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Laboratorio Progettuale di Calcolo StrutturalePolitecnico di Milanoa.a. 2010/2011 Si invita ad un uso maturo e responsabile
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Politecnico di Milano
FACOLTA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica
Laboratorio progettuale di calcolo strutturale
Progetto d’anno
Analisi EF di una macchina utensile a portale
Candidato
Luca Maggiori
matr.726825
Docenti
Prof. Michele Carboni
Ing. Andrea Gilioli
Anno Accademico 2010–2011
Considerazioni iniziali In tutto il progetto sono state impiegate le stesse Unità di Misura sia per trattazioni analitiche, sia all’interno del software Abaqus: Forze in [N] Sforzi e Pressioni in [MPa] Densità in [ton/mm3] Lunghezze in [mm] Aree in [mm2] Volumi in [mm3] Materiale: acciaio. Si considerano le seguenti caratteristiche del materiale: E=210000 MPa v=0,3 ρ=7.8e-9 ton/mm3 G=80769 MPa Modello simmetrico dal punto di vista geometrico, ma non dal punto di vista dei carichi.
Non è quindi possibile eseguire un’analisi in simmetria Fori, guide e raggi di raccordo del portale non modellati (richiederebbero analisi ad
elementi solidi) Proprietà geometriche ed inerziali delle sezioni trasversali
Ricordando la formula per il calcolo del momento d’inerzia baricentrico di un rettangolo (J=bh3/12) e quella per il momento di trasporto (Jy=Jx+yG
2A) si possono calcolare i momenti d’inerzia delle due sezioni
COLONNE Area=12544 mm2 J1=J2=321.394.005,3 mm4 J12=0 (simmetria della sezione rispetto ad entrambi gli assi) TRAVERSA Area=21888 mm2 J1= 689.682.944 mm4 J2= 383.033.344 mm4 J12=0 (simmetria della sezione rispetto ad entrambi gli assi) Carichi e Quota personalizzati In base all’ordinale delle iniziali di nome e cognome, si ottengono i valori delle forze F1 e F2 da applicare, e la distanza del loro punto di applicazione rispetto all’asse della colonna.
F1=530 N F2=630 N QUOTA= 1720 mm
Analisi Statica – BEAM Punti critici della modellazione Definizione profilo traversa Per le colonne è sufficiente utilizzare il profilo Box.
Nell’impostazione del profilo da assegnare alla sezione trasversale della traversa occorre invece utilizzare il metodo Generalised, in cui si inseriscono direttamente le proprietà inerziali di sezioni a geometria generica. Tra i valori richiesti vi è anche la rigidezza torsionale (GJ), la quale non può essere calcolata mediante formule poiché legata ad un profilo non standard. È possibile però determinare tale parametro, insieme anche alle altre proprietà, tramite la procedura di Abaqus Meshed Beam Cross-Section (Manuale Abaqus, Vol.II-Analysis 10.5.1-3/4). Essa consiste nel creare un modello Shell della sezione, applicare un’opportuna mesh, e richiedere la generazione del file di input per il solutore. Si modifica poi tale file per far sì che il solutore non esegua uno step standard, ma si limiti a generare le proprietà della sezione che
potrebbero essere necessarie in una generica analisi statica. A termine di tale procedura si ottengono i valori già precedentemente calcolati (a meno del modulo di taglio G) e in particolare la rigidezza GJ, da cui J=682.840.483 mm4.
Si osserva che impostando un profilo di tipo Generalised, occorre inserire a parte le informazioni sul materiale nel momento in cui con tale profilo si genera la sezione in Abaqus (questo perché il profilo generico viene trattato separatamente da Abaqus). Render del profilo Se si assegna all’elemento beam una sezione con profilo “generalised”, Abaqus mostra il profilo come un’ellisse piena con area e momenti d’inerzia che coincidono con i valori specificati (ellisse centrale d’inerzia).
Interaction – scelta del COUPLING I carichi da applicare, escluso il peso proprio del telaio, sono il peso del carrocroce e le forze F1 e F2 applicate al mandrino e simulanti le sollecitazioni di una lavorazione di fresatura. Tali carichi non agiscono direttamente sul modello realizzato (solo il telaio è oggetto di analisi) e quindi occorre definire il modo in cui le forze vengono applicate al telaio. Assunzioni e scelte: Carrocroce ipotizzato infinitamente rigido: non si generano forze o deformazioni
aggiuntive tra i punti di applicazione ed il telaio Peso del carrocroce applicato nel centro di massa Forze F1 e F2 applicate al mandrino COUPLING. per accoppiare il centro di massa ed il mandrino al telaio si sceglie di non
utilizzare il coupling Kinematic: questo vincolerebbe anche cinematicamente i punti del telaio. Tale vincolo è troppo forte nel modello beam della struttura perché ad ogni punto dell’asse è associata un’intera sezione, e nella realtà le sezioni trasversali non sono vincolate cinematicamente ai carichi.
Si sceglie quindi un coupling di tipo Continuum Distributing: Accoppiamento con il telaio solo dal punto di vista dei carichi Carichi agenti sull’asse (nel modello beam): si considerano
distribuiti sulla zona in cui è appoggiato il carrocroce (risultano concentrati sulla superficie esterna, che però non è modellata)
Non si usa lo Structural Distributing perché richiede la definizione di una superficie di punti di accoppiamento (impossibile nel modello beam)
Il Continuum permette di trasportare solo forze (non trasporta momenti) OK perché non si hanno momenti agenti (i momenti di trasporto sono correttamente riportati)
Osservazione Il coupling Distributed non prevede applicazione delle componenti di momenti nella direzione di nodi allineati (Vol.V-Analysis, 31.3.2-10 e Verification Manual 1.10.3). Questo perché è implementato per poter essere usato anche con elementi che non possiedono gdL rotazionali. Eventuali momenti torcenti su nodi allineati non potrebbero essere considerati. Per evitare tale problema si rilascia il vincolo di rotazione nella direzione x (UR1) e si applica direttamente sulla struttura il momento torcente di trasporto dei carichi (in direz. X).
Load Si vincolano con incastro le due colonne. Si applicano i seguenti carichi:
Peso proprio telaio (gravity) (g=9806 mm/s2) Peso carrocroce applicato al centro di massa (P=3004N) F1=530N e F2=630N al mandrino Momento torcente di trasporto sull’asse, nel punto proiezione del mandrino
(Mt=1357940 Nmm) Mesh Il modello relativamente semplice permette di utilizzare mesh molto fitta senza pregiudicare gli oneri di calcolo. Si utilizzeranno inoltre elementi beam quadratici a 3 nodi, che garantiscono maggiore accuratezza. Soluzione analitica con Metodo degli Spostamenti Ipotesi e semplificazioni: Analisi 2D (sollecitazioni ed effetti solo nel piano x-y) Aste assialmente inestensibili Peso proprio del telaio modellizzato come carico
distribuito sulla traversa Peso dei tratti esterni della traversa sostituito con
equivalenti momenti flettenti di trasporto in corrispondenza delle colonne
Carichi concentrati nella proiezione del mandrino sulla traversa
Spostamenti valutati: Rotazione nel punti B; Rotazione nel punto C; Spostamento traversa lungo x Sistema risolvente:
Risultati (confrontati con modello beam equivalente con elementi lineari – Cubic Formulation) Rotazione nel punto B=+7.73*10-6 rad
(Abaqus=+7.9*10-6 rad) Rotazione nel punto C=-6.85*10-6 rad
(Abaqus=-7*10-6 rad) Spostamento traversa lungo x=0.00173 mm
(Abaqus=0.00175mm (medio)) Scostamenti dovuti alle ipotesi non riproducibili in Abaqus (in particolare la rigidezza assiale infinita) Noti gli spostamenti è possibile verificare la correttezza delle reazioni vincolari: RF1(x)=630 N (=F2 OK) RF2(y)=8059 N (=peso telaio OK) RF3(z)=0 N (problema piano OK)
Analisi dei risultati (BEAM) Confronto risultati con soluzione analitica Prima di procedere con la vera e propria analisi si esegue in Abaqus un’analisi del modello utilizzando elementi lineari – Cubic Formulation (dimensione: 1mm) per confrontare e verificare la concordanza con i risultati previsti dalla soluzione analitica. Rotazione nel punto B=+7.73*10-6 rad (Abaqus=+8.1*10-6 rad) Rotazione nel punto C=-6.85*10-6 rad (Abaqus=-7*10-6 rad) Spostamento traversa lungo x=0.00173 mm (Abaqus=0.00218mm (medio)) Spostamento U2 in B=-0.003705 mm (Abaqus=-0.003279mm) Spostamento U2 minimo=-0.01336 mm (Abaqus==-0.01457 mm) La leggera differenza dei valori è dovuta alle ipotesi fatte per la risoluzione analitica, in particolare all’ ipotesi di rigidezza assiale infinita e problema piano. Nonostante ciò c’è accordo tra i valori. Osservazione Poiché sono state verificate le condizioni ai bordi del tratto centrale della traversa, e tale tratto è stato sollecitato all’interno in modo identico nella risoluzione analitica, si può estendere la verifica della bontà dei risultati a tutto il telaio. Qualora si desiderasse una stima più accurata dell’andamento della freccia verticale U2 lungo la traversa, si potrebbe integrare (a tratti) l’equazione della linea elastica (EJ)vIV=p tra i punti B e C, dal momento che tutte le condizioni al bordo (in B e C) sono note dalla risoluzione analitica precedente. Si otterrebbe v(x) di quarto grado (è presente il carico distribuito p). Analisi di convergenza Una veloce analisi di convergenza con infittimenti sempre più spinti della mesh, mostra come si arrivi a convergenza per gli spostamenti già con elementi lineari a dimensione 5mm. Per quanto riguarda gli sforzi la convergenza è più lenta (v. figura), e si ottiene con elementi quadratici a partire da dimensioni di 2.5mm. D’ora in poi si eseguirà l’analisi dei risultati sul modello con mesh ad elementi quadratici –
1mm. Inoltre si visualizzeranno sempre sforzi NON mediati ai nodi.
Errors e Warnings Per le scelte di modellazione fatte, non si hanno warnings, né tantomento errors. Reazioni vincolari Si verifica la correttezza delle reazioni vincolari: Valori previsti delle forze: RF1tot=-630 N OK RF2tot=13306 N OK RF3tot=530 N OK Equilibri alla rotazione in A nelle 3 direzioni: Mx=-547040 Nmm Abaqus=-547040 Nmm My=-1.189*106 Nmm Abaqus=-1.189*106 Nmm Mz=+21.45*106 Nmm Abaqus=+21.45*106 Nmm
0,830,8320,8340,8360,838
lineari -5mm
lineari -2.5mm
lineari -1mm
quadratici -2.5mm
quadratici -1mm
σ max (Mpa)
Deformata e analisi SPOSTAMENTI
Deformata compatibile con I carichi applicati Si valutano gli spostamenti di maggior interesse, cioè quelli in corrispondenza del carrocroce e mandrino, poiché tali spostamenti possono influire sulla qualità della lavorazione, in particolare sulle tolleranze geometriche. U1(direz. x) ≈ 3*10-3 mm (dovuto essenzialmente alle sollecitazioni di fresatura (F2)) U3(direz. z) ≈ 3*10-3 mm (dovuto essenzialmente alle sollecitazioni di fresatura (F1)) Tali spostamenti sono dell’ordine di micron, e quindi accettabili, considerando che per normali lavorazioni di fresatura del legno le tolleranze sono sempre superiori a 10 µm. U2(direz. y)lo spostamento verticale è quello sicuramente più intenso: U2≈15-18 µm. Tale spostamento però, a differenza degli altri due, è quasi esclusivamente dovuto egli effetti della forza peso del telaio e del carrocroce. È quindi (in gran parte) uno spostamento statico, presente anche in condizioni di non sollecitazione esterna della struttura. Pertanto è possibile tenerne conto a priori, correggendo opportunamente i parametri geometrici di lavorazione nel caso tale valore di spostamento venga ritenuto non accettabile.
Si riportano gli andamenti degli spostamenti della traversa nelle 3 direzioni. Osservazione l’andamento di U1 risulta lineare a tratti: infatti la traversa è sollecitata assialmente da soli carichi concentrati (nell’unione con le colonne e in corrispondenza di F2), pertanto subisce deformazione assiale costante a tratti.
Analisi SFORZI L’analisi degli sforzi in un modello così idealizzato ha debole significatività. In ogni caso gli sforzi (anche valutati in Section Points in corrispondenza dei bordi esterni della sezione trasversale della traversa) risultato molto bassi, dell’ordine di 1 MPa. Si riportano i valori dello sforzo assiale in corrispondenza del carrocroce (coordinate
[1720.5,1530,0]) valutati in 3 diversi Section Points (Bottom, Centro, Top) con lo scopo di mostrare l’andamento a farfalla dello sforzo dovuto alle sollecitazioni flettenti (Bottom in trazione, Top in compressione).
Analisi Statica – SHELL Punti critici della modellazione Assegnamento sezioni Si disegna la parte con le quote relative alle dimensioni esterne. In questo modo si assegneranno gli spessori verso l’interno, e la superficie di riferimento rappresenterà il layer SNEG nel modulo Visualisation. Questo accorgimento è dovuto al fatto che la superficie di maggiore interesse (e anche la più sollecitata) è proprio la superficie esterna. Tale procedura genera apparente sovrapposizione
geometrica delle varie superfici, ma ciò non influirà sui risultati: si avranno semplicemente a disposizione più valori in uno stesso punto, associati a layers differenti.
La superficie interna della traversa è invece considerata Middle Surface. Interaction e Load Si simulerà il collegamento del carrocroce al telaio tramite i 4 punti di appoggio sulle guide (2 superiori e 2 inferiori) modellati come superfici, e non come punti concentrati. Anche in questo caso, si sceglie un accoppiamento cinematico “mediato” tra carrocroce e telaio: il vincolo di corpo rigido, per quanto il carrocroce sia “bloccato” sulle guide, risulta eccessivo, in quanto sarà la deformata del telaio a determinare gli spostamenti del gruppo mandrino, e non viceversa. Si applica quindi un coupling di tipo Structural Distributing, con tutti i gdL vincolati Per gli incastri si definiscono invece coupling cinematici sui punti centrali dell’area di
base delle colonne: questo permette di valutare in un unico punto le reazioni vincolari. Si applicano gli stessi carichi del modello beam, ad esclusione del momento torcente di
trasporto Mt, ora non più necessario.
Mesh Si realizza Mesh Strutturata con elementi Shell a 4 nodi (Quad lineari) Il modello permette di scegliere diversi tipi di elementi: Le superfici possono ragionevolmente essere considerate sottili (lo spessore è <1/15
delle altre dimensioni) si possono usare elementi S4R5 a 5 gdL per nodo, che risolvono numericamente la teoria di Kirchoff permettendo di ridurre gli oneri di calcolo
Elementi S4R general purpose a 6 gdL per nodo, capaci di descrivere correttamente sia elementi sottili che spessi. Nell’analisi si utilizzeranno questi elementi.
Elementi sottili quadratici (es. S8R5), non utilizzati per evitare eccessivi oneri di calcolo.
Analisi dei risultati (SHELL) Analisi di convergenza Utilizzando mesh via via più fitte, si è eseguita un’analisi di convergenza, notando che a partire dall’utilizzo di elementi a dimensione <25 mm la variazione dei risultati non è più significativa. D’ora in poi si eseguirà l’analisi dei risultati sul modello con mesh ad elementi S4R lineari – 20
mm. Inoltre si visualizzeranno sempre sforzi NON mediati ai nodi. Errors e Warnings Non compaiono errors, mentre compaiono 2 warnings: Non è possibile attribuire più di un coupling cinematico in ogni nodo (OK) Il coupling cinematico introduce gdL aggiuntivi (OK)
Reazioni vincolari Anche in questo caso la verifica delle reazioni vincolari è indice della corretta modellazione del problema. Valori previsti delle forze: RF1tot=-630 N OK RF2tot=13306 N OK RF3tot=530 N OK Equilibri alla rotazione in A nelle 3 direzioni: Mx=-547040 Nmm Abaqus=-547082 Nmm My=-1.189*106 Nmm Abaqus=-1.189*106 Nmm Mz=+21.45*106 Nmm Abaqus=+21.3*106 Nmm Analisi SPOSTAMENTI SCALA il fattore di scala usato in automatico da Abaqus (4375) risulta eccessivo. Si
sceglie un più ragionevole valore di 1500 Deformata compatibile con i carichi e vincoli imposti; la deformazione più accentuata si
ha in corrispondenza della zona di appoggio del carrocroce
Spostamenti maggiori in cima
alla traversa: effetto dovuto ai momenti di trasporto (i carichi agiscono fuori dal dominio del modello)
U1 ≈ 10-3 mm su tutta la traversa (accettabile)
U2 ≈ -10-2 mm Lo spostamento verticale U2 è più accentuato al centro della traversa (U2≈-25/27 µm in corrispondenza degli appoggi del carrocroce). Anche in questo caso, U2 è dovuto principalmente alle forze peso, e quindi ha natura statica e può essere in parte corretto da un’opportuna regolazione dell’altezza del mandrino, nel caso fosse necessario. Esso in particolare risulta leggermente maggiore del corrispondente nel modello beam, poiché in questo caso si tiene conto della reale geometria della traversa. U3 nel modello shell è possibile notare come i carichi applicati tendano ad inclinare
l’asse del mandrino nel piano yz, con la possibiltà di un peggioramento della lavorazione sul pezzo. Si stima pertanto l’entità di tale inclinazione: U3top=+0.05 mm e U3bottom=-0.01 mm inclinazione di circa 1.34*10-4 rad spostamento U3 del mandrino ≈ 0.021 mm (stesso ordine delle rugosità tipiche)
Spostamenti U3 sulla superficie caricata della
traversa, rispettivamente sul bordo inferiore (bottom), al centro ed in cima (top). Sotto, spostamenti U2 della superficie caricata.
Analisi SFORZI Non ci sono gradienti di sforzi eccessivi tra
un elemento e l’altro: non c’è necessità di infittimenti locali di mesh
Struttura relativamente poco solecitata: sforzi di von Mises <10 MPa
Maggiori sollecitazioni in corrispondenza degli appoggi del carrocroce, come prevedibile
Le superfici interne del telaio (SPOS) risultano correttamente meno sollecitate (sforzi di Von Mises < 8 MPa)
OSSERVAZIONE si confronta l’andamento degli sforzi di von Mises in corrispondenza dell’asse centrale della traversa, nel caso non mediato e nel caso mediato. Si mette così in evidenza il procedimento usato dal software per attibuire ad ogni nodo un unico valore di sforzo, a partire da quelli valutati nei vicini punti di Gauss.
Analisi Dinamica – BEAM Non si hanno informazioni sulle proprietà di smorzamento della struttura. Pertanto si valutano le frequenze proprie della struttura non smorzata (senza carrocroce). I valori ottenuti saranno comunque validi, poiché lo smorzamento sarà sicuramente non elevato. Si valutano le prime 10 frequenze proprie e i modi di vibrare
1°frequenza: 51.6 Hz ≈ 3096 rpm. Le lavorazioni di fresatura del legno sono realizzate
a velocità di rotazione massime di 800-900 rpm. Non si hanno quindi rischi di risonanza della struttura.
I modi di vibrare più significativi sono i primi 3: essi saranno parallelamente presenti anche nel modello Shell
Risposta in frequenza Si analizza il range di frequenze 0-100 Hz (primi 3 modi di vibrare) Si valutano qualitativamente gli spostamenti del punto della traversa corrispondente
alla posizione di carrocroce e mandrino (in questo caso non aver modellato lo smorzamento darà valori delle ampiezze non attenuati, e quindi non verosimili)
Si applicano solo le forze di lavorazione al mandrino (F1 e F2), le uniche che danno sollecitazione dinamica
Si nota come le diverse ampiezze degli spostamenti in risonanza concordano con i rispettivi modi di vibrare
Analisi Dinamica – SHELL Analisi delle prime 10 frequenze proprie e modi di vibrare della struttura non smorzata. Il modello shell è meno idealizzato e più simile al telaio reale: i valori di frequenze
ottenuti sono più significativi
Risultati e confronto con il modello beam Prima frequenza a 31 Hz (≈ 1865 rpm) inferiore a quella del modello beam di circa
20 Hz; la 2° e 3° frequenza quasi coincidono con quelle beam Il primo modo, qualora eccitato dalle sollecitazioni dinamiche di lavorazione,
comporterebbe una vibrazione dei tratti superiori della traversa nella direzione di avanzamento del pezzo in rotazione (direzione z). Ciò potrebbe accentuare l’inclinazione dell’asse del mandrino (già analizzata in ambito statico). Non è possibile però valutarne l’entità poiché non si hanno informazioni sullo smorzamento.
Primi 3 modi di vibrare uguali a quelli beam (il 2° e 3°, a causa della vicinanza delle rispettive frequenze, risultano “invertiti”)
Dal quarto modo di vibrare le differenze con il modello beam sono significative, e dovute alla diversa geometria del modello: nello shell compaiono i modi di vibrare
associati alla deformabilità delle superfici a spessore sottile che compongono la struttura (è riportata la deformata del 6° modo a titolo d’esempio)
Nel modello shell, più complesso, a pari range di frequenze compaiono più modi di vibrare
Risposta in frequenza Per evitare elevato onere computazionale si analizzano intervalli di frequenze centrati sulle prime 3 frequenze proprie, sfruttando la possibilità di inserimento di intervalli multipli nel singolo step “Steady-state Dynamics, Direct” di Abaqus. Si valutano qualitativamente gli spostamenti del punto della traversa corrispondente alla posizione di carrocroce e mandrino Si applicano solo le forze di lavorazione al mandrino (F1 e F2) Anche in questo caso si ottengono in corrispondenza delle risonanze spostamenti
congruenti con i rispettivi modi di vibrare
Buckling Anche se non richiesta, si esegue in modo puramente qualitativo un’analisi all’instabilità elastica della struttura. Di fatto, l’analisi ha come unico scopo la dimostrazione dell’elevata rigidezza della
struttura: si ottengono valori di carico critico elevatissimi (addirittura fisicamente non possibili in campo elastico).
Si sollecita il telaio separatamente con un carico sonda F2=100N in direzione x e con un carico F1=100 N in direzione z, applicati al mandrino.
BEAM Si ottengono autovalori ≈ 106 Pcritico ≈ F2*106 = 108 N (>4500 MPa !!) la struttura non subirà mai fenomeni di instabilità in campo elastico SHELL autovalori più bassi, ma comunque elevati
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