)
Hierbei wurde ausgenutzt, dass�12 D �21 und"12 D "21.Die innere Energie kann auch mit Spannungs- und Verzerrungsvektor angegebenwerden, d.h. es gilt
� T " D
2
4
�11
�22
�12
3
5
T 2
4
"11
"22
2"12
3
5
D �11"11 C 2 �12"12 C �22"22 :
(5.14)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
96 5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie
Ein Vergleich mit dem SkalarproduktO¢ W O© zeigt, dass die innere virtuelle Arbeitgleich ist. Die schwache Form kann daher für die Koeffizienten einer kartesischenBasis auch in Matrizenschreibweise in der Form
G.u; v/ DZ
�
Œ� .u/�T ".v/ d� �Z
�
bT v d� �Z
�
NtT v d� D 0 (5.15)
geschrieben werden. Für das Skalarprodukt zweier Vektorena und b gilt a � b DaT b D bT a und daher
G.u; v/ DZ
�
Œ".v/�T � .u/ d� �Z
�
vT b d� �Z
�
vT Nt d� D 0 : (5.16)
Mit ".v/ D Dv und� .u/ D E".u/ D E Du folgt schließlich
R.u; v/ DZ
�
ŒDv�T E Du d� �Z
�
vT b d� �Z
�
vT Nt d� D 0 (5.17)
bzw.
R.u; v/ DZ
�
vT DT EDu d� �Z
�
vT b d� �Z
�
vT Nt d� D 0 : (5.18)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
6 Die Energiepinzipien für dielineare Elastizitätstheorie
Die Zusammenhänge wurden bereits für die eindimensionalenProbleme ausführlicherläutert, siehe hierzu auch das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode -Stabtragwerke[1].Hier zunächst das Hu-Washizu Funktional sowie das Hellinger-Reissner Funktionalfür die lineare Elastizitätstheorie angeben. Und hieraus auch die schwache Formherleiten bzw. angeben. Siehe Taylor Feap Theory Manual.
6.1 Das Dirichletsche Prinzip
Viele physikalische Probleme lassen sich aufVariationsprinzipienzurückführen. MitdemDirichletschen Prinzipwerden Gleichgewichtszustände statischer mechanischerSysteme beschrieben.
Definition 6.1 (Dirichletsches Prinzip). Ein konservatives mechanisches System be-findet sich dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn die potentielle Energie˘bezüglich der Lage des Systems stationär ist. Das Gleichgewicht ist genau dann sta-bil, wenn˘ ein echtes Minimum annimmt.
Das Dirichletsche Prinzip besagt nun, dass die wahre Verschiebungu die potentielleEnergie stationär macht
˘ D ˘i C˘a ! stationär: (6.1)
Einen stationären Punkt findet man, wenn die notwendige Extremalbedingung
ı˘ D ı˘i C ı˘a D 0 (6.2)
erfüllt ist. In Worten bedeutet dies: Die erste Variation von˘ muss verschwinden.Diese Bedingung ist notwendig, jedoch nicht hinreichend. Eine Aussage über die Artdes Extremwertes liefert die zweite Variation von,
ı2˘
8
<
:
> 0 ! Minimum;= 0 ! kein Extremwert;< 0 ! Maximum.
(6.3)
Bemerkung 6.1. Der BegriffExtremwertist historisch begründet und vielleicht et-was unglücklich gewählt, da es sich ja nicht um einzelne Punkte, sondern um Funk-tionen handelt.
98 6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie
6.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
Wir betrachten hyperelastisches Materialverhalten. Es wird vorausgesetzt, dass ei-ne (ausreichend oft differenzierbare) FormänderungsenergiefunktionW D OW.O©.u//existiert. Für diese Situation geht die Forderung nach Stationarität des Energiefunk-tionals in dasPrinzip vom Minimum der potentiellen Energieüber.Die gesamte potentielle Energie ist gegeben durch
˘.u/ DZ
�
W d� �Z
�
b � u d��Z
�
Nt � u d� : (6.4)
Nach dem Dirichletsche Prinzip liefert die erste Variationder Energie die notwendigeExtremalbedingung. Diese erhält man aus der Richtungsableitung
ı˘ D d
d"˘.u C " v/
ˇˇˇˇ"D0
D 0 : (6.5)
Betrachten wir die Formänderungsenergiefunktiondes Hookeschen Gesetzes (2.161)
W D 1
2O©.u/ W O¢.u/ D 1
2O©.u/ W E W O©.u/;
dann lässt sich die innere Energie in der Form
˘i .u/ DZ
�
W d� D 1
2
Z
�
O©.u/ W O¢.u/ d� D 1
2
Z
�
O©.u/ W E W O©.u/ d� (6.6)
angeben.Die erste Variation führt zu
ı˘.u; v/ DZ
�
O¢.u/ W O©.v/ d� �Z
�
b � v d� �Z
�
Nt � v d� D 0 : (6.7)
Dies entspricht gerade der schwachen Form aus Gl. (5.5), d.h.
ı˘.u; v/ D R.u; v/ : (6.8)
Das Minimalprinzip und die schwache Form sind also äquivalent.
6.2.1 Äquivalenz zur schwachen Form
Wir haben im vorherigen Kapitel gesehen, dass man aus der ersten Variation desEnergiefunktionals gerade wieder die schwache Form erhält. Offensichtlich ist dasMinimalprinzip in unserem Fall eine alternative Problemformulierung, welche manmit Hilfe der in Kap.5.2eingeführten abstrakten Notation folgendermaßen schreibenkann. Findeu 2 V , so dass
˘.u/ D 1
2a.u;u/ � F.u/ ! min (6.9)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
6.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie 99
Hiebei sind
a.u;u/ WDZ
�
O¢.u/ W O©.u/ d� (6.10)
und
F.u/ WDZ
�
b � u d�CZ
�
Nt � u d� : (6.11)
Den Zusammenhang von Minimalprinzip und schwacher Form gibt der folgendeSatz wieder.
Satz 1(Charakterisierungssatz). Es seiV ein Hilbert-Raum unda.:; :/ eine symme-trische, positive Bilinarform, d.h. es seia.u;u/ > 0 8 u 2 V , u ¤ 0. Ferner seiF W V ! R ein lineares Funktional. Die Größe
˘.v/ D 1
2a.v ; v/ � F.v/
nimmt inV genau dann ihr Minimum beiu an, wenn
a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V
gilt. Außerdem gibt es höchstens eine Minimallösung.
Das Minimalprinzip und die schwache Form sind also äquivalent.
Beweis.Es seienu; v 2 V und" 2 R. Damit ergibt sich
˘.u C " v/ D1
2a.u C " v ;u C " v/ � F.u C " v/
D1
2
�
a.u;u/C 2 " a.u; v/C "2 a.v ; v/�
� Œ F .u/C " F.v/ � :
Mit Hilfe von (6.9) gilt somit
˘.u C " v/ D ˘.u/C " Œ a.u; v/ � F.v/ �C 1
2"2 a.v ; v/ :
Fallsu der schwachen Form genügt, ista.u; v/ � F.v/ D 0 und somit für" D 1
˘.u C v/ D ˘.u/C 1
2a.v ; v/ > ˘.u/ falls v ¤ 0 :
Diese Beziehung beschreibt das Anwachsen von˘ bei Entfernung vom Minimal-punktu. Aufgrund dessen, dass.u C v/ > ˘.u/ ist u ein eindeutiger Minimal-punkt, d.h.u minimiert das Funktional . Umgekehrt bedeutet dies, wennbei uein Minimum hat, verschwindet für jedesv 2 V die Ableitung
d
d"˘.u C " v/
ˇˇˇˇ"D0
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
100 6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie
d.h.
d
d"˘.u C " v/
ˇˇˇˇ"D0
D d
d"
�
˘.u/C " Œ a.u; v/ � F.v/ �C 1
2"2 a.v ; v/
�
"D0
D 0 :
Dies entspricht gerade der ersten Variation von˘ und es folgt die Aussage aus Satz1
d
d"˘.u C " v/
ˇˇˇˇ"D0
D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V
bzw.a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V :
6.3 Das Hu-Washizu Funktional der linearenElastizität
6.4 Das Hellinger-Reissner Funktional der linearenElastizität
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7 Diskretisierung der Scheibe mitfiniten Elementen
Im Rahmen der Methode der finiten Elemente finden verschiedene Approximationenstatt. Ein Teil ist hierbei die Diskretisierung des betrachteten Gebietes. Ziel ist es, dasGebiet durch finite Elemente so gut wie möglich anzunähern. Ein zweiter Teil bestehtin der Approximation der Feldgrößen, wie Verschiebungen, Spannungen etc.
7.1 Vorbemerkungen
Zur numerischen Lösung des stetigen schwachen Problems (5.5)
R.u; v/ D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V (7.1)
wird dieses in ein diskretes Problem überführt. Die alsGalerkin-Verfahren1 bekann-te Diskretisierung dieser Gleichung besteht nun darin, sienicht mehr im unendlichdimensionalen RaumV , sondern im endlich dimensionalen TeilraumVh � V zulösen.Das zum stetigen Variationsproblem (5.5) gehörige diskrete Variationsproblem lautetdann: Finde einuh 2 Vh, welches die diskrete Variationsgleichung
R.uh; vh/ D a.uh; vh/ � F.vh/ D 0 8 vh 2 Vh � V (7.2)
erfüllt. Die Lösunguh ist im Allgemeinen eine Näherungslösung, so dassu � uh 2Vh � V . Bei einfachen Elementen, wie beispielsweise bei Dehnstäben oder Balken,können jedoch auch exakte Lösungen gefunden werden.Der Indexh steht hierbei für einen Diskretisierungsparameter (z.B. Elementlängeoder charakteristischer Elementdurchmesser) und deutet darauf hin, dass mith ! 0
Konvergenz gegen die starke Lösung (also die exakte Lösung)erreicht werden soll.Wenn also im Folgenden eine diskrete Größe gemeint ist, dannbekommt diese denIndexh.Im Groben lässt sich die Methode der finiten Elemente wie folgt beschreiben:
1. Diskretisierung: Man zerlegt das Gebiet� in eine endliche Anzahl Teilgebiete�e einfacher Gestalt, die finiten Elemente.
2. In jedem Teilgebiet (Element) sollen die Funktionenuh; vh 2 Vh Polynomesein, und zwar mit üblicherweise demselben Polynomgrad in jedem Element.
1Boris Grigorievich Galerkin (1871 � 1945), russischer Mathematiker.
102 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
3. Die daraus resultierenden stückweise zusammengesetzten Funktionen sollenglobal über alle Elemente eine gewisse GlattheitC k besitzen. Man sprichtdann auch vonC k-Elementen. Um eine sogenanntekonforme Approximationzu erhalten, muss in jedem FallVh � V erfüllt sein.
Die Diskretisierung des Gebietes� erfolgt durch die Unterteilung des Gebietes ineinfach zu beschreibende Teilgebiete (finite Elemente)�e:
� � �h WD[
�e2�h
�e (7.3)
Hierbei steht der OperatorS
symbolisch für die Assemblierung, d.h. für den Zu-sammenbau der einzelnen Teilgebiete�e zum Gesamtgebiet�.
�e�
�e
� � �h
�
Abbildung 7.1: Zerlegung des Gebietes� in finite Elemente�e
Der Rand�e D @�e eines finiten Elementes�e setzt sich aus Punkten (1D), Kan-ten (2D) oder Flächen (3D) zusammen, welche im Folgenden mit .�e/ bezeichnetwerden. Damit lässt sich die Menge aller Punkte, Kanten bzw.Flächen darstellen als
�h D[
2�h
.�e/ : (7.4)
Das durch die Diskretisierung entstehende FE-Netz muss zulässig sein.
Definition 7.1. Ein FE-Netz ist zulässig, wenn folgende Eigenschaften erfüllt wer-den:
1. N� DS
�e2�h�e .
2. Alle�e müssen ein positives Volumen besitzen.
3. Zwei Elemente�e dürfen sich entweder in einem gemeinsamen Punkt, einergemeinsamen Kante, einer gemeinsamen Fläche oder gar nichtschneiden.
Die Zerlegung des Gebietes ist erforderlich, um eine bereichsweise Auswertung derschwachen Form durchführen zu können. Eine Funktiong über� kann in der Form
Z
�
g d� DN
X
eD1
Z
�e
ge d�
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 103
berechnet werden. Hierbei bezeichnet�e das Gebiet eines finiten Elementes. Umdie auftretenden Integrale leicht berechnen zu können, undum eine systematischeBehandlung innerhalb eines FE-Systems zu ermöglichen, werden hierbei i.d.R. ein-fache Elementformen, wie Dreiecke oder Vierecke mit geraden Kanten eingeführt.Dies hat zur Folge, dass das Gebiet� nur noch approximiert werden kann, d.h.� � �h, vgl. Abb.7.1. Innerhalb der Teilbereichee werden die kontinuierlichenGrößen, wie Verschiebungen und Verzerrungen mit Hilfe von Form- und Ansatz-funktionen, sowie diskreten Knotengrößen approximiert.
Bemerkung 7.1. Es existieren auch Elementformulierungen, bei denen keinegera-den Kanten verwendet werden. Durch Einführung zusätzlicher Knoten auf dem Randkönnen dann auch quadratische, kubische etc. Kantenverläufe dargestellt werden.Diese Elemente werden alshöherwertigeElemente bezeichnet.
7.2 Das isoparametrische Konzept
Im Rahmen der Methode der finiten Elemente kommt zur Approximation von Feld-größen und Geometrie häufig dasisoparametrische Konzept2 zum Einsatz. Beim iso-parametrische Konzept werden die Feldgrößen (z.B. Verschiebungenu) und die Geo-metrie des betrachteten GebietesX mit Hilfe der gleichen Ansatzfunktionenhi imElement�e approximiert, d.h. für die Spaltenmatrizen der Koeffizienten bezüglicheiern kartesischen Basis gilt
X � Xh Dn
X
ID1
hI XI (7.5)
u � uh Dn
X
ID1
hI uI (7.6)
Hierbei bezeichnenXI bzw. uI die Spaltenmatrizen mit den diskreten Knotengrö-ßen am KnotenI .
Generell ist es natürlich möglich unterschiedliche Ansatzfunktionen für Geometrieund Verschiebung zu wählen. Aufgrund der Flexibilität und generellen Anwendbar-keit hat sich jedoch das isoparametrische Konzept durchgesetzt.
2Iso kommt aus dem Griechischen und bedeutet ’gleich’.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
104 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
s
r
s
r
s
r
'
˝e'.˝e/
Fe
Je je
˝p
Abbildung 7.2: Isoparametrische Abbildung
Die Ansatzfunktionen werden bezüglich einer Referenzkonfiguration (Referenzele-ment oder Parameterraum)�p formuliert, siehe Abb.7.2. Zur Beschreibung der Ab-bildungen von der Referenzkonfiguration�p in die undeformierte Konfiguration�e
und in die deformierte Konfiguration'.˝e/ werden in Matrizenschreibweise dieGradienten
Je WD rrXh D @Xh
@rD
�
X1;r X1;s
X2;r X2;s
�
(7.7)
je WD rrxh D @xh
@rD
�
x1;r x1;s
x2;r x2;s
�
(7.8)
sowie die zugehörigen Determinanten
Je D detJe (7.9)
je D detje (7.10)
eingeführt. Diese Vorgehensweise ist analog zur Bestimmung des Deformationsgra-dientenF siehe Gl. (2.28).
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 105
7.2.1 Ansatzfunktionen
7.2.1.1 Konstruktion der Ansatzfunktionen
Die Idee der FE-Methode besteht nun darin, in jedem Element den Verlauf der wah-ren Lösung mit Hilfe von möglichst einfachen Funktionen zu approximieren. Dieseeinfachen Funktionen innerhalb eines Intervalls bezeichnet man alsAnsatzfunktio-nen. Diese besitzen nur in einem kleinen Teilgebiet des Definitionsbereichs einenvon Null verschiedenen Wert. Der Lösungsansatz ergibt sichdann aus der Überlage-rung der Ansatzfunktionen der einzelnen Teilgebiete (Elemente). Grundsätzlich kön-nen beliebige Funktionen zur Konstruktion von Ansatzfunktionen verwendet wer-den, aber es hat sich durchgesetzt, dass man hierfür Polynome verwendet, da diesesehr einfach zu handhaben sind.Im zweidimensionalen Raum können Ansatzfunktionen durch Polynome der Form
F.r; s/ Dp
X
iD0
pX
j D0
aij ri sj (7.11)
dargestellt werden. Die zu dem Polynomgrad korrespondierenden Terme könnendemPascalschen Dreieck3 (ohne Koeffizientenaij ) entnommen werden, siehe Abb.7.3.Die Koeffizientenaij können berechnet werden, in dem die Interpolationsbedingun-gen der Ansatzfunktionen berücksichtigt werden.
r2s
::: :::rs3
r3 s3
s2r2
r2s2
p D 1
p D 0
p D 2
1
rs
r s
p D 0
p D 1
p D 2
rs2
r3s
Abbildung 7.3: Pascalsches Dreieck für zweidimensionale Ansatzfunktionen
Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man eindimensionale Ansätze mitein-ander multipliziert. Eine Interpolation zwischen den vorgegebenen Funktionswerten
3Blaise Pascal (1623-1662), französischer Mathematiker, Physiker, Literat und Philosoph.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
106 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
ann Stützstellenri lässt sich im eindimensionalen Fall mit Hilfe der Interpolations-formel von Lagrange
hi .r/ DnY
j D1;i 6Dj
r � rj
ri � rj(7.12)
durchführen. Für den zweidimensionalen Fall lässt sich eine Interpolation zwischenm � n Stützstellenrik mit
hik.r; s/ D
0
@
mY
j D1;i 6Dj
r � rjri � rj
1
A �
0
@
nY
kD1;k 6Dl
r � rl
rk � rl
1
A (7.13)
bestimmen. Im dreidimensionalen Fall gilt bein �m � p Stützstellenriku
hiku.r; s; t/ D
0
@
mY
j D1;i 6Dj
r � rjri � rj
1
A �
0
@
nY
kD1;k 6Dl
r � rl
rk � rl
1
A �
0
@
pY
vD1;u6Dv
r � rv
ru � rv
1
A :
(7.14)Die Ansatzfunktionen des Elements müssen bestimmte Eigenschaften erfüllen:
� die Interpolationseigenschaften müssen erfüllt werden,
� zumindest konstante Verzerrungen müssen geliefert werdenund
� die approximierten Größen müssen im Element�e stetig sein.
7.2.1.2 Bilineare Ansatzfunktionen
Wir betrachten ein vierknotiges Element. Die Nummerierungder Knoten erfolgt ge-gen den Uhrzeigersinn. Nach dem isoparametrischen Konzeptwird die Geometrieeines Elements auf ein Referenzelement oder Parameterraum�p abgebildet, sieheAbb. 7.4Die Knotenkoordinatenr i D Œri I si �T des Referenzelementes sind gegeben durchr1 D Œ�1I �1�T , r2 D Œ1I �1�T , r3 D Œ1I 1�T undr4 D Œ�1I 1�T .Die Ansatzfunktionen bezogen auf das Referenzelement ergeben sich damit zu
h1 D r � r20
r10 � r2
0
� s � s40
s10 � s4
0
D r � 1�1 � 1 � s � 1
�1 � 1D 1
4.r � 1/ � .s � 1/
h2 D r � r10
r20 � r1
0
� s � s30
s20 � s3
0
D r C 1
1C 1� s � 1
�1 � 1D 1
4.r C 1/ � .1 � s/
h3 D r � r40
r30 � r4
0
� s � s20
s30 � s2
0
D r C 1
1C 1� s C 1
1C 1D 1
4.r C 1/ � .s C 1/
h4 D r � r30
r40 � r3
0
� s � s10
s40 � s1
0
D r � 1�1 � 1 � s C 1
1C 1D 1
4.1 � r/ � .s C 1/
(7.15)
Die Ansatzfunktionen besitzen die fundamentalen Eigenschaften
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 107
0
1
1
1
4 3
2
s
r0
�1
�1
Abbildung 7.4: Referenzelement oder Parameterraum�p
� am Knoten1 ist h1 D 1 und alle anderenh2 D h3 D h4 D 0
� am Knoten2 ist h2 D 1 und alle anderenh1 D h3 D h4 D 0
� am Knoten3 ist h3 D 1 und alle anderenh2 D h1 D h4 D 0
� am Knoten4 ist h4 D 1 und alle anderenh2 D h3 D h1 D 0
Die Ansatzfunktionhi besitzt also am Knoteni den Wert 1 und an allen anderenKnoten den Wert 0, siehe Abb.7.5.Die bilinearen Ansatzfunktionen sind gegeben durch
h1 D 1
4.r � 1/ .s � 1/
h2 D 1
4.r C 1/ .1� s/
h3 D 1
4.r C 1/ .s C 1/
h4 D 1
4.1 � r/ .s C 1/
(7.16)
Ferner werden im Folgenden noch die partiellen Ableitungender Ansatzfunktionennachr unds benötigt. Die ergeben sich zu
h1;r D 1
4.s � 1/
h2;r D 1
4.�s C 1/
h3;r D 1
4.s C 1/
h4;r D 1
4.�s � 1/
h1;s D 1
4.r � 1/
h2;s D 1
4.�r � 1/
h3;s D 1
4.r C 1/
h4;s D 1
4.�r C 1/
(7.17)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
108 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
2
1
3
2
3
4
3
4
4
1
1
1
1
1
h2
h3
h4
h1
1
2
1
2
4
3
Abbildung 7.5: Bilineare Ansatzfunktionen
7.2.2 Approximation der Geometrie
Die Approximation der Geometrie eines Elementes mitn Knoten erfolgt mittels
Xh Dn
X
ID1
hI XI : (7.18)
Wir betrachten im Folgenden ein Viereckelement mit 4 Knotenund führen für diesesElement einen Vektor mit den Knotenkoordinaten
OX e D�
X11 X1
2 X21 X2
2 X31 X3
2 X41 X4
2
�T(7.19)
ein. Die Knotenwerte werden mit ’O ’ bezeichnet. Der untere Index bezeichnet dieRichtung und der obere Index gibt die Knotennummer an.
Die Ansatzfunktionenhi werden in einer MatrixH derart zusammengefasst, dassdie Approximation der Elementgeometrie auch in der Form
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 109
Xh D�
X1
X2
�
DnX
ID1
hI XI DnX
ID1
hI
�
XI1
XI2
�
D�
h1 0 h2 0 h3 0 h4 0
0 h1 0 h2 0 h3 0 h4
�
2
66666666666666664
X11
X12
X21
X22
X31
X32
X41
X42
3
77777777777777775
D H OXe
(7.20)
dargestellt werden kann. Die Matrix
H WD�
h1 0 h2 0 h3 0 h4 0
0 h1 0 h2 0 h3 0 h4
�
(7.21)
ist hierbei die Matrix der Ansatzfunktionen.
Xh D H OXe (7.22)
Gegebene Punkte im Parameterraum inr unds Koordinaten können damit direkt indie zugehörigenX1 undX2 Koordinaten abgebildet werden.
Beispiel 7.1(Beispiel zur Koordinatentransformation). Gegeben seien die in Abb.7.6dargestellten Elemente (a – c) in der undeformierten Konfiguration sowie die Koor-dinaten des PunktesP 0.r; s/ D Œ�0:5 � 0:5�T im Parameterraum. Gesucht seien diezugehörigenX1 undX2 Koordinaten des PunktesP .X1; X2/ der Elemente (a – c).
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
110 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
0
1 2020
1
0
2
�1
2
�1
0 1
1
0
1
4
1 2
3
24
3
21
4
3
0
2
0
1 2
34
r
s
P P
P 0
1
X2 X2X2
X1X1
X1
P
2
.a/ .b/ .c/
Abbildung 7.6: Beispiel zur Koordinatentransformation
Einsetzen der Koordinatenr D �0:5 unds D �0:5 in die Ansatzfunktionen liefert
h1.�1
2I �12/ D 1
4.1C 1
2/ � .1C 1
2/ D 9
16
h2.�1
2I �12/ D 1
4.1 � 1
2/ � .1C 1
2/ D 3
16
h3.�1
2I �12/ D 1
4.1 � 1
2/ � .1 � 1
2/ D 1
16
h4.�1
2I �12/ D 1
4.1C 1
2/ � .1 � 1
2/ D 3
16
(7.23)
Damit folgt die Matrix der Ansatzfunktionen in der Form
H
�
�12
I �12
�
D�
916
0 316
0 116
0 316
0
0 916
0 316
0 116
0 316
�
(7.24)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 111
Element a)
Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe
D�
916
0 316
0 116
0 316
0
0 916
0 316
0 116
0 316
�
2
66666666664
0
0
2
0
2
2
0
2
3
77777777775
D�
0:5
0:5
�
D P
(7.25)
Element b)
Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe
D�
916
0 316
0 116
0 316
0
0 916
0 316
0 116
0 316
�
2
66666666664
1
0
2
1
1
2
0
1
3
77777777775
D�
1
0:5
�
D P
(7.26)
Element c)
Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe
D�
916
0 316
0 116
0 316
0
0 916
0 316
0 116
0 316
�
2
66666666664
0
0
2
0
2
2
0
1
3
77777777775
D�
1=2
5=16
�
D P
(7.27)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
112 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
7.2.3 Approximation der Verschiebung
Die Approximation der Verschiebung eines Elementes mitn Knoten erfolgt mittels
u � uh DnX
ID1
hI uI : (7.28)
Für ein Viereckelement mit 4 Knoten ist der Vektor mit den Knotenverschiebungengegeben durch
ue D�
u11 u1
2 u21 u2
2 u31 u3
2 u41 u4
2
�T(7.29)
Mit Hilfe der Matrix der Ansatzfunktionen kann die obige Beziehung ausgedrücktwerden durch
uh D�
u1
u2
�
Dn
X
ID1
hI uI Dn
X
ID1
hI
�
uI1
uI2
�
D�
h1 0 h2 0 h3 0 h4 0
0 h1 0 h2 0 h3 0 h4
�
2
66666666666666664
u11
u12
u21
u22
u31
u32
u41
u42
3
77777777777777775
D Hue
(7.30)
Zur Approximation der Testfunktionv verwenden wir die gleichen Ansatzfunktionenwie für die Verschiebung. Damit folgt für die Approximationder Testfunktion
v � vh Dn
X
ID1
hI uI D Hve : (7.31)
Bemerkung 7.2. Im Rahmen des Galerkin-Verfahrens können prinzipiell unterschied-liche Ansatzfunktionen für Verschiebung und Testfunktionverwendet werden. Hierausresultieren jedoch unsymmetrische Systemmatrizen, was einen erhöhten numerischenAufwand nach sich zieht. Im Rahmen dieses Skriptes werden ausschließlich die glei-chen Funktionen zur Approximation von Verschiebung und Testfunktion verwendet.
uh D Hue
vh D Hve
(7.32)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.2 Das isoparametrische Konzept 113
7.2.4 Approximation der Verzerrungen
Die Verzerrungen lassen sich mit Hilfe des Verzerrungsvektors" nach Gl. (2.59) im2D-Fall angeben als
" D Du2
4
"11
"22
2"12
3
5 D
2
4
@1 0
0 @2
@2 @1
3
5
�
u1
u2
�
:(7.33)
Mit Hilfe der Approximation der Verschiebung folgt
" � "h D Duh D DHue D Bue : (7.34)
Hierbei bezeichnet
B WDDH
D
2
4
@1 0
0 @2
@2 @1
3
5
�
h1 0 h2 0 h3 0 h4 0
0 h1 0 h2 0 h3 0 h4
�
D
2
4
h1;1 0 h2;1 0 h3;1 0 h4;1 0
0 h1;2 0 h2;2 0 h3;2 0 h4;2
h1;2 h1;1 h2;2 h2;1 h3;2 h3;1 h4;2 h4;1
3
5
D
2
66666664
@h1
@X1
0@h2
@X1
0@h3
@X1
0@h4
@X1
0
0@h1
@X2
0@h2
@X2
0@h3
@X2
0@h4
@X2
@h1
@X2
@h1
@X1
@h2
@X2
@h2
@X1
@h3
@X2
@h3
@X1
@h4
@X2
@h4
@X1
3
77777775
(7.35)
denB–Operator. Dieser enthält die partiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen
hi;j D @hi
@Xj
: (7.36)
Für die Approximation der virtuellen Verzerrungen folgt
".v/ � "h.vh/ D Dvh D DHve D Bve : (7.37)
"eh.uh/ D Bue
"eh.vh/ D Bve
(7.38)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
114 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
7.2.5 Jacobi Transformation
Die Bestimmung des B–Operators zur Berechnung der Verzerrungen, erfordert diepartiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen nachXj , d.h.
hi;j D @hi
@Xj
: (7.39)
Die Ansatzfunktionenhi .r; s/ sind im Parameterraum definiert. Wir suchen daher
eine Verknüpfung von@.�/@r
mit@.�/@X
.
Nach der Kettenregel gilt für eine Größe.�/.X1; X2/ mit X1.r; s/, X2.r; s/
@.�/@r
D @.�/@X1
@X1
@rC @.�/@X2
@X2
@r
@.�/@s
D @.�/@X1
@X1
@sC @.�/@X2
@X2
@s
(7.40)
bzw. in Matrizenform2
664
@.�/@r
@.�/@s
3
775
D
2
664
@X1
@r
@X2
@r
@X1
@s
@X2
@s
3
775
2
664
@.�/@X1
@.�/@X2
3
775
@.�/@r
D J T @.�/@X
: (7.41)
Die hierbei entstehende Matrix
J T D
2
664
@X1
@r
@X2
@r
@X1
@s
@X2
@s
3
775
D�
X1;r X2;r
X1;s X2;s
�
(7.42)
ist gerade die Transponierte des in Gl. (7.7) eingeführten GradientenJ . Die MatrixJ wird alsJacobi-MatrixoderFunktionalmatrixbezeichnet.Für die inverse Beziehung gilt
2
664
@.�/@X1
@.�/@X2
3
775
D 1
detJ
2
664
@X2
@s�@X2
@r
�@X1
@s
@X1
@r
3
775
2
664
@.�/@r
@.�/@s
3
775
@.�/@X
D J �T @.�/@r
(7.43)
Die transponierte inverse Jacobi-Matrix kann im 2D-Fall direkt angegeben werden
J �T D 1
detJ
2
664
@X2
@s�@X2
@r
�@X1
@s
@X1
@r
3
775: (7.44)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
7.3 Diskretisierung der schwachen Form 115
Hierbei bezeichnet
detJ D @X1
@r� @X2
@s� @X2
@r� @X1
@s(7.45)
die Jacobi-DeterminateoderFunktionaldeterminante. Man beachte, dassJ �1 nurexistiert, wenn detJ ¤ 0.Die Jacobi-Determinate spielt eine wichtige Rolle bei der Transformation von inte-gralen Größen. Eine Größe.�/, welche in der Ausgangskonfiguration� definiert ist,kann in den Parameterraum transformiert werden. Es gilt fürdie Transformation desElementes�e ins Referenzelement aus Abb.7.4
Z
�e
.�/ d� DZ
r
Z
s
.�/ detJds dr DZ 1
�1
Z 1
�1
.�/ detJds dr : (7.46)
Mit der inversen Jacobi-Matrix können nun die partiellen Ableitungen der Ansatz-funktionen nachX1 undX2 angegeben werden. Für die Ansatzfunktionhi gilt
2
664
@hi
@X1
@hi
@X2
3
775
D 1
detJ
2
664
@X2
@s�@X2
@r
�@X1
@s
@X1
@r
3
775
2
664
@hi
@r
@hi
@s
3
775
@hi
@XD J �T @hi
@r(7.47)
Die hierbei auftretenden partiellen Ableitungen vonhi nachr unds wurden für dasViereckelement bereits in Gl. (7.17) angegeben.
7.3 Diskretisierung der schwachen Form
7.3.1 Zerlegung der schwachen Form in Elementanteile
Für eine bereichsweise Auswertung der schwachen Form zerlegen wir (5.5) in dieAnteile einen jeden Elementes�e . Die schwache Form lässt sich dann darstellen als
R.u; v/ � R.uh; vh/ D[
�e2�h
Re.uh; vh/ D 0 (7.48)
wobeiuh undvh die Approximationen der Verschiebungen bzw. Testfunktionen in-nerhalb eines Elementes�e sind. Ferner steht der Operator
Ssymbolisch für die
Assemblierung, d.h. für den Zusammenbau der einzelnen Teilgebiete�e zum Ge-samtgebiet�h.Für die in der schwachen Form auftretenden Integrale folgt
Z
�
.� � � / d� �Z
�h
.� � � / d�h D[
�e2�h
Z
�e
.� � � / d�e : (7.49)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
116 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen
7.3.2 Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastvektor
Wir betrachten die schwache Form (5.15)
R.u; v/ DZ
�
".v/T � .u/ d� �Z
�
vT b d� �Z
�
vT Nt d� (7.50)
Die FE-Approximation dieser Gleichung für ein Element ist gegeben durch
Re.uh; vh/ DZ
�e
".vh/T � .uh/ d� �
Z
�e
.vh/T b d� �
Z
�e
.veh/
T Nt d� (7.51)
Mit
� .ueh/ D E "e
h.uh/ D E Bue (7.52)
".vh/ D "h.vh/ D Bve (7.53)
veh D Hve (7.54)
folgt
Re.uh; vh/ DZ
�e
.Bve/T E Bue d� �
Z
�e
.Hve/T b d� �
Z
�e
.Hve/T Nt d�
DZ
�e
vTe BT E Bue d� �
Z
�e
vTe H T b d� �
Z
�e
vTe H T Nt d� :
(7.55)Die Vektorenue undve enthalten die diskreten Knotengrößen für Verschiebung bzw.Testfunktion. Diese hängen nicht mehr vonX ab und können daher aus den Integra-len gezogen werden. Es folgt eine Darstellung in der Form
Re.uh; vh/ D vTe
�Z
�e
BT E B d�ue �Z
�e
H T b d� �Z
�e
H T Nt d��
D vTe ŒKe ue � fe�
(7.56)
Hierbei bezeichnet
Ke WDZ
�e
BT E B d� (7.57)
die Elementsteifigkeitsmatrixund
fe WDZ
�e
H T b d�CZ
�e
H T Nt d� (7.58)
denElementlastvektor.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
8 Numerisches Beispiel für einbilineares Scheibenelement
Gegeben ist die in Abb.8.1dargestellte Scheibe mit konstanter Dicked unter Zugbe-anspruchung. Unter Annahme eines linear-elastischen Materialverhaltens und einesebenen Spannungszustandes sind die horizontalen Verschiebungen am Lastangriffs-punkt zu bestimmen.
8.1 Systemb
a
Nt
Abbildung 8.1: System und Abmessungen
a D 2m b D 1m � D 0 d D konstant Nt D�
�tx0
�
ŒkN=m2�
(8.1)
) E D E
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 12
3
5
8.2 FE-Modell
Wir diskretisieren das Gebiet mit einem bilinearen Scheibenelement.Randbedingungen:
118 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement
u1
f7
u2 u4
u6u8
u7 u5
u3
f1
Abbildung 8.2: Freiheitsgrade Scheibenelement
Die ElementsteifigkeitsmatrixKe eines Scheibenelementes mit bilinearen Ansätzenbesitzt die Dimension8�8. Unter Berücksichtigung der Randbedingungen reduziertsich diese durch Streichen von Zeilen und Spalten auf eine2�2Matrix. Das gesamtezu lösende Gleichungssystem reduziert sich damit auf
�
K11 K17
K71 K77
�
„ ƒ‚ …
Kred
�
u1
u7
�
„ ƒ‚ …
ured
D�
f1
f7
�
„ ƒ‚ …
Fred
:
Es müssen somit nur die ElementeK11,K17,K71,K77 bestimmt werden.
8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix
Ke DZ
˝e
BT CB d˝
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 119
f1
f7
u1
u7
Abbildung 8.3: Randbedingungen
Ke DZ
˝e
2
66666666664
h1;X10 h1;X2
0 h1;X2h1;X1
h4;X10 h4;X2
3
77777777775
„ ƒ‚ …
BT
2
4
E11 E12 0
E21 E22 0
0 0 E33
3
5
„ ƒ‚ …
E
2
4
h1;X10 h4;X1
0 h1;X20
h1;X2h1;X1
h4;X2
3
5
„ ƒ‚ …
B
d˝
Die Bestimmung der Koeffizienten vonKred erfolgt durch elementweise Intergration:
K11 DZ
˝e
.h21;X1
�E11 C h21;X2
�E33/ d˝
K17 DZ
˝e
.h1;X1� h4;X1
�E11 C h1;X2� h4;X2
�E33/ d˝
K71 DZ
˝e
.h1;X1� h4;X1
�E11 C h1;X2� h4;X2
�E33/ d˝
K77 DZ
˝e
.h24;X1
�E11 C h24;X2
�E33/ d˝
) Kred D�
K11 K17
K17 K77
�
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
120 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement
Ableitungen vonhi nachX1 und X2
Zur Bestimmung der Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix werden die partiellen Ab-leitungen der Ansatzfunktionen nachX1 undX2 benötigt. Diese erhält man aus derBeziehung
2
664
@
@X1
@
@X2
3
775
D J �T
2
664
@
@r
@
@s
3
775
D 1
detJ
2
664
@X2
@s�@X2
@r
�@X1
@s
@X1
@r
3
775
2
664
@
@r
@
@s
3
775
mit
J T D
2
664
@X1
@r
@X2
@r
@X1
@s
@X2
@s
3
775
und detJ D @X1
@r� @X2
@s� @X2
@r� @X1
@s:
Man beachte, dassJ �1 nur existiert, wenn detJ ¤ 0.
Die Anteile der Jacobi Matrix
J T D
2
664
@X1
@r
@X2
@r
@X1
@s
@X2
@s
3
775
erhält man aus
@X1
@rD
X
i
hi;r �X i1 D hT
;rX1
@X2
@rD
X
i
hi;r �X i2 D hT
;rX2
@X1
@sD
X
i
hi;s �X i1 D hT
;sX1
@X2
@sD
X
i
hi;s �X i2 D hT
;sX2
Hierbei sind
hT;r D 1
4
�
s � 1 �s C 1 s C 1 �s � 1�
hT;s D 1
4
�
r � 1 �r � 1 r C 1 �r C 1�
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 121
die Vektoren mit den partiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen nachr bzw. s.Ferner bezeichnen
XT1 D
�
0 a a 0�
XT2 D
�
0 0 b b�
die Vektoren mit den Knotenkoordinaten.Für das gegebene Problem folgt
@X1
@rD hT
;rX1 D 1
4Œ .�s C 1/aC .s C 1/a � D a
2@X1
@sD hT
;sX1 D 1
4Œ .�r � 1/aC .r C 1/a � D 0
@X2
@rD hT
;rX2 D 1
4Œ .s C 1/b C .�s � 1/b � D 0
@X2
@sD hT
;sX2 D 1
4Œ .r C 1/b C .�r C 1/b � D b
2
J D� a
20
0 b2
�
detJ D ab
4
J �1 D 4
ab
�b2
0
0 a2
�
D�
2a
0
0 2b
�
Im vorliegenden Beispiel eines rechteckigen Elementes istdie Jacobi Matrix kon-stant, d.h. sie hängt nicht mehr vonr unds ab. Man beachte, dass dies für ein beliebigverzerrtes Element nicht gilt.Ableitungen nachX1 undX2:
2
664
@hi
@X1
@hi
@X2
3
775
D J �T
2
664
@hi
@r
@hi
@s
3
775
D 1
detJ
2
664
@X2
@s�@X2
@r
�@X1
@s
@X1
@r
3
775
2
664
@hi
@r
@hi
@s
3
775
@hi
@X1
D 1
detJ
�@X2
@s� @hi
@r� @X2
@r� @hi
@s
�
@hi
@X2
D 1
detJ
�
�@X1
@s� @hi
@rC @X1
@r� @hi
@s
�
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
122 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement
z.B.h1:
h1;X1D @h1
@X1
D 4
ab
�b
2� 14.s � 1/� 0 � 1
4.r � 1/
�
D 1
2a.s � 1/
h1;X2D @h1
@X2
D 4
ab
�
�0 � 14.s � 1/C a
2� 14.r � 1/
�
D 1
2b.r � 1/
Bestimmung vonK11
K11 DZ
˝e
.h21;X1
� C11 C h21;X2
� C33/ d˝
D d
Z 1
�1
Z 1
�1
.h21;X1
� C11 C h21;X2
� C33/ detJ ds dr
D d
Z 1
�1
Z 1
�1
"�1
2a.s � 1/
�2
� C11 C�1
2b.r � 1/
�2
� C33
#
detJ ds dr
Mit C11 D E undC33 D 12
�E folgt:
K11 D Ed
Z 1
�1
Z 1
�1
"�1
2a.s � 1/
�2
C 1
2
�1
2b.r � 1/
�2#
detJ ds dr
Analytische Lösung:
K11 D Ed
�a
6bC b
3a
�
Mit a D 2 undb D 1 folgt
K11 D Ed
2
Numerische Lösung (Gauss-Integration):
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 123
Tabelle 8.1: Numerische Integration fürK11
i ri si f .ri ; si / � wpiwpi
1 � 1p3
� 1p3
0:23325::: 1
2 1p3
� 1p3
0:08891::: 1
3 � 1p3
1p3
0:16108::: 1
4 1p3
1p3
0:01674::: 1P0:5
0 1
s
r
4 3
21
1
�1
0
�1
Abbildung 8.4: Gausspunkte
K11 D Ed
4X
iD1
"�1
2a.si � 1/
�2
C 1
2
�1
2b.ri � 1/
�2#
� detJ .ri ; si / � wpi
D Ed
4X
iD1
f .ri ; si / � wpi
Bei dieser Integration sind die WichtungsfaktorenwpiD 1:0. In Tabelle8.1sind die
Ergebnisse der einzelnen Gausspunkte aufgeführt. Bei hinreichend großer Anzahlvon Nachkommastellen ergibt sich
K11 D Ed
2:
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
124 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement
Bestimmung vonK17; K71; K77 erfolgt analog:
K17 D �Ed4
K71 D �Ed4
K77 D Ed
2
8.4 Bestimmung des Lastvektors
In unserem Beispiel greifen nur RandlastenNt an. Die zugehörigen äquivalenten Kno-tenkräfte infolge von Randlasten berechnen sich aus
F� DZ
�
H T Nt d� :
Exemplarisch ergibt sich die Knotenkraftf1 mit konstanter Dicked somit aus
f1 DZ
�
h1 Nt1 d� D d
Z
l
h1 Nt1 dl
Am Rand mit vorgegebenenNt gilt r D �1, so dass sich die Interpolationsfunktionh1 D 1
4.1 � r/.1 � s/ reduziert zuh1 D h1jrD�1 D 1
2.1 � s/. Die differentielle
Längedl bezogen auf die Elementkante lässt sich mit Hilfe der Determinate desJacobi-Operators in den natürlichen Koordinaten ausdrücken. Es gilt
dl D detJ s ds mit detJ s D
s�@X1
@s
�2
C�@X2
@s
�2
:
Mit den zuvor gewonnenen partiellen Ableitungen nach den natürlichen Koordinatenund Nt1 D �tX1
folgt
f1 D d
Z
s
h1 Nt1 detJ s ds
D �dZ 1
�1
1
2.1 � s/ tX1
b
2ds
D �12d b tX1
:
Analog hierzu erhält man mith4 D 14.1 � r/.1C s/
f7 D d
Z
s
h4 Nt1 detJ s ds D �dZ 1
�1
1
2.1C s/ tX1
b
2ds D �1
2d b tX1
und mitb D 1 gilt somit
f1 D f7 D �12d b tX1
D �12d tX1
:
Erwartungsgemäß verteilt sich die konstante Randlast zu gleichen Teilen auf die bei-den Knoten.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
8.5 Lösung des linearen Gleichungssystems 125
8.5 Lösung des linearen Gleichungssystems
Ed
2
664
1
2�14
�14
1
2
3
775
„ ƒ‚ …
Kred
�
u1
u7
�
„ ƒ‚ …
ured
D�
f1
f7
�
D d tX1
2
664
�12
�12
3
775
„ ƒ‚ …
Fred
) ured D K�1red � fred
K�1red D 16
3Ed
2
664
1
2
1
4
1
4
1
2
3
775
�
u1
u7
�
D 16
3Ed
2
664
1
2
1
4
1
4
1
2
3
775d tX1
2
664
�12
�12
3
775
u1 D 16
3E
�
�14tX1
� 1
8tX1
�
D �2 tX1
E
u7 D 16
3E
�
�18tX1
� 1
4tX1
�
D �2 tX1
E
�
u1
u7
�
D
2
664
�2 tX1
E
�2 tX1
E
3
775
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
126 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement
8.6 Vergleich Stablösung
Die Lösung für das gewählte Modellproblem mit� D 0 unter einfacher Zugbean-spruchung lässt sich einfach durch ein eindimensionales Ersatzproblem bestimmen.
F
a
Abbildung 8.5: Eingespannter Stab
Wir betrachten den Dehnstab in Abb.8.5. Mit a D 2,A D b � d , F D tX1� b � d und
b D 1 folgt
u D a
EA.�F / D �2 tX1
E:
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
9 FEMSOLID - Ein Beispiel für einFEM-Programm
10 Erweiterte Elementformen für dieScheibe
11 Die gemischte Methode für dieScheibe
Bei Anwendung der allgemeinen Verschiebungsmethode treten bei inkompressiblenoder annähernd inkompressiblen Materialien, also wenn dieQuerkontraktionszahl0:4 � � � 0:5 ist, Probleme auf. Diese Probleme sind auf den so genannten Locking-Effekt zurückzuführen. Die Lösung beim Auftreten des Locking-Effektes ist dadurchgekennzeichnet, dass die Verschiebungen infolge der zu steifen Abbildung des Sy-stems zu klein sind. Die Konvergenz gegen die exakte Lösung stellt sich mit zuneh-mender Netzverfeinerung zwar ein, jedoch wesentlich langsamer als bei lockingfrei-en Elementen. Abhilfe für solche Probleme kann die Anwendung einer gemischtenFormulierung schaffen. Im Rahmen dieser Übung wird hierzu die B-bar Methodebetrachtet.
11.1 Grundgleichungen
Zur Herleitung der Variationsformulierung werden zunächst die Grundgleichungenbetrachtet und die Zerlegung von Verzerrungen und Spannungen in volumentrischeund deviatorische Anteile dargestellt.
11.1.1 Kugeltensor und Deviator
Die Spaltenmatrix der Verzerrungen sowie der Spannungskomponenten lautet
" D�
"x "y "z 2 "xy 2 "yz 2 "xz
�T;
� D�
�x �y �z �xy �yz �xz
�T:
(11.1)
Weiterhin istm D�
1 1 1 0 0 0�T
eine Hilfsgröße. Der Druck oder volume-trischer Anteil der Spannungen ist durch
p D �v D 1
3.�x C �y C �z/ D 1
3mT � (11.2)
gegeben. Für den volumetrischen Anteil der Verzerrungen (Volumendilatation) gilt
"v D "x C "y C "z D mT ": (11.3)
Die deviatorischen Anteile der Spannungen und Verzerrungen berechnen sich aus derDifferenz der vollständigen Spannungen und Verzerrungen abzüglich der skizzierten
132 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
volumetrischen Anteile. Damit gilt für den Spannungsdeviator
� dev D � � mp D � � 1
3m mT � D
�
I � 1
3m mT
�
� D Idev � (11.4)
sowie für den Verzerrungsdeviatior
"dev D " � 1
3m "v D " � 1
3m mT � D
�
I � 1
3m mT
�
" D Idev ": (11.5)
Die Projektionsmatrix(allgemeiner der Projektionstensor)
Idev D I � 1
3m mT (11.6)
beschreibt die Projektion der Spannungen� bzw. Verzerrungen" auf die entspre-chenden deviatorischen Anteile� dev D Idev� bzw."dev D Idev".Ebenso gelten mitIvol D 1
3m mT die Beziehungen
� vol D Ivol � D mp bzw. "vol D 1
3Ivol " D 1
3m "v: (11.7)
11.1.2 Schwache Form der Gleichgewichtsbedingung
Die virtuelle Arbeitı"T � kann mit Hilfe der obigen Beziehungen in der Form
� D � dev C � vol D Edev" C mp (11.8)
darstellen. Hieraus folgt die schwache Form der Gleichgewichtsbedingung
Gu DZ
�
ı"T Edev" d�CZ
�
ı"T mp d�
�Z
�
ıuT b d� �Z
�
ıuT Nt d� D 0:
(11.9)
Die negativen Terme sind Anteile aus der äußeren Belastung und werden hier nichtweiter erläutert (siehe klassische FEM).
11.1.3 Beschreibung der Volumendilatation
Die Verzerrungen" ergeben sich aus den Verschiebungenu durch die Differential-operatormatrixD in der Form
" D D u: (11.10)
Damit besteht die starke Formulierung für die Beziehung derVolumendilatation undder Verschiebungen in der Form
mT " � "v D mT D u � "v D 0: (11.11)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.1 Grundgleichungen 133
Die zugehörige arbeitskonforme Größe ist der virtuelle Druck ıp und man erhältsomit die schwache Form dieser Beziehung
Gp DZ
�
ıph
mT Du � "v
i
d� D 0: (11.12)
11.1.4 Beschreibung der Druckspannungen
Die Durckspannungenp können über die Volumendilatation"v mit Hilfe des Kom-pressionsmodulsK beschrieben werden und es gilt
p D K "v sowie � vol D mp mit K D E
3.1� 2�/: (11.13)
Man erkennt, dass für den Grenzfall der Inkompressibilitätder Kompressionsmodulunbegrenzt wächst, alsoK ! 1 für � ! 0; 5.Die schwache Formulierung dieser Beziehung führt zu
G"vD
Z
�
ı"v ŒK"v � p� d� D 0; (11.14)
wobei der virtuelle Druckıp die zugehörige arbeitskonforme Größe ist.
11.1.5 Beschreibung der Deviatorspannungen
Die Deviatorspannungen ergeben sich mit dem deviatorischen Anteil der Stoffmatrixzu
� dev D Edev " mit Edev D 2G .I0 � 1
3mmT /: (11.15)
Hierbei wird der SchubmodulG
G D E
2.1C �/(11.16)
sowie die Matrix
I0 D 1
2
2
6666664
2
2
2
1
1
1
3
7777775
(11.17)
verwendet.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
134 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
11.1.6 Zusammenstellung der schwachen Formulierungen
An dieser Stelle werden zunächst die integralen ForderungenGu; Gp undG"vzur
Bestimmung der Felderu; p und"v zusammengestellt. Es gilt somit
Gu DZ
�
ı"T Edev"d�CZ
�
ı"T mp d� �Z
�
ıuT b d� �Z
�
ıuT Nt d� D 0;
Gp DZ
�
ıph
mT Du � "v
i
d� D 0;
G"vD
Z
�
ı"v ŒK"v � p� d�: D 0
11.1.7 Energiepotential
Die gesamte potentielle Energie bezüglich der drei Felder für die Verschiebungenu,den hydrostatischen Druckp und die Volumendilatation"v lautet
˘ D 1
2
Z
�
�
"Tu Edev"u C "v K "v
�
d�CZ
�
p .mT "u � "v/ d�
�Z
�
uT b d� �Z
�
uT Nt d�:(11.18)
Durch Variation der potentiellen Energie nach den Verschiebungen, dem Drucksowie der Volumendilatation erhält man
ı˘ D ıu˘ C ıp˘ C ı"v˘ D 0: (11.19)
Mit der beliebigen Wahl der virtuellen Größenı Ou; ı Op undı O"v folgen damit auch diedrei BedingungenGu D ıu˘ D 0,Gp D ıp˘ D 0 sowieG"v
D ı"v˘ D 0.
11.2 Diskretisierung der schwachen Formen
11.2.1 Unabhängige Ansätze für die drei Feldgrößen
Die drei Feldgrößenu, p und"v werden unabhängig voneinander approximiert undführen auf Elementebene zur Beschreibung
u � uh D Nuue
p � ph D Nppe
"v � "vIh D N# ;#e :
(11.20)
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.2 Diskretisierung der schwachen Formen 135
Hierin sindNu;Np;Nv die Ansatzfunktionen undue ;pe;#e stellen die Unbekann-ten auf Elementebene dar. Diese können in einem erweitertenUnbekanntenvektor
Oue D
2
4
ue
pe
#e
3
5 (11.21)
für das aktuelle Element dargestellt werden. Für die Variation des Potentials folgtsomit
ı˘e D ı OuTe
n
Oke Oue � Ofe
o
: (11.22)
Weiterhin ergeben sich die modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix sowie der modifi-zierte Elementlastvektor
Oke D
2
4
Ae Ce 0
C Te 0 �Ee
0 �ETe He
3
5 sowie Ofe D
2
4
fe
0
0
3
5 : (11.23)
mit den Submatrizen
Ae DZ
�e
BT EdevB d�
Ce DZ
�e
BT mNp d�
Ge DZ
�e
N T# Np d�
He DZ
�e
N T# KN# d�
fe DZ
�e
N Tu b d�C
Z
�e
N Tu
Nt d�
(11.24)
Die Verwendung globaler Unbekanntenvektoren und die Assemblierung der Ele-mentbeiträge führt auf das globale Gleichungssystem
OK OU D OF (11.25)
mit den globalen Größen
OK D
2
4
A C 0
C T 0 �E
0 �ET H
3
5 und OU D
2
4
U
P
�
3
5 sowie OF D
2
4
F
0
0
3
5 : (11.26)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
136 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
11.2.2 Statische Kondensation auf Systemebene
Die zweite Gleichung des globalen GleichungssystemsC T U � E � D 0 besitztdie Lösung
� D E�1 C T U D W U : (11.27)
Hierbei wird die Invertierbarkeit vonE vorausgesetzt, die bei identischer Wahl derAnsätze für den Druckp und die Volumendilatation"v, d.h.Np D N# mit einersymmetrischen und positiv definiten MatrixE gegeben ist.Die dritte Gleichung�ET P C H � D 0 besitzt unter Verwendung der obigenBeziehung die Lösung
P D E�T H � D E�T H E�1 C T U : (11.28)
Damit kann die erste GleichungA U CC P D F mit der modifizierten Steifigkeits-matrix NK D A C W T H W in die Form
NK U D F (11.29)
gebracht werden.
11.2.3 Statische Kondensation auf Elementebene
Bei geschickter Wahl der AnsatzfunktionenNu, N# undNp kann die statische Kon-densation bereits auf Elementebene erfolgen. Hierzu werden unstetige Ansätze fürdie Größen"v undp im Element gewählt. Die Verschiebungenu werden weiterhinstetig über die Elemente approximiert. Damit liefern die Unbekanntenpe und #e
nur im betreffenden Elemente Beiträge. Die MatrizenC ;E undH besitzen damitDiagonalstruktur und eine Zerlegung der Gleichungen (11.27) und (11.31) auf Syste-mebene inne Gleichungen für die entsprechenden Elemente ist möglich. Man erhältsomit
#e D E�1e C T
e ue D We ue (11.30)
sowiepe D E�T
e He #e D E�Te He E�1
e C Te ue: (11.31)
Damit kann die modifizierte SteifigkeitsmatrixNke in der Form
Nke D Ae C W Te He We (11.32)
berechnet werden. Die kondensierte Gesamtsteifigkeitsmatrix NK der gemischten Me-thode kann in diesem Fall durch die Assemblierung der kondensierten Elementstei-figkeitsmatrix Nke bestimmt werden.
11.2.4 Die B-bar Formulierung
In einem weiteren Schritt wird die Diskretisierung11.20durch die WahlNp D 1
undN# D 1 und bilinearen Ansätzen für die Verschiebungen weiterhin vereinfacht
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.2 Diskretisierung der schwachen Formen 137
und es gilt
u � uh D Nuue
p � ph D Np pe D Np pe D pe
"v � "vIh D N# #e D N# #e D #e:
(11.33)
Das Element zeichnet sich dadurch aus, dass im Element sowohl der Druckp alsauch die Volumendilatation"v jeweils durch eine konstante Größepe bzw.#e ap-proximiert werden.So lässt sich die Beziehung (11.23) wie folgt
NAu D f (11.34)
darstellen. Hierbei sind
NA DZ
�
NBTE NB d� � modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix
NB D IdevB C 1
3mN#W � modifizierte Verzerrungsverschiebungsmatrix
E D Edev CKmmT � Stoffmatrix(11.35)
Mit W D G �1C T , Idev D I � 13mmT und der.6 � 6/ EinheitsmatrixI sind alle
Größen angegeben um das B-bar Element implementieren zu können.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
138 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
11.3 Implementierung der B-bar Methode
11.3.1 Berechnungsschema der modifizierten Steifigkeitsmatrix
1.) Vorbereitung der numerischen Integration und Definition der Stoffmatrix
Entscheiden ob EVZ/ESZE D :: (Stoffmatrix)Gp D :::(Gaußpunkte)W D ::: (Gewichte)
2.) Schleife über die Gaußpunkte
AnfangaaaB D ::: (analog zur Standard-FEM)aaaE D :::
Ende
3.) Bestimmung der Hilfsgrößen
C T D mT B
G�1 D 1G
W D G�1C T
4.) Schleife über die Gaußpunkte
AnfangaaaDie modifizierte Verzerrungsverschiebungsmatrix wird bestimmtaaaNB D IdevB C 1
3mW
aaaDie modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix wird bestimmt
aaaNA D NBTE NB dV
Ende
11.3.2 Hinweise zur Implementierung
1. Gleiche Ansätze fürp und "v wurden gewählt um eine quadratische Matrixfür G zu erhalten (Vorteil der Invertierbarkeit). In dem hier betrachteten Fallist G gerade ein Skalar.
2. Konstante Ansätze fürp und "v wurden gewählt um diese Größen auf derElementebene eliminieren zu können. Da bei konstanten Ansätzen die Funk-tionen Sprünge auf den Elementrändern aufweisen, sind Sie unabhängig voneinander.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.3 Implementierung der B-bar Methode 139
3. Die Matrix B aus dem Schritt 2). darf nicht beim Schritt 4). verwendet wer-den, da die Beziehung
Z
x2 ¤Z
x �Z
x
gilt.
4. Die Bestimmung der Verzerrungsverschiebungsmatrix im Schritt 2). ist analogzur Standard-FEM durchzuführen.
5. Die Modifizierung des Standard-FEM-Programms erfolgt ausschließlich inder Elementroutine.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
140 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.3 Implementierung der B-bar Methode 141
11.3.3 Überprüfung der Dimensionen einzelner Größen
Im Folgenden werden mit ’�’ Zahlenwerte angedeutet. Die Dimensionen der Größenwerden für einen Scheibenelement angegeben.
E D
2
4
� � �� � �� � �
3
5
.3�3/
B D
2
4
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
3
5
.3�8/
E D�
��.1�1/ ! E�1 D
�
��.1�1/
mT D�
1 1 0�.1�3/
Np D N# D 1
C T DZ
�
mT B D�
� � � � � � � ��.1�8/
! W D G�1C T D�
� � � � � � � ��.1�8/
NB D IdevB C 1
3mW
D
2
4
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
3
5
.3�8/
C
2
4
���
3
5
.3�1/
�
� � � � � � � ��.1�8/
D
2
4
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
3
5
.3�8/
NA DZ
�
NBTE NB D
2
66666666664
� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
3
77777777775
.8�3/
2
4
� � �� � �� � �
3
5
.3�3/ 2
4
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
3
5
.3�8/
D
2
66666666664
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �
3
77777777775
.8�8/
(11.36)
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
142 11 Die gemischte Methode für die Scheibe
11.4 Übung zum Thema: B-bar Methode
1. Implementieren Sie die B-bar Methode in das ProgrammFemsolid (DasProgramm befindet sich im Austauschordner. Alternativ kanndas Programmvon der letzten Übung verwendet werden).
2. Sorgen Sie dafür, dass der Benutzer des Programms zwischen dem klassischenVerschiebungselement und der B-bar Methode umschalten kann.
3. Für das Modell im Bild?? soll eine Konvergenzstudie durchgeführt werden.Hierzu soll das Programm femsolid dahingehend verändert werden, dass esdas vorhandene Netz von Iteration zur Iteration automatisch verfeinert undzu jeder Iteration die Verschiebung in y-Richtung am oberem, rechtem Punktspeichert.
4. Führen Sie jeweils für die Verschiebungs- und für die B-bar Methode zweiKonvergenzstudien durch. Die Querkontraktion soll dabei zu � D 0:33 undzur� D 0:49 gesetzt werden.
5. Plotten Sie die Ergebnisse. Dabei soll das eine Diagramm für � D 0:33 unddas andere für� D 0:49 erstellt werden. Tragen Sie die Verschiebungen überdie Anzahl der Elemente in die jeweiligen Diagramme ein.
Geometrie Material
a D 16 E D 70
b D 44 � D 0:33=� D 0:49
c D 48 F D 100
Eine Möglichkeit das Netz zu verfeinern ist die Unterteilung der Seiten der Scheibeim Bild ?? in gleich viele Elemente. Über die Anzahl der Elemente pro Kantenekwürde man dann in den Diagrammen die Verschiebungen abtragen. Ein Beispiel fürdie Vernetzung dieser Art ist im Bild??dargestellt.
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
11.5 Vergleichslösung mit Ansys 143
11.5 Vergleichslösung mit Ansys
Im Folgenden werden die Konvergenzkurven für die Verschiebungs- und die B-bar-Methode dargestellt. Diese Konvergenzkurvenwurden mit der elften VersionAnsysunter Verwendung der ElementePlane 42 undPlane 182 erstellt.
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
Anhang
Notation und Literatur
Notation und Symbole
Mathematik
Grundlagen
R Menge der reellen Zahlen.�/0; .�/;x Ableitung nach Koordinatex8 Allquantor (für alle)9 Existenzquantor (es existiert)L Differentialgleichungsoperatorb Rechte Seite der DifferentialgleichungLu D b
a.�; �/ Bilinearforma W V � V ! R
F.�/ LinearformF W V ! R
Kontinuumsmechanik
Gebiete und Ränder� Gebiet (offenes Gebiet ohne Rand)N� Gebiet mit RandN� D � [ �
�i Teilgebiete von�� Rand� D �D [ �N
�D Dirichlet-Rand�N Neumann-Rand�K Kopplungs-Rand zwischen den TeilkörpernA QuerschnitssflächeL Strukturlänge der Stäbe und Balken
Fundamentale Funktionenu Verschiebungsfunktionv Testfunktionıu Virtuelle Verschiebungp; q Volumenlasten, parallel und senkrecht zur StabachseF vorgegebene Randlasten" Verzerrungstensor"T Thermische Verzerrungen"� Spannungsbildende Verzerrungen� SpannungstensorE Materialtensor
148
E ElastizitätsmodulG Schubmodul� Querdehnzahl˛T Wärmeausdehnungkoeffizient�T Temperaturänderung�Tm; �Tlin konstanter und linearer Anteil der Temperaturerhöhung�To; �Tu Temperaturerhöhung an der oberen und unteren Kante
Randbedingungen und äußere Lasten
Nu Vorgegebene Verschiebungu D Nu der Stabachse inx-RichtungNw Vorgegebene Durchbiegungw D Nw der Stabachse inz-RichtungN' Vorgegebene Verdrehung' D N'der Stabachse um diey-Achse
NN Vorgegebene NormalkraftN D NNNQ Vorgegebene QuerkraftQ D NQNM Vorgegebenes BiegemomentM D NM
Hinweise Die vorgeschriebenen Werte der Randbedingungen werden durch einenÜberstrich gekennzeichnet und beispielsweise gilt für eine EinzelkraftF am Neumann-Randx D 0 die BeziehungN.0/ D NN.0/ D F .
Energie und Variation
R.�; �/ Schwache Form des Gleichgewichts (erste Greensche Identität)Re.�; �/ Elementanteil anRRk.�/ Knotenanteil aus den Randbeiträgen der schwachen Form˘ Gesamte potentielle Energie˘i Innere potentielle Energie˘a Äußere potentielle EnergieW ArbeitWi Innere ArbeitWa Äußere ArbeitıW Gesamte virtuelle ArbeitıWi Innere virtuelle ArbeitıWa Äußere virtuelle Arbeit
Finite Elemente Methode
Gebiete, Ränder und Elemente
�h FE-Approximation�h des Gebietes��h FE-Approximation�h des Randes��e Elementgebiet ohne Rand�e Rand des Elementes�e
N�e Elementgebiet mit RandN�e D �e [ �e
l; le Elementlänge
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
149
Variablenmk Anzahl der Knoten am ElementENODEmf Anzahl der Freiheitsgrade am KnotenKDOFme Anzahl der Freiheitsgrade am ElementEDOFne Anzahl der Elemente auf SystemebeneNELnk Anzahl der Knoten auf SystemebeneNNODEnf Anzahl der SystemfreiheitsgradeNDOF
Diskrete Energie und diskrete schwache Form
Rh.�; �/ Schwache Form des Gleichgewichts (erste Greensche Identität)RhIe.�; �/ Elementanteil anRRhIk.�/ Knotenanteil aus den Randbeiträgen der schwachen Form˘h Gesamte potentielle Energie˘hIe Elementanteil an der gesamten potentiellen Energie˘hIk Knotenanteil an der gesamten potentiellen Energie˘hIi Innere potentielle Energie˘hIi Ie Elementanteil an der inneren potentiellen Energie˘hIi Ik Knotenanteil an der inneren potentiellen Energie˘hIa Äußere potentielle Energie˘hIaIe Elementanteil an der äußeren potentielle Energie˘hIaIk Knotenanteil an der äußeren potentiellen EnergieıWh Gesamte virtuelle ArbeitıWhIe Elementanteil an der gesamten virtuellen ArbeitıWhIk Knotenanteil an der gesamten virtuellen ArbeitıWhIi Innere virtuelle ArbeitıWhIi Ie Elementanteil an der inneren virtuellen ArbeitıWhIi;k Knotenanteil an der inneren virtuellen ArbeitıWhIa Äußere virtuelle ArbeitıWhIaIe Elementanteil an der äußeren virtuellen ArbeitıWhIa;k Knotenanteil an der äußeren virtuellen Arbeit
Weitere Wertehi Ansatzfunktion am Knotenih Vektor der Ansatzfunktionenuh FE-Approximation der Verschiebungsfunktionvh FE-Approximation der Testfunktionui
j Diskrete Verschiebung am Knoteni in Richtungjxi
j Knotenkoordinate am Knoteni in RichtungjD DifferentialoperatorAe Boolesche ElementmatrixT Transformationsmatrixke / keIr Elementsteifigkeitsmatrix (reduziertes lokales KOS.x/ )keIx Elementsteifigkeitsmatrix (vollständiges lokales KOS.x; y/ )keIX Elementsteifigkeitsmatrix (globales KOS.X; Y / )
Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011
150
Ke Elementsteifigkeitsmatrix auf SystemebeneK Systemsteifigkeitsmatrixue / ueIr Elementverschiebungsvektor (reduziertes lokales KOS.x/ )ueIx Elementverschiebungsvektor (vollständiges lokales KOS.x; y/ )ueIX Elementverschiebungsvektor (globales KOS.X; Y / )U Systemverschiebungsvektorfe / feIr Elementlastvektor (reduziertes lokales KOS.x/ )feIp Anteil am Elementlastvektor infolgepfeI NN Anteil am Elementlastvektor infolgeNNfeIT Anteil am Elementlastvektor infolge�TfeIx Elementlastvektor (vollständiges lokales KOS.x; y/ )feIX Elementlastvektor (globales KOS.X; Y / )Fe Elementlastvektor auf SystemebeneF Systemlastvektorre ElementresiduumR Residuum
Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke
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[12] Stein, Erwin ; Barthold, Franz-Joseph: Einführung in die Elastizitätstheorie/ Numerische Methoden und Informationsverarbeitung, TU Dortmund. 2004.– Vorlesungsunterlagen2
Index
Airysche Spannungsfunktion,66, 68
biharmonische Differentialgleichungenfür die Verschiebungskom-ponenten,60
bulk modulus,53
Differentialgleichung für die Scheibe,69
Elastizitätsmodul,53
Fouriersches Integral,76
Gleichungen von Beltrami,63Gleichungen von Michell,63
Integrabilitätsbedingungen,23
Kompatibilitätsbedingungen,23, 61Kompressionsmodul,53
Maxwellsche Spannungsfunktion,64
Poisson’ s ratio,53
Querkontraktionszahl,53
Schubmodul,53Spannungskonzentrationsfaktoren,92St. Venantschen Kompatibilitätsbedin-
gungen,23
Verträglichkeitsbedingungen,23, 61
Young’s modulus,53
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