Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni...

Električni potencijalElektrostatska potencijalna energija

Energija potječe od rada koji čestica obavlja gibajući se u el. polju suprotno od djelovanja el. sile (slično kao kod gravitacijskog polja).

Gledamo el. naboj Q’ koji se giba po putanji abu el. Polju E.

Rad pri gibanju nabijene čestice u el polju?

Istovremeno, neka djeluju neka neelektrična sila F.

Uvodimo koordinatni sistem, smjer tangente na krivulju i okomica na tangentu.

Rastavljamo sile na komponente:

Električni potencijal 2

t – smjer, smjer tangente na krivulju

Jer se čestica giba po tangenti, nema promjene brzine (po iznosu), tj. u y smjeru nema rada.

Rad obavlja samo tangencijalna komponenta .

ϑϕ cos'cos EQFFt +=∑n – smjer, okomica na tangentu (normala)

ϑϕ sin'sin EQFFn +=∑

t

n

0nW F d s= ⋅ =∫� �

Električni potencijal 3

2. Newtoneov zakon povlači: maFt∑ =

uz:

ϑϕ cos'cos EQFma +=

ds

dvv

dt

ds

ds

dv

dt

dva ===

ϑϕ cos'cos EQFds

dvmv +=

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=

Fizikalno tumačenje?

Električni potencijal 4

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=

putsiladsF ×= cosϕ diferencijal rada vanjskih sila

kdEmvdmvdv =

= 2

2

1diferencijal kinetičke energije

dsEQ ϑcos'− rad za svladavanje el. sile ili

promjena potencijalne energije naboja u el. polju

elpk dEdEdW +=

Ukupan rad

∫∫∫ −=b

a

b

a

b

a

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos

Ukupan rad za pomicanje naboja po krivulji ab?

Specijalni slučajevi:

a) Nema el. polja (E=0).

Rad vanjskih sila ide samo na prirast kinetičke energije i ne ovisi o putu.

22

2

1

2

1 cos ab

b

a

mvmvdsF −=∫ ϕ )()( aEbE kk −=

Ukupan rad b

b) Nema promjene kinetičke energije.

Rad vanjskih sila je utrošen na svladavanje sile kojom el. polje djeluje na naboj, tj. rad promjeni potencijalnu energiju.

∫∫ −=b

a

b

a

sdEQdsF��

' cosϕ

)()(' aEbEsdEQ pp

b

a

−=− ∫��

Ukupan rad c)

c) Nema vanjskih sila (F=0).

0)()(cos' =−+− ∫ aEbEdsEQ kk

b

a

ϑ

0)()()()( =−+− aEbEaEbE kkpp

)()()()( aEaEbEbE kpkp +=+

Definiramo da je Ep u beskonačnosti jednaka nuli.

( ) 0

( ) cos

p

b b

p

E

E b QE ds QEdsϑ∞ ∞

∞ =

= − = −∫ ∫� �

Ep = rad potreban da se naboj Q prenese iz beskonačnosti u točku b

Z.O.E.

Električni potencijal

Ovisi li elektrostatska potencijalna energija o putu kojim se naboj gibao od beskonačnosti do točke b?

Promjena potencijalne energije kod točkastog naboja dana je samo radom po radijalnom dijelu putanje.

Promatramo polje točkastog naboja Q i gibanje u njemu izmeñu točaka a i b.

+a

ba’

Q

∫∫∫ −−=−b

a

a

a

b

a

sdEqsdEqsdF'

'������

090cos ' =⇒⊥⇒ ���sdEaalukza

∫∫∫ −=−=−⇒b

a

b

a

b

a r

drqQsdEqsdF

'2

0' 4πε����

10cos ' radijalno =⇒⇒ ���sdEba

−−=

ba rr

qQ 11

4 0πε

q

Električni potencijal 2

Uzmimo proizvoljnu putanju od a do b?

Promjena potencijalne energije kod pomicanja naboja q u el. polju ne ovisi o putu nego samo o početnoj i krajnjoj točki pomaka.

Svaku putanju možemo aproksimirati infinitezimalnim pomacima po kružnim putanjama.

090cos =⇒⊥⇒ ���sdElukoveza

∫∫∫∫∫ −=−−−−=−⇒b

a

b

a

a

a

a

a

b

a r

drqQsdF

20''''

''

'

'

4...

πε��

10cos radijalno =⇒⇒ ���sdE

−−=

ba rr

qQ 11

4 0πε

+a

b

Q

a’q

Za slučaj kada imamo više točkastih naboja

0

1 1

4

b

jj a ba

qFds Q

r rπε

− = − −

∑∫� � Promjena potencijalne energije u el.

polju ne ovisi o izboru putanje, većsamo o početnoj i krajnjoj točki pomaka. (Coulombova sila je konzervativna sila)-početna točka a→∞

( )04

jp

j j

QqE r

rπε= ∑

�

Q1

Q2

Q3

Qj

A

Bq

r j

Potencijalna energija = skalarna funkcija koordinate točke u prostoru.

Električno polje možemo opisati skalarnom veličinom jednoznačno definiranom u svakoj točki polja.

0Fds− =∫� �

�

( ),j jr d Q B=

Električni potencijal 3

Promatramo poseban slučaj:�Točka a je u beskonačnosti�Promatramo jedinični naboj (q = 1)

Električni potencijalu nekoj točki polja, jednak je radu koji se treba izvršiti da bi se jedinični naboj prenio iz beskonačnosti u tu točku.

0

1( )

4

QV r

rπε=�

( ) ( )b b b

p p

a a

E b E a Fds qEds Eds∞

− = − = − ⇒ −∫ ∫ ∫� � �� � � )(bV=

[ ] J JV

C As = =

( )( ) pE b

V bq

=Ako naboj nije jedinični: potencijal u točki b jednak je potencijalnoj energiji naboja q u točki b podijeljenoj s iznosom naboja q. (Rad po naboju.)

[ ] V NE

m C = =

Električni potencijal 4

Potencijal u polju točkastog naboja Q

0

1( )

4

QV r

rπε=�

Potencijal u polju više točkastih naboja Qj

0

1( )

4j

j j

QV r

rπε= ∑

�

Potencijal u polju prostorne raspodjele naboja ρ(r)= ρ(x,y,z)

( ) ( )0

', ', '1( ) , ,

4 '

x y zV r V x y z dV

r

ρπε

= = ∫�

Električni potencijal u ravnini oko točkastog pozitivnog naboja.

1( )V r

r

�∼

Električna napetost / napon

Razlika potencijala izmeñu dvije točke u električnom polju zove se električna napetost (napon).

Razlika potencijala ili električna napetost Uba izmeñu dvije

točke b i a jednaka je radu koji treba izvršiti da se jedinični naboj prenese iz točke a u točku b.

∫∫∞∞

+−=−ab

ab sdEsdEVV����

∫−=b

a

sdE��

baU= [ ]V

1 eV = energija koju dobije nabijena čestica naboja e (elektron ili proton) ubrzana razlikom potencijala 1 V

- energetski nivoi atoma ~ 1 eV- energetski nivoi jezgre ~ 1 MeV- energija elektrona u katodnoj cijevi (televizor) ~5 keV

0ab baU U Eds= − ⇒ =∫� �

�

Električni potencijal i električno polje

Gledamo razliku potencijala izmeñu dvije točke na beskonačno maloj udaljenosti.

Komponenta vektora polja u danom smjeru je jednaka negativnoj vrijednosti gradijenta potencijala u tom smjeru.

sdEdUsdEUUb

a

ab

���� −=⇒−=− ∫ dsE ϑcos−= ⇒ : ds

ds

dUE −=ϑcos

zk

yj

xi

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

���

x

zyxUEx ∂

∂−= ),,( ( ) ( ), , , , y z

U x y z U x y zE E

y z

∂ ∂= − = −

∂ ∂

gradUUE −=−∇=�

gradijent, nabla operator

Coulombova sila:

1 202

0 12

1( )

4

q qF r r

rπε=

� � �

Električno polje:

Potencijal:Potencijalna energija:

2

0 12

1( )

4

qV r

rπε=�1 2

0 12

1( )

4p

q qE r

rπε=�

202

0 12

1( )

4

qE r r

rπε=

� � �

Potencijal je karakteristika polja (prostora u kojem polje djeluje), bez obzira na to postoji li testni/probni naboj u polju. Potencijalna energija je karakteristika sustava polje-naboj zbog meñudjelovanja polja i nabijene čestice smještene u to polje.

r0r0

( )( ) pF r E r= −∇� � � ( )( )E r V r= −∇

� � �

Potencijal dipola

Iz točke P povucimo kružnice kroz krajeve dipola (zeleno).

θθ cos2

),( cos2

),(d

rQPdd

rQPd +≈−≈ −++-

d+-

dQ Q

P

r

θ

Eθ

Er

U slučaju da je r>>d , lukovi su praktički ravni i okomiti na r i spojnice točke P s nabojima.

+−

−=

θθπε cos2

cos2

4

1

0d

r

Qd

r

QV

−=

θ

θπε 2

220 cos

4

cos

4

1

dr

Qd

20

cos

4

1

r

dQV

θπε

=2

0

cos

4

1

r

pV

θπε

=

Potencijal dipola 2

+-d

+-d

Q Q

P

r

θ

Eθ

Er

20

cos

4

1

r

pV

θπε

=

r

VEr ∂

∂−= 30

cos2

4

1

r

p θπε

=

1

θθ ∂∂−== V

rEEt 3

0

sin

4

1

r

p θπε

=

1. Točke A i B smještene su u električnom polju. Razlika potencijala VB-VA jea) pozitivna,b) negativna,c) nula.

2. Negativan naboj premješten je iz točke A u B. Promjena potencijalne energije je >a) pozitivna,b) negativna,c) nula.

0b

b a

a

V V Eds− = − <∫� �

( ) ( ) ( )

( )

>0b b

p p

a a

p

E b E a Fds q Eds

E q V

− = − = − −

= −

∫ ∫� �� �

△ △

3. Kolika je razlika potencijala izmeñu točaka A i B u homogenom električnom polju?

4. Kolika je promjena potencijalne energije pri premještanju naboja q0 iz točke A u B?

Ekvipotencijalne plohe

Novi način grafičkog prikaza električnog polja.

Ekvipotencijalna ploha je skup svih točaka prostora u kojima potencijal ima istu vrijednost.

Svojstva:

�Ekvipotencijalna ploha je u svakoj svojoj točki okomita na smjer električnog polja u toj točki.

�Potencijalna energija naboja je ista u svakoj točki ekvipotencijalne plohe.

�Relativna gustoća ekvipotencijalnih ploha je mjera jakosti električnog polja.

primjeri

1. Na slici su dane ekvipotencijalne plohe. Poredaj po iznosu rad električnog polja pri premještanju pozitivnog naboj iz:a) A u B,b) B u C,c) C u D,d) D u E.

02q0

q0

-q0

E

2. Sferni balon ima u svom središtu pozitivni naboj. Ako se balon napuše na veći polumjer, a naboj ostane u središtu, potencijal na sferi / tok električnog polja kroz sferu:a) poraste,b) smanji se,c) ostane isti.

-homogeno el. polje beskonačne nabijene ploče

Silnice el. polja i ekvipotencijalne plohe

-točkasti naboj

-dipol

3. U nekom dijelu prostora električni potencijal duž x-osi jednak je nuli. Ex u tom dijelu prostora je:a) nulab) u smjeru +x,c) u smjeru –x.

4. U nekom drugom dijelu prostora električno polje je nula. Električni potencijal u tom dijelu prostora je:a) nula,b) konstantan,c) pozitivan,d) negativan.

Električni potencijal nabijenog vodiča

-sav naboj se nalazi na površini vodiča-el. polje unutar vodiča = 0, a na površini je okomito na vodič-u ravnoteži, sve točke na površini vodiča imaju isti potencijal (površina vodiča je ekvipotencijalna ploha)-buduću da je E=0 unutar vodiča, to znači da je potencijal unutar vodiča konstantan i jednak potencijalu na njegovoj površini-rad pri pomicanju testnog naboja iz unutrašnjosti na površinu vodiča =0

-za točke A i B vrijedi (integral uz površinu vodiča, E ┴ s):

Polje i potencijal homogeno nabijene sfere.

Prijelaz naboja s vodiča na vodič

-naboji prelaze dok se potencijali vodiča ne izjednače

AB

dQB QA

- vodič A nabijen je nabojem Q; nakon spajanja vodiča tankom vodljivom žicom, na A ostaje QA, a na B prijeñe naboj QB; Q=QA+QB;

A

B

B

A

BAA

B

A

B

BA

A

B

BB

B

A

AA

R

R

E

E

dRRuzR

R

Q

Q

VV

d

Q

R

QV

d

Q

R

QV

=

<<=

=

+=

+=

,

4

1

4

1

0

0

πε

πε

-količina naboja na kuglama proporcionalna je njihovim polumjerima

Kapacitet

Vidjeli smo da je potencijal točkastog naboja:

Slično, potencijal kugle je:

r

QV

04

1

πε=

R

QV

04

1

πε= Q – ukupan naboj

R– polumjer kugle

QRV =⇒ 04πε tj. Q je proporcionalan s V.

Eksperimenti su pokazali da su naboj i potencijal svakog izoliranog vodiča meñusobno proporcionalni (više naboja ↔veći potencijal).

Konstanata proporcionalnosti se zove KAPACITET.

VCQ ⋅=V

QC =⇒

[ ] [ ][ ] [ ] farad FV

QC ==⇒

Kapacitet je omjer naboja i potencijala.

FpF

FnF

FµF

12

9

6

10

10

10

−

−

−

==

=Farad je velika veličina, pa se koriste:

Primjer:

Koliki je kapacitet Zemlje ako je njen polumjerR = 6370 km?

221120

6

1085,8

1037,6

CmN

mR−−−⋅=

⋅=ε

RC 04πε=

612 1037,61085,814,34 ⋅⋅⋅⋅⋅= −C

FC 610708 −⋅≈

FC µ708≈

-samo ako se u blizini ne nalazi nikakav drugi vodič

Kondenzatori

Potencijal nabijenog vodiča ovisi o:- naboju na vodiču- količini i predznaku naboja na okolnim vodičima- rasporedu, obliku i dimenzijama okolnih vodiča

+Q -Q

V

QC =

potencijal se smanji

kapacitet se poveća (Q se ne mijenja)

⇒ kapacitet vodiča možemo povećati dovoñenjem suprotno nabijenog vodiča u njegovu blizinu⇒ kondenzator

Kondenzatori

Kondenzatori

Dva bliska, meñusobno izolirana vodiča nabijena jednakim količinama naboja suprotnog predznaka.

Primjena: pohrana elektrostatske energije, ispravljači, radio, TV, memorija za računala, …

-omogućuju uskladištenje relativno velikih količina naboja uz male razlike potencijala

Pločasti kondenzator

Dvije jednake paralelne ploče, meñusobno udaljene za udaljenost d (d<<dimenzija ploče).

Za električno polje izmeñu 2 paralelne ploče, izveli smo izraz:

σεε 00

11 ==S

QE

Jer je polje skoro homogeno, potencijal (rad za prijenos jediničnog naboja) je:

( )S

QddEdEsFUab

0

11

ε=⋅=⋅⋅=⋅= ��

abV

QC =Definicija kapaciteta daje:

d

SC 0ε=

Pločasti kondenzator 2

Permitivnost vakuuma, dielektrična konstanta

d

SC 0ε=

S

dC ⋅=⇒ 0ε [ ]

=⇒m

F0ε

1. Kondenzator je nabijen nabojem Q uz napon V. Ako se napon udvostruči:a) C se smanji na pola, a Q ostaje isti,b) C i Q se smanje upola,c) C i Q se udvostruče,d) C ostaje isti, Q se udvostruči

2. Tipka na tipkovnici radi na principu promjenjivog kondenzatora. Kada se tipka stisne, meki izolatorski sloj se stanji, a kapacitet se:a) poveća,b) smanji,c) promijeni na nepoznati način .

Kuglasti kondenzator

- dvije vodljive koncentrične kugline ljuske

Jer kugle nemaju jednake površine, polje nije homogeno. Silnice su radijalni pravci (izlaze iz + nab. kugle i ulaze u – nabijenu kuglu.

2

1

1R

ab

R

U F s E dr= ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫� �

Npr. puna metalna kugla unutar šuplje

Električno polje izmeñu kugli jednako je kao i polje točkastog naboja Qkoji bi bio u središtu kugle:

204

QE

rπε=

2

1

204

R

ab

R

Q drU

rπε= ∫

0 1 2

1 1

4

Q

r rπε

= −

Kuglasti kondenzator 2

QC

U=Definicija kapaciteta daje:

Pretpostavka da je vanjska kugla beskonačno velikog polumjera �

0 1 2

1 1

4

QU

r rπε

= −

0 1 2

1 14

QC

Q

r rπε

=

−

1 20

2 1

4r r

Cr r

πε=−

04C rπε= Kapacitet usamljene kugle – ovisi samo o polumjeru.

Cilindrični kondenzator

Dvije koaksijalne valjkaste obloge polumjera R1 i R2 jednakih visina.

Kapacitet=?

Gaussov zakon

0εQ

SdES

=⋅∫∫��

) ( , rzakonstESdE =��

∫∫∫∫ ⇒⋅=⋅SS

dSESdE θcos��

02 επ

QdSE

lr

=∫∫

Cilindrični kondenzator 2

Rad?0

2ε

π QlrE =

02

1

επQ

lrE =⇒

∫ ⋅=2

1

R

R

drEU ∫=2

102

1R

R r

drQ

l επ

=

1

2

0

ln2

1

R

RQ

l επ

⇒=U

QC

=

1

2

0

ln

2

RR

lC πε Samo ovisnost o

geometriji kondenzatora

Vrste kondenzatora

Prema načinu izrade i načinu primjene:

- stalni i promjenljivi- papirni, keramički, elektrolitički

Lajdenska boca– najstariji tip kondenzatora

Lajdenska boca– Staklena boca (čaša) obložena metalnom folijom izvana i iznutra, s poklopcem od izolatora kroz koji je provučena metalna šipka koja je spojena s unutrašnjom oblogom.

Kapacitet– reda 1 nF (napon desetak tisuća volta!!!)

Vrste kondenzatora 2

Papirni kondenzatori – 2 dugačke, vrlo tanke metalne (alumijske) folije odvojene parafiniranim papirom. Folije se uviju u obliku valjka

Kapacitet– od nekoliko nF do nekoliko µµµµF

Keramički kondenzatori– koriste se razni keramički materijali velikih dielektričnih konstanti.

Prednost – vrlo male dimenzije

Elektrolitički kondenzatori– aluminijska elektroda, obložena elektrolitom.

Kapacitet– nekoliko stotinaµµµµF

Spajanje kondenzatora

Serijski spoj kondenzatora

21 QQ =

21 UUU +=

U

QC =

⇒

21 UUU +=

2

2

1

1

C

Q

C

Q

C

Q += Q:

21

111

CCC+=

∑=i iCC

11

Spajanje kondenzatora 2

Paralelni spoj kondenzatora

21 UU =

21 QQQ +=

U

QC =

⇒

21 QQQ +=

2211 UCUCCU += U:

21 CCC +=

∑=i

iCC

Primjer:

Kapaciteti kondenzatora na slici su: C1 = 4 µF, C2 = 6 µF i C3 = 2 µF. Neka je točka b uzemljena, a točka a na potencijalu Ua = 1200 V. Odredi naboje na svakom od kondenzatora te potencijal u točki c.

VU

FC

FC

FC

a 12000

2

6

4

3

2

1

====

µµµ

FCCC µ8263223 =+=+=

FCCCC u

u

µ3

8

8

1

4

1111

231

=⇒+=+=

Ukupni naboj:

abuUCQ = Cµ32001200103

8 6 =⋅⋅= −

Jer je C1 serijski s C2-C3, vrijedi:Q1 = Q23 = Q

VC

QUCQ ac 800

4

32003200

1

11 ===⇒= µ

VUUUUUU acaccaac 4008001200 =−=−=⇒−=

VUUU bccb 4000400 =−=−=

FUCQ cb µ2400400106 622 =⋅⋅=⋅= −

FUCQ cb µ800400102 633 =⋅⋅=⋅= −

FQQQ µ32008002400321 =+=+=

2. Nañi ekvivalentni kapacitet izmeñu točaka a i b. Zadane vrijednosti su u mikrofaradima.

Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru

Nabijanje kondenzatora = prijenos naboja s obloge nižeg potencijala na oblogu višeg potencijala.

tj. treba uložiti rad, utrošiti energiju

C

QUab =

C

QQdQ

CdWW

Q 20

0 2

11 0

=== ∫∫

Primjer. Dodajemo malu količinu elektriciteta dQna prazan kondenzator, a konačni naboj neka bude Q0.

UQW ⋅=⇒ 02

1 energija pohranjena u kondenzatoru

21

2W C U= ⋅ - izrazi vrijede za svaki kondenzator,

neovisno o njegovom geometrijskom obliku

Energija električnog polja

prekidač→ E → gibanje elektrona s lijeve ploče kroz žicu na desnu ploču→ razdvajanje naboja na pločama→ povećanje električne potencijalne energije (na račun kemijske energije akumulatora)

Energija električnog polja

EdU = napon izmeñu ploča kondenzatora

d

SC 0ε= kapacitet kondenzatora

21

2W C U= ⋅ energija pohranjena u kondenzatoru

( ) ( )2 20 0

1 1

2 2

SW Ed Sd E

dε ε = =

volumen20

2Ew

ε= gustoća energije električnog polja

0

2 V

W E EdVε= ⋅∫� �

Domaća zadaća

1. Kako treba spojiti tri kondenzatora na bateriju da bi pohranili najviše energije?a) serijski,b) paralelnoc) oba načina spajanja pohranit će istu količinu energije

2. Pločasti kondenzator je nabijen i odspojen od baterije. Kada se ploče razdvoje na veliku udaljenost, objasni što će se dogoditi sa sljedećim veličinama:a) Cb) Qc) E izmeñu pločad) Ue) energijom pohranjenom u kondenzatoru, W?

3. Isto pitanje kao i prethodno, samo što ovoga puta kondenzator ostaje spojen na bateriju.