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Entre nós
Jorge PicadoDepartamento de Matemática
Universidade de Coimbra
~ tranças e números racionais ~
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 1
Nós de marinheiro
Lais de guia: o favorito dos velejadores.
Este nó é ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, não escorrega e é fácil de desfazer se não estiver sobre pressão.Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, dá uma volta à árvore e volta para a toca".
Nó de oito:
Nó de travagem - evita que o cabo escape.
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2
O que é um nó “matemático”
O resultado é um fio entrelaçado, sem pontas.
Um nó é isto, pensando no fio como não tendo espessura, a sua secção sendo um ponto.
Formando um nó (matemático) com um bocado de fio:
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2
O que é um nó “matemático”Nó: curva fechada no espaço que nunca se auto-intersecta.
Nó trivial
(Não-nó)
Trevo(Nó cego)
Nó de Oito
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 3
Como manipular (desatar) um nó? Alexandre o Grande: espada
Matemáticos: deformações (transformações) contínuas.
Nó Górdio
7 para 3 cruzamentosJaneiro 2006 Nós, tranças e números racionais 4
5 para 3 cruzamentos
Disfarces do trevo
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A versão de seis cruzamentos do lais de guia é a representação mais simples possível deste nó. Diz-se que o lais de guia tem número de cruzamento 6.
8
6
A versão mais simples de um nó pode, em alguns casos, parecer muito diferente
da sua aparência usual.
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 6
Manipulação de nós:movimentos de Reidemeister
Qualquer deformação de um nó pode ser alcançada por uma sequência de três tipos
de movimento:
Knotplot.exe
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 7
Knotplot.exe
Quando é que dois nós são o mesmo?
(envolve geralmente a transformação de um diagrama em outro diagrama)
[O Monstro, L. Kauffman]
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E quando é que dois nós não são o mesmo?
(Envolve a questão mais subtil de garantir quando é que uma tal transformação não é possível)
Exemplos de invariantes:
• Número de cruzamento• Número de desatamento
Uma tal garantia envolve a noção de
invariante
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Classificação Lista dos nós primos até 9 cruzamentos.
Nó primo: nó que não é composição de nós mais simples.
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9
0 1
3 1
4 1
5 2
6 3
7 7
8 21
9 49
10 166
11 552
12 2 176
13 9 988
14 46 972
15 253 293
16 1 388 70517 8 053 249
TOTAL: 9 755 186
Cruzamentos - Nós
[J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks]
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9
Mais exemplos de invariantes:
• Número de cruzamento• Número de desatamento• Número de coloração
• Número de ponte
• Polinómios: Alexander, Conway, Jones• Invariantes de Vassiliev.
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Polinómio de Conway
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10
Polinómio de Conway
mas
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Polinómio de Jones
invariante COMPLETO ? : problema em ABERTO
Knotplot.exe
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Tranças
Região no plano de projecção delimitada por um círculo de tal modo que o nó atravessa esse círculo precisamente em quatro pontos.
0 1
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Tranças
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Tranças Racionais
33+ -
-3 ,0
-3, 0-3
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Notação de Conway
3,
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15
Notação de Conway
3 ,3,-2
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Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando é que duas tranças
são equivalentes
-2,3,2
3,-2,3
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Tranças
0
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TEOREMA DE CONWAY:
As tranças racionais são univocamente determinadas pelas correspondentes
fracções contínuas. De facto:
F é um invariante completo !
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM
Bibliografia
• D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.
E ainda:
• C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004.
• B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994.
• J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332.
• J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48.
• R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com.
• A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002.
• Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/.
(tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, www.atractor.pt).
Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM
Bibliografia
• D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.
E ainda:
• C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004.
• B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994.
• J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332.
• J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48.
• R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com.
• A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002.
• Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/.
(tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, www.atractor.pt).
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