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Prof. Lorí Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.br
http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Bernoulli
Binomial
Binomial Negativa ou Pascal
Geométrica
Hipergeométrica
Uniforme
Poisson Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por “0” ou “fracasso” e “1” ou “sucesso”. A probabilidade de ocorrência de “sucesso é representada por “p” e a de insucesso por“q = 1 – p”.
Experimento
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
X(S) = { 0, 1}
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
===1 = x se p
0 = x se p1)xX(P)x(f
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
22
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Função de Probabilidade (fp)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤=≤=
1 x se 1
1 <x 0 se q
0 < x se 0
)xX(P)x(F
A Função de Distribuição (FD)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Função de Distribuição
10
1
p1q −=
p
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
pq)p1(ppp
p)p.1q.(0
E(X)-)X(E)X(V
2
222
22
=−=−=
=−+=
==
CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado
∑ =+== pp.1q.0)x(f.x )X(E
Variância
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Suponha que um circuito é testado
e que ele seja rejeitado com
probabilidade 0,10. Seja X = “o número
de circuitos rejeitados em um teste”.
Determine a distribuição de X.
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Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p =10%, assim a distribuição é:
⎪⎩
⎪⎨⎧
===1 = x se 0,1
0 = x se 9,0)xX(P)x(f
33
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Como existem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q = 1 – p.
A VAD definida por X = “número de vezes que A ocorreu nas ‘n’repetições de E” é denominada BINOMIAL.
Experimento
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qpx
n)xX(P)x(f xnx −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Função de Probabilidade (fp)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Função de Distribuição (FD)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤∑ ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≤=
=
n x se 1
n x 0 se qp k
n
0< x se 0
)xX(P)x(Fx
0k
k-nk
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Função de Distribuição
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
44
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E(X)-)X(E)X(V 22=
CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado
np qpx
n.x )x(f.x )X(E xnx∑ =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑ == −
Variância
npp1)-n(n qpx
n.x )X(E 2xnx22 +∑ =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
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npq)p1(npnppn
)np(npp)1n(n
E(X)-)X(E)X(V
2
22
22
=−=+−=
=−+−
==
Assim:np )X(E =
npq X =σ
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Suponha que um circuito é testado
e que ele seja rejeitado com
probabilidade 0,10. Seja X = “o número
de circuitos rejeitados em 10 testes”.
Determine a distribuição de X.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Como se tratam de 10 testes a variável X é Binomial com p =10%, assim a distribuição é:
10 ..., 2, 1, 0, x para
)9,0(.)1,0(x
10 )xX(P)x(f x10x
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== −
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Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.
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Tem-se:n = 10 e p = 5/100 = 0,05
%87,59
95,005,00
10 0) X(P)0(f 100
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
55
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Tem-se:n = 10 e p = 5/100 = 5%
Então:
59,87%
)95,0(.)5,0(.0
10 0) X(P)0(f 100
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
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A distribuição Geométrica, também, estárelacionada com o experimento de Bernoulli. A diferença é que, agora, o que é fixado é o primeiro sucesso e não o número de tentativas, isto é, X = número de tentativas realizadas até se conseguir o primeiro sucesso.
Experimento
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X(S) = {1, 2, 3, ...}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qp)xX(P)x(f 1x−===
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Representação Gráfica
0,00
0,20
0,40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A distribuição G(0,4)Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Função de Distribuição (FD)
⎩⎨⎧
≥
<=≤=
1 x se q-1
1 x se 0)xX(P)x(F x
66
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A Função de Distribuição (FD)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A distribuição acumulada da G(0,4)Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
E(X)-)X(E)X(V 22=
CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado
p1
qp.x )x(f.x )X(E 1x∑ =∑ == −
Variância
pq
p1qp.x )X(V 2
21x2 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∑= −
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Suponha que um jogador de futebol converta 3 de cada 4 penalidades cobradas. Determine a probabilidade de ele tentar 4 penalidades até converter a primeira?
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Neste caso, tem-se: p = (3/4) = 75% e q = (1/4) = 25%
X = Número de tentativas antes do primeiro sucesso, é, então, uma G(0,75)
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f(x) = P(X = x) = 0,75.0,25x-1
para x = 1, 2, 3, …PortantoPortanto::
f(4) = P(X = 4) = 0,75.0,253 == 1,17%
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77
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A distribuição binomial negativa étambém conhecida como de Pascal ou de Pólya. Ela fornece o número de falhas até um número fixo de sucessos. Um experimento que apresenta uma distribuição binomial negativa satisfaz as seguintes condições:
Experimento
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O experimento consiste de uma seqüência de tentativas independentes;
CondiçõesCada tentativa apresenta apenas dois
resultados: sucesso ou fracasso;
A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas;
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O experimento continua até que um total de “r” sucessos sejam observados, onde “r” é um valor inteiro maior do que um, fixado de antemão.
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X(S) = {r, r + 1, r + 2,...}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qp1r1x
)xX(P)x(f rxr −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
===
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A Representação Gráfica
A distribuição BN(3; 0,4)
0,00
0,20
0,40
0,60
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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A Função de Distribuição (FD)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∑ ≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
<
=
=
−x
rk
rkr r x se qp1-r1-k
r x se 0)x(F
88
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A Função de Distribuição (FD)
A distribuição acumulada da BN(1; 0,4)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
E(X)-)X(E)X(V 22=
CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado
pr qp
1r1x
.x )x(f.x )X(Erx
rxr
rx∑ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=∑=∞
=
−∞
=
Variância
prq
prqp
1r1x
.x )X(V 2
2
rx
rxr2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=∞
=
−
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Suponha que um jogador de basquete acerte 4 a cada 5 lances livres. Seja X o número de tentativas para obter o terceiro acerto. Determine a probabilidade que ele precise fazer 6 lances, isto é, P(X = 6).
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Neste caso, tem-se:
r = 3, p = (4/5) = 80% e q = 20%
X = Número de tentativas para obter o
terceiro acerto é, então, uma BN(3; 0,8)
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ondeonde x = 3, 4, 5, x = 3, 4, 5, 66, 7,, 7,……
2,08,01r1x
)xX(P)x(f 3x3 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
===
%10,40410,02,0.8,025
2,0.8,02
16 )6X(P)6(f
33
363
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=== −
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Existe uma relação entre a Binomial e a Pascal (Binomial Negativa). Na Binomial fixa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) e observa-se o número de sucessos.
Observações:
99
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Na Binomial Negativa fixa-se o número de sucessos e observa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) necessário para obter o número fixado de sucessos.
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A distribuição Binomial é deduzida
com base em “n” repetições de um
experimento de maneira independente (isto é, p = constante), ou retiradas com
reposição de uma população finita.
Experimento:
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Se a experiência consistir na seleção de objetos, sem reposição, de uma população finita, de tamanho “N”, onde “r”apresentam uma característica “N – r” não apresentam esta característica, então existirá dependência entre as repetições.
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Neste caso a variável aleatória X = “número de objetos com a característica r em uma amostra de tamanho n”, terá uma distribuição denominada de Hipergeométrica.
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x : máx{0, n–N+r}, ..., mín{r, n}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
===
nN
xnrN
xr
)xX(P)x(f
1010
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A Função de Probabilidade (fp)H(20; 15; 50)
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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A Função de Distribuição (FD)
n} mín{r, k
r}N-n máx{0, j onde
k x se 1
k xj se
n
Nxn
rN
x
r
j x se 0
)xX(P)x(Fk
jx
=
+=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
≤∑ ≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
<
=≤==
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Função de DistribuiçãoH(20; 15; 50)
0,000,100,20
0,300,400,50
0,600,700,80
0,901,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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1NnNnpqX −
−=σ
Características
Expectância ou Valor Esperado
np )X(E =
Desvio Padrão
Nr p Onde =
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Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Pela Hipergeométrica:N = 100, r = 5, n = 10
%38,58
10
10010
95.
0
5
0) X(P)0(f =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
===
1111
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Pela Binomial:n = 10 e p = 5/100 = 5%
59,87%
)95,0(.)05,0(.010
0) X(P)0(f 100
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
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A distribuição uniforme é a mais simples das variáveis discretas. A variável assume os valores: x1, x2, ..., xn
sempre com igual probabilidade.
Experimento:
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Definição:
Uma variável aleatória X que assume os valores x1, x2, ..., xn é dita uniforme discreta se todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade, isto é, f(xi) = 1/n.
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X(S) = {x1, x2,..., xn}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
n/1)xX(P)x(f ii ===
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A Representação Gráfica
A distribuição U(10)
0,00
0,05
0,10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1212
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A Função de Distribuição (FD)
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=≤=
x x se ni
x x se 0)x(P)x(F
i
1
ii
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A Função de Distribuição (FD)
A distribuição acumulada da U(10)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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E(X)-)X(E)X(V 22=
CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado
∑=∑===
n
1ii
n
1iii x
n1 )x(f.x )X(E
Variância
( ) ]nxx[
n1 )X(V i
22i
∑−∑=
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Suponha que um dado honesto élançado. Seja X = valor da face voltada para cima. Determinar a distribuição de X.
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11/61/61/61/61/61/6f(x)
Σ654321x
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1313
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Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n repetições de um experimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o tempo, área, superfície, etc.
Experimento
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Para determinar a f(x) de uma distribuição deste tipo, será suposto que:(i) Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes;(ii) Em intervalos de mesmo tamanho as probabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais;
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(iii) Em intervalos muito pequenos a
probabilidade de mais de um sucesso é
desprezível;
(iv) Em intervalos muito pequenos a
probabilidade de um sucesso é proporcional
ao tamanho do intervalo.
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Se uma variável satisfaz estas quatro propriedades ela é dita VAD de POISSON.
Definição:
Se X é uma VAD de POISSON, então a função de probabilidade de X édada por:
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A Função de Probabilidade (fp)
“λ” é denominada de taxa de sucessos
... 2, 1, 0, x para!x.e)xX(P)x(f
x
=
λ===λ−
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A Função de Probabilidade (fp) - P(10)
0,00
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
1414
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A Função de Distribuição (FD)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∑ ≥λ
<
=≤=
=
λx
0k
k-0 x se
!k.e
0 x se 0)xX(P)x(F
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Função de Distribuição - P(10)
0,000,10
0,20
0,300,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
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λ=σX
Características:
Expectância ou Valor Esperado
λ= )X(E
Desvio Padrão
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O número de consultas a uma base de dados computacional é uma VAD de Poisson com λ = 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique?
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A taxa de consultas é de “seis” em “dez” segundos em “cinco” segundos teremos uma taxa deλ = 3 consultas. Então:
%98,4e
0!0.e 0) X(P)0(f
3-
3-3
==
====
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Considerando o exemplo dado na Hipergeométrica, que foi resolvido, também, pela Binomial, é possível ainda utilizar a Poisson. Para isto deve-se fazer λ = np.
1515
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
%65,60e
0!0.e 0) X(P)0(f
0,5-
-0,5
==
====
Então:
λ = 10.0,05 = 0,5.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Binomial: 59,85%Hipergeométrica: 58,38%
Poisson: 60,65%
Como pode ser visto, nesse caso, épossível utilizar três modelos para resolver um único problema.
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