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Propriedades macroscópicas do núcleo. Modelo de Gás de Fermi Números mágicos Modelo de Camadas Interação Spin-Órbita

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Modelo Nuclear: Queremos um modelo relativamente simples que

descreva as propriedades macroscópicas do núcleo de forma que possamos calcular quantitativamente algumas grandezas observáveis.

O modelo deve descrever as propriedades nucleares já conhecidas.

O modelo deve prever novas propriedades que possam ser confirmadas com novos experimentos.

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O spin e o momento angular:No caso do átomo de hidrogênio, na resolução da equação de Schrödinger, o operador do momento angular orbital dos elétrons satisfaz a relação:

mL

1L

opz

22op

Usualmente se utiliza a notação espectroscópica dada por:

valor do número quântico

orbital ℓ 0 1 2 3 4 5 6

símbolo s p d f g h i

e dizemos que ℓ é o número quântico orbital, associado ao momento angular orbital, e mℓ é o número quântico magnético.

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O spin (S) e o momento angular orbital (L) são acoplados (=se somam), resultando no momento angular total (J):

onde j é o número quântico do momento angular total. Se estivermos tratando de uma partícula de spin ½ :

e a componente na direção z é dada por:

Momento angular total:

22op 1jjJ

21

21

21

j

j

j,1j2j,1j,jmmJ jjz

SLJ

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O spin nuclear I:No caso de um próton ou um nêutron, ambos são férmions e também possuem spin=1/2. Portanto, é possível aplicar o mesmo tratamento dado para os elétrons no caso atômico.Desta forma, é possível designar a cada próton e nêutron de um núcleo os números quânticos:

js,,O momento angular total do núcleo seria então a soma vetorial das componentes de momento angular de cada nucleon que compõe este núcleo. O momento angular total do núcleo é geralmente conhecido como o “spin nuclear” e representado pelo símbolo I. Valem as relações:

total2

total2op 1III

totalItotalz mI I,1I,,1I,ImI

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Isótopos do Ferro

Z A Atomic Mass(u)

Nuclear Mass(GeV/c2

Binding Energy(MeV) Spin

26 54 53.939613 50.2315 471.77 0

26 55 54.938296 51.1618 481.07 3/2

26 56 55.934939 52.0902 492.26 0

26 57 56.935396 53.0221 499.91 1/2

26 58 57.933277 53.9517 509.96 0

26 60 59.934077 55.8154 525.35 0

Spin nuclear:

Z A Atomic Mass (u)

Nuclear Mass(GeV/c2)

Binding Energy(MeV) Spin

27 56 55.939841 52.0943 486.92 4

27 57 56.936294 53.0225 498.29 7/2

27 59 58.933198 54.8826 517.32 7/2

27 60 59.933820 55.8147 524.81 5

Isótopos do Cobalto

A combinação de spins e momentos angulares orbitais dos prótons e nêutrons em um núcleo é um pouco mais complicada. Como regra geral, um núcleo com A ímpar sempre terá spin semi-inteiro, e um de A par terá spin inteiro.

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De forma análoga ao magneton de Bohr, o magneton nuclear é definido por: μN= 3.1525 x 10-8 eV/T

s=1/2 para prótons, nêutrons e elétrons

gs (elétron) = 2.0023

gs (próton) = 5.5856912

gs (nêutron) = -3.8260837

BN

Na maioria dos casos, o efeito magnético atômico é muito maior do que o efeito magnético nuclear. Portanto, os efeitos magnéticos da matéria, como o ferromagnetismo, são dominados pelo momento magnético atômico.

O momento magnético nuclear devido ao movimento orbital pode ser re-escrito da seguinte forma:

m2

e

Ng nêutrons0gprótons1g

Analogamente, o momento magnético devido ao spin do próton ou do nêutron é dado por:

NsS sg O fato de ser diferente de 2, é evidência de que não são partículas pontuais!

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Modelo do Gás de Fermi

EFV0

p n

4AE

3am2En 23

F32

323F

Tratamos o núcleo como um poço de potencial quadrado, e os nucleons se movimentam dentro dele como se fossem partículas independentes (elas não interagem entre si).

Calculamos o número de estados possíveis para cada nível de energia.

Tratamos separadamente os prótons e os nêutrons, cada um em seu poço de potencial, e aplicamos o princípio de exclusão de Pauli para preencher os níveis de energia.

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Resumindo: O modelo do gás de Fermi é um modelo bastante simples, que

consegue explicar algumas propriedades nucleares que foram deduzidas empiricamente.

Permite calcular a energia máxima que um nucleon pode ter dentro do núcleo.

Permite calcular a energia média dos nucleons dentro do núcleo. Em núcleos leves, o valor mínimo da energia total do sistema

ocorre quando Z=N. Isto está de acordo com a nossa observação de que em núcleos leves, a linha de estabilidade se encontra próximo da linha N=Z.

Explica o termo de assimetria da fórmula de Weizsäcker.

3222F 2

3m2

E

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Resumindo:

pn

V(r) Em núcleos mais pesados, o número maior de prótons aumenta a repulsão coulombiana, o que torna o poço de prótons do modelo do Gás de Fermi mais “raso” do que o poço equivalente para os nêutrons. Em conseqüência, o número de prótons fica menor que o número de nêutrons, o que também concorda com nossas observações da tabela de nuclídeos.

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Resumindo:O modelo do gás de Fermi explica o número reduzido de núcleos ímpar-ímpar estáveis na natureza. Se considerarmos um núcleo com um número ímpar de prótons e um número ímpar de nêutrons, significa que teremos 1 próton e 1 nêutron isolados em um nível de energia, cada qual em seu poço de potencial. Mas, geralmente existe uma pequena diferença de energia entre os níveis de Fermi de prótons e nêutrons, o que abre a possibilidade da passagem de um nucleon de um poço para outro através da emissão de radiação beta, formando um estado de energia mais baixo. p

n

V(r)

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Números mágicos da física atômica:

COULOMB

Os números mágicos observados nas propriedades atômicas são bem descritos dentro do modelo atômico que considera os elétrons confinados em estados quantizados em torno do núcleo e obedecendo ao princípio de exclusão de Pauli.Os níveis das camadas eletrônicas são definidos resolvendo a equação de Schrödinger considerando o potencial coulombiano gerado pelo núcleo.

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Números mágicos da física atômica:

Em particular, as propriedades atômicas variam suavemente entre átomos que possuem o mesmo número de camadas eletrônicas, e apresentam variações abruptas quando se começa a preencher nova camada eletrônica (próximo aos gases nobres).

A estabilidade e a periodicidade dos diferentes elementos da tabela periódica podem ser explicadas pela quantização do momento angular orbital, pela existência do spin e pela estatística de Fermi-Dirac.

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Números mágicos nucleares:Observando os isótopos do cálcio, observamos que existem dois isótopos, com os números de nêutrons 20 e 28, para os quais a energia de ligação do nêutron é maior do que a energia de ligação do nêutron dos demais isótopos.

O mesmo ocorre com outros nuclídeos, como por exemplo:

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Números mágicos nucleares, na energia de separação de prótons e nêutrons: Energia de separação de dois

prótons para seqüências de isótonos.

Energia de separação de dois nêutrons para seqüências de isótopos.

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O núcleo 208Pb (Z=82, N=126), que tem Z e N mágicos, tem o primeiro nível de excitação excepcionalmente elevado.

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Abundância relativa:A abundância dos diferentes isótopos/isótonos na Terra é maior para os isótopos com número atômico Z ou número de nêutrons N iguais aos números mágicos:

2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126

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Características dos núcleos mágicos

Maior quantidade de isótopos e isótonos com N e Z mágicos.

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Outras peculiaridades de núcleos mágicos:

Núcleos com N ou Z mágicos possuem momento de quadrupolo próximo de zero (não são deformados).

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Seção de choque de absorção de nêutrons:

Núcleos com número de nêutrons N mágico possuem uma seção de choque de absorção de nêutrons menor do que os núcleos com N não mágicos.

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Propriedades nucleares que apresentam números mágicos 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126: Energia de ligação acima do valor dado pela fórmula semi-empírica

da massa. Energia de separação de nêutrons (prótons) tem picos para N (Z)

mágicos. Elementos com Z (N) mágicos possuem isótopos (isótonos) em

maior abundância do que os demais isótopos. Elementos com Z mágico são mais abundantes que os elementos

vizinhos. Núcleos com N mágico possuem uma seção de choque de absorção

de nêutrons menor do que os núcleos com N não mágicos. A energia do primeiro estado excitado 2+ de núcleos par-par possui

valor excepcionalmente elevado no caso de Z e N mágicos. Existência de “ilhas de isomerismo” (estados excitados com meia

vida longa).

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A existência de números mágicos nucleares, similar aos números mágicos no caso atômico, nos leva a considerar que o núcleo pode ser descrito por um modelo de camadas similar ao modelo de camadas atômico.No entanto existem diferenças:No caso atômico, o potencial que atua nos elétrons é um potencial externo. No caso nuclear, os nucleons estão sujeitos a um potencial que eles mesmo criam.

No caso atômico, os elétrons se movimentam em camadas quantizadas que podem ser interpretadas como órbitas espaciais. Já no caso de um núcleo atômico, compactado, é difícil imaginar camadas orbitais onde os nucleons estariam se movimentando dentro de um núcleo.

Modelo atômico e modelo nuclear:

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Etapas que vamos tomar para a determinação do modelo nuclear: Supomos que os nucleons se movem dentro do núcleo sem

interagir (como no modelo do gás de Fermi), ou seja, tratamos o problema como se fossem partículas independentes.

A escolha natural a se fazer de início é escolher entre os potenciais conhecidos do poço de potencial finito, oscilador harmônico e o potencial de Woods-Saxon.

Resolvemos a equação de Schrödinger e obtemos os auto-estados.

Utilizando o princípio de Pauli, vamos preencher cada estado (nível) com nucleons.

Agora vamos buscar os números mágicos.

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QUADRADO OSC. HARMÔNICO

Exemplo : Casos unidimensionais!!

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Poço esférico infinito tridimensional:A solução da equação de Schrödinger para um potencial V(r) com simetria esférica é obtida resolvendo as equações:

ERRmr2

1rVdrdR

r2

drRd

m2 2

2

2

22

0mdd 2

2

2

0sen

m1

ddsen

dd

sen1

2

2

Considerando que a parte angular é dada pelas funções conhecidas dos harmônicos esféricos, tudo que temos de fazer é resolver a parte radial, considerando V(r):

arar

rV0

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ERRmr2

1rVdrdR

r2

drRd

m2 2

2

2

22

Poço esférico infinito tridimensional:Rℓ (r) é a solução da parte radial da equação radial de Schrödinger:

Esta equação, para V(r)=0 possui soluções conhecidas: as chamadas funções de Bessel esféricas jℓ(kr) e as funções de Neumann esféricas nℓ(kr).

krkrsen

drd

r1

krkrj

krkrcos

drd

r1

krkrn

mE2k

Mas as funções de Neumann não são regulares na origem, e como as condições de contorno exigem que as soluções sejam finitas para qualquer valor de r, as únicas soluções aceitáveis são as funções de Bessel esféricas.

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Poço esférico infinito tridimensional:As autofunções da equação radial de Schrödinger são dadas pelas soluções das funções esféricas de Bessel aplicando as condições de contorno em r=a:

0kaj

Esta condição exige que ka=, onde “a” é o raio do núcleo, e “” é um “zero” da função de Bessel. As funções de Bessel terão um “zero” para cada valor de “ℓ” e teremos diferentes autovalores de energia para diferentes valores de “n” e “ℓ” .

22

2

ma2E

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Sobre o número quântico n: n=1, ℓ = 0 corresponde ao primeiro zero da função de

Bessel com ℓ = 0 ( estado 1s). n=2, ℓ = 0 corresponde ao segundo zero da função de

Bessel com ℓ = 0 ( estado 2s). n=3, ℓ = 0 corresponde ao terceiro zero da função de

Bessel com ℓ = 0 ( estado 3s).

n=1, ℓ = 1 corresponde ao primeiro zero da função de Bessel com ℓ = 1 ( estado 1p).

n=2, ℓ = 1 corresponde ao segundo zero da função de Bessel com ℓ = 1 ( estado 2p).

e assim por diante....

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Degenerescência dos estados:Os autovalores de energia da equação de Schrödinger tridimensional serão caracterizados pelos números quânticos n e ℓ. Ou seja, os níveis de energia só dependem dos números quânticos n e ℓ. As soluções não dependem do número quântico mℓ. Portanto, aparece uma degenerescência de estados e para cada valor de ℓ, podem existir mℓ= -ℓ,-ℓ+1,..,0,.,ℓ+1, ℓ, portanto 2 ℓ +1 estados. Além disso, cada estado também terá dois estados de spin : ms=+1/2, -1/2. Portanto a degenerescência total será de 2(2ℓ +1) estados com o mesmo valor de energia. Ou seja, em cada estado de prótons (nível de energia) podemos colocar 2(2 ℓ +1) prótons e em cada estado de nêutrons, 2(2 ℓ +1) nêutrons.

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Degenerescência dos estados:Momento angular

orbitalNúmero de prótons ou

nêutrons no estadoNúmero total de

nucleons até este nível

ℓ=0 s 2 2ℓ=1 p 6 8ℓ=2 d 10 18ℓ=3 f 14 32

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ESFÉRICO

Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!!

Caso tridimensional!

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ESFÉRICO OSC. HARMÔNICO

Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!!

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COULOMB ESFÉRICO OSC. HARMÔNICO

n=1, ℓ=0

n=1, ℓ=1

n=1, ℓ=2n=2, ℓ=0

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Utilizando um potencial mais realista, o deWoods-Saxon:

A utilização de um potencial tipo poço finito faz com que as funções de onda se estendam para fora de potencial, na região proibida, o que tem como efeito reduzir o valor da energia. Além disso, algumas degenerescências do oscilador harmônico são quebradas, mas os números mágicos ainda não aparecem!!!

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Expressões para os potenciais :

Tipo oscilador harmônico:

Tipo Woods-Saxon (grande desvantagem: apenas solução numérica!) :

Rr para 0 Rr para R/r1V)r(V 2

0

1

0 aRrexp1V )r(V

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Interação Spin-Órbita.

A solução se encontra na inclusão de uma interação do tipo spin-órbita L.S no potencial médio que descreve o núcleo. Neste caso, o momento angular L e o spin S se referem às grandezas do nucleon se movendo na órbita definida pelo potencial, como no caso do elétron se movendo em torno do núcleo.

Como podemos modificar o potencial para obter os números mágicos observados experimentalmente?

SLrWrVrV

Para cada nucleon do núcleo, existirá uma interação L.S com cada um dos demais nucleons do núcleo. Assim sendo, o efeito médio da interação L.S em um nucleon no centro do núcleo será zero, pois o efeito causado por um nucleon em uma direção será anulado por um outro nucleon na direção oposta. Por este raciocínio, o efeito da interação L.S deve ser maior na superfície do núcleo, e portanto deve variar com o raio nuclear.

Mayer, Haxel, Suess e Jensen em 1949.

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Maria Goeppert-Mayer e Hans Jensen: PN Física 1963

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Observação:

Ao contrário do que acontece no caso atômico, em que a interação spin-órbita é de origem eletromagnética e dá origem à estrutura fina, aqui estamos introduzindo uma interação spin-órbita de caráter nuclear, não eletromagnético, e o seu efeito é substancial, a ponto de inverter a ordem de alguns níveis!

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A presença da interação L.S faz com que novamente consideremos o momento angular total dado por:

SLJ

zzz SLJ

Como o operador L.S comuta com J2, L2, Jz e S2, mas não comuta com Lz

e nem com Sz, os números quânticos que irão descrever o nucleon são dados por: sjj z e os valores de j serão dados por:

21j 2

1j

Quando ℓ=0 , a única solução possível é j=1/2, pois não existe a interação L.S. Mas para valores de ℓ>0, o potencial terá valores diferentes, e portanto, assim como no caso atômico, o acoplamento L.S irá resultar na quebra da degenerescência.Os autovalores do operador L.S são dados por:

21ss11jj21S.L

Exercício 8.1 do Williams

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O que é este acoplamento spin-órbita?Quais são seus autovalores? s,,j1jjs,,jJ 22

s,,j1s,,jL 22

s,,j1sss,,jS 22

SLJ

SL2SLJ 222 222 SLJ

21SL

s,,j 1ss11jj21s,,jSL 2

21j

221 2

1S.L

21j 1

21S.L 2

21

Quebra a degenerescência que existia no momento angular.

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2 1ss11jj21S.L

Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver alinhado com o spin teremos:

21j

2222

221

21

21

41

432

21

121

211

23

21

21S.L

21j

Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver antiparalelo com o spin teremos:

121S.L 2

21

Assim, a diferença entre os níveis será de:

1221S.LS.L 2

2121

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Quebra da degenerescência devido a interação L.S e o aparecimento dos números mágicos:

j,nj,,n S.L)r(WEE

121S.L 2

21

SLrWrVrV

Portanto, a inclusão do termo de interação spin-órbita no potencial do núcleo tem como conseqüência a adição de um termo extra no valor do nível de energia. Só que este termo varia se o acoplamento spin- órbita fôr paralelo: j=ℓ+1/2 ou antiparalelo: j=ℓ-1/2.

221 2

1S.L

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Quebra da degenerescência devido a interação L.S e o aparecimento dos números mágicos:

Conseqüentemente, haverá o cruzamento entre certos níveis de energia.

Observe que p(3/2) é preenchido antes do estado p(1/2). Para obter concordância com os dados experimentais, W(r) precisa ser negativo. Assim, o estado j=ℓ+1/2 tem energia menor do que o estado j=ℓ-1/2.

No estado p(3/2), cabem 4 nucleons, pois:mj=-3/2,-1/2,+1/2,+3/2.Ou seja, para cada j, existem (2j+1) estados.

221 2

1S.L

121S.L 2

21

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Os níveis de energia considerando a interação L.S

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Os níveis de energia considerando a interação LS

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Os níveis de energia considerando a interação LS

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Os níveis de energia considerando a interação L.S

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O diagrama de níveis de Mayer-Jensen (PrêmioNobel 1963)

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Exercícios Descreva em linhas gerais o princípio do modelo de camadas. Discuta alguns exemplos que comprovam o modelo de camadas. Para quais casos a previsão do modelo de camadas não é tão boa? Por que os números mágicos nucleares não são os mesmos dos

números mágicos atômicos? (8.1 do Williams) Determine os autovalores do operador de

interação spin-órbita (L.S) e obtenha os valores médios de L.S para o caso do momento angular orbital paralelo e antiparalelo ao spin.

Qual o conceito ou lei fundamental da física que é responsável pela existência dos números mágicos?

Cite três propriedades peculiares a núcleos contendo números de prótons ou nêutrons iguais aos números mágicos.

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Exercícios: Cite algumas características dos núcleos com Z ou N

mágicos que estão evidenciadas no gráfico abaixo:

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Para o oscilador harmônico 3D em coordenadas esféricas vale:

com

O número quântico n está relacionado ao número de zeros da função de onda radial!

h EE 23

,n

...)3,2,1,0....;3,2,1n(

,.....2,1,011n2