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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (4)
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIS 1532 (4)
Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile
2do. Semestre 2010
Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (4)
Electrostatica, Trabajo
Energıa potencial
F
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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (4)
Electrostatica, Trabajo
TrabajoCalculemos el trabajo realizado para mover una carga q en contradel campo electrico, desde A a B:
~F = −q~E W =
∫ B
A
~F · d~l = −q∫ B
A
~E · d~l
A
B
dl
E
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Electrostatica, Trabajo
Tomemos por ejemplo el campo debido a una carga q′, ~E = kq′ ~rr3 .Entonces el trabajo para mover una carga q de A a B es:
W = −q∫ B
Akq′
~rr3 · d~r = kqq′
[1rB− 1
rA
]
A
B
q’
q
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Electrostatica, Trabajo
Si el punto A esta en infinito el trabajo por unidad de carga es:
w = −∫ B
Akq′
~rr3 · d~r = k
q′
rB(1)
A
B
q’
q
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Electrostatica, Propiedad del campo electrico
Propiedad del campo electricoEl campo electrico tiene una dependencia espacial de la forma:
~rr3 = −∇1
r
Ası por ejemplo:
~E =1
4πεo
∫ρ(r ′)(~r −~r ′)|~r −~r ′|3
d3r ′ = − 14πεo
∇∫
ρ(r ′)|~r −~r ′|
d3r ′
Esto nos muestra que ~E se puede escribir como el gradiente de unacantidad escalar. Por lo tanto:
∇× ~E = 0
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Electrostatica, Propiedad del campo electrico
Alternativamente:Se puede demostrar facilmente que el rotor del campo electrostaticoes cero:
∇× ~E = 0
Esto implica que ~E puede ser escrito como:
~E = −∇V , ya que el rotor de un gradiente es cero
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Potencial electrostaticoLa cantidad V se llama potencial electrostatico.Si aplicamos esto al calculo del trabajo realizado para mover unacarga unidad q = 1 de A a B en presencia de un campo electrico:
W = −∫ B
A
~E · d~l =
∫ B
A∇V · d~l = VB − VA
Es decir el trabajo realizado para mover la carga q = 1 entre A y B esigual a la diferencia de potencial entre estos puntos.
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ya que
~E = −∇V y ~E = − 14πεo
∇∫
ρ(r ′)|~r −~r ′|
d3r ′
podemos concluir que el potencial se puede escribir como:
V (~r) =1
4πεo
∫ρ(r ′)|~r −~r ′|
d3r ′ + const.
Donde la constante es un potencial de referencia. En el caso decargas ubicadas en una region finita del espacio, el potencial eninfinito es cero, y se toma como el potencial de referencia, y por lotanto la constante se toma igual a cero.
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Si se trata de distribuciones de cargas en una superficie σ o en una lınea λ,simplemente se reemplaza ρ(~r ′)d3r ′ por σ(~r ′)d2r ′ y λ(~r ′)dr ′,respectivamente.Para una carga puntual q el potencial a la distancia r desde ella esta dadopor la ecuacion (1), i.e.:
V =1
4πεo
qr
Ahora si la carga puntual q esta ubicada en la posicion ~r ′, el potencial en laposicion ~r es:
V (~r) =1
4πεo
q|~r −~r ′|
Para un conjunto de cargas puntuales q1, q2, . . . qn ubicadas en lasposiciones ~r1,~r1, . . . ,~rn, el potencial es:
V (~r) =1
4πεo
n∑i=1
qi
|~r −~ri |
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 1Calcular el potencial en el eje de un anillo con una carga quniformemente distribuıda. Calcular el campo electrico.
dl
z
R
h
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Aquı debemos utilizar:
V (~r) =1
4πεo
∫λ(~r ′)dr ′
|~r −~r ′|
donde la distribucion lineal de carga es λ(~r ′) = const. = λ = q/(2πR).
El vector ~r indica el punto donde se mide el potencial, es decir,~r = hz. El vector ~r ′ indica un punto del anillo, |~r ′| = R, y dr ′ unelemento de arco del anillo. Entonces:
|~r −~r ′| =√
h2 + R2
y el potencial es:
V =1
4πεo
∫λ√
h2 + R2dr ′ =
14πεo
λ√h2 + R2
∫dr ′
=2πR4πεo
λ√h2 + R2
=λR
2εo√
h2 + R2
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 2Calcular el potencial de un disco de radio R uniformente cargado conuna densidad de carga σ
z
h
drr
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Usamos la expresion obtenida para el anillo en en Ejemplo anterior. Paraesto tomamos un anillo de radio 0 < r < R de espesor dr . Este anillo tieneun area igual a 2πrdr y por lo tanto su carga es σ2πrdr y la carga por unidadde largo es:
dλ =σ2πrdr
2πr= σdr
Reemplazando en la expresion para el anillo (con R = r ), tenemos:
dV =rσdr
2εo√
h2 + r 2
Luego, con s = r 2
V =σ
2εo
∫ R
0
rdr√h2 + r 2
=σ
4εo
∫ R2
0
ds√h2 + s
=σ
4εo
∫ R2
0
dds
[2√
h2 + s]
ds =σ
2εo
[√h2 + R2 − h
]
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Si hacemos R →∞ tendrıamos el potencial de un plano infinito. Sinembargo en este lımite obtenemos∞, por que este caso el potencialno converge a cero a grandes distancias. Lo que podemos calculares la diferencia de potencial, debido al plano infinito, para dos valoresh distintos, i.e. h1 > h2. Ası obtenemos:
∆V =σ
2εolım
R→∞
[√h2
1 + R2 − h1 −√
h22 + R2 + h2
]
=σ
2εolım
R→∞
R
√1 +
(h1
R
)2
− h1 −
√1 +
(h2
R
)2+ h2
=
σ
2εolım
R→∞
[R{
1 +12
(h1
R
)2
+18
(h1
R
)4
+ · · ·}
−h1 − R{
1− 12
(h2
R
)2
− 18
(h2
R
)4
+ · · ·}
+ h2
]=σ(h2 − h1)
2εo
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 3Calcular el potencial de un plano infinito cargado uniformemente conuna densidad de carga σ
σ
Usando E = En = σ/(2εo), obtenemos el potencial entre lasdistancias h1 > h2, desde el plano.
V2 − V1 = −∫ h2
h1
σ
2εodx =
σ(h2 − h1)
2εo
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 4Calcular el potencial de una esfera conductora de radio R y carga Qen los puntos A y B.
B
A
Q
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Electrostatica, Potencial electrostatico
El campo electrico para r < R es cero, por lo tanto de ~E = 0 = −∇V ,obtenemos VA = const.
Q
R A
B
r
El campo E en el punto B se obtiene por la ley de Gauss aplicada ala esfera de radio r :
4πr2E =Qεo
→ E =Q
4πεor2
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Electrostatica, Potencial electrostatico
El potencial entre el punto B e infinito es:
VB − V∞ = VB = −∫ r
∞
Q4πεor2 dr =
14πεo
qr
El potencial en la superficie de la esfera es:
VR =1
4πεoQR
y este es el potencial en cualquier punto en el interior de la esfera.
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Unidades. Repaso
Unidad de campo electrico: [N/C] = [V/m]
Unidad de energıa y trabajo: [N-m] = [J] = [C-V]
Unidad de potencial: [V] = [J/C] = [N-m/C]
Unidad de energıa y trabajo (NO MKS): [eV]
1[e] = 1.6×10−19 [C]
1[eV] = 1.6×10−19 [J]
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Energia potencial electrostatica
El potencial es el trabajo que realiza un agente externo paramover una carga unidad entre dos puntos.Es igual a la energıa potencial por unidad de carga que adquiereel campo electrico.Ası la energıa potencial de una carga q es U = qV donde V esel potencial en el punto donde se encuentra q.
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 5En un proceso de fision nuclear un atomo de uranio 235 U235 capturaun neutron y se separa en un atomo de Bario (Ba) y uno de Cripton(K). Suponga que despues de la fision estos nucleos estanseparados una distancia r = 14.6× 10−15 m. Calcule la energıapotencial en [eV].
U + n Ba + K
Z=92 Z=56 Z=36
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Electrostatica, Potencial electrostatico
LINEAS DE FUERZAS Y POTENCIAL
• Las lıneas de fuerza cortan normalmente a las superficiesequipotenciales.• Las lıneas de fuerza apuntan en la direccion en que decrece elpotencial.
−q
A
πεo4
q
rA
1V =
q
A
πεo4
q
rA
1V =
EE
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Potencial de una esfera uniformemente cargadaCalculamos el potencial a partir de las expresiones del campoelectrico que ya conocemos:
~E = kQrR3 r r < R
~E = kQr2 r r > R
y usamos:dV = −~E · d~r , donde d~r = r dr
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Por ejemplo para calcular el potencial en un punto B dentro de la esfera (r < R),usamos la definicion de potencial:
V = VB − V∞ =
∫ ∞
B
~E · d~l =∫ ∞
rEdr
=
∫ R
rEdr +
∫ ∞
REdr
=
∫ R
rk
QrR3
dr +∫ ∞
Rk
Qr2
dr
=kQR2 − r2
2R3+
kQR
Para r ≥ R obtenemos facilmente V =kQr
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 6Dos esferas cargadas unidas por un alambre delgadoTenemos dos esferas de radios a > b. La esfera de radio a tieneinicialmente una carga Q. Las dos esferas se conectan por un cablemuy largo y delgado. ¿Como se distribuye la carga Q entre las dosesferas?
Q
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Electrostatica, Potencial electrostatico
Ejemplo 7Dos esferas concentricasTenemos dos esferas concentricas. La externa, que es hueca, tieneuna carga Q, mientras que la esfera interna se encuentra conectadaa tierra, i.e. a potencial cero.Encuentre la carga de la esfera interior.
b
a
Vb =[k(−q)
b− k(−q)
a]
=k(Q − q)
b→ q = −Q
ab
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