Παρουσίαση 8 : Συνέλιξη Συσχέτιση σημάτων ... · 2018. 5. 30. ·...

Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Παρουσίαση 8η: Συνέλιξη – Συσχέτιση σημάτων – Φασματική πυκνότητα ενέργειας – ισχύος

Περιεχόμενα του μαθήματος (1)

• ΕΝΟΤΗΤΑ 3η Μετάδοση και επεξεργασία σήματος (ΕΡΓΑΣΙΑ 3η)

• Διαμόρφωση, συνέλιξη, συσχέτιση (Συναρτήσεις συσχέτισης, συνέλιξης,

συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας, ιδιότητες, τρόποι υπολογισμού)

• Εισαγωγή στη μετάδοση και επεξεργασία σήματος (Εκπομπή και λήψη,

μετάδοση, διαμόρφωση, αποδιαμόρφωση, πολυπλεξία, μίξη,

ετεροδυνάμωση, παραδείγματα)

Βιβλιογραφία

• ΕΝΟΤΗΤΑ 3η

• Δερμάνης, Α. (1999): Διαστημική Γεωδαισία και Γεωδυναμική, Εκδόσεις Ζήτη.

• Papoulis A. (1977): Signal Analysis, McGraw-Hill eds.

• Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer (1989): Discrete-time signal processing.

Prentice Hall eds.

• Marple, S.L. Jr. (1987): Digital spectral analysis with applications. Signal processing

Series. Prentice Hall eds.

• Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice

Hall eds.

• Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill

eds.

Περιεχόμενα παρουσίασης • Κατηγοριοποίηση συστημάτων

• Φιλτράρισμα σήματος – Συνέλιξη

• Σύγκριση σημάτων – Συσχέτιση

• Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος – συναρτήσεις συμμεταβλητότητας

• Εφαρμογές συνέλιξης – συσχέτισης σημάτων στις γεωεπιστήμες

• Γραμμικά συστήματα και κατηγορίες φίλτρων

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Σύστημα στις γεωεπιστήμες καλείται ένα μαθηματικό μοντέλο περιγραφής

ενός φυσικού φαινομένου

• Το σύστημα σχετίζει τα σήματα εισόδου ή διέγερσης (input or excitation)

με τα σήματα εξόδου ή απόκρισης (output or response)

• Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μετασχηματισμός ή απεικόνιση ή

φιλτράρισμα του σήματος εισόδου στο σήμα εξόδου

Γωνίες Αποστάσεις

Μαθηματικό μοντέλο Ευκλείδειας Γεωμετρίας Φυσικό

Σύστημα

Συντεταγμένες

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Εάν θεωρηθεί ως x το σήμα εισόδου (παρατήρηση στις γεωεπιστήμες) και

ως y το σήμα εξόδου (άγνωστο στις γεωεπιστήμες) τότε ο μετασχηματισμός

xy T=Τελεστής αναπαράστασης ενός καλώς ορισμένου κανόνα μετασχηματισμού x y

Cretan gyre

Ierapetra Anticyclone

Rhodes gyre and Mid-Mediterranean Jet

Mersa-Matruh Anticyclone

Παράδειγμα συστήματος πολλαπλής εισόδου – εξόδου με θόρυβο

Εκτίμηση Δυναμικής Θαλάσσιας Τοπογραφίας από δεδομένα αλτιμετρικών δορυφόρων και γεωδυναμικά

μοντέλα

Andritsanos, V. D. and I. N. Tziavos (2016): Quasi-Stationary SST Estimation in the Eastern Mediterranean Sea using marine gravity, GOCE/GRACE

gravity information and recent altimetry missions through the Multiple Input / Multiple Output System Theory, European Space Agency (ESA) Living

Planet Symposium, Prague

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Ανάλογα με τη φύση του σήματος εισόδου και εξόδου

• Σύστημα συνεχών σημάτων χρόνου/χώρου (continuous-time system)

• Σύστημα διακριτών σημάτων χρόνου/χώρου (discrete-time system)

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Ανάλογα με την εξάρτηση από τη ανεξάρτητη μεταβλητή

• Σύστημα χωρίς μνήμη το σήμα εξόδου σε κάθε χρονική στιγμή (χωρική

συντεταγμένη) εξαρτάται μόνο από το σήμα εισόδου της ίδιας χρονικής

στιγμής (χωρικής συντεταγμένης), π.χ. το ρεύμα που εισέρχεται σε μία

αντίσταση και η τάση που εξέρχεται

• Σύστημα με μνήμη κάθε σύστημα που το σήμα εισόδου επιδρά στο

σύνολο του σήματος εξόδου

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Ανάλογα με τη γραμμικότητα του τελεστή του συστήματος

• Γραμμικός τελεστής Τ και γραμμικό σύστημα όταν ισχύουν δύο ιδιότητες 1. Προσθετικότητα: για κάθε Τx1 = y1 και Τx2 = y2 Τ{x1 + x2} = y1 + y2

2. Ομογένεια: Τ{αx}=αy

• Κάθε σύστημα που δεν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται

μη γραμμικό, π.χ.

2xy =

xy cos=

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Ανάλογα με την επίδραση της αλλαγής της ανεξάρτητης μεταβλητής

• Χρονικά (ή χωρικά) αμετάβλητα συστήματα (time (space) invariant)

εάν μία μεταβολή στην κλίμακα του χρόνου (χώρου) του σήματος εισόδου

προκαλεί την ίδια μεταβολή στο σήμα εξόδου

• Συνεχή χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα

• Διακριτά χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα

( ){ } ( )τ−=τ− txtyT

[ ]{ } [ ]knxkny −=−T

Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Ο τελεστής Τ ενός γραμμικού συστήματος σε συνεχή σήματα δίνεται

• Όταν το σύστημα είναι χρονικά (χωρικά) αμετάβλητο τότε η συνάρτηση h των

δύο μεταβλητών μετατρέπεται σε συνάρτηση μίας μεταβλητής. Ισχύει

• Το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής ονομάζεται συνελικτικό (convolution

integral)

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

== dssxsthtxty ,T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sthsthsssthsthsth −′=−=−−⇒=++ 0,,,, ττ

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−′== dssxsthtxty T

Συνέλιξη – Convolution

• Τι ακριβώς είναι η συνέλιξη δύο σημάτων;

• Σχετίζεται με την ανάλυση των συστημάτων εισόδου – εξόδου

• Είναι η βασική σχέση σύνδεσης των σημάτων εισόδου και εξόδου

Φιλτράρισμα ενός σήματος από ένα άλλο

• Στο χώρο των συχνοτήτων το συνελικτικό ολοκλήρωμα μεταξύ σημάτων

μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό φασμάτων

• Ο υπολογισμός του συνελικτικού ολοκληρώματος εμπλέκει το γινόμενο δύο

σημάτων εκ των οποίων το ένα έχει υποστεί ανάκλαση και μετατόπιση

Συνέλιξη – Convolution

• Αναπαράσταση συνέλιξης ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tgtft

dtgft

fg

fg

*conv

conv

=

ττ−τ= ∫∞

∞−

Το πρώτο σήμα εισέρχεται αυτούσιο στη διαδικασία Το δεύτερο σήμα έχει υποστεί δύο είδη επεξεργασίας Ανάκλαση Μετατόπιση

( ) ( )τ−→τ gg

( ) ( )τ−→τ− tgg

Μεταβλητή το τ t σταθερό μέσα στο ολοκλήρωμα

Σύμβολο συνέλιξης

Συνέλιξη – Convolution

• Αναπαράσταση συνέλιξης g ανάκλαση ως προς τον κατακόρυφο άξονα και μετατόπιση κατά t

Αλλαγή μεταβλητής και ανάκλαση ως προς τον κατακόρυφο

Μετατόπιση κατά t

Ολίσθηση στο άξονα τ και υπολογισμός γινομένου σημάτων (εμβαδό κοινής περιοχής)

Όταν περάσει το σήμα g το αποτέλεσμα της συνέλιξης μηδενίζεται

Συνέλιξη – Convolution

• Αναπαράσταση συνέλιξης ενός σήματος ορθογωνικού παλμού και ενός

εκθετικού σήματος

Συνέλιξη – Convolution

• Αναπαράσταση συνέλιξης δύο σημάτων διαφορετικών ορθογωνικών

παλμών

Θεώρημα συνέλιξης

• Μετατρέπει τη συνέλιξη από τον ένα χώρο σε πολλαπλασιασμό στον άλλο

χώρο. Έστω συναρτήσεις f και g

( ){ } ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )tgtfGFGFtgtf

GtgFtf

** =ωωωω=→

ω=ω= −1FF

FF

Θεώρημα συνέλιξης ως προς το χρόνο

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ϕϕ−ωϕπ

=ωωπ

=

π=ωω→

ω=

ω=

∫∞

∞−

−

−

−

−

dGFGFtgtf

tgtfGFGtgFtf

21*

21

2*

1

1

1

1

F

FFF

Θεώρημα συνέλιξης ως προς τη συχνότητα

Διακριτή συνέλιξη

• Σε διακριτά σήματα το συνελικτικό ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα

• Η συνέλιξη αποτελεί ουσιαστικά το φιλτράρισμα του ενός από τα δύο

σήματα από το άλλο

• Φαίνεται ξεκάθαρα στο χώρο των συχνοτήτων το φάσμα του ενός

σήματος είτε εξασθενεί, είτε ενισχύεται, γενικότερα τροποποιείται

σύμφωνα με τη μορφή του φάσματος του δεύτερου σήματος

[ ][ ] 1,,1,0

1,,1,0−=→∆−=→∆

NkTtkgNkTtkf

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }uGuFkgkftikgifkN

ifg

1F−−

=

==∆−= ∑ *conv1

0

Διακριτή συνέλιξη σε 2D

• Σε σήματα δύο διαστάσεων η διακριτή συνέλιξη έχει τη μορφή

[ ][ ] 1,,1,01,,1,0,,

1,,1,01,,1,0,,−=−=→∆∆

−=−=→∆∆

MlNkTTylxkgMlNkTTylxkf

yx

yx

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ){ }vuGvuFlkglkfyxjlikgjiflkN

i

M

jfg ,,,*,,,,conv

1

0

1

0

1F−−

=

−

=

==∆∆−−= ∑∑

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Γραφική μέθοδος για συνεχείς συναρτήσεις

)(1 tf )t(f2 )τ(f2 −∗ )τt(f2 −

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση πίνακα για διακριτά σήματα

Έστω:

]2351[)(]4321[)(

2

1

−−==

tftf

23514321

−−1− 2− 3− 4−

5 10 153 6

2−

.....

.....

.....1− 3 10 15 .....Τιμές της

συνέλιξης

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση διαγωνίων για διακριτά σήματα

f[0] f[1] f[2] f[3] 1 2 3 4

g[0] -1 -1 -2 -3 -4 g[1] 5 5 10 15 20 g[2] 3 3 6 9 12 g[3] -2 -2 -4 -6 -8

-1 3 10 15 25 6 -8

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Με τη χρήση του MATLAB – Octave (συνάρτηση conv)

>> f=[1 2 3 4] f = 1 2 3 4 >> g=[-1 5 3 -2] g = -1 5 3 -2 >> c=conv(f,g) c = -1 3 10 15 25 6 -8

Διάσταση N = 4

Διάσταση M = 4

Διάσταση N+M-1 = 7

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Με τη χρήση του MATLAB – Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών)

c = -1 3 10 15 25 6 -8

Αποτέλεσμα γραμμικής συνέλιξης

Λάθος αποτέλεσμα. Γιατί;

>> f=[1 2 3 4]; >> g=[-1 5 3 -2]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> c=ifft(F.*G) c = 24 9 2 15

Οι αλγόριθμοι FFT στα διακριτά δεδομένα

θεωρούν τις συναρτήσεις περιοδικές και

υπολογίζουν τη συνέλιξη ως κυκλική ή

περιοδική συνέλιξη (circular or periodic

convolution)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }uGuFkgkftikgifkN

ifg

1F−−

=

==∆−= ∑ *conv1

0

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Επίδραση κυκλικής συνέλιξης στους αλγορίθμους FFT

• Θεωρώντας περιοδικά τα εμπλεκόμενα σήματα υιοθετούν κοινές διαστάσεις

για το αποτέλεσμα της συνέλιξης κυκλικός υπολογισμός κυκλική

συνέλιξη f[0] f[1] f[2] f[3] 1 2 3 4

g[0] -1 -1 -2 -3 -4 g[1] 5 5 10 15 20 g[2] 3 3 6 9 12 g[3] -2 -2 -4 -6 -8

-1 3 10 15

25 6 -8

24 9 2 15

c = 24 9 2 15

Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης

• Με τη χρήση του MATLAB – Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών)

• Προσοχή στις διαστάσεις των σημάτων τα σήματα που εμπλέκονται στη

συνέλιξη με αυτή τη διαδικασία πρέπει να έχουν διαστάσεις ίδιες με το σήμα

της συνέλιξης κυκλική συνέλιξη (circular convolution)

>> f(7)=0; >> g(7)=0; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> c=ifft(F.*G) c = -1.00000 3.00000 10.00000 15.00000 25.00000 6.00000 -8.00000

[ ] [ ]0004321=tf

[ ] [ ]0002351 −−=tg

Προσθήκη μηδενικών τιμών – zero padding

Zero padding

• Στην περίπτωση χρήση διακριτών δεδομένων όταν τα δύο σήματα έχουν

διαστάσεις Ν η γραμμική συνέλιξη έχει διάσταση 2Ν – 1

• Οι αλγόριθμοι FFT θεωρούν την ύπαρξη περιοδικότητας στα σήματα

επομένως και στο αποτέλεσμα της συνέλιξης (φιλτραρίσματος) διάσταση

Ν

• Οι υπολογισμοί οδηγούν στην κυκλική ή περιοδική συνέλιξη γραμμική

συνέλιξη επηρεασμένη από το σφάλμα της παραποίησης

• Αντιμετώπιση τεχνική της προσθήκης μηδενικών τιμών (zero padding)

Zero padding

• Τα σήματα επεκτείνονται με μηδενικά στοιχεία σύμφωνα με

• Βήματα υπολογισμού 1. Δημιουργία των

2. Υπολογισμός των φασμάτων

3. Υπολογισμός του φάσματος της συνέλιξης

4. Υπολογισμός της συνέλιξης με τον αντίστροφο FFT

• Στη περίπτωση αυτή το σήμα της συνέλιξης έχει διαστάσεις 2Ν – 1 ακριβώς

ίδιες με τον υπολογισμό της γραμμικής συνέλιξης, αφού δεν υφίσταται

παραποίηση συχνοτήτων λόγω της υπερκάλυψης των τιμών των σημάτων

[ ] [ ]

−≤≤−≤≤

=′12,0

10,NiN

Niigig[ ] [ ]

−≤≤−≤≤

=′12,0

10,NiN

Niifif

[ ] [ ]igif ′′

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }iguGifuF ′=′′=′ FF[ ] [ ] [ ]uGuFuC =

[ ] [ ]{ }uCic 1F−=

Συσχέτιση – Correlation

• Η συσχέτιση αποτελεί τη διαδικασία σύγκρισης δύο σημάτων

• Η συσχέτιση μοιάζει με την συνέλιξη απουσιάζει η διαδικασίας της

ανάκλασης του σήματος

• Οι διαδικασίες της μετακίνησης, πολλαπλασιασμού και ολοκλήρωσης των

σημάτων ακολουθούν τα βήματα της συνέλιξης

• Η συσχέτιση χρησιμοποιείται ιδιαιτέρως στη σύγκριση σημάτων για την

εκτίμηση της διαφοράς του χρόνου εκπομπής – λήψης

• Εφαρμογές τηλεπικοινωνίες, ραντάρ, γεωδαιτικές (GPS, SLR, VLBI),

επεξεργασίας εικόνας, κ.λπ.

Συσχέτιση – Correlation

• Σύγκριση συνέλιξης – συσχέτισης σημάτων

Συσχέτιση – Correlation • Διαδικασία συσχέτισης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ+τ=== dthxtztRt xhxhcorr

Μετατόπιση κατά t

Ολίσθηση στο άξονα τ και υπολογισμός γινομένου σημάτων

Όταν περάσει το σήμα h το αποτέλεσμα της συσχέτισης μηδενίζεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxtztRt xhxh ⊗===corr

Σύμβολο συσχέτισης

Συσχέτιση – Correlation • Παραδείγματα συσχέτισης σημάτων

Συσχέτιση – Correlation • Αυτοσυσχέτιση (auto-correlation) όταν ένα σήμα συγκρίνεται με τον

εαυτό του

• Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation) όταν συγκρίνονται ανόμοια

σήματα

• Συσχέτιση μέτρο της ομοιότητας δύο σημάτων

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ+τ=== dtxxtztRt xxxxcorr

Θεώρημα συσχέτισης

• Μετατρέπει τη συσχέτιση από τον ένα χώρο σε πολλαπλασιασμό στον άλλο

χώρο. Έστω συναρτήσεις f και g

( ){ } ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )tgtfGFGFtgtf

GtgFtf

⊗=ωωωω=⊗→

ω=ω= − ** 1FF

FF

Θεώρημα συσχέτισης ως προς το χρόνο

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ϕϕ+ωϕπ

=ω⊗ωπ

=

π=ω⊗ω→

ω=

ω=

∫∞

∞−

−

−

−

−

dGFGFtgtf

tgtfGFGtgFtf

**

*

21

21

2

1

1

1

1

F

FFF

Θεώρημα συσχέτισης ως προς τη συχνότητα

Συζυγής μιγαδικός ( ) ( ) ( )ω−ω=ω jIRG*

Διακριτή συσχέτιση

• Σε διακριτά σήματα η διαδικασία της συσχέτισης μετατρέπεται σε άθροισμα

• Η συσχέτιση αποτελεί και αυτή μία διαδικασία φιλτραρίσματος του ενός

σήματος με το άλλο, χρησιμοποιώντας το συζυγή μιγαδικό του φάσματος του

δεύτερου σήματος

• Η χρήση του συζυγούς μιγαδικού οδηγεί τη διαδικασία του φιλτραρίσματος

σε σύγκριση των φασμάτων των δύο σημάτων

[ ][ ] 1,,1,0

1,,1,0−=→∆−=→∆

NkTtkgNkTtkf

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }uGuFkgkftikgifkRkN

ifgfg

*1

0

corr 1F−−

=

=⊗=∆+== ∑

Διακριτή συσχέτιση σε 2D

• Σε σήματα δύο διαστάσεων η διακριτή συσχέτιση έχει τη μορφή

[ ][ ] 1,,1,01,,1,0,,

1,,1,01,,1,0,,−=−=→∆∆

−=−=→∆∆

MlNkTTylxkgMlNkTTylxkf

yx

yx

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ){ }vuGvuFlkglkfyxjlikgjiflkRlkN

i

M

jfgfg ,,,,,,,,corr *

1

0

1

0

1F−−

=

−

=

=⊗=∆∆++== ∑∑

Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης

• Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση πίνακα για διακριτά σήματα όπως η

διαδικασία της συνέλιξης, με αντιστροφή του κινούμενου σήματος

Έστω:

]2351[)(]4321[)(

2

1

−−==

tftf

15324321

−−2− 4− 6− 8−

3 6 95 10

1−

.....

.....

.....2− 1− 5 10 .....Τιμές της

συσχέτισης

Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης

• Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση διαγωνίων για διακριτά σήματα

f[0] f[1] f[2] f[3] 1 2 3 4

g[3] -2 -2 -4 -6 -8 g[2] 3 3 6 9 12 g[1] 5 5 10 15 20 g[0] -1 -1 -2 -3 -4

-2 -1 5 10 25 17 -4

Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης

• Με τη χρήση του MATLAB – Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ){ }uGuFkgkftikgifkRkN

ifgfg

*1

0

corr 1F−−

=

=⊗=∆+== ∑

r = -2 -1 5 10 25 17 -4

Αποτέλεσμα γραμμικής συσχέτισης

Λάθος αποτέλεσμα. Γιατί;

>> f=[1 2 3 4]; >> g=[-1 5 3 -2]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> r=ifft(F.*conj(G)) c = 10 23 16 1

Οι αλγόριθμοι FFT στα διακριτά δεδομένα

θεωρούν τις συναρτήσεις περιοδικές και

υπολογίζουν τη συσχέτιση ως κυκλική ή

περιοδική συσχέτιση (circular or periodic

correlation)

Συζυγής μιγαδικός

Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης

• Με τη χρήση του MATLAB – Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών)

• Zero padding προσθήκη μηδενικών διαστάσεις συσχέτισης N + M – 1

• Διαφορά με συνέλιξη λόγω της ανυπαρξίας ανάκλασης στο κινούμενο

σήμα

>> f=[0 0 0 1 2 3 4]; >> g=[-1 5 3 -2 0 0 0]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> r=ifft(F.*conj(G)) r = -2.00000 -1.00000 5.00000 10.00000 25.00000 17.00000 -4.00000

[ ] [ ]4321000=tf

[ ] [ ]0002351 −−=tgΠροσθήκη μηδενικών τιμών στο τέλος του κινούμενου

Προσθήκη μηδενικών τιμών στην αρχή του σταθερού

Συνέλιξη – Συσχέτιση

• Συσχέτιση και συνέλιξη μοιάζουν απουσιάζει η ανάκλαση στη συσχέτιση

• Συνδέονται σύμφωνα με

• Στη συνέλιξη ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν συμβαίνει το ίδιο στη

συσχέτιση

( ) ( ) ( )tytxtRxy *−= ( ) ( ) ( )txtxtRxx *−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtytytxtxtytytx ⊗≠⊗= **

Συνέλιξη – Συσχέτιση

Εφαρμογές συνέλιξης – συσχέτισης

• Χρήση ραντάρ

Χρήση συνέλιξης φιλτράρισμα θορύβου Χρήση συσχέτισης εύρεση χρονικής / χωρικής διαφοράς πομπού – στόχου

Εφαρμογές συνέλιξης – συσχέτισης

• Εφαρμογές Συμβολομετρίας Μεγάλης Βάσης (Very Long Baseline

Interferometry – VLBI) και Δορυφορικής Τηλεμετρίας Laser (Satellite

Laser Ranging – SLR)

Εφαρμογές συνέλιξης – συσχέτισης

• Δορυφορική αλτιμέτρία – Satellite Altimetry

Εφαρμογές συνέλιξης – συσχέτισης

• Επεξεργασία σήματος GPS

Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία

• Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων – χωροστάθμηση GNSS

γεωειδές

Ορθομετρικό υψόμετρο = = γεωμετρικό υψόμετρο – αποχή γεωειδούς

ελλειψοειδές

πάνω από ελλειψοειδές από μετρήσεις GPS

μετρήσεις βαρύτητας σε κάνναβο → ανωμαλίες βαρύτητας Δg

Η = h − N

Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία

• Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων – χωροστάθμηση GNSS

∫∫ ∆=σ

σψπ QQPQP dgS

GRN )(

4

Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία

• Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων – χωροστάθμηση GNSS

0 0

( , ) ( ) ( , )4

yx TTRN x y S r g d dG ξ η

ξ η ξ ηπ = =

= ∆∫ ∫σε επίπεδη προσέγγιση

22 )()( ηξ −+−= yxrσυνέλιξη

Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία

• Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων – χωροστάθμηση GNSS

0 0

( , ) ( ) ( , )4

yx TTRN x y S r g d dG ξ η

ξ η ξ ηπ = =

= ∆∫ ∫ { } { } { }gSN ∆=⇒ FFF

{}⋅F Διδιάστατος ευθύς μετασχηματισμός Fourier

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΝΤΙ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ!!

Κατηγορίες σημάτων • Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για συνεχή σήματα

• Για αυθαίρετο συνεχές σήμα x(t)

• Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος

• Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός

σήματος

( )∫∞

∞−

= dttxE 2

( )∫−

∞→=

2/

2/

21limT

TT

dttxT

P

Κατηγορίες σημάτων • Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για διακριτά σήματα (σειρές)

• Για αυθαίρετο διακριτό σήμα x[n]

• Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος

• Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός

σήματος

[ ]∑∞

−∞=

=n

nxE 2

[ ]∑−=

∞→ +=

N

NnN

nxN

P 2

121lim

Κατηγορίες σημάτων • Σήματα Ενέργειας και Ισχύος

• Με τη βοήθεια των παραπάνω ορισμών μετριέται το «μέγεθος» ενός

σήματος

• Η ενέργεια ενός σήματος δίνεται από το εμβαδόν της περιοχής που καλύπτει

το τετράγωνο της συνάρτησης

• Αρνητική τιμή της συνάρτησης δεν αφαιρεί ενέργεια για τον υπολογισμό

λαμβάνεται η απόλυτη τιμή

Κατηγορίες σημάτων • Το πρόβλημα με τον υπολογισμό της ενέργειας ενός σήματος παρουσιάζεται

όταν το σήμα δεν διακόπτεται άπειρη ενέργεια

• Στη περίπτωση αυτή η ενέργεια θεωρείται ακατάλληλη για το υπολογισμό του

«μεγέθους» χρήση της ισχύος

• Η ισχύς αντιπροσωπεύει την ενέργεια ανά μονάδα χρόνου (ή χώρου)

Συσχέτιση και σήματα ενέργειας • Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) σε σήματα ενέργειας x(t),

y(t)

• Στη σύγκριση (αυτό-συσχέτιση) σημάτων χρησιμοποιείται συνήθως και ο

συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient)

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ+τ= dtyxtRxy

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ+τ= dtxxtRxx

Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation)

Αυτό-συσχέτιση (auto-correlation)

( )( ) ( )

( )

( )E

tR

dx

dtxxtr xx=

+=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

ττ

τττ

2

( ) 10 =rΣτιγμή ή θέση πλήρους ταύτισης σημάτων

Φασματική πυκνότητα ενέργειας • Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης σε σήμα ενέργειας

φασματική πυκνότητα ενέργειας (energy spectral density – ESD)

• Για σήμα ενέργειας f(t) ισχύουν

• Για t = 0 η ενέργεια δίνεται από τη σχέση

( ) ( ){ } ( )∫∞

∞−

ω−==ω dtetRtRS tjF

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ){ } ( )∫∞

∞−

ω− ωωπ

=ω=

ω=ω

ω↔

deFStR

FS

Ftf

tj2

2

211F

( ) ( )∫∞

∞−

ωωπ

== dSRE210

Συσχέτιση και σήματα ισχύος • Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) σε σήματα ισχύος x(t),

y(t)

• Στη σύγκριση (αυτό-συσχέτιση) σημάτων χρησιμοποιείται συνήθως και ο

συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient)

( ) ( ) ( )∫−

∞→ττ+τ=

2/

2/

1limT

TTxy dtyx

TtR

( ) ( ) ( )∫−

∞→ττ+τ=

2/

2/

limT

TTxx dtxxtR

Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation)

Αυτό-συσχέτιση (auto-correlation)

( )( ) ( )

( )

( )P

tR

dx

dtxxt xx

T

TT

T

TT

=ττ

ττ+τ=γ

∫

∫

−∞→

−∞→

2/

2/

2

2/

2/

lim

lim( ) 10 =γ

Στιγμή ή θέση πλήρους ταύτισης σημάτων

Φασματική πυκνότητα ισχύος • Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης σε σήματα ισχύος

φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density – PSD)

• Για σήμα ισχύος f(t) ισχύουν

• Για t = 0 η ισχύς του σήματος δίνεται από τη σχέση

( ) ( ){ } ( )∫−

ω−

∞→==ω

2/

2/

limT

T

tj

TdtetRtRS F

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ){ } ( )∫−

ω

∞→

− ωωπ

=ω=

ω=ω

ω↔

2/

2/

2

2

lim21 T

T

tj

TdeFStR

FS

Ftf

1F

( ) ( )∫−

∞→ωω

π==

2/

2/

lim,210

T

TT

dSRP

Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος • Οι συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος, τόσο σε σήματα ενέργειας, όσο και

σε σήματα ισχύος αποτελούν σημαντικό εργαλείο στην ανάλυση σήματος

• Επιτρέπουν την ανεύρεση των κυρίαρχων συχνοτήτων (dominant

frequencies) συχνότητες στις οποίες τα συγκεκριμένα δεδομένα

συνεισφέρουν περισσότερο

Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος • Ο ρόλος τους είναι σημαντικός στη θεωρία της πρόγνωσης και του

φιλτραρίσματος

• Επιτρέπουν τον ταχύ υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης και

συμμεταβλητότητας των δεδομένων

Πυκνότητα φάσματος και διακριτά δεδομένα • Διακριτά δεδομένα δύο διαστάσεων συνάρτηση συσχέτισης έχει τη μορφή

• Συνάρτηση συσχέτισης εξάρτηση των δεδομένων σε μία απόσταση (ή

χρονική στιγμή) από τις τιμές σε άλλη απόσταση (ή χρονική στιγμή)

• Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (covariance function) δύο συναρτήσεων

• Για συναρτήσεις ανηγμένες στη μέση τιμή των δεδομένων τους

συνάρτηση συμμεταβλητότητας και συνάρτηση συσχέτισης ταυτίζονται

[ ] [ ] [ ]∑∑−

=

−

=∞→

++=1

0

1

0,

,,11lim,M

i

N

jNMhg jlikgjih

NMlkR

[ ] [ ]( ) [ ]( )∑∑−

=

−

=∞→

µ−++µ−=1

0

1

0,

,,11lim,M

i

N

jghNMhg jlikgjih

NMlkC

[ ] [ ] ghhghg lkRlkC µµ−= ,,

Συναρτήσεις συμμεταβλητότητας • Περιγράφουν τη στατιστική συμπεριφορά σημάτων ως προς την

ανεξάρτητη μεταβλητή τους (χρόνος – απόσταση)

• Ο συντελεστής συσχέτισης σε όρους συναρτήσεων συμμεταβλητότητας

• Μετράει το βαθμό εξάρτησης ανάμεσα στις τιμές δύο συναρτήσεων για

διαφορετικές μεταβολές της μίας συνάρτησης σε σχέση με την άλλη

[ ][ ][ ] 0,

0,0

0,02

=∞∞=

=

hh

hhh

hghg

CC

C

σ

σ Σύμμεταβλητότητα h και g Μεταβλητότητα h

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]gh

hg

gghh

hghg

lkCCC

lkClkr

σσ,

0,00,0,

, ==

Τρόποι υπολογισμού PSD • Δύο κυρίως μέθοδοι υπολογισμού στις πρακτικές εφαρμογές του PSD

• Κλασικές ή μη-παραμετρικές μέθοδοι εφαρμογές αλγορίθμων FFT

μειονέκτημα ο περιοδικός χαρακτήρας που αποδίδεται σε περιορισμένα

διακριτά δεδομένα

• Μοντέρνες ή παραμετρικές μέθοδοι Ανάλυση δεδομένων δίχως

παραδοχές, περιγράφουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δεδομένων και

ενσωματώνουν εκ των προτέρων πληροφορίες για το σήμα και το θόρυβο

Μη-παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD • Άμεση (periodogram) απευθείας μετασχηματισμοί Fourier στα δεδομένα

• Έμμεση (correlogram) Από τον αντίστροφο μετασχηματισμό της

συνάρτησης συσχέτισης

• Σε στοχαστικά δεδομένα μηδενικής μέσης τιμής χρησιμοποιείται η

συνάρτηση συμμεταβλητότητας

[ ] [ ] [ ]{ }vuXvuXMT

NTvuS vu

xx ,,, *=

Ευθύς FFT

Συζυγής μιγαδικός του Χ

[ ] [ ]{ }vuCvuS xxxx ,, F=

Παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD • Χρησιμοποιούνται παραμετρικά μοντέλα περιγραφής του PSD

• Το PSD εξαρτάται από την επιλογή του μοντέλου, το βαθμό ανάπτυξής

του και το είδος των δεδομένων που χρησιμοποιούνται

• Διακρίνονται σε παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης (AR models)

και παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης κινητού μέσου όρου

(ARMA models)

• Διαδικασία προσδιορισμού 1. Επιλογή μοντέλου

2. Προσδιορισμός βέλτιστου βαθμού ανάπτυξης

3. Εκτίμηση συντελεστών Αρχές εκτίμησης παραμέτρων

4. Στατιστική αξιολόγηση μοντέλου

Γραμμικά συστήματα και φίλτρα

• Ο τελεστής Τ ενός γραμμικού συστήματος σε συνεχή σήματα δίνεται

• Όταν το σύστημα είναι χρονικά (χωρικά) αμετάβλητο τότε η συνάρτηση h των

δύο μεταβλητών μετατρέπεται σε συνάρτηση μίας μεταβλητής. Ισχύει

• Το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής ονομάζεται συνελικτικό (convolution

integral)

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

== dssxsthtxty ,T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sthsthsssthsthsth −′=−=−−⇒=++ 0,,,, ττ

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−′== dssxsthtxty T

Γραμμικά συστήματα και φίλτρα

• Στο χώρο των συχνοτήτων το συνελικτικό ολοκλήρωμα έχει τη μορφή

• Το ζεύγος του μετασχηματισμού ονομάζεται συνάρτηση

απόκρισης σε ώθηση (impulse response function) του συστήματος ή

φίλτρο (filter)

• Ειδικότερα η Η(ω) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα ή

συνάρτηση μετάδοσης του φίλτρου

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωω XHYtxthty =↔= *

( ) ( )ωHth ↔

)(tx )(tyHσήμα εισόδου σήμα εξόδου

Γραμμικά συστήματα και φίλτρα

• Φίλτρο γραμμικό σύστημα για το οποίο η συνάρτηση Η(ω) μηδενίζεται σε

ένα τμήμα του πεδίου

• Για

• Συχνότητες φιλτράρονται (απομακρύνονται ή απομονώνονται) και δεν

υπάρχουν στην έξοδο του γραμμικού συστήματος

• Φίλτρα χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα γραμμικά συστήματα με H(ω) = 0 σε

τμήματα συχνοτήτων ω (=αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

( ) ( ) ( ) ( ) 00 ==⇒= ωωωω XHYH

Απλά φίλτρα στις γεωεπιστήμες

Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) :

Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) :

Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) :

Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) :

Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω0

Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω1 < ω2 ή ω1 < ω2 < |ω|

Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω0

Η(ω) = 0 όταν ω1 < |ω| < ω2

)(tx L ∫∞+

∞−−= dssxsthty )()()(

|)(| ωX |)(| ωH

L)(ωX )()()( ωω=ω XHY

| ( ) |Y ω

Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων

• Γεωεπιστήμες διδιάστατα διακριτά δεδομένα συστήματα και φίλτρα δύο

διαστάσεων

• Διδιάστατα φίλτρα παρουσιάζουν μία κυκλική συμμετρία και είναι

γραμμικά και ομοιογενή

[ ] [ ] [ ]vuXvuHvuY ,,, =

Διδιάστατη συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα

Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων

• Παραδείγματα διδιάστατων φίλτρων

Διδιάστατο φίλτρο χαμηλής διέλευσης

Διδιάστατο φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης

Διδιάστατο φίλτρο υψηλής διέλευσης

Ανακεφαλαίωση

• Συστήματα και κατηγοριοποίηση

• Συνέλιξη σημάτων

• Συσχέτιση σημάτων

• Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος

• Γεωδαιτικές Εφαρμογές

• Γραμμικά συστήματα και φίλτρα