Filtro de Kalman - ene.unb.br · Filtro de Kalman Adaptado de: Aguirre, Cap. 9 - Introdução à...

FiltrodeKalman

Adaptadode:Aguirre,Cap.9- IntroduçãoàIndentificação deSistemas,

Ed.UFMG,3ªedição

IdentificaçãodeSistemasDinâmicos

Introdução

• ModeloLinearDiscreto

mk

rk mediçõeseentradadesequência

PxIniciaisCondições

ÂÎÂÎ yu00 ,ˆ

FunçãodeProbabilidade

FunçãodedensidadedeProbabilidadeGaussiana

Combinaçãode2sensores

Medidasdeummesmoinstrumento

NovaNomenclatura

OCasoDinâmico

MovimentodoObjeto:e.g.AproximaçãodeEuler

OFiltrodeKalman Discreto

LeideMovimento– propagaçãodovetordeestadosestimado:

NovaNomenclatura

Predição

Correção

MatrizdeCovariância

• Errodeestimaçãonapropagação

Matrizdecovariânciade

...

EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição

Correção

11

Acesso às variáveis deestado:• Asvariáveis deestado não podem ser medidas diretamente• Qualamelhor estimativa - “ótima”apartir dasmedidas?

MeasuringDevices Estimator

MeasurementErrorSources

SystemState(desiredbutnotknown)

ExternalControls

ObservedMeasurements

OptimalEstimateofSystemState

SystemErrorSources

System

BlackBox

Abordagens:i)derivar y,ii)Modelo Malha aberta,iii)Observador,iv)Filtro deKalman

http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf

Gaussiana

http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf

http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf

http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf

http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf

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Exemplo:Apenas moodelo dePosition

Moving Still

[Welch&Bishop]

Exemplo:ModelPosição eVelocidade

[Welch&Bishop]

Moving Still

Filtro Multi-modelo

[Welch&Bishop]

[Welch&Bishop]

FiltroMulti-modelo

Results:MultipleModels

[Welch&Bishop]

Filtro deKalman

https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição

Correção

EstimaçãodeParâmetros- FiltrodeKalmanFiltro deKalman

ïïî

ïïí

ì

-=

-+=

+=

--

--

---

1'

1

1'

1

11

'1

]ˆ[ˆˆ][

kkkkk

kkkkkk

kkkkkkk

PKPP

yK

RPPK

y

qyqq

yyy

îíì

+=+G+F=

-

-

kkk

kkkk

vHxywuxx

1

1

Parâmetros

Sinaisïî

ïí

ì

FF-FF=

G+F-+G+F=

+FFFF=

--

----

---

'1

'1

1111

1''1

''1

)]ˆ([ˆˆ][

kkkk

kkkkkkk

kkkk

PHKPP

uxHyKuxxRHPHHPK y

ïî

ïíì

+=

=

-

-

kkTkk

kk

ey 1

1

qy

qq

ModelonoEspaçodeEstados

EstimaçãodasMatrizesdeEstado

!𝒙$%&= Φ𝒙$+Γ𝒖$ + 𝒘$ 𝒚$ = 𝐻𝒙$+𝒗$

Parâmetros

ïïî

ïïí

ì

-=

-+=

+=

--

--

---

1'

1

1'

1

11

'1

]ˆ[ˆˆ][

kkkkk

kkkkkk

kkkkkkk

PKPP

yK

RPPK

y

qyqq

yyyïî

ïíì

+=

=

-

-

kkTkk

kk

ey 1

1

qy

qq

VariantesdoFiltrodeKalman

Variáveis

Matrizes Est.

a)

b)

c)

Estimaçãoconjuntadeestadoseparâmetros

Matrizaumentada:

Dificuldade:

- Dimensão daMatriz deCovariância P– Estabilidade!!

OFiltrodeKalman EstendidoModelonão-linear

Jacobianas: