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Apuntes de Espectroscopía de sólidos.
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ESTRUCTURA ELECTRNICA DE LOS SLIDOS I
Estructura cristalina. Red recproca y zona de Brillouin. Teorema de Bloch. Masa efectiva. Densidad de estados. Mtodo LCAO. Mtodo kp. Aproximacin de la masa efectiva. Estados electrnicos de impurezas. Excitones de Wannier.
Estructura cristalina Red recproca y zona de Brillouin
Red de BravaisConjunto de (infinitos) puntos en el espacio:
Red 3D
Pero ... la eleccin de traslaciones primitivas no es nica:
Celda unidad (celdilla)Celdilla primitiva = Volumen que, trasladado segn R , rellena todo el espacio sin superposiciones ni vacosUna posible celdilla es el paraleleppedo formado por Propiedades Volumen Un punto de la red por celdilla
Puesto que la eleccin de traslaciones primitivas no es nica la celdilla primitiva tampoco lo es
?Pero ... se puede asegurar que todas tienen el mismo volumen y solo contienen un punto de la red
Celdilla convencional = Volumen que, trasladado segn un subconjunto de R , rellena todo el espacio Volumen mltiplo de Contiene ms de un punto de la red
Parmetros de la red
Clasificacin de las redes de Bravais
simple bcc
fcc
Celdilla de Wigner-Seitz = volumen que contiene los puntos del espacio ms cercanos a un punto de la red celdilla primitiva
No est asociada a traslaciones primitivas Tiene todos los elementos de simetra del grupo puntual de la red
Ejemplo: La red fccCeldilla primitiva (paraleleppeda)
Celdilla convencional
Celdilla de Wigner-Seitz
Direcciones y planos en una red de BravaisRed de Bravais Celdilla convencional (a, b, c) Ejes cristalinosPunto de la red
Direccin de la red paralela a:( h,k,l son los tres enteros ms pequeos)
O
Conjunto de direcciones equivalentes (por simetra) a [h,k,l]
?Ejemplo: direccin [2,1,0]
Plano de la redPor convencin se identifica a partir de las intersecciones con los ejes cristalinos del plano paralelo ms cercano al origen ndices de Miller 1) Encontrar las intersecciones del plano con los ejes cristalinos expresadas en mltiplos enteros de (a, b, c) (na, n b, nc) b 2) Tomar la inversa de los tres nmeros (1/na, 1/n b, 1/nc) 3) Reducir las fracciones a denominador comn M (h, k, l)/M b/4 O a a/3 Ejemplo: plano (3,4,0)
4) (h, k, l) son los ndices de Miller que definen el plano de la red (y sus paralelos) a/h, b/k y c/l son los puntos de corte con los ejes del plano paralelo ms cercano al origen Conjunto de planos equivalentes (por simetra) a (h,k,l) { h,k,l }
Ejemplos para una red cbicaz z z
y x (1,0,0) z x (1,1,0) z x
y (1,1,1) z
y
y x (2,0,1) x (2,1,0)
y x (1,1,1)
y
Estructura cristalina
Red de Bravais
+Estructura cristalina
Base (o motivo)
= grupo de tomos en la celdilla (primitiva)
Sub-redes
Respecto a un punto de la red (0,0,0), el centro del tomo j de la base es dj = xj a + yj b + zj c ( xj , yj , zj ) Estructura CsCl Estructura NaCl Estructura ZnS
Red cbica simple
Red cbica centrada en caras (fcc)
Base: (1/2,1/2,1/2) (0,0,0)
Base: (1/2,1/2,1/2) (0,0,0)
Base: (1/4,1/4,1/4) (0,0,0)
Estructura del diamante (C) y de la zincblenda (ZnS cbico) Red fccCoordinacin tetrahdrica
Si A = B estructura del diamante (A=C, B=C) Ejemplos: C, Si, Ge, ...
B ABase
Si A B estructura de la zincblenda a (A=Zn, B=S)
A
Ejemplos: GaAs, InP, AlSb, GaN, ZnS, ZnSe, CdTe, ...
Estructura de la wurtzita (ZnS hexagonal) Red hexagonalEjemplos: ZnS (A1=A2=Zn, B1=B2=S), ZnO, CdSe, GaN, ...Coordinacin tetrahdrica
B2
Secuencia de apilamiento k c
A2 B1
A1
Base
Element or Compound C Ge Si Sn SiC AlAs AlP AlSb BN BP GaAs GaN GaP GaSb InAs InP InSb CdS CdS CdSe CdTe ZnO ZnS ZnS PbS PbTe
Type Element Element Element Element IV-IV III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI IV-VI IV-VI
Name Carbon (Diamond) Germanium Silicon Grey Tin Silicon carbide Aluminum arsenide Aluminum phosphide Aluminum antimonide Boron nitride Boron phosphide Gallium arsenide Gallium nitride Gallium phosphide Gallium antimonide Indium arsenide Indium phosphide Indium antimonide Cadmium sulfide Cadmium sulfide Cadmium selenide Cadmium telluride Zinc oxide Zinc sulfide Zinc sulfide Lead sulfide Lead telluride
Crystal Structure Diamond Diamond Diamond Diamond Wurtzite Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Wurtzite Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Wurtzite Zincblende Zincblende Rock Salt Zincblende Wurtzite Rock Salt Rock Salt
Lattice Constant at 300 K () 3.56683 5.64613 5.43095 6.48920 a=3.086; c=15.117 5.6605 5.4510 6.1355 3.6150 4.5380 5.6533 a=3.189; c=5.185 5.4512 6.0959 6.0584 5.8686 6.4794 5.8320 a=4.160; c=6.756 6.050 6.482 4.580 5.420 a=3.82; c=6.26 5.9362 6.4620
Red recprocaRed de Bravais en el espacio de posiciones (espacio directo)
El conjunto de (infinitos) puntos en el espacio k (espacio recproco):
es una red de Bravais Red recproca
Red recproca = red de Bravais Propiedades :Celdilla unidad paraleleppedo Volumen ?
Puede clasificarse dentro de las 14 redes de BravaisEjemplos: Red directa Red directa Red directa Red directa cbica simple fcc bcc hexagonal Red recproca cbica simple Red recproca bcc Red recproca fcc Red recproca hexagonal
La red recproca de la red recproca es la red directa peridica en el espacio directo:
Zona de BrillouinRed recproca = red de Bravais es posible definir una celdilla de Wigner-Seitz (primera) Zona de Brillouin (de la red directa) Volumen Ejemplo:Red directa fcc Red recproca bcc
Zona de Brillouin
Zona de Brillouin de la red fcc( estructura del diamante y de la zincblenda)
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