Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 04-11-2000Copyright 2000,...

Engenharia e Gestão da Produção

Teoria de Sistemas de

Controlo LinearResolução do Exame de 2ª Época

Ano lectivo 1999/2000

Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear

IIO esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura seguinte, apresenta

a seguinte equação diferencial:

onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:

kgm 2 1 9 Nmk 1 6 Nsmb

a) Determine a função de transferência do sistema.

Fkxxbxm Fxxx 962

Aplicando a transformada de Laplace:

sFsxssxsxs 962 2

sFsxss 962 2

jsjssssF

5,15,15,15,1

b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho do sistema.

Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem.

5,45,45,0

z 5,1707,01121,2ξ1

707,0121,2

5,15,1ξ5,1ξ3ξ2

z 121,25,4

Frequência natural:

Coeficiente de amortecimento:

Frequência natural amortecida:

Ganho:

c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa, determine a resposta temporal resultante.

Como a entrada é uma rampa:

sssssssFsGsx

074,081

ssssGssG

15,475,675,6

15,15,1

5,15,1

15,15,1

121111

5,15,125,15,11211

5,15,12

5,15,11211

sssGcsc

11121211

121111

75,65,405,475,6

148,075,6

1175,6

15,475,675,6

222,05,4

148,075,6

75,6 1112

5,4025,0

1074,0

111,0074,0

1074,0962

222,0148,0

1074,0

Aplicando a transformada de Laplace inversa:

tgtwet

ξ1senξ1

ξ1ξ1sen

9074,0

IIIIConsiderando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por:

Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência:

Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da fórmula de ganho de Mason.

Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da pergunta passará a valer metade.

skssss

IIIIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:

sKsHsG

a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R.

1 Número de ramos, zeros e pólos

nº de zeros m=1 (s=-2)

nº de pólos n=3 (s=-2+j; s=-2-j; s=-4)

n>m n=3 ramos

3 Número de ramos para infinito

nº de ramos para infinito n-m=3-1=2

4 Assimptotas dos ramos para infinito

k>0 k<0

5 Origem das assimptotas

6 Pontos de convergência/divergência

Não há pontos de convergência ou divergência para . Existe, no entanto um ponto para em -1,245.

0245,1745,0877,2745,0877,2

02232142

2232142

k>0 k<0

7 Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos

1tan 1

4,153906,26901801

6,2062704,3332703601802

4,333360

6,26906,26901

6,262704,3332703602

b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.

0220218

020218

kkssss

sHsGA equação característica, para o anel fechado, é:

220218

kab 220

667,236

IVIVDada a função de transferência em anel aberto:

sKsHsG

245,1745,0877,2745,0877,2

2232142

25,25,125,15,15,15,12962 22 sjsjsss

Algumas indicações úteis:

222962

jj 5,45,15,1 2

20218544224 232 ssssssjsjss

a) Determine o ganho de Bode.

iB 083,0

b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.

614112

jwjwjw

jwHjwG

c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.

587,1833,0log20 10

21833,0

2 jwjwjw

jwHjwG

Ganho:

Zero em 2:

Pólo duplo na origem:

Pólo em 4:

Pólo em 6:

Adicionando todos os sinais:

d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique.

Do diagrama da alínea c), tira-se:

frequência de cruzamento de ganho é cerca de:

0,3 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:

-180-(-175) = -5 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:

2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:

30 db.

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