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EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
PUNTOS
Ejercicio nº 1.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1)
Ejercicio nº 2.-
Representa los puntos siguientes:
A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0)
Ejercicio nº 3.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)
Ejercicio nº 4.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4)
Ejercicio nº 5.-
Representa los puntos siguientes:
A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4)
Ejercicio nº 6.-
Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales.
Ejercicio nº 7.-
Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1).
2
Ejercicio nº 8.-
Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:
A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)
Ejercicio nº 9.-
Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). Halla los otros dos vértices.
Ejercicio nº 10.-
Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.
RECTAS
Ejercicio nº 11.-
a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:
b) Halla si es posible, el punto de intersección.
Ejercicio nº 12.-
Consideramos las dos rectas:
Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido.
nto.procedimie el Explica 072
01132.
=−−=+−
zyyx
=−−−=+++
0103
zyxzyx
r :
21
21
−+
=+=+ dzyxs :
3
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas
anteriores.
Ejercicio nº 14.-
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:
Ejercicio nº 15.-
Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:
Razona la respuesta.
PLANOS
Ejercicio nº 16.-
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:
y es paralelo al plano que contiene a los puntos:
A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3)
Ejercicio nº 17.-
Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:
6101
22y
22242
−=
−+
=−
=+−=−+ zyxs
zyxzyx
r ::
323y
543
21 kzyxszyxr −
==−
=−
=− ::
λ−=λ+=
λ−=
=−+−=+−+
331
3
012012
21
zyx
rzyxzyx
r ::
=+=−=+−
153202
yxzxzyx
( )( ) ( )
=++−=+−+−+−
−=−+−
azayxazayaax
zyxa212
12
4
Ejercicio nº 18.-
Dados los planos:
π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 estudia su posición relativa según los valores de m.
Ejercicio nº 19.-
a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:
π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1).
Ejercicio nº 20.-
Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:
π2: 4x + ay − 2z = 5
RECTAS Y PLANOS
Ejercicio nº 21.-
Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros. Los planos son:
Ejercicio nº 22.-
Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:
y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento.
µ+=µ−λ=
µ+λ−=π
21
23
1
zyx
:
=++=++=++
114103322
zymxzyxzyx
=+−+=−+−
043022
zyxzyx
r :
5
Ejercicio nº 23.-
Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el
origen de coordenadas. b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r.
Ejercicio nº 24.-
Se consideran las rectas:
y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). a) Da la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. c) Comprueba que la otra recta es paralela a π.
Ejercicio nº 25.-
Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo:
=−−=−−
=−+=−
0202
01201
zyzx
szyx
r :,:
1120
110
8342 zyxs
zxzy
r =−−
=−
−=−=
::
6
SOLUCIONES PUNTOS
Ejercicio nº 1.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1) Solución:
Ejercicio nº 2.-
Representa los puntos siguientes:
A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0) Solución:
Ejercicio nº 3.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)
7
Solución:
Ejercicio nº 4.-
Representa los puntos siguientes:
A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4) Solución:
Ejercicio nº 5.-
Representa los puntos siguientes:
A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) Solución:
8
Ejercicio nº 6.-
Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales. Solución:
Ejercicio nº 7.-
Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1). Solución:
Llamamos P '(α, β, γ), de manera que:
Ejercicio nº 8.-
Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:
A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)
=
++−−
= 2,31,
31
342,
321,
323P
( ) ( ) ( )
=
++−−
= 4,32,
32
3422,
3212,
3232Q
( )5,9,4'
512
3
952
1
432
2
P
=γ→=γ+−
=β→=β+
=α→=α+
9
Solución:
misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:
Ejercicio nº 9.-
Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). Halla los otros dos vértices. Solución:
Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2). C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:
Por otro lado, D es el simétrico de B respecto de M. Así:
Los puntos , y están alineados siempre que los vectores y tengan laA B C AB BC
2302
575
6826
−−
=−−
=−− a
14522
5=→=−→=
− aaa
( )1,4,1
112
1
422
0
112
3
11
11
11
−−=
−=→−=+−
=→=+
−=→=+
C
zz
yy
xx
( )5,6,0
512
3
622
2
012
2
22
22
22
−=
−=→−=+
=→=+−
=→=+
D
zz
yy
xx
10
Ejercicio nº 10.-
Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. Solución:
(2, −1, −1) = (−2 − x, 3 − y, 1 − z) de donde: x = −4, y = 4, z = 2 → D(−4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:
RECTAS
Ejercicio nº 11.-
a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:
b) Halla si es posible, el punto de intersección. Solución:
( ):,, Si . que tiene se amo,paralelogr un de trata se Como zyxDDCAB ==
=
23,
23,
21M
nto.procedimie el Explica 072
01132.
=−−=+−
zyyx
( )( )
=•
1,1,1d :dirección Vector0,7,5 :Punto
: recta, Primeraa)r
Rr
( )( ) ( ) ( )
=−×−=−−→−=−==
•2,4,62,1,00,3,2d :dirección Vector
3,1,43,4,1 :Punto: recta, Segunda
s
Szxys
cruzan. se o cortan se y tanto, Por paralelos. son no d y d dirección vectores Los sr sr
11
se cortan.
Sustituimos en uno de los planos que definen a la segunda recta: 2(5 + λ) − 3(7 + λ) + 11 = 0 → λ = 0 Sustituimos este valor de λ y obtenemos P(5, 7, 0).
Ejercicio nº 12.-
Consideramos las dos rectas:
Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido. Solución:
• Veamos cuáles son las ecuaciones paramétricas de r :
Un punto de r: y = 0 → x = 1, z = −2 → R(−1, 0, −2) Vector dirección: (1, 1, 1) × (1, −1, −1) = (0, 2, −2) // (0, 1, −1)
• Ecuaciones paramétricas de s:
mismo el en no o está , vector el si vemos otro, lo o uno lo ocurre si averiguar Para RS
las por formada matriz la de tedeterminan el osestudiarem ello Para .d y d que plano sr
. y d ,d de scoordenada sr RS
( )3,6,9 −−−=RS
0123123111
6369
246111
=−=−−−
srsrRS y rectas las que implica que lo , y que plano mismo el en está tanto, Por
λ=λ+=λ+=
z7y5x
:asparamétric en recta primera la Expresamosb)
=−−−=+++
0103
zyxzyx
r :
21
21
−+
=+=+ dzyxs :
λ−−=λ=−=
2
1 : de asparamétric Ecuaciones
zyx
r
12
Un punto: (−1, −1, −d) Vector dirección: (2, 1, −2)
Para que r y s se corten, el siguiente sistema ha de tener solución:
Si d = 1, las rectas se cortan en el punto (−1, −1, −1), (se obtiene al sustituir λ en las ecuaciones de r, o bien µ y d en las ecuaciones de s).
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas
anteriores. Solución:
nos informa sobre la posicioón relativa de r y s.
b) Ni A ni B pertenecen a las rectas r y s.
µ−−=µ+−=
µ+−=
21
21 : de asparamétric Ecuaciones
dzyx
s
111
0
221
211
=→−=−−=λ
=µ
µ−−=λ−−µ+−=λ
µ+−=−
ddd
6101
22y
22242
−=
−+
=−
=+−=−+ zyxs
zyxzyx
r ::
( ) ( ) ( )( )
1Vector dirección: d 2, 1, 1 1, 2, 2 0, 5, 5a) :
Un punto: si 0 0, 2 2, 0, 0r
z y x P = − × − = − −
= → = = →
( )( )
−−−=
0,1,2 :punto Un6,10,2d :dirección Vector: 2
Qs
( )0,1,0 −=PQ
PQyd,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 21
0106250
10106102550
≠=−−
⋅=−
−−−−
( ) cruzan. se rectas las tanto, Por tres. es ,d,d de rango El 21 PQ
13
Ejercicio nº 14.-
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:
Solución:
Ejercicio nº 15.-
Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:
Razona la respuesta. Solución:
323y
543
21 kzyxszyxr −
==−
=−
=− ::
( ) ( )
( ) ( )( )kRS
kSs
Rr
s
r,3,2
,0,33,1,2d:
0,3,15,4,2d:−=
=→=
=→=
: y d,d de scoordenada las por formada matriz la de rango el osEstudiarem RSsr
31026;26
32312542
=→=+−+−=−
kkkk
se rectas las tanto por es,dependient elinealment son y d ,d vectores los 31 Si RSk sr
=
cruzan. se rectas las ,31 Si cortan. ≠k
λ−=λ+=
λ−=
=−+−=+−+
331
3
012012
21
zyx
rzyxzyx
r ::
( ) ( ) ( )( )
−→−==→=−−−=−×−=
0,1,01,00 si :punto Un3,5,11,1,22,1,1d :dirección de Vector:
1
11 Ryxz
r
14
sobre la posición relativa de r1 y r2:
PLANOS
Ejercicio nº 16.-
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:
y es paralelo al plano que contiene a los puntos:
A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3) Solución:
El sistema:
Obtenemos el plano que contiene a A, B y C:
−8(x − 1) − 13(y − 0) + 3 (z + 1) = 0 → −8x − 13y + 3z + 11 = 0
( )( )
−−=
0,1,0 :punto Un3,3,3d :dirección Vector:
2
22 R
r
( )0,2,021 =RR
informa nos y d,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 2121 RR
( ) 012623331
·2020333351
≠=−⋅−=−−−−
−=−−−−−
cruzan. se rectas las tanto, Por 3. es ),d,d( de rango El 2121 RR
=+=−=+−
153202
yxzxzyx
( )1,0,1:punto el solución como tiene
153202
−
=+=−=+−
Pyxzxzyx
( )( )
( )3,13,8n6,2,1
7,1,1 −−=×=
−== ACAB
ACAB
( ) ( ) así: ,1,0,1 por pasa y 3,13,8n normal vector como tiene buscado plano El −−−= P
15
Ejercicio nº 17.-
Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:
Solución:
Estudiamos la posición relativa a partir de los determinantes:
• a = 1
• a = −1
Los tres planos se cortan en una recta.
• a ≠ 1 y a ≠ −1, los tres planos se cortan en un punto.
Ejercicio nº 18.-
Dados los planos:
π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 estudia su posición relativa según los valores de m. Solución:
Las ecuaciones de los planos son:
• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si m = 2.
( )( ) ( )
=++−=+−+−+−
−=−+−
azayxazayaax
zyxa212
12
( ) ( )1·1111
212112
223 +−=+−−=−
+−−−−−
aaaaaa
aaaa
corta. los )(1 otro ely )3 y (2 escoincident planos dos Tenemos
111
o
oo
=++−=++−=−+−
zyxzyxzyx
−−−−−
→
−−−−−−−
→
−−−−−−−−
+
⋅+
000010021113
200440081113
111113311113
)1()3(
)1(3)2(aa
aa
−=++=++
364
zymxmzmyx
16
En tal caso, las ecuaciones son:
Los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.
• Si m ≠ 2, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de
rango 2.
Ejercicio nº 19.-
a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:
π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1). Solución:
a) Si π1 y π2 han de ser paralelos, se tiene que:
b) El plano buscado ha de ser de la forma: 2x − y + z + D = 0 Si contiene al punto A, debe verificarse: 2 · 3 − 1(−2) + 1 + D = 0 → D = −9 El plano será: 2x − y + z −9 = 0
Ejercicio nº 20.-
Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:
π2: 4x + ay − 2z = 5
−=++=++
326224
zyxzyx
2,412
12−==→=
−= nmnm
µ+=µ−λ=
µ+λ−=π
21
23
1
zyx
:
17
Solución: π1, expresado de forma implícita, es: 2x + 2y − z = 5 Así, tenemos el sistema:
• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si a = 4. En tal caso, los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.
• Si a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2.
RECTAS Y PLANOS
Ejercicio nº 21.-
Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros. Los planos son:
Solución:
Se trata de hallar el valor de m para que el sistema sea compatible indeterminado. Matricialmente:
recta. Para que el 3er
plano contenga a dicha recta, ha de ser ran(A) = ran(A') = 2.
=−+=−+
524522
zayxzyx
=++=++=++
114103322
zymxzyxzyx
'
1141032
1311
21
A
A
m
una de largo lo a cortan se planos primeros dos los nteefectivame ,021311
Como ≠−=
18
Para estudiar el rango de A' hallamos el determinante siguiente:
Con todo esto podemos afirmar que ran(A) = ran(A'). Para que este rango sea 2, bastará con que |A | = 0:
Conclusión: Para m = 7, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio nº 22.-
Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:
y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento. Solución:
1º. Hallamos un punto, R ∈ r. Por ejemplo, haciendo x = 0 obtenemos:
R(0, −1, 1)
011410313211
=
7014281032012410132111
=→=+−=−−−++== mmmmm
A
=+−+=−+−
043022
zyxzyx
r :
2 . Hallamos d , vector dirección de :r r
º
( ) ( ) ( )7,3,21,3,11,1,2d −=−×−=r
3 . El vector será normal al plano buscado :rRP d×
º
( )0,2,2 −RP
( ) ( ) ( )2,14,147,3,20,2,2d −−=−×−=× rRP
( ).177n tomar Podemos −,,
19
4º. El plano pasa por P(2, −3, 1) y es perpendicular a (7, 7, −1). Su ecuación será:
7(x − 2) + 7(y + 3) − 1(z − 1) = 0 → 7x − 14 + 7y + 21 − z + 1 = 0
→ 7x + 7y − z + 8 = 0
Ejercicio nº 23.-
Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el
origen de coordenadas. b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r. Solución:
Ecuación del plano:
−1x + 0y + 1z = 0 → −x + z = 0
Ecuación del plano buscado: 1(x − 0) − 1(y − 1) + 1(z + 1) = 0 → x − y + z + 2 = 0
Ejercicio nº 24.-
Se consideran las rectas:
y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). a) Da la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. c) Comprueba que la otra recta es paralela a π. Solución: a) Obtención del vector normal al plano π:
( ) buscado. plano al larperpendicu vector un es n1,0,1dda)
=−=× sr
( ).1,1,1d normal vector por tiene a larperpendicu plano Unb) −=rr
=−−=−−
=−+=−
0202
01201
zyzx
szyx
r :,:
20
Ecuación del plano:
−1(x − 1) + 1(y − 0) + 0(z − 2) = 0 → π: x − y + 1 = 0
b) Hallamos los vectores de dirección de las rectas:
Por tanto, r corta a π.
Por tanto, s es paralela a π o, acaso, está contenida en π. Hallamos un punto de s: z = 0 → x = 2, y = 2 → S(2, 2, 0) S no pertenece a π, por tanto, s es paralela a π.
Ejercicio nº 25.-
Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo:
Solución:
El vector de dirección de r se obtiene a partir de los vectores normales a los planos que definen la recta r.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )0,1,1n1,0,02,0,11,0,1
0,1,12,0,12,1,2 −=×=
−=−==−= ACAB
ACAB
( ) ( ) ( )2,1,01,2,00,0,1d −=×=r
( ) ( ) ( )1,1,11,1,01,0,1d =−×−=s
:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿
rr π
( ) ( ) 010,1,12,1,0nd ≠−=−−= ··
r
:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿c)
ss π
( ) ( ) 00,1,11,1,1d =−= ·· ns
1120
110
8342 zyxs
zxzy
r =−−
=−
−=−=
::
( ) ( )3,0,1n,2,1,0n 21 −=−=
( ) ( ) ( )1,2,33,0,12,1,0d =−×−=r
:tanto Por .d y d a larperpendicu es buscado plano al ,n normal, vector El sr
π
21
Puesto que π contiene a r, localicemos un punto de π a partir de r: En r, si z = 0, se obtiene y = −4, x = −8. Por tanto, (−8, −4, 0) ∈ π. Ecuación de π:
3(x + 8) − 2(y + 4) − 5 (z − 0) = 0 → 3x − 2y − 5z + 16 = 0
( ) ( ) ( )5,2,31,1,11,2,3n −−=−×=
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