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Fisicoquímica Molecular Fisicoquímica Molecular BásicaBásica
Cuarto SemestreCuarto Semestre
Carrera de QuímicoCarrera de Químico
Tema 3Tema 3
FQMB-2006 Tema 3 2
Clase en TitularesClase en Titulares
La ecuación de ondas monodimensional Soluciones de la ecuación de ondas Soluciones oscilatorias Modos normales de vibración Ecuaciones de ondas en más dimensiones.
FQMB-2006 Tema 3 3
Ondas en una dimensiónOndas en una dimensión
De Broglie determinó que las partículas tenían asociadas ondas, o, mejor dicho, que las partículas elementales (i.e. el electrón) se comportaban a veces exhibiendo propiedades de partícula y a veces de onda, dependiendo del experimento
FQMB-2006 Tema 3 4
Ondas en una dimensiónOndas en una dimensión
Consecuentemente, es necesario que repasemos los conceptos ya aprendidos sobre ondas para aplicarlos a los fenómenos atómicos
Empecemos por definir nuestro sistema unidimensional en la forma que se muestra en la figura
u(x,t)
x0 l
Cuerda fija Cuerda fija por ambos por ambos extremosextremos
FQMB-2006 Tema 3 5
Ondas en una dimensiónOndas en una dimensión
Recordemos que el Recordemos que el máximo desplazamiento máximo desplazamiento de la cuerda en la de la cuerda en la dirección perpendicular a dirección perpendicular a x es llamada x es llamada amplitudamplitud
La función u(x,t) mide el La función u(x,t) mide el desplazamiento del punto desplazamiento del punto x de la cuerda (entre los x de la cuerda (entre los
extremos 0 y extremos 0 y ll) al tiempo ) al tiempo tt
u(x,t)
x0 l
Cuerda fija Cuerda fija por ambos por ambos extremosextremos
FQMB-2006 Tema 3 6
Ecuación de ondasEcuación de ondas La ecuación que determina el comportamiento de la cuerda es una
ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP)ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP) que tiene la forma
donde v es la velocidad con que la perturbación se propaga en la cuerda
La EDP tiene dos variables independientesvariables independientes x y t Es una EDP lineallineal y a variables separablesvariables separables
u(x,t)
x0 l
22u(x,t)u(x,t)
xx22
22u(x,tu(x,t))
tt22
______________ ______________==11
vv22
____ (1)(1)
FQMB-2006 Tema 3 7
Ecuación de ondasEcuación de ondas
La ecuación
debe cumplir además con las condiciones de contornocondiciones de contorno
u(0,t) = 0u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(l,t) = 0 t t
dado que la cuerda tiene fijos sus extremos y, por lo tanto, la amplitud de movimiento ahí es nula
22u(x,t)u(x,t)
xx22
22u(x,tu(x,t))
tt22
______________ ______________==11
vv22
____ (1)(1)
(2)(2)
FQMB-2006 Tema 3 8
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
La ecuación de ondas es a variables separables. Podemos entonces buscar la solución como
u(x,t) = X(x) T(t)u(x,t) = X(x) T(t)
Tendremos así que la ecuación de ondas
se transforma en
22u(x,t)u(x,t)
xx22
22u(x,tu(x,t))
tt22
______________ ______________==11
vv22
____
dd22T(t)T(t)
dxdx22
dd22X(x)X(x)
dtdt22
______________ ______________==11
vv22
____T(t)T(t) X(x)X(x)
(3)(3)
(1)(1)
(4)(4)
FQMB-2006 Tema 3 9
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
Podemos ahora dividir ambos lados de la ecuación por
u(x,t) = X(x) T(t)u(x,t) = X(x) T(t)
y obtenemos
Ambos lados de la igualdad dependen de distintas variables (x y t) que, a su vez, son independientes entre sí. Por lo tanto, cada lado de la ecuación puede variar independientemente del otro. La única forma en que la igualdad sea siempre válida, para cualquier valor de x y t es que ambos miembros sean iguales a una constante (es decir, una función que no depende ni de x ni de t)
dd22T(t)T(t)
dxdx22
dd22X(x)X(x)
dtdt22
______________ ______________==11
vv22
____XX11(x)(x) TT11(t)(t)
(3)(3)
(5)(5)
FQMB-2006 Tema 3 10
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
Es decir
donde K es la constante de separación. Obsérvese entonces que tenemos dos ecuaciones ahora, que tienen respectivamente la forma
dxdx22
dd22X(x)X(x)______________ = K == K =XX11(x)(x)dd22T(t)T(t)
dtdt22
______________11
vv22
____ TT11(t)(t)
______________dd22X(x)X(x)
dxdx22 K X(x) = 0K X(x) = 0
______________dd22T(t)T(t)
dtdt22 K vK v22 T(t) = T(t) = 00
(6)(6)
(7)(7)
(8)(8)
FQMB-2006 Tema 3 11
Las ecuaciones (7) y (8) son ecuaciones diferenciales ordinariasecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), linealeslineales (las funciones y sus derivadas están sólo a la potencia 1) y a coeficientes constantes coeficientes constantes (los coeficientes son 1, -K y -Kv2 , ninguno de ellos depende de las variables x y t)
Nótese que, en general, la solución de EDOs como la (7) y la (8) va a depender del valor de la constante K. Por eso, vamos a discutir las soluciones para estas ecuaciones en función del valor de la constante de separación. Consideremos primero el caso en que K=0
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
______________dd22X(x)X(x)
dxdx22= 0 = = 0 = ______________dd22T(t)T(t)
dxdx22 (9)(9)
FQMB-2006 Tema 3 12
Obviamente, las soluciones de las ecuaciones (9) son
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
X(x) = aX(x) = a11x + bx + b11 T(t) = a T(t) = a22t +bt +b22
(10)(10)
Ahora bien, no es difícil de demostrar que para que se cumplan las condiciones de contorno de las ecuaciones (2), todos los coeficientes en las ecuaciones (10) deben ser nulos. Obtenemos entonces que, si K=0, la única solución de las ecuaciones (7) y (8) es la así llamada solución trivial solución trivial
X(x) = 0 T(t) = 0 X(x) = 0 T(t) = 0 x,t (11)(11)
Esto, evidentemente, no nos sirve de mucho
FQMB-2006 Tema 3 13
Si, por el contrario, K > 0, entonces ambas ecuaciones tienen la forma
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
(12)(12)
La solución general de una ecuación con esta forma, es siempre
______________dd22Y(y)Y(y)
dydy22 kk22 Y(y) = 0 Y(y) = 0
Y(y) = cY(y) = c11 e e kyky + c + c22 e e kyky (13)(13)
lo que puede comprobarse por sustitución directa. Nótese que cada uno de los términos en el lado derecho de la ecuación, satisfacen la EDO (12) por sí mismos. El hecho de que la EDO es lineal posibilita que la combinación linealcombinación lineal de ambos términos sea también una solución
FQMB-2006 Tema 3 14
Veamos que pasa, para la función X(x), cuando aplicamos las condiciones de contorno (2)
Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas
(14)(14)
Manipulando en la ecuación (15) introduciendo la ecuación (14) tenemos
X(0) = 0 = cX(0) = 0 = c11 + + cc22 X(l) = 0 = cX(l) = 0 = c11 e e klkl + c + c22 e e klkl (15)(15)
X(l) = 0 = cX(l) = 0 = c11 e e klkl + c + c22 e e klkl = c= c11 ( (e e klkl - - e e klkl ) ) tt (16)(16)
Esta condición puede satisfacerse sólo si C1=0, de donde surge, por la ecuación (14), que C2=0, es decir ... tenemos nuevamente la solución trivial. Desilusionante, no?
FQMB-2006 Tema 3 15
El caso mas interesante es cuando K es negativo. Tenemos entonces
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
(17)(17)
La solución general es similar a la anterior
______________dd22Y(y)Y(y)
dydy22 kk22 Y(y) = 0 Y(y) = 0
Y(y) = cY(y) = c11 e e iikyky + c + c22 e e iikyky (18)(18)
Estas soluciones son funciones complejasfunciones complejas, donde interviene el símbolo ______
i = i = (19)(19)
Atención
FQMB-2006 Tema 3 16
Recordemos que un número complejo puede siempre escribirse como
Disgresión por los Disgresión por los números complejosnúmeros complejos
z = x + i y x = Re(z) y = Im(z)z = x + i y x = Re(z) y = Im(z)
donde x e y son números reales que se acostumbran llamar parte realparte real y parte imaginariaparte imaginaria del número complejo. Reglas importantes son
(20)(20)
z* = x z* = x i y i y complejo conjugado de zcomplejo conjugado de z(21)(21)
zz11 + z + z22 = (x = (x11 + x + x22) + i (y) + i (y11 + y + y22)) adiciónadición (22)(22)
zz11 z z22 = x = x1122 y y11
22 + i (x + i (x11yy22 + y + y11xx22)) multiplicaciónmultiplicación (23)(23)
zz11/z/z22 = z = z11 z z22* / z* / z22 z z22** división división (24)(24)
FQMB-2006 Tema 3 17
Algo muy importante es lo que pasa al multiplicar un complejo y su conjugado
Disgresión por los Disgresión por los números complejosnúmeros complejos
z z* = xz z* = x22 + y + y22 + i (xy - yx) = x + i (xy - yx) = x22 + y+ y22
Generalmente se escribe
(25)(25)
||z|| = z z* = x||z|| = z z* = x22 + y + y22 norma de znorma de z(26)(26)
|z| = ||z|||z| = ||z||½ ½ = (x= (x22 + y + y22) ) ½½ módulo de zmódulo de z(27)(27)La importancia de estas definiciones surgirá mas adelante
FQMB-2006 Tema 3 18
Los números complejos pueden Los números complejos pueden representarse como vectores en un plano representarse como vectores en un plano definido por las componentes reales e definido por las componentes reales e imaginarias del número complejo. Este imaginarias del número complejo. Este plano se llama elplano se llama el plano complejoplano complejo
Fijándonos en la figura, tenemosFijándonos en la figura, tenemos
r = |z|r = |z| (28)(28)
tantan = Re(z)/Im(z) = Re(z)/Im(z) (29)(29)
lo que implicalo que implica
z z = x + iy = r = x + iy = r coscos + r + r sensen ==
= r (= r (coscos + i + i sensen) = r ) = r ee ii(30)(30)
Digresión por los números Digresión por los números complejoscomplejos
. (x,y)(x,y)
Re(zRe(z))
Im(zIm(z))
rr
FQMB-2006 Tema 3 19
T(t) = cT(t) = c33 e e iivtvt + c + c44 e e iivtvt C C coscos t + D t + D sensen tt (34)(34)
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones (6-8) cuando (6-8) cuando K = K = escrito así para que sea evidente que K escrito así para que sea evidente que K es negativo). Tenemos es negativo). Tenemos
______________dd22X(x)X(x)
dxdx22 22 X(x) = 0 X(x) = 0
______________dd22T(t)T(t)
dtdt22 22vv22 T(t) = 0 T(t) = 0
(31)(31)
(32)(32)
Escribiendo la solución en la forma (18) y usando la relación Escribiendo la solución en la forma (18) y usando la relación (30) (30)
X(x) = cX(x) = c11 e e iixx + c + c22 e e iixx A A cos cos x + B x + B sensen xx (33)(33)
=v
FQMB-2006 Tema 3 20
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la ec. (2) ec. (2)
X(0) = X(0) = A A cos cos 0 + B 0 + B sensen 0 = A = 00 = A = 0 (35)(35)X(l) = X(l) = A A cos cos ll + B + B sensen ll = B = B sensen ll = 0 = 0 (36)(36)
La ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) La ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) nos dejaría únicamente la solución trivial. nos dejaría únicamente la solución trivial. PEROPERO, la ec. (36) se , la ec. (36) se satisface también si satisface también si
ll = n = n n = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... (37)(37)No incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solución No incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solución
trivial. trivial. Las condiciones de contorno provocan la cuantización Las condiciones de contorno provocan la cuantización de de
FQMB-2006 Tema 3 21
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
La solución general para X(x) es entonces La solución general para X(x) es entonces
XXnn(x) = (x) = B B sensen n n x n=1,2,3,... x n=1,2,3,... (38)(38)____ll
Tenemos que resolver ahora la ecuación (32) que tiene la Tenemos que resolver ahora la ecuación (32) que tiene la forma forma
______________dd22T(t)T(t)
dtdt22 nn
22 T(t) = 0 T(t) = 0
n=1,2,3,... n=1,2,3,... (39)(39)
donde introdujimos la ecuación (37) en la forma donde introdujimos la ecuación (37) en la forma
nn = = nnvvn n v / v / ll n=1,2,3, ... n=1,2,3, ... (40)(40)
FQMB-2006 Tema 3 22
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
La solución general es simplemente La solución general es simplemente
TTnn(t) = D (t) = D coscos nnt + E t + E sensen nnt n=1,2,3,... t n=1,2,3,... (41)(41)
Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y E (las constantes de integración), por lo que lo dejaremos E (las constantes de integración), por lo que lo dejaremos entonces así. Con (38) y (41) podemos entonces escribir entonces así. Con (38) y (41) podemos entonces escribir
uunn(x,t) = X(x,t) = Xnn(x)T(x)Tnn(t) = B (t) = B sensen n nx {D x {D coscos nnt + E t + E sensen nnt} t} ==
= {a = {ann coscos nnt + bt + bnn sensen nnt} t} sensen n nxx
n=1,2,3,... n=1,2,3,... (42)(42)
ll
ll
______
______
FQMB-2006 Tema 3 23
u(x,t) = u(x,t) = u unn(x,t) =(x,t) =
= = (a (ann coscos nnt + bt + bnn sensen nnt) t) sensen n nx x n=1,2,3,... (43)n=1,2,3,... (43)
Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias
Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado que las condiciones iniciales para cada solución (con n que las condiciones iniciales para cada solución (con n diferente) podrían ser diferentes. Dado que cada una de las diferente) podrían ser diferentes. Dado que cada una de las ecuaciones (42) es una solución de la ecuación diferencial ecuaciones (42) es una solución de la ecuación diferencial lineal (1), la solución más general posible es la suma de todas lineal (1), la solución más general posible es la suma de todas las soluciones individuales las soluciones individuales
ll______
n=1n=1
n=1n=1
FQMB-2006 Tema 3 24
Modos Normales de Modos Normales de VibraciónVibración
Una simplificación trigonométrica simple nos permite escribir Una simplificación trigonométrica simple nos permite escribir
u(x,t) = u(x,t) = u unn(x,t) = (x,t) = A Ann coscos ( (nnt + t + nn) ) sensen n nx x
n=1,2,3,... n=1,2,3,...
(44)(44)
ll______n=1n=1 n=1n=1
Los ALos Ann serán las amplitudes de cada solución, mientras que los serán las amplitudes de cada solución, mientras que los nn se llaman se llaman ángulos de faseángulos de fase de cada solución. Cada solución de cada solución. Cada solución uunn(x,t) representa un (x,t) representa un movimiento armónicomovimiento armónico de diferente de diferente frecuencia y se llama frecuencia y se llama modo normalmodo normal de vibración. El modo de vibración. El modo normal con n=1 se llama normal con n=1 se llama fundamentalfundamental o o primer armónico primer armónico , , para n=2 tenemos el segundo armónico o para n=2 tenemos el segundo armónico o primer sobretonoprimer sobretono, , etc. En la siguiente gráfica se muestran algunos de los etc. En la siguiente gráfica se muestran algunos de los armónicos.armónicos.
FQMB-2006 Tema 3 25
Modos NormalesModos Normales
nodos
FQMB-2006 Tema 3 26
Modos NormalesModos Normales
Los puntos de la cuerda que permanecen fijos Los puntos de la cuerda que permanecen fijos durante el movimiento de ésta, se llaman durante el movimiento de ésta, se llaman nodosnodos
Nótese que para el n-ésimo sobretono hay n-1 Nótese que para el n-ésimo sobretono hay n-1 nodos (el estado fundamental no tiene nodos)nodos (el estado fundamental no tiene nodos)
Las ondas (fundamental y sobretonos) que se Las ondas (fundamental y sobretonos) que se obtienen en la forma de la ecuación (44) se obtienen en la forma de la ecuación (44) se llaman llaman ondas estacionariasondas estacionarias, justamente porque , justamente porque la posición de los nodos está fija en el tiempola posición de los nodos está fija en el tiempo
Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y abajo (como un fundamental con menor abajo (como un fundamental con menor distancia!)distancia!)
FQMB-2006 Tema 3 27
Ondas ViajerasOndas Viajeras
El segundo El segundo armónico oscila armónico oscila dos veces más dos veces más rápido que el rápido que el primero, por lo que primero, por lo que cuando se suman cuando se suman esto provoca la esto provoca la típica onda viajera, típica onda viajera, donde hay dos donde hay dos máximos de máximos de diferente altura, diferente altura, dando la imagen dando la imagen de que la onda “se de que la onda “se mueve”, p.ej. una mueve”, p.ej. una olaola
FQMB-2006 Tema 3 28
Superposición de ondasSuperposición de ondas
Una superposiciónUna superposiciónde ondas que de ondas que viajanviajanen dirección en dirección opuestaopuestasuman sus suman sus amplitudesamplitudes
Dos ondas de Dos ondas de distinta distinta frecuencia frecuencia viajando en el viajando en el mismo sentido se mismo sentido se interfiereninterfieren
Dos ondas de Dos ondas de la misma la misma frecuencia frecuencia viajando en viajando en direcciones direcciones opuestas opuestas producen una producen una onda estacionariaonda estacionaria
Dos ondas de Dos ondas de frecuencias frecuencias ligeramente ligeramente diferentes diferentes viajando en el viajando en el mismo sentido mismo sentido producen pulsos producen pulsos (paquetes de (paquetes de ondas)ondas)
FQMB-2006 Tema 3 29
Ondas en más Ondas en más dimensionesdimensiones
Los principios que rigen a las ondas en más dimensiones son los mismos que ya vimos.
La analogía en 2 dimensiones con la cuerda fija en sus extremos es una membrana vibrante que toma vida en los tambores del carnaval.
FQMB-2006 Tema 3 30
Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones La generalización de la ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene la formaLa generalización de la ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene la forma
Esta podría ser la ecuación de ondas de una membrana de lados Esta podría ser la ecuación de ondas de una membrana de lados aa y y bb respectivamente, tal que está fija a lo largo de todo su perímetro respectivamente, tal que está fija a lo largo de todo su perímetro
xx22
22u(x,y,t)u(x,y,t)________________ ==22u(x,y,t)u(x,y,t)
tt22
________________11
vv22
____
yy22
22u(x,y,t)u(x,y,t)________________++
aa
bb00
u(0,y,t) = u(a,y,t) = 0u(0,y,t) = u(a,y,t) = 0
u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0
(45)(45)
(46)(46)
FQMB-2006 Tema 3 31
Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones Aplicamos nuevamente el método de separación de variables y tenemosAplicamos nuevamente el método de separación de variables y tenemos
u(x,y,t) = F(x,y) T(t)u(x,y,t) = F(x,y) T(t)
Sustituyendo la expresión (47) en la ecuación (45) y dividiendo por F(x,y)T(t) tenemosSustituyendo la expresión (47) en la ecuación (45) y dividiendo por F(x,y)T(t) tenemos
Esta ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual obtenemos las dos ecuaciones Esta ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual obtenemos las dos ecuaciones
(47)(47)
dd2 2 T(t)T(t)
dtdt22vv2 2 T(t)T(t)11_____ ___________ ______
==F(x,y)F(x,y)
11__________vv2 2 T(t)T(t)
11
yy22
22FF________ xx22
22FF________(( ++ )) (48)(48)
FQMB-2006 Tema 3 32
Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones
(49)(49)
22 F(x,y) = 0 F(x,y) = 0 yy22
22FF________ xx22
22FF________ ++
dd2 2 T(t)T(t)
dtdt22
__________ vv2 2 2 2 T(t) = T(t) = 00
++
++ (50)(50)
La ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En La ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En el caso de la ecuación (50) nos encontramos con otra ecuación a dos el caso de la ecuación (50) nos encontramos con otra ecuación a dos variables, pero haciendo F(x,y) = X(x)Y(y) podemos hacer variables, pero haciendo F(x,y) = X(x)Y(y) podemos hacer nuevamente una separación de variables.nuevamente una separación de variables.
Habiendo separado las variables con constantes de separación p y q Habiendo separado las variables con constantes de separación p y q respectivamente, obtenemos respectivamente, obtenemos
FQMB-2006 Tema 3 33
Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones
xx = (x,y) (51) = (x,y) (51)
Nótese que la forma de esta ecuación es completamente similar a Nótese que la forma de esta ecuación es completamente similar a la de la ecuación en 1 dimensión, excepto que ahora tenemos dos la de la ecuación en 1 dimensión, excepto que ahora tenemos dos números “cuánticos” n y m que etiquetan el estado. Las números “cuánticos” n y m que etiquetan el estado. Las frecuencias de vibración, en este caso, dependen de ambos frecuencias de vibración, en este caso, dependen de ambos números n y mnúmeros n y m
nmnm = v = v ( n ( n22/a/a22 + m + m22/b/b22))1/2 1/2 (52)(52)
u(u(xx,t) = ,t) = u unmnm((xx,t) = ,t) = A Anmnm coscos ( (nmnmt + t + nmnm) ) sensen n nx x sensen mmy y aa
______m,n=1m,n=1 m,n=1m,n=1
aa______
FQMB-2006 Tema 3 34
Modos normales en 2 Modos normales en 2 dimensionesdimensiones
Algunos de los modos normales en el caso bi-dimensional Algunos de los modos normales en el caso bi-dimensional pueden verse en la siguiente figura.pueden verse en la siguiente figura.
Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las dos Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las dos direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma que tenía direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma que tenía la cuerda cuando n=1)la cuerda cuando n=1)
Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si modificamos Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si modificamos ambos números obtenemos la figura de la siguiente diapositiva. ambos números obtenemos la figura de la siguiente diapositiva.
FQMB-2006 Tema 3 35
Modos normales en 2 Modos normales en 2 dimensionesdimensiones
En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. Por ejemplo Por ejemplo uu1212 y y uu2121
FQMB-2006 Tema 3 36
Ondas en dos dimensionesOndas en dos dimensiones Si el desplazamiento es sólo en Si el desplazamiento es sólo en
la dirección X tenemos ondas la dirección X tenemos ondas longitudinaleslongitudinales
Si el desplazamiento es sólo en Si el desplazamiento es sólo en la dirección Y tenemos ondas la dirección Y tenemos ondas transversalestransversales
Si el desplazamiento es en las dos Si el desplazamiento es en las dos direcciones tenemos fenómenos direcciones tenemos fenómenos como el de las olas marinascomo el de las olas marinas
FQMB-2006 Tema 3 37
Modos normales en 2 Modos normales en 2 dimensionesdimensiones
Resolvamos las ecuaciones en función del tiempo para un par Resolvamos las ecuaciones en función del tiempo para un par de oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)de oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)
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