View
218
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
06/05/2014
modus ponens
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
2/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
a b a → b (a → b) ∧ a ((a → b) ∧ a) → b
F
F
F
V
⊤ ((a → b) ∧ a ) → b
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
In forma discorsiva la tautologia si può così esprimere:
se una proposizione a implica una proposizione b allora la verità della proposizione a
implica la verità della proposizione b .
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
06/05/2014
modus tollens
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
3/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
a b ﹁ b ﹁ a a → b (a → b) → (﹁b) ((a → b) → (﹁b)) → (﹁a)
V
V
V
V
⊤ ((a → b) ∧ (﹁ b)) → (﹁ a)
F V
F F
V V
V F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
In forma discorsiva il modus tollens si può così esprimere:
se una proposizione a implica una proposizione b e se la proposizione b è falsa allora la
proposizione a è falsa
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
06/05/2014
reductio ad abdsurdum
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
4/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
a b ﹁ a ﹁ b a → b a → (﹁b) (a → b) ∧ (a→ (﹁b)) ((a → b) ∧ (a →(﹁ b))) → (﹁ a)
⊤ ((a → b) ∧ (a →(﹁ b))) → (﹁ a)
F V
F V
V F
V F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
In forma discorsiva la reductio ad absurdum si può così esprimere:
se una proposizione a implica contemporaneamente una proposizione b e la sua
negazione (contraddizione) allora la proposizione a implica la negazione di a
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
5/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi
Le tautologie appena verificate rivestono un notevole interesse perchè la loro struttura rivela
alcune delle più importanti modalità di ragionamento valide.
Possiamo, molto brevemente, definire il ragionamento come un procedimento discorsivo che
partendo da alcune premesse perviene ad una conclusione.
Questo tipo di procedimento può sostanzialmente svolgersi con due modalità differenti:
• ragionamento induttivo - procedimento che da premesse particolari arriva ad una
conclusione generale.
• ragionamento deduttivo - procedimento che da premesse generali arriva ad una
conclusione particolare.
Nei ragionamenti matematici viene sostanzialmente impiegato il metodo deduttivo, il metodo
induttivo, in questa disciplina, serve per formulare ipotesi e congetture che devono comunque
essere passate al vaglio del metodo deduttivo per verificarne la validità.
(n.d.r. non si deve confondere l’ induzione matematica, particolare procedimento dimostrativo legato ai numeri naturali che si
studierà al terzo anno, con il ragionamento induttivo).
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
6/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi
Alla base di ogni ragionamento sta il concetto di conseguenza logica tale concetto può
essere, in breve, così esemplificato :
Posto che siano vere una o più proposizioni (semplici o composte) dette premesse , ciò
comporta automaticamente la verità di un’altra proposizione detta conclusione.
Tale concetto fu usato fin dall’antichità in modo implicito sia nelle argomentazioni filosofiche che nelle prime
dimostrazioni matematiche . Il suo uso esplicito risale agli stoici mentre il termine «consequentia » venne
usato per la prima volta da Severino Boezio autore della tarda romanità.
È fondamentale osservare che la verità della conclusione deriva dalle premesse
semplicemente perché si tratta di un’affermazione particolare che implicitamente è contenuta
nelle premesse (affermazioni generali), il ragionamento ha il solo scopo di evidenziarla,
(letteralmente dal latino de-duco : portar fuori).
Effettueremo nel seguito un breve rassegna dei modi di ragionamento validi che derivano dalle
tautologie esaminate in precedenza.
Partendo dalla formula proposizionale si costruirà la regola del ragionamento che ne
scaturisce. Nella regola una linea orizzontale separa le premesse dalla conclusione che nella
formula è il secondo operando dell’implicazione principale (talvolta l’unica implicazione presente nella
formula) .
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
7/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi: sillogismo ipotetico
Si esamina per primo il metodo di ragionamento detto «sillogismo ipotetico», esso ha come
supporto la tautologia che esprime la proprietà transitiva dell’implicazione materiale.
((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)
In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :
formula regola
a → b b → c
a → c
1)
(a → b) ∧ ( b → c ) a → c ((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)
Per effettuare la verifica si faccia riferimento alla seguente tabella di verità, partendo dal
presupposto che a → b e b → c siano entrambe vere e quindi sia vero il loro prodotto
logico .
Pertanto essendo a → c la conseguenza, pur potendo essere vera o falsa, deve essere
necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .
V
F
V
V
V
F F
È valido quindi l’enunciato della regola 1) .
se a allora b , se b allora c dunque se a allora c
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
8/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi: contrapposizione
Si esamina il metodo di contrapposizione, esso ha come supporto l’omonima tautologia.
(a → b) → ((﹁b )→ (﹁a))
In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :
formula regola
a → b
(﹁b )→ (﹁a)
a → b (﹁b )→ (﹁a) (a → b) → (﹁b )→ (﹁a)
Pertanto essendo (﹁b ) → (﹁a) la conseguenza, pur potendo essere vera o falsa, deve essere
necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .
V
F
V
V
V
F
Per effettuare la verifica si faccia riferimento alla seguente tabella di verità, partendo dal
presupposto che a → b sia vera .
F
2)
È valido quindi l’enunciato della regola 2) .
se a allora b , ma non a dunque non b
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
9/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi: modus ponens
Si esamina il metodo del «modus ponens», esso ha come supporto l’omonima tautologia .
(a → b) ∧ a → b
In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :
formula regola
a
b
a → b
(a → b) ∧ a b (a → b) ∧ a → b
Pertanto essendo b la conseguenza. pur potendo essere vera o falsa, deve essere
necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .
V
F
V
V
V
F
È valido quindi l’enunciato della regola 3) .
Per effettuare la verifica si faccia riferimento alla seguente tabella di verità, partendo dal
presupposto che a → b ed a siano entrambe vere e sia quindi vero il loro prodotto logico .
F
3) se a allora b , ma a dunque b
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
10/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi: modus tollens
Si esamina il metodo del «modus tollens», esso ha come supporto l’omonima tautologia .
(a → b) ∧ (﹁b) → (﹁a )
In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :
formula regola
﹁b ﹁a
a → b
(a → b) ∧ (﹁b ) ﹁a (a → b) ∧ (﹁b ) → (﹁a)
Pertanto essendo ﹁a la conseguenza pur potendo essere vera o falsa deve essere
necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .
V
F
V
V
V
F
Per effettuare la verifica, come al solito, si faccia riferimento alla seguente tabella di verità,
partendo dal presupposto che a → b e ﹁b siano entrambe vere e sia quindi vero il loro
prodotto logico.
F
È valido quindi l’enunciato della regola 4) .
4) se a allora b , ma non b dunque non a
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
11/8
Elementi di logica
tautologie e metodi di ragionamento validi: reductio ad absurdum
Si esamina il metodo «della reductio ad absurdum», esso ha come supporto l’omonima
tautologia .
(a → b) ∧ (a → (﹁b)) → (﹁a )
In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :
formula regola
a → (﹁b)
﹁a
a → b
(a → b) ∧ (a → (﹁b)) ﹁a (a → b) ∧(a → (﹁b)) → (﹁a )
Pertanto essendo ﹁a la conseguenza pur potendo essere vera o falsa deve essere
necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .
V
F
V
V
V
F
Per effettuare la verifica si faccia riferimento alla seguente tabella di verità, partendo dal
presupposto che a → b e ﹁b siano entrambe vere e sia quindi vero il loro prodotto logico .
F
5)
È valido quindi l’enunciato della regola 5) .
se a allora b , se a allora non b dunque non a
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
12/8
Elementi di logica
modi di ragionamento validi : conseguenza logica
A conclusione di quanto visto sui modi di ragionamento validi occorre effettuare una importante
puntualizzazione sul concetto di conseguenza logica ..
Nelle formule e nelle corrispondenti regole che esprimono i singoli ragionamenti validi, le
proposizioni sono indicate, sia nelle premesse che nella conclusione, con lettere che sono
simboli (vuoti contenitori).
Si ha una conseguenza logica quando essa è verificata in ogni interpretazione (contesto
possibile)
Pertanto si può affermare che :
Il valore di verità effettivo delle singole premesse e della conclusione deriva dal
riferimento ad un contesto particolare concreto o astratto (attribuzione di significato);
A tal proposito si osservi che:
la validità del ragionamento è accertato a prescindere dal particolare contesto, esso è
valido in qualsiasi contesto purchè le singole proposizioni stiano tra di loro in
determinate relazioni (espresse dai connettivi logici).
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
13/8
Elementi di logica
logica dei predicati : introduzione
Per quanto visto in precedenza il metodo delle tabelle di verità consente di verificare se una
proposizione composta, comunque complessa , sia sempre vera ( tautologia o legge logica) ..
Ma ancora non si è data risposta al seguente domanda fondamentale:
Inoltre le tautologie ci hanno consentito di individuare singole modalità di ragionamento valide.
è possibile verificare che una data proposizione sia una legge logica attraverso una ”catena“
di ragionamenti logicamente corretti che riconduca il giudizio di verità su di essa a quello su
un’altra proposizione posta in precedenza ? Ci sono cioè delle forme di ragionamento che ci
permettono di concludere che se una data proposizione a è vera allora la verità di una
proposizione b è conseguenza logica della verità della proposizione a ?
Inoltre si osservi che le proposizioni sono un tipo molto riduttivo di frasi ben formate di un
dato linguaggio, si ricordi che esse sono frasi costituite da termini invariabili ( costanti ), mentre
è proprietà fondamentale di ogni linguaggio la costruzione di frasi ben formate che
contengono termini variabili: le frasi aperte .
Esse possono essere analizzate da un punto di vista logico solo se si considera la loro
struttura interna e non considerando la frase come un “ unicum ”.
Andremo ora ad esaminare qualche aspetto riguardo alla trattazione da un punto di vista
logico delle frasi aperte dette altrimenti predicati.
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
14/8
Elementi di logica
logica dei predicati : i predicati come funzioni
Riportiamo a titolo di esempio le seguenti frasi aperte:.
è evidente che i termini variabili nelle frasi in questione sono rispettivamente tizio ed x ed è
altrettanto evidente che per tali frasi non si può pronunciare un giudizio di verità.
Se però ai termini variabili di volta in volta vengono sostituiti termini che sono elementi di un
determinato insieme di riferimento (insieme universo o dominio ), che nel primo caso è un
determinato gruppo di persone e nel secondo caso l’insieme dei numeri naturali o un suo
sottoinsieme, allora le frasi si trasformano automaticamente in proposizioni vere o false (a
seconda che l’elemento costante che sostituisce la variabile rispetti le proprietà dell’enunciato
o meno ).
tizio ha gli occhi verdi x è un numero primo
Dal punto di vista del valore di verità le frasi aperte si comportano come una usuale funzione
in cui l’argomento è costituito dalla variabile presente nella frase che, avendo assunto uno
specifico valore (termine appartente al dominio) attribuisce alla frase (divenuta una
proposizione) o il valore «vero» o il valore «falso» .
Per tale motivo le frasi aperte, associate agli elementi di un particolare dominio, sono anche
dette funzioni proposizionali.
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
15/8
Elementi di logica
operazioni logiche con i predicati
Si ha la seguente
Le frasi aperte riportate in precedenza costituiscono l’esemplificazione più elementare delle
funzioni proposizionali. In esse è presente un solo termine variabile.
definizione
Dato un predicato a(x) dipendente da una variabile x ∈ D , con D insieme di riferimento
(insieme universo o dominio ), dicesi insieme di verità di a(x) l’insieme A ⊆ D costituito
dagli elementi di D per cui a(x) risulta vero.
A questo punto è opportuno formulare il seguente
Assegnati due distinti predicati della stessa variabile a(x) , b(x) , ognuno dei quali ha
rispettivamente gli insiemi di verità A e B in un assegnato dominio D, qual è l’insieme di
verità del predicato che si ottiene componendo i due predicati con uno qualsiasi dei
connettivi logici in precedenza incontrati nell’ambito della logica delle proposizioni ?
problema
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
16/8
Elementi di logica
operazioni logiche con i predicati: esempio
Per dare risposta al precedente quesito si faccia riferimento al seguente
esempio
Nell’ambito degli alunni del nostro istituto (dominio) si considerino i seguenti predicati:
siano A e B i rispettivi insiemi di verità, dato il predicato
c(x) : x è un alunno che l’anno passato ha conseguito la media del nove e ha riportato
nove in matematica
a(x) : x è un alunno che l’anno passato ha conseguito la media del nove.
b(x) : x è un alunno che l’anno passato ha riportato nove in matematica .
c(x) : a(x) ∧ b(x) cioè
la risposta è facilmente ottenuta con la teoria degli insiemi tenendo presente che alla
congiunzione logica dei due predicati corrisponde una operazione d’intersezione tra i relativi
insiemi di verità.
D A
B C
ci si chiede : qual è l’insieme di verità del predicato C(x) ?
La situazione è illustrata dal seguente diagramma di Eulero-Venn .
06/05/2014
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
17/8
Elementi di logica
operazioni logiche tra predicati
Quanto osservato con l’esempio precedente ha una validità di carattere generale, si ha cioè:
Ad agni operazione logica tra predicati corrisponde una opportuna operazione o sequenza
di operazioni tra i rispettivi insiemi di verità.
OPERAZIONI LOGICHE OPERAZIONI INSIEMISTICHE
A ∩ B
A ∪ B
CD A
(CD A) ∪ B
A ∧ B
A ∨ B
﹁ A
A → B
Si riporta di seguito un quadro riassuntivo di corrispondenza per le operazioni logiche
fondamentali, facilmente verificabile come esercizio .
06/05/2014
la frase precedente è stata ottenuta mediante il connettivo se … allora con a(x) che funge da
antecedente e b(x) che funge da conseguente .
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
18/8
Elementi di logica
Implicazione logica tra predicati
Si considerino i seguenti predicati :
a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .
b(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .
c(x) = se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 allora x è un numero
naturale divisibile per il numero naturale 2 .
Implicazione logica
Assegnati due predicati a(x) , b(x) , con x appartenente ad un dato dominio D, se ogni
valore di x che rende vero a(x) , rende vero b(x) allora si dice che b(x) è una conseguenza
logica di a(x) o che a(x) implica logicamente b(x) e si scriverà : a(x) ⇒ b(x) .
Si consideri ora il seguente predicato :
Si osservi che :
Inoltre ogni x che rende vero a(x) rende vero
b(x).
Quando ciò accade la verità di b(x) è legata alla verità di a(x) nelle modalità di una
conseguenza . Si ha in proposito la seguente definizione
Tale situazione non si verifica sempre .
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
19/8
Elementi di logica
Implicazione logica tra predicati : esempi
Si noti che se in un’implicazione logica si scambia antecedente con conseguente non è detto
che si ottenga un’altra implicazione logica, a(x) ⇒ b(x) non è sempre vero che
b(x) ⇒ a(x) . Si riportano in proposito i seguenti esempi:
cioè se si ha
esempio 1
Dati i predicati:
a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .
b(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .
Si possono considerare le due implicazioni:
a(x) ⇒ b(x) se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 allora x è
un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .
:
b(x) ⇒ a(x) se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 allora x è
un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .
La prima è vera, la seconda è palesemente falsa ed eventualmente si potrà così scrivere:
b(x) ⇒ a(x)
:
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
20/8
Elementi di logica
Coimplicazione logica
esempio 2
Dati i predicati: a(x) = x è un triangolo con due lati congruenti . b(x) = x è un triangolo con due angoli congruenti .
Si possono considerare le due implicazioni:
a(x) ⇒ b(x) se x è un triangolo con due lati congruenti allora x è un triangolo con
due angoli congruenti.
:
b(x) ⇒ a(x) se x è un triangolo con due angoli congruenti allora x è un triangolo
con due lati congruenti.
Che sono entrambe vere .
In tale situazione si ha la seguente definizione .
:
equivalenza (coimplicazione )logica
Dati due predicati a(x) , b(x), con x appartenente ad un dato dominio D, se ogni valore di x
che rende vero a(x) , rende vero b(x) e se contemporaneamente ogni valore di x che rende
vero b(x) , rende vero a(x) allora si dice che a(x) e b(x) sono logicamente equivalenti,
oppure che per a(x) e b(x) si ha una coimplicazione logica e si scriverà : a(x) ⇔ b(x) .
06/05/2014
Infatti ogni numero
divisibile per 6 è pari ma i numeri divisibili per 6 non
esauriscono tutti i numeri pari.(diagramma di Eulero–Venn a lato) .
Si considerino gli insiemi di verità A della premessa a (x) e B
della conseguenza b(x),
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
21/8
Elementi di logica
Implicazione logica : insiemi di verità
esempio 3
Dati i predicati: a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 6 . b(x) = x è un numero naturale pari .
Si costruisca il seguente predicato:
c(x) = se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 6 allora x è un numero
naturale pari.
Per quanto visto in precedenza, anche l’implicazione logica può essere interpretata con la
teoria degli insiemi . Esamineremo tale aspetto introducendo un esempio .
Il predicato c(x) afferma l’esistenza dell’ implicazione logica
infatti la divisibilità per 6 implica contemporaneamente la divisibilità per 3 e per 2
quest’ultima essendo un criterio per riconoscere un numero pari .
a(x) ⇒ b(x)
D = ℕ
B
A
si ha che A ⊂ B .
06/05/2014
B
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
22/8
Elementi di logica
Coimplicazione logica : insiemi di verità
Nell’ implicazione logica la premessa vera (o le premesse vere)
La considerazione precedente ha una validità generale e pertanto si può affermare che
D
B
A
Se si è in presenza di una coimplicazione logica a(x) ⇔ b(x) si ha contemporaneamente :
A ⊆ B B ⊆ A cioè : ⋀ A = B
D
rappresentazione insiemistica di premessa e conclusione
a(x) ⇔ b(x) a(x) ⇒ b(x)
implicazione e coimplicazione logica
A A
B B
è (sono) sempre contenuta
(contenute) nella conclusione vera .
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
23/8
Elementi di logica
quantificatori
In algebra sono già state incontrate frasi del tipo «per ogni x ….» (simbolo ), «esiste almeno
un x…»(simbolo ), attribuisce una data proprietà a tutti gli elementi di un insieme di
riferimento rappresentato da una data variabile , invece assicura invece che ci sono elementi
di un dato insieme di riferimento che hanno una data proprietà.
Esiste un preciso procedimento di calcolo meccanico dei predicati in presenza di variabili
vincolate, che è il corrispettivo delle tabelle di verità per le proposizioni , ma non ce ne
occuperemo in questa sede .
è detto quantificatore universale, mentre è detto quantificatore esistenziale.
I due operatori di fatto operano sui predicati (frasi aperte) una chiusura, ci danno cioè delle
informazioni sull’insieme di verità.
Si dice in tal caso che la variabile o le variabili presenti in un predicato sono quantificate (sono
vincolate da operatori detti quantificatori).
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
24/8
Elementi di logica
Sistemi ipotetico-deduttivi
Ci occuperemo invece anche se in maniera molto succinta ed intuitiva, di cosa si intende in
matematica per sistema ipotetico-deduttivo.
Lo scopo è quello di formare negli alunni un’ idea di massima, mentre la comprensione
concetto e del metodo impiegato maturerà lungo il corso degli studi, in cui se ne vedrà
continuamente l’ esemplificazione.
Al termine del 5° anno si avranno le conoscenze e gli strumenti adeguati per effettuare un
approfondimento sul tema.
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
25/8
Elementi di logica
Struttura di un sistema ipotetico-deduttivo
Un sistema di deduzione (ipotetico- deduttivo) si costruisce nella sua struttura con i passi
indicati nelle tabelle che seguono :
Introduzione di un linguaggio preciso e rigoroso.
scelta di un alfabeto scelta di un lessico
scelta di una grammatica
costruzione di frasi ben formate .
scelta, tra le frasi ben formate, di alcune proposizioni da porre alla base della teoria da
sviluppare delle quali si accetta la verità per convenzione . Tali proposizioni vengono detti
assiomi, esse parlano delle proprietà dei termini primitivi della teoria e li definiscono in
modo implicito .
scelta di alcune regole , dette regole di deduzione o d’ inferenza, per mezzo delle quali si
ricavano nuove proposizioni il cui valore di verità e necessariamente legato a quello di
proposizioni precedenti . Tali regole costituiscono la sintassi del sistema formale .
definizioni di tutti gli altri termini della teoria mediante i termini primitivi.
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
26/8
Elementi di logica
Applicazione del metodo deduttivo
Tale metodo consiste nell’applicare inizialmente le regole d’inferenza agli assiomi per
ricavare nuove proposizioni detti teoremi quindi si itera il procedimento ricavando con
l’ausilio dei primi teoremi nuovi teoremi.
Costruito il sistema si applica ad esso il metodo deduttivo.
La sequenza di applicazione delle regole di deduzione per ottenere un teorema si dice
dimostrazione o derivazione.
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
27/8
Elementi di logica
Un esempio di sistema ipotetico-deduttivo
Si voglia costruire un gioco ( metafora di un sistema ipotetico-deduttivo ) nel seguente modo
: si scelgono due simboli : ♣ ♠ SCELTA DELL’ALFABETO
si raggruppano i simboli in terne secondo l’ordine di
estrazione collocandoli da destra verso sinistra .
p.e . : ♣ ♠ ♣
COSTRUZIONE DI FRASI BEN FORMATE
si inseriscono in un’urna un certo numero di simboli ♣ e
uno stesso numero di simboli ♠ quindi per ogni
giocatore si estraggano a caso in sequenza tre simboli .
SCELTA DEL LESSICO E DELLA GRAMMATICA
si stabilisce una terna vincente : ♣ ♠ ♠ SCELTA DEGLI ASSIOMI
Si riporta un esempio che nella sua semplicità chiarisce abbastanza i concetti esposti in
precedenza. Nell’esposizione che segue di volta in volta saranno individuati i momenti
corrispondenti ai precedenti passi .
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
28/8
Elementi di logica
Un esempio di sistema ipotetico-deduttivo
si stabiliscono le regole che determinano tutte le altre
terne vincenti :
SCELTA DELLE REGOLE D’INFERENZA
1. sostituendo nelle terne vincenti ciascun simbolo
ovunque con l’altro, si ottiene ancora una terna
vincente.
2. nelle terne vincenti scambiando il primo col secondo
simbolo da sinistra si ottiene ancora una terna
vincente.
Nel sistema così costruito se ♣ , ♠ sono dei simboli astratti e le operazioni di estrazione sono
azioni anch’esse di tipo astratto (convenzionali, cioè che possono rappresentare qualsiasi cosa o
azione che soddisfi alle proprietà degli assiomi ) si avrà un sistema formale se invece sono
realmente rispettivamente i semi fiori rosso e picche rosso e si ha una effettiva estrazione con
le modalità descritte si avrà un sistema materiale . Ovviamente tale sistema materiale
soddisfa tutte le proprietà del sistema formale di cui realizza una esemplificazione, ne
costituisce cioè un modello o come si dice anche una interpretazione.
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
29/8
Elementi di logica
Un esempio di sistema ipotetico-deduttivo
Si ha come conseguenza immediata del sistema così costruito (Teoria) il seguente
dimostrazione
Data la teoria T la terna ♠ ♣ ♣ è vincente teorema 1
applicando la regola di deduzione 1) all’ assioma : la terna ♣ ♠ ♠ è vincente
si ottiene : ♣ è vincente ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ la terna
Dal sistema, partendo dal teorema appena dimostrato si può dedurre il seguente
La terna ♠ ♣ ♠ è vincente teorema 2
applicando la regola di deduzione 2) al teorema 1: si ottiene :
♣ è vincente ♠ ♣ ♠ ♣ applicando la regola di deduzione 1) alla proposizione A A
si ottiene infine : ♠ è vincente ♣ ♣ ♣ ♠ ♠
♣ la terna
la terna
dimostrazione
la terna ♠ ♣ ♣ è vincente
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
30/8
Elementi di logica
La nascita dei sistemi assiomatici formali ( logico – formali )
Il metodo esemplificato in precedenza ha mosso i suoi passi fin dalla antica civiltà greca
consentendo ad Euclide di codificare, seppur con numerose imperfezioni, un primo sistema di
questo tipo nell’opera «Gli elementi». Avendo, tale sistema, come universo di riferimento la
geometria (ma non solo) nella nostra esperienza normale con le relazioni di tipo spaziale esso
è un sistema materiale (facendo riferimento ad enti ben precisi).
Il concetto di sistema formale di deduzione (sistema assiomatico) nascerà soltanto a fine
ottocento proprio dall’esame critico dell’opera di Euclide da parte di David Hilbert nel lavoro
«Gründlagen der Geometrie».
Hilbert partendo con lo scopo di eliminare le imperfezioni logiche presenti nell’opera di Euclide
realizza in realtà un sistema logico formale ove gli enti geometrici di Euclide diventano dei
termini di un discorso puramente astratto e le relazioni geometriche delle semplici relazioni
logiche tra tali termini.
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
31/8
Elementi di logica
Ie proprietà degli assiomi nei sistemi ipotetico-deduttivi
Gli assiomi oltre ad adempiere al compito di definire in forma implicita gli enti primitivi della
teoria(caratterizzazione degli enti primitivi ) devono avere le seguenti proprietà:
compatibilità : essi devono essere non contraddittori, cioè da essi non può derivare una
affermazione e la sua negazione;
completezza : il numero dei postulati deve esser tale da poter derivare da essi tutti i teoremi del
sistema ;
indipendenza : nessun assioma può essere dedotto dagli altri , cioè non deve accadere che un
postulato sia anche un teorema;
consistenza : l’insieme dei postulati deve avere un modello (una interpretazione) questa proprietà
ovviamente si riferisce ai sistemi formali .
06/05/2014 Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
32/8
Elementi di logica
I teoremi nei sistemi ipotetico deduttivi
Come si è visto in precedenza dagli assiomi, attraverso regole di deduzione, derivano altri
enunciati veri detti teoremi ( dal greco antico « » , nel linguaggio comune spettacolo,
festa, e anche precetto, schema, regola e infine in Aristotele teoria, meditazione, osservazione
disinteressata ).
Dal punto di vista esclusivamente tecnico (cioè della logica matematica ) il teorema è una
implicazione logica , di cui è verificabile la verità, tra due predicati detti rispettivamente ipotesi
e tesi.
Indicando con la lettera I l’ipotesi e con la lettera T la tesi , simbolicamente un teorema sarà
cosi indicato: I ⇒ T .
Di un teorema è possibile distinguere :
l’enunciato: la totalità della frase che esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare ;
l’ipotesi: la parte della frase che esprime il contenuto dell’ antecedente ( che si suppone vero)
dell’implicazione logica ;
la tesi : la parte della frase che esprime il contenuto del conseguente (che deve essere verificato)
dell’implicazione logica ;
la dimostrazione: il procedimento deduttivo (ragionamento) che verifica la verità della tesi come
conseguenza logica della verità dell’ ipotesi (e della teoria nel suo complesso);
06/05/2014
Per una retta r e per un punto P non appartenente ad essa passa uno ed un solo piano.
33/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
I teoremi nei sistemi ipotetico deduttivi
nota
Non sempre accade che l’enunciato di un dato teorema sia formulato nella forma canonica
dell’implicazione logica. È però utile abituarsi ad individuare correttamente ipotesi e tesi
formulando l’enunciato nella forma canonica : I ⇒T.
Evidentemente tale enunciato non è posto nella forma canonica, essa può però essere
ottenuta trasformando l’enunciato in uno logicamente equivalente nel seguente modo :
allora per essi passa
uno e un solo piano .
Se sono assegnati una retta r e un punto P non appartenente ad essa
Dalla forma canonica così ottenuta appare più facile distinguere l’ipotesi dalla tesi nella
formulazione non canonica.
l’ipotesi tesi
Si riporta nel seguito un esempio; sia dato il seguente
teorema
Per una retta r e per un punto P non appartenente ad essa passa uno ed un solo piano
Si rifletta infine sul fatto che nei due enunciati è implicita la presenza del quantificatore
universale .
06/05/2014
La dimostrazione di un teorema è, come si è visto in precedenza, il ragionamento che
partendo dalla verità dell’ipotesi porta a concludere la verità della tesi servendosi delle regole
di deduzione e tenendo conto degli assiomi.
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
34/8
Elementi di logica
le dimostrazioni nei sistemi ipotetico deduttivi : metodo diretto
Vi sono diversi modi di condurre la dimostrazione di un teorema; ne esamineremo solamente
due : la dimostrazione diretta e la dimostrazione per assurdo .
dimostrazione diretta
Una dimostrazione si dice diretta se procede nel seguente modo :
tiene conto degli assiomi e di teoremi precedentemente dimostrati
applica, ripetutamente , la proprietà transitiva dell’implicazione logica
esempio
Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3. Si ha :
I : n è divisibile per 6 , T : n è divisibile per 3 . Si deve verificare la verità di I ⇒ T
si ha successivamente :
I : n è divisibile per 6 ⇒ n = 6m, m ∈ N ⇒ n =( 3∙2) m ⇒ n = 3∙(2m) ⇒ T : n è divisibile per 3
e per la proprietà transitiva dell’implicazione logica : ⇒
c.v.d. : come volevasi dimostrare Leggasi c.d.d.: come dovevasi dimostrare
n è divisibile per 3 n è divisibile per 6 Si termina sempre la dimostrazione con uno tra gli acronimi c.d.d. o c.v.d. o q.e.d.
q.e.d. : quod erat (esset) demostrandum
06/05/2014
Alla luce di ciò, è più
comodo fare un cambio di notazione e invertendo i ruoli di a e ﹁ a si può scrivere la seguente
formula equivalente alla 1) :
.
per il principio
del terzo escluso deve essere vera T
Il metodo indiretto di riduzione all’assurdo (raa) si articola nel seguente modo :
, si nega (si falsifica) la tesi, cioè si ritiene vero il predicato
﹁ T
Questo modo di ragionare può essere esposto nei seguenti termini per una più facile
comprensione : se l’ipotetica verità di una proposizione (o predicato) a implica una
contraddizione (b ∧ (﹁ b)) allora è vera la negazione di a ( a è falsa).
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
35/8
Elementi di logica
le dimostrazioni nei sistemi ipotetico deduttivi : riduzione all’assurdo
che è tradotto nella formula :
Si è visto in precedenza che la modalità della reductio ad absurdum può essere espressa col
seguente schema di ragionamento :
{( a → b ) [ a → (﹁ b )]} ∧ ( ﹁ a ) ⇒
se a allora b , se a allora non b dunque non a ;
(﹁ a → ⊥) ⇒ a
dimostrazione per riduzione all’assurdo (raa)
dovendo verificare la verità di : I ⇒ T
si dimostra per via diretta l’implicazione (﹁ T ) ⇒ ( ﹁ I )
la conseguenza della precedente implicazione porta alla contraddizione della verità di: I ∧ (﹁ I )
osservando che tale contraddizione deriva dall’aver assunto la verità di ﹁ T ,
Quest’ultima forma è utilizzata nella dimostrazione per assurdo come nel seguito illustrato.
06/05/2014
Si dimostra per assurdo il teorema precedentemente dimostrato per via diretta di cui si
ricorda l’enunciato :
36/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Dimostrazione con metodo raa : esempio
esempio
Si riporta nel seguito un esempio di applicazione del metodo raa
un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3.
Si neghi la tesi, si supponga cioè che sia vera ﹁ T , vale a dire : n non è divisibile per 3.
Sia n un numero naturale divisibile per 6 ( I deve essere vera cioè : n = 6m , m ∈ ℕ ).
Ma essendo 6 = 3∙2, segue che n ≠ 3∙2∙m, cioè n non è divisibile per 6 e quindi è vera ﹁ I.
Ritenere vera la negazione della tesi (﹁ T) , cioè che il numero n non è divisibile per 3 ha
portato alla contraddizione dell’ipotesi (﹁ I ) cioè il numero n è divisibile per sei) , pertanto
la tesi deve essere vera cioè il numero n è divisibile per 3. q.e.d.
06/05/2014
È utile, a tale scopo, riportare nel seguito i possibili enunciati che si possono ottenere dal
teorema diretto I ⇒T :
Supponiamo che un dato enunciato del tipo I ⇒T risulti vero, detto tale enunciato teorema
diretto , da esso si possono ottenere altri enunciati, che sono detti teoremi derivati; ci si
chiede se l’eventuale verità di tali nuovi teoremi sia assicurata dalla verità del teorema diretto.
37/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati
teorema reciproco o inverso
Si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi si ha cioè : T ⇒ I
teorema contronominale o contrapposto :
Si ottiene scambiando l’ipotesi con la negazione della tesi e la tesi con la negazione
dell’ ipotesi si ha cioè : ﹁ T ⇒ ﹁ I
teorema contrario
Si ottiene sostituendo all’ipotesi e alla tesi le rispettive negazioni si ha cioè: ﹁ I ⇒ ﹁ T
teoremi derivati
Si analizza nel seguito ciascuna tipologia .
06/05/2014
È utile, a tale scopo, riportare nel seguito i possibili enunciati che si possono ottenere dal
teorema diretto I ⇒T :
Supponiamo che un dato enunciato del tipo I ⇒T risulti vero, detto tale enunciato teorema
diretto , da esso si possono ottenere altri enunciati, che sono detti teoremi derivati; ci si
chiede se l’eventuale verità di tali nuovi teoremi sia assicurata dalla verità del teorema diretto.
38/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati
teorema reciproco o inverso
Si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi si ha cioè : T ⇒ I
teorema contronominale o contrapposto :
Si ottiene scambiando l’ipotesi con la negazione della tesi e la tesi con la negazione
dell’ ipotesi si ha cioè : ﹁ T ⇒ ﹁ I
teorema contrario
Si ottiene sostituendo all’ipotesi e alla tesi le rispettive negazioni si ha cioè: ﹁ I ⇒ ﹁ T
teoremi derivati
06/05/2014
39/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati : teorema reciproco o inverso
Esempio 1
teorema reciproco o inverso
il teorema inverso T ⇒ I non sempre è vero, quindi di
volta in volta dovrà eventualmente essere dimostrato.
Sia vero il teorema diretto I ⇒T
Se un numero naturale è divisibile per 4 allora esso è divisibile per 2 .
teorema diretto (vero) :
teorema inverso (falso) :
Se un triangolo ha due lati congruenti allora esso ha due angoli congruenti .
Se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso ha due lati congruenti.
A chiarimento di quanto affermato, si riprendono due esempi che abbiamo analizzato in
precedenza .
Se un numero naturale è divisibile per 2 allora esso è divisibile per 4 .
teorema diretto (vero) :
teorema inverso (vero) :
Esempio 2
06/05/2014
40/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati : teorema contronominale
Esempio
teorema contronominale
il teorema contronominale ﹁ T ⇒ ﹁ I è sempre vero. Sia vero il teorema diretto I ⇒T
Se un triangolo è rettangolo allora la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al
quadrato costruito sull’ipotenusa.
teorema diretto (vero) :
teorema contronominale (vero) :
A chiarimento di quanto affermato, si riporta un
Se in un triangolo la somma dei quadrati costruiti su una delle possibili coppie di lati
(eventuali cateti) non è uguale al quadrato costruito sul terzo lato (eventuale potenusa) allora
il triangolo non è rettangolo .
È vera pertanto la seguente affermazione che è nota come
la verità di un teorema implica la verità del suo contronominale e viceversa prima legge delle inverse
si omette la dimostrazione dell’enunciato precedente dal quale consegue immediatamente che
la verità del teorema contronominale implica la verità del teorema diretto .
06/05/2014
41/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati : teorema contrario
teorema contrario
, il teorema contrario ﹁ I ⇒ ﹁ T non è sempre vero ed
anche in questo caso bisognerà eventualmente di volta in volta dimostrarlo.
Sia vero il teorema diretto I ⇒T
A chiarimento di quanto affermato, si riportano i seguenti esempi
Esempio 1
Se un numero naturale è divisibile per 4 allora esso è divisibile per 2 . teorema diretto (vero) :
teorema inverso (falso) :
Se un triangolo ha due lati congruenti allora esso ha due angoli congruenti .
Se un triangolo non ha due angoli congruenti allora esso non ha due lati congruenti.
teorema diretto (vero) :
teorema inverso (vero) :
Esempio 2
Se un numero naturale non è divisibile per 4 allora esso non è divisibile per 2 .
06/05/2014
42/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi derivati : condizione per l’esistenza del teorema contrario
osservazione
Dato il teorema diretto I ⇒T se esso ammette il suo inverso T ⇒ I , cioè se I ⇔T, per
quanto visto in precedenza è vero il contronominale dell’inverso quindi ﹁ I ⇒ ﹁ T cioè è
vero il teorema contrario del primo.
In merito alle condizioni per l’ esistenza del teorema contrario è opportuno fare la seguente
modi di dire tipici
Concludiamo con una precisazione sui seguenti modi di dire che si incontrano spesso negli
enunciati dei teoremi .
• « condizione necessaria»
• « condizione necessaria e sufficiente»
• « condizione sufficiente»
06/05/2014
Questo legame può essere
espresso in due modi diversi, il primo :
43/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi : precisazioni su alcuni modi di dire
I modi di dire precedenti sono legati al concetto di implicazione logica .Se ne illustra nel
seguito il significato
basta che (è sufficiente che) a(x) sia vero ( x appartenente ad A ) perché sia vero b(x).
questo modo di dire evidenzia il ruolo di a(x) nell’affermare che
A ⊂ B
Si consideri una implicazione logica tra predicati a(x) ⇒ b(x).
D B
A
Essere un numero divisibile per 6 costituisce condizione sufficiente perchè il numero sia
divisibile per 2 : cioè la divisibilità per 6 assicura la parità del numero , per cui si ha:
A chiarimento si ripropone un esempio precedente utilizzando il nuovo lessico.
condizione sufficiente perchè un numero sia divisibile per 2 è che il numero sia divisibile per
6 , cioè: I ⇒T
con I : il numero sia divisibile per 6 e T : il numero sia divisibile per 2
A
06/05/2014
il legame può essere così
espresso in modo diverso :
44/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi : precisazioni su alcuni modi di dire
questo modo di dire evidenzia il ruolo di b(x) nell’affermare che
B ⊃ A
Per la stessa implicazione logica tra predicati a(x) ⇒ b(x) ,
D B
A
Essere un numero divisibile per 2 costituisce condizione necessaria perchè il numero sia
divisibile per 6 : cioè per garantire la divisibilità per 6 deve essere assicura la parità del
numero , per cui si ha:
A chiarimento si ripropone l’ esempio precedente utilizzando ancora il nuovo lessico.
condizione necessaria perchè un numero sia divisibile per 6 è che il numero sia divisibile per
2 , cioè: I ⇒T
con I : il numero sia divisibile per 6 e T : il numero sia divisibile per 2
è necessario ( ma non basta ) che b(x) sia vero ( x appartenente a B ) perchè sia
vero A(x).
A
06/05/2014
A chiarimento si ripropone un esempio già proposto : il seguente teorema «Se un triangolo è
isoscele allora ha due angoli congruenti» ed il suo inverso sono entrambi veri.
Avendosi, in questo caso
contemporaneamente
Si consideri una coimplicazione logica tra predicati a(x) ⇔ b(x).
45/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Logica
Teoremi : precisazioni su alcuni modi di dire
condizione necessaria e sufficiente perché a(x) sia vero ( x appartenente ad A ) è che
sia vero b(x) ( x appartenente a B ) .
questo modo di dire evidenzia il ruolo di a(x) e b(x)
nell’affermare che A = B
D B
A
Pertanto il fatto che un triangolo abbia due angoli congruenti costituisce condizione
necessaria e sufficiente perchè esso sia isoscele , per cui è vero il seguente enunciato :
condizione necessaria e sufficiente perchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli
congruenti, cioè: I ⇔T
con I : il triangolo isoscele e T : il triangolo a due angoli congruenti
a(x) ⇒ b(x) e b(x) ⇒ a(x) ,
Pertanto si può
esprimere tale situazione utilizzando il terzo modo di dire indicato in precedenza :
A
i due predicati assumono entrambi
scambievolmente il ruolo di antecedente (ipotesi) e conseguente (tesi).
Recommended