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2.1 Operaciones Algebraicas Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada termino del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio y luego reducimos a términos semejantes.
Ejemplo 1: 125)(52)( 232 xxxQxxxPSi
hallemos P(x)XQ(x) Solución:
51025252410
125.52
2334245
232
xxxxxxxx
xxxx
582310 2345 xxxxx
Ejemplo2: yaaaxPSi mmm 22212 35)(
352515515
251535
5151515525
23133322212
231333
32354630
24183
4030586
)86(.)35(:
)(.)(;86)(
mmmmm
mmm
mmmmmm
mmmmmm
mmm
aaaaa
aaa
aaaaaa
aaaaaaSolución
xQxPHallaraaaxQ
CAPITULO 2 Factorización y fracciones
38
Ejemplo3:
5
1
20
4
20
15
20
1
4
1
120
45
120
124510
10
1
8
3
12
1
60
19
60
910
20
3
6
1
8
1
5
1
120
47
60
19
4
1
20
1
10
1
20
3
8
1
4
1
8
3
12
1
6
1
4
1
4
1
2
1
4
3.
5
1
2
1
3
1:
)(.)(4
1
2
1
4
3)(
5
1
2
1
3
1)(
322
33
4322343223
43222234
2222
2222
abba
ba
babbabaaabbaba
babbababaa
babaabbaSolución
xQxPHallarbabaxQabbaxPSi
12 8 10 2 6 4 5 2 m.c.m.= 120 3 2 2 1 3 1 1 5
Ejemplo 4:
12232212
1112
4102
43
xaxaxa
xaxaxa
yxyxyxpor
yxyxyxrMultiplica
Solución_:
39
12332231213
2231213223
12132233213
321222121112
304010
12164
682
1042.34
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyxyxyxyx
12332232233213 302842 xaxaxaxa yxyxyxyx
Ejemplo 5: 2222
3
2
2
3
2
3
2
1
3
1aaxxporaxaxrMultiplica
Solución: )
3
2
2
3).(
2
3
3
1
2
1( 2222 aaxxaaxx
432232232234
6
6
9
2
6
2
2
3
3
1
2
1
4
9
6
3
4
3axaxaxaxaaxxaaxx
432234432234
432234
18
23
12
19
4
3
6
6
18
23
12
19
6
6
4
3
6
6
18
427
12
4427
6
33
4
3
axaxaaxxaxaxaaxx
axaxaaxx
Ejemplo 6: 22223
6
5
3
2
4
1
5
1
2
1
7
2yxyxporyxxyxrMultiplica
Solución: 2
34522223
8
1
20
1
28
2)
6
5
3
2
4
1).(
5
1
2
1
7
2(
yxyxxyxyxyxxyx
40
yxxxyyxyxyxyxyx 454322332234
420
8021
28
2
12
5
30
5
42
10
6
2
15
2
21
4
32234543223
30
15
840
417
420
101
28
2
12
5
30
510
840
200112105yxyxyxxxyyxyx
43223454
12
5
2
1
280
139
420
101
14
1
12
5xyyxyxyxxxy
División de polinomios: Para efectuar la división
0, xQxQ
xp escribimos el
dividendo y divisor en orden decreciente de potencias; ó crecientes, cuando las potencias son literales (si se quiere). Si faltan términos en el dividendo los insertamos colocándoles cero (0) como coeficiente. El proceso de la división termina cuando el grado del residuo es menor que el grado del divisor. Recordemos que: Dividendo = Divisor * Cociente + residuo
Divisor
siduocociente
Divisor
Dividendo Re
Ejemplo7:
xQxHallarPaaxQ
aaaaaxp xxxxx
53
5810193
2
12435
Solución:
Estudiar taller 3
41
0
53
53
53
584
31593
535819103
123
123
234
1234
123345
212345
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxxxx
xxxxx
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaaa
aaaaaaa
Ejemplo 8: Si )(
)(:63)(1315)( 23
xQ
xPHallarxxxQxxxP
Solución:
63
113
94
3
55/11
3
94
103
55
1335
3
5530515
631315
2
2
2
23
23
xx
x
xRmixtococienteloExpresándox
xx
xx
xxxx
xxxx
Ejemplo:9:
452343810953 2323456 aaaentreaaaaaaDividir
Solución:
42
0
4523
4523
81046
3126
4523
8643
124523
452343810953
23
23
234
234
2345
2345
233456
2323456
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaaaaa
aaaaaaaaa
Ejemplo:10:
yyyyentre
yyyyyyyyDividir
2435
24317111135
234
2345678
Solución:
0
2435
2435
612915
317915
132435
243524317111135
234
234
3456
3456
245678
2342345678
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
yyyyyy
yyyyyyyyyyyy
Ejemplo:11:
21
421232222 2254
xxx
xxxxx
aaaentre
aaaaaDividir
Solución:
43
0
222
222
333
553
23
2542
423222
423222
322212
322212
2122122
21423222122
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxxxxxx
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
aaaaaaaa
Ejemplo:12:
231333
155152535
86
30465233
mmm
mmmmm
aaaentre
aaaaaDividir
Solución:
0
30405
30405
68
4613
5318243
6830465233
15515
15515
51525
51525
22122152535
132333155152535
mmm
mmm
mmm
mmm
mmmmmm
mmmmmmmm
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
aaaaaaaa
Ejemplo:13: Hallar el cociente mixto de yxentreyxyx 22 6
Solución:
44
2222 bababa
102546253
22
81180100)910(
412923
yxyxxxyx
xxx
421222221
222
96)3(
2
aaaaa
nnmmnm
xxxxx
yyxxyx
2
2
22
2
22
8
77
87/7
7
6
y
yxy
yx
yyxRyxy
yxxyx
yxyxyx
Ejemplo:14: Hallar el cociente mixto de 12854 223 xxentrexxx
Solución:
26
6126
12
266/866
62
12854
2
2
2
23
223
x
xx
xx
xxRxx
xxxx
xxxxx
2.2. Productos notables y Factorización 2.2.1 productos notables: Estos productos presentan reglas fijas que nos permiten calcular el resultado directamente. 1. BINOMIO AL CUADRADO
Ejemplo 15: Efectuar los siguientes binomios al cuadrado:
a.
b.
c.
d.
Estudiar taller 4
45
2. SUMA POR LA DIFERENCIA DE
DOS CANTIDADES IGUALES
Ejemplo 16: Efectuar los siguientes productos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
2263362233
33333333
9255025355
355355535535
zyyyxxyzyx
yzyxyzyxyyzxyyzx
22))(( bababa
( )( )
( )( )
( )( )
x y x y x y
x x x
x x x x x x
2 2
2
2 2 4 2
2 2 2
22222
2
2)(
)()()()())((
34
)32
)(32
(
cbabacba
cbacbacbacba
xxx
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c a b c a b c
a b c a b bc c a b bc c
2 2 2 2 2 2 2 22 2
22222 162494)43(4
)43(2)43(2)432)(432(
zyzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
3
22 2
3
24
3 12
2
23
22
3
24
9
44
9
4
2
2
2 3
( )( ) ( )
( )( ) ( )
x x xx
x x x x x x x
46
3. BINOMIO AL CUBO
Ejemplo 17: Efectuar los siguientes binomios al cubo:
a.
b.
c. 12530024064)54( 233 xxxx
d. 3224632 27279)3( yyxyxxyx
4. PRODUCTO DE DOS
BINOMIOS DE LA FORMA
Ejemplo18: Efectuar los siguientes productos aplicando la formula:
a) 145)2)(7( 2 xxxx
b) 4213)6)(7( 2 xxxx
c) 992)9)(11( 2 aaaa
d) 2110)3)(7( 2422 xxxx
e) 3615)3)(12( 3633 xxxx
f) 3011)5)(6( 12211 xxxx aaaa
5. POLINOMIO AL CUADRADO
El cuadrado de cada uno, mas el doble producto de todas las combinaciones.
Ejemplo 19: Efectuar los siguientes polinomios al cuadrado:
a. xxxxxxx 2486169)43( 232422
1624176 234 xxxx
a b a a b ab b 3 3 2 2 33 3
8126)2(
133)1(
233
233
xxxx
aaaa
babaxbaxbxax nnnn ;.)())(( 2
( ...) ... ... ...)a b c a b c ab ac bc 2 2 2 2 2 2 2
47
b. 23546223 70423049259)753( xxxxxxx
aaaaaa
aaaaaac
8624286
1169)143(.
23345
246223
182226176 23456 aaaaaa
2.2.2 Factorizaciòn:
Es el proceso de escribir un polinomio como el producto de polinomios (factores)
irreducibles.
Para factorizar polinomios no existe un método especial; sino que se depende de
la capacidad de cada cual para organizar y agrupar los términos de la mejor
manera. Sin embargo, podemos tener en cuenta el siguiente derrotero:
Estudiar taller 5
48
DERROTERO PARA FACTORIZAR
I. Factor comun a. Monomio
b. Polinomio
II. Si es un Binomio
a. Diferencia de cuadrados
b. Suma o diferencia de cubos
c. Suma o diferencia de potencias impares iguales
n = impar
d. Trinomio cuadrado perfecto por adicion o sustraccion (2 cantidades con )
III. Si es un Trinomio:
a. Trinomio cuadrado perfecto
a b a b a a b a b bn n n n n n ( )( ... )1 2 1 3 2 1
a bn 105
89
90
a b a b a bn n n n n n2 2 ( )( )
an nb93 94
a b a b a ab b3 3 2 2 ( )( )
a b3
103 104
ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. (Suma de cuadrados)
97
a b2ab
92
a ab b a b2 2 22 ( )
49
b. Trinomio de la forma
2#s
c. Trinomio de la forma
2#s Luego sacamos factor común
d. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción (2 cantidades con )
IV. si es un cuatrinomio:
a. Para convertir a
binomio al cubo
b. Combinacion de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados
(3 cantidades con )
c. Factor común por agrupación
x bx c x E x Fn n n n2 ( )( )
:
:
b
x c98
99
91(1-23)
100
101
ax bx cax E ax F
an n
n n
2 ( )( )
:
: .
b
x a ca 1
ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 96
102
a b3
3
2
2
a b
ab
33
a a b ab b a b3 2 2 3 33 3 ( )
ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 95(1-24)
50
v. Si es un polinomio de seis terminos
a. Combinación de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados.
(4 cantidades con )
b. Factor comun por agrupacion
NOTA: Los números encerrados son ejercicios del álgebra de Baldor donde
pueden practicar cada caso.
Ejemplo 20: Donde se aplica cada caso: Factorizar
Ia) )23(18365418 2222222 mxxmymyyxmmxy
Cuando se saca factor común, se está hallando es el m.c.d. (Máximo cómún divisor); es decir: el más grande que cabe en todos exactamente; o sea, los comúnes con su menor exponente: 18=2x3
2; 54=2x33, 36=22
x32; entonces
los comúmes con su menor exponente son 2x32=18
En cambio, cuando se saca denominador común, se está hallando es el m.c.m. (Mínimo cómún múltiplo); es decir: el más pequeño que los contiene a todos exactamente; o sea, los comúnes y no comúnes con su mayor exponente: 18=2x3
2; 54=2x33, 36=22
x32; entonces
los comúnes y no comunes con su mayor exponente son 22x3
3=108; si tenemos:
mcmyxmmyyxmmxy ..10836
11
54
7
18
522222222
Ia)
322334233323 432(331296 xnnxnxxyyxnynxynxxy
Ib) ))(2()2()2)(( baxyybyax
Ib) )1(5)32)(1()3)(1()1)(2( xxxxxxxx
Ib)
11)1()1()1(1)1()1( yxaaayaxaayax
IIa) )54)(54(2516 2242 yxyxyx
254 yx
91(24-30)
ES UNA CONDICION NECESARIA MAS NO SUFICIENTE. 95(25-38)
#
51
IIa)
323294
2242 bababa
IIa) )2)(2()2()( 22 xxaxxaxxa
)2)(22(2
axaxxa
IIb) )16129)(43(6427 63243296 nnmmnmnm
332 43 nm
IIb) 23 )()(24)(2)(8 yxyxyxyx
)2224)(2(2 223 yxyxyxyxyx
IIb)
2233 )())(()()()()()( babababababababa
)3(2)22(
)(
22222222
3
babbababababa
babababa
IIc) )22.2.2.)(2(32 4322345 xxxxxx
)16842)(22 2345
xxxxxx
)(
)()
665544233322456
7777
xaxmaxamxamxamaxmm
raicesTienenaxmxamIIc
52
IId) 22422444 4)44(4 babbaaba
abbaba
bababa
224
4)2(2
2222
2222222
)22)(22( 2222 abbaabba
IId) 4848 100)6251004(6254 xxxx
244
4244
10252100
100)252(252
xxx
xxx
)10252)(10252( 2424 xxxx
II d )
33
3233
363262
3053
305353
30)25309(259
baab
baabab
baababab
Observemos que no es el caso IIId, ya que 30ba3 no tiene raiz cuadrada exacta
IIIa) 222 )52(20254 yxxyyx
xy
yx
20
52
53
IIIa)
:2336
14129
36
1
36
4129
934
1 2222
tambiénóbbbbbbb
22
32
1
934
1
bbb
332
12
32
1
bb
b
IIIa) 22 )())((2)( xaxayxyx
))((2 xayx
xayx
222)()()()( ayxayxxayx
IIIb) )1)(12(12112 mmmm
IIIb) )12)(18(21662 xxxx
IIIb) )5)(10(505 2224 xxxx
IIIb) )4)(9(365 22 axaxaaxx
236:
5:2
ax
anúmeros
IIIb) )4)(7()283(328 22 xxxxxx
)4)(7( xx
IIIc) 6
)13(2)32(3
6
)26)(96(376 2
xxxx
xx
)13)(32(18:
7:2
xx
xnúmeros
54
IIIc) 9
)129)(159()2039(9320
333663
xx
xxxx
)53)(34(9
)43(3)53(3 3333
xxxx
IIId) 2242244224 )2( yxyyxxyyxx
))((
2
)(
2222
22
22
2222222
xyyxxyyx
xyyx
yx
yxyxyx
IIId) 2242244224 4)9124(984 babbaabbaa
)232)(232(
232
12
4)32(32
2222
22
22
2222222
abbaabba
abba
ba
bababa
IIId) 2242244224 4)3612(3616 babbaabbaa
)26)(26(
26
12
4)6(6
2222
22
22
2222222
abbaabba
abba
ba
bababa
55
IIId)4284248424 25)8112649(8115149 nmnnmmnnmm
)597)(597(
597126
97
25)97(
242242
24242
42
42242
mnnmmnnm
mnnmnm
nm
nmnm
IVa) 332349626 )32(3627548 yxyxyyxx
62232
34322
332
54)3)(2(3
36)3()2(3
32
yxyx
yxyx
yx
IVb) )1)(1(1)(12 222 bababababa
ab
baba
2
11
IVb)
)2)(2(4)(
422422
222222
bmabmabma
bmamaambma
am
bmama
2
2
IVb) 222222 )1(9)12(9129 xaxxaxxa
)13)(13(
)1(3)1(3
2
1313
xaxa
xaxa
x
xaxa
56
IVc) )43)(2()2(4)2(38463 2 mnmnmnmmnmmnm
IVc)
22 22 azaxzx )21)(()(2)( 222 azxzxazx
Va) )2()44(244 22222222 babayxyxbabxyyax
)2)(2()()2()()2(
2
2,4
)()2(2 22
bayxbayxbayxbayx
bayx
productosdobleslosSonabxy
bayxbyax
Va)
)69()2510(251069 22222222 mmnnbabambabmnna
)35)(35(
35
6,10
)3()5(53 22
mnbamnba
mnba
productosdobleslosSonnmab
mnbambna
Vb) xnxbaxnxbanba 43224232432 33
))(31()31()31( 432224232 nbaxxxxnxxba
Vb) yxxaxyyaaxxa 23222 222
)2)(()(2)( 222222 yxxaxaxaxayxaxax
Ejemplo 21: Factorizar hasta donde sea posible:
1) )1)(1(5)1(555 22 aaaa
2) )4(2)2(2)4)(4(2)16(2322 22244 xxxxxxx
3) 222223 )3(3)96(327183 yxxyxyxxxyyxx
57
4) ))()()(()()( 2222333366 babababababababab
3333 bababa
5) )81)(1()1(81)1(8181 43334347 xxxxxxxx
)9)(3)(3)(1)(1()9)(9)(1)(1( 22222 xxxxxxxxxxx
6) )1)(1)(1()1)(1()1( 844881617 xxxxxxxxxxx
)1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1)(1( 8428422 xxxxxxxxxxx
7) ))()(())(( 22222244 yxyxyxyxyxyx
8) )2)(2)(3)(3()4)(9(3613 2224 xxxxxxxx
9) )3)(5(6)152(690126 22 xxaxxaaaxax
10) 223222 2)2(4 axxaaxaxaax
)12)(12()()14()(
)4)(2()2()2(4
222
22222222
xxxaaxaxa
aaxxaxaxaxaaxaxaax
11))4001625(3120048753 246246
xxxxxx
)4)(2)(2)(5)(5(3)4)(4)(5)(5(3
)16)(25(3)25(16)25(3
222
42224
xxxxxxxxx
xxxxx
12) 3
)13)(9(3
3
)13)(273(9263
222224
xxxx
xx
)13)(3)(3( 2 xxx
13) )1)(1(8)1(888 233 xxxxx
14) 222242 )31()31()91(81181 xxxxx
15) )2)(27()5425(5425 332362258 xxxxxxxxx
)2)(93)(3( 322 xxxxx
58
16) )405815(405815 45256
xxxxxxxx
)9)(3)(3)(5(
)9)(9)(5()81)(5()5(81)5(
2
2244
xxxxx
xxxxxxxxxxx
17) )1()1()1( 66666226 aaxxaxxaxxxaxxa
)1)(1)(1)(1)(1(
)1)(1)(1()1)(1(
22
336
xaaaaaax
xaaxxax
18)
)1)(2)(2()1)(4()4()4(44 22223 xxxxxxxxxxx
19)
)1)(42)(2()1)(8()8()8(88 233334 aaaaaaaaaaaa
20)
)8)(14()14(8)14(8324 32223235 xxxxxxxx
)42)(2)(12)(12( 2 xxxxx
21)
22222342222234 22(2422422 babbaaaababbaaaa
))()(1)(2(2
))(2(2)2()2(2 2222222
babaaa
baaaaabaaa
22) )1)(81)(()8182)(( 22242 xxxaaxxaxa
)1)(1)(9)(9)(( xxxxxaa
Ejemplo 22: Factorizar completamente:
23) 22 4)4( yxx
)2)(2()2()44( 2222 yyyxyxyxx
24)
)4)(2)(2)(1)(1()4)(4)(1)(1(
)16(1)1()1(161616
22222
433433443
nnnxxxnnxxx
nxxnxxnnx
59
25)
)22)(22(
)2(4)44(4444 222222
yxyx
yxyyxyyx
26)
))(()()(
)( 2222
bacabcabcaab
abacbcabababccbba
27)
))(()()( 22222322 axbabaabaxbxabaax
))()(( axaxba
28) 9182 23 xxx
)3)(3)(12()9)(12()12(9)12( 22 xxxxxxxx
29) 223223 nmnnmmnm
mnmnmnnmm ()()()( 222222 )1)(22 nmn
)1)()(( nmnmnm
30) 222221 cbabca
22222 )()1()2()21( cbacbcbaa
)1)(1( cbacba
31) 22233 )()( yxyyxxyx
222 )())(())(( yxyyxyxxyxyxyx
))()()(( 22 yxyyxxyxyxyx
)())(( 2222 yxxyyyxxyxyxyxyx
32) 32 824 xxx )8()24( 32 xxx
)21)(24()24)(2()24( 222 xxxxxxxx
)1)(42()1)(24( 22 xxxxxx
33) 244266 yxyxyx
))(())(()()( 22222244442442 yxyxyxyxyxyyxx
)()()()()()( 22222222222 yxyxyxyxyxyx
60
34) 223322 xyyxyx
2)(3)(2)33()2( 222 yxyxyxyxyx
)1)(2( yxyx
Ejemplo 23: Factorizar completamente:
35) 24a 4232 xx 232 xx .. AAqquuíí 234 2 xx eess uunn ffaaccttoorr
ccoommúúnn,, lluueeggoo 1234 22 axx
ppeerroo 21232 xxxx .. NNuueessttrroo rreessuullttaaddoo ssee ccoonnvviieerrttee eenn::
11214234234 222 aaxxxxxxa
3366))..
634534 222 xxxx 1342 xx 6342 xx
3444 22 xxxx ;; ppeerroo 22 244 xxx
lluueeggoo:: 342 22 xxx
3377))
27
3a 333
271 xax
127127
333 axa
331127 xa
22
11139
13
xxxaaa
óó ttaammbbiiéénn::
27127
1
27
1271
27
2727 333333333
axxxaxaxa
9331127
1 22 aaaxxx
3388)) )5(2252105222 axbaxbaxbaxaxbaxabxxa
61
Ejemplo 24: Factorizar completamente:
39) 1 - a8 = (1+ a4) (1 - a4 ) 40) 3326262 3434 xxxxxx
=(1+a4) (1+a2) (1 - a2) 132332 33 xxxxx
= (1+a4) (1+a2) (1+ a) (1 - a) 1132 2 xxxx
41) a6 - 1 = (a3 +1 ) ( a3 - 1 ) 42) 3 x4 - 243 = 3 (x4 - 81 ) =
(a+1) (a2- a+1) (a - 1) (a2+a+1) = 3 ( x2 +9 ) ( x2 - 9 )
= 3 (x2 +9 ) (x+3) (x-3)
43) x4 - 41x2 + 400
400 4 44) 16x4 - 8x2y2 + y4
100 5 42 = 16 = ( 4x2 - y2 )2
20 5 52 = 25 = [( 2x +y ) ( 2x - y )]2 4 4 = 25+16 = 41
222.2 yxyx
1 = (x2 - 25 ) ( x2 -16 )
= (x+5) (x-5) (x+4) (x-4) 45) 9x4 + 9x3y - x2 - xy
yxyxxx 23 99
46) a4 - 2a2b2 + b4 199 22 xyxxyxyxxx
= ( a2 - b2 )2 1313 xxyxx
= [ (a+b) (a - b) ]2 = (a+b)2(a- b)2
48) 12ax4 + 33ax2 - 9a
47) x5 + x3 - 2x = 3a (4x4 +11x2 - 3)
= x (x4 + x2 -2) 4/14.1243 22 xxa
= x ( x2 +2 ) (x2 - 1) 4/14.3.43 22 xxa
= x (x2+2) (x+1) (x - 1) 12.12.3.3 2 xxxa
51) a4 - 25a2 + 144 144 4
49) x8 - y8 = (x4 + y4) (x4 - y4) 36 4 42 = 16
= (x4 + y4) (x2 + y2) (x2 - y2) 9 3 32 = 9
= (x4 +y4) (x2 + y2) (x+y) (x - y) 3 3
1 16 + 9 = 25
50) x6 - 7x3 - 8 = (x3 - 8) (x3 + 1)
= = (a2 - 16) (a2 - 9)
62
(x - 2) (x2+2x+4) (x+1) (x2 - x+1) = (a + 4) (a - 4) (a + 3) (a - 3)
52) 64 - x6 = (8 + x3) (8 - x3)
=
(2+x)(4 - 2x+x2)(2 - x)(4 +2x+x2)
54) a2x3 - a2y3 +2ax3 – 2ay3=
53) a5 - a3b2 - a2b3 + b5 3333 22. yxayaxa
= (a5 - a3b2) - (a2b3 - b5) 3333 .2.. yxyxaa
= a3(a2 - b2) - b3(a2 - b2) 2.. 33 ayxa
= (a2 - b2) (a3 - b3) 2.. 22 ayxyxyxa
= (a+b) (a - b) (a - b) (a2+ab+b2)
56) a4 + 2a3 - a2 - 2a
55) 8x4 + 6x2 - 2 = 2 (4x4 + 3x2 - 1) 22. 23 aaaa
4/14.44.2 22 xx 1.21.. 22 aaaa
4/14.1.42 22 xx 2.1.1.2.1. 2 aaaaaaa
12.12.1.2 2 xxx
58) a4b - a3b2 - a2b3 + ab4
57) 1 - 2a3 + a6 = (a3 - 1)2 3223. babbaaab
= [ (a - 1) (a2 + a +1) ]2 babbaaab ... 22
= (a - 1)2 (a2 +a +1)2 bababaabbabaab .... 22
59) m6 - 729 = 27.27 33 mm 60) 5a4 - 3125 = 5 (a4 - 625)
93.3.93.3 22 mmmmmm = 5 (a2 + 25) (a2 - 25)
= 5 (a2 + 25) (a + 5) (a - 5)
62) x5 - x = x (x4 - 1)
= x (x2+1) (x2 - 1) 61) ( a2 + 2a )2 - 2 ( a2 + 2a ) - 3
= x (x2+1) ( x +1) ( x - 1) 1)2(.3)2( 22 aaaa
12.32 22 aaaa
21.1.3 aaa
63) x5 - x3y2 + x2y3 - y5 64) a2x3 +2ax3 - 8a2 - 16a
= (x5 - x3y2) + (x2y3 - y5) 1682. 33 axaxa
= x3 (x2 - y2) + y3 (x2 - y2) 2.82.. 3 aaxa
63
= (x3 + y3) (x2 - y2) 42.2.2.8.2. 23 xxxaaxaa
= (x + y)
(x2 - xy + y2)(x+y)(x - y)
65) 1 - a6b6 = (1 - a3b3) (1 + a3b3)
66) 5ax3 + 10ax2 - 5ax - 10a = (1- ab)
(1+ab+a2b2)(1+ab)(1-ab+a2b2)
22.5 23 xxxa
22..5 2 xxxa
67) a2x2 + a2x - 6a2 - x2 - x + 6
1.1.2.51.2.5 2 xxxaxxa = (a2x2+a2x - 6a2) - (x2+x - 6)
= a2 (x2 + x - 6) - (x2+ x - 6)
68) 16m4 - 25m2 + 9 = (a2 - 1) (x2 + x - 6) 144 4 = (a + 1) (a - 1) (x + 3) (x - 2)
36 4 42 = 16
9 3 32 = 9 69) a2x2 + b2y2 - b2x2 - a2y2 3 3 = (a2x2 - b2x2) + (b2y2 - a2y2) 1 16 + 9 = 25 = x2(a2 - b2) + y2(b2 - a2) = x2(a2 - b2) - y2(a2 - b2)
=(16m2 - 16) (16m2 - 9)
16
= (a2 - b2) (x2 - y2) = (a + b) (a - b) (x + y) (x - y)
16
916.1.16 22
mm
70) x8 + x4 - 2 = (x4+2) (x4 - 1)
= (m2 - 1) (16m2 - 9) = (x4+2) (x2+1) (x2 - 1) = (m + 1)(m - 1)(4m + 3)(4m - 3) = (x4+2) (x2+1) (x+1)(x - 1)
71) 3abx2 - 12ab + 3bx2 - 12b 72) a4 + a3 - 9a2 - 9a
44.3 22 xaaxb 99. 23 aaaa
44..3 22 xxab 1.91.. 2 aaaa
1.2.2.31.4.3 2 axxbaxb 3.3.1.9.1. 2 aaaaaaa
73) a(x3+1) + 3ax (x +1) 74) 3a2m+9am-30m+3a2+9a-30 = a (x+1)
(x2 - x +1) +3ax (x+1) 103103.3 22 aamamma
= (x+1)[a (x2 - x +1) +3ax ] 103103..3 22 aaaam
= (x + 1) (ax2 - ax + a +3ax) 1.2.5.31.103.3 2 maamaa
= (x + 1) (ax2 + 2ax + a)
= a (x + 1) (x2 + 2x+ 1) 75) a3x2 - 5a3x+6a3+x2 -5x+6
64
= a (x + 1) (x + 1)2 = (a3x2 - 5a3x+6a3)+(x2-5x+6)
= a ( x + 1)3 = a3(x2 - 5x+6) + (x2 - 5x+6) = (a3 + 1) (x2 - 5x +6) = (a + 1) (a2 - a + 1) (x - 3) (x - 2)
76) x2(x2 - y2 ) - (2x - 1) (x2 - y2) 77) x9 - xy8 = x (x8 - y8)
= (x2 - y2) [ x2 - (2x - 1) ] = x (x4 - y4) (x4 + y4)
= (x + y) (x - y) (x2 - 2x +1) = x(x2+y2)(x2 - y2)(x4 + y4)
= (x + y) (x - y) ( x - 1)2 = x(x2+y2)(x+y)(x - y)(x4 + y4)
78) x5 - 40x3 + 144 x 79) 4x4 - 8x2 + 4 = 4 (x4 - 2x2 + 1)
= x(x4 - 40x2 + 144) = 4 (x2 - 1) (x2 - 1) = 4 (x + 1)2 (x - 1)2
= x (x2 - 36) (x2 - 4)
= x (x - 6) (x + 6) (x + 2) (x - 2) 81) a7 - ab6 = a (a6 - b6) = a (a3 + b3) (a3 - b3)
80) a6 + a3b3 - a4 - ab3 = a ( a+ b) (a2 - ab+b2)(a - b)(a2+ab+b2)
33325. babaaa
33332.. babaaa 82) a6x2 - x2 + a6x - x =
1.. 233 abaa 1. 66 axxax
1.1... 22 aabababaa 11.. 66 aaxx
1.1.1.1.1. 336 xaaxxax
83)
2a4- 2a3- 4a2 - 2a2b2+2ab2+4b2 1.1.1.1.1. 22 xaaaaaax
=
(2a4-2a3-4a2)-(2a2b2-2ab2-4b2)
= 2a2(a2 - a- 2) - 2b2(a2 - a - 2) 84) 3 - 3a6 = 3 (1 - a6)
= 2 (a2 - a - 2) (a2 - b2) = 3 (1 - a3) (1 + a3) = 2 (a - 2) (a + 1) (a + b) (a - b) = 3 (1-a) (1+a+a2) (1+a) (1-a+a2)
86) (a2 - ax) (x4 - 82x2 + 81)
= a (a - x) (x2 - 81) (x2 - 1)
= a (a - x) (x+9) (x - 9) (x+1) (x - 1)
Estudiar taller 6
65
2.2.3 Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación
Muchos de los polinomios en una sola variable sólo son factorizables mediante el método de evaluación. Pero debemos conocer primero el teorema del residuo y la regla de Ruffini o división sintética. Ejemplo 25: Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir
467)( 2 xentrexxxP
Solución:
resíduoelHallarxxxxxfEjemplo
resíduoxPxx
)12()11262)((:26
66474)4(404
23
2
Solución:
4
331
2
112
2
16
2
12
2
12/1012
23
fxx
Ejemplo 27: Hallar por división sintética el cociente y el residuo de dividir
1435)( 23 xxxxP entre 3x
Solución: Coeficientes de P(x) 1 -5 3 14
x-3 = 0 x=3 3 3 -6 -9
1 -2 -3 +5 residuo Coeficientes del residuo
5)(
32)(/ 22
xR
xxxxCR
Ejemplo 28: Hallar por división sintética el cociente y el residuo de dividir
)2()4845)(( 34 nnnnnf
Solución: 1 -5 0 4 -48
n=-2 -2 14 -28 48 1 -7 14 -24 0
0)(
24147)(/ 23
nR
nnnnCR
66
Ejemplo 29: Hallar por división sintética el cociente y el residuo de dividir
)12()6732)(( 34 xxxxxH
Solución: 2 -3 0 -7 -6
X=-1/2 -1 2 -1 4
2 -4 2 -8 -2 Resíduo
42)(41212 23 xxxxC
Ejemplo 30: Descomponer por el método de evaluación:
22)( 23 xxxxf
Solución: Hallemos los factores del término independiente
2
12
Comenzamos a tantear con cada factor, aplicando el teorema del residuo hasta que algún residuo de cero. Luego aplicamos división sintética para obtener el cociente; el cuál tratamos de seguir descomponiendo de la misma forma.
)(102121)1( xfdefactoresxf
Aplicando división sintética 1 2 -1 -2
x=1 1 3 +2
1 3 2 0 Lógicamente el residuo
23)( 2
xxxC tiene que dar cero
Nótese que el grado de C(x) va disminuyendo en 1 con respecto al de f(x).
Cuando el grado de C(x) ya es 2; tratamos de factorizar por el derrotero:
)1)(2(232 xxxx R/ )1)(2)(1()( xxxxf
Ejemplo 31: Descomponer por el método de evaluación:
242277)( 2345 xxxxxxh
Solución:
24,12
8,6,4
3,2,1
24 )(10)1(
0)1(
xhdefactoresxh
h
1 -1 -7 -7 22 24
x=-1 -1 2 5 2 -24
1 -2 -5 -2 24 0 R(x)
67
24252)( 234 xxxxxC y lo seguimos tanteando a partir del
último factor que hizo h(x)=0; en este caso x =-1 C(-1)0
C(2)=0 x-2 es factor de C(x); y por lo tanto también de h(x)
1 -2 -5 -2 +24
x=2 2 0 -10 -24
1 0 -5 -12 0 R(x)
)(30)3(
0)2(
0)2(
125)( 3
xcdefactoresxc
c
c
xxxc
1 0 -5 -12
x=3 3 9 12
1 3 4 0R(x)
?)?)((
43)( 2
xx
xxxc
)43)(3)(2)(1()(/ 2 xxxxxxhR
Ejemplo 32: Descomponer por el método de evaluación:
81811)( 24 xxxxg
Solución:
)(10)1(8,4
0)1(2,18
xgdefactoresxg
g
1 0 -11 -18 -8 1 -1 -10 -8
x=-1 -1 1 10 8 x = -1 -1 2 8
1 -1 -10 -8 0 R(x) 1 -2 -8 0 R(x)
)2)(4()1()(/
)(10)1(
810)(
2
23
xxxxgR
xcdefactoresxc
xxxxc
)2)(4(
82)( 2
xx
xxxc
68
Ejemplo 33: Descomponer por el método de evaluación:
48416059196)( 2345 xxxxxxf
Solución: 48,2412,8,6,4,3,2,148
)(20)2(;0)2(;0)1(;0)1( xfdefactoresxffff
6 19 -59 -160 -4 48
-2 -12 -14 146 28 -48
6 7 -73 -14 24 0 R(x)
24147376)( 234
xxxxxc
)(30)3(;0)2( xcdefactoresxcc
6 7 -73 -14 24
x=3 18 75 6 -24
6 25 2 -8 0 R(x)
82256)( 23
xxxxc
)(40)4(;0)4( xcdefactoresxcc
6 25 2 -8
x=-4 -24 -4 8
6 1 -2 0 R(x)
6
)12(3)23(2)(;
6
)36)(46(26)( 2
xx
xcxx
xxxc
)12)(23)(4)(3)(2(/ xxxxxR
Ejemplo 34: Descomponer por el método de evaluación:
6016459415)( 234 xxxxxf
69
Solucion: f(1) = 0 f(x)(x-1)
06010410915
60104109151
6016459415
x
= 16010410915)(
)(
23
xxxxxf
xc
c(1)0; c(2)0;
c(3)0; c(4)0; c(5)0
c(6)=0 x-6 es factor de c(x), c(x) x-6: 15 109 104 -60
x=-6 -90 -114 60 15 19 -10 0
35
616152515.61.101915)( 2
xxxxxxxxxf
612553)( xxxxxf
Ejemplo 35: Descomponer por el método de evaluación:
1441081621)( 235 xxxxxg
Solución: 1 0 -21 16 108 -144
x=2 2 4 -34 -36 144 1 2 -17 -18 72 0
27218172 234
xxxxx
c(x) = 2 c(x) x-2
1 2 -17 -18 72
x=2 2 8 -18 -72 1 4 -9 -36 0
223 )2).(3694()( xxxxxg
70
1 4 -9 -36
X=-3 -3 -3 36
1 1 -12 0 3.2.12)(22 xxxxxg
22334)( xxxxxg
Ejemplo 36: Descomponer por el método de evaluación:
96112623)( 235 aaaaah
Solución: 1 0 -23 -6 112 96
a=-1 -1 1 22 -16 -96 1 -1 -22 16 96 0
1961622 234
aaaaa
1 -1 -22 16 96
a=-2 -2 6 32 -96 1 -3 -16 48 0
2148163 23
aaaaa
1 -3 -16 48
a=3 3 0 -48 1 0 -16 0
32144321162 aaaaaaaaa
Ejemplo 37: Descomponer por el método de evaluación:
3605222510834)( 2345 xxxxxxf
Solución: 4 3 -108 -25 522 360
x=-2 -8 10 196 -342 -360 4 -5 -98 171 180 0
71
21801719854 234
xxxxx
4 -5 -98 171 180
x=3 12 21 -231 -180 4 7 -77 -60 0
32607774 23
xxxxx
4 7 -77 -60
x=4 16 92 60 4 23 15 0
43215234 2
xxxxx
443234204 xxxxx
432345 xxxxx
Ejemplo 38: Descomponer por el método de evaluación:
180362530)( 235 nnnnnk
Solución: 1 0 -30 -25 -36 -180
n=-2 -2 4 52 -54 180 1 -2 -26 27 -90 0
29027262 234
nnnnn
1 -2 -26 27 -90
n=-5 -5 35 -45 90 1 -7 9 -18 0
5.2.1897)( 23 nnnnnnk
72
1 -7 9 -18
n=-6 6 -6 18 1 -1 3 0
)(nk 65232
nnnnn
2.3. Simplificación de fracciones Ejemplo 39: Simplificar las siguientes fracciones:
x
x
xx
xh
xy
xa
xyx
xxa
yxxyx
a
xyyx
ag
aaa
aaaa
aa
af
a
a
aaa
aaa
aa
a
a
ae
yxyd
ba
a
baaabc
babmm
a
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
ax
aa
aa
a
a
aa
a
yx
yx
yxyx
yx
a
a
a
yxyx
yx
ba
ba
2
2
224
44)
3
3
33
3
9
33
9)
1131
1311
3412
321)
12
5
152
55
542
25
10
25)
)32(3
1
32)
)(2)(44)
1)
3)
22
2
22
2
42
2
2
2
2
222
22
2
2
23
3
33
32
4333
32
2
2
2
3265
33
33
22
22
4
82
12
4
3624
4
2
4
2
436
92
6
4
Estudiar taller 7
73
44
...3,2,1
22
533522
22
22
NaturalnNota abbann
0321
321
3511
1)(10)1(
...
..
99
35)
2234
23
xxfdefactoresxf
evaluaciondemetodo
elporamosDescompong
xg
xf
x
xi
xxx
xx
)(10)1(
:;
)(,.3.).1.()(...
1332)( 2
xgdefactoresxg
fraccionlarsimplificapoderparafactoresmismoslostiene
xgsiVeamosxyxsonxfdefactoresLos
xxxxxc
1 1 -2 9 -9
x=1 1 2 0 9 1 2 0 9 0
)(30)3(,0)1(;92)( 23 xgdefactoresxccxxxc
1 2 0 9
x=-3 -3 3 -9 1 -1 3 0
74
3
1
331
31
:;3
22
2
2
xx
x
xxxx
xx
asiquedandovafracciónlaentoncesxx
1
1
132
322
01240281616)2(:
,
)(122072
128)
2
2
234
23
xxxx
xxfactoresx
gtienese
evaluaciónpor
endoDescomponixgxxxx
xxxj
2.4 Suma y Resta de fracciones:
Ejemplo 40: Simplificar 33
22
2
11
abba
ba
ababa
Solución:
babaab
baabbaa
abba
ba
ababa
22
33
22
2
11
babaab
babababab 22
babaab
bababab 22222
babaab
bab
baa
1
75
Ejemplo 41: Simplificar 234
2
22 43
1612
43
32
xxx
xx
xx
x
xx
x
142
4322
234
2
14
2
1
2 43
1612
43
32
xxx
xxxxxxx
xxx
xx
xx
x
xx
x
41
16123242
22
xxx
xxxxxxx
41
16123822
2232
xxx
xxxxxxx
41
16123822
22323
xxx
xxxxxxx
41
1642 xxx
x
41
442 xxx
x 1
42 xx
xx
x
xxx
xxx
x
xxx
x
13
2
2
1
23
13
2
2
1
652
Solucion
rSimplifica:24Ejemplo
xxxxx
x
xxxxxxx
xxx
xxxxxx
12
1
123
3
4233
123
22131 222
2.5 Multiplicación y División de Fracciones:
76
)4)(3(2
)5(
)4)(4(
)1(2
3
)4)(5(
)1(4
322
16
96
209
44
3
2
2
2
2
2
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
aaa
a
aa
aa
a
a
:Solucion
rSimplifica:43Ejemplo
2.6 Fracciones Complejas: Cuando se tiene un entero sobre una fracción, ó
una fracción sobre un entero; se le coloca al entero denominador “uno” (1),
para que quede fracción sobre fracción, y poder así aplicar la ley de la oreja
(multiplicar extremos y colocar el resultado como numerador, y multiplicar
medios y colocar el resultado como denominador); pero antes de aplicar la
ley de la oreja, debo observar si puedo simplificar entre sí numeradores y/ó
entre sí denominadores; además si puedo simplificar entre sí la fracción de
arriba, o entre sí la fracción de
abajo:
;12323 acd
b
ad
cda
ba
da
cda
ab
33
2323
1
cda
b
adcda
ba
da
cda
ab
1
7
75
5
7
1145
61
7
)2(
)2(114
5
)2(
)2(61
7
2
22114
5
2
1261
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
rSimplifica:44Ejemplo
77
11
1
12
1
1
12
11
2
1
2
2
1
1
2
22
1
1
2
22
1:45
2
2
2
22
xx
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
x
xxx
xx
x
x
xx
xx
xrSimplificaEjemplo
Más ejercicios resueltos:
)1(4
5
)1)(1(8
)1(10
1)1(8
1010
1)1(8
4221212
1)1(8
4)1(2)1(121)1(8
)1(8
4
)1(4
1
)1(2
3
88
4
44
1
22
3:47
123
64
123
3292
123
1333)2(
)1)(2)(3(2
1
)2)(1(
3
)1)(3(
2
1
)2)(1(
3
32:46
11
22
2
222
2
aaa
a
aa
a
aa
aa
aa
aaaamcm
aaaaaarSimplificaEjemplo
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxxx
xxxmcmxxx
x
xx
x
xxx
x
xx
xrSimplificaEjemplo
aa
78
1
13
)1)(1(
122222
)1)(1(
)1(22)1(2
11
1
1
22
1
2
1
1
1
22
1
2:48
32
2323
2
232
121
3
2
121
3
23
2
211
3
23
x
x
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxx
xmcmxxx
xx
x
x
xxx
xx
x
xSimplificaEjemplo
xxx
xxx
xxx
x
x
xa
x
xx
xxa
x
xx
xx
xx
xaxaxx
axa
xx
x
xx
x
rSimplifica
Ejemplo
412
123
44
3
3
34
33
12
372
16
3
3
12
9.:49
22
2
2222
222
22
2
32
2
)13)(32(
132
)13)(32(
253
)13)(32(
3641336432
1332
364131322
1332;1332
364
32
1
13
2
3116
364
23
1
13
2::50
2
222
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxxxx
xx
xxxxxx
xxmcmxx
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
xSimplificaEjemplo
79
))((
24
))((
2222
))((
)(2))(()(
211:51
33
23
22
23322333
22
2222
22
baba
baa
babababa
abababbaaba
babababa
babaababababababa
baba
a
babarSimplificaEjemplo
22
2
22
2
2
332
22
442
2
32
22
422
2
3
2121
4
4
2
2
1
11
)1)(1(
1
)1)(1(
11
)1)(1(
1
11
11:52
aa
a
aa
a
a
aaa
aa
aaa
a
aaa
aa
aaa
a
aa
a
a
a
arSimplificaEjemplo
aa
38
49
3894
9494
3849
9494
7227723272
9494
12572
8116.:53
7238.9.49.8
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xrSimplificaEjemplo
xx
80
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
xxxxxx
xx
xxxx
xxx
xxxxxx
xxx
x
x
x
xxxrSimplificaEjemplo
xx
1
652
1652
623
2.3
2.3.
636265
2.3
6)2()3(
2.3.
)2(3)3(265
65
6
323
3
2
21.:54
2
2
22
222
2
2.3
2
22
2
22
2
22
2
2222
2
22
2
2 32232
1
1
ba
a
ba
a
ba
abaab
baba
baaab
ba
a
ba
ab
ba
baba
a
ba
ab
ba
bababa
bba
a
ba
a
b
ba
baba
b
a
b
a
b
baba
r.Simplifica:55Ejemplo
22
22
2
44
10143
2
1
5
5
2
3
.
baba
baba
bababa
a
rSimplifica:56Ejemplo
81
babababa
baba
bababa
baba
bababa
babababaaba
ba
baba
baba
babababaa
5
3
101435
101433
101435
30429
)10143)(5(
10720205153
2
10143
)5.(2
)5)(2(25)5(3
22
22
22
22
22
22222
2
22
2
2
2
1
4
1
)1(2
4
4
1
1212
1212
2)(2
1
1
1
2
22
1
1
1
1
11
1
1
1
.
2
2
2
22
22
2
2
2
2
22
2
22
22
2
11
11
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxxx
x
ba
ba
x
ba
x
ba
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
rSimplifica:57Ejemplo
82
3
1
)2)(2)(6)(6(3
)2)(2)(6)(6(436
22
3
66
4
1
36
12266
3
1
4
1
36
1
4
36
3
1.
2
2
22
22
2
2
xxxxx
xxxxxx
x
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
xx
xx
x
xxx
xx
xx
x
x
xrSimplifica:58Ejemplo
12
.)(
)(*
)(
)(2
2
1
)(2
2
1**
21
1
2.:60
)2.(36
2713712663961222
)2.(36
).2(6)2(33)2)(3(2
9632
1
)2(6
1
)3(3
1
96
1
32
1
126
1
93
1.:59
2
2
2
22
2222
2222
2
22
22
2
2222
2
2
23
22
2
2
a
b
baa
bab
bab
baa
b
aba
a
bab
ba
b
ba
a
b
babba
a
bab
ba
ba
b
baba
a
bb
ba
baba
ba
baba
rSimplificaEjemplo
xx
xxxxxxxxx
xx
xxxxxx
xx
x
xxx
xxxxx
rSimplificaEjemplo
baba
baba
x
83
EEjjeemmpplloo 6611:: SSiimmpplliiffiiccaarr
11
1
11
2
11
2
1
332
xxxxxxxA
SSoolluucciióónn::
131
1
121
224222
212
1
3
xxxx
xxx
x
xA
1
11
11
263
3
xx
xx
x 1
26
x 26 x
EEjjeemmpplloo 6622:: SSiimmpplliiffiiccaarr x
xxx
xx
36
1
3
1
2
3
3
4
3
2
SSoolluucciióónn:: 3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
xxxxx
6
7
6
1233
3
1
2
3
xxxxx
x
xx
xA
36
1
6
7
3
2
13
372
1
36
36
72
xx
xx
x
x
x
x
13
372
xx
xx 1
72
x
x
EEjjeemmpplloo 6633:: SSiimmpplliiffiiccaarr
x
x
x
xxx
1
3
1
4
24
84
SSoolluucciióónn::
xx
xxxx
xx
x
x
x
xx 1.1
334424
1
3
1
424 22
xx
xx
x 11
72 2 xx
xx
x
7
112 xx
xx
7
1122
EEjjeemmpplloo 6644:: SSiimmpplliiffiiccaarr
aa
a
aa
1
1
1
1
SSoolluucciióónn::
aa
aa
a1
1
1
1
a
aa
a
aa
1
1
1
12
2
11
12
2
a
aa
a
aa
11
12
32
a
a
a
aa
3
22 1
1
1
a
a
a
aa
1
113
22
aa
aaa
Estudiar taller 8
85
32221221222
2134321
224/
2.1
:
aaaaaa
aaaaaaa
mmmmmmR
mmmpormmmm
rMultiplica
85274252241232
422433221
2/
2.2
bababababaR
babaporbabababa
nnnnn
nnnnnn
432234
2222
6
7
60
17
10
1
5
3/
22
3
2
1
3
1
5
2.3
nmnnmnmmR
mnnmpornmnm
5
4
30
19
3
2
40
37
2
1
4
3/
23
12
5
2
4
1
8
3.4
2345
32
xxxxxR
xxporxx
54322345
223223
8
5
6
7
60
101
40
99
6
5
2
1/
3
2
2
5
3
2
4
1
5
2
2
1
4
3.5
nmnnmnmnmmR
mnnmpornmnnmm
TALLER 3
TALLER 4
86
223223
54322345
423/6128
42633385224.1
yxyxRyxyyxx
entreyxyyxyxyxxDividir
6422464235
108365472911
3/32
35685.2
yyxyxxRxyyxx
entrexyyxyxyxyxxDividir
zyxRyzxzxyzyx
entrexyzzyxDividir
/
3.3
222
333
4321213
32221221222
2/
224.4
aaaaaaa
aaaaaa
mmmmRmmmentre
mmmmmmDividir
4321213
72423222
2/
4.5
aaaaaaa
aaaa
xxxxRxxx
entrexxxxDividir
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxaxa
yxyxyxR
yxyxyxentre
yxyxyxyxDividir
32122212
1112
12332232233213
1042/
43
302842.6
Hallar el cociente mixto de:
yx
yyxyyxyxxRyxentreyx
543223455 2
/.7
ba
bbabaR
baentrebabbaa
32
12734/
329568.83
22
3223
23
102032/
234793.9
2
3
2245
xx
xxxR
xxentrexxxx
TALLER 5
87
Escribir por simple inspección el resultado de:
221221 2/.1 xxxxxx bbaaRba
422122221 2/.2 xxaaxa yyxxRyx
421222221 96/3.3 aaaaa xxxRxx
maamma yxRxyyx 22 259/3553.4
22221111 4/22.5 xxxxxx baRabba
222 2/.6 zyxyxRzyxzyx
222 2/.7 zyzyxRzyxzyx
144/1212.8 2422 nnnRnnnn
92/3232.9 2422 aaRaaaa
222 44/22.10 cbabaRcbacba
3224632 8126/2.11 bbabaaRba
322332754368/32.12 yxyyxxRyx
76/71.13 22442222 babaRbaba
482/8614 33663333 yxyxRyxyx
245/8315 2 xxxx aaRaa
3011/5616 12211 xxxx aaRaa
422422 2/17 bbaaRbababa
23/21118 242 xxRxxx
81/93319 42 aRaaa
2524/15520 242 xxRxxx
88
45/221121 24 aaRaaaa
3613/233222 24 aaRaaaa
65432
232
2131842369/
6323
aaaaaaR
aaa
25
16
5
4
20
29
4
3
16
9/
5
4
2
1
4
324 234
2
2
aaaaRaa
4
1
4
3
48
59
2
3
36
43
3
2
4
1/
2
1
4
3
3
2
2
125
23456
2
23
aaaaaaR
aaa
Factorice completamente:
11/112.2
383/1311110.1
2
22222
aaxxRxxxa
xxRxx
babababaRbaba 222233 /.3
TALLER 6
89
111/.10
32/33*44.9
4353/2033.8
/2.7
/2.6
133/39.5
1/.4
4446810
22
2
223322
22
22
2233
aaaaRaaaa
R
R
babababaRbababa
zyxyxRyzxzyxyx
babaRbaba
bababaRbaba
nnn
nnnn
nmnmnm
nnnn
yxyxxRyxx
yxyxRyxyx
babababaRabba
xxxxxxRxx
22222
22
222323
2236
/.14
2/2.13
3933/279.12
1241211/178.11
2222 1236168.15 babayxyx
R/ bayxbayx 6464
16. baba 43169 22 R/ 14343 baba
17. 33 644 yxyx R/ 22 16414 yxyxyx
18. 123 yx R/ 124412 22 yxyxyxyx
19. 164 y R/ 2242 yyy
20. 18 x R/ 1111 24 xxxx
21. 12 36 aa R/ 22211 aaa
22. 178 36 xx R/ 1124112 22 xxxxxx
23. 426 1 ttt R/ 11 42 tt
24. 6664 yx R/ 2222 242422 yxyxyxyxyxyx
90
25. acybcxabybcyacxabx R/ bcacabyx
26. nn ba 6664
R/ nnnnnnnnnnnn bbaabbaababa 2222 242422
Descomponer por evaluación:
5432/1201427.1 24 nnnnRnnnnf
7354/140362 234 xxxxRxxxxg
543242/
1204675188.3 234
aaaaR
aaaaah
355/75224 224 xxxRxxxl
SSiimmpplliiffiiccaarr oo rreedduucciirr aa ssuu mmaass ssiimmppllee eexxpprreessiióónn::
18
22/
44
3
88
7
22
2.1
2
2
2
a
aaR
a
a
a
a
a
a
1260
14/
3060
14
2040
52
1020
3.2
a
aR
a
a
a
a
a
a
3221
47/
2
3
62
1
352
2.3
222
xxx
xR
xxxxxx
TALLER 7
TALLER 8
91
9
5/
9
2
3
3
3
2.4
2
2
2
a
aaR
a
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22
2
22
2 32/
33.5
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xyxR
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x
yx
y
xy
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321
3/
12
2
23
1
3
1.6
aaa
aR
aaaa
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3/
11
3
1
5565.7
2
222
2
2
2
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2
22
33
22
22
322
223
93
4/
816
27
28
4
372
96.8
nmnnm
mnmR
nmnm
nm
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nm
nmnnm
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xaa
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2
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23
22
22
23
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22
23
22
24
2
3
2
22
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9
3)3(
27
9
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aa
aa
aa
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3
22/
22
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2222
22
2233 babababaR
bababa
baba
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yx
yx
yx
yx
x
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22
92
2
2
22
2
2
22
1
1/
1
1
1
1.13
ba
baR
ba
ba
ba
ba
1/2
.1422
Rab
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33
33
223
331
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1/
111.16
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2223
22
2
33
4224
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x
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2
33
33
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2
2
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2
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b
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222
42
22222222
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1111.20
yx
yxR
yxyxyxyx
yx
1/1
2
12
1
3.21
2
xRx
x
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x
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93
2
2
2
2
2
2
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3
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3
3
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3
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22
22
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44
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222244
2/
1111.26
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1/
11
11
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1
1
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2
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21
12/
11
11
11
11
11
.32
94
722
31/
3
24
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211
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xx
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x
x
/111
.38
1/1
.37
/12
1.36
3/
62.35
1/
1
11
1
1.34
2
2
33
2233
22
22
33
22
2
2
2
33
3
223322
23
4
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