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Esercizio N. 1
Si assuma di avere a disposizione una moneta e di lanciarla N volte. Nell’ipotesi che sia perfettamente bilanciata (cioe’ non truccata), si chiede di discutere quale tipo di distribuzione di probabilita’ di ottenere “TESTA” ci si aspetta nel caso di N = 6 e nel caso di N = 100.
1
2
Il lancio di una moneta N volte, segue la distribuzione teorica binomiale di Bernoulli. Visto che la moneta non è truccata (p = ½), la distribuzione del numero n degli esiti “TESTA” è simmetrica rispetto al valore atteso di n E(n) = <n> = Np = N/2 Con varianza s2 = NP(1-p) = Np2 = N/4
4
= 0.0156 = 1.6%
= 0.0937 = 9.4%
= 0.234 = 23%
= 0.312 = 31%
= 0.234 = 23%
= 0.0156 = 1.6%
B(n, N = 6, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2
=9.4% ; n = 6
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B(n, N = 100, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2
La distribuzione di probabilità di avere n teste su N prove è di tipo binomiale ... per “N grande” (N=100) è indistinguibile da una distribuzione di Gauss con media e deviaione standard pari a quelli della Binomiale stessa.
= 100 x (1/2) = 50
(n – m)2
0.525)2
1)(
2
1)(100()1( pNp
)50
)50(exp(
5
1
2
1 2
n
Esercizio N. 2
Cinque gruppi del corso di Laboratorio di Meccanica hanno misurato quest’anno l’accelerazione di gravità g presso i Laboratori “B. Pontecorvo” a Roma. Si chiede di individuare nel campione di 5 misure di g se vi sono misurazioni affette da errore sistematico e di ricavare la migliore stima di g dalle altre misurazioni. I cinque valori misurati sono: g1 = (9.97 ± 0.28) m/s2 g2 = (10.00 ± 0.11) m/s2 g3 = (10.61 ± 0.32) m/s2 g4 = (9.86 ± 0.47) m/s2 g5 = (9.6390 ± 0.0049) m/s2 Si assuma per Roma il valore gROMA = 9.80352 m/s2 con errore relativo pari a 1x10-6.
7
8
2.8%
%
2
26
6
2
)00001.080352.9()(
00001.00000098.010180352.9)(
)(
101)(
80352.9
smgg
smg
g
gg
g
g
smg
RMRM
RM
RM
RMRM
RM
RM
RM
s
ss
s
s(gRM) trascurabile rispetto a titti i s(g) delle 5 misure
9
95% t0 @ CL = 5%
P(|t| > 0.59) = 55%
P(|t| > 1.79) = 7.3%
P(|t| > 2.52) = 1.2%
P(|t| > 0.12) = 90%
P(|t| > 34) = 0%
10
2.8%
%
Le 3 misure (g1, g2, e g4) pur se compatibili con gRM, sono “sistematicamente” più grandi di gRM ... ... Questo vuole dire qualche cosa su un possibile ulteriore residuo di sistematica comune?
(gRM – gk)
- 0.16 m/s2
- 0.20
- 0.06
12
Test di compatibilità con gRM:
%3.6)86.1|(|
86.110.0
|99.980352.9|
)00001.080352.9()(
0
2
tP
t
smgg RMRM s
Esercizio N. 3
In una relazione di laboratorio, tramite un istogramma a “canne d’organo”, sono riportate N = 20 misure ripetute di una grandezza fisica di tipo conteggio, raccolte in 7 classi di larghezza (bin) pari a 3 conteggi (vedere istogramma allegato). Si chiede: 1) Calcolare la media aritmetica, la deviazione standard del campione ed infine, la deviazione standard della media. Riportare le 3 grandezze Ricavate con il numero di cifre significative e di cifre decimali convenzionalmente accettato. 2) Effettuare il test del Pearson sul campione assegnato per l’ipotesi di distribuzione limite di Poisson.
13
15 80.820
176)1
3
2019181
3
1716153
3
141312
43
111097
3
8763
3
5431
3
210(
20
1
...""...oppure
80.1020
216
20
121118315412793613
bin" del destro estremo"|
30.920
186
20
15.1915.1635.1345.1075.735.415.1
bin" del c"|
80.720
156
20
11811531249763310
bin" del sinistro estremo"|
1
1
n
n
n
entro
n
FREQUENZA
FREQUENZACONTEGGIO
nnumBINk
k
k
numBINk
k
kk
20
)()(
1)(
)(
)(
1
1
1
1
2
numBINk
k
k
numBINk
k
k
numBINk
k
k
numBINk
k
kk
FREQUENZA
FREQUENZA
nn
FREQUENZA
FREQUENZAnCONTEGGIO
n
ss
s
16
17
98.030.998.020
)()(
4.419
2.367
19
1]1)3.95.19(1)3.95.16(3)3.95.13(
4)3.95.10(7)3.95.7(3)3.95.4(1)3.95.1[()(
bin" del c"|
2/1222
2222
nn
n
n
entro
ss
s
30.920
186
20
15.1915.1635.1345.1075.735.415.1
bin" del c"|
n
entro
19
0.0000 9.1424e-05 0.0018285 1.0000 0.00085025 0.017005 2.0000 0.0039536 0.079073 3.0000 0.012256 0.24513 4.0000 0.028496 0.56992 5.0000 0.053002 1.0600 6.0000 0.082154 1.6431 7.0000 0.10915 2.1829 8.0000 0.12688 2.5377 9.0000 0.13111 2.6223 10.000 0.12193 2.4387 11.000 0.10309 2.0618 12.000 0.079895 1.5979 13.000 0.057156 1.1431 14.000 0.037968 0.75935 15.000 0.023540 0.47080 16.000 0.013683 0.27365 17.000 0.0074852 0.14970 18.000 0.0038673 0.077347 19.000 0.0018930 0.037859 20.000 0.00088023 0.017605 21.000 0.00038982 0.0077963
n P(n) E=P(n)*20
30.9!
)exp(),(
m
mmm
nnP
n
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 5 10 15 20 25
n
c3=(9.3^c2)*(exp(-9.3))/(c2!)c4=c3*20
[c2 / n] = [16.166 / (7-2) ] = 3.2
21
30.9!
)exp(),(
m
mmm
nnP
n
P([c2 / n] > 3.2 ; n =5) = 0.64%
0.0000 1.0000 0.0000 9.1424e-05 0.0018285 0.0048953 0.097906 8.3118 3.0000 3.0000 1.0000 0.00085025 0.017005 0.093754 1.8751 0.67486 6.0000 7.0000 2.0000 0.0039536 0.079073 0.31818 6.3637 0.063628 9.0000 4.0000 3.0000 0.012256 0.24513 0.35614 7.1228 1.3691 12.000 3.0000 4.0000 0.028496 0.56992 0.17502 3.5004 0.071526 15.000 1.0000 5.0000 0.053002 1.0600 0.044708 0.89416 0.012529 18.000 1.0000 6.0000 0.082154 1.6431 0.0066405 0.13281 5.6623 21.000 0.0000 7.0000 0.10915 2.1829 8.0000 0.12688 2.5377 9.0000 0.13111 2.6223 10.000 0.12193 2.4387 11.000 0.10309 2.0618 12.000 0.079895 1.5979 13.000 0.057156 1.1431 14.000 0.037968 0.75935 15.000 0.023540 0.47080 16.000 0.013683 0.27365 17.000 0.0074852 0.14970 18.000 0.0038673 0.077347 19.000 0.0018930 0.037859 20.000 0.00088023 0.017605 21.000 0.00038982 0.0077963
COUNT FREQ n P(n) E=P(n)*20 SUM(P) E=SUM(P)*20 CHI2
22
30.9!
)exp(),(
m
mmm
nnP
n
... Provando ad “allargare la coppia di bin alle due estremità”...
0 ... 3 1 0.0979 3 ... 6 3 1.8751 6 ... 9 7 6.3637 9 ... 12 4 7.1228 12 ... 15 3 3.5004 15 ... 18 1 0.8942 18 ... 21 1 0.1328
0 ... 6 4 1.9730 2.0825 6 ... 9 7 6.3637 0.0636 9 ... 12 4 7.1228 1.3691 12 ... 15 3 3.5004 0.0715 15 ... 21 2 1.02697 0.9219
Ok Ek Ok Ek (Ok- Ek)
2/Ek
[c2 / n] = [4.509 / (5-2) ] = 1.503
P([c2 / n] > 1.5 ; n =3) = 21%
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