View
217
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
1/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 1
BAB I
INTEGRAL TENTU
Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar integral.
2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar integral untuk menyelesaikan
masalah teknik sipil.
Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi-fungsi dasar dengan
menggunakan sifat-sifat integral tentu.
2. Mahasiswa mampu menghitung integral fungsi trigonometri, fungsi pecahan
rasional, dan pengintegralan parsial.3. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah pada penerapan integral untuk luas
daerah, volume benda putar, dan penentuan pusat massa.
1.1 Pendahuluan
Pembahasan integral pada bab ini mencakup sifat-sifat integral tentu, teknik
pengintegralan, dan penerapan integral dalam beberapa masalah teknik mesin.
Pembahasan dilakukan hanya padapenghitungan praktis bidang teknik. Misalnya, pada
subbab tentang sifat-sifat integral tentu tidak dijelaskan dengan terinci persyaratan
secara matematis dari sebuah sifat integral tentu, tetapi diasumsikan bahwa sifat ini
selalu dapat digunakan.
1.2Sifat-sifat Integral Tentu
Integral tentu adalah integral yang memiliki batas (atas dan bawah). Sifat-sifat pada
integral tentu sangat membantu penghitungan integral sehingga langkah-langkah
penghitungannya menjadi lebih pendek. Sifat-sifat integral tentu yang sering digunakandalam masalah-masalah teknik yaitu
1. Jika a konstanta, berlaku contoh 1:
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
2/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 2
2. Untuk maupun , berlaku Contoh2:
3. Sifat penambahan selang, yaitu bagaimanapun urutan a, b, dan c.
Contoh3:
4. Pendiferensialan suatu integral tentu. Jikaxvariabel di dalam selang ,berlaku
Contoh4:
.
5. Nilai rata-rata di dalam integral. Jika csebuah bilangan di dalam selang ,berlaku
denganadalah nilai rata-rata fungsipada interval
Contoh 5: Nilai rata-rata fungsi pada interval [-1, 2] adalah
+
6. Definisi:
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
3/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 3
f(x)fungsi genap jika dan hanya jika .f(x)fungsi ganjil jika dan hanya jika .Teorema Simetri:
Jika f(x)fungsi genap, berlaku Jika f(x)fungsi ganjil, berlaku Contoh 6: Karena merupakan fungsi genap, berlaku
Contoh 7: Karena merupakan fungsi ganjil, berlaku
7. Teorema Periodik:
Jika f(x)fungsi periodik dengan periode p, berlaku
Contoh 8: Karena adalah fungsi periodik dengan periode ,
Latihan 1
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
4/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 4
Andaikan
hitunglah!
1. 6. 7. 8. 9. 10.
Carilah jika11. 12. 13. 14. 15. 16.
17.
1.3Teknik Pengintegralan
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
5/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 5
Pada proses penyelesaian persamaan diferensial dibutuhkan ketrampilan menghitung
integral, khususnya pada penyelesaian persamaan diferensial orde satu. Pada
persamaan diferensial orde dua jika digunakan metode variasi parameter, dibutuhkan
juga ketrampilan menghitung integral itu. Oleh karena itu, pada subbab ini akan
dipelajari teknik-teknik pengintegralan pada tingkat dasar untuk kebutuhan praktis
tersebut.
Dalam terapan, integral dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah-masalah teknik.
Penghitungan integral yang cukup sulit tidak akan dijelaskan, tetapi dituliskan dalam
bentuk tabel kumpulan rumus-rumus. Tabel ini juga memuat rumus integral dasar
untuk mengingat kembali penghitungan integral sederhana.
Tabel 1. Rumus-Rumus Integral
No Rumus Integral
1. ||
2. 3. 4. 5. 6.
7. | | ||
8. || 9.
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
6/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 6
10.
11. || ||
1.3.1Penggunaan Rumus Dasar Integral
Contoh 1: Hitunglah Misalnya
, sehingga
|| | | Contoh 2:
Contoh 3:
Contoh 4:
Contoh 5 :
||
||
1.3.2Integral Fungsi Pecahan Rasional
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
7/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 7
Definisi:
Sebuah fungsi rasional merupakan hasilbagi dua fungsi suku banyak, sehingga dapat
ditulis sebagai
.
Jika derajat p(x) kurang dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi rasional sejati.
Sebaliknya, jika derajatp(x)sama atau lebih dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi
rasional tidak sejati. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah
fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Misalnya,
Fungsi suku banyak mudah diintegralkan, sedangkan fungsi rasional sejati sekalipun
tidak selalu mudah, namun secara teori selalu dapat diintegralkan.
Contoh 1 (Faktor Linear Berbeda):
Fungsi integran (fungsi yang diintegralkan) dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional
dengan pembagi linear sebagai berikut
maka . Dengan pemisalan dan makadiperoleh Jadi,
| | | |
Contoh 2 (Faktor Linear Berulang):
Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
8/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 8
Jadi,
. Dengan pemisalan
dan
maka diperoleh
Jadi,
| |
Contoh 3(Faktor Kuadrat):
Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut
Jadi, . Dengan pemisalan dan diperoleh Jadi,
||
Contoh 4(Faktor Kuadrat Berulang):
Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut
Jadi, . Dengan pemisalan dan diperoleh
Jadi,
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
9/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 9
Contoh 5 (Derajat pembilang sama atau lebih besar dari derajat penyebut):
Fungsi integran disederhanakan dengan melakukan pembagian terlebih dulu karena
fungsi ini merupakan fungsi rasional tidak sejati (derajat polinom pembilang dan
penyebutnya sama).
Hasil pembagiannya adalah
Jadi,
1.3.3Integral Parsial
Teknik pengintegralan yang terakhir dan jarang ditemui adalah pengintegralan parsial.
Rumusnya adalah
Contoh 1: Hitunglah Misalnya
Menurut rumus (1.1)
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
10/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 10
Contoh 2: Hitunglah Misalnya
Menurut rumus (1.1) Untuk menyelesaikan , digunakan pengintegralan parsial lagi, yaitumisalnya
Menurut rumus (1.1) Jadi,
atau
Dengan demikian,
Latihan 2
Hitunglah!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
11/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 11
8. 9. 10.
1.4 Penerapan Integral
Penerapan integral pada subbab ini mencakup luas daerah, volume benda putar, dan
pusat massa. Penghitungan integral pada pusat massa memiliki kesamaan dengan luas
daerah maupun volume benda putar. Oleh karena itu, pemahaman pada bahasan luas
daerah akan membantu pada bahasan volume benda putar dan pusat massa.
1.4.1 Luas Daerah Bidang Rata
Terdapat dua cara menghitung luas daerah bidang rata ini, yaitu dengan mempartisi
daerah secara vertikal atau secara horisontal. Jika mempartisi secara vertikal, bentuk
integralnya dalam dxdan mempartisi secara horisontal bentuk integralnya dy. Sebuah
daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di bagian atas dan kurva kedua di bagian
bawah akan lebih mudah jika diselesaiakan dengan cara mempartisi secara vertikal.
Demikian juga untuk daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di sebelah kanan dan
kurva kedua di sebelah kiri lebih mudah diselesaikan dengan cara mempartisi secara
horisontal.
y
xiy = f(x)
f(xi)-g(xi) y = g(x)
ab x
xi
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
12/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 12
G.1 Penghitungan Luas dengan Partisi Vertikal
Pada gambar G.1 diperlihatkan sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) di bagian
atas dan kurva g(x) di bagian bawah, sedangkan sebelah kiri dibatasi oleh garis x = a
dan sebelah kanan dibatasi oleh garis x = b. Karena kurva yang membatasinya di
bagian atas dan bawah, digunakan cara yang pertama, yaitu mempartisi secara vertikal.
Daerah yang berwarna gelap adalah partisi ke-i. Misalnya daerah yang dibatasi oleh
kurvaf(x), kurvag(x), garis x = a, dan garis x = bdisebutL. Maka, luas partisi ke-i
adalah sehingga
Jika , , sehingga
Contoh 1.
Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan , sumbux, garisx = -1, dan garisx = 2!yx = 2
xi
y= -1 3 x
-y
xi
G.2 Contoh Penggunaan Partisi Vertikal
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
13/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 13
Berdasarkan gambar G.2, penghitungan luas daerah digunakan cara pertama yaitu
mempartisi secara vertikal. Penghitungannya dibagi dua bagian berdasarkan perbedaan
rumus luas partisi, yaitu bagian pertama luas daerah pada nilai xantara danbagian kedua luas daerah pada
. Bagian pertama, luas partisinya adalah
yx dan bagian kedua, luas partisinya adalah - yx.Jadi, luas seluruh daerah di atas
adalah
Contoh 2.
Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan dan !Sketsa daerah ini pada bidangxy, sebagai berikut
y
y2= xi
y1y2
x
y1= G.3. Contoh Penggunaan Partisi Vertikal
Titik potong kedua kurva di titik (0, 0) dan titik (1, 1). Jadi, batas integralnya adalah 0
dan 1. Berdasarkan gambar G.3 penghitungan luas daerah digunakan cara pertama
yaitu mempartisi secara vertikal, dengan 1uas partisi (y1y2) x sehingga luas seluruh
daerah di atas adalah
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
14/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 14
Contoh 3.
Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan dan !y
x1x2 yi
x
G.4 Contoh Penggunaan Partisi Horisontal
Titik potong kedua kurva di titik (1/4, -1) dan titik (4, 4). Pada gambar G.4,
penghitungan luas daerah digunakan cara kedua yaitu mempartisi secara horisontalsehingga batas integralnya adalah -1 dan 4. Luas partisinya adalah (x1x2) y
sehingga luas seluruh daerah di atas adalah
Latihan 3
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini!
1. , , , dan .2. , dan 3. , dan sumbux4. , dan .5. dan
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
15/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 15
6. ||, , , dan sumbuy7. | |dan 1.4.2 Volume Benda Putar
Terdapat tiga bagian bahasan dalam subbab ini, yaitu metode cakram, metode cincin,
dan metode kulit tabung. Seperti ketika menghitung luas daerah, menghitung volume
juga menggunakan pendekatan partisi. Untuk bagian pertama dan kedua digunakan
pendekatan rumus volume tabung atau cakram sebagai berikut.
adalah luas penampang benda pada partisi ke-idan adalah lebar partisi ke-i.Jika sebelah kiri dibatasi oleh garis x = adan sebelah kanan dibatasi oleh garis x = bdan , diperoleh
Rumus di atas diperoleh jika mempartisi secara vertikal. Namun jika mempartisi
secara horisontal maka bentuk integralnya dalam dy.
a. Metode Cakram
Contoh 1.
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva , sumbux, dan garisx = 4 jika R diputar mengelilingi sumbux!Sketsa daerah R pada bidangxy, sebagai berikut
y
xi
0 x 4 x
G.5 Daerah R
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
16/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 16
Daerah R diputar mengelilingi sumbux, diperoleh benda putar
x
0 4 x
x
G.6 Daerah R diputar mengelilingi sumbu x
Gambar G.5 menunjukan daerah dengan sebuah jalur pemotongan (partisi). Jika daerah
ini diputar mengelilingi sumbu x, daerah ini membentuk sebuah benda putar (gambar
G.6) dan jalur ini membentuk sebuah cakram yang volumenya didekati (diaproksimasi)
oleh volume tabung dengan tinggi tabung dan jari-jari alas tabung . Jadi, volumetabung ini adalah
()Jika volume tabung-tabung ini dijumlahkan dan diintegralkan, diperoleh volume benda
putar
Contoh 2.
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D yang dibatasi oleh kurva , sumbuy, dan garisy = 3diputar mengelilingi sumbuy!y y = x3
3
y
y
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
17/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 17
0 x
G.7 Daerah D
x
y
y
x
G.8 Daerah D diputar mengelilingi sumbu y
Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variabel pengintegralan atau
mempartisi benda secara horisontal. Volume partisi adalah volume tabung dengan
tinggi dan jari-jari alas tabung . Jadi, volume tabung ini adalah ( )
maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D adalah
[ ]
b. Metode Cincin
Metode ini digunakan jika partisi volumenya berupa cakram yang di tengahnya terdapat
lubang atau berupa cincin.
Contoh 3.
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A yang dibatasi oleh kurva , dan diputar mengelilingi sumbux!y y = x2
4 x
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
18/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 18
xx2
0 x
G.9 Daerah A
x
G.10 Daerah A diputar mengelilingi sumbu x
Seperti sebelumnya, dalam proses penghitungan volume benda putar ini digunakan
metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi dan diintegralkan. Volume
cincin dengan tebal x, jari-jari luar dan jari-jari dalam adalah * () +
maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A dengan sumbu putar sumbu x
adalah
c. Metode Kulit Tabung
Untuk beberapa kondisi, metode ini lebih mudah digunakan dari pada metode cakram
atau metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua
tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. Jika jari-jari tabung dalam
adalah r1dan jari-jari tabung dalam adalah r2, sedangkan tinggi tabung hmaka volume
tabung adalah
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
19/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 19
Jadi, V= 2. (rata-rata jari-jari).(tinggi).(tebal)
= 2rh r.
Contoh 4.
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B yang dibatasi oleh kurva
, sumbux, garisx= 1, dan garisx= 4 diputar mengelilingi sumbuy!y
y= f(x)
x
y
x x
G.11 Daerah B
Tebal kulit tabung yang dihasilkan setelah daerah B diputar adalah x, jari-jarinya x,sedangkan tingginyay. Karenay = f(x), diperoleh volume kulit tabung yaitu
Jadi, volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B dengan sumbu putar sumbu y
adalah jumlah semua kulit-kulit tabung yang terbentuk darix= 1 hinggax= 4.
[
]
Latihan 4
A. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu x!
1. , sumbux, sumbuy, dan garis .
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
20/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 20
2. , sumbux, dan garis 3. , sumbux, dan sumbuy4. , sumbux, dan sumbuy5. , antara garis , dan B. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu y!
1. , sumbux, dan sumbuy2. , sumbux, dan sumbuy3. , , dan 4. , , dan 5. dan
C. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu yang
diberikan!
1. , , dan , mengelilingi sumbuy2. , x= 0,y = 0 dan mengelilingi sumbuy3. , x= 4, y = 0 dan mengelilingi garisx= 44. , , dan , mengelilingi sumbux5.
,
,
dan
mengelilingi garisy= 3
1.4.3Pusat Massa (Centroid)
Pusat massa pada sebuah garis lurus adalah titik tengah garis lurus tersebut, sedangkan
pada bidang rata beraturan seperti segitiga, persegi, maupun jajaran genjang adalah titik
tengah bidang (untuk persegi dan jajaran genjang merupakan titik perpotongan
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
21/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 21
diagonal-diagonalnya). Secara khusus untuk lingkaran, pusat massanya adalah titik
pusat lingkaran.
Penentuan pusat massa seperti di atas adalah dengan asumsi garis atau bidang ini
memiliki massa yang homogen. Jadi, massa tidak menentukan atau memengaruhi posisipusat massa. Dengan kata lain, garis atau bidang yang memiliki massa yang homogen,
pusat massanya berimpit dengan pusat geometrinya (centroid-nya).
Pembahasan pusat massa pada subbab ini dikhususkan untuk bidang yang memiliki
massa yang homogen. Karena bidang-bidang yang beraturan tidak membutuhkan
integral untuk menentukan pusat massanya, pembahasan hanya untuk bidang yang tidak
beraturan.
Lamina homogen adalah lempeng tipis yang rata dengan kepadatan massa, , konstan.
Jadi, lamina homogen merupakan bidang rata yang memiliki massa yang homogen.Perhatikan ilustrasi dari sebuah lamina pada gambar berikut ini!
yy = f(x)
xi
y = g(x)
(f(xi) + g(xi)) x
a b
xi
G.12 Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal
Titik hitam di tengah-tengah partisi adalah pusat massa dari partisi. Pusat massa partisi
ke-iadalah (xi, (f(xi) + g(xi))). Pusat massa lamina adalah jumlah semua momen dari
partisi dibagi massa lamina. Misalnya madalah massa sebuah partisi maka madalahmassa lamina. Karena
diperoleh
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
22/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 22
Misalnya Mxdan Myberturut-turut adalah momen sebuah partisi terhadap sumbu xdan momen sebuah partisi terhadap sumbuymaka
dan
MakaMxdanMyadalah momen lamina terhadap sumbuxdan momen lamina terhadap
sumbuy, yaitu
dan
Jadi, pusat massa lamina adalah
dengan
Karena konstan, dapat diabaikan dalam penghitungan.
Contoh:
Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva
dan
!
Sketsa daerah ini pada bidangxy, sebagai berikut
y
y2= xiy1=
x
y=
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
23/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 23
G.13 Contoh Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal
Dari gambar G.13 diperoleh
( )Jadi,
( ) ( ) dan
( )( ) ( )
Latihan 5
Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva
1. , , , dan .2. , , dan .3. dan .4. dan 5. dan
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
24/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 24
BAB II
INTEGRAL LIPAT DUA
Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep integral ganda pada daerah persegi panjang
dan menyatakannya sebagai integral berulang;
2. Mahasiswa mampu memahami konsep integral ganda pada daerah sebarang dan
menyatakannya sebagai integral berulang;
3. Mahasiswa mampu menyatakan luas daerah di bidang dan isi benda padat di bidang
sebagai integral lipat dua dan menghitungnya.
Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menyatakan integral ganda pada daerah persegi panjang sebagai
integral berulang dan menghitungnya dengan teorema dasar kalkulus;
2. Mahasiswa mampu menyatakan integral ganda pada daerah sebarang sebagai
berulang dan menghitungnya dengan teorema dasar kalkulus;
3. Mahasiswa mampu menyatakan luas daerah di bidang sebagai integral lipat dua danmenghitungnya;
4. Mahasiswa mampu menyatakan isi benda padat di ruang sebagai integral lipat dua
dan menghitungnya;
2.1Integral Lipat Dua pada Daerah Persegi Panjang
daerah p =
yx
d,cxb,a
x
y
z
b
a
0 c d
z = f(x,y)
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
25/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 25
Arti geometri dari integral lipat dua adalah :
I = ( , ) dAp
f x y ,
yaitu menghitung isi benda padat yang terletak di bawah permukaan fungsi z =
f(x,y) kontinu pada p dan f(x,y) 0pada p, dan di atas persegi panjang p = [a, b]
x [c, d] atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
I = d
c
b
a
)y,x(f dx dy = b
a
d
c
)y,x(f dy dx
Tentukan nilai dari I di bawah ini :
Cara 1.
Penyelesaian :
I =
p
x y dA , dengan p = yx
4,0x2,1
I =
4 2
0 1
x y
dx dy
=
4 22
10
1
2
x y I
dy
=
4
0
y)1(2
1y)4(
2
1dy
=
4
0
y2
1y2 dy
=
4
0
2
1
y
2
3dy
01
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
26/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 26
=
3 42
0
3 2
2 3y I
=
3 4
20
y I
= (22)
3/2(0)
= 8 satuan volume
Cara 2
Penyelesaian :
I =
2 4
1 0
x y dy dx
=
2 3 42
01
2
3x y I
dx
=
2 32 2
1
2 (2 )3
x
dx
=
2
1
x3
16dx
=2
2
1
16 1
3 2x I
= 2
21
83
x I
=3
8(4) -
3
8(1)
=3
8
3
32 =
3
248 satuan volume
01
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
27/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 27
Contoh 2
Penyelesaian :
02. I =2 2cos ( ).cos ( )
p
x y dA , dengan p = 0, 0,x y
x .
I =2 2
0 0
cos ( ).cos ( )x y
dy dx
I =2
0 0
1 1cos ( ). cos(2 )
2 2x y
dy dx
I =2
00
1 1cos ( ) sin(2 )
4 2x y y I
dx
I = 20
1 1cos ( ) sin(2 ) 0
4 2x
dx
I =2
0
1cos ( ).
2
x
dx
I =
0
1 1 1( cos(2 ) ).2 2 2
x
dx
I =0
1 1 1( sin(2 ) ).( )4 2 2
x x I
I =1 1
( ).( )2 2
I =21
4 satuan isi.
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
28/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 28
Latihan Soal
Hitunglah setiap integral lipat dua pada daerah persegi Panjang yang diberikan!
1.I = ( 2 )p
x y dA , dengan p = 0,2 0,1x y
x .
2.I = ( )p
x y dA , dengan p = 0,1 0,1x y
x .
3.I =2( )
p
x y dA , dengan p = 0,1 0, 2x y
x .
4.I =2 2( )
p
x y dA , dengan p = 0,1 0, 2x y
x .
5.I =2
1
( )p
x ydA , dengan p = 0,1 1, 2
x y
x .
6.I =2( )
p
x
x ydA , dengan p = 1, 2 0,1
x y
x .
7.I =
2
2
( )
1p
x y
x
dA , dengan p = 0,1 0, 2
x y
x .
8.I =3
y
x
p
e
x dA , dengan p = 1, 2 0,1x y
x .
9.I =sin( )( ) y
p
sin x y e dA , dengan p = 1
0, 0,
2xy
x
.
10.I =2 2sin ( ).sin ( )
p
x y dA , dengan p = 0, 0,x y
x .
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
29/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 29
2.2Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang
* Arti Integral lipat dua pada daerahsebarang
I = ( , )D
f x y dA adalah menghitung isi benda padat di bawah fungsi Z =
f(x,y) kontinu pada D dan f(x,y) 0 pada D, dan di atas daerah sebarang D.
* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu x,
D = {(x, y)/ a < x
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
30/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 30
I= d
c
)y(
)y(m
)y,x(f dx dy
Contoh 3
Hitung I = D
2 yx dA
dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh y = x2dan garis y = 2x.
Gambar daerah D sebagai berikut
y y = x2
y = 2x
2
1
0 1 2
* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu x,
D = {(x, y)/ 0 < x < 2 , x2< y < 2x}
* I =2
D
x y
dA
I =2
2 2
2
0
x
x
x y dy dx
=2
2 22 2
0
1
2
x
xx y I
dx
=
2
0
22222 )x(
2
1x)x2(
2
1x dx
01
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
31/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 31
= 2
0
4222)x
2
1x()x2x( dx
= 2
0
64 )x21x2( dx
=5
2x
5-
27
0
1
14x I
=5
2(2)
5-
14
1(2)
70
=
14
128
5
64 =
35
128
70
256
70
640896
satuan volume.
* Jika daerah D diproyeksikan terhadap sumbu y,
D = {(x, y)/ 0 < y < 4 ;2
y< x < y }
I =2
D
x y dA
=
4
2
0
2
.
y
y
x y dx dy
=
4
3
0 2
1
3
y
yx y I
dx dy.
=
4
0
33 )y(
2
y
3
1)y()y(
3
1dy.
=
4 42
0
1 1
3 3 8
yy y
dy.
=
4
0
24y
24
1yy
3
1dy.
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
32/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 32
=
4
0
2/5 4y24
1y
3
1dy.
=4
7/2 5
01 2 1 13 7 24 5
y y I
=4
7/2 5
0
2 1
21 120y y I
=4
3 5
0
2 1
21 120y y y I
= 0)4(120
14)4(
21
2 53
=
120
1024
21
256
=2520
2150430720
=2520
9216=
35
128 satuan volume.
Latihan Soal
1.
Diketahui I =
D
xy dA , D daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x , garis y = 2
dan sumbu y.
(a) Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
2. Diketahui I = 2
D
x y dA , D daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, 0 < x < 1, parabola y =
x2
,1 < x < 2, dan garis y = 4.
(a)
Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
33/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 33
(d)
Hitunglah I!
3.
Diketahui I =
2
2
y
D
e
dA , D daerah segitiga yang dibentuk sumbu y, garis 2y = x, dan garis
x = 4.
(a) Gambarkan daerah pengintegralan D.
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx.
(c)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy.
(d) Hitunglah I.
4.
Diketahui I = 2( sin( ))D
y x dA , dengan daerah pengintegralanD = { (x, y)/ 0 < x < 1, 0 < y < x }.
(a)
Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d)
Hitunglah I!
5. Diketahui I = ( )D
xy dA , dengan daerah pengintegralan
D = { (x, y)/ 0 < y < 1, y2< x < y }.
(a) Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
6.
Diketahui I = 2(4 )
D
y dA , dengan daerah pengintegralan
D dibatasi oleh2 2y x dan 2 8 2y x .
(a) Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
34/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 34
7.
Diketahui I = 2 2(3 )
D
x y dA , dengan daerah pengintegralan
D = { (x, y)/ -1 < x < 2, x < y < x }.
(a)
Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
8.
Diketahui I = ( .cos( ))D
x x y dA , dengan daerah pengintegralan
D dibatasi oleh segitiga dengan titik sudut (0,0) (0, ) dan ( , )
(a)
Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
9.
Diketahui I = ( )D
y x dA , dengan daerah pengintegralan
D dibatasi oleh2x y dan x = y + 2 dan x = 4 .
(a)
Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b)
Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
10.
Diketahui I =
2 2( )
( )x y
Dxye
dA , dengan daerah pengintegralanD dibatasi oleh garis y = x , y = 1 dan sumbu y.
(a) Gambarkan daerah pengintegralan D!
(b) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dy dx!
(c) Nyatakan I sebagai integral berulang dengan urutan dx dy!
(d) Hitunglah I!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
35/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 35
Latihan Soal
I =
1
0
1
x
3
2
1ySin dy dx
1
x
3
2
1ysin dy tidak bisa diintegralkan.
Oleh karena tidak bisa diintegralkan, daerah
D = { (x, y)/ 0 < x < 1, x < y < 1 } bila
digambarkan daerah D sebagai berikut
1
* Bila daerah D diproyeksikan terhadap sumbu y
D = { (x, y)/ 0 < y < 1, 0 < x < y2}.
I =
1
0
y
0
32
2
1ySin dx dy , bentuk integral ini dapat diselesaikan ,
=
21 3
00
1
sin 2
yy
x I
dy
= 1 3
2
0
1sin 0
2
yy
dy =
1 1
11
22
2 2sin cos
3 3u du u I
Misal u =
2
1y3
02
x
y
0
D
y = 1
y = x atau y2= x
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
36/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 36
du =2
y3 2
dy atau3
2 du = y
2dy .
=
2
1
cos3
2
1cos3
2
=
1cos
2
1cos
3
2
Latihan Soal
1.
Diketahui I =
10
2
1 1.
y
yx
dx dy .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
2.
Diketahui I =2
2 4
1
cos( ).x
y
y dy dx .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
3.
Diketahui I =
4 2 3
0
1. sin( )2
y
x dx dy .
(a) Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c)
Hitunglah I!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
37/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 37
4.
Diketahui I =
1 2
0 2
sin( ).
x
y
y dy dx .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
5. Diketahui I =4
1 1
2
0
. y
x
x e dy dx .
(a) Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b)
Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c)
Hitunglah I!
6.
Diketahui I =2
1 1
0
. x
y
e dx dy .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b)
Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
7.
Diketahui I =
4
2
0 0
. 4x
y dy dx .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b)
Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
8. Diketahui I =
5
2 2
1 0
3.
x
x y dy dx .
(a)
Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c)
Hitunglah I!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
38/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 38
9.
Diketahui I =2
1
0
.
x
x
y
x dy dx .
(a) Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c) Hitunglah I!
10.
Diketahui I =
1
1 1
1.
xe
xy dy dx .
(a) Nyatakan daerah pengintegralan D kemudian gambarkan!
(b) Ubahlah urutan pengintegralan I!
(c)
Hitunglah I!
2.3
Luas Daerah Dinyatakan dalam Integral Lipat Dua
Contoh soal.
Daerah D dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 4 dan sumbu y dikuadran I
(a) Gambarkan daerah D
(b) Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dengan mengambil daerah D
diproyeksikan terhadap sumbu x
D = { (x, y)/ 0 < x < 2, x2< y < 4 }
01
x0 2-2
y = 4
y
y = x2
D
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
39/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 39
Luas D =2
2 4
0
(1)
x
dy dx , dalam hal ini fungsi z = f(x,y) = 1
= 2
0
4x 2y dx
= 2
0
2x4 dx
=0
2x
3
1x4 3
=
)0())2(3
1)2(4
3
=8
83
=3
824 =
3
16satuan luas
(c)
Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua, dengan mengambil daerah D
diproyeksikan terhadap sumbu y
D = { (x, y)/ 0 < y < 4, 0 < x < y }
Luas D =
4
0 0
(1)
y
dx dy
= 4
0
y
0x dy
= 4
0
( ) 0y dy
=3
2y
3/24
0I
= 0443
2 =
3
16 satuan luas
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
40/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 40
Latihan Soal
1. Diketahui daerah D dibatasi oleh kurva xy = 6 dan garis x + y = 5.
(a)
Gambarkan daerah D !
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
2. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola23x y dan 24x y .
(a)
Gambarkan daerah D !
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
3. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik22y x x dan 22y x x dan garis x = 1.
(a) Gambarkan daerah D !
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik dan3 24y x dan garis y = x.
(a)
Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
41/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 41
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
5. Diketahui daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi oleh lingkaran2 2 1x y
dan2 2 2x y .
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
6. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x dan 22y x dan sumbu x
(a)
Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
7. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2x y dan 22x y dan sumbu y.
(a) Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
42/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 42
8. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x hiperbola
8y
x ,garis y = x 2 dan
sumbu y.
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
9. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola 2x y dan garis x = y + 2.
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
10. Diketahui daerah D dibatasi oleh garis y = 2x dan garis y = 2 dan sumbu y.
(a) Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
11. Diketahui daerah D dibatasi oleh parabola2y x dan garis y = 2x.
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
43/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 43
12. Diketahui daerah D dibatasi pada kuadran pertama oleh grafik 4y x untuk 0 1x
, dan garis y = 4 dan2y x ,untuk 0 2x .
(a) Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
13. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
1
3y x dan y x .
(a)
Gambarkan daerah D .
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x.
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y.
(d) Hitunglah luas daerah D.
14. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi21y x dan sumbu x.
(a) Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
15. Diketahui daerah D dibatasi oleh lingkaran2 2 4x y .
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
44/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 44
16. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi2y x x dan 22y x .
(a) Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinyaterhadap sumbu x!
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
17. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi sin( )y x dan cos( )y x dari1
4x
sampai dengan5
4
x .
(a)
Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
18. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
2
3y x dan 2y x .
(a) Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
19. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi22y x x dan 22y x x .
(a)
Gambarkan daerah D!
(b)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d)
Hitunglah luas daerah D!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
45/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 45
20. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik fungsi 2y x dan 22 7y x x .
(a) Gambarkan daerah D!
(b) Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu x!
(c)
Nyatakan luas daerah D sebagai integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu y!
(d) Hitunglah luas daerah D!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
46/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 46
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial.
2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk
menyelesaikan masalah-masalah teknik.
Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian persamaan diferensial.
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode
pemisahan variabel, substitusi, faktor pengintegralan, dan persamaan Bernoulli.
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua denganmetode koefisien tak tentu tentu dan metode variasi parameter.
4. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah penerapan persamaan diferensial dalam
bidang teknik sipil, seperti mekanika dan lenturan pada batang.
3.1 Pendahuluan
Beberapa masalah teknik sipil dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial,
misalnya masalah mekanika dan lenturan pada batang. Oleh karena itu, materi
persamaan diferensial penting dipelajari oleh mahasiswa jurusan teknik sipil agar dapat
menyelesaikan masalah teknik yang ditekuninya.
Sebuah persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau
diferensial. Orde sebuah persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang
terdapat dalam persamaan. Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan dengan
turunan tertingginya turunan pertama, demikian seterusnya. Sebagai contoh, dapat
dilihat persamaan-persamaan berikut ini.
adalah persamaan diferensial orde satu. adalah persamaan diferensial orde dua.Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah persamaan yang
hanya melibatkan satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (partial
differential equation). Persamaan diferensial yang disertai nilai awal disebut masalah
nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut masalah nilai batas. Nilai awal
sebuah persamaan diferensial adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang
diberikan pada kondisi awal, misalnyay(0) = 2 , y(0) = 1, dan seterusnya. Nilai batas
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
47/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 47
adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi tertentu,
misalnyay(1) = 0 ,y(5) = 12, dan seterusnya.
Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk
atau
berbentuk , dengan C konstanta. Penyelesaian persamaan diferensial adadua macam, yaitu1. penyelesaian umum yaitu penyelesaian yang masih mengandung konstanta,
penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal ataupun nilai batas;
2. penyelesaian khusus yaitu penyelesaian yang tidak mengandung konstanta karena
telah disubstitusi oleh nilai awal dan nilai batas yang diberikan.
Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada orde dan bentuk
persamaannya. Untuk persamaan diferensial orde satu terdapat beberapa metode.Metode penyelesaian yang cocok untuk persamaan pada contoh nomor satu di atas
adalah metode pemisahan variabel. Teknik penyelesaiannya akan diuraikan dibawah
ini.
3.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu
Metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu bergantung pada bentuk
persamaannya. Pembahasan akan diawali dari bentuk persamaan yang paling
sederhana yang dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, sampai pada persamaan
yang agak rumit yaitupersamaan Bernoulli.
3.2.1 Persamaan dengan Variabel Terpisah
Persamaan diferensial ini berbentuk
Penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan metode pemisahan variabel, yaitu:
Contoh 1:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !Jawab:
Langkah 1. Pisahkan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel ,sehinggapersamaan menjadi !
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
48/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 48
Langkah 2. Kemudian lakukan integral pada kedua ruas!
Penyelesaian yang diperoleh adalah .Contoh 2:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !
Jawab:
Langkah 1. Pemisahan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel ,menghasilkanpersamaan
!
Langkah 2. Sebelum menghitung integral, sederhanakan dulu fungsi-fungsi
integran di kedua ruas, sehingga persamaan di atas menjadi !
Setelah diintegralkan dan disederhanakan bentuknya maka penyelesaian yang
diperoleh adalah .
3.2.2 Persamaan yang Direduksi menjadi Persamaan Terpisah
Proses reduksi dari persamaan yang variabelnya tidak dapat dipisahkan menjadi dapat
dipisahkan adalah dengan substitusi. Secara khusus pada subbab ini dibahas persamaan
yang berbentuk sehingga disubstitusi oleh persamaan
Metode ini dikenakan pada persamaan diferensial linear orde satu homogen yaitu
persamaan diferensial yang mengandung variabel x dan variabel y yang berderajat
sama (pangkat tertinggi variabel x dan y sama). Persamaan diferensial homogen ini
disubstitusi oleh persamaan
, dengan
dan oleh turunannya yaitu
sehingga hasilnya dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel.Uraiannya dapat dilihat pada contoh berikut.Contoh 1:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !
Jawab:
Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial,sehinggapersamaan menjadi
atau .
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
49/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 49
Ini adalah persamaan diferensial baru yang dihasilkan setelah substitusi.
Perhatikan, variabelnyasekarang adalah v danx!
Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel!
Penyelesaian yang diperoleh adalah .Contoh 2:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !
Jawab:
Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaandiferensialsehinggapersamaan menjadi .
Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel.
Penyelesaian yang diperoleh adalah .
3.2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaandiferensial linear (persamaan
diferensial yang variabel y-nya berderajat satu) yaitu metode faktor pengintegralan.
Bentuk umum persamaan diferensial linear ini yaitu denganPdan Qmasing-masing konstanta atau fungsi dalamx.
Faktor pengintegralan (Fi) adalah eksponen pangkat integral dari fungsi P terhadap
variabelx. Ditulis
dengan atau konstanta.Langkah-langkah penyelesaian:
1. KalikanFidengan semua suku pada persamaan diferensial, yaitu .
Perhatikan bahwa ruas kiri ekivalen dengan
sehingga diperoleh
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
50/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 50
jika kedua ruas dikalikan dengan dx.
2. Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh
.
Karena setiap penyelesaian langkah-langkahnya sama, untuk selanjutnya setelah
diperolehFi, persamaan yang diperoleh pada langkah kedua dapat langsung digunakan.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini!
Contoh 1:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !
Jawab:
Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum
persamaan diferensial Linear, diperolehfungsi dan fungsi .Langkah 2. TentukanFi yaitu . Perhatikan, walaupun integral tak
tentu, hasil akhirnya tidak ditambahkan konstanta C.
Langkah 3. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen denganpersamaan
Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan dengan metode pengintegralan parsial.
Penyelesaian yang diperoleh adalah .Contoh 2:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !Jawab:
Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal sesuai dengan bentuk umum
persamaan diferensial Linear. Hal ini pentingdilakukan untuk
mendapatkan fungsi Pdan Qdengan tepat. Untuk persamaan diferensial
pada contoh ini, bagi setiap sukunya dengan x sehingga persamaan
diferensial menjadi
Langkah 2. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan
diferensial Linearmaka diperoleh fungsi dan fungsi .
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
51/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 51
Langkah 3. TentukanFi yaitu .Langkah 4. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen dengan
persamaan
Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.
Penyelesaian yang diperoleh adalah .Contoh 3:
Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu !
Jawab:
Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan
diferensiallinearmaka diperolehfungsi dan fungsi .Langkah 2. TentukanFi yaitu .Langkah 4. Tuliskan persamaan , dalam hal ini ekivalen dengan
persamaan Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.
Karena hasil integral pada langkah 5 ada dua macam, penyelesaian yang diperoleh jugadua macam, yaitu atau .
3.2.4Persamaan Bernoulli
Bentuk umum Persamaan Bernoulli adalah denganPdan Qmasing-masing konstanta atau fungsi dalamx, dan nbilangan asli.
Langkah-langkah Penyelesaian:
1. Bagi setiap suku persamaan diferensial dengan .2. Misalnya , kemudian tentukan .3.
Substitusi persamaan diferensial dengan y dan dy pada langkah 2 sehingga
diperoleh persamaan yang baru yaitu
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
52/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 52
4. Selesaikan dengan metode faktor pengintegralan.
Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini!
Contoh 1:
Jawab:
Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum
persamaan bernoulli, diperoleh . Bagilahpersamaan diferensialdengan , diperoleh
Langkah 2. Misalnya ,diperoleh
Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1,
diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu
Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor
pengintegralan.
Penyelesaian yang diperoleh adalah
Contoh 2:
Soal:Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu
Jawab:
Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal dalam bentuk umum persamaan
bernoulli, untuk mendapatkan nyang tepat, yaitu
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
53/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 53
cos diperoleh . Bagilah persamaan diferensial ini dengan , diperoleh
Langkah 2. Misalnya ,diperoleh
Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1
sehingga diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu
Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor
pengintegralan.
Penyelesaian yang diperoleh adalah
sin
Latihan 1
A. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu berikut ini
dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
54/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 54
B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini
dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !
5
Latihan 2
A. Tentukan Penyelesaian Umum dari Persamaan Diferensial Orde Satu
berikutini dengan Metode Faktor Pengintegralan atau Metode untuk
Persamaan Bernoulli !
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
55/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 55
B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut
ini dengan metode faktor pengintegralan atau metode untuk persamaan
bernoulli !
3.3 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu
Pada subbab ini akan dibahas penerapan persamaan diferensial orde satu untuk masalah
mekanika (gerak lurus) dan tekanan udara.
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Rumuskan model matematika soal yang diberikan, yaitu dalam bentuk
persamaan diferensialorde satu!
2. Tentukan penyelesaian umum dan khususnya!
3. Jawab pertanyaan pada soal!
Contoh 1. (Gerak Lurus)
Soal:
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak tempuh pada saat tdinyatakan oleh
y, kecepatan benda pada saattdinyatakan olehv. Jika diketahui kecepatan benda linear,yaitu . Jika , Tentukan jarak tempuhy pada saat !Jawab:
1. Persamaan diferensial orde satu dengan syarat 2. Penyelesaian: .
Jadi, penyelesaian umum: Penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusi syarat pada penyelesaian
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
56/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 56
umum maka , atau . Jadi, penyelesaian khusus: 3. Jadi, atau jarak tempuh pada saat adalah 65 m.
Contoh 2: (Tekanan Udara)Soal:
Dari pengamatan diketahui bahwa makin tinggi jarak dari permukaan laut maka makin
rendah tekanan udaranya. Laju perubahan tekanan sebanding dengan tekanan pada
ketinggian tersebut. Misalkan tekanan permukaan laut dinyatakan oleh . Jikatekanan pada ketinggian 6000 m adalah dari tekanan permukaan laut, tentukan
tekanan udara pada setiap ketinggian!
Jawab:
Misalnyay= tekanan danx= ketinggian dari permukaan laut maka adalah tekananpada setiap ketinggian.Diketahui: Syarat:
Syarat awal: tekanan permukaan laut . (knegatifkarenaymengecil ketikaxmembesar)
Ditanyakan: Penyelesaian:
||
Jadi, penyelesaian umumnya adalah Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh . Jadi, .....(*)substitusi syarat lain pada (*), diperoleh .Jadi, penyelesaian khususnya adalah .Dengan demikian, tekanan udara pada setiap ketinggian (pada ketinggian x) adalah
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
57/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 57
dengan tekanan permukaan laut.
Latihan 3
1. Volume air dalambejana adalah V m3 pada kedalaman h m. Jika kecepatan
perubahan V terhadap h adalah , tentukan volume air didalambejana pada kedalaman 2 m !
2.
Sebuah mobil mulai dalam keadaan diam kemudian berjalan hingga mencapai
kecepatan 100 m/detik selama 30detik. Jika percepatannya konstan, berapakah
jarak yang ditempuh selama 30 detik itu?
3. Sebuah roket ditembakkan lurus ke atas dengan kecepatan Jika setelah 20 detik mesin roket itu dimatikan, berapakah ketinggian yang
dicapai roket itu sebelum jatuh kembali? (tekanan udara diabaikan).
3.4 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum dari Persamaan Diferensial Orde Dua adalah
(3.1)
Jika persamaan (3.1) disebut persamaan diferensialorde dua takhomogen,tetapi jika persamaan ini disebut persamaan diferensialorde duahomogen.
Sebagai contohpersamaan diferensialorde dua tak homogenyaitu persamaan . Pada contoh ini, berarti dan
3.4.1Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
(3.2)Persamaan diferensialorde dua homogendiselesaikan dengan dua langkah yaitu:
1.
Tuliskan persamaan karakteristik dari persamaan (3.2), yaitu: .Kemudian tentukan akar-akarnya (.
2. a. Jika dan real, penyelesaian homogennya adalah b. Jika dan real, maka penyelesaian homogennya adalah
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
58/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 58
c. Jika (bilangan kompleks), maka penyelesaian homogennya
adalah
Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua homogen ini adalah
penyelesaian homogennya.
Contoh 1:
Tentukan penyelesaianpersamaan diferensialorde dua homogen !Jawab:
Persamaan karakteristiknya adalah . Karena kedua akarnya real danberbeda, yaitu
dan 1, maka penyelesaian homogennya adalah
.
Jadi penyelesaian umumnya adalah .Contoh 2:
Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensialorde dua tak homogenatau
tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut ini!
Jawab:
Karena ruas kiri persamaan ini sama dengan contoh 1 maka penyelesaian umumnya
adalah .Untuk memperoleh nilai dari konstanta A dan B, substitusikan syarat awal pada
penyelesaian umum. Karena , diperoleh . Karena dan , diperoleh . Jadi dan .Jadi,penyelesaian khususnya adalah .
3.4.2Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen
Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua tak homogen adalah gabungan
dari penyelesaian homogen dan integral khusus ( ditulis .Penyelesaian ini disebut juga penyelesaian umum lengkap.
Penyelesaian homogen diperoleh dengan cara yang telah dijelaskan pada subbab 3.4.1.
Persamaan diferensialorde dua tak homogen dimisalkan sebagai persamaan
diferensialorde dua homogen dalam hal ini. Integral Khusus dapat diperoleh dari
metode koefisien tak tentu ataupun metode variasi parameter. Kedua metode ini
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
59/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 59
memiliki kekurangan dan kelebihan. Metode koefisien tak tentu terbatas hanya untuk
integral khusus berbentukfungsi eksponen, polinom, trigonometri (sinus dan cosinus)
ataupun kombinasi ketiganya. Pada metode variasi parameter, bentuk fungsi integral
khususnya tidak terbatas pada tiga jenis fungsi tadi.Akan tetapi, dalam metode ini
digunakan penghitungan integral pada bagian akhir penyelesaiannya.
a. Metode Koefisien Tak Tentu
Untuk memperoleh dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan pada ruaskanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel berikut!
Tabel 2 Bentuk Umum Integral Khusus
No Bentuk Umum dari 1.
Eksponenx, yaitu 2. Polinom berderajat n 3. atau 4. atau
Bentuk umum dari adalah pemisalan untuk integral khusus . Jika telahditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertamadan turunan keduanya. Setelah itu, hasilnyadisubstitusikan pada persamaan
diferensialorde dua tak homogen sehingga diperoleh yang sesungguhnya.Contoh 1:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensialorde dua tak homogen
!Jawab:
Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian homogennya adalah . Karena ruas kanan merupakan polinom berderajat dua, pemisalan untuk adalah , , dan .Substitusikan
padapersamaan diferensialorde dua tak homogendi atas,
diperoleh
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
60/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 60
sehingga .Jadi,
Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua
tak homogen di atas adalah
.Contoh 2.
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensialorde dua tak homogen
!Jawab:
Bentuk homogen persamaan diferensialorde dua tak homogen di atas adalah . Jadi, persamaan karakteristiknya adalah . Akar-akar dari persamaankarakteristik ini . Menurut langkah 2 penyelesaian homogennya adalah
. Bentuk
pada persamaan
diferensial ini berupa fungsi trigonometri dengan sehingga dengan bantuan tabeldiperoleh pemisalan yaitu , , dan .Substitusikan pada persamaan diferensial tak homogen, diperoleh
sehingga Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua
tak homogen di atas adalah
.
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
61/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 61
Contoh 3:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensialorde dua tak homogen
!Jawab:Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah
.Karena ruas kanan merupakan kombinasi dari polinom berderajat satu dan eksponen,
pemisalan untuk adalah , , dan .Substitusikan pada persamaan diferensialorde dua tak homogen diatas, diperoleh
sehingga
.
Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua
tak homogen di atas adalah
.Contoh 4:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensialorde dua tak homogen
!Jawab:
Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah
.Karena ruas kanan merupakan eksponenx, pemisalan untuk adalah
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
62/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 62
Hasil dari substitusi pada persamaan diferensialorde dua takhomogen di atas adalah
Hasil dari substitusi ini tidak diperoleh simpulan apa pun karena bentuk umum samadengan salah satu suku pada penyelesaian homogen. Jadi, harus dipilih pemisalan yang lain, yaitu (dikalikan dengan variabelnya). Jika masih sama dengansuku lain pada penyelesaian homogen, dikalikan dengan variabelnya satu kali lagi.Pada soal ini, pemisalan tidak lagi sama dengan salah satu suku pada
penyelesaian homogennya sehingga tidak perlu diganti dengan pemisalan yang lain.
Hasil dari substitusi pada persamaan diferensialorde dua takhomogen di atas adalah
sehingga diperoleh .Jadi, .Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua
tak homogen di atas adalah
b. Metode Variasi Parameter
Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah
sebagai berikut
1. hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen. Misalnya penyelesaian
homogen adalah , maka determinan Wronskinya adalah
2. hitung integral khususnya, yaitu
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
63/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 63
Contoh:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen ini dengan
metode variasi parameter
!
Jawab:
Dari contoh 2 pada pembahasan metode koefisien tak tentu, diketahui bahwa
penyelesaian umumpersamaan diferensialorde dua homogen adalah .
Penyelesaian ini merupakan penyelesaian homogen, maka determinan Wronskinya
adalah
dan integral khususnya adalah
||
Dengan demikian,penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensialorde dua
tak homogen di atas adalah
|| atau
||
Latihan 4
A. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak
homogen berikut ini!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
64/84
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
65/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 65
dengan apercepatan.
Pada permukaan bumi, massa mdihubungkan dengan bobot W oleh W = mgdengang
percepatan gravitasi bumi.
Contoh:
Mobil yang sedang melaju dengan kecepatan 144 km/jam tiba-tiba direm,
mengakibatkan percepatan negatif konstan 10 m/det2, berapa lamakah mobil itu akan
berhenti dan berapa jarak yang ditempuh mobil sampai berhenti ?
Jawab:
Misalnya jarak tempuh mobil setelah direm pada waktu t detik adalahy(t). Waktu dan
posisi saat mobil di rem diasumsikan pada t = 0dany = 0. Jadi,
Karena kecepatan mobil 144 km/jam = 40 m/det, kecepatan awal mobil
Selanjutnya, percepatan mobil diartikan sebagai turunan kedua yaitu
(3.3)Dengan demikian, model matematika masalah tersebut adalah
dengan syarat awal Persamaan (3.3) merupakan persamaan diferensialorde dua tak homogen. Jika
diselesaikan dengan cara seperti pada subbab sebelumnya diperoleh persamaan
karakteristik sehinggapenyelesaian homogennya adalah . Jikaintegral khususnya diperoleh dengan metode koefisien tak tentu, pemisalan untuknya
adalah
sehingga . Oleh karena itu, . Jadi,penyelesaian umumnyaadalah
Dengan mensubstitusikan syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh dan B
sehingga diperoleh penyelesaian khusus
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
66/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 66
Persamaan diferensialorde dua tak homogen(3.3) dengan nilai dapatdiselesaikan dengan integral langsung. Cara ini akan memberikan penyelesaian khusus
yang sama.
Ketika mobil berhenti , turunan pertama penyelesaian khusus memberikanpersamaan dan diperoleh Jadi, mobil hanya bergerak selama4 detik setelah direm dan jarak tempuh setelah direm adalah .
b. Lenturan Batang
Sebuah batang datar (horisontal) yang diletakan pada sumbu xsistem koordinatxydan
ditumpu dengan berbagai cara akan melentur akibat pengaruh beban tegak. Kurva
lenturan (deflection curve) batang yang dinamakan kurva elastik (elastic curve)
diberikan olehy=f(x) denganydiukur positif ke arah bawah. Kurva ini ditentukan dari
persamaan
denganMmomen lintas di xdan besarnya sama dengan jumlah aljabar momen semua
gaya ke satu sisi x. Momen ini positif untuk gaya dalam arah positif dan sebaliknya
negatif.
Untuk lenturan kecil,yjuga kecil dan persamaan hampiran berikut ini digunakan.
BesaranEIdisebut ketegaran lentur (flexural rigidity) dan umumnya konstan. Eadalah
modulus YoungdanIadalah momen inersia penampang batang terhadap sumbunya.
Contoh:
Suatu batang yang panjangnya L ditopang pada kedua ujungnya. Tentukan a. lenturan
jika batang memiliki berat konstan sebesar W per satuan panjang, b. lenturan
maksimum!
x Lx
G.13 Batang yang Ditopang pada Kedua Ujungnya
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
67/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 67
Jawab:
a. Berat total batang adalah WL sehingga setiap ujungnya menumpu berat WL.
Misalnya, x jarak dari ujung kiri A pada batang. Momen lentur M pada x
ditentukan oleh gaya pada sebelah kirix.
1. Gaya WL di A memiliki momen WLx.
2. Gaya berat batang ke sebelah kirixsebesar Wxdan momen Wx(x/2) = Wx2
Dengan demikian, jumlah momen lentur dixadalah Wx2 WLx. Jadi,
EIy = Wx2 WLx.
Penyelesaian persamaan ini terhadap syarat batasy(L/2) = 0 dany(0) = 0 adalah
b. Karena momen lentur di sebelah kananxadalah
maka lenturan maksimum terjadi padax = L/2, yaitu 5WL4/384EI.
Latihan 5
1. Sebuah mobil mencapai kecepatan 80 km/jam, tanpa kecepatan awal. Jika
percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh dalam waktu 10 menit?
2. Sebuah bola menggelinding di permukaan tanah dengan kecepatan awal 35
kaki/detik. Jika bola mengalami perlambatan sebesar 7 kaki/detik2, berapakah
jarak tempuh bola hingga berhenti?
3. Sebuah batang dengan panjang L, salah satu ujungnya ditanam ke dalam dinding
secara mendatar dan pada ujung lainnya bekerja sebuah gaya sebesar W.Tentukanlah
a. lenturannya,
b. lenturan maksimum jika berat batang diabaikan!
4. Sebuah batang dengan panjang L ditumpu pada ujung-ujungnya dan diberi
beban sebesar W kg pada bagian tengahnya. Tentukanlah
a. lenturannya,
b. lenturan maksimum jika berat batang diabaikan!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
68/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 68
5. Sebuah batang dengan panjang L dan berat w kg/m ditumpu pada ujung-
ujungnya. Tentukanlah
a. lenturannya,
b. lenturan maksimum!
6.
Sebuah batang dengan panjang 2.500 mm diberi beban pada ujungnya sebesar
15 N. Tentukanlah lenturan maksimumnya jika momen inersia batang
85.000.000 mm4dan modulus elastisitasnya 200 N/mm2!
7. Sebuah batang dengan panjang 10.000 mm diberi beban secara merata sebesar
15 N/mm. Tentukan persamaan lenturan dan lenturan maksimumnya jika
momen inersia batang 98.000.000 mm4dan modulus elistisitasnya 300 N/mm2!
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
69/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 69
Rangkuman
1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu
Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk atauberbentuk , dengan C konstanta. Metode penyelesaian persamaandiferensial orde satu dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Tabel 3 Rangkuman Metode Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu
Metode dan Bentuk Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
(1)
Penyelesaian
(2)
Keterangan
(3)
1. Persamaan dengan variabelterpisah
Lakukan pemisahan variabel,kemudian integralkan.
Lihat subbab
3.2.1
2. Persamaan yang direduksi
menjadi persamaan dengan
variabel terpisah
a. Substitusi dengan dan
b. Selesaikan dengan metode
pemisahan variabel
Lihat subbab
3.2.2
3. Persamaan diferensiallinear
orde satu
a. Hitunglah faktor
pengintegralan (Fi):
b. Hitunglah:
Lihat subbab
3.2.3
(1) (2) (3)
4. Persamaan bernoulli
a. Bagi persamaanbernoulli
dengan b. Substitusi persamaan
diferensial dengan
Lihat subbab
3.2.4
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
70/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 70
dan sehingga menjadi
persamaan diferensial linear.
c. Selesaikan dengan metode
faktor pengintegralan
2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum dari persamaan diferensial orde dua adalah
(1)dengan dan .2.1Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Persamaan diferensialorde dua homogen adalah persamaan (1) dengan .Persamaan ini diselesaikan dengan dua langkah, yaitu
1. tuliskan persamaan karakteristik, yaitu
kemudian tentukan akar-
akarnya (,2. a. jika dan real, penyelesaian homogennya adalah ,
b. jika dan real, penyelesaian homogennya adalah ,c. jika (bilangan kompleks), penyelesaian homogennya adalah
Penyelesaian umum dari persamaan diferensialorde dua homogen ini adalah
penyelesaian homogennya.
2.2Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen
Persamaan diferensialorde dua takhomogen adalah persamaan (1) dengan .Penyelesaiannya adalah . Penyelesaian ini disebut juga penyelesaianumum lengkap.
Terdapat dua metode untuk menentukan .a. Metode Koefisien Tak Tentu
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
71/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 71
Untuk memperoleh dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan pada ruaskanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel 2 pada subbab 3.4.2
Bentuk umum dari
adalah pemisalan untuk integral khusus
. Jika telah
ditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertamadan turunan keduanya. Setelah itu, hasilnyadisubstitusikan pada persamaan
diferensialorde dua tak homogen sehingga diperoleh yang sesungguhnya.b. Metode Variasi Parameter
Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah
sebagai berikut
1. hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen. Misalnya penyelesaian
homogennya adalah , maka determinan Wronskinyaadalah 2.
hitung Integral Khusus, yaitu
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
72/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 72
BAB IV
TRANSFORMASI LAPLACE
Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep trasformasi Laplace dan tujuan khusus
definisi transformasi Laplace;
2. Mahasiswa mampu memahami konsep sifat linier transformasi Laplace dan
menggunakan tabel standar transformasi Laplace;
3. Mahasiswa mampu memahami perluasan transformasi Laplace dan menggunakan
tabel perluasan transformasi Laplace;
4. Mahasiswa mampu memahami invers transformasi Laplace dan turunan trasformasi
Laplace;
Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menyelesaikan trasformasi Laplace dengan menggunakan
definisi dan sifat linier transformasi laplace;
2. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu
integral tak wajar;
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan perluasan transformasi Laplace dengan
menggunakan tabel dan sifat linier transformasi Laplace;
4. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu
integral tak wajar;
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan invers trasformasi Laplace dengan menggunakan
tabel transformasi Laplace, perluasan tabel trasformasi Laplace;6. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu
integral tak wajar;
7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan
transformasi Laplace;
8. Mahasiswa mampu menghitungnya menggunakan teorema dasar kalkulus yaitu
integral tak wajar;
4.1 Definisi Transformasi LaplaceMisalkan f (t) adalah fungsi waktu dengan t 0 bila dikalikan dengan e-st, dengan
s>0kemudian diintegralkan terhadap peubah t mulai dari 0 sampai dengan tak
hingga bila hasilnya ada disebutF(s).
F(s) = (f (t)) = 0
( ) stf t e dt
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
73/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 73
4.2 Sifat Linear Transformasi Laplace
(1) [k f(t)] = k [(f(t))]
(2) (f(t) + h (t) - g (t)) = (f(t) + (h(t) - (g(t))
Contoh soal:
1. Jika f(t)=1
(f(t) ) = 0
( ) stf t e dt
Sehingga((1) )= 0
(1) ste dt
= 0
lim 1a
st
ae dt
=0
limst a
a
eI
s
=
. .0
lims a s
a
e e
s s
=. 0
1 1
. .s
s e s e
=. 0
1 1
. .ss e s e
=1
0s
Jadi ((1) )=1
s
2 . Jika f(t)=k, k=konstanta
(f(t))= 0
( ) stf t e dt
(k)= 0
( ) stk e dt
= 0
lim
a
st
ak e dt
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
74/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 74
=.
0
lim
a
s t
ak e dt
=
1
.k s
Jadi ((k) ) =k
s
3.Jika f(t)=eat
.0
. s tf t f t e dt
. . .0
.a t a t s t e e e dt
. ( )0
.a t s a t e e dt
=( )
0
lima
s a t
ae dt
=( )
0lim
( )
s a t a
a
eI
s a
=
( ) ( )0
lim( ) ( )
s a a s a
a
e e
s a s a
=( ) ( )0
1 1lim
( ) ( )s a a s aa s a e s a e
=( ) ( )0
1 1
( ) ( )s a s as a e s a e
= 1
0s a
Jadi (eat) =
1
s a
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
75/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 75
Tabel 4 Transformasi Laplace
No. f (t) ( f (t))
1 11s
2 k
k
s
3 eat
1
s a
4 e-at
1
s a
5 t1 2
1!
s
6 t2 3
2!s
7 tn ( 1)
!n
n
s
8 sin (at) 2 2a
s a
9 cos( at)2 2
s
s a
10 sinh (at) 2 2a
s a
11 cosh (at)2 2
s
s a
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
76/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 76
Contoh soal:
01.(e2t
+ sin 4t - cos h 2t )
= (e2t
) + (sin 4t) - (cosh 2t)
=2 2 2 2
1 4
2 4 2
s
s s s
=2 2
1 4
2 16 4
s
s s s
02. (10 sin 4t .cos 2t )
= (5.(2sin 4t.cos 2t))
= 5.(2sin 4t.cos 2t)
= 5.(sin 6t+sin 2t)
=5. (sin 6t) + 5.(sin 2t)
=2 2 2 2
6 25. 5.
6 2s s
2 2
30 10
36 4s s
03. (6sin2
(10t))
= (-3(-2sin2
(10t))
= -3(-2sin2
(10t))
= -3(cos(20t)-1)
= -3(cos 6t) + (3)
=2 2
33( ) ( )
6
s
s s
=2
3 3( ) ( )
36
s
s s
Latihan Soal
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
77/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 77
Tentukan nilai dari Transformasi Laplace di bawah ini :
01. (4e-7t
- 5 sinh( 3t) + 5 cos (2t))
02. ((6 - 3 cos
2
(4t))
03. ((8 + sin (10t)) (2 - 4 cos (2t))
04. (6sin2
(10t)-20 cos2(4t))
05. ((4+sin (3t)) (2cos (8t))
06. ((10-4 cos (6t)) (2 sin (2t))
07 (2+10 sin (6t))2
08. (4sin(4t)+2 cos (3t))2
09. (20 cos2(6t) + 10 sin
2(4t))
10.(6 sin (4t )+ 2 cos (6t)) (2sin (2t)
4.3 PerluasanTransformasiLaplace
Jika F(s) = ( f(t)) = 0
( ) stf t e dt
F(s-a) = . .0
. ( ) . ( )a t a t st e f t e f t e dt
F(s+a) = . .0
. ( ) . ( )a t a t st e f t e f t e dt
Tabel 5 Perluasan Transformasi Laplace
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
78/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 78
No. f(t) (1. . .a t ne t
1
!
( )nn
s a
2. . 1.a te t
2
1!
( )s a
3. . 2.a te t
3
2!
( )s a
4. . .sinh( )a te ct
2 2( )
c
s a c
5. . .cosh( )a te ct
2 2( )
s
s a c
6. . cosh( )a te ct
2 2( )
s
s a c
7. . sin( )a te ct
2 2( )
c
s a c
8. . cos( )a te ct
2 2( )
s
s a c
Contoh soal perluasan transformasi Laplace
Tentukan nilai Transformasi Laplace di bawah ini :
01.
02.
=
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
79/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 79
==
=
=
Tentukan nilai Transformasi Laplace di bawah ini :
02.
=
= =
Latihan soal perluasan transformasi Laplace.
Tentukan nilai Transformasi Laplace di bawah ini :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 4.4 Invers Transformasi Laplace
Jika (F(t)) = F (s)
(F(t)) = -1(F(s))
Contoh 1: Jika (e2t
) =
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
80/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 80
e2t= -1(
)
Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :
2. -1( + - ) =
-1(
+ -1 - -1 ) =8
-1(
+ 3-1 - 4 -1 ) =Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :
3. -1(
) = -1(
)= 8
-1(
)
Latihan soal
Tentukan nilai Transformasi Invers Laplace di bawah ini :
1. -1
(
+
-
) =
2. -1( + - ) =3.
-1(
+
-
) =
4. -1
(
+
-
) =5.
-1(
+
-
) =
6. -1
(
) =7 .
-1(
) =
8. -1( ) + -1( ) =
9. -1
(
) + -1(
) =10.
-1() - -1(
) =
4.5 Turunan Transformasi Laplace
8.e2t
.cos 3t
8 e4t + 3 sin 4t - 4
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
81/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 81
Jika F(s) = ( f(t)) = ' ' .
0
. .s ty y e dt
Selesaikan dengan integral parsial dengan. .s tu e .. .s tdan du se dt ' .dv y dt .dan v y
Sehingga ' ' .0
. .s ty y e dt
' ' .0
lim . .a
s t
ay y e dt
' . .0
0
lim[ ( ) ] lim .( ) .aa
s t s t
a ay y e I y se dt
' .. 00
lim( ) . .a
s t
s ta
yy I s y e dt
e
' . 0lim[( ) ( )] [ ( )].s aa
y yy s y
e e
' [(0) ( )] [ ( )].y y s y
'
[ ( )] .y s y y
Jika F(s) = ( f(t)) = .
0
'' ''. .s ty y e dt
Selesaikan dengan integral parsial dimana. .s tu e .. .s tdan du se dt '' .dv y dt . 'dan v y
Sehingga .
0
'' ''. .s ty y e dt
.
0
'' lim ''. .a
s t
ay y e dt
. .0
0
'' lim[ '( ) ] lim '.( ) .aa
s t s t
a ay y e I y se dt
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
82/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 82
.. 00
''' lim( ) ( '. ).
as t
s ta
yy I s y e dt
e
. 0' '
'' lim[( ) ( )] [ ( ) ].s a
a
y yy s s y y
e e
2'' [(0) ( ')] [ ( ) ].y y s y sy
2'' ( ) '.y s y sy y
Tabel 6 Turunan Transformasi Laplace
No. F (t) ( F(t))
1'y
' ( ) .y s y y
2 ''y
2'' ( ) '.y s y sy sy
3'''y
3 2''' ( ) . ' ''y s y s y sy y
4''''y
4 3 2'''' ( ) ' '' '''.y s y s y s y sy y
Contoh Soal
01.
Tentukan solusi dari persamaan diferensialberikut dengan menggunakan
transformasi laplace, dari '' .y y t ,dengan y(0) = 1dan '(0) 2y
Ruas kiri dan ruas kanan dinyatakan dalam fungsi laplace
( '' ) ( ).y y t
( '') ( ) ( ).y y t
2
2
1( ) (0) '(0) ( )s y sy y y
s
2
2
1( ) (1) ( 2) ( )s y s y
s
2
2
1( 1) ( ) 2s y s
s
2 2 2 2
2 1( )
1 1 ( 1)
sy
s s s s
1 1 1 1
2 2 2 2
2 1[ ( )] [ ] [ ] [ ]
1 1 ( 1)
sy
s s s s
1 1 1
2 2 2 2
2 1( ) [ ] [ ] [ ]
1 1 ( 1)
sy
s s s s
7/21/2019 File Dari Pak Adolf
83/84
Matematika Terapan 2 untuk Jurusan Teknik Sipil 83
1 1 1 1
2 2 2 2
2 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 ( 1)
sy
s s s s
cos( ) 2sin( ) sin( )y t t t t
cos( ) 3sin( )y t t t
Latihan soal
Tentukan solusi dari persamaan diferensial ber
Recommended