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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
MANUTENÇÃO INDUSTRIAL
ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE – (PARTE I)
ANÁLISE DE TEMPOS DE FALHAS
N O T A S D E A U L A S
Virgílio Mendonça da Costa e Silva
Agosto - 2017
ANÁLISE DE TEMPO DE FALHAS
Introdução
Confiabilidade, Disponibilidade e Mantenabilidade são palavras que
fazem parte do cotidiano de manutenção. Se analisarmos a conceituação
moderna de manutenção, verificamos que a Missão da Manutenção é “Garantir a
Disponibilidade” da função dos equipamentos e instalações de modo a atender a
um processo de produção ou de serviços com confiabilidade, segurança,
preservação do meio ambiente e custo adequado.
Origem da Confiabilidade
Confiabilidade (em inglês Reliability), na Manutenção se originou das
análises de falha em equipamentos eletrônicos de uso militar, durante a década
de 50 nos Estados Unidos.
Em 1960 (Federal Aviation Administration) ⇒ um grupo de estudo
para desenvolvimento de um programa de confiabilidade para a indústria
aeronáutica.
Em 1968 (Boeing - 747) ⇒ manutenção centrada na confiabilidade.
Conceitos Básicos
Confiabilidade em manutenção é a probabilidade de que um item ou
produto (peça, equipamento, circuito, máquina, sistema, componente, etc.),
fabricado de conformidade com dado projeto, possa desempenhar sua função
requerida, por um intervalo de tempo estabelecido, eventualmente o tempo de
vida útil, sem apresentar falhas identificáveis, sob condições definidas de
uso.
Observação:
Na definição anterior pressupõe-se que o item:
� esteja sujeito a manutenção de conformidade com as instruções do
fabricante;
� não tenham sofrido tensões superiores àquelas estipuladas por limites
indicados pelo fornecedor;
� não tenha sido exposta a condições ambientais adversas de
conformidade com os termos de fornecimento ou aquisição.
Em muitos casos estamos interessados em saber qual a probabilidade de
que um dado equipamento funcione no instante em que se precise dele, por
exemplo, no caso de um sistema de proteção ou de desarme. Em outros casos
estamos interessados em determinar qual a fração de um dado período de tempo
que o equipamento estará no estado operacional. No primeiro caso o atributo de
interesse é a disponibilidade instantânea do equipamento e no segundo caso é a
sua disponibilidade média. Define-se então:
� Disponibilidade Instantânea ⇒ probabilidade de que o equipamento
funcione com sucesso no instante em que for requerido.
� Disponibilidade Média ⇒ em um determinado período de tempo é
a fração do período durante o qual o equipamento funciona com sucesso.
Conceitos Agregados a Confiabilidade: probabilidade, função requerida,
condições definidas de uso, tempo e falha.
a) Probabilidade ⇒ razão entre o número de casos favoráveis sobre o número
de casos possíveis, associados a um intervalo de tempo.
� Confiabilidade Zero: Ausência Total de Confiabilidade
� Confiabilidade Um (100%): Totalmente Confiável
b) Função Requerida ⇒ patamar de admissibilidade abaixo do qual a função
não é mais satisfatória. (o mesmo que "cumprir a missão", "realizar o serviço
esperado" ou "atender o desempenho esperado").
c) Condições Definidas de Uso ⇒ a que condições operacionais está
submetido o equipamento. (ambiente em que está instalado, variações e grau de
agressividades, solicitações mecânicas, físicas, químicas, etc.).
Diferenças de temperaturas, presença de poeira, impurezas no produto e
uma série de outros fatores influenciam sobremaneira a confiabilidade de
equipamentos e nem sempre são levados em consideração quando são feitas
comparações com indicadores de equipamentos instalados em outras plantas ou
outros locais.
d) Intervalo de Tempo ⇒ período de tempo definido e medido. Como a
probabilidade varia com o tempo, a Confiabilidade para um intervalo de tempo t1
é diferente para um intervalo de tempo t2.
e) Desempenho ⇒ sabemos que todo equipamento é projetado segundo
uma especificação. Ou seja, todo equipamento é projetado segundo a função
básica que irá desempenhar. Normalmente o desempenho pode ser:
� Desempenho Inerente: desempenho que o equipamento é capaz de
fornecer.
� Desempenho Requerido: desempenho que queremos obter do
equipamento.
Quando o equipamento não apresenta o desempenho previsto, usamos o
termo falha para identificar essa situação.
f) Falha ⇒ cessação da função requerida de um item ou incapacidade de
satisfazer a um padrão de desempenho definido. Pode representar (ou ser
representada pela):
� interrupção da produção;
� operação em regime instável;
� queda da quantidade produzida;
� deterioração (perda da qualidade) do produto;
� perda da função de comando ou proteção.
Quanto maior o número de falhas menor a confiabilidade de um item,
para as condições definidas a priori. Por outro lado, quanto maior a
confiabilidade, melhor os resultados para os clientes ou usuários. Entretanto, a
confiabilidade só começa a ter sentido quando o lado financeiro está em questão.
Revisão de Estatística - Probabilidade
Um Pouco da História
As raízes da Teoria da Probabilidade, que pertence ao campo da
matemática pura, iniciaram-se com os jogos de azar, cuja origem remonta ao
século XVII, com Chevalier de Neré, Fermat e Pascal. Entretanto, quem
introduziu a base matemática da teoria foi Bernouilli, em 1713, fazendo a relação
entre probabilidade e frequência relativa, e foi Moivre, em 1718, quem ampliou
os horizontes da teoria, estendendo aqueles problemas de jogos de azar para
estudos de problemas de seguros, demografia, etc.
Posteriormente, Laplace em 1818 mostrou outras aplicações, e, Gauss e
Quetelet, ainda no Século XIX, publicaram trabalhos relacionados com a Teoria
de Erros e com Demografia.
Hoje em dia, essa teoria é amplamente aplicada em diversos campos da
atividade humana tais como, ciências exatas em geral, psicologia, economia,
comportamento de máquinas automáticas, métodos de previsão, testes de
aceitação, construção de represas, problemas de substituição, engenharia
industrial, análise da confiabilidade e mantenabilidade, etc.
Conceitos de Probabilidade
Numa experiência aleatória, os resultados podem apresentar variações
(incertezas) mesmo quando repetidos em condições uniformes, sem que se
tenha controle sobre os mesmos, isto é, a variabilidade irregular dos resultados
fica ligada unicamente ao fator intrínseco do acaso.
Existem duas maneiras (aproximações) para se fazer um modelamento de
incertezas usando a teoria das probabilidades:
1. Através de espaços amostrais e eventos sobre os espaços
amostrais.
2. Através de variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades,
associadas às variáveis aleatórias.
Na Engenharia de Confiabilidade as falhas podem ser descritas como
eventos aleatórios.
Numa experiência aleatória, chamamos de:
Espaço Amostral (S) ao conjunto de todos os possíveis eventos
(resultados) relativos ao processo aleatório. Os resultados podem ser de
natureza quantitativa ou qualitativa.
{ }S = E1 ,E2 ,E3 , ,EnL
Evento (E) a qualquer subconjunto do espaço amostral, isto é, qualquer
resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral.
Uma experiência é dita “uniforme”, quando todos os elementos do espaço
amostral são equiprováveis, ou seja, tem a mesma possibilidade de se
realizarem.
Qualquer evento tem uma probabilidade de ocorrência ( )P E , onde
( )0 P E 1≤ ≤ .
( )P E 0= ⇒ Evento Impossível (o evento não ocorrerá).
( )P E 1= ⇒ Evento certo (o evento ocorrerá).
Todo evento E tem associado um evento complementar E . Se E representa
falha ⇒ E representa não falha.
Desde que um evento e seu evento complementar ocorram
( )P E P(E) 1+ = ⇒ ( )P(E) 1 - P E=
Em muitos sistemas, tais como, amostragens de falhas em equipamentos,
as probabilidades podem ser determinadas de experiências estatísticas prévias.
Tipos e Associações de Eventos
Para utilizarmos os métodos estatísticos usados, é necessário entendermos
a notação básica e as regras de probabilidade, que são:
a) A probabilidade de se obter o evento “A ”, é denotada por ( )P A ,
e assim para outros eventos.
b) A probabilidade para que os eventos “A ” e “B ” ocorram, é
denotado por ( )P A B⋅ ou ( )P A B∩ .
c) A probabilidade para que os eventos “A ” ou “B ” ocorram, é denotado
por ( )P A B+ ou ( )P A B∪ .
d) A probabilidade condicionada de obter saída “A ” (evento), dada que:
“B ” tenha ocorrido, é denotada por ( )P A|B .
e) A probabilidade complementar do evento “A ”, isto é, de não ocorrer,
é denotada por ( ) ( )P A = 1 - P A .
f) Se ( )P A 0≠ a probabilidade condicional de um evento “A ” dado
que “B ” tenha ocorrido, ou vice-versa, é dada por:
( ) ( )( )
P A BP B|A =
P A⋅
Analogamente, se ( )P B 0≠
S
A B
P(A.B)
S
A BP(A+B)
( ) ( )( )
P A BP A|B =
P B⋅
Esta forma nos fornece uma formulação geral para calcularmos a
interseção se a condicional e a individual são conhecidas.
g) Dois eventos “A ” e “B ” são estatisticamente independentes se
e somente se:
( ) ( ) ( )P A |B = P A |B = P A
( ) ( ) ( )P B|A = P B| A = P B
Isto é, a probabilidade de ocorrer um deles não depende da ocorrência do
outro (ditos não condicionados). A informação adicional de que um dos eventos
já ocorreu em nada altera a possibilidade da ocorrência do outro.
h) A probabilidade da ocorrência de dois eventos “A ” e “B ”,
estatisticamente independentes, é igual ao produto individual das
probabilidades.
P(A B) P(A) P(B)⋅ = ⋅
Também chamado de regra do produto ou da série. Pode ser estendida
para qualquer número de eventos estatisticamente independentes.
Assim, se “ A ” e “ B ” são estatisticamente independentes, temos:
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )P A B P A P B
P A|B = = = P AP B P B
⋅ ⋅
i) Se os eventos “A” e “B ” são estatisticamente dependentes, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B| A P B P A|B⋅ = ⋅ = ⋅
onde ( )P A|B é a probabilidade de “A” ocorrer vezes à probabilidade de “
B ” ocorrer dado que “A” tenha ocorrido, ou vice-versa.
j) A probabilidade de “ A ” ou “ B ” ocorrer, se “ A ” e “ B ” são
estatisticamente independentes, é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B - P A P B+ ⋅
Por outro lado:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B - P A|B P B+ ⋅
k) Se os eventos “ A ” e “ B ” são mutuamente exclusivos, isto é, “ A ”e
“ B ” não podem ocorrer simultaneamente, então:
( )P A B = 0⋅ e ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B+
l) Formula de Bayes
A formula de Bayes envolve probabilidade condicional de dois eventos. Ela
pode ser derivada observando-se que:
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A B P B|A P AP A|B = = =
P B P B|A P A P B|A P AP B A B A
⋅ ⋅ ⋅
⋅ + ⋅⋅ ∪ ⋅ onde A B⋅ e B A⋅ são mutuamente exclusivos.
m) Se “n” eventos 1 2 3 nA , A , A , , AL constituem uma partição do
espaço amostral, isto é, eles são mutuamente exclusivos, dois a dois, e tais
que o evento soma dá o próprio espaço amostral. Além disso, ( )iP A > 0 ,
onde: i 1, 2, 3, , n= L .
Então:
S
A B
( ) ( ) ( )( ) ( )
i ii n
i ii = 1
P A P B|AP A |B =
P A P B|A
⋅
⋅ ∑
Teorema de Bayes
Onde B é um evento que só pode ocorrer como efeito de uma das
causas mutuamente exclusivas iA . Este resultado é também denominado
pela “Fórmula da Probabilidade das Causas ou dos Antecedentes”. Ela nos
dá a probabilidade de um evento particular iA ocorrer (isto é, uma causa),
desde que B tenha ocorrido. O Teorema de Bayes procura responder a
seguinte pergunta: “Supondo que o evento B tenha ocorrido, qual a
probabilidade de que esse evento tenha vindo de iA ?”.
Distribuições de Probabilidade
Consideremos uma variável "X", que assume um valor numérico cada vez
que ocorre um evento, estando cada um desses valores associados a uma certa
probabilidade. Esta definição é justamente o conceito de variável aleatória.
As variáveis aleatórias se subdividem em dois grupos principais, a saber:
Variáveis Aleatórias Discretas ⇒ quando podem assumir, com
probabilidade diferente de 0 (zero), um número finito de valores dentro de um
intervalo finito.
Variáveis Aleatórias Contínuas ⇒ quando podem assumir, mesmo
dentro de um intervalo finito, um número infinito de valores.
Dada uma série de eventos mutuamente exclusivos iA que constituem a
totalidade dos resultados possíveis numa experiência aleatória, isto é:
n
ii = 1
A = S∑
A cada evento iA , associamos um número real iX , e teremos como
consequência, que:
( )n
ii = 1
P X = 1∑
Um conjunto de valores ( )iP X , correspondentes a probabilidade de
ocorrer iX que somados igualam a unidade, constituem uma Distribuição
de Probabilidade.
Uma Distribuição de Probabilidade que determina a probabilidade de
cada valor de uma variável aleatória discreta ou determina a probabilidade de
um intervalo de valores de uma variável aleatória continua podem ser descritas
em termos de uma Função de Massa de Probabilidade ( )p x , no caso
de discreta, ou uma Função de Densidade de Probabilidade ( )f x , no
caso de contínua.
As funções de massa de probabilidade e funções de densidade de
probabilidade descrevem a forma da distribuição de probabilidade, enquanto que
a Função de Distribuição Cumulativa fornece a probabilidade acumulada.
Para ambas as distribuições de variáveis discretas e contínuas, define-se
respectivamente uma Função de Distribuição Cumulativa ( )P x ou ( )F x .
Para ambos os casos de variáveis, representa-se a Função de Distribuição
Cumulativa como ( ) ( )P x = P X x≤ ou ( ) ( )F x = P X x≤ . Por convenção as
letras maiúsculas representam a variável aleatória e as letras minúsculas
determinam um valor particular que a variável aleatória pode assumir.
Distribuições Discretas de Probabilidade
Para qualquer distribuição discreta, definiremos ( ) ( )p x = P X x= como a
função de massa de probabilidade. Então, a Função de Distribuição Cumulativa
será:
( ) ( )n
todos
P x = P X x = ξ
≤ ξ∑
( )P x é monotonicamente crescente com ( )0 P x 1≤ ≤ e em particular com
( )P 0 0= e ( )P 1∞ = . Para qualquer distribuição discreta tem-se:
( )0 p x 1≤ ≤
( )todos x
p x = 1∑
( )todos x
= x p xµ ⋅∑ É a média da distribuição.
( ) ( )22
todos x
= x- p xσ µ ⋅∑ é a variância da distribuição.
Duas distribuições são muitos usadas em Engenharia da Confiabilidade: A
Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson.
Distribuições Contínuas de Probabilidade
As seguintes relações são usadas para qualquer distribuição contínuas:
( )0 F x 1≤ ≤
( ) ( ) ( )x
-
F x = P X x = f d∞
≤ ξ ⋅ ξ∫
( ) ( )dF xf x =
dx
( )+
-
f x dx = 1∞
∞
⋅∫
( ) ( ) ( ) ( )b
a
P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫
( ) ( )+
-
E x = = x f x dx∞
∞
µ ⋅ ⋅∫ é a média da distribuição ou valor esperado da
variável x .
( ) ( ) ( )+
22
-
Var x = = x- f x dx∞
∞
σ µ ⋅ ⋅∫ é a variância da distribuição.
Se n
i ii = 1
Y = a x⋅∑ onde ix são variáveis aleatórias independentes tendo média
iµ e variância 2iσ e os valores de ia são constantes, então:
( )n
i ii = 1
E Y = a ⋅ µ∑ e ( )n
2 2i i
i = 1
Var Y = a ⋅ σ∑
Em geral nós podemos descrever a distribuição de uma variável aleatória
em termos de sua função densidade de probabilidade ou sua função cumulativa
da probabilidade. Embora uma variável aleatória possa ser definida num
intervalo (-∞ , +∞), quando a variável aleatória representa tempo de falha ou de
reparo, somente valores positivos são permitidos. Então o domínio das variáveis
Aleatórias serão normalmente )0, + ∞ .
Quatro distribuições são muito usadas em Confiabilidade: A Distribuição
Exponencial, a Distribuição Normal, a Distribuição de Weibull e a
Distribuição de Lognormal.
Função Distribuição Cumulativa ou Acumulada - ( )F x
Define-se Função Distribuição de uma variável aleatória "X", no ponto x ,
como sendo a probabilidade de "X" ser menor ou igual a "x ".
Logo:
( ) ( )F x = P X x≤
( )F x é, portanto, a probabilidade acumulada desde “- ∞ ” até “ ix ”,
inclusive. Nos trabalhos relacionados à análise da confiabilidade, mantenabilidade e
disponibilidade geralmente o limite inferior é igual a 0 (zero).
Nada impede que esta função seja empregada também no caso de
variáveis discretas, quando resulta:
( ) ( )j
j ii = 1
F x = P x∑
isto é, a função distribuição no ponto jx é igual a soma das probabilidades
associadas a todos os valores de "x " menores ou iguais a jx .
Propriedades de ( )F x :
( )0 F x 1≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )b
a
P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫
( ) ( )x +
F + = lim F x = 1→ ∞
∞
( ) ( )x -
F - = lim F x = 0→ ∞
∞
Função Densidade de Probabilidade - ( )f x
Seja uma variável aleatória contínua "x ". A probabilidade de "x " estar
Compreendida entre dois pontos “a ” e “b ”, é ( ) ( ) ( )P a x b = F b - F a≤ ≤
Dividindo-se esta probabilidade pela extensão do intervalo "b-a",
resulta:
( ) ( ) ( )P a x b F b - F a =
b-a b-a≤ ≤
A este quociente chamamos "Densidade Média de Probabilidade" no
intervalo [a ;b ]. Este quociente mede o grau de concentração de probabilidade
no intervalo considerado.
Para se ter a Densidade de Probabilidade em "a", basta passar-se ao
limite, fazendo "b " tender ao valor de "a", isto é:
( ) ( ) ( )b a
F b - F af a = lim
b-a→
Podemos notar que a ( )f a nada mais é que a derivada da função ( )F x no
ponto "a". Portanto, chama-se densidade de probabilidade no ponto "x ",
denotado por ( )f x , a derivada nesse ponto, ou seja:
( ) ( )dF xf x =
dx
A densidade de probabilidade é medida em termos da probabilidade por
unidade da grandeza variável.
Propriedades de ( )f x :
( )f x 0≥
( ) ( )x
-
F x = f x dx∞
⋅∫
( ) ( )+
-
F = f x dx = 1∞
∞
∞ ⋅∫
( ) ( ) ( ) ( )b
a
P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫
( ) ( ) ( )b a
P x a = lim F b - F a = 0→
=
( ) ( )+
-
E x = = x f x dx∞
∞
µ ⋅ ⋅∫
onde µ é a média ou valor esperado da variável aleatória x .
( ) ( )+
22
-
= x- f x dx∞
∞
σ µ ⋅ ⋅∫
onde 2σ é a variância da distribuição.
Como falamos anteriormente, em engenharia de confiabilidade a nossa
variável aleatória e definida como falha, e a distribuição associada é conhecida
como distribuição de falha.
Função Confiabilidade (Reliability) - ( )R t
Confiabilidade é definida como a probabilidade de que um sistema
(componente, equipamento, planta industrial, etc.), não falhará em um intervalo
de tempo t . Para expressar matematicamente definimos a variável aleatória
continua T como sendo o tempo para falha do sistema (componente,
equipamento, planta industrial, etc.), T 0≥ .
Assim, a confiabilidade pode ser expressa como:
( ) ( )R t = P T t≥
onde ( )R t 0≥ , ( )R 0 = 1 e ( )
t lim R t = 0
→ ∞
Para um dado valor de t , ( )R t é a probabilidade de que o tempo de falha
do sistema é maior ou igual a t .
Com a definição acima, observa-se que a função cumulativa de
probabilidade ( )F t , definida anteriormente, pode ser colocada da forma:
( ) ( ) ( )F t = 1 - R t = P T t≤
onde ( )F 0 = 0 e ( )
t lim F t = 1
→ ∞ e que ( )F t é a propriedade de que a falha ocorre
após o tempo t .
Referimos a ( )R t como a função de confiabilidade e ( )F t como a função
de distribuição acumulativa de uma distribuição de falhas.
Assim a função densidade de probabilidade, pode ser escrita da forma:
( ) ( ) ( )dF t dR tf t = = -
dt dt
Função Taxa de Falha - λ
Em adição a função de probabilidade definida anteriormente, uma outra
função chamada de taxa de falha é frequentemente usada na engenharia de
confiabilidade. Ela fornece a taxa de falha instantânea no tempo t . Dada a
probabilidade no intervalo de tempo, representada matematicamente como:
( )P t T t+ t≤ ≤ ∆
e a probabilidade condicional da falha no intervalo de tempo t até t∆ , dado que o
sistema não tenha falhado em t .
( ) ( ) ( )( )
R t - R t tP t T t+ t | T t =
R t+ ∆
≤ ≤ ∆ ≥
então ( ) ( )
( )R t - R t t
R t t+ ∆
⋅ ∆ é a probabilidade condicional de falhas por unidade de
tempo.
Assim, definimos a função taxa de falha instantânea como:
( ) ( ) ( )( )t 0
R t - R t tt = lim
R t t∆ →
+ ∆λ
⋅ ∆
( ) ( ) ( )( )t 0
- R t t - R t 1t = lim
t R t∆ →
+ ∆ λ ⋅∆
( ) ( )( )
( )( )
- dR t f t1t = =
dt R t R tλ ⋅
A expressão anterior pode ser usada para determinarmos a confiabilidade
em função da taxa de falha, para um intervalo t . Ou seja:
( ) ( )( )
- dR t t =
R t dtλ
⋅
Integrando
( ) ( )( )
( )R tt
0 1
- dR tt dt =
R tλ ⋅∫ ∫
onde ( )R 0 = 1 estabelece o limite inferior. Então
( ) ( ) ( )( )
t
0
t - t dt
0
- t dt = ln R t R t = eλ ⋅∫
λ ⋅ ⇒∫
Tempo Médio Entre Falhas – TMEF
De acordo com a expressão de valor esperado ou médio de uma variável
aleatória, definido anteriormente, podemos escrever:
( ) ( )0
TMEF = E t = = t f t dt∞
µ ⋅ ⋅∫
ou seja ( )
0
dR tTMEF = - t dt
dt
∞
⋅ ⋅∫
Usando a integração por partes
( ) ( )+
00
TMEF = - t R t | + dR t dt∞
∞ ⋅∫
Desde que
( )( )
t
0
- t dt
t t lim t R t = lim t e = 0
λ ⋅
→ ∞ → ∞
∫⋅
e
( )0 R t = 0⋅
temos:
( )+
0
TMEF = R t dt∞
⋅∫
Variância da Distribuição - σ2
Outra medida que é frequentemente usada para descrever as
características de uma distribuição é a variância, que representa uma média
quadrática de falhas no tempo. De acordo com os resultados anteriores, pode-se
escrever:
( ) ( )+
22
0
= t - TMEF f t dt∞
σ ⋅ ⋅∫
de onde chega-se facilmente a:
( )+
2 2 2
0
= t f t dt - TMEF∞
σ ⋅ ⋅∫
Tempo
Referência: United Air Lines (> 30 Anos de Pesquisa)
Observações:
1. A, B e C - Características de falhas por fadiga ou corrosão. 2. D, E e F – Características de falhas de sistemas hidráulicos e eletrônicos.
3. B e F – Características de sistemas que apresentam mortalidade infantil
4. 89 % das falhas não crescem com a idade.
5. 11 % das falhas crescem com a idade, o que justifica substituição
ou restauração preventiva.
6. 4 % obedecem a tradicional curva da banheira historicamente assumida
como Modelo Universal de Falhas.
7. 95 % apresentam características de Taxas de Falhas Constantes
durante a maior parte de sua vida útil. É duvidoso nestas condições que
qualquer tipo de restauração pudesse produzir resultados benéficos,
podendo inclusive piorar seu desempenho com a introdução de falhas por
mortalidade infantil, justificado pela grande presença de componentes
elétricos e eletrônicos nos sistemas modernos, que apresentam falhas
elevatórias.
8. Componentes X Curvas:
A - Maquinas a pistão, Discos Aerofólios, etc.
B - Motores Elétricos, Engrenagens, Controles, etc.
C – Turbinas, Compressores, Selos de Ar, Engrenagens, Rolamentos, etc.
D – Flaps de Turbinas, Itens pré-testados, etc.
E – Lâmpadas
F – Placas Eletrônicas, Software, etc.
Com base na pesquisa apresentada anteriormente, podemos assumir que
em parque fabril temos a maior parte dos equipamentos com:
( )tλ = λ Taxa de Falha Constante
( ) - tR t e λ= Função Confiabilidade
( ) - tF t 1 - e λ= Função Cumulativa ou Acumulativa de Falhas
( ) - tf t t e λ= ⋅ Função Densidade de Falhas
Para Tempo Médio Entre Falhas teremos:
( )0
TMEF = t f t dt∞
⋅ ⋅∫
( )0
TMEF = R t dt∞
⋅∫
- t
0
1TMEF = e dt =
∞λ ⋅
λ∫
As funções acima correspondem a Distribuição Exponencial. Exemplo:
Um fabricante de lâmpadas de bulbo está interessado em estimar a vida
média dos bulbos. Coloca 200 bulbos em teste acelerados de vida (os bulbos são
testados a 6 volts, enquanto que em operação normal são utilizados 3 volts). Os
bulbos são observados e o número de falhas com um intervalo de 1000 horas é
mostrado na tabela a seguir. Esboce os gráficos correspondentes às funções
densidade de falha, taxa de falhas, acumulativa de falhas e confiabilidade.
Intervalo de Tempo [horas] Número de Falhas no Intervalo 0 - 1000 100
1000 – 2000 40 2000 – 3000 20 3000 – 4000 15 4000 – 3000 10 5000 – 6000 8 6000 – 7000 7
TOTAL 200
Solução:
Sabemos que:
1. Função Acumulativa ( ) ( )F t = P T t≤
2. Função Confiabilidade ( ) ( )R t = P T t≥
( ) ( )F t + R t = 1 ⇒ ( ) ( )F t = 1 - R t ου ( ) ( )R t = 1 - F t
3. Função Densidade de Probabilidade
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dF t dR t F t R tf t = = - = ~ = ~ -
dt dt t t∆ ∆
∆ ∆
4. Taxa de Falhas ( ) ( )( )
( )( )
dR t f t1t = - =
dt R t R tλ ⋅
Como ( )t = λ λ (lâmpadas ⇒ constant)
( )( )
t
0
- t dt- t R t = e = e
λ ⋅λ⋅
∫⇒
0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000
Tempo Tempo
F (t
) f (t)
R(t
) La
mbd
a (t
)
5. Tempo Médio Entre Falhas ⇒ - t
0
1TMEF = e dt =
∞λ ⋅
λ∫
Tempo [h]
Número de
Falhas
Frequência Relativa
F(t) ∇F
R(t) − ∇R(t )
f(t) λ(t )
0
1000
100
0.500
0
0.500
0.500
1
0.500
0.500
5 ⋅ 10 −4
5 ⋅ 10 −4
2000
40
0.200
0.700
0.200
0.300
0.200
2 ⋅ 10 −4
4 ⋅ 10 −4
3000
20
0.100
0.800
0.100
0.200
0.100
1⋅ 10−4
3.33 ⋅ 10 −4
4000
15
0.075
0.875
0.075
0.125
0.075
0.75 ⋅ 10 −4
3.75 ⋅ 10 −4
5000
10
0.050
0.925
0.050
0.075
0.050
0.5 ⋅ 10 −4
4 ⋅ 10 −4
6000
8
0.040
0.965
0.040
0.035
0.040
0.4 ⋅ 10 −4
5.33 ⋅ 10−4
7000
7
0.035
1
0.035
0
0.035
0.35 ⋅ 10 −4
10 ⋅ 10 −4
∑ 200 - - - - - - -
Funçao Cumulativa 1
Confiabilidade 1
0.8
0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0 2000 4000 6000
0 0 2000 4000 6000
-4
x 10 6
Funçao Densidade
-4
x 10 10
Taxa de Falha
8 4
6
2 4
0 2
Taxas de Falhas
Taxa de Falhas ⇒ É definida para um período de tempo estabelecido da
vida de um item. É a relação do número total de falhas para o período de tempo
acumulado observado. Outra forma de calcular a taxa de falhas, usadas
geralmente pelos fabricantes, é considerar o número de itens testados
multiplicado pelo número total de horas de teste.
por:
Se “λ” é a taxa de falha de “N” itens, então o valor observado, é dado
K =
Tλ ou
teste
K =
u Tλ
⋅
onde:
“K ”⇒ número de falhas
“T ” ⇒ período considerado
“ testeT ” ⇒ número de horas de teste
“u ” ⇒ unidades testadas
O valor de “ λ ” indica que “K / T ” é somente uma estimativa da taxa
de falhas. O valor verdadeiro será revelado somente quando todos os “N”
itens tenham falhado.
A taxa de falhas é algumas vezes expressa como uma porcentagem de
1000 horas, e algumas vezes tem um número multiplicado por uma potência
negativa de dez (10). Por exemplo:
8500 por 109 horas (8500 fits) onde: 1 fit = 10-9 horas
8,5 por 1012 horas
0,85 % por 1000 horas
0,0085 por ano
CURVA DA BANHEIRA PARA O MODELO II
2.3
2.1
III I II
1.9
1.7
1.5
1.3 .100 .300 .500 .700 .900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300 2.500
.200 .400 .600 .800 1 1.200 1.400 1.600 1.800 2 2.200 2.400 2.600
Tempo "t"
Tax
a de
Fal
ha e
m F
unçã
o do
Tem
po
Curvas de Falhas
Colocando-se um grupo de componentes idênticos em teste, pode-se
verificar que o gráfico do número de componentes que falham por unidade de
tempo dividido pelo número de componentes sobreviventes em cada instante,
tem a forma da mostrada abaixo.
De uma maneira geral as curvas de falhas podem ser representadas pela
seguinte função:
( ) ( ) bc 1 b -1 tt k c t + 1-k b t e− β⋅λ = ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β ⋅
para: b,c, , 0β α > 0 k 1 ≤ ≤ t 0≥ c 0.5= b 1= onde:
“b ” e “c ” são parâmetros de forma
“ α ” e “ β ” são parâmetros de escala
“t” é o tempo
São considerados casos especiais da equação acima:
k 1= ⇒ Weibull
k 0= ; b 1= ⇒ Valor Extremo
c 0.5= ; b 1= ⇒ Curva da Banheira
c 1= ; b 1= ⇒ Distribuição de Makeham
Para o caso particular da “Curva da Banheira - Modelo B”, temos:
( ) ( ) ( ) bb -1 tt b t e β⋅λ = ⋅ β ⋅ ⋅ β ⋅
onde: b 0.5= e 1β =
O nome “Curva da Banheira (Bathtub Curve)” é devido a sua forma, e
o parâmetro cuja variação temporal ela descreve é denominada de taxa de falha,
representado por ( )tλ .
Esta curva mostra que a taxa de falha de um componente pode ser:
decrescente (I), constante (II) ou crescente (III) correspondente aos três
períodos indicados na figura, a saber:
� Período I - mortalidade infantil, burn-in, amaciamento (taxa de falha
decrescente).
� Período II - vida útil ou vida de uso (taxa de falha constante).
� Período III - desgaste (taxa de falha crescente).
O período de mortalidade infantil está associado com defeitos de projeto,
deficiências do processo de fabricação e garantia da qualidade (falhas em soldas,
juntas, conexões, ajuste e posicionamentos incorretos, isolamento, etc.), e até
mesmo ser oriunda de problemas de instalação. Do ponto de vista de projeto, o
enfoque para reduzir a taxa de falhas é minimizar este período ao máximo ou
eliminá-lo por completo antes da utilização real do componente, e consiste do
emprego de testes de melhoramento ou crescimento da confiabilidade durante o
desenvolvimento do projeto seguido por testes controlados junto ao controle de
processo, assim como, melhorar os serviços de inspeções durante a fabricação.
As falhas que ocorrem durante o período de vida útil são causadas
principalmente pela ocorrência aleatória de esforços que excedem os níveis de
resistência do componente, fadiga ou corrosão acelerada fruto de interações de
materiais com o meio. Um modo bastante utilizado para minimizar a ocorrência
deste tipo de falha consiste no emprego de componentes de maior resistência do
que a exigida nominalmente para aquela utilização inicial (técnica de derating).
O aumento da taxa de falhas que ocorre no período de desgaste deve-se a
ocorrência gradual de mudanças físicas e químicas na estrutura interna do
componente resultando numa redução acentuada do nível de resistência deste.
De um modo geral os componentes são sempre substituídos quando já
apresentam um determinado nível de desgaste específico.
Do ponto de vista de manutenção, deve ser considerado que a taxa de
mortalidade infantil será tanto maior quanto pior for o trabalho desenvolvido nas
fases que antecedem a entrada em operação de qualquer equipamento ou
sistema. Normalmente a manutenção arca com todo o ônus do trabalho malfeito
nas etapas anteriores, mas, independente disto, as consequências se traduzirão
em baixa confiabilidade e lucros cessantes para a planta.
A tabela a seguir, mostra que participação deve ter a manutenção nas
fases que antecedem à operação.
Participação da Manutenção nas Fases que Antecedem à Operação
Fases
Especificação e Projeto
Colocação da Compras
Análise de Propostas
Projeto da Instalação
Fabricação, Testes e Ensaios
Transporte e Armazenamento
Instalação e Testes
Operação
O que a Manutenção deve Fazer
Opinar
Parecer Baseado na Experiência
Parecer Técnico
Parecer
Acompanhar
Orientar
Acompanhar
Rotina
Tempos de Falhas e de Reparos
Para melhor caracterizar os conceitos de confiabilidade, disponibilidade e
mantenabilidade, que são os principais atributos da manutenção, é importante
conceituar algumas variáveis importantes.
� Tempo Total ⇒ é o tempo total que o equipamento poderia ficar
disponível para operação.
� Tempo de Funcionamento ⇒ é a parcela do tempo total em que a
instalação ou equipamento estava em funcionamento.
� Tempo de Não Funcionamento ⇒ é a parcela do tempo total em
que o equipamento (ou instalação), embora disponível não foi utilizada
pela produção e ficou parado (não funcionou).
Pelas definições acima, deduzimos que ao longo do tempo total “T ”
teremos, então, tempos disponíveis para a produção, com o equipamento (ou
instalação) funcionando ou não, e tempos em que o equipamento está em
manutenção, ou seja, indisponível para produção.
Das definições acima extraímos dois importantes atributos de tempos,
objetos de estudo, quando da análise da confiabilidade, ou seja:
� Tempo Médio Para Falhar (TMPF) ou Mean Time To Failure (MTTF)
� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) ou Mean Time Between
Failure (MTBF)
As técnicas de análise da confiabilidade, no seu sentido mais amplo, são
conhecidas em inglês como RAM (Technologies Reliability, Availability and
Maintainability) ou simplesmente como “R&M”.
Tempo Médio Entre Falhas
Para um período estabelecido de tempo na vida de um item o valor médio
do comprimento de tempo entre falhas consecutivas é calculado como uma
relação do tempo total acumulado observado, para o total de número de falhas.
Assim, o TMEF de “N” itens observados, é dado por:
TTMEF
K=
onde:
“K ” ⇒ número de falhas
“T ” ⇒ tempo em que o equipamento ficou disponível para
produzir, (funcionando ou não).
“ testeT ” ⇒ número de horas de teste
“u ” ⇒ unidades testadas
A igualdade, acima, só é válida para os casos onde a taxa de falhas é
constante.
Tempo Médio Para Falhar
Para um período estabelecido de tempo na vida de um item é a relação do
tempo acumulado para o número total de falhas. Isto é, T /K . A única
diferença entre “TMEF” e “TMPF” esta no seu uso.
O “TMPF” é utilizado para aqueles itens que não podem ser reparados. Por
exemplo: rolamentos, transistores, resistores, lâmpadas, fusíveis, mangueiras,
etc.
O “TMEF” é utilizado para os itens reparáveis, tais como: motores
elétricos, transformadores, geradores, turbos, etc.
Exemplo:
Um sistema é composto de 40 motores elétricos e durante o período de
1(um) mês foram observadas 13 falhas. Determinar a taxa de falha e o TMEF
para cada motor elétrico e para o sistema “motores elétricos”.
Solução:
� Taxa de Falha 1λ da cada motor elétrico é dada por:
1
n 13 = = 0,000451 falhas/hora
N T 40 720λ =
⋅ ⋅
� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) de cada motor elétrico é igual a
isto é: 2.215,38 horas.
11/ λ
� Taxa de Falha 40λ do sistema formado por 40 motores elétricos:
1
n 13 = = 0,018056 falhas/hora
T 720λ =
� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) do sistema formado por 40 motores
elétricos: é igual a 401/ λ , isto é: 55.38 dias.
Considerações:
Há situações em que podemos trabalhar com a ( )tλ . É o caso
quando analisamos as falhas de equipamentos que não seguem o modelo de
falhas de uma distribuição exponencial negativa (taxa de falha constante).
A distribuição exponencial negativa é igual a: ( ) ( )F t = 1 - Exp - tλ ⋅ .
Esta função é dita aleatória e a sua média é igual ao desvio padrão. É muito
utilizada para representar falhas de equipamentos eletrônicos e para estudos
de confiabilidade de forma simples. “ ( )F t ” é a probabilidade acumulada de
falhas e “ ( ) ( )R t = 1 - F t ” é a confiabilidade (probabilidade do equipamento
não falhar em um dado intervalo de tempo, sob certas condições operacionais).
Predição da Confiabilidade
Embora exista uma série de modelos probabilísticos utilizados em análise
de dados de confiabilidade, alguns deles ocupam uma posição de destaque por
sua comprovada adequação a situações práticas. Entre estes, podemos citar o de
Distribuição Exponencial e o de Distribuição de Weibull. Neste texto usamos
estes modelos para o cálculo do Tempo Médio Entre Falhas.
A probabilidade de um item falhar no intervalo de tempo “t ” e “ t+dt
”, pode ser descrita de duas maneiras:
I - A probabilidade de falha no intervalo “t ” a “ t+dt ” dado que
tenha sobrevivido até o tempo “t ”. Isto é: ( )t dtλ ⋅ ⇒ taxa de falhas em
função do tempo.
II - A probabilidade de falha no intervalo de “t ” a “ t+dt ”
incondicionalmente. Isto é: ( ) ( ) f t dt f t ⋅ ⇒ é a função densidade de
probabilidade de falhas.
Exemplo:
Oitocentos componentes hipotéticos foram colocados num teste de vida.
O sistema foi observado por 30 horas seguidas a intervalos de 3 horas e o
número de falhas foram anotados de acordo com a tabela abaixo. Determine a
densidade de falhas e a taxa de falhas dos componentes.
CONFIABILIDADE DE CADA MOTOR ELÉTRICOTAXA DE FALHA = 0,000451 FALHAS/HORA
TEMPO (horas)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1000 2000 3000 4000
C O N F I A B I L I D A D E
Intervalo de Tempo [h]
Número de Falhas no Intervalo
Densidade de Falhas f(t)
Taxa de Falhas
λ(t)
0 → 3 185 0,0771 0,0771
3 → 6 42 0,0175 0,0227
6 → 9 36 0,0150 0,0209
9 → 12 30 0,0125 0,0175
12 → 15 17 0,0071 0,0112
15 → 18 8 0,0033 0,0054
18 → 21 14 0,0058 0,0097
21 → 24 9 0,00375 0,0064
24 → 27 6 0,0025 0,0044
27 → 30 3 0,0013 0,0022
Total 350 - -
A probabilidade de sobrevivência no tempo “t ” é definida como a
confiabilidade, “ ( )R t ”. A regra de probabilidade condicional, diz que:
( ) ( )( )
f t dtt dt =
R t⋅
λ ⋅
( ) ( )( )
f tt =
R tλ
Entretanto, se “ ( )f t ” é a probabilidade de falhas em “dt ”, então:
( ) ( ) ( )t
0
F t = 1 - R t = f t∫
onde: “ ( )F t ” ⇒ é a probabilidade de falha no intervalo de 0 (zero) a “t ”.
Dados de Falhas de Oitocentos Componentes Hipotéticos
Diferenciando-se: ( ) ( )F t = 1 - R t , temos:
( ) ( )dR tf t = -
dt
Substituindo-se, temos:
( ) ( )( )
( )
( )
dR t- f t dtt = =
R t R tλ
( ) ( )( )
dR t 1- t =
dt R tλ ⋅
Integrando-se, os dois lados, obtemos:
( ) ( )( )
( )R tt
0 1
1- t dt = dR t
R tλ ⋅ ⋅∫ ∫
Uma explicação com relação aos limites de integração torna-se necessária
neste ponto. ( )tλ é integrado com relação ao intervalo de “0 (zero)” a “t
”. Porém, “ ( )1 /R t ” está sendo integrado com relação a “ ( )R t ”. Portanto,
quando “t 0= ”, temos “ ( )R t 1= ”, e para um tempo “ t ” a confiabilidade “
( )R t ” é, por definição, ( )R t . Integrando-se, obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )t
R t1
0
- t dt = Ln R t | = Ln R tλ ⋅∫
Logo:
( ) ( )t
0
R t = Exp - t dt
λ ⋅ ∫
Se a taxa de falhas é constante (não depende do tempo), temos:
( ) ( )t
- t
0
R t = Exp - t dt = e λ⋅ λ ⋅
∫
Veremos mais tarde que o modelo de Distribuição Exponencial
representado pela equação acima é equivalente ao modelo de Distribuição de
Weibull quando o parâmetro de forma é unitário.
Para determinarmos o “TMEF”, sabemos que:
( ) sNR t =
N
( )sN t é o número de itens sobreviventes (não falharam) no período de
tempo “t ”.
N é o número de itens. Logo, o “TMEF” será dado por:
( )s
0 0
NTMEF = dt = R t dt
N
∞ ∞
⋅ ⋅∫ ∫
No caso especial
( ) ( )t
- t
0
R t = Exp - t dt = e λ⋅ λ ⋅
∫
1TMEF =
λ
Note que, se invertermos a taxa de falha obtemos o “TMEF”. Isto, só é
válido, quando a taxa de falhas é constante, ou seja, não varia com o tempo.
Exemplo:
Na figura abaixo, está representado um tanque de armazenamento de um
produto químico sujeito a transbordamento. A proteção é feita pela colocação de
um dispositivo de desligamento da bomba quando é detectado nível alto no
tanque. Supondo que ocorre nível alto do tanque 10(dez) vezes por ano, que o
dispositivo mencionado é testado semanalmente, e que a taxa de falha do
mesmo é igual a 2,0 falhas por ano. Determine a máxima probabilidade de
ocorrer transbordamento do tanque?
Solução:
t 1 semana = 168 horas=
Nivel Alto = 10/ano = 0.0011 falhas / horaλ
Dispositivo = 2/ano = 0.0002 falhas / horaλ
Para que ocorra transbordamento do tanque é preciso que dois eventos
ocorram simultaneamente, ou seja, que ocorra nível alto e que o dispositivo de
proteção esteja em falha. O diagrama de blocos é apresentado abaixo:
Agora, basta determinarmos as probabilidades de ocorrer nível alto e o
dispositivo apresentar falha em 168 horas.
NA - t 0.0011 168NA NAP = 1 - R = 1 - e = 1 - e = 0.1687λ ⋅ ×
NA Nível Alto
Dispositivo não opera
D
LSH TANQUE
BOMBA
D - t - 0.0002 168D DP = 1 - R = 1 - e = 1 - e = 0.0330λ ⋅ ×
Logo:
Transbordar NA DP = P P = 0.1687 0.0330 = 0.0056⋅ ×
Sistemas Coerentes
Devido a grande complexidade dos sistemas modernos, é possível, durante
as fases iniciais de projeto que alguns de seus componentes sejam irrelevantes
para o perfeito funcionamento do sistema, ou seja, o funcionamento ou falha do
sistema independe do comportamento daqueles componentes. Obviamente, após
uma nova análise do projeto, os componentes irrelevantes são eliminados. Um
exemplo simples de um componente irrelevante é apresentado a seguir:
Podemos observar, que o funcionamento ou não do componente “C” em
nada vai comprometer o sistema. Na prática, somente por falhas de projeto, é
que um componente irrelevante pode ser encontrado em algum sistema.
Diagramas de Bloco da Confiabilidade
A avaliação da confiabilidade de um sistema utilizando modelos estáticos é
uma forma de análise preliminar, sendo usado para que se possam calcular as
possíveis configurações do projeto e também para determinar os níveis
necessários de confiabilidade para os subsistemas, itens e componentes.
A B
C
A medida que o projeto progride na direção de seu estágio final, uma
análise mais detalhada pode ser feita e, finalmente, protótipos são construídos
com o intuito de se verificar a confiabilidade do projeto. Logo, podemos
representar um sistema completo dividindo-o em subsistemas, itens e
componentes, onde se supõe que uma “caixa preta” pode estar em um dos dois
estados: “operando” ou em “falha”.
Abaixo apresentamos um diagrama de bloco da confiabilidade e uma de
suas possíveis divisões:
Como exemplo, consideremos um circuito interruptor dual, conforme
mostrado no diagrama de bloco funcional, dado abaixo:
Acionador
Chave A
Chave B
1
A
5
432
D C B E
vi
vi
v
iv iii iii
vi
xr
c
cclc
dx
d
d
d
Nível 1Sistema Global
Nível 2Sistema
Nível 3Subsistema
Nível 4Componentes
Se nossa preocupação básica se relaciona ao fechamento do circuito
quando necessário, então o diagrama de bloco seria um arranjo em série.
Por outro lado, se a preocupação fundamental fosse que o circuito
estivesse aberto quando necessário, o diagrama de bloco seria um arranjo em
paralelo.
É importante observar que um diagrama de blocos é construído para a
determinação do sucesso operacional e não para mostrar o conjunto das funções
de um circuito.
Configurações de Confiabilidade
Aqui iremos descrever as cinco configurações básicas da confiabilidade.
I - Configuração Série
Subsistemas ou componentes ligados em série. Para efeito de
manutenção, um sistema é considerado em série quando o mesmo é constituído
por um número arbitrário de subsistemas (componentes) funcionalmente
interligados e uma falha em qualquer um deles dá origem a falha no conjunto,
que fica impedido de exercer suas funções.
É possível se estabelecer, para cada componente ou item do sistema um
valor para o gradiente de falha que exprime, de forma quantitativa, uma
característica física inerente que determina a vulnerabilidade do item sob as
tensões funcionais e ambientais a que o mesmo estará sujeito.
Chave A
Chave B
Chave A
Chave B
Se as falhas dos componentes de um sistema em série são
estatisticamente independentes então a confiabilidade do sistema “ SR ”, com
componentes diferentes, é dada por:
n
S ii = 1
R = R∏
onde:
n ⇒ número de componentes
iR ⇒ confiabilidade do enésimo componente
Se os tempos para falhar dos componentes seguem uma distribuição
exponencial (componentes com taxa de falha constante) então a confiabilidade
do enésimo é obtida por:
( ) i - tiR t = e λ ⋅
Substituindo-se na equação acima:
i
n - t
Si = 1
R = e λ ⋅∏
n
ii i = 1
n - t - t
Si = 1
R = e = eλ ⋅
λ ⋅ ∑∏
O “TMEF” é dado por:
n
ii = 1
- t
S n0
ii = 1
1TMEF = e dt =
∞ λ ⋅∑⋅
λ∫
∑
R1 R2 R3 RN
n
ii = 1
- t
S0
TMEF = e dt∞ λ ⋅∑
⋅∫
A equação anterior mostra que o “TMEF” de um sistema série é o inverso
do somatório das taxas de falha de cada componente.
Exemplo:
Duas bombas diferentes são necessárias para o funcionamento de um
sistema para o fluxo de uma carga pré-determinada. Assumir que as bombas
têm taxas de falha constantes iguais a 1 0,0001 falhas /horaλ = ” e
2 0,0002 falhas /horaλ = , respectivamente. Calcular o TMEF deste
sistema e a confiabilidade para 100 horas de operação. Considerar que as
bombas começam a operar no instante de tempo t 0= .
Solução:
1- Cálculo da confiabilidade
( ) ( )( )S 1 2R t = Exp - + tλ λ ⋅
( ) ( )( )SR 100 = Exp - 0.0001 + 0.0002 100 = 0.97045⋅
2- Cálculo do TMEF
S1 2
1 1TMEF = = = 3.333,3 horas
+ 0.0001 + 0.0002λ λ
II - Configuração Paralela
Subsistemas ou componentes ligados em paralelo. Para efeito de
manutenção, um sistema é considerado em paralelo quando o mesmo é
constituído por um número arbitrário de componentes funcionalmente
interligados e um defeito em qualquer deles dá origem a defeito no conjunto,
mas não impede o sistema de exercer suas funções, embora em condições
precária. Neste caso, o sistema irá falhar, se e somente se, todos os subsistemas
ou componentes falharem.
O modelo está baseado em que todas as unidades do sistema estão ativas
e compartilhando carga. Em adição é assumido que as falhas dos componentes
são estatisticamente independentes. A confiabilidade de uma configuração em
paralelo PR , com componentes diferentes, é dada por:
( )n
P ii = 1
R = 1 - 1 - R∏
onde:
n ⇒ número de componentes
iR ⇒ confiabilidade do enésimo componente
Se as taxas de falhas dos componentes são constantes temos:
( )i
n - t
Pi = 1
R = 1 - 1 - e λ ⋅∏
Logo:
O TMEF é obtido, integrando-se esta equação no intervalo de [0,∞].
( )n n - 1 n
n + i
P ni = 1 i = 1 j = i+1i i j
ii = 1
1 1 1TMEF = - + + - 1
+ ⋅
λ λ λ λ∑ ∑ ∑
∑L
R1
R2
R3
RN
( )i
n - t
P Pi = 10 0
TMEF = R dt = 1 - 1 - e dt∞ ∞
λ ⋅ ⋅ ⋅
∏∫ ∫
( )
P1 2 n 1 2 1 3 2 3
n + 1
n1 2 3 1 2 4
ii = 1
1 1 1 1 1 1TMEF = + + + - + + +
1 1 1 + + + - 1
λ λ λ λ + λ λ + λ λ + λ
⋅ λ + λ + λ λ + λ + λ λ∑
L
L
Para um sistema em paralelo com 3 (três) componentes, temos:
P1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1TMEF = + + - - - +
λ λ λ λ + λ λ + λ λ + λ λ + λ + λ
Para componentes idênticos, a equação acima se reduz para:
n
Pi = 1
1 1TMEF =
i⋅
λ ∑
Exemplo:
Supor que dois motores idênticos estão operando numa configuração
redundante. Se um dos motores falhar o motor remanescente pode ainda operar
para a carga total do sistema. Assumir que os motores são idênticos, com taxa
de falha constante e as falhas dos motores são estatisticamente independentes.
Se os motores começam a operar no instante de tempo t 0= , determine:
1- A confiabilidade do sistema para 1 0,0005λ =
falhas /hora e t 400 horas= (tempo de operação).
2- O TMEF.
Solução:
1- Cálculo da confiabilidade para t 400 horas=
( ) ( )2
P ii = 1
R t = 1 - 1 - R∏
( ) ( ) ( )P 1 2R t = 1 - 1 - R 1 - R⋅
( ) ( ) ( )1 2 - t - tPR t = 1 - 1 - e 1 - eλ ⋅ λ ⋅⋅
( ) ( )1 21 2 - + t - t - tPR t = e + e - e λ λ ⋅λ ⋅ λ ⋅
Se 1 2 = = λ λ λ , temos:
( ) - t - 2 tPR t = 2 e - eλ⋅ λ⋅
( ) - 0.0005 400 - 2 0.0005 400
PR 400 = 2 e - e = 0.9671× × ×
2- Cálculo do TMEF
n
Pi = 1
1 1TMEF =
i⋅
λ ∑
P
1 1 3TMEF = 1 + =
2 2 ⋅ λ ⋅ λ
P
3TMEF = = 3000 horas
2 0.0005×
III - Redundância Com Standby (Reserva)
Este tipo de redundância representa a situação na qual uma unidade está
operando e n unidades estão em standby (reserva).
1
2
3
4
5
A confiabilidade do sistema é dada por:
( ) ( )i - tn
Sti = 0
t eR t =
i !
λ⋅ λ ⋅ ⋅
∑
onde:
n = N - 1 (número de unidades em standby - não ativas) A equação acima
é verdadeira, se:
o A unidade de chaveamento é perfeita (R=1 em qualquer instante do
tempo).
o As unidades são idênticas.
o As taxas de falhas são constantes.
o As unidades standby estão tão boas quanto novas.
o As falhas das unidades são estatisticamente independentes.
O TMEF é dado por:
( )St0
TMEF = R t dt∞
⋅∫
( )i - tn
i = 00
t eTMEF = dt
i !
λ⋅∞ λ ⋅ ⋅ ⋅
∑∫
Exemplo:
Assumir um sistema que contém três unidades idênticas onde uma está
operando e as outras duas estão em standby. Pede-se determinar:
1. A confiabilidade do sistema para 400 horas de operação, sabendo-se que
a taxa de falhas das unidades é igual a 0.003 falhas/hora.
2. O TMEF do sistema.
Solução:
1. Cálculo da confiabilidade para 400 horas:
( ) ( ) ( )2 - t - t - t
St
t eR t = e + t e +
2
λ⋅λ⋅ λ⋅ λ ⋅ ⋅
λ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )2
- tSt
tR t = e 1 + t +
2λ⋅
λ ⋅ ⋅ λ ⋅
( )StR 400 = 0.3012 1.5840 = 0.4771×
2. Cálculo do TMEF:
( ) ( )2 - t - t - t
0
t eTMEF = e + t e + dt
2
λ⋅∞λ⋅ λ⋅
λ ⋅ ⋅ λ ⋅ ⋅ ⋅ ∫
3 3TMEF = = = 1000 horas
0.003λ
IV - Configuração “K” de “N”
É utilizada onde um número “k” de unidades deve estar operando para
o sucesso do sistema. As configurações série e paralelo nos itens anteriores
são casos especiais desta configuração, onde “k n= ” e “k 1= ”, respectivamente.
1
n
2K/N
A confiabilidade do sistema é dada por:
( ) ( )n
n - in ik/n i
i = k
R t = C R 1 - R⋅ ⋅∑
onde:
n ⇒ número total de unidades no sistema
k ⇒ número de unidades requeridas para o sucesso do sistema
R ⇒ confiabilidade de cada unidade
niC ⇒ combinação de “n ”, “i ” a “i ”
O TMEF é dado por:
n - k + 1TMEF =
K ⋅ λ
Para os tempos de falha distribuídos exponencialmente (taxa de falha
constante) para uma configuração com K 2= e N 4= a equação resultante torna-
se:
( ) ( )4
4 - i4 i2/4 i
i = 2
R t = C R 1 - R⋅ ⋅∑
Para unidades com taxa de falha constante λ , a equação acima se torna:
( ) ( ) ( )4 i 4 - i4 - t - t
2/4 ii = 2
R t = C e 1 - eλ⋅ λ⋅⋅ ⋅∑
Exemplo:
Determine a confiabilidade de um sistema com unidades independentes e
idênticas, numa configuração “2” de “4” para 100 horas de operação. As taxas
de falha são constantes e iguais a 0.005 falhas/hora.
Solução:
Para unidades com tempos para falhar distribuídos exponencialmente
(taxa de falha constante), e com uma configuração “2” de “4”, a equação
resultante torna-se:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 04 2 4 3 4 42/4 2 3 4R t = C R 1 - R + C R 1 - R + C R 1 - R⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )22 3 42/4R t = 6 R 1 - R + 4 R 1 - R + R⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) 2 3 42/4R t = 6 R + 8 R + 3 R⋅ ⋅ ⋅
Ou seja:
( ) - 4 t - 3 t - 2 t2/4R t = 3 e - 8 e + 6 e⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅× × ×
Logo, para “ - tR=e λ⋅ ”, o valor de “ ( )2/4R 100 0.8282= ”. Considerando,
para os dados do problema, 0.005 falhas/horaλ = e t 100 horas= .
V - Configuração em Ponte
O elemento crítico da configuração, está rotulado com o “no 3”. Para
unidades diferentes e independentes, a confiabilidade das cinco (5) unidades em
ponte é dada por:
( )b 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5
1 2 3 5 1 2 3 4 1 3 5 2 3 4 1 4 2 5
R t = 2 R R R R R - R R R R - R R R R - R R R R
- R R R R - R R R R + R R R + R R R + R R + R R
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Para o caso de unidades idênticas, a equação acima se torna:
( ) 5 4 3 2bR t = 2 R - 5 R + 2 R + 2 R⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Para unidades com taxa de falha constante, temos:
( ) - 5 t - 4 t - 3 t - 2 tbR t = 2 e - 5 e + 2 e + 2 e⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
O TMEF é obtido, integrando-se a equação acima no intervalo [0, ∞],
e obtemos:
( )b0
TMEF = R t dt∞
⋅∫
49 1TMEF =
60⋅
λ
Exemplo:
Calcule a confiabilidade de um sistema para 100 horas de operação e seu
“TMEF” sabendo-se que 5(cinco) unidades idênticas e independentes estão
ligadas numa configuração ponte. A taxa de falha decada unidade é igual a “
0.0005 falhas/horaλ = ”. Todas as unidades começam a operar para “t 0= ”.
Solução:
( ) - 0.25 - 0.2 - 0.15 - 0.1bR 100 = 2 e - 5 e + 2 e + 2 e⋅ ⋅ ⋅ ⋅
O seguinte “TMEF” é obtido, pela simples substituição do valor de lambda λ
49TMEF = = 1.633,4 horas
60 0.005×
Exercício:
Um sistema de bombeamento para refrigeração de um determinado
equipamento está representado a seguir:
Este sistema opera em ciclos de 10 horas. Sabendo-se que a taxa de
falha da válvula de retenção (VR1) é de 10-4 falhas por hora, das bombas (B1 e
B2) é de 10-2 falhas por hora e das válvulas manuais (VM1 e VM2) é de
10-3 falhas por hora, pede-se determinar a confiabilidade do sistema para
um ciclo completo, sabendo-se que uma válvula manual e uma bomba operando
são suficientes para garantir a operação normal do sistema.
Solução:
t 100 horas=
- 4VR1 = 10 falhas/horaλ ⇒ ( ) - 4- t - 10 10R t = e = e = 0.999λ⋅ ⋅
- 2B1 B2 = = 10 falhas/horaλ λ ⇒ ( ) - 2- t - 10 10R t = e = e = 0.9048λ⋅ ⋅
- 3VM1 VM2 = = 10 falhas/horaλ λ ⇒ ( ) - 3- t - 10 10R t = e = e = 0.99λ⋅ ⋅
A confiabilidade do sistema para um ciclo completo, sabendo-se que
uma válvula manual e uma bomba operando, são suficientes para garantir a
operação normal do sistema é de 0.9881.
0.9990 0.9890 0.9881
VR1
B1
VM2
VM1
B2
0.9990
0.8958
0.8958
B1
B2
VR1
VM 1
VM 2
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