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DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES APPLICATION A LA MODELISATION DES STRUCTURES PAR ELEMENTS FINIS
ex-ef-matrice-raideur-poutre.doc/version du 01/11/2010/JG
ELABORATION DE LA MATRICE DE RAIDEUR
DE L’ELEMENT POUTRE EN FLEXION PLANE
OBJECTIFS Cet exercice à pour but de découvrir toutes les étapes permettant d’élaborer la matrice de raideur d’un élément fini poutre
sollicité en flexion plane
���� Rappel : sollicitation de flexion plane sur une poutre
Considérons une flexion de poutre s'effectuant dans un plan principal, par exemple (xy) et dont la ligne moyenne est portée
sur l'axe x . On rappelle qu'alors les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre géométrique G de la section droite se
réduisent à : { }G
G
=z
yr
r
z
y
Mf
TCoh , où Ty est l'effort tranchant porté par l'axe y et Mfz le moment de flexion porté par l'axe z .
Les déplacements d'une section sont dans ce cas :
� v(x) : déplacement linéaire ou flèche suivant l'axe y du centre de la section.
� θz(x) : déplacement angulaire ou rotation de la section autour de l'axe z .
On montre que lorsque la surface latérale de la poutre est libre de tout effort, l'équilibre d'une tranche élémentaire dx de poutre
amène aux relations : 0dx
d=+ y
z TMf
et 0dx
d=
yT
Et la relation de comportement s'écrit dans le cadre de l'hypothèse de Bernoulli : z
2
2
zEIdx
vd
dx
dv)x( zMf
=⇒≅θ
���� Matrice de raideur
� Définition de l'élément fini
C’est une poutre de longueur l. Il a pour propriété de matériau un module d'élasticité longitudinale E, et pour propriété de
section droite le moment quadratique par rapport à l'axe z soit Iz. Cet élément fini sera représenté et modélisé pour le calcul par sa
ligne moyenne. Les centres géométriques des sections d'extrémités (1) et (2) sont les nœuds de l'élément. Le repère (xyz), lié à
l'élément, est le repère local.
Actions mécaniques extérieures
appliquées aux nœuds de l'élément
poutre en flexion plane
Déplacements nodaux et déformée
engendrés
21
Y1
N1
Y2
N2
y
x
<E, Iz, l>
v1
θθθθz1
v2
θθθθz2
21
élément de poutre non déformé
déformée apparente de l'élément fini
y
x
déformée réelle
Le chargement de l'élément consiste en des forces transverses et des moments respectivement y1Y , z1N au nœud (1) et
y2Y , z2N au nœud (2). Les degrés de liberté associés sont donc :
- les translations y1v au nœud (1) et y2v au nœud (2)
- les rotations de section z1zθ au nœud (1) et z2zθ au nœud (2),
2222- exprimer la fonction
déplacement d’un point courant
en fonction des déplacements
nodaux à partir des relations
d’équilibre et de comportement
1111- écrire l’expression
analytique de l’énergie de
déformation où apparaît le
déplacement d’un point courant
3333- introduire l’expression
du déplacement d’un point
courant dans l’expression de
l’énergie de déformation
4444- faire apparaitre une forme
quadratique des déplacements
nodaux dans l’expression de
l’énergie de déformation
5555- identifier l’expression
de l’énergie de déformation
avec celle issue d’une
écriture généralisée
6666- extraire la matrice de
raideur de l’élément fini
soit au total 422 =× d.d.l. pour l'élément.
� Expression des déplacements
Toute section droite intermédiaire d'abscisse x ( l≤≤ x0 ) a son déplacement repéré par :
� v(x) avec v(0) = v1 et v(l) = v2
� θz(x) avec θz(0) = θz1 et θz(l) = θz2.
On rappelle l'expression de l'énergie de déformation Epot. (cf. énergétique des structures) à partir du déplacement transverse v(x) de
toute section droite d'abscisse x pour la poutre de longueur l : dxdx
vdEI
2
1E
2
2
2
z.pot ∫
=
l
Le calcul de cette énergie nécessite donc de connaître la loi d'évolution v(x). L'élément étant supposé chargé uniquement en ses
extrémités, l'effort tranchant rT y y est donc constant. A partir des relations d’équilibre et de comportement au moment de flexion, on
peut écrire : 0dx
vdEI
dx
d
dx
d
4
4
z2
2
=−=−=zy MfT
la déformée v(x) est donc régie par l'équation différentielle : 0dx
)x(vd
4
4
=
qui conduit après intégrations successives à : v(x) = ax3 + bx
2 + cx + d
On obtient avec l'approximation de Bernoulli (dx
dv)x(z ≅θ ), les expressions suivantes :
v(x) = ax3 + bx
2 + cx + d
θz(x) = 3ax2 + 2bx + c
Calcul des constantes a, b, c, d en fonction des conditions aux limites, c'est-à-dire des déplacements des nœuds (ou d.d.l.) de
l'élément v1, v2 et θz1, θz2 :
pour x= 0 : v(0) = v1, → v1 = d
θz(0) = θz1, → θz1 = c
pour x= l : v(l) = v2, → v2 = al 3 + bl
2 + cl + d
θz(l) = θz2, → θz2 = 3al 2 + 2bl + c
On obtient un système de 4 équations à 4 inconnues a, b, c, d, dont la résolution amène à l'écriture regroupée suivante où l'on a
posé : l
xx =
v
v
)x2x3()xx(
6-)1x4x3()xx(
6
)xx()x2x3()xx2x( x2x31
)x(
)x(v
2z
2
1z
1
)
2222
23323232
z
θ
θ•
−−+−−
−−+−+−=
θ
×4(2 ioninterpolatd' matrice
ll
ll
Cette relation nous permet de connaître le déplacement de toute section droite intermédiaire, d’abscisse x, au moyen d'une matrice
d'interpolation (2×4).
� Détermination de la matrice de raideur
En dérivant deux fois la valeur de v(x) fournie par la relation précédente, on obtient la forme suivante de 2
2
dx
vd :
( ) ( ) ( ) 2z221z122
2
1x32
v1x26
12
x34v1x2
6
dx
vdθ−+−−θ
−+−=
llll
En substituant dans l'expression de l'énergie de déformation dxdx
vdEI
2
1E
2
2
2
z.pot ∫
=
l
, il vient après calcul :
θ−θθ+θ−θ+−
θ+θ++θ+= 2z222z1z1z222z122131z12
22z
223
21z
213z.pot v
124v
12v
12vv
24v
124v
124v
12EI
2
1E
llllllllll
qui se réécrit :
θ
θ•
−
−−−
−
−
•
θ
θ=
2z
2
1z
1
22
22
3
z
T
2z
2
1z
1
.potv
v
4626
612612
2646
612612
EI
v
v
2
1E
llll
ll
llll
ll
l
On obtient une forme quadratique des degrés de liberté v1, v2 et θz1, θz2 que l'on doit identifier à l'expression :
{ } [ ] { } dkd2
1E élél
Tél
élément
.pot ••=
Il apparaît ainsi la matrice de raideur : [ ]
−
−−−
−
−
=
22
22
3
zél
4626
612612
2646
612612
EIk
llll
ll
llll
ll
l
Le comportement de l'élément poutre en flexion plane dans son repère local s'écrit donc :
{ } [ ] { }
θ
θ•
−
−−−
−
−
=
⇔•=
2z
2
1z
1
22
22
3
z
2
2
1
1
élélélv
v
4626
612612
2646
612612
EI
N
Y
N
Y
dkF
llll
ll
llll
ll
l
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