ESTATÍSTICA Professor Manuel. Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente,...

ESTATÍSTICAProfessor Manuel

Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que o compõem.

Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que

denominaremos Amostra.

Distribuição de FreqüênciaFez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro paulista, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte:

Palmeiras São Paulo Palmeiras Santos Palmeiras

Corinthhians

Santos Corinthhians

Corinthhians

São Paulo

Santos Palmeiras Corinthhians

Portuguesa Corinthhians

Juventus Corinthhians

São Paulo Santos Corinthhians

Corinthhians

Santos Santos Palmeiras São Paulo

Construindo uma tabela...

Time FreqüênciaPalmeiras 5

Corinthhians 8

Santos 6

Juventus 1

São Paulo 4

Portuguesa 1

Total ƒ = 25

As freqüências são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.

Continuando . . .Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja:

ƒr =ƒ

ƒÉ comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem:

ƒp = (100 . ƒr) %

Continuando . . .

Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Palmeiras é:

ƒp = (100 . 0,2) = 20%

Construindo uma nova tabela

Time Freqüência (ƒ)

Freqüência (ƒr)

Porcentagem

Palmeiras 5 5/25 = 0,20 20%

Corinthhians

8 8/25 = 0,32 32%

Santos 6 6/25 = 0,24 24%

Juventus 1 1/25 = 0,04 4%

São Paulo 4 4/25 = 0,16 16%

Portuguesa 1 1/25 = 0,04 4%

Total ƒ = 25 1 100%

Construindo uma nova tabela

Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados:

ƒ

Total ƒ = 25 1 100%

Somatório da

Freqüência

ƒr ƒSomatório da Freqüência

Relativa

Somatório da Freqüência Relativa em

Porcentagem

Gráfico de Barras ou de ColunasNo gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às freqüências.

Gráfico de Barras

5

8

6

1

4

1

0 2 4 6 8 10

Palmeiras

Santos

São Paulo

Tim

es

Freqüência

Gráfico de Barras ou de ColunasGráfico de Colunas

5

8

6

1

4

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Palmeiras Corinthhians Santos Juventude São Paulo Portuguesa

Times

Freq

üênc

ia

Gráfico de SetoresGráfico de Setores

Palmeiras

20%

Corinthhians

32%Santos

24%

J uventude

4%

São Paulo

16%

Portuguesa

4%

Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou freqüências).

Corinthians: 32% de 360° é 115,2°

Santos: 24% de 360° é 86,4°

Palmeiras: 20% de 360° é 72,0°

Portuguesa: 4% de 360° é 14,4°

Juventus: 4% de 360° é

14,4°

São Paulo: 16% de 360° é 57,6°

Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9

Mediana

Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa o posição central quando todos os valores são colocados em ordem.Exemplo:

21 observações

10 observações de um lado

10 observações do outro ladoMd

Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem.

Exemplo:Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista:

1 2 3 4 5 6 7 8

Mediana

4 observações do outro lado

4 observações de um lado

Temos:4+5Md = 2 = 4,5

Mediana

Nº de Pontos

Freqüência

0 7

2 10

4 12

6 11

8 7

10 2

Total 49

Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo:

Solução:Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que:

7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.

Média

Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados.

Exemplo:Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8M =8

= 4,5

Moda“O mais freqüente”

Exemplo 1:

1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3

Exemplo 2:

1 2 2 2 3 3 4 4 4 Moda = 2 e 4

Exemplo 3:

1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)

DesvioConsideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:

4 6 7 8 10

Sabemos que a média desta distribuição é:

4 + 6 + 7 + 8 + 10M =

5= 7

Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim:

• o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3;• o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1;• o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0;• o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1;• o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.

Desvio Médio

Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio:

DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 |

5=1,6

Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista abaixo:

x1 x2 xn

E cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão:

DM = | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M|

n

VariânciaChamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é:

V =(-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32

5= 4

Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:

x1 x2 xn

e cuja média é M, define-se com variância dessa distribuição a expressão:

V = (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2

n

Desvio - Padrão

Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

DP = Vv

No nosso exemplo, o desvio-padrão é:

DP = Vv = V4 = 2

ExercíciosMODA = 3 MEDIANA = 3

0+1+1+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+5+5+5+5MÉDIA =

1+2+2+8+3+4MÉDIA = 6220

= 3,1

= 42% de 360º

= 42 x 360º =100

151210

= 151,2%

MaGols =0+0+1+1+1+2+2+3+4+4+4+5

12

MaGols =2712

= 2,25

23 x 5 + 5 x 9 + 10 x 8 + 9 x 7 + 13 x 3,723 + 5 + 10 + 9 + 13

Ma =

Ma =351,1

60

Ma = 5,85

rp = 45%

45%

37,5

17,5%

A r = = 0,455761280

B 360º 100%

135º X%

135 x 100360

X =X = 37,5%

37,5% + 45% = = 82,5%

100% - 82,5% == 17,5%

C 17,5% de 1280 == 224